RM7

RAZONA RAZ ONAMIE MIENTO NTO MATEMÁ MATEMÁTICO TICO - TEMA 7

PLANTEO PL ANTEO DE ECUA ECUACIONES CIONES II MÓVILES MÓVILES - CRONOMETRÍA

Cinco hombres y un mono naufragan en una isla desierta, Los hombres pasan todo el primer día recogiendo cocos. Por la noche uno de ellos despierta y desconfiado, decide separar su parte. Dividió los cocos en 5 montones y como sobraba un coco, se lo dio al mono. Poco después el segundo naufrago despierta y hace lo mismo. Al dividir los cocos en cinco montones volvió a sobrar un coco y también se lo dio al mono: Uno tras otro el tercero, cuarto y quinto náufrago hacen lo mismo. Al día siguiente por la mañana, dividieron los cocos en cinco montones, sin que sobrara ninguno. ¿Cuántos se habían recolectado inicialmente? inicialmente?

PLANTEO DE ECUACIONES II I. ECUACI ECUACIÓN ÓN DIOFÁNT DIOFÁNTICA ICA

que aparecen en los problemas tienen restricciones que nos ayudan a limitarnos a un pequeño número de casos e incluso a una única solución. Por ejemplo; en nuestra ecuación, si restringimos los posibles valores de x e y a los enteros positivos, tenemos 4 soluciones para (x; y): (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1).

Se llama ecuación diofántica a cualquier ecuación algebraica, generalmente de varias variables, planteada sobre el conjunto de los números enteros ¢ o los números naturales ¥ , es decir, se trata de ecuaciones cuyas soluciones son números enteros.

II. II . ECUACIÓN ECUACIÓN DIOFÁNTICA LINEAL

Ejemplo:

La ecuación diofántica diofán tica ax + by = c tiene solución en los enteros si y sólo si d = mcd (a,b) es un divisor de c. Para resolver una ecuación diofántica se utilizan diversos criterios desde un simple tanteo hasta criterios de multiplicidad.

Un ejemplo de ecuación diofántica es: x + y = 5 Esta ecuación tiene infinitas soluciones en los números reales. Como regla general, sin embargo las ecuaciones UNCP REGULAR 2009 - II

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TEMA TEM A7 / RAZ. R AZ. MA MATEMÁTICO TEMÁTICO

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PLA NTEO D E ECUA CIONES II - MÓVILES - CRONOM ETRÍA

IV.PRINCIPIO DE MULTIPLICIDAD

IDEAS FUERZA

m

1. n° + n° + n° +... + n° = n° o

Dado : 3x + 5y = 82, t enemos 2 posibilidades: o

o

– Pasarlo todo a 3 o

– Pasarlo todo a 5

o

o

3+2y=3+1

o

3x +5=5+2

o

o −

7

o =

7

o

o

o

o

o

• 15 + 15 + 15 +15 = 15

o

o

o

• 14 − 14 = 14

o

3. k n = n;k ∈ Z o o Ejemplo: • 2 ( 7 ) = 7

1. Si N es múltiplo de n o

Si N = n ⇒ N = nk;k ∈ ¢ ; no : se lee múltiplo de n

• 0 (10) = 10 o

o

V. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Ejemplo:

Sea A x B = n°

o

Si N= 5 → N = 5k = {... -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,....)) →

o

o

o

III.MULTIPLICIDAD

o

o

2. n + n = n

o

Ejemplo: • 7

Si N = 8

o

Ejemplo: • 8 + 8 + 8 = 8

Si A ≠ °n⇒ B = n° ; Si B ≠ n° ⇒A

N = 8k = {... -24, -16, -8, 0, 8, 16 , 24 ...}}

=

n°

° Ejemplo: 4x = 5

2. Si N no es múltiplo de n o

4 ≠ 5° ⇒x = 5°

o

N = n + rd ó N = n − re

donde: rd + re = n rd : residuo por defecto; re : residuo por exceso Ejemplo:

IDEAS FUERZA m

o

20 no es múltiplo de 6 (20 ≠ 6) 20 6 18 3 2

o

20 6 24 4 -4

Al resolver una ecuación diofántica lo primero que se obtiene es el menor de los valores de la variable que quedó en la ecuación. Para las soluciones encontradas tenemos:

o

20 = 6 + 2 ⇒ 20 = 6 − 4 Donde: 2 + 4 = 6 o o Aplicación: Si N = 9 + 3 ⇒N =9 −6 o o Si N = 12 − 1 ⇒ N = 12 + 11 ⇒

MÓVILES El ser humano, tan ágil al lado del caracol o de la tortuga, no es tan ágil cuando sus movimientos son comparados con otros seres que nos rodean, aunque estos no sean muy rápidos. El movimiento de los cuerpos, independientemente de las causas que lo originan, es estudiado por la cinemática, parte de la Mecánica, la cual integra la física. Podríamos decir, en grosso modo, que móvil es el cuerpo o partícula que está en movimiento. Se dice que un cuerpo está en movimiento relativo respeto de otro. Pero cuando su posición relativa al segundo cuerpo está cambiando con el tiempo. Pero, si la posición relativa no cambia con el tiempo, se dice entonces que el cuerpo está en un reposo relativo. Actualmente se considera que el reposo y el movimiento son conceptos relativos, que dependen de la condición del cuerpo en relación con el objeto que sirve como referencia. Por ejemplo, en estos momentos estás tal vez sentado o recostado, leyendo este libro, en un reposo respecto de nuestro planeta Tierra, pero en movimiento relativo respecto del sol. Cada día, al movilizarnos, viajamos en autobús y cuando este pasa frente a un grifo decimos que el bus está en TEMA 7 / RAZ. MATEMÁTICO

movimiento relativo respecto del grifo, pero un pasajero en el bus podría afirmar que es el grifo el que está en movimiento relativo respecto del autobús, moviéndose en sentido opuesto. Físicamente hablando, se dice que un móvil está en movimiento cuando su vector posición respecto a un sistema de ejes determinados. Por el contrario, si el vector posición del móvil no cambia con el tiempo, se dice que dicho móvil está en reposo relativo. • La trayectoria es la línea recta o curva que describe el móvil en movimiento. r • El desplazamiento (d) es la variación entre dos vectores en posición, aunque, en términos más sencillos, podemos decir, también, que es el vector que une el punto de partida con el punto de llegada. • El módulo de desplazamiento es denominado distancia. • A h o ra s i u n cu e rp o e n mo v im i en t o , ca m bi a constantemente de posición, entonces se puede llamar r velocidad (v) a aquella magnitud vectorial cuyo módulo (V) nos indica la rapidez con que se mueve un cuerpo de un lugar a otro. Cuando la rapidez es constante, se considera el movimiento como uniforme. 2

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PLA NTEO DE ECU ACIONE S II - MÓVILES - CRONO METRÍA

Por ejemplo, si un móvil recorre una trayectoria cualquiera con una rapidez constante de 5 m/s, significa que en cada segundo de su movimiento recorre 5 m. Es importante tener presente que en el capítulo trataremos, principalmente, acerca de problemas que involucran el movimiento uniforme.

40 m/s

B

Por cada segundo, los dos móviles se aproximan: 40 + 20 = 60 m… (V A+V B). Por lo tanto, para que se encuentren deben aproximarse en total 1800 m… (e total), lo que significa que el tiempo por emplear será: t encuentro = 1800 = 1800 = 30 s 40 + 20 60

(Por cada segundo recorre 2 m)

II. TIEMPO DE ALCANCE

Trayectoria (Recorrido = 10 m)

Ejemplo:

El móvil "A" persigue al móvil "B", separado de él 200 m, con la rapidez indicada en el gráfico adjunto. ¿En cuánto tiempo lo alcanzará?

10 m

d 8m Desplazamiento Nótese aquí que la trayectoria y el desplazamiento del móvil son diferentes.

20 m/s d = 1800 m

A

Un automóvil recorre, con rapidez constante del punto A hacia B, 2m/s.

A Punto inicial

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Resolución:

Ilustramos

2 m/s

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Resolución:

B Punto final

Según la velocidad por cada segundo transcurrido, el móvil A descontará 60 – 20 = 40 m; luego, el tiempo total para alcanzarlo será: 200 200 200 = 5s = t alcance = 40 40 60 − 20

SUGERENCIAS

Cuando el movimiento es en línea recta (es decir, el movimiento es rectilíneo y uniforme), el desplazamiento y la trayectoria coinciden, lo cual implica que el recorrido y la distancia son iguales.

m

IDEAS FUERZA

I. TIEMPO DE ENCUENTRO Ejemplo:

tencuentro

Si una distancia de 1800 m separa de dos móviles que en direcciones contrarias van al encuentro uno del otro , ¿en cuánto tiempo se encontrarán?

=

d V A + VB

talcance

=

d V A

−

VB

CRONOMETRÍA I. PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS QUE FORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO Análisis del recorrido de las agujas (horario y minutero). Veamos cuantos grados sexagesimales recorren las agujas cuando transcurre un tiempo determinado en minutos (a partir de las 4 en punto): UNCP REGULAR 2009 - II

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TEMA7 / RAZ. MATEMÁTICO

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Se observa que son las 4 y algunos minutos más, entonces: 4: – x min

(Ejemplo 1 hora <> 60') EH = 5Div → EH EM 60Div EM

=

1K 12K

II.CÁLCULO DEL ÁNGULO MEDIANTE FÓRMULA a) Cuando el horario adelanta el minutero α =

Ejemplo: ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 4:10?

SUGERENCIAS

m

30H − 11 m 2

Para dominar la relación de las manecillas debemos practicar con casos reales.

Resolución:

H=4 Grafique la posición de las agujas y el recorrido hecho por el horario en los siguientes casos:

M = 10 ⇒= α=

a) 7:30 α=

30(40) − 11 (10) 2

65°

b) Cuando el minutero adelanta el horario 30H + 11 m 2

α = −

Ejemplo: ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj, a las 4:40? Resolución:

H=4 M = 40 ⇒ α =

b) 9:40

¡Ahora Tu!

11 (40) − 30 (4) 2

110°

α=

12 11

H=

1

10

IDEAS FUERZA

2

9

3

8

m=

4

7 6

5

Se observa también una relación entre espacios recorridos y las manecillas en un momento determinado. TEMA 7 / RAZ. MATEMÁTICO

m

Las 12 h se consideran como las 0 horas.

m

Se puede reconocer cuando se utiliza la fórmula, dado que de las 3 variantes (a,H y m), 2 son datos y el restante es la incógnita.

m

Es positiva aquella manecilla que esta mas alejada de la marca de las 12 m en sentido horario ( ).

m

Para calcular la hora o el ángulo que forman las manecillas debemos tomar como punto de partida la hora exacta más próxima pero anterior a la hora indicada como dato.

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Problema 1

Problema 2

Se dispone de S/. 150 para comprar 60 artículos de S/. 2, S/. 5 y S/. 9 por unidad, comprándose por los menos uno de cada precio. ¿Cuántos artículos de S/. 2 se compraron?

Si una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y recibe el primer eco a los 3 s y el siguiente a los 3,6 s, ¿cuál es la separación entre las montañas?

Resolución:

Resolución:

Cuando la persona emite el grito, el sonido se desplaza a ambos lados, haciendo el viaje de ida y de vuelta en el mismo tiempo. También sabemos:

Nos piden "x" Del enunciado:

Vsonido

=

340 m/s

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Resolución:

Primero hallaremos a que hora sale del teatro, entonces tenemos:

x + y + z = 60 ....(1)  2x + 5y + 9z = 150...(2) (1)x2:...2x + 2y + 2z = 120 Restando:3y + 7z = 30....(3)

Aplicamos multiplicidad por 3: o

o

o

3 + ( 3+ 1 ) z =3;7z < 30 o

z = 3 ; z < 4,2 ⇒ z = 3 Reemplazando en (3): y = 3 y reemplazando en (1): x = 54 Respuesta: C) 54

Respuesta: A) 1122 m

o

Problema 3

Decimos que: 5y = 4° → y = 4°

Ana sale al teatro en la mañana, cuando las agujas se encuentran como indica el gráfico adjunto, si 30 minutos antes de salir escuchó timbrar el teléfono, ¿a qué hora ocurrió aquello? Hora:10:n´

1. En 2 habitaciones hay un total de 90 focos de los cuales hay un cierto número de focos prendidos. Luego se prenden tantos focos como el número de focos prendidos excede al de los apagados, resultando el número de focos prendidos el doble de los apagados. ¿Cuántos estaban prendidos inicialmente? A) 50 B) 55 C) 45 D) 60 E) 65

2. Una pieza rectangular de papel de 30 cm por 100 cm se agrandará para formar otro rectángulo de área igual al doble de la original, para ello, se añade una tira de igual ancho en todos los bordes. Hallar el ancho de la tira en metros. A) 10 B) 0,01 C) 0,1 D) 20 E) 0,2

Observación

Si tenemos: 4x +

=

{

4°

48

{

4°


Luego:

5

o

o

o

n 30 + 30 + 6n = 71 + 2 Desarrollando: n = 2 Ana salió al teatro a las 10:02 a. m. ∴ 10:02-30' ⇒ 9:32 a. m. Respuesta: D) 9:32 am

3. Un patio tiene forma rectangular, si tuviera 3 metros más de largo y 4 metros más de ancho sería 192 m2 más grande; si tuviera 4 metros menos de largo y 3 metros menos de ancho, sería 158 m2 más pequeños. Las dimensiones del patio son: A) 10 m y 20 m B) 30 m y 40 m C) 20 m y 30 m D) 10 m y 30 m E) 10 m y 40 m TEMA7 / RAZ. MATEMÁTICO

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4. S i la f ig ur a re pr e se nt a u n cuadrado, calcular su área.

A) 9 C) 1 E) 16

B) 4 D) 25

5. Mario podría ahorrar 20 soles diarios, pero cada día de la semana gasta o S/. 6 en el cine o S/. 5 en la cafetería. ¿A cabo de cuántos días habría logrado ahorrar 176 soles? A) 11 B) 10 C) 14 D) 12 E) 16 6. Se dispone de S/. 100 para comprar 36 productos que cuestan S/. 1, S/. 4 y S/. 12, comprándose por lo menos tres productos de cada precio. ¿Cuántos productos de S/. 4 compró? A) 3 B) 9 C) 10 D) 5 E) 8 7. Juana se dirige desde su casa a la academia, en bicicleta, empleando un tiempo de 30 minutos; para volver, aumenta su velocidad inicial en 4m/min, demorándose esta vez 6 minutos menos. ¿Cuál es la distancia que recorrió en total? A) 960 m B) 920 m C) 860 m D) 880 m E) 940 m 8. Viajando a 100 km/h un piloto llegaría a su destino a las 19 horas. Viajando a 150 km/h llegaría a las TEMA 7 / RAZ. MATEMÁTICO


17 horas. ¿Con qué velocidad debe viajar si desea llegar a las 18 horas? A) 125 km/h B) 120 km/h C) 130 km/h D) 135 km/h E) 132 km/h 9. A l ex y L u is a d i sc u te n acaloradamente en una de las esquinas de la avenida Arequipa, de pronto dan por terminada su relación partiendo en direcciones perpendiculares con velocidades de 16 y 12 m/s respectivamente. ¿Después de qué tiempo estos personajes estarán a una distancia de 90 m, lamentando su decisión? A) 4 s B) 5 s C) 6 s D) 4,5 s E) 7 s 10. Un tren tiene que recorrer 360 km en un tiempo determinado. En la mitad del trayecto tuvo que detenerse durante 1 hora y en el resto del recorrido aumentó su velocidad en 2 km/h. ¿Cuánto tiempo empleó el tren en el viaje? A) 30 h B) 20 h C) 25 h D) 24 h E) 28 h 11. Un camión emplea 8 seg en pasar delante de un observador y 38 seg en recorrer una estación de 120 m de longitud. Hallar la longitud del camión. A) 45 m B) 38 m C) 30 m D) 32 m E) 60 m 12. Un muchacho sale de un punto "A" en un bus a una velocidad de 36 km/h y llega a un punto "B"; él desea regresar caminando a una velocidad de 4 km/h (siguiendo el mismo camino). Se sabe que todo el recorrido duró 10 horas. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando? 6

A) 6 h C) 8 h E) 10 h

B) 7 h D) 9 h

13. Dos móviles están separados por una distancia de 756 m. Si parten al encuentro uno del otro, con rapidez constante de 12 y 3 m/s respectivamente. ¿Después de qué tiempo estarán separados por una distancia que es la media geométrica de los espacios recorridos por los móviles? A) 32 s B) 30 s C) 36 s D) 24 s E) 28 s 14. Un reloj da 7 campanadas en 20 segundos. ¿En cuántos segundos dará 13 campanadas? A) 40 B) 45 C) 35 D) 30 E) 32 15. Un reloj toca tantas campanadas en cada hora como la hora marca en ese instante. ¿Cuántas campanadas tocará en 3 días? A) 465 B) 463 C) 348 D) 460 E) 468 16. Ricardo nació en 1972 a las 06:00 h, de un día tal que los días transcurridos eran de los días que faltan transcurrir de ese año. ¿En qué día nació Ricardo, si el 1 de Enero de ese año fue Lunes? A) Lunes B) Miércoles C) Sábado D) Martes E) Jueves 17. ¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 04:38 h? A) 250º B) 88º C) 88,5º D) 271º E) 90º UNCP REGULAR 2009 - II


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18. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj forman un ángulo cuya medida es de 130º por segunda vez? A) 02h 5 2 8 min 11 B) 02 h 50 min C) 02h 49 3 min 11 D) 02 h 51 min

D) 2 : 2 1 2 min 7 E) 2 : 2 2 3 min 11 20. Un nuevo reloj tiene 16 divisiones horarias y el horario gira una sola vez en torno a su eje en un día, además por cada división horaria que avanza el horario, el minutero da una vuelta completa. ¿Qué ángulo formarán las manecillas de dicho reloj, si en un reloj normal son las 6:00 pm? A) 80º B) 120º C) 60º D) 100º E) 90º

A) 2 : 2 7 3 min 11 B) 2 : 2 3 7 min 11

E) 02h 47 3 min 10 19. ¿Qué hora indica el reloj mostrado en la figura?

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C) 2 : 2 7 2 min 11

ECUACIONES INDETERMINADAS

Ecuaciones Diofánticas

Método del tanteo

Principio de multiplicidad

Ecuación de la forma (AX + BY = C)

Ecuaciones de la forma (AX – BY = C)

Principio de Arquímedes

MÓVILES

CRONOMETRÍA

e

v

Ángulos que forman el minutero y el horario

t

e e=vxt

V =


t

Cálculo del ángulo mediante fórmula

e t=

V

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o

1. Expresar como múltiplo de 3 :

6. Convierte 15 m/s a km/h. _______________________________________

83 = _____________________ 7. Si un auto viaja a 40 km/h, ¿qué distancia recorrerá en 15 minutos? _______________________________________

25= _____________________

2. Resolver por tanteo: 4x + 7y = 26 8. ¿Qué significa que las agujas están elongadas? ________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 3. Resolver por multiplicidad: 4x + 7y = 41 ________________________________________ 9. Si el horario gira 10°, entonces el minutero gira: o _________________________________________ 4. Pasar todo a 3 : 8x + 3y = 52 ________________________________________ 10. ¿A qué hora el horario está a una marca del minutero? _________________________________________ _________________________________________

5. Convierte 72 km/h a m/s. _______________________________________

TEMA 7 / RAZ. MATEMÁTICO

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