TOPOGRAFIA A
Prof. Álvaro Francato Prof. José Liberato Bozza
Curso Engenharia Civil
REVISÃO Geometria e Trigonometria: Tópicos de Interesse à Topografia
REVISÃO Geometria e Trigonometria: Tópicos de Interesse à Topografia
Medição de ângulos Medição Sexagesimal Dividindo-se a rotação completa de uma circunferência em 360 partes iguais, teremos 360 ângulos iguais, cada um deles denominado um grau e denotado 1°. Cada grau e dividido em 60 minutos (60’) (60’).. Cada minuto é dividido em 60 segundos (60”) (60”).. O círculo é dividido em 4 partes iguais chamadas quadrantes, cada um formando um ângulo reto (90°).
Medição de ângulos Medição Centesimal Para tornar o sistema de medida de ângulos coerente com outras medidas métricas, decidiu-se dividir o ângulo reto em 100 partes iguais e, consequentemente, o círculo inteiro em 400 partes. Os ângulos assim obtidos foram chamados de grados.
1 ângulo reto (90°) = 100 grados 1 grado = 100 centésimos
Medição de ângulos Medição Circular Método absoluto, pois independe da divisão de um ângulo reto em qualquer número arbitrário de partes, 90 ou 100. A unidade é obtida da seguinte maneira: em um círculo de centro O, façamos com que um raio OB gire para a posição OC, de forma que o comprimento do arco BC seja igual ao comprimento do raio. Fazendo-se isso, forma-se o angulo BÔC, que tem a unidade de medida chamada radiano. Convertendo-se ao sistema sexagesimal: 1 radiano = 57°17’44,8”
As funções trigonométricas
Relações entre lados e ângulos de um triângulo Lei dos senos “Em qualquer triangulo, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos”.
Relações entre lados e ângulos de um triângulo Lei dos cossenos Determinação dos ângulos de um triangulo quando todos os seus lados são conhecidos.
Determinação do terceiro lado de um triângulo, quando dois lados e o ângulo contido por eles forem conhecidos.
RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS RELACIONADOS À TOPOGRAFIA
caso I : três lados caso II : dois ângulos e um lado caso III : dois lados e o ângulo formado por eles
CASO 1: Resolução de um triângulo quando os três lados são conhecidos. Exemplo de aplicação: Levantamento a Trena Resolução através da Lei dos Cossenos:
CASO 2: Dados dois ângulos e um dos lados do triângulo. Exemplo de aplicação: Distância a um objeto (ponto no terreno) inacessível ou de difícil acesso. Resolução através da Lei dos Senos: AP e BP = ?
CASO 3: Dados dois lados e o ângulo formado por eles. Exemplo de aplicação: Determinação da distância entre dois pontos visíveis, mas inacessíveis. Resolução através da Lei dos Senos e Lei dos Cossenos.
Área de um triângulo Fórmula da base e da altura (geometria elementar). Normalmente, na Topografia, a altura h não é medida diretamente no campo, dai a conveniência de serem empregados outros meios no cálculo da área do triângulo, como será visto a seguir.
Fórmula do seno. “A área de um triângulo é igual a metade do produto de dois lados e do seno do ângulo contido por eles”.
C
COMO LEVANTAR UM ALINHAMENTO PERPENDICULAR A OUTRO É possível levantar uma perpendicular a um alinhamento, utilizando-se um diastímetro, através dos seguintes métodos:
Triângulo Retângulo
Este método consiste em passar por um ponto A, de um alinhamento AB conhecido, uma perpendicular. Utilizando-se os doze (12) primeiros metros de uma trena, dispõe-se, respectivamente, dos lados 3, 4 e 5 metros de um triângulo retângulo. Como indicado na figura a seguir, o 0 e o 12 o metro estariam coincidentes em C, situado a 3 metros do ponto A. O 7o metro (soma dos lados 3 e 4) e representado pelo ponto D, se ajusta facilmente em função dos pontos A e C já marcados.
EXEMPLO PRÁTICO COM TRENA 5m
4m
3m
Figura 57 – Triângulo Retângulo
Obs.: para locar as paredes de uma casa, o mestre de obras normalmente se utiliza de uma linha com nós. Esta linha representa um triângulo retângulo de lados 0,6m : 0,8m : 1,0m; equivalente ao triângulo retângulo de 3m : 4m : 5m mencionado anteriormente.
USO DA CALCULADORA Lembrar de trazer a calculadora nas aulas de Topografia A.
EXEMPLOS: Operações com ângulos 0,56361976 0,239075521 142°56’39” 255°53’42”
DÚVIDAS?
Exercícios 1) Em um ponto (O), distante 168m da base de uma torre, o ângulo de elevação (a) para o topo da torre é 38°15’. Determine a altura da torre, em relação ao solo.
2) Dois lados adjacentes de um retângulo tem 15,8cm e 11,9cm. Determine os ângulos que a diagonal do retângulo faz com ambos os lados.
3) Uma rampa uniforme sobe 10,5km num trecho de 60km de comprimento (distância inclinada). Determine o ângulo entre a rampa e a horizontal.
4) Em um triângulo retângulo os lados que contém o ângulo reto (catetos) têm 4,5m e 5,8m. Determine os ângulos e o comprimento da hipotenusa.
5) Em um triângulo de lados a, b e c, quando o ângulo A = 54°00’, o ângulo B = 67°00’ e o lado a = 13,9m, determine os lados b e c.
6) Determine os ângulos do triângulo cujos lados são: a = 8,0m, b = 9,0m e c = 12,0m.
7) Em um triângulo temos o ângulo A = 75°12’, b = 43m e c = 35m. Determine os ângulos B e C.
8) Dada a figura e os elementos abaixo determine o valor do lado X (A-B). X
a) PQ = 200,00m (linha de base) b) A partir do ponto P: BPA = 40°58’ e APQ = 38°40’ c) A partir do ponto Q: BQP = 29°30’ e AQP = 108°20’
9) Um terreno, em forma de paralelogramo, foi levantado conforme croqui abaixo, obtendo-se os seguintes dados: A-B = 60,00m; a = 60°30’15” e b = 129°25’20”. Determinar o perímetro do terreno.
OPERAÇÕES BÁSICAS PARA AULA DE TOPOGRAFIA CASIO – fx 82 MS CALCULADORA COMUM ENTRE OS ALUNOS
CASIO – fx 82 MS
CONFIGURANDO
CASIO – fx 82 MS
INICIALMENTE ESCOLHER A OPÇÃO (COMP), JÁ QUE “SD” USA-SE EM TRABALHOS ESTATÍSTICOS E “REG” PARA TRABALHOS DE REGRESSÃO LINEAR
CASIO – fx 82 MS
CONFIGURANDO CASAS DECIMAIS
CASIO – fx 82 MS CLICAR 3X OPÇÃO “ 1” FIX
ESCOLHER QUANTAS CASAS
CASIO – fx 82 MS
UTILIZANDO A MEMÓRIA
CASIO – fx 82 MS
DIGITAR O VALOR E CLICAR EM “ M+” UTILIZANDO A CONFIGURAÇÃO BÁSICA “COMP”.
PARA ATIVAR O VALOR DA MEMÓRIA BASTA CLICAR EM
CASIO – fx 82 MS
LIMPANDO A MEMÓRIA
