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RA ZONAMIEN ZONA MIENT TO MATEMÁTICO MATEMÁTICO -TEMA 8

ANÁ ANÁL ISIS SIS COM C OMB BINATO NA TOR RIO

En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurre n en una situación dada se convierte en algo difícil de lograr o tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio permite enumerar tales casos o sucesos y obtener la probabilidad de eventos más complejos. Ocurre con frecuencia que tenemos que formar conjuntos que reúnan ciertas condiciones, eligiendo sus elementos entre los de otro conjunto dado. Por ejemplo es muy natural que formemos grupos para conversar o realizar cualquier actividad.

Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un poco de miel, la miel se encuentra en el fondo del panal. ¿De cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel, teniendo en cuenta que no debe retroceder?

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40320 9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362880 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 36228800 Nota: Por convención 0! = 1

II. DESARROLLOPARCIALDEUNFACTORIAL 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

I. FACTOR ACTORIAL DE UN UN NÚM NÚMERO Se define factorial de un número n al producto de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Se denota por: n! Se lee: "Factorial de n" o "n factorial"

7!

64444 4744444 8

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

1444 424444 3

6!

n!=1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n-1) n ∀n ∈ Z+

8! = 8 x 7! 8! = 8 x 7 x 6! n ! = n(n − 1)! n ! = n(n −1)(n − 2)!

Ejemplo:

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 20! = 1 x 2 x 3 x ... x 19 x 20  3   2  ! no existe   (-5)! no existe

IDEAS FUERZA

m

El f actorial actor ial estádefi tádefi nido ni do só sólo en los núme númerr os naturales.

m

El factor act orial ial de un número número puede desco descomponerse mponerse en el factor f actorial ial de un nú n úmer mer o menor. menor.

Ejemplos de factoriales:

1! = 1 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 UNCP REGULAR 2009 - II

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TEMA 8 / RAZ. MATEMÁTICO

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ANÁL ISIS COMB INATORIO

III. COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UN NÚMERO a) Si n es un número par positivo.

Resolución:

El televisor lo podrá adquirir en:

n!!=2 x 4 x 6 x 8 x ... x (n-2)n

6!! = 2 x 4 x 6 = 48 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 = 384 b) n es un número impar positivo.

∴ Se compran de 14 maneras diferentes.

n!!=1 x 3 x 5 x 7 x ... x (n-2)n

5!! = 1 x 3 x 5 = 15 7!! = 1 x 3 x 5 x 7 = 105

Ejemplo:

Karina tiene 3 faldas: roja, azul y verde; también tiene 2 blusas: blanca y crema. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse utilizando dichas prendas?

IV. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO Veamos el siguiente caso: Carolina desea viajar de Lima a Tacna y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

Las formas son: R B A C

Carolina puede elegir viajar por aire o por tierra, pero evidentemente no puede viajar por ambas vías al mismo tiempo. Luego: Actividad A (viajar por tierra) o 5 maneras

+

V

Actividad B (viajar por aire) 2 ma neras

SUGERENCIAS

= 7 maneras

m

∴ Carolina tiene 7 maneras diferentes de realizar su viaje. Podemos ahora en base a este ejemplo enunciar el principio de adición.

Es importante que el alumno note que las posibilidades de una actividad quedan asociadas a las posibili dades de la otr a actividad.

blusa blanca - falda roja  blusa blanca - falda azul  blusa blanca - falda verde  6 formas blusa crema - falda roja  blusa crema - falda azul   blusa crema - falda verde 

V. PRINCIPIO DE ADICIÓN Si una actividad A ocurre n maneras diferentes y otra actividad B ocurre de m diferentes, entonces A o B ocurren de m + n maneras diferentes. Ejemplo:

Laura desea comprar un televisor a crédito ha preguntado en 3 tiendas comerciales donde le ofrecieron 3, 5 y 6 sistemas de crédito respectivamente. ¿De cuántas maneras puede Laura comprar el televisor?

Se observa que tienen 2 formas a elegir una blusa y para cada una de éstas tiene 3 formas más de elegir falda. Actividad A Actividad A (elegir blusa) y (elegir falda) x

= 6 formas

IDEAS FUERZA

m

∴ Karina tiene 6 formas diferentes de vestirse.

El principio de la adición se aplicar ácuando las actividadessehagan por separado, es decir de manera excluyente.


Podemos ahora anunciar el principio de multiplicación. 2

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VI. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si una actividad A se puede realizar de m maneras y para cada una de estas maneras otra actividad B se puede realizar de m x n maneras. En el principio de multiplicación las actividades se realizan una a continuación de otra o simultáneamente.

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Una variación se diferencia de otra si tiene al menos un elemento diferente o si sus elementos tienen un orden diferente. 1. Variaciones lineales

Se da cuando los elementos son todos diferentes y se arreglan u ordenan en línea recta. Recordemos el caso anterior:

Ejemplo:

De un grupo de 10 estudiantes, 4 varones y 6 damas, se va a elegir una pareja mixta para participar en un concurso de baile. ¿De cuántas formas diferente s se puede hacer dicha elección? Resolución: Se va a escoger una pareja.

A B C A C B B A C B C A C A B

6 formas

C B A

También podemos calcular de la siguiente forma: Asientos

∴ Se puede elegir de 24 formas una pareja mixta. IDEAS FUERZA

m

El principio de la multiplicación seaplicarácuando las actividadessecomplementenosehaganconjuntamente.

Total = 3 x 2 = formas "Hemos ordenado a 3 personas tomándolas de 2 en 2".

Ejemplo:

¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia C? A

B

3

V 2 = 3x2 =

C

V32 = (3 3! − 2)!

Resolución:

En general, el número de variaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k", se calcula así:

De "A" hacia "C", tengo que ir: A hacia B

y

B hacia C

5

x

3

∴ existen 15 maneras.

n

= 15 maneras

; 0
Ejemplo

¿Cuántos números de 2 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 3, 4, 5 , 6?

A. Variaciones

¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse 3 personas en una banca de 2 asientos?

Resolución: Dígitos disponibles

6 formas

4

V 2 =

4! 4 x 3 x 2! = = 12 (4-2)! 2! tomados de 2 en 2

Se observa que en la primera y la segunda forma, los que están sentados son B y C. Pero ambas formas se consideran diferentes porque B y C están ubicados en orden diferente. (B a la izquierda de C en el primer caso y B a la derecha de C en el segundo caso). Luego las variaciones son: Los diferentes arreglos u ordenaciones que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto. UNCP REGULAR 2009 - II

n!

V k = (n − k)!

VII.PERMUTACIÓN DE "n" ELEMENTOS TOMADOSDE "K"EN "K"

A B C A C B B A C B C A C A B C B A

3x2x1 3! 3! = = 1 1! (3 − 2)!

Observación:

Sabemos que una variación es un ordenamiento que se puede formar con una parte o todos los elementos de un conjunto. En el caso que se tomen todos los elementos del conjunto para ordenarlos, dicha variación recibe el nombre de permutación . 3


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VIII.PERMUTACIONES

Pc (3) = 2 = 2! = (3 - 1)! ⇒ Pc(3) = (3 - 1)! En general las permutaciones circulares de n elementos será:

A. Permutación lineal

Vnn = Pn = n !

Si k = n ⇒

Pc (n) = (n − 1)!

Y se dice que la variación lineal es una permutación lineal de n elementos. IDEAS FUERZA

Ejemplo:

En una carrera participan 5 atletas, ¿de cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta?

m

Resolución:

V55 = P5 = 5! = 120 maneras

En una permut ación cir cular, primero hay que desginar a un elemento como la r eferencia de orden luego los restantes completan el ordenamiento. A é ste elemento se le suele decir que es el elemento fijo. Ejemplo

Jorge, su novia y los 3 hermanos de su novia se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas maneras diferentes pueden hacerlo si Jorge y su novia desean estar juntos?

IDEAS FUERZA m

En una permutación intervienen todos los elementos del conjunto. Es un grupo ordenado; en el se puede designar a un primero y a un últ imo elemento.

m

U na permutación de "n" elementos tomados de "k" en "k" esun grupo ordenado. N o sólo esel grupo si no tambié n que en el existe un orden o jerarquía de sus elementos.

Resolución:

B. Permutación circular

Se da cuando los elementos son distintos y se arreglan u ordenan alrededor de un objeto o forman una línea cerrada. Ejemplo:

Si permutamos linealmente 3 personas nos deben resultar P(3) = 3! = 6 maneras {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}. Pero si analizamos estas 6 maneras en forma circular: B A

A CC

C B B

A

C A

Las 3 son idénticas porque a la derecha de A está C y a su izquierda está B.

A

B B

Primero ordenamos por separado y luego todos juntos en forma circular:

B CC

A

Las 3 son idénticas porque A tiene a su derecha a B y a su izquierda está C.

∴ Existen 12 maneras. SUGERENCIAS

∴ Sólo son 2 formas. m

Se observa que ordenando circularmente no importa el lugar que ocupa cada persona sino su posición relativa respecto a los demás. Para encontrar las diferentes permutaciones circulares debemos tomar un elemento de referencia y permutar a los demás.

C. Permutaciones con elementos repetidos

Se da cuando los elementos a ordenar no son distintos, es decir, hay un elemento o más de uno que se repite.

"Hemos permutado circularmente a 3 personas". TEMA 8 / RAZ. MATEMÁTICO

En un ejercicio de ordenamiento circular se toma como referencia a un elemento, cualquiera de ell os, pero sólo por una vez; es decir no se puede luego cambiar de referencia y hacer otro conteo.

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Resolución:

Ejemplo

¿Cuántos arreglos diferentes se pueden realizar con todas las letras de la palabra MAMÁ? Resolución:

MAMA MAAM MMAA   6 formas AMAM AMMA AAMM

"Hemos permutado 4 elementos donde 2 se repiten y otros 2 también se repiten (las letras M)" 4

P 2,2 = 6 =

Supongamos que para encontrar los "combinados" debemos realizar permutaciones con las 4 comidas tomándolas de 3 en 3.

24 4! = 4 2!x2!

En general: n!

Pnk1,k2 ,k3 ... = k1 !xk2 !xk 3 !x... Ejemplo

Un niño tiene 3 cubos rojos, 2 cubos blancos y 1 cubo amarillo. ¿De cuántas maneras pueden colocarse en fila? Sólo estos 4 combinados son diferentes porque difieren en al menos una comida.

Resolución:

Entonces los combinados (combinaciones) de 4 comidas tomadas de 3 en 3 son sólo 4. 4! 4! (4 − 3)! 4 C3 = 4 = P6 = 3! = 3!(4 − 3)! 4 3

Como existen elementos que se repiten aplicamos:

6! = 60 P63R,2B = 3!X2!

4

∴ Se colocan de 60 maneras diferentes.

En general las combinaciones de n elementos tomados de K en K.

SUGERENCIAS

m

n

n!

Ck = k!(n − k)! 0 ≤ k ≤ n

Es importante que el alumno aprenda a distinguir si los elementos son diferentes o iguales; de ell o depende la aplicación de la fórmula, ya sea una permutación simple o una con elementos repetidos.

Las combinaciones son las diferentes formas de agrupar a los elementos de un conjunto, tomando una parte de ellos o todos a la vez.

IX. COMBINACIONES

En una combinación el orden de los elementos no determina una forma diferente. Una combinación se diferencia de otra si posee al menos un elemento diferente.

Ejemplo:

Armando está parado frente al buffet el cual consta de arroz con pollo, cebiche, papa a la huancaína y chanfainita. Armando es aficionado a los "combinados". ¿De cuántas maneras diferentes se puede preparar un "combinado" de tres comidas? UNCP REGULAR 2009 - II

4!

C3 = 3!(4 − 3)!

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se puede formar un equipo de fulbito, si se dispone de 8 jugadores? 5


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X. TRIÁNGULO DE PASCAL

IDEAS FUERZA

0

m

En una combinación sólo existe el grupo, y dentro del cual no existe orden alguno. Sus elementos no estan j erarqui zados. N inguno es primer ni últ imo elemento.

1 1 1 1

n

C2 =

6

C2 = 9

C2 = II)

n

C3 =

6x5 = 15 2

1 3

1

Sucesión cuadrática t1; t2; t3; t4 ; ...

9x8 = 36 2

a1

5

C3 = C

10 3 =

a2 r

Halla el t n de la siguiente sucesión: 1, 2, 5, 10, ...

5x4x3 = 10 6

Resolución:

10x9x8 = 120 6

1;

2;

C

n k

C71 = 7

n 1+

3

n 2+

C55 = 1

2

C1111 = 1

a1

a2 b1

a3 a4 b1

r

C108 = C1010− 8 = C102 C1512 = C151 5−1 2 = C153 n 3 + ... +

C C C Ejemplo:

4 1

n n=

C

2n − 1

4 2+

4 3+

C +C C C

4 4=

tn = t 1 + a1Cn1 −1 + b1Cn2−1 + r Cn3−1 Ejemplo

Halle el t n de la siguiente sucesión: 1;

2; 11; 34; 77; ... 1

2 4 −1 = 15

9 8

23 14

43 20

6

n −1 n −1 n −1 1 +8 2 +6 3

t1 = 1 + 1C

SUGERENCIAS

C

tn = 1 + 1(n − 1) + 8

El alumno debede preguntarse, ¿necesito sólo el grupo o además debo or denarlo?


b1 r

6

m

5

Sucesión cúbica t1; t2; t3 ; t4 ; t5 ; ......

= Cnn −k

Ejemplo:

VI)

C14 = 4

10; ...

t n = 1 + 1C1n −1 + 2Cn2−1 (n − 1)(n − 2) t n = 1 + 1(n − 1) + 2x 2 t n = n 2 − 2n + 2

Cnn = 1 Ejemplo:

V)

5;

2

C1n = n Ejemplo:

IV)

r

Ejemplo

1

III)

a3

tn = t 1 + a1 Cn1 −1 + r Cn2−1

n(n − 1)(n − 2) 6

Ejemplo:

3

A. Cálculo de Tn para las sucesiones cuadráticas y cúbicas

n(n − 1) 2

Ejemplo:

1 2

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Observaciones

I)

C0 1 C 0 C 11 2 2 2 C0 C1 C2 C 30 C 31 C 32 C 33 C 40 C 41 C 42 C 43 C 44 5 5 5 5 5 5 C 0 C1 C2 C3 C4 C5

C

(n −1)(n − 2) (n −1)(n −2)(n −3) +6 2 6

tn = n 3 − 2n2 + 2 6


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Problema 1

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Problema 3

Problema 2

Un equipo de béisbol consta de 6 jardi- Un examen consta de 12 preguntas En un campamento al que asisten cuaneros, 7 jugadores de cuadra, 5 lanza- de las cuales el estudiante debe con- tro parejas de enamorados ¿de cuántas dores y 2 receptores (entre titulares y testar 10. Si de las 6 primeras pregun- maneras diferentes pueden ubicarse alsuplentes). ¿De cuántas formas diferentas debe contestar por lo menos 5, rededor de una fogata? Analizar cada tes se puede elegir un equipo de 9 juuno de los siguientes casos: gadores, sabiendo que debe haber 3 ¿cuántas posibilidades de elegir 10 pre- I) Los hombres y mujeres queden jardineros, 4 jugadores de cuadra, un guntas tiene el estudiante? alternados. A) 50 B) 60 C) 51 lanzador y un receptor? II) Cada pareja no se separe. A) 7000 formas D) 60 E) 61 A) 144 y 96 formas B) 2000 formas B) 60 y 100 formas C) 3500 formas Resolución: C) 80 y 144 formas D) 2500 formas Hay en total 12 preguntas. Por condi- D) 250 y 70 formas E) 1000 formas ción sólo hay que contestar 10. Como E) 16 y 6 formas de las 6 primeras se debe contestar al Resolución: menos 5 entonces se puede respon- Resolución: der 5 ó 6 de estas preguntas y de las I) T o ma n do c om o re fe r en c ia a 6 últimas hay que elegir 5 ó 4 preguncualquier persona, luego: tas, repectivamente. circular

= P4

x P4 = 3! x 4! = 144

Luego los casos serían:

II) Número = 6 x 6 + 1 x 15 = 51 de casos R e s p u e s t a : A) 7000 formas

R e s p u e s t a : C) 51 posibilidades

R e s p u e s t a : A) 144 y 96 formas

"Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí".

"De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes".

Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? A) 400 B) 380 C) 240 D) 399 E) 401

1. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? A) 15 B) 240 C) 60 D) 120 E) 72 2. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales? A) 120 B) 60 C) 80 D) 12 E) 720 UNCP REGULAR 2009 - II

3. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica? A) 9 B) 20 C) 12 D) 40 E) 625 4. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a 7

5. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos? A) 864 B) 1728 C) 688 D) 892 E) 1700 TEMA 8 / RAZ. MATEMÁTICO

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6. El aula especial de la Academia consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 primeros puestos, si no hay empate? A) 210 B) 230 C) 240 D) 205 E) 180 7. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales? A) 6934 B) 6912 C) 6780 D) 6512 E) 6936 8. Se lanzan tres dados legales al piso, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres dados? A) 120 B) 180 C) 140 D) 130 E) 117 9. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila 4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)? Además, consideremos que las personas del mismo sexo no están juntas. A) 720 B) 360 C) 240 D) 8! E) 144 10. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente, vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre? A) 1428 B) 1716 C) 1628 D) 1718 E) 1728 TEMA 8 / RAZ. MATEMÁTICO


11. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos más participan en una carrera, ¿de cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y éste llegue antes que Juan? A) 6720 B) 4360 C) 1532 D) 1236 E) 1538 12. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era: A) 12 B) 18 C) 20 D) 14 E) 16 13. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"? A) 81 B) 840 C) 120 D) 8 E) 64 14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera? A) B) C) D) E)

2520 12 000 25 200 10! 15!

15. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de 6 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo que en cada uno de ellos exista siempre 2 mujeres? A) 200 C) 312 E) 210

B) 20 D) 212

8

16. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos? A) 108 B) 64 C) 128 E) 90

D) 72

17. Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos, ¿de cuántas maneras se pueden escoger cuatro números, de tal manera que su producto sea positivo? A) 140 B) 160 C) 175 D) 180 E) 170 18. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las cuatro chicas quieren estar juntas? A) 160 B) 72 C) 128 D) 144 E) 64 19. ¿Cuántas palabras se pueden hacer con 3 mayúsculas, 5 consonantes y 4 vocales, si cada una debe contener 3 consonantes y 2 vocales y comenzar con mayúscula? A) 20 500 B) 21 600 C) 23 200 D) 21 950 E) 20 600 20. Hallar "x" en: 2x2!+ 3x3! + 4x4!+ ... = 40!− 2 1444 424444 3

(x −1)términ os

A) 44 C) 41 E) 39

B) 42 D) 40


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ANÁLISIS COMBINATORIO Factorial de un número

Principios del conteo

Principio de la adición

Variaciones

Principio de la multiplicación

Combinaciones

Aplicación a:

Permutaciones

Definición

Sucesiones polinomiales

Lineal

Propiedades

Circular Con elementos repetidos

1. Si: "A" se realiza de "m" maneras diferentes. "B" se realiza de "n" maneras diferentes. Además A y B son actividades mutuamente excluyentes, entonces "A" o "B" se realizan de ___________ maneras.

________________

2. Si: "A" se realiza de "m" maneras diferentes. "B" se realiza de "n" maneras diferentes, además A y B son actividades complementarias, entonces "A" y "B" se realizan de ___________ maneras.

6. Una combinación es: _______________________ ________________________________________

3. Expresar el factorial de (m + 2)! en función del factorial de (m - 1)!________________________ ________

8. En una permutación circular se debe de _________ ________________________________________

4. El número de maneras en que se pueden ubicar 5 personas en una fila de 5 asientos es:

9. Cuando 2 o más elementos que se ordenan van a estar juntos entonces debemos de ____________

_____________________

10. Dos combinaciones serán diferentes cuando ______ en cambio, 2 permutaciones serán diferentes cuando _____________________________________.

5. El número de maneras en que se pueden lanzar 3 dados de tal modo que no muestren 2 caras iguales es: UNCP REGULAR 2009 - II

7. Una permutación es: _______________________ ________________________________________

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