RAZONA RA ZONA MIE MIE NTO MATEMÁTI MATEMÁTICO CO -TEMA 5
SERIES
EL IN INVENT VENTO O DEL DEL AJEDRE AJEDREZ Z
día y noche sin parar dedicaríamos a esta tarea 1170 millones de siglos. Series es un tema que está estrechamente relacionado con el tema de sucesiones. Esto significa que el estudiante, hasta aquí, debe haber aprendido, por ejemplo, cómo reconocer una sucesión polinomial de 1. er Orden, 2. o Orden, 3. er Orden, así también reconocer una progresión geométrica. Además de reconocer el tipo de sucesión, también debe saber hallar su respectivo término enésimo (t n) y el número de términos de la sucesión (en caso de ser ésta una sucesión finita).
El Rey de la india, en reconocimiento al ingenioso invento por Lahur Sessa, decidió darle una recompensa, para lo cual mandó llamar al inventor. El invento constaba de un tablero de 64 cuadrículas y 32 piezas, el inventor de dicho juego pidió que se le diese 1 grano por el 1. er casillero y por cada casillero siguiente el doble de la cantidad anterior, hasta terminar con con los 64 casilleros. casilleros. El Rey ordenó que se le entregue lo pedido por Lahur Sessa. Al cabo de un tiempo los calculistas del palacio comunicaron al rey que tal pedido era imposible. Para conseguir dicho volumen se afirma que la Tierra convertida de norte a sur en un sembrado con una cosecha por año, tardaría 450 siglos en producir semejante cantidad, y que si por simple pasatiempo, contaramos los granos de trigo del montón a razón de 5 granos por segundo, contando
I. SERIE NUM NUMÉRICA
Ejemplo: Ejemplo : Dada la siguiente sucesión de 20 términos, determine la suma de todos sus términos: 7, 10, 13, 16, ... , 61 , 64
Una serie numérica es la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Y a la suma de dichos términos se le llama el valor de la serie. Es decir:
Solución: Solución: Nos piden:
Si la sucesión es: t 1, t 2, t 3, t 4, ..., t n Entonces, la serie numérica respectiva es: t 1 + t 2 + t3 + t 4 + ... + t n Ejemplo : Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25 Serie: 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55
↑ Suma (Valor de la serie)
Observación
Se observa que la suma de cada pareja de términos que equidistan de los extremos nos da una suma constante. constante. Luego, como hay 20 sumandos, entonces tendremos 10 parejas y cada una suma 71. ∴ S = (71)(10) = 710
A. Serie aritmética aritmética
La serie aritmética se origina a partir de la adición de los términos de una progresión aritmética. UNCP REGULAR 2009 - II
1
TEMA 5 / RAZ. MATEMÁTICO
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Exigimos más!
SERIES
t 1: primer término q: razón n: número de términos donde: q ≠ 1; q ≠ 0
SUGERENCIAS
m
Si una serie art imé ti ca tiene un número impar de té rminos (n: impar ) entonces la suma se calcula multiplicando el té rmino central ( t ) c por el número de té rminos(n) .
Ejemplo: Calcular la suma de los 12 primeros términos de la siguiente serie: 3 + 6 + 12+ 24 + ...
si n es
impar
Solución: t1 = 3 q=2 n = 12
S = 3 + 6 + 12 + 24 + ...
En general en toda serie aritmética:
x2
n t1 + t2 + t3 + ... + tn = (t1 + t) n . 2 +r +r
Reemplazamos: 12 ⇒ S = 3.(2 − 1) ⇒ S=12285 2 −1
t 1: primer término t n: último término n: número de términos
C. Serie geométrica decreciente de infinitos términos
Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie de 25 términos: 19 + 23 + 27 + 31 + ...
El valor de esta serie, conocida como suma límite, se calcula así:
Solución: Tenemos t 1 = 59; n = 25 y nos falta el último término, t 25.
t1 + t 2 + t3 + ... =
+4
1- q
suma límite
+4
t n = 4n + 15
⇒ t 25 = 4(25) + 15 = 115
t1
xq xq
19 , 23 , 22 , 31 , ... +4
x2
t 1: primer término q: razón donde: 0 < q < 1
... tn = rn + a0
Luego, reemplazamos: Ejemplo: Hallar el valor de la siguiente serie infinita:
∴ S = (19 + 115).25 = 1675 2
36 + 12 + 4 + 4 + ... 3
Ejemplo: Hallar la suma de una serie aritmética de 13 términos donde su término central es 30.
Solución: S = 36 + 12 + 4 + 4 + ... 3
Solución: Como la serie tiene 13 términos (n es impar):
x
⇒ S = tc . n S = 30.13 = 390
x
1 3
x
1 3
Reemplazamos:
B. Serie geométrica finita
⇒ S = 36 = 54 1− 1
La serie geométrica se origina a partir de la adición de los términos de una progresión geométrica (P.G.) y la suma se calcula así:
3
II. SERIESY SUMASNOTABLES
t .(qn - 1) t1 + t2 + t 3 + ... + tn = 1 q- 1 xq xq TEMA 5 / RAZ. MATEMÁTICO
1 3
t1 = 36 1 q = 3
n(n + 1) 1) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = 2
2) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1) 2
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SERIES
Solución:
3) 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n-1) = n2
Primerohallamostn:
4) 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n + 1)(2n + 1) 6 2
2
2
2
2
n(n + 1) 5) 13 + 23 + 33 + 4 3 + ... + n3 = 2
4, 11, 22, 37, 56, ...
2
7 11 15 19
n(n + 1)(n + 2) 6) 1x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ... + n(n + 1) = 3
4
4
4
7) 1x2x3+2x3x4+3x4x5+4x5x6+...+n(n+1)(n+2) a=
4 2
(2° orden)
= 2 ; b = 7 - 2 = 5; c = 4
⇒ t n = 2n 2 + 5n + 4
SUGERENCIAS
m
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Una vez que conocemos tn, la suma de los n primeros términos (Sn), se calcula directamente, así:
En algunos casos, se presentan series notablesincompletas, como por ejemplo: 2 2 2 2 11 + 12 + 13 + ...+ 20
En este caso lo que se hace es "completar" lo que falta desde 1 2 hasta 10 2 y luego"r estar" lo que se completó. A sí :
2
tn = 2n + 5n + 4
2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 + 2 + ...+ 10 + 11 + ...+ 20 ) - ( 1 + 2 + ...+ 10 )
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 4 1 + 1 + 1 + ... + 1 = n 8) 1x2 2x3 3x4 n(n + 1) n + 1
Sn
=
2.
n(n + 1)(2n + 1) 6
+
5.
n(n + 1) 2
+
4(n)
Para los 20 primeros (n = 20), la suma es: S 20
IDEAS FUERZA
= 2. 20(21)(41) + 5. 20(21) + 4(20) 6 2
S20 = 2(2870) + 5(210) + 4(20) = 6870 m
La serie numé rica: t 1 + t 2 + t 3 + ...+ t n ,espolinomial si secumple que:
III.SUMATORIAS Sea la serie: S = t 1 + t2 + t3 + ... + t n
t n = poli nomio
Si queremos representar la serie numérica en forma abreviada, usaremos el operador matemático sumatoria ( ∑ ).
Observación
En todos los casos n es el número de términos.
Así: S = t 1 + t2 + t3 + ... + t n
SUGERENCIAS
m
S
Para sumar en una serie polinomial, primero se tiene que calcular su té rmino ené simo, y luego a partir de este secalcula directamente la suma.
SUGERENCIAS
Una serie se dice que es polinomial cuando su término enésimo (t n) tiene la forma de un polinomio.
m
er
t n = an + b ...
(1. orden)
t n = an 2 + bn + c ...
(2. o orden)
t n = an 3 + bn2 + cn + d ... (3.er orden) Ejemplo : Calcular la suma de los 20 primeros términos de: 11 + 22 + 37 + 56 + ... UNCP REGULAR 2009 - II
k =1
Se lee: "Sumatoria de los términos de la forma t k , desde k = 1 hasta k = n".
A. Suma de términos de una serie polinomial
Si:
n
= ∑ tk
3
El operador sumatoria es un sí mbolo que es de uso simple. Ten en cuenta que hay un pará metr o "k" que toma un valor inicial (entero) y que se reemplaza en los té rminos "t k "en forma consecuti va para obtener todos los sumandos. En algunos casos hay un valor final ( seri es finit as) y en otr osno (seri es infinitas).
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SERIES
Ejemplo: Desarrollar las siguientes sumatorias: a) S =
b
(c.t) k = c.
3. k=a
4
∑ (k 2 + 1)
tk
k=a
Donde: c es constante.
k =1
b
S = (1 2 + 1) + (22 + 1) + (32 + 1) + (42 + 1)
b
4.
b
(tk + P k ) =
tk + k=a
k=a
12
b) A =
b
Pk k=a
∑ (2n + 5)
n =8
n=8
n= 9
n =10
n =11
n=12
5.
A= (21) + (23) + (25) + (27) + (29)
b
m
b
k =a
k= a
k =m +1
∑ tk = ∑ tk + ∑
tk
Donde: a < m < b A. Propiedades
1. Cantidad de términos
SUGERENCIAS
b
∑ tk = ta + ta+1 + t a+2 + ... + tb
k =a
∑
k= a
En algunas series especiales, se tiene sumandos que tienen forma de fr acción, y en cuyos denominadores aparecen dos números que semultiplican.
m
Lo que se hace esdescomponer cada té rmino como suma o diferencia de fracciones unitarias. Asípor ejemplo:
(b - a + 1) términos
2. Sumatoria de una constante b
m
14444244443
c = (n − a + 1).c
Donde: c es constante (no depende de k)
Problema 1 La suma de los 20 términos de una P.A. creciente es 650. Si el producto de los términos extremos es 244, hallar la razón. A) 3 B) 5 C) 4 D) 6 E) 7
B)
t1 + t20 20 = 650 ⇒ t + t = 65 ...(1) 2 1 20 además: t1 x t20 = 244 ...(2)
C)
Resolviendo (1) y (2):
D)
R e s p u e s t a : A) 3
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8 1 1 = + 3x5 3 5
"n" cifras
Dado: t 1 + t2 + ... + t 20 = 650 Es decir:
⇒ 61=4+19r ∴ r = 3
11 1 1 = + 4x7 4 7
E = 11 + 101 +1001 + 10001 + ... +1000...01 1 4 2 4 3
10n +1
E)
+1) E=(10+1)+(100+1)+(1000+1)+...+ (100...00 1 4 2 4 3 "n" cifras Reagrupando y sumando las unidades nos queda:
− 9n + 10
1
+ 9n + 10
10
E = 10 10n − 1 + n 9
(
+ 9n − 10 9
n +1
10
n
Aplicando en la serie geométrica:
9 n
3
Suma de todas las unidades
10 + 9n + 10 9 10n
2
E=10 +10 +1 0 + .. . +1 0 +n
9
Resolución :
como t 20=t 1+19r t 20 = 61
2 1 1 = 3x5 3 5
Problema 2 Calcular el valor de E en la siguiente expresión:
A)
t1 = 4
3 1 1 = 4x7 4 7
+ 9n − 10 9
: Resolución Reescribiendo convenientemente tendremos: 4
)
n − +n E = 10 10 1 10 1 − n+1 + 9 n - 1 0 R e s p u e s t a : E) 10 9
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SERIES
Problema 3 Un obrero ha abonado este mes 178 soles y tiene con esto S/. 1410 en la caja de ahorros, h abiendo economizado cada mes S/. 12 más que el mes anterior. ¿Cuánto ahorró el primer mes? A) 13 B) 10 C) 14 D) 16 E) 17
1. Hallar el valor de la siguiente serie: S = 4 + 7 + 1 0 + 13 + ..... + 67 A) 500 C) 640 E) 781
B) 650 D) 600
2. Si : 3 + 5 + 7 +9 +... = abcd 144 42444 3
Resolución : er
do
Resolviendo: n = 15
er er
∴ El 1.er mes ahorró: 190 – 12 (15) = 10
178 + (190 − 12n) .n = 1410 2
6. Los números x, x + 4, x + 16, son los tres primeros términos consecutivos de una progresión geométrica. Hallar la suma de sus 10 primeros términos. A) 59049 B) 5904 8 C) 56048 D) 57046 E) 59047
40 sumandos
Calcular "a + b + c" A) 11 B) 18 C) 15 D) 19 E) 12 3. Calcular el valor de "n" si se cumple que: "n" términos
644 47444 8
1 + 3 + 5 + 7 + ... = 40 + 7 + 10 + 13 + ... 7n 4 144424443 "n" términos
A) 8 C) 12 E) 11
B) 10 D) 9
7.
Los tres primeros términos de una progresión geométrica son: x + 1, x + 4, x + 10. Hallar la suma de los 15 primeros términos. A) 3(2 15-1) B) 2(215-1) C) 5(2 15-1) D) 3 (216-1) E) 3(214-1)
8. La suma de 20 números enteros consecutivos es 430. ¿Cuál es la suma de los 20 siguientes? A) 430 B) 800 C) 860 D) 680 E) 830 9 . Halle:
4. Calcular el valor de la serie: R = 5 + 10 + 20 + ... + 15120 A) 2048
B) 10235
C) 2047
D) 5135
S = 27 + 27 + 27 + 27 + ... 2 4 8 A) 27 B) 36 C) 62 D) 54 E) 56
E ) 518 5 5. El quinto término en una sucesión lineal es 23 y el décimo tercero es 55. Hallar la suma de los 20 primeros términos. A) 900 C) 890 E) 920
B) 910 D) 880
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R e s p u e s t a : B) 10
11. Calcular: 1 S = 1 + 1 + 1 + ... + 5x10 10x15 15x20 100x105 A) 4/105 B) 5/104 C) 3/109 D) 3/110 E) 4/106
12. Hallar el valor de la siguiente serie: E=1x3+2x 4+3x5+4x 6+ ... + 20 x 22 A) 1595 B) 2950 C) 2490 D) 2320 E) 3290 13. Dada: Sn = 1 + 2 + 3 + … + (n + 1) Hallar: S = S 1 + S2 + S3 + … + S30 A) 2680 B) 5310 C) 5480 D) 5430 E) 5455 14. Hallar el resultado de efectuar la serie: S = 5+6+7+9+9+12+11+15+… Sabiendo que tiene 100 sumandos. A) 6675 B) 6645 C) 6895 D) 6915 E) 6924
10.Una pel ota se suelta desde una 15.Calcular"M": alturade17m.Siencadarebote alcanzaunaalturaigualalos2/3 1 2 3 4 + + + ... M= + de la altura anterior. Calcularla 5 52 5 3 5 4 distancia total recorrida por la 5 16 4 pel otahastadetenerse. A) B) C) 4 4 5 A)80 B)84 C)120 D)81 3 5 D) E) E)85 16 16 5
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16. Hallar el valor de:
SERIES
Calcular: S = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(49) A) 134 560 B) 164 150 C) 136 420 D) 230 400 E ) 14 3 2 50
C) 3300 D) 3080
20
∑ k 3
E) 3100
k =6
A) 4 38 57 B) 43900 C) 43895 D) 44100 E) 43875
18. Determina el valor de: 18
k =1
A) B) C) D) E)
17. Calcule el valor de: 20
∑ k(k + 1)
k =1
A) 3 05 0 B) 1540
27285 26170 28140 27150 27385
10
20. Calcula: A) B) C) D) E)
19. Dada: "x" sumandos
644474448
f(x) = 102 + 104 + 106 + ...
∑ (2k − 4k + 3)
k =1
2046 2200 1856 1023 480
2 7. Calcular:11 + 122 + 132 + ... + 20 2
1. Sumar los 20 primeros términos: S = 7 + 10 + 13 + 16 + ...
___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ 2. Sumar: S = 64 + 48 + 36 + 27 + ...
8. Sumar: S =
20
∑ (4k + 1)
k =1
___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ 3. En una serie geométrica finita la suma se calcula así:
___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___
9. Si en una serie polinomial de 2° orden su término enésimo es: t n = 2n 2 - 3n + 5. Calcular la suma de los 20 primeros términos.
4. Sumar: S = 1 + 1 + 1 + ... + 1 4x7 7x10 10x13 19x22
___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___
10. Sumar todos los números.
5. Si se suelta una pelota desde una altura de 30 m y en cada rebote alcanza una altura igual a 2/5 de la altura anterior. Hallar el recorrido total de la pelota hasta que se detiene.
1
2
3
2
3
4
3
4
4
___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ 6. Calcular: 1 + 3 + 5 + 7 + ...+ 49
4
20 20 20
20
20
___ ___ ___ ___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___
___ ______ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ______ ___ ___
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4
∑ kk +−11
6
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