RAZONAMIENTO RA ZONAMIENTO MATEMÁT MATEMÁTICO ICO - TEMA TE MA 9
PROBABILIDADES
La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos. El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. Los juegos de azar muestran que ha habido un interés en cuantificar las ideas de la probabilidad durante milenios, pero las descripciones matemáticas exactas de utilidad en estos problemas sólo surgieron mucho después.
I. CONCEPTOS CONCEPTOS PREVIOS REVIOS
la probabilidad de ocurrencia de "A" se denota por P(A) y está dado por la relación:
A. Experimento Experimento determinísti determinístico co Es toda prueba o ensayo cuyo resultado puede predecirse sin realizarse previamente la prueba, ya que consta de un único resultado posible. Ejemplo: lanzar una monerda que tiene en los dos lados la misma figura (cara o sello).
P(A) =
III. II I. PROPIEDADE ROPIEDADES S Si A es un evento definido en
ε
B. Experim Experimento ento aleat aleatorio orio ( ) Es toda prueba o ensayo cuyos resultados no pueden predecirse sin realizarse previamente la prueba, ya que consta de más de un posible resultado. Ejemplo: lanzar un dado normal, es decir que tiene los números del 1 al 6.
Ejemplo: Evento A: arrancar una página con numeración par al arrancar las 20 primeras hojas de un libro.
→ A = Ω Cuando P(A) = 0, obtener un puntaje mayor que 10 en el lanzamiento de un dado. → A = φ = { } A. Probabilidad Probabilidad por complemento complemento Si "A" es un evento definido de un espacio muestral Ω , entonces: P(A) = 1 – P(A') Donde: P(A): Probabilidad de que ocurra el evento A. P(A'): Probabilidad de que no ocurra el evento A.
Ejemplo: Experimento aleatorio: "Lanzar un dado" Evento: "Obtener como resultado un número par"
→ n(Ω) = 6
A = {2; {2; 4; 6} → n(A) = 3
B. Eventos mutuamente mutuamente excluyentes excluyentes Se dice que A y B son eventos mutuamente excluyentes cuando ambos no pueden ocurrir a la vez, entonces se cumple: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) = 0
II. II . DEF DEFINICIÓN INIC IÓN DE PROB PROBABILIDAD ABILIDAD Si "A" es un evento de un espacio muestral, entonces UNCP REGULAR 2009 - II
entonces:
Cuando P(A) = 1, se dice que A es un evento seguro, debido a que siempre ocurre.
D. Evento Evento o suce suceso so (A, B, C, C, ...) Es cualquier subconjunto de un espacio muestral, se denota con las primeras letras del alfabeto (mayúsculas).
{1; {1; 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 6} 6}
Ω,
0 ≤ P ( A) ≤ 1
C. Espac Espacio io muest muestra rall ( Ω ) Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ejemplo: Experimento aleatorio: "Elegir un número natural del 1 al 8". Espacio muestral: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Número de elementos del espacio muestral: n(Ω) = 8 .
Ω =
N° casos a favor de A = n(A) N° total total de casos casos en Ω n(Ω)
1
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A cademias P amer
E xi gi mos má más!
PROBABILIDADES
D. Eventos Eventos no mutuamente mutuamente excluyentes excluyentes Cuando dos eventos A y B no son mutuamente excluyentes, es decir que pueden ocurrir a la vez. P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
IDEAS FUERZA m
E l valor deuna probabi abilida lidad dvarí varía desdecer cero, hasta uno. C uandovaleceroesuneventoimposibleycuando vale uno es es un evento seguro. segur o.
Ejemplo: La probabilidad de que Miguel salga con Carla es 0,75 y la probabilidad de que salga con Julia es 0,50. Si la probabilidad de que salga con Carla o Julia es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que salga con ambas a la vez? Como Miguel puede salir con Carla y Julia a la vez, los eventos "salir con Carla" y "salir con Julia" no son mutuamente excluyentes, entonces: P(C o J) = P(C) + P(J) – P(C y J)
Donde: P(A o B): probabilidad de que ocurra A o B. Ejemplo: Una bola se extrae al azar de una caja que contiene 6 bolas verdes, 5 rojas y 3 azules. Determine la probabilidad de que sea verde o roja.
P(verde) = 6 14
P(roja) = 5 14
Como no es posible que la bola sea verde y roja a la vez, entonces:
0,85 = 0,75 + 0,50 – P(C y J) P(C y J) = 0,40 ∴ La probabilidad de que salga con ambas a la vez es 0,40.
∴ P(verdeoroja) = 6 + 5 = 11 14
14
14
E. Event Eventos os depend dependien ientes tes Cuando dos sucesos A y B son dependientes: P(A y B) = P(A) x P(B/A) Donde: P(B/A) = probabilidad de que ocurra B, asumiendo que ya ocurrió el evento A.
C. Eventos Eventos independi independientes entes Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta a la ocurrencia del otro, entonces se cumple: P(A y B) = P(A) x P(B). Donde: P(A y B): Probabilidad de que ocurra A y B.
Ejemplo: En una caja hay 15 fichas, de las cuales 10 están pintadas de negro y el resto de amarillo. Una persona extrae dos fichas, una por una. Halle la probabilidad de que ambas sean de color negro.
Ejemplo:
Calcula la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda, y un puntaje par al lanzar un dado. Evento A: obtener cara al lanzar una moneda.
P(A) = 1 2 Evento B: obtener un puntaje par al lanzar un dado.
P(B) = 1 2
B) = 1 x 1 = 1 ∴ P(A y B) 2
Problema 1
Dos turistas encuentran tres restaurantes denominados "A", "B" y "C", y en-
2
Respuesta:
4
4 A ) 9
9 B) 4
4 D) 4
2 E) 14
3 7
2 C) 4
tran a comer al azar, pudiendo estar ambos turistas en el mismo restaurant. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno coma en el restaurante "B"?
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Resolución: Casos totales: Número de maneras en que pueden comer los dos turistas en los restaurantes A, B o C.
2
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A cademi as P amer
PROBABILIDADES
Casos a favor: Número en que los turistas comen en A o C, pero no en B.
E xigimos más!
Resolución:
Resolución:
Como la ficha extraida fue par:
Haciendo un esquema:
Casos totales:
Ω = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20} → n(Ω ) = 10 Casos a favor: A = {6; 12; 18}
→ n(A) = 3 ∴ P(A) =
∴P = 4
n(A) n(Ω )
=
Del gráfico:
3 10
(0,3 - x) + x + (0,5 – x) + 0,5 = 1
9
1,3 – x = 1 Respuesta: A)
4 9
Respuesta: E)
Probabilidad de que compre solo la blusa = 0,3 – 0,3 = 0
Problema 2
En una urna se tienen 20 fichas numeradas del 1 al 20. Se extrae una ficha y se sabe que su número es par. ¿Cuál es la probabilidad de que este número sea divisible por 3?
4 A ) 10 D)
1.
4 4
10 B) 4 E)
Problema 3
La probabilidad de que Karina compre una blusa es 0,3 y de que compre una falda es 0,5. Halla la probabilidad de que compre solo una de dichas prendas, si la probabilidad de que no compre ninguna es 0,5.
10 C) 3 A ) 0, 0 5 D ) 0, 0, 5
3 10
¿Cuál ¿Cuál es es la pro proba babil bilid idad ad de de que que al lanzar 2 dados legales el resultado sea…
B) 0, 02 E) 0 ,20
I. C o ra z ó n
II. ....6 ....6 o 7 puntos puntos??
II. 9 de trébo tréboll
C)
E)
5 ; 1 1 8 36 1 ; 7 36 18
B)
D)
5 ; 11 1 8 36 1 ; 5 1 8 36
7 ; 5 1 8 36
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A )
C)
E)
1 ;1 52 52
B)
1 ; 9 2 6 52
D)
1; 1 4 52 3
Probabilidad de que compre solo la falda = 0,5 – 0,3 = 0,2
∴ Piden:
0 + 0,2 = 0,2
C) 0 , 2
2. Calcul Calcula a la probab probabilid ilidad ad de de que que al extraer una carta de una baraja (52 cartas, 13 de cada palo) esta sea:
I. .....p .....punt untaje aje mayor mayor que 8
A )
x = 0,3
3 10
Respuesta: C) 0,2
3. Una urna urna contie contiene ne 3 bola bolass blanc blancas as y 5 negras. Se saca una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra? A )
5 8
B)
1 4
D)
3 8
E)
3 4
C)
1 8
3 ; 1 52 52 1; 3 4 52
4. Si se se lanza lanza un dado dado,, ¿cuál ¿cuál es la la probabilidad de que no salga 6? A )
1 6
B)
4 6
D)
1 3
E)
2 3
C)
5 6
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A cademias P amer 5.
Al arro arroja jarr tres tres bola bolas, s, ¿cuá ¿cuáll es la la probabilidad de obtener un 3; un 4 y un 5? A )
3 29
1 D) 72 6.
B)
1 12
C)
1 36
6 E) 215
En una una urna urna hay 25 bola bolass igual iguales, es, numeradas del 1 al 25. Una persona extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga un número que sea múltiplo de 5? A ) D)
7.
E xi gi mos má más!
1 5 1 25
B) E)
3 25
C)
4 25
2 5
Se lan lanzan zan 2 moned monedas as y un un dado dado.. ¿Cuál ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos caras y un número impar? A ) 0, 50 0
B) 0, 12 5
D) 0,600
E) 0,111
C) 0, 25 0
11. En una bolsa se tienen 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Se extrae al azar 3 bolas, una por una ¿cuál es la probabilidad de que la tercera bola sea roja? A )
1 3
B)
1 4
D)
3 4
E)
2 5
¿Cuá ¿Cuáll es la prob probab abili ilida dad d de que que al extraer dos cartas de una baraja (52 cartas, 13 de cada palo), estas sean un corazón y el otro trébol?
13 A ) 102 D)
9.
13 100
13 B) 51 E)
1 C) 4
3 52
Las Las letr letras as de de la pala palabr bra a ARCOS ARCOS se se colocan al azar en una línea, ¿cuál es a probabilidad de que las 2 vocales queden juntas? A )
2 3
B)
1 3
D)
1 5
E)
2 5
C)
1 6
10. ¿Cuál ¿Cuál es la probabil probabilidad idad de de que , al sentarse 6 amigas en hilera, Carla; Jessica y Graciela estén siempre junt ju ntas as?? A )
2 5
1 D) 5
B)
4 5
3 E) 5
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C)
1 6
1 6
C)
12. Nueve personas se sientan al azar en círculo. ¿cuál es la probabilidad de que dos personas en particular queden contiguas? A )
1 4
B)
1 8
D)
13 8!
E)
15 81
16 8!
C)
13. Se lanzan un dado "n" veces. ¿cuál es la probabilidad de que salga 2 al menos una vez en los "n" lanzamientos? A )
8.
PROBABILIDADES
2
5 6
B) n
C)
1 6
n
5 6
1 6
16. En una caja hay hay 10 bolas bolas de de billar, billar, de las cuales 4 son rojas. Se toma tres piezas al azar. Determine la probabilidad de que por lo menos una resulte de color rojo. A )
3 5
B)
2 3
D)
7 60
E)
5 6
A )
2 5
B)
3 5
D)
6 11
E)
3 7
A )
1 6
B)
1 4
D)
5 12
E)
5 6
C)
1 12
15. La probabil probabilidad idad de que que Erica Erica ingreingrese a la UNCP es 0,7 que ingrese a la UNI es 0,4. Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12, hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez. A ) 0, 4 2
B) 0, 22
D) 0,4 8
E) 0,58 4
C)
5 7
18. Diez libros libros de de los cuales cuales 6 son de de física y 4 de química, se colocan al azar en un estante. Determine la probabilidad de que los libros de física queden juntos. A )
1 21
B)
1 42
D)
5 42
E)
21 35
5 E) 1 − 6
14. Se lanza un dado "cargado", de tal manera que los números impares tienen el triple de posibilidades que los números pares. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 5?
10 39
17. Se escogen al azar 4 sillas entre 10, de las cuales 6 son defectuosas. defectuosas. Hallar la probabilidad de que 2 exactamente sean defectuosas.
D) 1 − n
C)
C)
4 9
19. Una moneda cuyas caras caras están marcadas con los números 2 y 3, respectivamente, es tirada 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 12? A )
25 16
B)
5 16
D)
6 25
E)
5 6
C)
5 4
20. Tres varo varones nes y dos chica chicass van al cine cine y encuentran una fila de 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse. Determinar cuál es la probabilidad de que las chicas no se sienten juntas. A )
2 5
B)
3 5
D)
7 9
E)
4 5
C) 0 ,2 4
C)
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A cademi as P amer
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E xigimos más!
PROBABILIDADES
La probabibilidad de que ocurra un determinado suceso (A) se define como la relación entre el número de casos favorables para ese suceso y el número de casos posibles en total (C).
P(A) =
N° casos favorables para A N (A) = N° caso casoss posi posibl bles es o tot total ales es N (Ω)
→ Cardinal del conjunto A → Cardinal del conjunto Ω
Propiedades fundamentales Si P(A) es la probabilidad de que ocurra un suceso A, entonces:
≤ P(A) ≤ 1
1.
0
2.
La probabilidad probabilidad de que no ocurra ocurra A (suceso (suceso contrario contrario A') es: P(A') P(A') = 1 - P(A).
3.
Si U es un suceso suceso que que siempre siempre será cierto cierto lógicament lógicamente, e, entonces entonces P(U) = 1 (Siempre (Siempre ocurrirá).
φ es
un suceso que nunca ocurrirá (lógicamente imposible), entonces P(φ) = 0 .
4.
Si
5.
Evento Eventoss mutuame mutuamente nte exclu excluye yente ntes: s: P(A o B) = P(A) + P(B) P(A y B) = 0
6.
Evento Eventoss indep independ endien iente tes: s: P(A y B) = P(A) x P(B)
7.
Evento Eventoss no mutuame mutuamente nte excl excluye uyente ntes: s: P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)
8.
Even Eventos tos depe depend ndie ient ntes es:: P(A y B) = P(A) . P(PB/A)
1.
¿Qué ¿Qué es un un experi experiment mento o deter determiní minístic stico? o? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
2.
¿Qué ¿Qué es un expe experim rimen ento to aleat aleator orio? io? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
3.
¿Qué ¿Qué es es un un espa espacio cio muestr muestral? al? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
6.
¿Entre ¿Entre qué qué valores valores varía varía el valor valor de una proba probabilid bilidad? ad? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
7.
¿Cuándo ¿Cuándo se se dice dice que dos event eventos os son independ independient ientes? es? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
8.
¿Cuándo ¿Cuándo se se dice dice que que dos eventos eventos son son depend dependiente ientes? s? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
9. 4.
¿ Qu Qu é e s u n e ve ve nt nt o? o? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
¿Cuándo ¿Cuándo se dice dice que que dos eventos eventos son son mutua mutuament mente e excluyentes? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
5.
Define Define probabilid probabilidad ad ____________ __________________ ____________ ________ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
10. ¿Cuándo ¿Cuándo se dice dice que dos eventos eventos no son son mutuamente mutuamente excluyentes? __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ _
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TEMA TEM A9 / RAZ. RAZ . MATEMÁTIC MATEMÁTICO O
