Razonamiento matemático 2-1 planteo de ecuaciones I definicion
Uno de los motivos mas interesante de las matemáticas, consiste en el arte de interpretar (traducir) un problema en el lenguaje literal a una lenguaje matemático, con ayuda de símbolos, variables y operaciones fundamentales Lenguaje Escrito
)
(Palabras
Traducir
Lenguaje Matemático (Forma simbólica)
Pasos para la solución de problemas En todo PROBLEMA podemos distinguir
los
siguientes pasos para su solución. Leer cuidadosamente cuidadosamente el texto del problema hasta comprender de que se trata Ubica los datos y la pregunta Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va ha trabajar Relacionar los datos con las variables para plantear una o mas ecuaciones que al resolver nos den la solución del problema Verificación de los resultados obtenidos. palabra Significado matematico De, del, de los, añadido Producto (multiplicar) Aumentado, agregado, suma añadido Es, será, tiene, tendrá, igualdad se obtiene, nos da, sea Es a, como, entre, por cociente Mayor, excede a Distancia entre dos cantidades Menor, excedido Numero es menos que otro Su, sus Repetir una misma cantidad
Veamos algunos ejemplos de enunciados y consignamos para cada uno su respectiva expresión matemática: Lenguaje castellano Lenguaje matematico Un numero X-7 disminuido en 7 El triple de un 3X+6 numero aumentado en 6
La suma de los tres números concecutivos *A excede a B en 4 * el exceso de A sobre B es 4 *A es 4 unidades mas que B *B es excedido por A en 4 A es excedido por B en 4
X+(x+1)+(x+2) X+(x+1)+(x+2) ó (x+1)+(x+2)+(x+3)
A-B=4
B-A=4
PROBLEMAS RESUELTOS
1.-Tengo $. 185 en moneda de 10 y 5 centavos. Si en total tengo 22 monedas, ¿Cuántas son de 10 centavos y cuántas de 5 centavos? Solución :
Monedas de $5 .....x Monedas de $10 .....22 – x Luego 5(x) + 10( 22 x ) = 185 5x + 220 - 10x = 185 x = 7 Monedas de $5 .......................7 Monedas de $10 .......22 - 7 = 15 –
2.- Tenía $. 85. gaste cierta suma y lo que me queda es el cuádruple de lo que gaste. ¿Cuánto gaste?. Solución :
Gasté...............................x Me queda ................85 x –
Luego: 85 x = 4 x –
x = 17.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Halla el mayor de tres números consecutivos, tales que el duplo del menor más el triple del mediano más el cuádruple del mayor equivalga a 740. a) 78 b) 28
c) 83 d) 82
e) 25
2. Halla 2 números cuya diferencia es 18 y cuya suma es el triple de su diferencia. a) 24;12 d) 14;28
b) 36;18 e) 42;21
c) 54;27
3. Halla el triple de un número que aumentando en sus 5/6 equivale a su triple disminuido en 7. a) 26
b) 18 c) 30 d) 24
e) 12
4. Después de vender los 3/5 de una pieza de tela quedan 40 metros. ¿Cuál era la longitud de la pieza? a) 260 d) 240
b) 280 e) 100
c) 300
5. Halla el número cuyos 7/8 excedan a sus 4/5 en 3. a) 120
b) 80 c) 40 d) 20
e) 124
6. Halla dos números consecutivos tales que los 4/5 del mayor equivalgan al menor disminuido en 4. a) 24;25 d) 23;24
b) 28;29 e) 25; 26
c) 30;31
7. La suma de dos números es 59, si el mayor se divide entre el menor el cociente es 2 y el residuo 5. Halla los números. a) 26 – 33 b) 18 – 41 d) 43 – 16 e) N.A.
c) 42 – 17
tarea para la casa
8. La suma de dos números es 436, y si el mayor se divide entre el menor, el cociente es 2 y el residuo 73. Halla los números. a) 315 – 121 c) 200 – 236 e) n.a.
b) 128 – 308 d) 120 –316
9. En tres días un hombre ganó $175. Si cada día gano la mitad de lo que ganó el día anterior, ¿ Cuánto ganó cada día?
a) 100 – 50 - 25 c) 100 –40 - 35 e) n.a.
b) 80 – 60 – 35 d)120 –60 30
10. Después de gastar la mitad de lo que tenía y de prestar la mitad de lo que me quedó, tengo 21 soles. ¿Cuánto tenía al comienzo? a) 46
b) 84 c) 62 d) 78
e) 65
11. Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los ¾ del resto son gallinas y las cuatro aves restantes gallos. ¿Cuántos aves hay en la granja? a) 26
b) 28 c) 80 d) 44
e) 25
12. Cinco veces, un número disminuido en uno, más tres; equivale a cuatro veces, el mismo número aumentado en seis, menos siete. Halla el triple, del número disminuido en ocho. a) 33
b) 19 c) 39 d) 29
e) N.A.
13. El quíntuplo de un número, disminuido en uno; representa al cuádruple de ese número, aumentado en siete. Halla ese número aumentado en dos. a) 12
b) 9
c) 10
d) 11 e) N.A.
14. Halla un número sabiendo que el cuádruple de ese número, disminuido en nueve, equivale al doble de ese mismo número, más quince. a) 8 b) 10 c) 12 d) 11 E) N.A. 15.-Un hacendado compró 35 caballos. Si hubiera comprado 5 caballos más por el mismo precio, cada caballo le hubiera costado $. 10 menos. ¿Cuánto le costo cada caballo? a) 60 d) 40
b) 80 e) 50
c) 30
16.- El exceso del triple de un número sobre 55 equivale al exceso de 233 sobre el número. Halla el número. a) 62 b) 28 c) 30 d) 72 e) 25
Razonamiento matemático 2-2 Planteo de ecuaciones II El triple de un numero o su equivalentes. 3 veces un numero ó 2 veces mas que un numero El cuádruple, de lo tengo disminuido en 5 El cuádruple de lo que tengo , disminuido en 5 A es 2 veces B ó A es el doble de B ó B es la mitad de A 5 menos 3 veces un numero 5 menos de 3 veces un numero El producto de 3 números consecutivos El cuadrado de un numero aumentado en 3 Cuadrado, de un numero incrementado en 3 La suma de los cuadrados de 2 numeros
Enunciado verbal Lenguaje simbolico El triple de un numero, aumentado en siete veces el numero
3X
A 36 le quitas “2X” y
4(x-5) 4x-5 A=2B Ó A=2X B=X 5-3X 3X-5 X(X+1)(X+2) ó (X-1)X(X+1)
2 + 3 (+3)2
2 + 2
y nos da la tercera de 12 El doble de su edad dentro de tres años es 20 La altura de un edificio mas su cuarta parte es 250m La edad de rosa hace 5 años, menos su edad hace 12 Los 2/3 del numero de hojas de un libro, agregado en 18 nos da 58 70 se fracciona en tres partes tal que cada uno es el doble de la anterior 60 se divide en dos partes, tal que una es 12 más que la otra Un numero es 30 mas que otro y su suma es 120
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar dos números enteros consecutivos cuya suma es 103. a) 48 y 49 b) 50 y 51 c) 51 y 52 d) 52 y 53 e) 63 y 64 2. La suma de tres números es 200. El mayor excede al medio en 32 y al menor en 65. Hallar el termino intermedio a) 69 b) 67 c) 60 d) 62 e) 65
3. Tres cestos contiene 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? a) 190 b) 188 c) 176 d)197 e) 181 4. Hallar dos números consecutivos, si sabemos que los 5/6 del menor al ser sumados con los 7/9 del mayor, nos da 33 de resultado. Dar el menor de ellos a) 19 b) 21 c) 24 d) 26 e) 20 5. Se tiene tres números consecutivos. Si dividimos al menor entre 17, el intermedio entre 7, y el mayor entre 9, observamos que la suma de los dos primeros cocientes excede en 3 al tercer cociente que obtuvimos. ¿ cual es el menor de los consecutivos? a) 34 b) 32 c) 37 d) 35 e) 38 6. Debo pagar 2050 soles con 28 billetes de $50 y $ 100. ¿ cuantos billetes de $ 100 debo emplear? a) 15 b) 17 c) 13 d) 14 e) 18 7. El doble de un numero excede al triple de otro en 4. Si la suma de ambos es el triple del menor. ¿Cuál es el mayor numero? a) 4 b) 20 c) 10 d) 12 e) 8
tarea para la casa
9. Tengo 120 nuevos soles y gasto 2/3 de lo que no gasto. Si hubiese gastado 5/7 de lo que no gastaría. ¿Cuánto más hubiese gastado? a) 6 b) 3 c) 2 d) 9 e) 7 10. En una granja hay 30 animales, entre gallinas y conejos. Si se conto 74 patas en total. ¿Cuántas mas son las gallinas respecto al numero de conejos? a) 7 b) 13 c) 16 d) 17 e) 12 11. Hallar un numero que excede a 23, en tanto como es excedido por 39 a) 30 b) 31 c) 32 d) 29 e) 28 12. Si subo una escalera de 2 en 2, doy 6 pasos más que subiendo de 3 en 3.¿cuantos escalones tiene la escalera? a) 24 b) 12 c) 36 d) 48 e) 6 13. En el examen de admisión de la UNI, el numero de preguntas es 140, la calificación es de 4 puntos por respuesta correcta y me descuentan 1 por cada incorrecta, si obtuve 260puntos y respondi todas las preguntas ¿Cuántas no acerté? a) 40 b) 60 c) 80 d) 160 e) 2 14. En una iglesia asisten 399personas entre hombres, mujeres y niños. Si el numero de hombres es el quíntuplo del numero de mujeres, y el de mujeres es el triple que el de los niños. ¿Cuántas mujeres hay? a) 21 b) 63 c) 315 d) 84 e) 42 15. Hallar un numero, donde la suma de su mitad, cuarta parte y octava parte, resulta dicho numero disminuido en una unidad. a) 7 b) 8 c) 9 d) 16 e) 14
tarea para la casa Recuerda:
8. Un sapo recorrio 20m dando 4 saltos; en caa salto avanzo 2m menos que en el salto anterior. ¿Cuántos metros avanzo en el tercer salto? a) 8m b) 6 c) 4 d) 2 e) 10
LA MATEMÁTICA ES EL MARAVILLOSO INSTRUMENTO CREADO POR EL GENIO DEL HOMBRE PARA EL DESCUBRIMIENTO DE LA VERDAD ……………………
Razonamiento matemático 2-3 Cuatro operaciones
Adición
√
dado 2 cantidades (sumandos ), la operación adición consiste en reunir dichas cantidades en una sola llamada suma, la cual tiene tantas unidades como todos los sumandos juntos.
→
( )
método de falsa suposición
A
a
Sustracción
Es una operación inversa a la adición, tal que dados dos números llamados minuendo y sustraendo, la operación sustracción hace corresponder un tercer numero llamado diferencia, tal que sumando con el sustraendo decomo resultado el minuendo Es decir M-S=D
y A+B
M=D+S M+S+D=2M
Multiplicación
Es una operación directa que consiste en lo siguiente: dado dos números A y B multiplicando y multiplicador respectivamente se halla un tercer numero P llamado producto el cual se compone tantas veces el multiplicando como veces indica el multiplicador Es decir P=A+A+A+….+A+A P=AXB División
B
Es una operación inversa a la multiplicación que consiste en que dados dos números enteros llamados dividendo y divisor se obtiene un tercer numero llamado cociente que nos indica el numero de veces que contiene el dividendo al divisor D=dq+r Métodos de solución Método del cangrejo
En problemas donde se opera sucesivamente una cantidad hasta transformarlo en una cantidad final. La solución comienza a partir de la cantidad final va en retroceso aplicando operaciones inversas + → + → x → ÷ X ÷ → ( ) →
√
B
b
Ejercicios propuestos 1. – En una oficina de arquitectura se cuentan 21 muebles y 75 patas, entre sillas y trípodes. ¿Cuántos trípodes hay? A) 10 B) 12 C) 11 D) 9 E) 8 2. – Un veterinario especialista en perros y aves, cuenta entre sus pacientes 63 cabezas y 182 patas. ¿Cuántas aves hay ?
A) 30 B) 35 C) 29 D) 28 E) 3 3. – Un padre desea incentivar a su hijo y le propone darle S/.50 por examen aprobado y que el tendrá que devolver S/.30 por cada examen desaprobado. Después de 15 exámenes , el hijo cuenta con S/.270 ¿Cuántos exámenes desaprobó ? A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 8 4. – Doña blanca cría 23 animales entre gatos y gallinas. Un día cuenta 76 patas ¿ cuantas gallinas tiene? A) 9 B) 5 C) 10 D) 8 E) 12 5. – Un empresario dispone de 122 billetes, algunos de S/.10 y otros de S/.50, para pagar una planilla de S/. 3500 ¿Cuántos billetes son de S/.50? A) 55 B) 6 C) 59 D) 60 E) 57
6. – Un examen de lógico matemática consta de 20 preguntas. La calificación es de 5 puntos por cada respuesta correcta y – 1 por cada respuesta equivocada. Un alumno respondió todas las preguntas y ha obtenido 58 puntos ¿En cuantas preguntas se equivoco? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 7. – En un examen de admisión de 120 preguntas, cada respuesta correcta vale 2 puntos y por cada incorrecta se quita medio punto. Un postulante respondió todas las preguntas obteniendo 80 puntos. ¿Cuántas preguntas respondió mal? A) 64 B) 56 C) 46 D) 30 E) 36 8. – Una caja fuerte contiene S/.680000 en billetes de S/.100 y S/.200. Si en total hay 3800 billetes, ¿Cuántos son de S/.100? A) 700 B) 750 C) 780 D) 800 E) 850 9. – A un circo asistieron 500 personas entre adultos y niños. Cada adulto pago S/.1 5 y cada niño S/.10, recaudándose S/.5900. ¿En cuanto excedió el numero de niños al de adultos?
A)120
B) 130
C) 110
D) 140
10. – Si después tengo que agregarle S/.28 a la cantidad de dinero que tengo, lo quintuplico, para luego quitarle S/.15; y si al resultado final le sumo S/.125 para extraerle la raíz cuadrada, obtengo 25. ¿Cuanto tuve al inicio A) 70 B) 75 C) 72 D) 80 E) 84
Tarea para la casa 11. – Pablo multiplica su edad por 4, al producto le resta 2 y a la diferencia la divide entre 5, al cociente le agrega 35 y le extrae la raíz cuadrada al resultado obteniendo 7. ¿Cuántos años tiene pablo? A) 16 B) 15 C) 19 D) 18 E) 14
12. – Un tanque se vacía en 3 horas y cada hora vacía la mitad mas 2 litros de lo que había en la hora anterior. ¿Cuántos litros contenía el tanque? A) 30 B) 28 C) 32 D) 29 E) 34 13. – A un comerciante le falta S/.100 para comprar 20 calculadoras iguales, pero si compra 15 calculadoras le sobra S/.50. ¿Cuánto cuesta una calculadora y cuanto dinero tiene ? A) S/.28 y S/.500 B) S/.25 y S/.500 D) S/.30 y S/.600 E) S/.30 y S/.550
14. – Los trabajadores de una empresa deciden comprar un regalo para su jefe. Si cada uno aporta S/.8 faltaría S/.28, y si cada uno aporta S/.11 sobraría S/.29. ¿Cuántos trabajadores son y cuanto cuesta el regalo ? A) 18 y S/.85 B) 18 y S/.190 D) 8 y S/.84 E) 8 y S/.86 15. – Si un padrino desea dar S/.10 a cada ahijado, le sobra S/.5, pero si da S/.12 a cada uno de ellos le faltaría S/.11. ¿Cuántos ahijados son y cuanto dinero tenia el padrino? A) 7 y S/.85 B) 8 y S/.85 D) 8 y S/.84 E) 8 y S/.86 16. – Un padre va con sus hijos al estadio y reflexiona: “Si compro entradas de S/.25 me faltaría para 2 hijos y si compro entradas de S/.12 , entramos todos y me sobra S/.28. ¿Cuántos hijos son y cuanto dinero tiene el padre?” A) 5 hijos, S/.100 B) 6 hijos, S/.120 D) 7 hijos, S/.140 E) 4 hijos, S/.84
C) 9 y S/.85
C)9 y S/.85
C) 5 hijos, S/.120
17. – Calcular un numero que multiplicado por 5 y disminuido en 3, de cómo resultado otro numero que al dividirlo entre 6 y restarle 6, se obtenga 16. E) 100 A) 24 B) 30 C) 36 D) 28 E) 27 18. – Hace varios años Betty le llevaba 11 años a Pepe. Actualmente sus edades suman 37 años. ¿Cuántos años tiene Pepe? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 19. – En un día del mes de julio ocurrió que los días transcurridos exceden en 3 a los q ue faltan transcurrir. ¿En que fecha ocurrió esto A)15 de julio B) 17 de julio D) 16 de julio E) 28 de julio 20. – Una lavandería cobra lo mismo por lavar 3 frazadas o 5 colchas, 4 colchas o 6 sabanas; si por 7 sabanas cobra S/.91, ¿Cuánto cobra por lavar una frazada? A) S/.32,50 B) S/.30 C) S/.45 D) S/.15 E) S/.20
C) S/.0 y S/.500
C) 19 de ju
Razonamiento matemático 2-4 Cuatro operaciones II
1. Lila compra globos a 4 soles la
docena. Si vende cada globo a un sol, ¿Cuántos globos debe vender para ganar 800soles? a) 1200 d) 400
b) 800
c) 13
e) 500
c) 300
d) 14 e) 15 3. Un deposito contiene 200 litros de leche y otro, 450. ¿Cuántos litros debo pasar del segundo al primero para que al final tengan la misma cantidad de leche? a) 120 b) 80 c) 115 d) 125 e) 500 4. ¿Cuántas monedas de $ 2 debo de entregar para pagar una deuda de $ 29 si tengo 10 monedas de $ 5 y $ 2? a) 3 b) 6 c) 4 d) 14 e) 7 5. En una granja se observa 23 cabezas y 58 patas, entre patos y patas y vacas ¿Cuántas son las vacas? a) 3 b) 6 c) 17 d) 20 e) 25 6. En un grupo de conejos y gallinas el numero de patas es 14 mas 2 veces el numero de cabezas, entonces el numero de conejos es: a) 5 b)6 c) 7 d) 8 e) 9 7. La edad de magdalena se quintuplica, al resultado se le aumenta 60, para luego dividirlo entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada para finalmente, restarle 4 obteniendo 2 años. ¿Cuál es la edad de magdalena? a) 12 b) 80 c) 30 d) 60 e) 50 8. Habiendo perdido un jugador la mitad de su dinero, volvió al juego y perdió la mitad de lo que le quedaba, repitió los mismo por tercera y cuarta vez, hasta que le quedo solo 8 soles. ¿Cuánto dinero perdió? a) 80 b) 150 c) 64 d) 120 e) 128 9. Roger compro cierta cantidad de caramelos; 1/3 de ellos le regalo a laura, los 2/5 del resto le regalo a marta y 1/4 de lo que quedaba le ragaló a Silvia, quedándose únicamente con 3 caramelos. ¿Cuántos caramelos compro roger? a) 5 b) 60 c) 20 d) 10 e) 15 10. Compre 7 libros y me sobro 11 soles, pero si quisiera comprar 10 libros me falta 13 soles ¿Cuál es el costo de cada libro? a) 7 b) 8 c) 5
tarea para la casa
2. Brandy gana 60 soles al dia y lucy 80 soles. ¿Cuántos días deben transcurrir para que juntos hayan ganado 1540 soles? a) 12dias b) 11 d) 11 e) 13 11. Lewis quiso dar limosna a un grupo de de ancianos, si les daba $ 5 a cada uno le faltaría $ 30. Si les daba $ 3 a cada uno le sobraría $ 70 ¿con cuanto de dinero contaba esa persona? a) 210 b) 200 c) 220 d) 230 e) 20 12. Tengo 3 cajas rojas con 4 cajas verdes cada una, además que en cada una de las verdes contiene 5 amarillas con 6 cajas azules dentro de cada una. ¿Cuántas cajas tengo yo? a) 18 b) 360 c) 361 d) 435 e) 432 13. En una reunión bailable asistieron 120 personas, si todos bailan a excepción de 26 mujeres ¿Cuántas mujeres hay en total? a) 26 b) 37 c) 83 d) 91 e) 73 14. En un simulacro de admisión el numero de preguntas es 140, la calificación es de 4 puntos por respuesta correcta y me descuentan 1 punto por cada incorrecta, si obtuve 260 puntos y respondi todas las preguntas ¿Cuántas no acerté? a) 40 b) 60 c) 80 d) 160 e) 2 15. La edad de luis se quintuplica, al resultado se le suma 60, para luego dividirlo entre 10, al cociente se le extrae la raíz cuadrada, para finalmente restarle 4, obteniendo 2 años. ¿Cuál es la edad de luis? a) 50 b) 60 c) 300 d) 80 e) 6 16. Dos secretarias tienen que escribir 600cartas cada una. La primera escribe 15 cartas por hora y la segunda 13 cartas por hora. Cuando la primera haya terminado su tarea, ¿Cuántas cartas le faltaran escribir a la segunda ? a) 20 b) 80 c) 60 d) 40 e) 50 17. Cada dia un empleado, para ir de su casa a su oficina, gasta 2 soles y de regreso 4 soles, si ya gasto 92 soles ¿Dónde se encuentra el empleado? a) en la oficina b) en la casa c) a mitad de camino a la casa d) a mitad de camino a la oficina
