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Mec€nica Qu€ntica Selecionado por www.fisica.net

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Conte€do P•ginas Introdu‚ƒo „ mec…nica qu…ntica

1

Antiga teoria qu…ntica

5

Mec…nica qu…ntica

7

Efeito fotoel†trico

15

Postulados da mec…nica qu…ntica

17

Albert Einstein

18

Constante de Planck

31

Dualidade onda-corp€sculo

32

Efeito t€nel

32

Entrela‚amento qu…ntico

33

Equa‚ƒo de Dirac

34

Equa‚ƒo de Klein € Gordon

35

Equa‚ƒo de Pauli

36

Equa‚ƒo de Schr‡dinger

37

Estado qu…ntico

38

Experimento de Davisson € Germer

38

Experimento de Stern-Gerlach

39

Experiˆncia da dupla fenda

41

Fun‚ƒo de onda

43

Gato de Schr‡dinger

45

Gravita‚ƒo qu…ntica

50

Hist‰rias consistentes

53

Integra‚ƒo funcional

54

Interpreta‚ƒo de Bohm

55

Interpreta‚ƒo de Copenhaga

59

Interpreta‚ƒo de muitos mundos

60

Interpreta‚ƒo transacional

69

Interpreta‚Šes da mec…nica qu…ntica

70

L‰gica qu…ntica

76

Mec…nica matricial

77

Princ‹pio da incerteza de Heisenberg

77

Princ‹pio de exclusƒo de Pauli

81

Representa‚ƒo de Dirac

84

Representa‚ƒo de Heisenberg

87

Conte€do P•ginas Introdu‚ƒo „ mec…nica qu…ntica

1


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7

Efeito fotoel†trico

15


17

Albert Einstein

18

Constante de Planck

31

Dualidade onda-corp€sculo

32

Efeito t€nel

32

Entrela‚amento qu…ntico

33

Equa‚ƒo de Dirac

34

Equa‚ƒo de Klein € Gordon

35

Equa‚ƒo de Pauli

36

Equa‚ƒo de Schr‡dinger

37

Estado qu…ntico

38

Experimento de Davisson € Germer

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Experiˆncia da dupla fenda

41

Fun‚ƒo de onda

43

Gato de Schr‡dinger

45

Gravita‚ƒo qu…ntica

50

Hist‰rias consistentes

53

Integra‚ƒo funcional

54

Interpreta‚ƒo de Bohm

55

Interpreta‚ƒo de Copenhaga

59

Interpreta‚ƒo de muitos mundos

60

Interpreta‚ƒo transacional

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Interpreta‚Šes da mec…nica qu…ntica

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L‰gica qu…ntica

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Princ‹pio da incerteza de Heisenberg

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Princ‹pio de exclusƒo de Pauli

81

Representa‚ƒo de Dirac

84

Representa‚ƒo de Heisenberg

87

Representa‚ƒo de Schr‡dinger

89

Sobreposi‚ƒo qu…ntica

91

Teorema de Ehrenfest

92

Teoria das vari•veis ocultas

93

Teoria de tudo

95

Teoria do campo unificado

99

Referˆncias Fontes e Editores da P•gina

102

Fontes, Licen‚as e Editores da Imagem

104

Licen‚as das p•ginas Licen‚a

105

Introdu•ƒo „ mec…nica qu…ntica

1

Introdu€•o ‚ mecƒnica quƒntica Mecƒnica quƒntica (ou teoria qu€ntica) ‡ um ramo da fˆsica que lida com o comportamento da mat‡ria e da energia na escala de ‰tomos e partˆculas subatŠmicas. A mec…nica qu…ntica ‡ fundamental ao nosso entendimento de todas as for•as fundamentais da natureza, exceto a gravidade. A mec…nica qu…ntica ‡ a base de diversos ramos da fˆsica, incluindo eletromagnetismo, fˆsica de partˆculas, fˆsica da mat‡ria condensada, e at‡ mesmo partes da cosmologia. A mec…nica qu…ntica tamb‡m ‡ essencial para a teoria das liga•‚es quˆmicas (e portanto de toda quˆmica), biologia estrutural, e tecnologias como a eletrŠnica, tecnologia da informa•ƒo, e nanotecnologia. Um s‡culo de experimentos e trabalho na fˆsica aplicada provou que a mec…nica qu…ntica est‰ correta e tem utilidades pr‰ticas. Werner Heisenberg e Erwin Schr†dinger, criadores da mec…nica A mec…nica qu…ntica come•ou no inˆcio do s‡culo 20, qu…ntica. com o trabalho pioneiro de Max Planck e Niels Bohr. Max Born criou o termo "mec…nica qu…ntica" em 1924. A comunidade de fˆsica logo aceitou a mec…nica qu…ntica devido a sua grande precisƒo nas previs‚es empˆricas, especialmente em sistemas onde a mec…nica cl‰ssica falha. Um grande sucesso da mec…nica qu…ntica em seu prˆncipio foi a explica•ƒo da dualidade onda-partˆcula, ou seja, como em nˆveis subatŠmicos o que os humanos vieram a chamar de partˆculas subatŠmicas t‹m propriedades de ondas e o que era considerado onda tem propriedade corpuscular. A mec…nica qu…ntica tamb‡m pode ser aplicada a uma gama muito maior de situa•‚es do que a relatividade geral, como por exemplo sistemas nos quais a escala ‡ atŠmica ou menor, e aqueles que t‹m energias muito baixas ou muito altas ou sujeitos „s menores temperaturas.

Um exemplo elegante O personagem mais elegante do palco qu…ntico ‡ o experimento da dupla fenda. Ele demonstra a dualidade onda-partˆcula, e ressalta diversas caracterˆsticas da mec…nica qu…ntica. F€tons emitidos de alguma fonte como um laser se comportarƒo diferentemente dependendo da quantidade de fendas que estƒo em seu caminho. Quando apenas uma fenda est‰ presente, a luz observada na tela aparecer‰ como um padrƒo de difra•ƒo estreito. Entretanto, as coisas come•am a ficar estranhas se duas fendas forem introduzidas no experimento. Com duas fendas presentes, o que chegar‰ em uma tela de detec•ƒo remota ser‰ uma superposi•ƒo qu…ntica de duas ondas. Como a ilustra•ƒo mostra, uma onda da fenda do topo e outra da de baixo terƒo sobreposi•ƒo na tela de detec•ƒo, e entƒo elas sƒo superpostas. O mesmo A luz nƒo segue uma trajet€ria retlˆnea entre a fonte e a tela de detec•ƒo. (Perceba as tr‹s franjas „ direita.)

experimento b‰sico pode ser feito atirando um el‡tron em uma fenda dupla. A natureza ondulat€ria da luz faz com que as ondas luminosas passando por ambas fendas se interfiram, criando um padrƒo de interfer‹ncia de faixas claras

Introdu•ƒo „ mec…nica qu…ntica e escuras na tela. Por‡m, na tela, a luz ‡ sempre absorvida em partˆculas discretas, chamadas f€tons. O que ‡ ainda mais estranho ‡ o que ocorre quando a fonte de luz ‡ reduzida ao ponto de somente um f€ton ser emitido por vez. A intui•ƒo normal diz que o f€ton ira atravessar ou uma ou outra fenda como uma partˆcula, e atingir a tela como partˆcula. Entretanto, qualquer f€ton solit‰rio atravessa ambas fendas como onda, e cria um padrƒo de onda que interfere consigo mesmo. E ainda mais um nˆvel de estranheza - o f€ton ‡ entƒo detectado como partˆcula na tela. Onde um f€ton ou el‡tron aparecer‰ na tela de detec•ƒo depender‰ das probabilidades calculadas ao se adicionar as amplitudes das duas ondas em cada ponto, e elevando essa soma ao quadrado. Conquanto, a localiza•ƒo de onde um f€ton, ou um el‡tron, ir‰ atingir a tela, depender‰ de um processo completamente aleat€rio. O resultado final estar‰ de acordo com as probabilidades que podem ser calculadas. Como a natureza consegue realizar essa proeza ‡ um mist‡rio. Os f€tons funcionam como se fossem ondas enquanto eles atravessam as fendas. Quando duas fendas estƒo presentes, a "fun•ƒo de onda" pertencente a cada f€ton atravessa cada fenda. As fun•‚es de onda sƒo superpostas ao longo de toda tela de detec•ƒo, ainda assim na tela, apenas uma partˆcula, um f€ton, aparece e sua posi•ƒo est‰ de acordo com regras de probabilidade estritas. Entƒo o que os homens interpretam como natureza ondulat€ria dos f€tons e como natureza corpuscular dos f€tons deve aparecer nos resultados finais.

Vis•o geral O inesperado No final do s‡culo 19, a fˆsica cl‰ssica parecia quase completa para alguns, mas essa percep•ƒo foi desafiada por achados experimentais que tal fˆsica nƒo era capaz de explicar. Teorias fˆsicas que funcionavam bem para situa•‚es na escala humana de espa•o e tempo falhavam para explicar situa•‚es que eram muito pequenas, muito massivas, ou que se moviam a velocidades muito elevadas. Uma visƒo do universo que havia sido imposta por observa•‚es comuns estava sendo desafiada por observa•‚es e teorias que previam corretamente onde a mec…nica cl‰ssica havia dado resultados impossˆveis. Mas a figura que emergia era a de um universo que se recusava a comportar-se de acordo com o senso comum humano. Nas grandes escalas a teoria da relatividade dizia que o tempo nƒo passa „ mesma propor•ƒo para todos observadores, que a mat‡ria poderia se converter em energia e vice-versa, que dois objetos, se movendo a velocidades maiores que a metade da velocidade da luz, nƒo poderiam se aproximar a uma velocidade que excedesse aquela da luz, que o tempo progride a taxas menores pr€ximo a corpos massivos, etc. As coisas nƒo funcionavam da maneira que as experi‹ncias com r‡guas e rel€gios aqui na terra haviam levado os humanos a esperar. Nas pequenas, as maravilhas eram ainda mais abundantes. Um f€ton ou el‡tron nƒo t‹m nem uma posi•ƒo nem uma trajet€ria entre os pontos onde sƒo emitidos e onde sƒo detectados. Os pontos onde tais partˆculas podem ser detectadas nƒo sƒo onde algu‡m esperaria que fosse baseado nas experi‹ncias cotidianas. Com uma pequena probabilidade, o ponto de detec•ƒo pode at‡ mesmo ser do outro lado de uma barreira s€lida. A probabilidade ‡ um fator saliente nas intera•‚es nessa escala. A trajet€ria de qualquer objeto de escala atŠmica ‡ imprecisa no sentido de que qualquer medida que fa•a a posi•ƒo de um objeto tornar-se mais precisa reduz a precisƒo com a qual n€s podemos observar sua velocidade e vice-versa. Na era da fˆsica cl‰ssica, Isaac Newton e seus seguidores acreditavam que a luz era constituˆda por um feixe de partˆculas, e outros acreditavam que a luz consistia de ondas se propagando em algum meio. Ao inv‡s de encontrar um experimento que provasse que um dos lados estava certo, os fˆsicos descobriram que um experimento designado a mostrar a frequ‹ncia da luz ou outras "caracterˆsticas de ondas" demonstrarar‰ a natureza ondulat€ria da luz, enquanto que um experimento designado a mostrar seu momentum linear ou outra "caracterˆstica corpuscular" revelar‰ a natureza corpuscular da luz. Ainda mais, objetos do tamanho de ‰tomos, e at‡ mesmo algumas mol‡culas, revelaram sua natureza ondulat€ria quando observados de maneira apropriada.

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Introdu•ƒo „ mec…nica qu…ntica Os mais eminentes fˆsicos avisaram que se uma explica•ƒo sobre a fˆsica qu…ntica faz sentido no senso comum, entƒo ela muito provavelmente tem falhas. Em 1927 Niels Bohr escreveu: "Qualquer um que nƒo se chocar com a teoria qu…ntica nƒo a compreende."

Como o inesperado veio ‚ luz As funda•‚es da mec…nica qu…ntica tiveram seu inˆcio com os primeiros trabalhos sobre as propriedades da luz, no s‡culo 17, e a descoberta das propriedades da eletricidade e do magnetismo, no inˆcio do s‡culo 19. Em 1690, Christiaan Huygens empregou a teoria ondulat€ria para explicar a reflexƒo e a refra•ƒo da luz. Isaac Newton acreditava que a luz consistia de partˆculas infinitesimalmente pequenas que ele chamou de "corpŒsculos". Em 1827, Thomas Young e Augustin Fresnel conduziram experimentos sobre a interfer‹ncia da luz que encontrou resultados que eram inconsistentes com a teoria corpuscular da luz. Todos resultados te€ricos e empˆricos ao longo do s‡culo 19 pareciam inconsistentes com a teoria corpuscular da luz de Newton. Experimentos posteriores identificaram fenŠmenos, como o efeito fotoel‡trico, que eram consistentes apenas com um modelo de pacotes, ou qu…ntico, da luz. Quando a luz incide sobre um condutor el‡trico, el‡trons parecem se mover para longe de suas posi•‚es originais. Em um material fotoel‡trico, como o medidor de luz em uma c…mera, a luz incidindo sobre o detector met‰lico faz com que os el‡trons se movam. Aumentar a intensidade de uma luz que tenha apenas uma frequ‹ncia far‰ com que mais el‡trons se movam. Mas fazer com que os el‡trons se movam mais r‰pido requer um aumento da frequ‹ncia da luz. Portanto, a intensidade da luz controla a corrente el‡trica atrav‡s do circuito, enquanto que sua frequ‹ncia controla sua voltagem. Essas observa•‚es 10 fˆsicos que fizeram contrariaram a teoria ondulat€ria da luz derivada do estudo das ondas sonoras e ondas do diferen•a para a teoria mar, onde a intensidade do impulso inicial era o suficiente para prever a energia da onda qu…ntica. resultante. No caso da luz, a energia era fun•ƒo somente da frequ‹ncia, um fato que precisava de uma explica•ƒo. Era tamb‡m necess‰rio reconciliar experimentos que mostravam a natureza corpuscular da luz com outros experimentos que revelavam sua natureza ondulat€ria. Em 1874, George Johnstone Stoney foi o primeiro a propor que uma quantidade fˆsica, a carga el‡trica, nƒo poderia variar menos que um valor irredutˆvel. Portanto a carga el‡trica foi a primeira quantidade fˆsica a ser quantizada teoricamente. Em 1873, James Clerk Maxwell demonstrou teoricamente que um circuito el‡trico oscilando deveria produzir ondas eletromagn‡ticas. Devido „s equa•‚es de Maxwell foi possˆvel calcular a velocidade da radia•ƒo eletromagn‡tica puramente atrav‡s de medidas el‡tricas e magn‡ticas, e o valor calculado correspondia muito proximamente „ velocidade da luz medida. Em 1888, Heinrich Hertz fez um aparelho el‡trico que produzia radia•ƒo cuja frequ‹ncia era mais baixa do que a da luz visˆvel, radia•ƒo que n€s atualmente chamamos microondas. Pesquisadores iniciais diferiam na maneira de explicar a natureza fundamental do que ‡ chamado de radia•ƒo eletromagn‡tica, alguns afirmando que ele era composta por partˆculas, enquanto outros diziam que era um fenŠmeno ondulat€rio. Na fˆsica cl‰ssica essas ideias sƒo mutualmente exclusivas. A mec…ncia qu…ntica teve inˆcio com o artigo pioneiro de Max Planck em 1900 sobre a radia•ƒo de corpo negro, marcando a primeira apari•ƒo da hip€tese qu…ntica. O trabalho de Planck deixou claro que nem o modelo ondulat€rio nem o corpuscular conseguem explicar a radia•ƒo eletromagn‡tica. Em 1905, Albert Einstein estendeu a teoria de Planck para o efeito fotoel‡trico. Em 1913, Niels Bohr lan•ou seu modelo atŠmico, incorporando a teoria qu…ntica de Planck de uma maneira essencial. Esses e outros tabalhos do inˆcio do s‡culo 20 formam a antiga teoria qu…ntica.

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Introdu•ƒo „ mec…nica qu…ntica

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Em 1924, Louis de Broglie criou a hip€tese da dualidade onda-corpŒsculo. Essa hip€tese provou ser um ponto de virada, e rapidamente levou a uma variante mais sofisticada e completa da mec…nica qu…ntica. Contribuidores importantes em meados dos anos 20 para o que veio a ser chamado de "nova mec…nica qu…ntica" ou "nova fˆsica" foram Max Born, Paul Dirac, Werner Heisenberg, Wolfgang Pauli e Erwin Schr†dinger. No final da d‡cada de 1940 e come•o da de 1950, Julian Schwinger, Sin-Itiro Tomonaga, Richard Feynman e Freeman Dyson descobriram a eletrodin…mica qu…ntica, que avan•ou significamente nossa compreensƒo da teoria qu…ntica do eletromagnetismo e do el‡tron. Mais tarde, Murray Gell-Mann desenvolveu uma teoria relacionada da for•a nuclear forte, chamada de cromodin…mica qu…ntica.

Espectroscopia e al„m Quando a luz branca atravessa um prisma, ou a borda de um espelho ou um peda•o de vidro, ou entƒo as gotas da chuva para formar um arco-ˆris, a luz branca ‡ decomposta em um espectro. Esse espectro revela que a luz branca ‡ composta de luz de todas as cores e portanto de todas as frequ‹ncias.

Foto da NASA da faixas brilhantes do espectro do hidrog‹nio

Quando uma amostra composta de um Foto da faixas brilhantes do nitrog‹nio elemento quˆmico puro emite luz por aquecimento ou outros agentes, o espectro da luz emitida, chamado de espectro de emissƒo, ‡ caracterˆstico „quele elemento e „ temperatura a que ela ‡ aquecida. Diferentemente do espectro da luz branca, um espectro de emissƒo nƒo ‡ uma faixa larga composta de todas as cores do vermelho ao violeta, mas consiste de faixas estreitas, de uma cor cada e separadas das outras por faixas de escuridƒo. Tal figura ‡ chamada de espectro de linha. Um espectro de emissƒo tamb‡m pode conter linhas fora do intervalo da luz visˆvel, detect‰veis apenas por filmes fotogr‰ficos especiais ou equipamentos eletrŠnicos. Foi sugerida a hip€tese de que um ‰tomo emite radia•ƒo eletromagn‡tica da mesma forma que a corda de um violino "irradia" som - nƒo apenas com frequ‹ncia fundamental, mas tamb‡m com harmŠnicos maiores. Uma descri•ƒo matem‰tica do espectro de linha s€ foi criada em 1885, quando Johann Jakob Balmer propŠs a seguinte f€rmula para descrever o espectro de linha do hidrog‹nio atŠmico:

onde ‡ o comprimento de onda, R ‡ a constante de Rydberg, e n ‡ um inteiro > 2. Essa f€rmula pode ser generalizada para servir a ‰tomos que nƒo o hidrog‹nio, um fato que nƒo nos deter‰, exceto a percep•ƒo de que essa ‡ a razƒo pela qual o denominador na primeira fra•ƒo ‡ expresso como um quadrado. O pr€ximo desenvolvimento foi a descoberta por Pieter Zeeman do efeito Zeeman, que teve a explica•ƒo fˆsica foi trabalhada por Hendrik Antoon Lorentz. Lorentz hipotetizou que o espectro de linha do hidrog‹nio resultava de el‡trons vibrando.  possˆvel obter informa•‚es a respeito do que ocorre dentro do ‰tomo porque os el‡trons em movimento geram um campo magn‡tico. Por isso um el‡tron pode ser influenciado por um campo magn‡tico externo, similar „ maneira que um imƒ met‰lico ir‰ atrair ou repelir outro. O efeito Zeeman poderia ser interpretado para significar que o espectro de linha resulta de el‡trons vibrando em suas €rbitas, mas a fˆsica cl‰ssica nƒo conseguia explicar por que um el‡tron nƒo cai em espiral no nŒcleo, nem por que as €rbitas dos el‡trons t‹m as propriedades requeridas para produzir o espectro de linha observado, descritˆvel pela f€rmula de Balmer. Mais precisamente, por qual razƒo os el‡trons se comportam de tal maneira que o espectro de

Introdu•ƒo „ mec…nica qu…ntica emissƒo nƒo ‡ contˆnuo, mas em linhas?

Ver tamb„m Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Mec…nica qu…ntica Computador qu…ntico Efeito tŒnel Filosofia da fˆsica Fun•ƒo de onda Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica Gato de Schr†dinger Teoria qu…ntica de campos V‰cuo Qu…ntico

Antiga teoria quƒntica A antiga teoria quƒntica ‡ uma cole•ƒo de resultados dos anos 1900 a 1925 que antecede a moderna mec…nica qu…ntica. A teoria nunca foi completa ou auto-consistente, mas uma cole•ƒo de prescri•‚es heurˆsticas que sƒo tidas atualmente como as primeiras corre•‚es qu…nticas feitas „ mec…nica cl‰ssica. A antiga teoria qu…ntica sobrevive como uma t‡cnica de aproxima•ƒo na mec…nica qu…ntica, chamada de m‡todo WKB. Aproxima•‚es semi-cl‰ssicas foram um popular objeto de estudos no anos 70 e 80.

Hist…ria A antiga teoria qu…ntica foi iniciada pelo trabalho de Max Planck na emissƒo e absor•ƒo de luz, e come•ou para valer ap€s o trabalho de Albert Einstein nos calores especˆficos dos s€lidos. Einstein, seguido por Debye, aplicou princˆpios qu…nticos ao movimento de ‰tomos, explicando a anomalia do calor especˆfico. Em 1913, Niels Bohr identificou o princˆpio da correspond‹ncia e o usou para formular um modelo para o ‰tomo de hidrog‹nio que explicava o espectro de emissƒo. Nos anos seguintes Arnold Sommerfeld estendeu a regra qu…ntica para sistemas integr‰veis arbitr‰rios fazendo uso do princˆpio da invari…ncia adiab‰tica de nŒmeros qu…nticos introduzido por Lorentz e Einstein. O modelo de Sommerfeld estava muito mais pr€ximo „ figura da moderna mec…nica qu…ntica do que o de Bohr. Durante a d‡cada de 1910 e come•o da d‡cada de 1920 muitos problemas foram atacados usando a antiga teoria qu…ntica com resultados diversos. A rota•ƒo molecular e o espectro de vibra•ƒo foram entendidos e o spin do el‡tron descoberto, levando „ confusƒo de nŒmeros qu…nticos meio inteiros. Max Planck introduziu o ponto de energia zero e Arnold Sommerfeld quantizou semiclassicamente o ‰tomo de hidrog‹nio relativˆstico. Hendrik Kramers explicou o efeito Stark. Bose e Einstein fizeram a estatˆstica qu…ntica certa para f€tons. Kramers deu a f€rmula para calcular a probabilidade de transi•ƒo entre estados qu…nticos em termos de componentes de Fourier de movimento, ideias que foram estendidas em colabora•ƒo com Werner Heisenberg para uma descri•ƒo semicl‰ssica em forma de matriz das probabilidades de transi•ƒo atŠmicas. Heisenberg reformulou toda a teoria qu…ntica em termos de uma versƒo dessas matrizes de transi•ƒo, criando a mec…nica das matrizes. Em 1924, Louis de Broglie introduziu a teoria ondulat€ria da mat‡ria, que foi estendida para uma equa•ƒo semicl‰ssica para ondas de mat‡ria por Einstein pouco tempo depois. Em 1926 Erwin Schr†dinger encontrou uma fun•ƒo de onda completamente qu…ntica, que reproduzia com sucesso todos os sucessos da antiga teoria qu…ntica sem ambiguidades e insconsist‹ncias. A mec…nica ondulat€ria de Schor†dinger se desenvolveu separadamente da mec…ncia das matrizes at‡ que Schr†dinger e outros provaram que os dois m‡todos previam as mesmas

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consequ‹ncias experimentais. Paul Dirac provou em 1926 que ambos os m‡todos podem ser obtidos de um m‡todo mais geral chamado teoria da transforma•ƒo. A mec…nica das matrizes e a mec…nica ondulat€ria puseram um fim „ era da antiga teoria qu…ntica.

Princ†pios b‡sicos A ideia b‰sica da antiga teoria qu…ntica ‡ a de que o movimento em um sistema atŠmico ‡ quantizado, ou discreto. O sistema obedece „ mec…nica cl‰ssica exceto que que nem todo movimento ‡ permitido, apenas aqueles que obedecem a antiga condi•‚o qu€ntica:

onde os sƒo os momentos do sistema e os sƒo as coordenadas correspondentes. O nŒmeros qu…nticos sƒo inteiros e a integral ‡ tomada ao longo de um perôdo do movimento. A integral ‡ uma ‰rea no espa•o de fase, que ‡ a quantidade chamada a•ƒo, que ‡ quantizada em unidades da constante de Planck. Por essa razƒo, a constante de Planck era frequentemente chamada de quantum de a•‚o. Para as antigas condi•‚es qu…nticas fazerem sentido, o movimento cl‰ssico deve ser separ‰vel, indicando que existem coordenadas separadas em termos das quais o movimento ‡ peri€dico. Os perôdos dos diferentes movimentos nƒo t‹m que ser os mesmos, eles podem ser at‡ mesmo imensur‰veis, mas deve haver um conjunto de coordenadas onde o movimento se decomp‚e em uma maneira multi-peri€dica. A motiva•ƒo da antiga condi•ƒo qu…ntica era o princˆpio da correspond‹ncia, complementado pela observa•ƒo fˆsica de que as quantidades que sƒo quantizadas devem ser invariantes adiab‰ticas. Dada a regra da quantiza•ƒo de Planck para o oscilador harmŠnico, qualquer das condi•‚es determina a quantidade cl‰ssica correta para quantizar em um sistema geral at‡ uma constante aditiva.

Ondas de De Broglie Em 1905, Einstein percebeu que a entropia dos osciladores eletromagn‡ticos quantizados dentro de uma caixa ‡, para pequenos comprimentos de onda, igual „ entropia de um g‰s de partˆculas pontuais na mesma caixa. O nŒmero de partˆculas pontuais ‡ igual ao nŒmero de quanta. Einstein concluiu que os quanta eram objetos localiz‰veis, partˆculas de luz, e os chamou de f€tons. Ele entƒo concluiu que a luz tem atributos tanto de onda como de partˆcula, mais precisamente, que uma onda eletromagn‡tica estacion‰ria com frequ‹ncia com energia quantizada: deve ser pensado como consistindo de n f€tons, cada um com energia os f€tons eram relacionados „ onda.

. Einstein nƒo conseguiu descrever como

Os f€tons t‹m momento assim como energia, e o momento tinha que ser onde ‡ o nŒmero de onda da onda eletromagn‡tica. Tal condi•ƒo ‡ necess‰ria para a relatividade, pois o momento e a energia formam um quadrivetor, assim como fazem a frequ‹ncia e o nŒmero de onda. Em 1924, como um candidato a PhD, Louis de Broglie propŠs uma nova interpreta•ƒo „ condi•ƒo qu…ntica. Ele sugeriu que toda mat‡ria, el‡trons, assim como f€tons, sƒo descritos por ondas obedecendo as rela•‚es: Ele entƒo percebeu que a condi•ƒo qu…ntica:

conta a mudan•a de fase para a onda enquanto ela viaja ao longo da €rbita cl‰ssica, e requer que ele seja um mŒltiplo inteiro de . Expressado em comprimentos de onda, o nŒmero de comprimentos de onda ao longo da €rbita

Antiga teoria qu…ntica cl‰ssica deve ser um inteiro. Essa ‡ a condi•ƒo para interfer‹ncia construtiva, e explicou a razƒo para as €rbitas quantizadas - as ondas de mat‡ria geram ondas estacion‰rias apenas a frequ‹ncias discretas, com energias discretas. Por exemplo, para uma partˆcula confinada em uma caixa, uma onda estacion‰ria deve ter um nŒmero inteiro de comprimentos de onda entre o dobro da dist…ncia entre as paredes. A condi•ƒo torna-se: de forma que os momentos quantizados sƒo:

reproduzindo os antigos nˆveis qu…nticos de energia. Einstein deu um tratamento mais matem‰tico a esse desenvolvimento, percebendo que a fun•ƒo de fase para as ondas: em um sistema mec…nico deve ser identificado com a solu•ƒo para a equa•ƒo de Hamilton-Jacobi, uma equa•ƒo que at‡ mesmo Hamilton considerava como um limite pequeno de comprimento de onda da mec…nica ondulat€ria. Essas ideias levaram ao desenvolvimento da equa•ƒo de Schr†dinger.

Mecƒnica quƒntica A mecƒnica quƒntica ‡ a teoria fˆsica que obt‡m sucesso no estudo dos sistemas fˆsicos cujas dimens‚es sƒo pr€ximas ou abaixo da escala atŠmica, tais como mol‡culas, ‰tomos, el‡trons, pr€tons e de outras partˆculas subatŠmicas, muito embora tamb‡m possa descrever fenŠmenos macrosc€picos em diversos casos. A Mec…nica Qu…ntica ‡ um ramo fundamental da fˆsica com vasta aplica•ƒo. A teoria qu…ntica fornece descri•‚es precisas para muitos fenŠmenos previamente inexplicados tais como a radia•ƒo de corpo negro e as €rbitas est‰veis do el‡tron. Apesar de na maioria dos casos a Mec…nica Qu…ntica ser relevante para descrever sistemas microsc€picos, os seus efeitos especˆficos nƒo sƒo somente perceptˆveis em tal escala. Por exemplo, a explica•ƒo de fenŠmenos macrosc€picos como a super fluidez e a supercondutividade s€ ‡ possˆvel se considerarmos que o comportamento microsc€pico da mat‡ria ‡ qu…ntico. A quantidade caracterˆstica da teoria, que determina quando ela ‡ necess‰ria para a descri•ƒo de um fenŠmeno, ‡ a chamada constante de Planck, que tem dimensƒo de momento angular ou, equivalentemente, de a•ƒo. A mec…nica qu…ntica recebe esse nome por prever um fenŠmeno bastante conhecido dos fˆsicos: a quantiza•ƒo. No caso dos estados ligados (por exemplo, um el‡tron orbitando em torno de um nŒcleo positivo) a Mec…nica Qu…ntica prev‹ que a energia (do el‡tron) deve ser quantizada. Este fenŠmeno ‡ completamente alheio ao que prev‹ a teoria cl‰ssica.

Um panorama A palavra •qu…ntica‚ (do Latim, quantum) quer dizer quantidade. Na mec…nica qu…ntica, esta palavra refere-se a uma unidade discreta que a teoria qu…ntica atribui a certas quantidades fˆsicas, como a energia de um el‡tron contido num ‰tomo em repouso. A descoberta de que as ondas eletromagn‡ticas podem ser explicadas como uma emissƒo de pacotes de energia (chamados quanta) conduziu ao ramo da ci‹ncia que lida com sistemas moleculares,atŠmicos e subatŠmicos. Este ramo da ci‹ncia ‡ atualmente conhecido como mec…nica qu…ntica. A mec…nica qu…ntica ‡ a base te€rica e experimental de v‰rios campos da Fˆsica e da Quˆmica, incluindo a fˆsica da mat‡ria condensada, fˆsica do estado s€lido, fˆsica atŠmica, fˆsica molecular, quˆmica computacional, quˆmica qu…ntica, fˆsica de partˆculas, e fˆsica nuclear. Os alicerces da mec…nica qu…ntica foram estabelecidos durante a primeira metade do s‡culo XX por Albert Einstein, Werner Heisenberg, Max Planck, Louis de Broglie, Niels Bohr, Erwin Schr†dinger, Max Born, John von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli, Richard Feynman e outros. Alguns

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Mec…nica qu…ntica aspectos fundamentais da contribui•ƒo desses autores ainda sƒo alvo de investiga•ƒo. Normalmente ‡ necess‰rio utilizar a mec…nica qu…ntica para compreender o comportamento de sistemas em escala atŠmica ou molecular. Por exemplo, se a mec…nica cl‰ssica governasse o funcionamento de um ‰tomo, o modelo planet‰rio do ‰tomo ƒ proposto pela primeira vez por Rutherford ƒ seria um modelo completamente inst‰vel. Segundo a teoria eletromagn‡tica cl‰ssica, toda a carga el‡trica acelerada emite radia•ƒo. Por outro lado, o processo de emissƒo de radia•ƒo consome a energia da partˆcula. Dessa forma, o el‡tron, enquanto caminha na sua €rbita, perderia energia continuamente at‡ colapsar contra o nŒcleo positivo! Com efeito, o modelo planet‰rio do ‰tomo ‡ um modelo ineficaz. Para explicar o comportamento de um el‡tron em torno de um ‰tomo de hidrog‹nio ‡ necess‰rio utilizar as leis da mec…nica qu…ntica.

O conceito de estado na mecƒnica quƒntica Em fˆsica, chama-se "sistema" um fragmento concreto da realidade que foi separado para estudo. Dependendo do caso, a palavra sistema refere-se a um el‡tron ou um pr€ton, um pequeno ‰tomo de hidrog‹nio ou um grande ‰tomo de ur…nio, uma mol‡cula isolada ou um conjunto de mol‡culas interagentes formando um s€lido ou um vapor. Em todos os casos, sistema ‡ um fragmento da realidade concreta para o qual deseja-se chamar aten•ƒo. Dependendo da particula pode-se inverter polariza•‚es subsequentes de aspecto neutro. A especifica•ƒo de um sistema fˆsico nƒo determina unicamente os valores que experimentos fornecem para as suas propriedades (ou as probabilidades de se medirem tais valores, em se tratando de teorias probabilˆsticas). Al‡m disso, os sistemas fˆsicos nƒo sƒo est‰ticos, eles evoluem com o tempo, de modo que o mesmo sistema, preparado da mesma forma, pode dar origem a resultados experimentais diferentes dependendo do tempo em que se realiza a medida (ou a histogramas diferentes, no caso de teorias probabilˆsticas). Essa id‡ia conduz a outro conceito-chave: o conceito de "estado". Um estado ‡ uma quantidade matem‰tica (que varia de acordo com a teoria) que determina completamente os valores das propriedades fˆsicas do sistema associadas a ele num dado instante de tempo (ou as probabilidades de cada um de seus valores possˆveis serem medidos, quando se trata e uma teoria probabilˆstica). Em outras palavras, todas as informa•ƒes poss„veis de se conhecer em um dado sistema constituem seu estado Cada sistema ocupa um estado num instante no tempo e as leis da fˆsica devem ser capazes de descrever como um dado sistema parte de um estado e chega a outro. Em outras palavras, as leis da fˆsica devem dizer como o sistema evolui (de estado em estado). Muitas vari‰veis que ficam bem determinadas na mec…nica cl‰ssica sƒo substituˆdas por distribui•‚es de probabilidades na mec…nica qu…ntica, que ‡ uma teoria intrinsicamente probabilˆstica (isto ‡, disp‚e-se apenas de probabilidades nƒo por uma simplifica•ƒo ou ignor…ncia, mas porque isso ‡ tudo que a teoria ‡ capaz de fornecer).

A representa€•o do estado No formalismo da mec…nica qu…ntica, o estado de um sistema num dado instante de tempo pode ser representado de duas formas principais: 1. O estado ‡ representado por uma fun•ƒo complexa das posi•‚es ou dos momenta de cada partˆcula que comp‚e o sistema. Essa representa•ƒo ‡ chamada fun•ƒo de onda. 2. Tamb‡m ‡ possˆvel representar o estado por um vetor num espa•o vetorial complexo.[1] Esta representa•ƒo do estado qu…ntico ‡ chamada vetor de estado. Devido „ nota•ƒo introduzida por Paul Dirac, tais vetores sƒo usualmente chamados kets (sing.: ket). Em suma, tanto as "fun•‚es de onda" quanto os "vetores de estado" (ou kets) representam os estados de um dado sistema fˆsico de forma completa e equivalente e as leis da mec…nica qu…ntica descrevem como vetores de estado e fun•‚es de onda evoluem no tempo. Estes objetos matem‰ticos abstratos (kets e fun•‚es de onda) permitem o c‰lculo da probabilidade de se obter resultados especˆficos em um experimento concreto. Por exemplo, o formalismo da mec…nica qu…ntica permite que

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Mec…nica qu…ntica se calcule a probabilidade de encontrar um el‡tron em uma regiƒo particular em torno do nŒcleo. Para compreender seriamente o c‰lculo das probabilidades a partir da informa•ƒo representada nos vetores de estado e fun•‚es de onda ‡ preciso dominar alguns fundamentos de ‰lgebra linear.

Primeiros fundamentos matem‡ticos  impossˆvel falar seriamente sobre mec…nica qu…ntica sem fazer alguns apontamentos matem‰ticos. Isso porque muitos fenŠmenos qu…nticos difˆceis de se imaginar concretamente podem ser representados sem mais complica•‚es com um pouco de abstra•ƒo matem‰tica. H‰ tr‹s conceitos fundamentais da matem‰tica - mais especificamente da ‰lgebra linear - que sƒo empregados constantemente pela mec…nica qu…ntica. Sƒo estes: (1) o conceito de operador; (2) de autovetor; e (3) de autovalor.

Vetores e espa€os vetoriais Na ‰lgebra linear, um espa€o vetorial (ou o espa•o linear) ‡ uma cole•ƒo dos objetos abstratos (chamados vetores) que possuem algumas propriedades que nƒo serƒo completamente detalhadas aqui. Por agora, importa saber que tais objetos (vetores) podem ser adicionados uns aos outros e multiplicados por um nŒmero escalar. O resultado dessas opera•‚es ‡ sempre um vetor pertencente ao mesmo espa•o. Os espa•os vetoriais sƒo os objetos b‰sicos do estudo na ‰lgebra linear, e t‹m v‰rias aplica•‚es na matem‰tica, na ci‹ncia, e na engenharia. O espa•o vetorial mais simples e familiar ‡ o espa•o Euclidiano bidimensinal. Os vetores neste espa•o sƒo pares ordenados e sƒo representados graficamente como "setas" dotadas de m€dulo, dire•ƒo e sentido. No caso do espa•o euclidiano bidimensional, a soma de dois vetores quaisquer pode ser realizada utilizando a regra do paralelogramo. Todos os vetores tamb‡m podem ser multiplicados por um escalar - que no espa•o Euclidiano ‡ sempre um nŒmero real. Esta multiplica•ƒo por escalar poder‰ alterar o m€dulo do vetor e seu sentido, mas preservar‰ sua dire•ƒo. O comportamento de vetores geom‡tricos sob estas opera•‚es fornece um bom modelo intuitivo para o comportamento dos vetores em espa•os mais abstratos, que nƒo precisam de ter a mesma interpreta•ƒo geom‡trica. Como exemplo, ‡ possˆvel citar o espa•o de Hilbert (onde "habitam" os vetores da mec…nica qu…ntica). Sendo ele tamb‡m um espa•o vetorial, ‡ certo que possui propriedades an‰logas „quelas do espa•o Euclidiano.

Os operadores na mecƒnica quƒntica Um operador ‡ um ente matem‰tico que estabelece uma rela•ƒo funcional entre dois espa•os vetoriais. A rela•ƒo funcional que um operador estabelece pode ser chamada transforma€•o linear. Os detalhes mais formais nƒo serƒo apontados aqui. Interessa, por enquanto, desenvolver uma id‡ia mais intuitiva do que sƒo esses operadores. Por exemplo, considere o Espa•o Euclidiano. Para cada vetor nesse espa•o ‡ possˆvel executar uma rota•ƒo (de um certo …ngulo) e encontrar outro vetor no mesmo espa•o. Como essa rota•ƒo ‡ uma rela•ƒo funcional entre os vetores de um espa•o, podemos definir um operador que realize essa transforma•ƒo. Assim, dois exemplos bastante concretos de operadores sƒo os de rota•ƒo e transla•ƒo. Do ponto de vista te€rico, a semente da ruptura entre as fˆsica qu…ntica e cl‰ssica est‰ no emprego dos operadores. Na mec…nica cl‰ssica, ‡ usual descrever o movimento de uma partˆcula com uma fun•ƒo escalar do tempo. Por exemplo, imagine que vemos um vaso de flor caindo de uma janela. Em cada instante de tempo podemos calcular a que altura se encontra o vaso. Em outras palavras, descrevemos a grandeza posi•‚o com um nŒmero (escalar) que varia em fun•ƒo do tempo. Uma caracterˆstica distintiva na mec…nica qu…ntica ‡ o uso de operadores para representar grandezas fˆsicas. Ou seja, nƒo sƒo somente as rota•‚es e transla•‚es que podem ser representadas por operadores. Na mec…nica qu…ntica grandezas como posi•ƒo, momento linear, momento angular e energia tamb‡m sƒo representados por operadores.

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At‡ este ponto j‰ ‡ possˆvel perceber que a mec…nica qu…ntica descreve a natureza de forma bastante abstrata. Em suma, os estados que um sistema fˆsico pode ocupar sƒo representados por vetores de estado (kets) ou fun•‚es de onda (que tamb‡m sƒo vetores, s€ que no espa•o das fun•‚es). As grandezas fˆsicas nƒo sƒo representadas diretamente por escalares (como 10 m, por exemplo), mas por operadores. Para compreender como essa forma abstrata de representar a natureza fornece informa•‚es sobre experimentos reais ‡ preciso discutir um Œltimo t€pico da ‰lgebra linear: o problema de autovalor e autovetor.

O problema de autovalor e autovetor O problema de autovalor e autovetor ‡ um problema matem‰tico abstrato sem o qual nƒo ‡ possˆvel compreender seriamente o significado da mec…nica qu…ntica. Em primeiro lugar, considere o operador ˆ de uma transforma•ƒo linear arbitr‰ria que relacione vetores de um espa•o E com vetores do mesmo espa•o E. Neste caso, escreve-se [eq.01]: Observe que qualquer matriz quadrada satisfaz a condi•ƒo imposta acima desde que os vetores no espa•o E possam ser representados como matrizes-coluna e que a atua•ƒo de ˆ sobre os vetores de E ocorra conforme o produto de matrizes a seguir:

Como foi dito, a equa•ƒo acima ilustra muito bem a atua•ƒo de um operador do tipo definido em [eq.01]. Por‡m, ‡ possˆvel representar a mesma id‡ia de forma mais compacta e geral sem fazer refer‹ncia „ representa•ƒo matricial dos operadores lineares [eq.02]: Para cada operador ˆ existe um conjunto

tal que cada vetor do conjunto satisfaz [eq.03]:

A equa•ƒo acima ‡ chamada equa•‚o de autovalor e autovetor . Os vetores do conjunto chamados autovetores. Os escalares do conjunto

sƒo

sƒo chamados autovalores. O conjunto dos

autovalores tamb‡m ‡ chamado espectro do operador ˆ. Para cada autovalor corresponde um autovetor e o nŒmero de pares autovalor-autovetor ‡ igual „ dimensƒo do espa•o E onde o operador ˆ est‰ definido. Em geral, o espectro de um operador ˆ qualquer nƒo ‡ contˆnuo, mas discreto. Encontrar os autovetores e autovalores para um dado operador ˆ ‡ o chamado problema de autovalor e autovetor. De antemƒo o problema de autovalor e autovetor possui duas caracterˆsticas: (1)

satisfaz o problema para qualquer operador ˆ. Por isso, o vetor nulo

nƒo ‡ considerado uma resposta

do problema. (2) Se satisfaz a equa•ƒo de autovalor e autovetor, entƒo seu mŒltiplo tamb‡m ‡ uma resposta ao problema para qualquer . Enfim, a solu•ƒo geral do problema de autovalor e autovetor ‡ bastante simples. A saber:


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Onde:

Como

nƒo pode ser considerado uma solu•ƒo do problema, ‡ necess‰rio que:

A equa•ƒo acima ‡ um polinŠmio de grau n. Portanto, para qualquer operador escalares distintas ou nƒo tais que a equa•ƒo de autovetor e autovalor ‡ satisfeita. Os autovetores correspondentes aos autovalores

h‰ n quantidades

de um operador ˆ podem ser obtidos

facilmente substituindo os autovalores um a um na [eq.03].

O significado f†sico dos operadores, seus autovetores e autovalores Para compreender o significado fˆsico de toda essa representa•ƒo matem‰tica abstrata, considere o exemplo do operador de Spin na dire•ƒo z: . Na mec…nica qu…ntica, cada partˆcula tem associada a si uma quantidade sem an‰logo cl‰ssico chamada spin ou momento angular intrˆnseco. O spin de uma partˆcula ‡ representado como um vetor com proje•‚es nos eixos x, y e z. A cada proje•ƒo do vetor spin : corresponde um operador:

O operador

‡ geralmente representado da seguinte forma:

 possˆvel resolver o problema de autovetor e autovalor para o operador

. Nesse caso obtem-se:

ou seja

Portanto, os autovalores sƒo

e

.

Aspectos hist…ricos A hist…ria da mecƒnica quƒntica come•ou essencialmente em 1838 com a descoberta dos raios cat€dicos por Michael Faraday, a enuncia•ƒo em 1859 do problema da radia•ƒo de corpo negro por Gustavo Kirchhoff, a sugestƒo 1877 por Ludwig Boltzmann que os estados de energia de um sistema fˆsico poderiam ser discretos, e a hip€tese por Planck em 1900 de que toda a energia ‡ irradiada e absorvida na forma de elementos discretos chamados quanta. Segundo Planck, cada um desses quanta tem energia proporcional „ frequ‹ncia  da radia•ƒo eletromagn‡tica emitida ou absorvida. Planck insistiu que este foi apenas um aspecto dos processos de absor•ƒo e emissƒo de radia•ƒo e nƒo tinha nada a ver com a realidade fˆsica da radia•ƒo em si. [2] No entanto, naquele tempo isso parecia nƒo explicar o efeito fotoel‡trico (1839), ou seja, que a luz brilhante em certos materiais pode ejetar el‡trons do material. Em 1905, baseando seu trabalho na hip€tese qu…ntica de Planck, Albert Einstein postulou que a pr€pria luz ‡ formada por


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quanta individuais.[3] Em meados da d‡cada de 1920, a evolu•ƒo da mec…nica qu…ntica rapidamente fez com que ela se tornasse a formula•ƒo padrƒo para a fˆsica atŠmica. No verƒo de 1925, Bohr e Heisenberg publicaram resultados que fechavam a "Antiga teoria qu…ntica". Quanta de luz vieram a ser chamados f€tons (1926). Da simples postula•ƒo de Einstein nasceu uma enxurrada de debates, teorias e testes e, entƒo, todo o campo da fˆsica qu…ntica, levando „ sua maior aceita•ƒo na quinta Confer‹ncia de Solvay em 1927.

Princ†pios Ž Primeiro princ†pio: Princ†pio da superposi€•o Na mec…nica qu…ntica, o estado de um sistema f†sico ‡ definido pelo conjunto de todas as informa•‚es que podem ser extraˆdas desse sistema ao se efetuar alguma medida. Na mec…nica qu…ntica, todos os estados sƒo representados por vetores em um espa•o vetorial complexo: o Espa•o de Hilbert H . Assim, cada vetor no espa•o H representa um estado que poderia ser ocupado pelo sistema. Portanto, dados dois estados quaisquer, a soma alg‡brica (superposi•ƒo) deles tamb‡m ‡ um estado. Como a norma (matem‰tica) dos vetores de estado nƒo possui significado fˆsico, todos os vetores de estado sƒo preferencialmente normalizados. Na nota•ƒo de Dirac, os vetores de estado sƒo chamados "Kets" e sƒo representados como aparece a seguir: Usualmente, na matem‰tica, sƒo chamados funcionais todas as fun•‚es lineares que associam vetores de um espa•o vetorial qualquer a um escalar.  sabido que os funcionais dos vetores de um espa•o tamb‡m formam um espa•o, que ‡ chamado espa•o dual. Na nota•ƒo de Dirac, os funcionais - elementos do Espa•o Dual - sƒo chamados "Bras" e sƒo representados como aparece a seguir: Ž Segundo princ†pio: Medida de grandezas f†sicas a) Para toda grandeza fˆsica A ‡ associado um operador linear auto-adjunto … pertencente a A: … ‡ o observ†vel (autovalor do operador) representando a grandeza A. b) Seja

o estado no qual o sistema se encontra no momento onde efetuamos a medida de A.

Qualquer que seja , os Œnicos resultados possˆveis sƒo os autovalores de do observ‰vel …. c) Sendo o projetor sobre o subespa•o associado ao valor pr€prio , a probablidade de encontrar o valor

em uma medida de A ‡: onde

d) Imediatamente ap€s uma medida de A, que resultou no valor

, o novo estado

do sistema ‡

Ž Terceiro princ†pio: Evolu€•o do sistema Seja

o estado de um sistema ao instante t . Se o sistema nƒo ‡ submetido a nenhuma observa•ƒo, sua

evolu•ƒo, ao longo do tempo, ‡ regida pela equa•ƒo de Schr†dinger:

onde

‡ o hamiltoniano do sistema.


Conclus‰es As conclus‚es mais importantes desta teoria sƒo: Ž Em estados ligados, como o el‡tron girando ao redor do nŒcleo de um ‰tomo, a energia nƒo se troca de modo contˆnuo, mas sim de modo discreto (descontˆnuo), em transi•‚es cujas energias podem ou nƒo ser iguais umas „s outras. A id‡ia de que estados ligados t‹m nˆveis de energias discretas ‡ devida a Max Planck. Ž O fato de ser impossˆvel atribuir ao mesmo tempo uma posi•ƒo e um momentum exatas a uma partˆcula, renunciando-se assim ao conceito de trajet€ria, vital em Mec…nica Cl‰ssica. Em vez de trajet€ria, o movimento de partˆculas em Mec…nica Qu…ntica ‡ descrito por meio de uma fun•ƒo de onda, que ‡ uma fun•ƒo da posi•ƒo da partˆcula e do tempo. A fun•ƒo de onda ‡ interpretada por Max Born como uma medida da probabilidade de se encontrar a partˆcula em determinada posi•ƒo e em determinado tempo. Esta interpreta•ƒo ‡ a mais aceita pelos fˆsicos hoje, no conjunto de atribui•‚es da Mec…nica Qu…ntica regulamentados pela Escola de Copenhagen. Para descrever a din…mica de um sistema qu…ntico deve-se, portanto, achar sua fun•ƒo de onda, e para este efeito usam-se as equa•‚es de movimento, propostas por Werner Heisenberg e Erwin Schr†dinger independentemente. Apesar de ter sua estrutura formal basicamente pronta desde a d‡cada de 1930, a interpreta•ƒo da Mec…nica Qu…ntica foi objeto de estudos por v‰rias d‡cadas. O principal ‡ o problema da medi•ƒo em Mec…nica Qu…ntica e sua rela•ƒo com a nƒo-localidade e causalidade. J‰ em 1935, Einstein, Podolski e Rosen publicaram seu Gedankenexperiment, mostrando uma aparente contradi•ƒo entre localidade e o processo de Medida em Mec…nica Qu…ntica. Nos anos 60 J. S. Bell publicou uma s‡rie de rela•‚es que seriam respeitadas caso a localidade „ ou pelo menos como a entendemos classicamente „ ainda persistisse em sistemas qu…nticos. Tais condi•‚es sƒo chamadas desigualdades de Bell e foram testadas experimentalmente por A. Aspect, P. Grangier, J. Dalibard em favor da Mec…nica Qu…ntica. Como seria de se esperar, tal interpreta•ƒo ainda causa desconforto entre v‰rios fˆsicos, mas a grande parte da comunidade aceita que estados correlacionados podem violar causalidade desta for ma. Tal revisƒo radical do nosso conceito de realidade foi fundamentada em explica•‚es te€ricas brilhantes para resultados experimentais que nƒo podiam ser descritos pela teoria cl‰ssica, e que incluem: Ž Espectro de Radia•ƒo do Corpo negro, resolvido por Max Planck com a proposi•ƒo da quantiza•ƒo da energia. Ž Explica•ƒo do experimento da dupla fenda, no qual el‡ctrons produzem um padrƒo de interfer‹ncia condizente com o comportamento ondular. Ž Explica•ƒo por Albert Einstein do efeito fotoel‡trico descoberto por Heinrich Hertz, onde prop‚e que a luz tamb‡m se propaga em quanta (pacotes de energia definida), os chamados f€tons. Ž O Efeito Compton, no qual se prop‚e que os f€tons podem se comportar como partˆculas, quando sua energia for grande o bastante. Ž A questƒo do calor especˆfico de s€lidos sob baixas temperaturas, cuja discrep…ncia foi explicada pelas teorias de Einstein e de Debye, baseadas na equiparti•ƒo de energia segundo a interpreta•ƒo quantizada de Planck. Ž A absor•ƒo ressonante e discreta de energia por gases, provada no experimento de Franck-Hertz quando submetidos a certos valores de diferen•a de potencial el‡trico. Ž A explica•ƒo da estabilidade atŠmica e da natureza discreta das raias espectrais, gra•as ao modelo do ‰tomo de Bohr, que postulava a quantiza•ƒo dos nˆveis de energia do ‰tomo. O desenvolvimento formal da teoria foi obra de esfor•os conjuntos de muitos fˆsicos e matem‰ticos da ‡poca como Erwin Schr†dinger, Werner Heisenberg, Einstein, P.A.M. Dirac, Niels Bohr e John von Neumann, entre outros (de uma longa lista).

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Formalismos Mais tarde, foi introduzido o formalismo hamiltoniano, baseado matematicamente no uso do lagrangiano, mas cuja elabora•ƒo matem‰tica ‡ muitas vezes mais f‰cil. [1] Greiner, Walter; Mller, Berndt (1994),Quantum Mechanics Symmetries, Second Edition, cap. 2, (http:/ / books.google.com/ books?id=gCfvWx6vuzUC&pg=PA52), Springer-Verlag, p. 52, ISBN 3-540-58080-8, [2] T.S. Kuhn, Black-body theory and the quantum discontinuity 1894-1912, Clarendon Press, Oxford, 1978. [3] A. Einstein, ‡ber einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt (Um ponto de vista heur„stico a respeito da produ•‚o e transforma•‚o da luz) , Annalen der Physik 17 (1905) 132-148 (reimpresso em The collected papers of Albert Einstein, John Stachel, editor, Princeton University Press, 1989, Vol. 2, pp. 149-166, em alemƒo; ver tamb‡m Einstein's early work on the quantum hypothesis, ibid. pp. 134-148).

Bibliografia Ž Mehra, J.; Rechenberg, H.. The historical development of quantum theory (em ingl‹s). [S.l.]: Springer-Verlag, 1982. Ž Kuhn, T.S.. Black-body theory and the quantum discontinuity 1894-1912(em ingl‹s). Oxford: Clarendon Press, 1978. Nota: O "Princ„pio da Incerteza" de Heisenberg ˆ parte central dessa teoria e da„ nasceu a famosa equa•‚o de densidade de probalidade de Schr‰dinger.

Ver tamb„m Ž Ž Ž Ž Ž

Introdu•ƒo „ mec…nica qu…ntica Teoria qu…ntica de campos V‰cuo qu…ntico Efeito tŒnel Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica

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Efeito fotoel‡trico

Efeito fotoel„trico O efeito fotoel„trico ‡ a emissƒo de el‡trons por um material, geralmente met‰lico, quando exposto a uma radia•ƒo eletromagn‡tica (como a luz) de frequ‹ncia suficientemente alta, que depende do material. Ele pode ser observado quando a luz incide numa placa de metal, literalmente arrancando el‡trons da placa. Observado a primeira vez por Heinrich Hertz em 1887[1] , o fenŠmeno ‡ tamb‡m conhecido por "efeito Hertz"[2] [3] , nƒo sendo por‡m este termo de uso comum. Os el‡trons que giram „ volta do nŒcleo sƒo aˆ mantidos por O efeito fotoel‡trico for•as de atra•ƒo. Se a estes for fornecida energia suficiente, eles abandonarƒo as suas €rbitas. O efeito fotoel‡trico implica que, normalmente sobre metais, se fa•a incidir um feixe de radia•ƒo com energia superior „ energia de remo•ƒo dos el‡trons do metal, provocando a sua saˆda das €rbitas: sem energia cin‡tica (se a energia da radia•ƒo for igual „ energia de remo•ƒo) ou com energia cin‡tica, se a energia da radia•ƒo exceder a energia de remo•ƒo do el‡trons. A grande dŒvida que se tinha a respeito do efeito fotoel‡trico era que quando se aumentava a intensidade da luz, ao contr‰rio do esperado, a luz nƒo arrancava os el‡trons do metal com maior energia cin‡tica. O que acontecia era que uma maior quantidade de el‡trons era ejetado. Por exemplo, a luz vermelha de baixa frequ‹ncia estimula os el‡trons para fora de uma pe•a de metal. Na visƒo cl‰ssica, a luz ‡ uma onda contˆnua cuja energia est‰ espalhada sobre a onda. Todavia, quando a luz fica mais intensa, mais el‡trons sƒo ejetados, contradizendo, assim a visƒo da fˆsica cl‰ssica que sugere que os mesmos deveriam se mover mais r‰pido (energia cin‡tica) do que as ondas. Quando a luz incidente ‡ de cor azul, essa mudan•a resulta em el‡trons muito mais r‰pidos. A razƒo ‡ que a luz pode se comportar nƒo apenas como ondas contˆnuas, mas tamb‡m como feixes discretos de energia chamados de f€tons. Um f€ton azul, por exemplo, cont‡m mais energia do que um f€ton vermelho. Assim, o f€ton azul age essencialmente como uma "bola de bilhar" com mais energia, desta forma transmitindo maior movimento a um el‡tron. Esta interpreta•ƒo corpuscular da luz tamb‡m explica por que a maior intensidade aumenta o nŒmero de el‡trons ejetados - com mais f€tons colidindo no metal, mais el‡trons t‹m probabilidade de serem atingidos. A explica•ƒo satisfat€ria para esse efeito foi dada em 1905, por Albert Einstein, e em 1921 deu ao cientista alemƒo o pr‹mio Nobel de Fˆsica.

Equa€‰es Analisando o efeito fotoel‡trico quantitativamente usando o m‡todo de Einstein, as seguintes equa•‚es equivalentes sƒo usadas: Energia do f€ton = Energia necess‰ria para remover um el‡tron + Energia cin‡tica do el‡tron emitido Algebricamente: onde Ž h ‡ a constante de Planck, Ž f ‡ a frequ‹ncia do foton incidente, Ž ‡ a fun•ƒo trabalho, ou energia mˆnima exigida para remover um el‡tron de sua liga•ƒo atŠmica,

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Efeito fotoel‡trico

Ž

16 ‡ a energia cin‡tica m‰xima dos el‡trons expelidos,

Ž f 0 ‡ a frequ‹ncia mˆnima para o efeito fotoel‡trico ocorrer, Ž m ‡ a massa de repouso do el‡tron expelido, e Ž vm ‡ a velocidade dos el‡tron expelidos. Notas: Se a energia do f€ton (hf ) nƒo ‡ maior que a fun•ƒo trabalho ( ), nenhum el‡tron ser‰ emitido. A fun•ƒo trabalho ‡ ocasionalmente designada por . Em fˆsica do estado s€lido costuma-se usar a energia de Fermi e nƒo a energia de nˆvel de v‰cuo como referencial nesta equa•ƒo, o que faz com que a mesma adquira uma forma um pouco diferente. Note-se ainda que ao aumentar a intensidade da radia•ƒo incidente nƒo vai causar uma maior energia cin‡tica dos el‡trons (ou electr‚es) ejectados, mas sim um maior nŒmero de partˆculas deste tipo removidas por unidade de tempo. [1] Sears, Francis W., Mark W. Zemansky e Hugh D. Young,University Physics, 6 edi•ƒo, Addison-Wesley, 1983, pp. 843-4. ISBN 0-201-07195-9. [2] The American journal of science (http:/ / books.google.com/ books?vid=0K0iBwtYewSsTOZn0bYsGb4&id=BPcQAAAAIAAJ). New Haven : J.D. & E.S. Dana. 1880, p. 234 [3] Weisstein, Eric W., "Eric Weisstein's World of Physics", 2007 (http:/ / scienceworld.wolfram.com/ physics/ HertzEffect.html), Eric Weisstein's World of Science, Wolfram Research


C‡lula fotoel‡trica Espectroscopia de el‡trons Espectroscopia de fotoel‡trons excitados por raios X Fun•ƒo trabalho Energia de limiar de fotoemissƒo


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Postulados da mecƒnica quƒntica Na Mec…nica Cl‰ssica a descri•ƒo de um sistema fˆsico ‡ resumida da seguinte forma: Ž O estado fˆsico do sistema em um dado tempo t0 ‡ descrito por especificando-se as coordenadas generalizadas e seus momentos conjugados Ž O valor dessas grandezas fˆsicas em um dado tempo ‡ completamente determinado se o estado desse sistema neste tempo ‡ conhecido. Ou seja,se o estado do sistema ‡ conhecido podemos determinar com exatidƒo o estado posterior do sistema ap€s a medida feita em Ž A evolu•ƒo no estado do sistema ‡ dado pelas leis de Newton ou por formula•‚es equivalentes (mec…nica lagrangiana ou hamiltoniana). O estado do sistema fica completamente determinado se conhecemos suas condi•‚es iniciais Na Mec…nica Qu…ntica a descri•ƒo de um sistema fˆsico nƒo se d‰ de forma tƒo simples. Esta teoria est‰ fundamentada nos seguintes postulados.

Postulados Postulado I O estado fˆsico do sistema em um dado tempo t 0 ‡ definido especificando-se um ket

pertencente ao espa•o dos

estados ’.

Postulado II Toda grandeza fˆsica

‡ descrita por um observ‰vel atuando no espa•o dos estados ’.

Postulado III Os resultados possˆveis em uma medida de uma grandeza fˆsica A sƒo os respectivos autovalores do observ‰vel correspondente.

Postulado IV Seja A uma grandeza fˆsica correspondente ao observ‰vel . Supondo que o sistema esteja no estado normalizado , isto ‡, . Se ‡ feita uma medida em A a probabilidade de ser encontrado o autovalor ‡ dada por: , onde

‡ o grau de degeneresc‹ncia de

.

Postulado V Se em uma medida da grandeza fˆsica

no estado

medida o estado do sistema ser‰ a proje•ƒo de

no subespa•o

, onde

‡ a proje•ƒo de

no subespa•o

encontramos um resultado

.

associado a

, imediatamente ap€s a

. Isto ‡,


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Postulado VI A evolu•ƒo no tempo

do vetor de estado de um sistema fˆsico ‡ governada pela Equa•ƒo de Schr†dinger.

Postulado VII O Postulado da simetriza•ƒo nos diz que quando um sistema possue v‰rias partˆculas id‹nticas somente alguns kets do espa•o dos estados podem descrever um sistema fˆsico. Estes kets sƒo, dependendo da natureza das partˆculas, completamente sim‡tricos ou completamente assim‡tricos com respeito „ permuta•ƒo das partˆculas. Particulas que possuem vetores de estado sim‡tricos sƒo chamadas de b…sons enquanto que as que possuem vetores de estado assim‡trico sƒo chamadas de f„rmions.

ReferŠncias bibliogr‡ficas Ž COHEN-TANNOUDJI, C.; DIU, B.; LALO“, F. Quantum Mechanics, 1” edi•ƒo. Wiley, Vol. 1, p. 1442-1446, 1977.

Albert Einstein Albert Einstein

Albert Einstein, em 1921. Nascimento

14 de Mar•o de 1879 Ulm, Baden-Wrttemberg Alemanha

Morte

18 de abril de 1955 (76 anos) Princeton, Estados Unidos Aneurisma

ResidŠncia

Alemanha, It‰lia, Suˆ•a, Estados Unidos

Nacionalidade

Alemƒ (1879 „ 1896, 1914 „ 1933) Sem nacionalidade (1896 „ 1901) Suˆ•a (1901 „ 1955) Austrâca (1911 „ 1912) Americana (1940 „ 1955)

Etnicidade

Judeu

Progenitores

Mƒe: Pauline Koch Pai: Hermann Einstein

Albert Einstein

19

Casamento dos progenitores

8 de agosto de 1876

Campo(s)

Fˆsica

Institui€‰es

Escrit€rio de patentes suˆ•o (Berna), Universidade de Zurique, Universidade Carolina, Academia de Ci‹ncias da PrŒssia, Instituto Kaiser Wilhelm, Universidade de Leiden, Instituto de Estudos Avan•ados de Princeton

Alma mater

Instituto Federal de Tecnologia de Zurique, Universidade de Zurique

Tese

1905: Eine neue Bestimmung der MolekŠldimensionen

Orientador(es)

Alfred Kleiner

Orientado(s)

Ernst Gabor Straus

Conhecido(a) por

Relatividade geral Relatividade restrita Movimento browniano Efeito fotoel‡ctrico E=mc Equa•‚es de campo de Einstein Estatˆstica de Bose-Einstein Paradoxo EPR

PrŠmio(s)

Nobel de Fˆsica (1921), Medalha Matteucci (1921), Medalha Copley (1925), Medalha de Ouro da Royal Astronomical Society (1926), Medalha Max Planck (1929), Medalha Franklin (1935)

Assinatura

Albert Einstein (em alemƒo AFI: […alb†t …a‡ˆn‰ta‡ˆn] Media:Albert_Einstein_german.oggAjuda:Guia de consulta e reprodu•ƒo/introdu•ƒo „ mˆdiaImage:Albert_Einstein_german.ogg, em ingl‹s: AFI: […–lbŠt …a‡nsta‡n]; Ulm, 14 de Mar•o de 1879 „ Princeton, 18 de Abril de 1955) foi um fˆsico te€rico alemƒo radicado nos Estados Unidos. 100 fˆsicos renomados o elegeram, em 2009, o mais memor‰vel fˆsico de todos os tempos.[1]  conhecido por desenvolver a teoria da relatividade. Recebeu o Nobel de Fˆsica de 1921, pela correta explica•ƒo do efeito fotoel‡ctrico; no entanto, o pr‡mio s€ foi anunciado em 1922. O seu trabalho te€rico possibilitou o desenvolvimento da energia atŠmica, apesar de nƒo prever tal possibilidade. Devido „ formula•ƒo da teoria da relatividade, Einstein tornou-se mundialmente famoso. Nos seus Œltimos anos, sua fama excedeu a de qualquer outro cientista na cultura popular: "Einstein" tornou-se um sin€nimo de g‡nio. Foi por exemplo eleito pela revista Time como a "Pessoa do S‡culo", e a sua face ‡ uma das mais conhecidas em todo o mundo. Em 2005 celebrou-se o Ano Internacional da Fˆsica, em comemora•ƒo aos cem anos do chamado "Annus Mirabilis" (ano miraculoso) de Einstein, em que este publicou quatro dos mais fundamentais artigos cientifˆcos da fˆsica do s‡culo XX. Em sua honra, foi atribuˆdo o seu nome a uma unidade usada na fotoquˆmica, o einstein, bem como a um elemento quˆmico, o einst‹nio.

Biografia Albert Einstein nasceu na regiƒo alemƒ de Wrttemberg, na cidade de Ulm, numa famˆlia judaica. Em 1852, o avŠ materno de Einstein, Julius Koch, estabelece-se como comerciante de cereais em Bad Cannstatt, nos arredores de Estugarda. Os pais de Einstein, Hermann Einstein e Pauline Koch, casaram-se em 8 de agosto de 1876. Hermann, que era comerciante, muda-se de Bad Buchau para a cidade de Ulm, onde passou a viver com a esposa.  em Ulm que nasce Albert Einstein, em 14 de mar•o de 1879. [2]

Albert Einstein

Munique Em 21 de Junho de 1880, a famˆlia Einstein muda-se para Munique, onde Hermann e seu irmƒo mais novo Jakob, entƒo solteiro, que era engenheiro, din…mico e empreendedor, fundam a empresa de materiais el‡tricos Jakob Einstein & Cie. Em 1885 os irmƒos Einstein vendem sua parte da firma e investem seu capital, adicionado ao cr‡dito de parentes, fundando a "Elektrotechnische Fabrik J. Einstein & Cie", convencidos de que este setor em pleno crescimento oferece melhor rentabilidade do que o tradicional neg€cio de penas de colchƒo. Na d‡cada de 1880, a cidade de Munique, em processo de industrializa•ƒo (relativamente tardio) desenvolveu-se muito, crescendo a popula•ƒo a um ritmo de dezessete mil novos habitantes por ano. O material el‡ctrico, uma tecnologia relativamente recente, tem alta conjuntura nestes anos. A empresa do pai de Einstein chegou a ter entre 150 e 200 trabalhadores nos seus melhores dias. Dois dos contratos que a empresa obteve foram a electrifica•ƒo da cidade de Schwabing (hoje um bairro de Munique) e de Theresienwiese onde se realiza a famosa Oktoberfest de Munique.[carece de fontes?] A 18 de Novembro de 1881, nasce Maria Einstein (Maja). Einstein teria sempre uma rela•ƒo muito ˆntima com a irmƒ. Einstein e Maja recebem uma educa•ƒo nƒo religiosa. Em casa nƒo se come casher, a famˆlia nƒo frequenta a sinagoga. O pai considera os ritos judeus como supersti•‚es antiquadas. Na casa dos Einstein imperava o espˆrito nƒo dogm‰tico. Com tr‹s anos, Einstein tinha ainda dificuldades de fala, o que preocupou os pais; apesar disso, revelou-se um aluno brilhante.[3] [4] A juventude de Einstein ‡ solit‰ria. As outras crian•as chamam-lhe "Bruder Langweil" (irmƒo t‡dio) e "Biedermann" (mesquinho). Aos cinco anos de idade, Einstein recebe instru•ƒo de uma professora em casa. Sua instru•ƒo termina quando Einstein aborrecido arremesa uma cadeira sobre sua professora. Nesta altura, o seu pai mostra-lhe uma bŒssola de bolso; Einstein apercebeu-se de que algo fazia flutuar a agulha no espa•o e descreveu mais tarde a "impressƒo profunda e duradoura" desta experi‹ncia. [5] Aos seis anos de idade, Einstein tem aulas de violino com Herr Schimied, que a princˆpio nƒo lhe agradam, terminando por abandon‰-las. Mas ao longo da sua vida tocar violino, e em particular as sonatas de Mozart, torna-se uma das suas actividades preferidas. A 1 de Outubro de 1885, Einstein come•a a frequentar uma escola prim‰ria Volksschule, escola cat€lica em Munique (uma cidade fortemente conservadora que sempre permaneceu maioritariamente cat€lica, apesar das simpatias iniciais por Lutero, bem cedo combatidas pelos Jesuˆtas). Os pais de Einstein, por nƒo serem judeus praticantes, nƒo se importaram que o filho frequentasse inclusive a catequese, que agradou bastante a Einstein.[6] Curiosamente Einstein desenvolve sozinho uma fervente f‡ judaica e passa a cumprir os rituais judeus incluindo o Shabat e a comida kosher. Einstein era aluno seguro e persistente, no entanto um pouco lento na resolu•ƒo de problemas. Suas notas estavam entre as melhores da classe, e seu boletim era brilhante, segundo sua mƒe Pauline. Durante esses anos obteve as mais altas notas em latim e em matem‰tica.[carece de fontes?] Uma lenda amplamente divulgada,[7] diz que Einstein teria sido reprovado em matem‰tica quando era estudante, inclusive reproduzida no famoso Ripley's believe it or not! ("Acredite se quiser"). Entretanto quando lhe mostraram um recorte de jornal com esta questƒo, Einstein riu [carece de fontes?]. "Nunca fui reprovado em matem†tica" , retrucou.[carece de fontes?] "Antes dos quinze anos, j† dominava c†lculo diferencial e integral" [carece de fontes?]. Aos dez anos, Albert conhece Max Talmud, um jovem estudante de medicina que costuma jantar com a famˆlia Einstein. Max foi uma influ‹ncia importantˆssima na vida de Albert porque o introduziu, apesar da sua tenra idade, „ leitura de importantes obras cientˆficas e filos€ficas, como por exemplo Os Elementos de Euclides ou a Crˆtica da Razƒo Pura de Kant. Em consequ‹ncia dos seus estudos sobre ci‹ncia, Einstein abandona completamente a f‡ judaica aos doze anos.[carece de fontes?] Einstein estudou c‰lculo diferencial e integral dos doze (idade em que ganhou de seu tio um livrinho de geometria euclidiana) aos dezesseis anos de idade. Mais tarde frequentou o Luitpold Gymnasium (equivalente „ escola secund‰ria) em Munique at‡ aos quinze anos. Este perôdo para Einstein foi de intensa religiosidade, motivada pela escola. O seu pai pretendia que Einstein estudasse engenharia el‡ctrica, mas este incompatibilizou-se com as autoridades e o regime escolar. Descreveria mais tarde como o pensamento criativo e a aprendizagem eram perdidos

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com a utiliza•ƒo de aprendizagem por memoriza•ƒo.[carece de fontes?] Entretanto, os neg€cios do pai de Einstein come•am a correr pior do que se esperava. H‰ uma grande concentra•ƒo da indŒstria do sector el‡ctrico. Como ‡ tˆpico com os mercados tecnol€gicos, ap€s o perôdo de grandes nŒmeros de empresas pequenas e inovadoras, h‰ um ciclo de reestrutura•‚es e concentra•ƒo. Hermann Einstein v‹-se obrigado a largar o controle da sua empresa de Munique. A firma ‡ comprada em 1894 pela AEG (Allgemeine Elektrizit—tsgesellschaft). Poucos anos depois, em 1910, existiriam apenas duas grandes empresas no sector: Siemens & Halske e a AEG.[carece de fontes?]

It‡lia Em 1894 Hermann Einstein muda-se com a famˆlia para It‰lia, primeiro para Milƒo e, alguns meses mais tarde, para Pavia. Ele tencionava abrir ali um novo neg€cio no setor el‡trico com o dinheiro de que dispunha, uma ideia que acabaria por lev‰-lo „ fal‹ncia.[carece de fontes?] O jovem Albert Einstein (tem quinze anos) permanece em Munique por mais uns meses ao cuidado de familiares, a fim de terminar o ano letivo. Einstein por‡m fica deprimido por sentir-se s€ e parte para junto de sua famˆlia na It‰lia. Einstein escreveu neste perôdo o seu primeiro trabalho cientˆfico: "A Investiga•ƒo do Estado do ter em Campos Magn‡ticos".[8]

Su†€a Em 1895, decide entrar na universidade antes de terminar o ensino secund‰rio. Com esse objectivo fez exames de admissƒo „ ETH Zrich (Eidgen†ssische Technische Hochschule, Universidade Federal Suˆ•a em Zurique), mas ‡ reprovado na parte de humanidades dos exames. [9] Einstein descreveu que foi nesse mesmo ano, aos dezesseis anos de idade, que realizou a sua primeira experi‹ncia mental, visualizando uma viagem lado a lado com um feixe de luz.[10] Foi entƒo enviado para a cidade de Aarau no cantƒo suˆ•o de Arg€via para terminar a escola secund‰ria, onde estudou a teoria electromagn‡tica de Maxwell. Em 1896 recebe o seu diploma. Em 1896, Einstein (com dezassete anos de idade) renuncia „ cidadania alemƒ com o intuito de assim evitar o servi•o militar alemƒo. [carece de fontes?] Cursou o ensino superior na Suˆ•a, na ETH Zrich, onde mais tarde foi docente. Concluiu a gradua•ƒo em Fˆsica em 1900.[11] Tamb‡m em 1900, conheceu Michele Besso, que o apresentou „s obras de Ernst Mach. No ano seguinte, publicou um artigo sobre for•as capilares no Annalen der Physik ,[12] uma das mais prestigiadas publica•‚es cientˆficas em Fˆsica. Pede entƒo a naturaliza•ƒo suˆ•a, que receberia a 21 de Fevereiro de 1901. Pagou os vinte francos suˆ•os que o seu passaporte custou (uma quantia consider‰vel) com as suas pr€prias poupan•as. Nunca deixaria de ser cidadƒo suˆ•o.[13] Nas inŒmeras viagens que faria no futuro, Einstein usaria o seu passaporte suˆ•o.

O casal Albert e Mileva.

A 6 de Janeiro de 1903 casou-se com Mileva Mari˜, sem a presen•a dos pais da noiva. Albert e Mileva tiveram tr‹s filhos: Lieserl Einstein, Hans Albert Einstein e Eduard Einstein. A primeira, presume-se que tenha morrido ainda beb‡ ou que tenha sido dada para ado•ƒo, o do meio tornou-se um importante professor de Hidr‰ulica na Universidade da Calif€rnia e o mais jovem, formado em MŒsica e Literatura, morreu num hospital psiqui‰trico suˆ•o.[carece de fontes?]

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Annus Mirabilis Obteve o doutorado em 1905. No mesmo ano escreveu quatro artigos fundamentais para a Fˆsica Moderna, afirmando-se por esta razƒo que 1905 foi o "annus mirabilis" para Einstein.[carece de fontes?] O primeiro artigo de 1905[14] propŠs a ideia dos "quanta de luz" (os atuais f€tons) e mostrou como ‡ que poderiam ser utilizados para explicar fenŠmenos como o efeito fotoel‡trico. A teoria dos quanta de luz de Einstein nƒo recebeu quase nenhum apoio por parte dos fˆsicos durante vinte anos, pois contradizia a teoria ondulat€ria da luz subjacente „s equa•‚es de Maxwell. Mesmo depois das experi‹ncias terem demonstrado que as equa•‚es de Einstein para o efeito fotoel‡ctrico eram exatas, a explica•ƒo proposta por ele nƒo foi aceita. Em 1921, quando recebeu o pr‹mio Nobel pelo seu trabalho sobre o efeito fotoel‡trico, a maior parte dos fˆsicos ainda pensava que as equa•‚es estavam correctas, mas que a ideia de quanta de luz seria impossˆvel. O segundo artigo deste ano foi sobre o movimento browniano,[15] que constitui uma evid‹ncia experimental da exist‹ncia dos ‰tomos. Antes deste artigo, os ‰tomos eram considerados um conceito Œtil, mas sua Foto para o Pr‹mio Nobel, em 1921. exist‹ncia concreta era controversa. Einstein relacionou as grandezas estatˆsticas do movimento browniano com o comportamento dos ‰tomos e deu aos experimentalistas um m‡todo de contagem dos ‰tomos atrav‡s de um microsc€pio vulgar. Wilhelm Ostwald, um dos que se opunham „ ideia dos ‰tomos, disse mais tarde a Arnold Sommerfeld que mudou de opiniƒo devido „ explica•ƒo de Einstein do movimento browniano. O terceiro artigo de 1905,[16] sobre eletrodin…mica de corpos em movimento, introduziu a relatividade restrita. Estabeleceu uma rela•ƒo entre os conceitos de tempo e dist…ncia. Algumas das ideias matem‰ticas j‰ haviam sido introduzidas um ano antes pelo fˆsico neerland‹s Hendrik Lorentz, mas Einstein mostrou como era possˆvel entender esses conceitos. O seu trabalho baseou-se em dois axiomas: um foi a ideia de Galileu de que as leis da natureza sƒo as mesmas para todos os observadores que se movem a uma velocidade constante relativamente uns aos outros; o outro, a ideia de que a velocidade da luz ‡ a mesma para todos os observadores. A relatividade restrita tem algumas consequ‹ncias importantes, j‰ que sƒo rejeitados conceitos absolutos de tempo e tamanho. A teoria ficou conhecida mais tarde por "Teoria da Relatividade Restrita" para ser distinguida da teoria geral que Einstein desenvolveu mais tarde, a qual considera que todos os observadores sƒo equivalentes.

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23 No quarto artigo,[17] uma extensƒo do terceiro, Einstein introduz o conceito de massa inercial. Nele, Einstein deduziu a famosa rela•ƒo entre a massa e a energia: . (Embora Umberto Bartocci, tenha afirmado que a equa•ƒo teria sido publicada primeiramente em 1903, pelo italiano Olinto De Pretto).[18] Esta equa•ƒo esteve na base de constru•ƒo de bombas nucleares. A ideia serviu mais tarde para explicar como ‡ que o Big Bang, uma explosƒo de energia, poderia ter dado origem „ mat‡ria.

A famosa equa•ƒo ‡ mostrada no Taipei 101 durante o evento do ano mundial da Fˆsica em 2005.

Berlim Em 1914, pouco antes do inˆcio da Primeira Guerra Mundial, Einstein instalou-se em Berlim onde foi nomeado director do Instituto Kaiser Wilhelm de Fˆsica (1917 - 1933), sendo senador da Sociedade Kaiser Wilhelm (1923 - 1933), e professor da Universidade de Berlim, tornando-se, novamente, cidadƒo alemƒo no mesmo ano. [carece de fontes?] Em novembro de 1915, Einstein apresentou perante a Academia de Ci‹ncias da PrŒssia uma s‡rie de confer‹ncias onde apresentou a sua teoria da relatividade geral sob o tˆtulo " As equa•ƒes de campo da gravita•‚o." A confer‹ncia final culminou com a apresenta•ƒo de uma equa•ƒo que substituiu a lei da gravita•ƒo de Isaac Newton. Esta teoria considera que todos os observadores sƒo equivalentes, e nƒo s€ aqueles que se movem a velocidade uniforme. Na relatividade geral, a gravidade nƒo ‡ uma for•a (como na segunda lei de Newton) mas uma consequ‹ncia da curvatura do espa•o-tempo. A teoria serviu de base para o estudo da cosmologia e deu aos cientistas ferramentas para entenderem caracterˆsticas do universo que s€ foram descobertas bem depois da morte de Einstein.[carece de fontes?] Einstein, 1921. A rela•ƒo de Einstein com a Fˆsica Qu…ntica ‡ bastante interessante. Ele foi o primeiro a afirmar que a teoria qu…ntica era revolucion‰ria. A sua ideia de luz qu…ntica foi um corte com a Fˆsica cl‰ssica. Em 1909, Einstein sugeriu numa confer‹ncia que era necess‰rio encontrar uma forma de entender em conjunto partˆculas e ondas. No entanto, em

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meados dos anos 1920, quando a teoria qu…ntica original foi substituˆda pela nova mec…nica qu…ntica, Einstein discordou da interpreta•ƒo de Copenhaga porque ela defendia que a realidade era aleat€ria ou probabilˆstica. Einstein concordava que a Mec…nica Qu…ntica era a melhor teoria disponˆvel, mas procurou sempre uma explica•ƒo fontes?] determinista, isto ‡ nƒo-probabilˆstica. [carece de fontes? A famosa afirma•ƒo de Einstein, " A " A mec€nica qu€ntica est† a impor-se. Mas uma voz interior diz-me que ainda n‚o ˆ a teoria certa. A teoria diz muito, mas n‚o nos aproxima do segredo do Velho ( the Old One). One). Eu estou convencido que Ele n‚o joga aos dados.", dados.", apareceu numa carta a Max Born datada de 12 de Dezembro de 1926. Nƒo era uma rejei•ƒo da teoria estatˆstica. Ele tinha usado a an‰lise estatˆstica no seu trabalho sobre movimento browniano e sobre fontes?] o efeito fotoel‡ctrico. Mas Einstein nƒo acreditava que, na sua ess‹ncia, a realidade fosse aleat€ria.[carece de fontes? O seu pacifismo e a sua origem judaica tornaram-no impopular entre os nacionalistas alemƒes. Depois de se ter tornado mundialmente famoso (em 7 de Novembro de1919, quando o Times de Londres anunciou o sucesso da sua fontes?] teoria da gravidade) o €dio dos nacionalistas tornou-se ainda mais forte.[carece de fontes? Em 1919, ano da famosa confirma•ƒo do desvio de luz em Sobral e Prˆncipe, Albert Einstein divorcia-se de Mileva e casa-se com a sua prima fontes?] divorciada Elsa.[carece de fontes? Em 1920, durante uma de suas aulas em Berlim, h‰ um incidente com manifesta•‚es anti-semitas, o que levou Einstein a deter-se com mais fontes?] aten•ƒo aos factos que entƒo ocorriam na Alemanha.[carece de fontes?

Albert Einstein e sua esposa Elsa.

Em 1921, Einstein acompanha uma delega•ƒo Sionista „ Palestina. Ele prop‚e para a Palestina um estado baseado no modelo suˆ•o, onde mu•ulmanos e judeus poderiam viver lado a lado em paz. Sendo um fˆsico famoso, Einstein participa numa campanha de angaria•ƒo de fundos para a Universidade Hebraica de Jerusal‡m. Ele apoia o plano de uma universidade onde judeus de todo o mundo possam estudar sem fontes?] serem vˆtimas de discrimina•ƒo. [carece de fontes?

Albert Einstein em 1921.

Recebeu o Nobel de Fˆsica de 1921 pela explica•ƒo do efeito fotoel‡ctrico; no entanto, o pr‡mio s€ foi anunciado em 1922. Einstein receberia a quantia de 120 000 coroas suecas. Einstein nƒo participou da cerim€nia de atribui•ƒo do pr‡mio pois encontrava-se no Japƒo nessa altura. Ao longo de sua vida, Einstein visitaria diversos paˆses, incluindo alguns da Am‡rica Latina. Entre 1925 e 1928, Einstein foi presidente da fontes?] Universidade Hebraica de Jerusal‡m. [carece de fontes?

Em 1933, Adolf Hitler chega ao poder na Alemanha. Einstein, judeu, encontra-se agora em perigo.  avisado por amigos de que h‰ planos para o seu assassinato e ‡ aconselhado a fugir. fontes?] Einstein renuncia mais uma vez „ cidadania alemƒ.[carece de fontes? A 7 de Outubro de 1933, Einstein parte do porto de Southampton num navio para os Estados Unidos, o seu novo lar. fontes?] Nunca voltaria a viver na Europa.[carece de fontes? Participou da 1”, 2”, 5” e 7” Confer‹ncia de Solvay.

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Brasil Einstein fez uma viagem „ Am‡rica do Sul, em 1925, visitando paˆses como Argentina, Uruguai e tamb‡m o Brasil.[19] Al‡m de fazer confer‹ncias cientˆficas, visitou universidades e institui•‚es de pesquisas. O navio que o trouxe ao Brasil foi o Cap Polonio. Ficou hospedado no Hotel Gl€ria e gostou da goiaba, servida no caf‡ da manhƒ. Em 21 de mar•o passou pelo Rio de Janeiro, onde foi recebido por jornalistas, cientistas e membros da comunidade judaica. Visitou o Jardim Bot…nico e fez o seguinte coment‰rio, por escrito, para o jornalista Assis Chateaubriand: "O problema que minha mente formulou foi respondido pelo luminoso cû do Brasil" .[20] Tal afirma•ƒo dizia respeito a uma Carlos Chagas e a equipe do Instituto Oswaldo Cruz, em recep•ƒo a observa•ƒo do eclipse solar registrada na cidade Albert Einstein. cearense de Sobral por uma equipe de cientistas brit…nicos, liderada por Sir Arthur Stanley Eddington, que buscava vestˆgios que pudessem comprovar a Teoria da Relatividade, at‡ entƒo mera especula•ƒo. Albert fontes?] Einstein nunca chegou a visitar a cidade de Sobral.[carece de fontes? Em 24 de abril de 1925, Einstein deixou Buenos Aires e alcan•ou Montevid‡u. Fez ali tr‹s confer‹ncias e, tal como na Argentina, participou de v‰rias recep•‚es e visitou o presidente da RepŒblica. Permaneceu no Uruguai por uma semana, de onde saiu no primeiro dia de maio, em dire•ƒo ao Rio de Janeiro, no navio Valdˆvia. Desembarcou novamente no Rio de Janeiro em 4 de maio. Nos dias seguintes percorreria v‰rios pontos turˆsticos da cidade, incluindo o Pƒo de A•ucar, o Corcovado e a Floresta da Tijuca. As anota•‚es de seu di‰rio ilustram bem suas percep•‚es quanto „ natureza tropical do local.[21] No dia 6 de Maio, visitou o entƒo presidente da RepŒblica, Artur Bernardes, al‡m de alguns ministros. [20] Seu programa turˆstico-cientˆfico no Brasil incluiu diversas visitas a institui•‚es, como o Museu Nacional, a Academia Brasileira de Ci‹ncias e o Instituto Oswaldo Cruz, e duas confer‹ncias: uma no Clube de Engenharia do Rio de Janeiro e a outra na Escola Polit‡cnica do Largo de Sƒo Francisco, atual Escola Polit‡cnica da Universidade fontes?] Federal do Rio de Janeiro.[carece de fontes? Atrav‡s de ondas da r‰dio Sociedade, criada em 1923, Einstein proferiu em alemƒo uma mensagem „ popula•ƒo, que foi traduzida pelo quˆmico M‰rio Saraiva.[19] Nesta mensagem, o cientista destacou a import…ncia dos meios radiofŠnicos para a difusƒo da cultura e do aprendizado cientˆfico, desde que sejam utilizados e preservados por profissionais qualificados.[19] Einstein deixaria o Rio no dia 12 de maio. Essa sua visita foi amplamente divulgada pela imprensa e influenciou na luta pelo estabelecimento de pesquisa b‰sica e para a difusƒo das ideias da fˆsica moderna no Brasil. [19] Deixando o Rio, o j‰ famoso fˆsico alemƒo enviou, do navio, uma carta ao Comit‹ Nobel. Nesta carta, sugeria o nome do marechal C…ndido Rondon para o Nobel da Paz.[20] Einstein teria se impressionado com o que se informou sobre as atividades de Rondon em rela•ƒo „ integra•ƒo de tribos indˆgenas ao homem civilizado, sem o uso de armas ou algo do tipo.[20]

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Princeton Em 1932 aceitou uma posi•ƒo no Instituto de Estudos Avan•ados da Universidade de Princeton, Nova Jersey como professor de fˆsica te€rica e em 1933 com a subida dos Nazis decidiu viver permanentemente aˆ. Einstein passou os passou os Œltimos quarenta anos de sua vida tentando unificar os campos eletromagn‡tico e o gravitacional numa Œnica teoria que ele chamava de Teoria do Campo Unificado. Procurou unificar as for•as fundamentais, isto ‡ a for•a gravitacional e a for•a electromagn‡ctica, numa teoria que descrevesse as for•as como uma Œnica for•a, do mesmo modo que a teoria de Maxwell une as for•as el‡ctrica e magn‡tica. No entanto nƒo incluâ no seu modelo as for•as nucleares forte e fraca, que na ‡poca, e at‡ 1970, nƒo eram compreendidas como for•as separadas. [carece de fontes??] fontes

Em 1941 tem inˆcio o Projecto Manhattan (o desenvolvimento de uma bomba atŠmica). Pronunciamento oficial do pr€prio Albert Einstein sobre o referido tema:[22]

Albert Einstein em seu Œltimo ano de vida. Minha responsabilidade responsabilidade na quest‚o da bomba bomba atŒmica se limita a uma nica interven•‚o: interven•‚o: escrevi uma carta ao Presidente Roosevelt. Eu sabia sabia ser necess†ria e urgente urgente a organiza•‚o organiza•‚o de experiŽncias experiŽncias de grande envergadura envergadura para o estudo e a realiza•‚o realiza•‚o da bomba atŒmica. E o disse. Conhecia tambˆm o risco universal causado pela descoberta da bomba. Mas os s†bios alem‚es se encarni•avam sobre o mesmo problema e tinham todas as chances de resolvŽ-lo. Assumi portanto minhas responsabilidades. responsabilidades. E no entanto sou apaixonadamente apaixonadamente um pacifista e minha maneira de ver n‚o ˆ diferente diante da mortandade em tempo de paz. J† que as na•ƒes n‚o se resolvem resolve m a su primir a guerra por por uma a•‚o conjunta, conjunta, j† que n‚o super am am os conflitos por p or uma arbitragem pac„fica e n‚o baseiam baseiam seu seu direito direito sobre a lei, elas se vŽem inexoravelmente obrigadas a preparar a preparar a guer ra. ra. Participando da corrida geral dos armamentos armam entos e n‚o querendo perder, concebem co ncebem e executam executam os planos mais detest†veis. detest†veis. Precipitam-se Precipitam-se para a guerra. Mas hoje, a guerra a guerra se chama chama o aniquilamento da humanidade. Protestar hoje contra os armamentos n‚o quer dizer nada e n‚o muda nada. S a S a supress‚o de finitiva de finitiva do risco universal universal da guerra d† sentido e oportunidade oportunidade  sobrevivŽncia sobrevivŽncia do mundo. mundo. Daqui em diante, eis nosso nosso labor cotidiano cotidiano e nossa inabal†vel inabal†vel decis‚o: decis‚o: lutar contra a raiz raiz do mal e n‚o contra contra os efeitos. O homem aceita lucidamente esta exigŽncia. Que importa que seja acusado de anti-social ou de utpico? Gandhi encarna o maior gŽnio pol„tico de nossa civiliza•‚o. Definiu o sentido concreto de uma pol„tica e soube encontrar em cada homem um inesgot†vel hero„smo quando descobre descobre um objetivo e um valor para sua a•‚o. A ‘ndia, hoje livre, prova a justeza de seu testemunho. Ora, o poder material, em aparŽncia aparŽncia invenc„vel, do do Impˆrio Brit€nico foi submergido por por uma vontade inspirada inspirada por ideias ideias simples e claras

„

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. fontes?] Em 1945, Einstein reforma-se da carreira universit‰ria.[carece de fontes?

Em 1952, David Ben-Gurion, entƒo o primeiro-ministro de Israel, convida Albert Einstein para suceder a Chaim Weizmann no cargo de presidente do estado de Israel. Einstein agradece mas recusa, alegando que nƒo est‰ „ altura

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do cargo.[carece de fontes?] Morreu em 18 de Abril de 1955, aos 76 anos, em conseq‹ncia de um aneurisma. O seu corpo foi cremado mas seu c‡rebro foi doado ao cientista Thomas Harvey, patologista do Hospital de Princeton. [carece de fontes?]O c‡rebro de Einstein pesava 1230 g, enquanto a m‡dia para homens ‡ de 1400 g. Seu volume tamb‡m era menor, estava quatro centˆmetros abaixo da m‡dia. Essa diminui•ƒo de peso e volume pode estar relacionada „ idade com que o cientista morreu: 76 anos.[23]

Pol†tica e religi•o Einstein considerava-se um socialista. [24] Neste artigo de 1949, descreveu a "fase predat€ria do desenvolvimento humano", exemplificada pelo anarquismo capitalista da sociedade, como uma origem de mal a ser ultrapassada. Nƒo concordava com os regimes totalit‰rios de inspira•ƒo socialista. No inˆcio, foi a favor da constru•ƒo da bomba at€mica para derrotar Adolf Hitler, mas depois da guerra fez pressƒo a favor do desarmamento nuclear e de um governo mundial. Pelo facto de defender os direitos civis e das suas ideias socialistas, Einstein chamou a aten•ƒo do FBI, que o investigou sob a acusa•ƒo de pertencer ao Partido Comunista. O governo americano recentemente liberou os arquivos que cont‹m a sua visƒo sobre a pessoa de Einstein e as suas actividades pessoais e polˆticas. Num desses arquivos comenta-se que o cientista era "inadmissˆvel para os Estados Unidos" por v‰rias raz‚es, principalmente porque, segundo as palavras dos servi•os, cria, aconselhava e ensinava uma doutrina anarquista, al‡m de ser membro e afiliado a grupos que admitiam "actuar ilegalmente contra os princˆpios fundamentais do governo organizado". Einstein era profundamente pacifista, tendo intervindo diversas vezes a favor da paz no mundo e do abandono das armas nucleares. Em 1944, um manuscrito do seu trabalho de 1905, devidamente autografado, foi leiloado, e os cerca de seis milh‚es de d€lares arrecadados foram revertidos para a ajuda „s vˆtimas da Segunda Guerra Mundial. Este documento encontra-se hoje na Biblioteca do Congresso dos EUA.[carece de fontes?]

Uma semana antes de sua morte assinou a sua Œltima carta, endere•ada a Bertrand Russell, concordando em que o seu nome fosse incluˆdo numa peti•ƒo exortando todas as na•‚es a abandonar as armas nucleares. [carece de fontes?]

Einstein e Robert Oppenheimer.

Einstein era tamb‡m um sionista cultural convicto, tendo em diversas ocasi‚es defendido o desenvolvimento do Estado Judaico na Palestina. Em particular, foi membro do conselho de governadores da Universidade Hebraica de Jerusal‡m. Sendo antinacionalista e pacifista, esteve no entanto contra alguns dos acontecimentos que levaram ao nascimento do Estado Judaico. Einstein acreditava que o estado de Israel deveria acolher judeus e palestinos de modo pacˆfico, num modelo confederacional semelhante ao do estado suˆ•o.[carece de fontes?] Einstein era religioso, no entanto nƒo professava a f‡ judaica. Do ponto de vista religioso, ele se encontrava entre o panteˆsmo de Baruch Spinoza e o deˆsmo na qual se acredita que ‡ com a razƒo, e nƒo com a F‡, que se chega a Deus. Alguns historiadores argumentam que, devido a suas declara•‚es, tanto panteˆstas quanto deˆstas ao longo de sua vida, talvez ele seja melhor classificado como um pandeˆsta.[carece de fontes?] Acreditava que Deus se revelava atrav‡s da harmonia das leis da natureza e rejeitava o Deus pessoal que interv‡m na Hist€ria. Era tamb‡m crente no total determinismo do universo e excluâ a possibilidade do livre arbˆtrio dos seres

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humanos. Para Einstein "o Homem ‡ livre de fazer o que quer, mas nƒo ‡ livre de querer o que quer", o que significa que o Homem age sempre de forma compulsiva, sem uma verdadeira liberdade, todos os seus actos sendo determinados pelas leis da natureza. [carece de fontes?] A seguinte carta breve de Einstein, escrita a 24 de setembro de 1946 a Isaac Hirsch, o presidente da Congrega•ƒo B'er Chaym, ilustra bem a rela•ƒo de Einstein com a religiƒo judaica e o seu senso de humor tˆpico:

Selo mostrando Albert Einstein. Este selo foi confeccionado em 2005 em comemora•ƒo ao ano da fˆsica.

Meu caro Sr. Hirsch, muito obrigado pelo seu gentil convite. Apesar de eu ser uma espˆcie de Santo Judeu, tenho estado ausente da Sinagoga h† tanto tempo, que receio que Deus n‚o me iria reconhecer, e se me reconhecesse seria ainda pior. Com os meus melhores cumprimentos e votos de bons feriados para si e para a sua congrega•‚o. Agradecendo mais uma vez, [carece de fontes?]

Em sua obra Como Vejo o Mundo no tema religiosidade, Einstein procura enfatizar seu ponto de vista do mundo e suas concep•‚es em temas fundamentais „ forma•ƒo do homem, tais como o sentido da vida, o lugar do dinheiro, o fundamento da moral e a liberdade individual. O Estado, a educa•ƒo, o senso de responsabilidade social, a guerra e a paz, o respeito „s minorias, o trabalho, a produ•ƒo e a distribui•ƒo de riquezas, o desarmamento, a conviv‹ncia pacˆfica entre as na•‚es sƒo alguns dos temas que ele trata, entre outros. [carece de fontes?] Um breve discurso de Albert Einstein: O esp„rito cient„fico, fortemente armado com seu mˆtodo, n‚o existe sem a religiosidade csmica. Ela se distingue da cren•a das multidƒes ingŽnuas que consideram Deus um Ser de quem esperam benignidade e do qual temem o castigo - uma espˆcie de sentimento exaltado da mesma natureza que os la•os do filho com o pai, um ser com quem tambˆm estabelecem rela•ƒes pessoais, por respeitosas que sejam. Mas o s†bio, bem convencido, da lei de causalidade de qualquer acontecimento, decifra o futuro e o passado submetidos s mesmas regras de necessidade e determinismo. A moral n‚o lhe suscita problemas com os deuses, mas simplesmente com os homens. Sua religiosidade consiste em espantar-se, em extasiar-se diante da harmonia das leis da natureza, revelando uma inteligŽncia t‚o superior que todos os pensamentos humanos e todo seu engenho n‚o podem desvendar, diante dela, a n‚o ser seu nada irrisrio. Este sentimento desenvolve a regra dominante de sua vida, de sua coragem, na medida em que supera a servid‚o dos desejos ego„stas. Indubitavelmente, este sentimento se compara quele que animou os esp„ritos criadores religiosos em todos os tempos. [carece de fontes?]

Em 2008,[25] veio ao pŒblico uma carta de propriedade de um colecionador particular, cuja autoria ‡ de Einstein, que levantou a hip€tese que ele se tornou ateu no fim da sua vida. Ele escreve em determinado trecho que Deus segundo cren•as populares ‡ fruto da fraqueza humana, sendo a Bˆblia uma cole•ƒo de lendas honradas ainda que primitivas, infantis. Nesta suposta carta Einstein ainda cita a religiƒo judaica, desprezando qualquer diferen•a entre o povo judeu em rela•ƒo aos outros povos. Essa carta mostra quest‚es sobre a posi•ƒo de Einstein em rela•ƒo ao fanatismo religioso e as supersti•‚es, ele apresenta uma posi•ƒo bastante crˆtica em rela•ƒo a religiƒo. Lembrando que na sua juventude, na visƒo de Einstein, Deus nƒo tinha formas antropom€rficas, mas ele tinha uma visƒo de Deus semelhante a Bento de Espinosa e a do Deismo, levando alguns historiadores a classific‰-lo como Pandeˆsta [carece de fontes?] - vale ressaltar que esta validade da carta ainda est‰ passando a exame de provas hist€ricas.

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MŒsica Era apreciador de mŒsica:[carece de fontes?] Se eu n‚o fosse f„sico, seria provavelmente msico.

Ž "Was ich zu Bachs Lebenswerk zu sagen habe: H†ren, spielen, lieben, verehren und ƒ das Maul halten!" -Tradu•‚o: "O que tenho a dizer sobre a obra de Bach? Ouvir, tocar, amar, adorar ... ficar calado!" - Albert Einstein em resposta a um inquˆrito da revista alem‚ Illustrierten Wochenschrift, 1928.

Obras Cientˆfica Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Movimento Browniano, 1905 Efeito Fotoelˆtrico, 1905 Teoria Especial da Relatividade, 1905 Teoria Geral da Relatividade, 1916 Investiga•ƒes sobre a Teoria do Movimento Browniano, 1926 Evolu•‚o da F„sica, 1938

Liter‰ria Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Como Vejo o Mundo, 1922-1934 Sobre o Sionismo, 1930 A Minha Filosofia, 1934 Meus ltimos anos, 1950 Escritos da Maturidade, 1934-1950 Notas Autobiogr†ficas

Bibliografia Ž I.C. Moreira e A.T. Tolmasquim, Um manuscrito de Einstein encontrado no Brasil, Ci‹ncia Hoje, vol. 21, n. 124, 22-29, (1995). Ž I.C. Moreira and A.T. Tolmasquim, Einstein in Brazil: the communication to the Brazilian Academy of Sciences on the constitution of light, in History of Modern Physics, H. Kragh, G. Vanpaemel and P. Marage (eds.), pp. 229 ƒ 242, BREPOLS, Turnhout, Belgium, 2002. Ž A.T. Tolmasquim, Einstein - O viajante da relatividade na Am‡rica do Sul, Vieira&Lent, Rio de Janeiro, 2004. "Como Vejo o Mundo", 1922-1934 Ž Pais, Abraham. "Sutil „ o Senhor.":a ci‹ncia e a vida de Albert Einstein. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1995. [1] Einstein the greatest (http:/ / news.bbc.co.uk/ 2/ hi/ science/ nature/ 541840.stm) (em ingl‹s). [2] P‰gina do Nobel: The Nobel Prize in Physics 1921 (http:/ / nobelprize.org/ nobel_prizes/ physics/ laureates/ 1921/ ) [3] Ze'ev Rosenkranz. Albert Einstein € Derri’re l'image. [S.l.]: Editions NZZ, Zrich, 2005. ISBN 3-03823-182-7 [4] Thomas Sowell utilizou o nome de Einstein num livro sobre este tipo de crian•as. Thomas Sowell.'The Einstein Syndrome: Bright Children Who Talk Late'. [S.l.]: Basic Books, 2001. pp. 89 ƒ 150. ISBN 0-465-08140-1 [5] P. A. Schilpp (Ed.). Albert Einstein € Autobiographical Notes. [S.l.]: Open Court, 1979. pp. 8 ƒ 9. [6] Time Magazine: Einstein & Faith (http:/ / www.time.com/ time/ magazine/ article/ 0,9171,1607298,00.html) [7] (http:/ / mundoestranho.abril.com.br/ historia/ pergunta_287394.shtml) [8] Mehra, Jagdish. Albert Einstein's first paper (http:/ / www.worldscibooks.com/ phy_etextbook/ 4454/ 4454_chap1.pdf) (PDF). [9] Roger Highfield. The Private Lives of Albert Einstein. London: Faber and Faber, 1993. pp. 21. 0-571-17170-2 [10] Albert Einstein. Autobiographical Notes (Centennial ed.). Chicago: Open Court, 1979. pp. 48-51. 0-875-48352-6 [11] A Brief Biography of Albert Einstein (http:/ / www.ssqq.com/ archive/ alberteinstein.htm) (em ingl‹s) (Abril 2005). [12] Einstein, Albert (1901). "Folgerungen aus den Capillarit—tserscheinungen (Conclusions Drawn from the Phenomena of Capillarity)". Annalen der Physik 4: 513.

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[13] Einstein's nationalities at einstein-website.de (http:/ / www.einstein-website.de/ z_information/ variousthings.html#national). P‰gina visitada em 4 de Outubro de 2006. [14] Einstein, Albert (1905). "On a Heuristic Viewpoint Concerning the Production and Transformation of Light". Annalen der Physik 17: 132 ƒ 148. [15] Einstein, Albert (1905). "On the Motion „Required by the Molecular Kinetic Theory of Heat „of Small Particles Suspended in a Stationary Liquid". Annalen der Physik 17: 549-560. [16] Einstein, Albert (1905). " On the Electrodynamics of Moving Bodies (http:/ / www.fourmilab.ch/ etexts/ einstein/ specrel/ specrel.pdf)" (PDF) (em ingl‹s). Annalen der Physik 17: 891 ƒ 921. [17] Einstein, Albert (1905). "Does the Inertia of a Body Depend Upon Its Energy Content?". Annalen der Physik 18: 639 ƒ 641. [18] (em ingl‹s) Guardian - Einstein's E=mc2 was Italian's idea (http:/ / www.guardian.co.uk/ world/ 1999/ nov/ 11/ rorycarroll) (acessado em 24 de agosto de 2009). [19] [I. C. MOREIRA E A. A. P. VIDEIRA (orgs.): Einstein e o Brasil, Editora da UFRJ, Rio de Janeiro, 1995.] [20] Site Oficial da Sociedade Brasileira de Fˆsica (http:/ / www.sbf1.sbfisica.org.br/ eventos/ amf/ einstein/ visita_ao_brasil.asp) [21] [I. C. Moreira e A. T. Tolmasquim,Um manuscrito de Einstein encontrado no Brasil , Ci‹ncia Hoje, vol. 21, n. 124, 22-29, (1995).] [22] [Albert Einstein: Como vejo o mundo, ed. 15, 1981] [23] A mente de um gŽnio (http:/ / veja.abril.com.br/ noticia/ ciencia-tecnologia/ mente-genio-506363.shtml). Veja.com. P‰gina visitada em 18 de outubro de 2009. [24] Monthly Review: Why Socialism? (http:/ / www.monthlyreview.org/ 598einst.htm), acessado em 2 de maio de 2007 [25] Carta que revela desd‡m de Einstein por religiƒo vai a leilƒo (http:/ / www.bbc.co.uk/ portuguese/ reporterbbc/ story/ 2008/ 05/ 080513_einsteinreligiao_ba.shtml)

Ver tamb„m Ž Leopold Koppel

Liga€‰es externas Ž Biografia (http:/ / www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ ~history/ Mathematicians/ Einstein.html) em MacTutor (em ingl‹s) Ž Albert Einstein (http:/ / www.genealogy.ams.org/ / id.php?id=53269) em Mathematics Genealogy Project Ž Perfil no sˆtio oficial do Nobel de Fˆsica 1921 (http:/ / nobelprize.org/ nobel_prizes/ physics/ laureates/ 1921/ ) (em ingl‹s) Ž Breve biografia na revista Quantum. (http:/ / fisica.fc.ul.pt/ ~quantum/ numeros/ 1/ 9.htm) Ž Biografia em pdf pelo Prof. P. Crawford. (http:/ / cosmo.fis.fc.ul.pt/ ~crawford/ artigos/ Albert Einstein1b.pdf) Ž Biografia na revista Morash†. (http:/ / www.morasha.com.br/ conteudo/ artigos/ artigos_view.asp?a=139& p=0) Ž Albert Einstein, sˆtio do Instituto de Fˆsica da UFRGS. (http:/ / www.if.ufrgs.br/ einstein) Ž Albert Einstein Online. (http:/ / www.westegg.com/ einstein/ ) (em ingl‹s) Ž 1905, O ANO-LUZ (http:/ / tvescola.mec.gov.br/ index.php?&option=com_zoo&view=item&item_id=460). tvescola.mec.gov.br. P‰gina visitada em 2010-06-08. Precedido por Max Planck

Presidente da Deutsche Physikalische Gesellschaft 1916 „ 1918

Sucedido por Max Wien

Precedido por Charles Edouard Guillaume

Nobel de F†sica 1921

Sucedido por Niels Bohr

Precedido por Henry Moseley

Medalha Matteucci 1921


Precedido por Edward Albert Sharpey-Schafer

Medalha Copley 1925

Sucedido por Frederick Gowland Hopkins

Precedido por Frank Dyson

Medalha de Ouro da Royal Astronomical Society 1926

Sucedido por Frank Schlesinger

Albert Einstein

31 Precedido por €

Precedido por Irving Langmuir e Henry Norris Russell

Medalha Max Planck 1929 com Max Planck


Medalha Franklin 1935 com John Ambrose Fleming

Sucedido por Frank Baldwin Jewett e Charles Kettering

Constante de Planck A constante de Planck, representada por h, ‡ uma das constantes fundamentais da Fˆsica, usada para descrever o tamanho dos quanta. Tem um papel fundamental na teoria de Mec…nica Qu…ntica, aparecendo sempre no estudo de fenŠmenos em que a explica•ƒo por meio da mec…nica qu…ntica se torna influente. Tem o seu nome em homenagem a Max Planck, um dos fundadores da Teoria Qu…ntica. Seu valor ‡ de aproximadamente: , ou, com eV como unidade de energia: , ou, ainda, no sistema CGS: erg ™ s Um dos usos dessa constante ‡ a equa•ƒo da energia do f€ton, dada pela seguinte equa•ƒo:

onde: = energia do f€ton, denominada quantum; = constante de Planck; = frequ‹ncia da radia•ƒo. L‹-se "ni".

Constante reduzida de Planck Em algumas equa•‚es de fˆsica, tal como a equa•ƒo de Schr†dinger, aparece o sˆmbolo abrevia•ƒo conveniente para

, que ‡ apenas uma

, chamada de constante reduzida de Planck, ou para alguns, constante de Dirac,

diferindo da constante de Planck pelo fator

. Consequentemente:

Dualidade onda-corpŒsculo

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Dualidade onda-corpŒsculo A dualidade onda-part†cula, tamb‡m denominada dualidade onda-corpŒsculo ou dualidade mat„ria-energia, constitui uma propriedade b‰sica da mec…nica qu…ntica e consiste na capacidade das partˆculas subatŠmicas de se comportarem ou terem propriedades tanto de partˆculas como de ondas. Foi enunciada pela primeira vez, em 1924, pelo fˆsico franc‹s Louis-Victor de Broglie, que anunciou que os el‡trons apresentavam caracterˆsticas tanto ondulat€rias como corpusculares, comportando-se de um ou outro modo dependendo do experimento especˆfico. A experi‹ncia de Young (experi‹ncia da dupla fenda) de Thomas Young exemplifica de maneira sensˆvel esta dualidade. De Broglie se baseou no efeito fotoel‡ctrico para chegar a esta conclusƒo, j‰ que Albert Einstein havia concluˆdo que os f€tons que atuavam no efeito fotoel‡trico eram partˆculas com energia E=h f , onde f ‡ a frequ‹ncia de onda. Einstein, concluiu desta forma que, em determinados processos, as ondas se comportam como corpŒsculos. Entƒo, de Broglie associou o inverso, ou seja, que toda a partˆcula se comportava como uma onda. O fˆsico franc‹s foi capaz de relacionar o comprimento de onda com a massa da partˆcula, mediante a formula =h/m v, onde o produto m v representa o m€dulo do vetor P, ou quantidade de movimento, h ‡ a constante de Constante_de_Planck, e 'š', o comprimento de onda. Observando-se a f€rmula verifica-se facilmente que, „ medida que a massa ou sua velocidade aumenta, diminui consideravelmente o comprimento de onda. Os corpos macrosc€picos t‹m associada uma onda, por‡m a massa ‡ tƒo grande que se pode afirmar que apresenta um comprimento de onda desprezˆvel, por‡m nƒo nula. Por isso, na hora de falar sobre partˆculas ‡ muito importante considerar a dualidade, j‰ que o comprimento de onda que possuem explica muitos de seus fenŠmenos. •

•

•

Efeito tŒnel Nota: Se procura o fenŠmeno parapsˆquico, consulte Experi‹ncia de quase-morte. Efeito tŒnel, em mec…nica qu…ntica, consiste no evento de uma partˆcula atravessar uma regiƒo em que a energia potencial ‡ maior do que a sua energia total - esta barreira ‡ intransponˆvel na mec…nica cl‰ssica, pois a energia cin‡tica da partˆcula seria negativa na regiƒo[1] [2]

Efeito tŒnel, Tunelamento ou penetra€•o de barreira O tunelamento quƒntico ou efeito tŒnel ocorre quando uma onda encontra no seu percurso um obst‰culo, a intensidade ou amplitude desta nƒo termina imediatamente no obst‰culo, mas decresce exponencialmente ap€s o contato. De acordo com a mec…nica cl‰ssica, quando um el‡tron com uma certa energia E incide sobre uma barreira de potencial com energia P (sendo P>E), ele ‡ totalmente refletido. A mesma situa•ƒo, agora abordada pela mec…nica qu…ntica, mostra que h‰ uma probabilidade de que o El‡tron "atravesse" barreira, aparecendo do outro lado. Este efeito pode ser observado experimentalmente e ‡ o princˆpio de t‡cnologias tais como os diodos tŒnel, os transˆstores de efeito de campo e os microsc€pios de varredura por sonda, onde os el‡trons "tunelam" da superfˆcie at‡ a ponta microsc€pica do equipamento, sem que estas se toquem. A razƒo para que este efeito ocorra ‡ que o El‡tron, do ponto de vista qu…ntico, pode manifestar o comportamento tanto de partˆcula como de onda. Nesta abordagem o el‡tron ‡ descrito como uma onda de mat‡ria. Comportando-se como uma onda, podemos atribuir ao el‡tron uma probabilidade de reflexƒo e uma probabilidade de transmissƒo: que o el‡tron seja refletido ou transmitido pela barreira de potencial. A probabilidade de transmissƒo ‡ extremamente sensˆvel „ amplitude do potencial e „ largura da barreira. Assim, mesmo sem conter energia suficiente para atravessar a barreira, o el‡tron a atravessa por "tunelamento", comportando-se como onda.

Efeito tŒnel Uma experi‹ncia simples deste princˆpio envolve um LASER e dois prismas de vidro. Este prisma pode ser usado como refletor no ar ou no v‰cuo, j‰ que o …ngulo de reflexƒo total (…ngulo mˆnimo em rela•ƒo a normal onde a luz ‡ completamente refletida) ‡ menor que 45 graus. Assim, quando a luz incide por uma das faces perpendiculares do prisma, esta ‡ completamente refletida e sai pela outra face. Quando utilizamos o LASER, e um pouco de fuma•a numa sala escura, ‡ f‰cil verificar isso, assim como o fato de nenhuma luz escapar pela face inclinada do prisma. No entanto, aproximando-se a face inclinada de outro prisma, nota-se que, bem pr€ximo, antes de se tocarem, uma parte do LASER emerge do outro prisma, comprovando o efeito tŒnel.

Hist…ria O fˆsico japon‹s Leo Esaki descobriu o tunelamento de el‡trons, o que lhe rendeu o Premio Nobel de Fˆsica do ano de 1973.

Ver Tamb„m [1] Barrier Penetration (http:/ / hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/ hbase/ quantum/ barr.html), site hyperphysics.phy-astr.gsu.edu [2] Evidence Of Macroscopic Quantum Tunneling Detected In Nanowires (http:/ / www.sciencedaily.com/ releases/ 2009/ 05/ 090527130836. htm), site www.sciencedaily.com

Entrela€amento quƒntico O entrela€amento quƒntico ou emaranhamento quƒntico ‡ um fenŠmeno da mec…nica qu…ntica que permite que dois ou mais objetos estejam de alguma forma tƒo ligados que um objeto nƒo possa ser corretamente descrito sem que a sua contra-parte seja mencionada - mesmo que os objetos possam estar espacialmente separados. Isso leva a correla•‚es muito fortes entre as propriedades fˆsicas observ‰veis dos diversos sub-sistemas. Essas fortes correla•‚es fazem com que as medidas realizadas num sistema pare•am estar a influenciar instantaneamente outros sistemas que estƒo emaranhados com ele, e sugerem que alguma influ‹ncia estaria a propagar-se instantaneamente entre os sistemas, apesar da separa•ƒo entre eles. Mas o emaranhamento qu…ntico nƒo permite a transmissƒo de informa•ƒo a uma velocidade superior „ da velocidade da luz, porque nenhuma informa•ƒo Œtil pode ser transmitida desse modo. S€ ‡ possˆvel a transmissƒo de informa•ƒo usando um conjunto de estados emaranhados em conjuga•ƒo com um canal de informa•ƒo cl‰ssico - aquilo a que se chama o teletransporte qu…ntico. O emaranhamento qu…ntico ‡ a base para tecnologias emergentes, tais como computa•ƒo qu…ntica, criptografia qu…ntica e tem sido usado para experi‹ncias como o teletransporte qu…ntico. Ao mesmo tempo, isto produz alguns dos aspectos te€ricos e filos€ficos mais perturbadores da teoria, j‰ que as correla•‚es preditas pela mec…nica qu…ntica sƒo inconsistentes com o princˆpio intuitivo do realismo local, que diz que cada partˆcula deve ter um estado bem definido, sem que seja necess‰rio fazer refer‹ncia a outros sistemas distantes. Os diferentes enfoques sobre o que est‰ a acontecer no processo do entrela•amento qu…ntico dƒo origem a diferentes interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica.

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Equa•ƒo de Dirac

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Equa€•o de Dirac Na mec…nica qu…ntica, equa€•o de Dirac ‡ uma equa•ƒo de onda relativˆstica proposta por Paul Dirac em 1928 que descreve com sucesso partˆculas elementares de spin-›, como o el‡tron. Anteriormente, a equa•ƒo de Klein-Gordon (uma equa•ƒo de segunda ordem nas derivadas temporais e espaciais) foi proposta para a mesma fun•ƒo, mas apresentou severos problemas na defini•ƒo de densidade de probabilidade. A equa•ƒo de Dirac ‡ uma equa•ƒo de primeira ordem, o que eliminou este tipo de problema. Al‡m disso, a equa•ƒo de Dirac introduziu teoricamente o conceito de antipartˆcula, confirmado experimentalmente pela descoberta em 1932 do p€sitron, e mostrou que spin poderia ser deduzido facilmente da equa•ƒo, ao inv‡s de postulado. Contudo, a equa•ƒo de Dirac nƒo ‡ perfeitamente compatˆvel com a teoria da relatividade, pois nƒo prev‹ a cria•ƒo e destrui•ƒo de partˆculas, algo que apenas uma teoria qu…ntica de campos poderia tratar. A equa•ƒo propriamente dita ‡ dada por: , na qual m ‡ a massa de repouso do el‡tron, c ‡ a velocidade da luz, p ‡ o operador momentum linear ‡ a constante de Planck divida por 2œ, x e t sƒo as coordenadas de espa•o e tempo e “(x, t ) ‡ uma fun•ƒo de onda com quatro componentes. Cada  ‡ um operador linear que se aplica „ fun•ƒo de onda. Escritos como matrizes 4ž4, sƒo conhecidos como matrizes de Dirac. Uma das escolhas possˆveis de matrizes ‡ a seguinte:

.

Equa•ƒo de Klein ƒ Gordon

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Equa€•o de Klein Gordon ‚

A equa€•o de Klein Gordon (tamb‡m chamada de Klein Fock Gordon ou Klein• Gordon• Fock ) ‡ a versƒo relativista da equa•ƒo de Schr†dinger. ‚

‚

‚

 a equa•ƒo de movimento de um campo escalar ou pseudo-escalar qu…ntico. Este campo descreve partˆculas sem spin. Esta equa•ƒo nƒo corresponde a uma densidade de probabilidade definida positiva e al‡m disso ‡ de segunda ordem na derivada temporal, o que impede uma interpreta•ƒo fˆsica simples. Ela descreve uma partˆcula pontual que se propaga nos dois sentidos temporais e a sua interpreta•ƒo ‡ possˆvel recorrendo „ teoria de antipartˆculas desenvolvida por Feynman e Stueckelberg. Todas solu•‚es da equa•ƒo de Dirac sƒo solu•‚es da equa•ƒo de Klein-Gordon, mas o inverso ‡ falso.

A equa€•o A equa•ƒo de Klein ƒ Gordon em unidades SI tem a forma

mas utiliza-se mais frequentemente a descri•ƒo em unidades naturais: A sua forma ‡ obtida exigindo que as solu•‚es de ondas planas: obede•am „ rela•ƒo entre a energia e o momento linear da relatividade restrita: Ao contr‰rio da equa•ƒo de Schr†ndinger, esta equa•ƒo tem dois valores para para cada , um positivo e outro negativo. Esta equa•ƒo descreve uma fun•ƒo de onda relativista apenas se as partes com frequ‹ncia positiva e negativa forem separadas.

Hist…ria A equa•ƒo foi nomeada em honra dos fˆsicos Oskar Klein e Walter Gordon, que a proposeram no ano de 1927 para descrever electr‚es relativistas. No entanto, foi mais tarde descoberto que os electr‚es sƒo partˆculas com spin e corretamente descritos pela equa•ƒo de Dirac. A equa•ƒo de Klein Gordon descreve correctamente partˆculas escalares como o piƒo.

Equa•ƒo de Pauli

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Equa€•o de Pauli A equa€•o de Pauli , tamb‡m conhecida como Equa•ƒo Schr†dinger-Pauli, ‡ uma formula•ƒo da Equa•ƒo de Schr†dinger para um spin-partˆcula que leva em considera•ƒo a intera•ƒo da rota•ƒo de uma partˆcula com o campo eletromagn‡tico. Essas situa•‚es sƒo os casos nƒo-relativˆsticos da Equa•ƒo de Dirac, onde as partˆculas em questƒo tem uma velocidade muito baixa para que os efeitos da relatividade tenham import…ncia, podendo ser ignorados. A equa•ƒo de Pauli foi formulada por Wolfgang Pauli no ano de 1927.

Detalhes A equa•ƒo de Pauli ‡ mostrada como:

Onde: Ž Ž Ž

‡ a massa da partˆcula. ‡ a carga da partˆcula. ‡ um vetor de tr‹s componentes do dois-por-dois das matrizes de Pauli. Isto significa que cada componente do vetor ‡ uma matriz de Pauli.

Ž

‡ o vetor de tr‹s componentes da din…mica dos operadores. Os componentes desses vetores sƒo:

Ž Ž

‡ o vetor de tr‹s componentes do potencial magn‡tico. ‡ o potencial escalar el‡trico.

Ž

sƒo os dois componentes spinor da onda, podem ser representados como

.

De forma mais precisa, a equa•ƒo de Pauli ‡: Mostra que o espa•o Hamiltoniano (a expressƒo entre par‹nteeses ao quadrado) ‡ uma matriz operador dois-por-dois, por conta das matrizes de Pauli.

Equa•ƒo de Schr†dinger

Equa€•o de SchrŽdinger Em Fˆsica, a Equa€•o de SchrŽdinger, proposta pelo fˆsico austrâco Erwin Schr†dinger em 1925, descreve a evolu•ƒo temporal de um estado qu…ntico de um sistema fˆsico. Essa equa•ƒo tem uma import…ncia capital na teoria da mec…nica qu…ntica, e seu papel ‡ similar ao da segunda Lei de Newton na Mec…nica Cl‰ssica. Pela formula•ƒo matem‰tica da mec…nica qu…ntica, todo sistema ‡ associado a um espa•o de Hilbert complexo, tal que cada estado instant…neo do sistema ‡ descrito por um vetor unit‰rio nesse espa•o. Este vetor de estados guarda as probabilidades para os resultados de todas as possˆveis medi•‚es aplicadas ao sistema. Em geral, o estado de um sistema varia no tempo e o vetor de estados ‡ uma fun•ƒo do tempo. A equa•ƒo de Schr†dinger prov‹ uma descri•ƒo quantitativa da taxa de varia•ƒo deste vetor. Usando a nota•ƒo de Dirac, o vetor de estados ‡ dado, num tempo t por |Ÿ(t )>. A equa•ƒo de Schr†dinger ‡:

Nas equa•‚es, i ‡ o nŒmero imagin‰rio, ” ‡ a constante de Planck dividida por 2œ e o Hamiltoniano H(t) ‡ um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a for•a na segunda Lei de Newton, ele nƒo ‡ definido pela equa•ƒo e deve ser determinado pelas propriedades fˆsicas do sistema.

Veja tamb„m Ž Mec…nica Qu…ntica Ž Gato de Schr†dinger Ž Nobel de Fˆsica

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Estado qu…ntico

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Estado quƒntico Um estado quƒntico ‡ qualquer estado possˆvel em que um sistema mec…nico qu…ntico possa se encontrar. Um estado qu…ntico plenamente especificado pode ser descrito por um vetor de estado, por uma fun•ƒo de onda ou por um conjunto completo de nŒmeros qu…nticos para um dado sistema. Ao estado qu…ntico de menor energia possˆvel d‰-se o nome de estado qu…ntico fundamental.

Experimento de Davisson Germer ‚

O experimento de Davisson Germer foi um experimento fˆsico conduzido pelos fˆsicos americanos Clinton Davisson e Lester Germer em 1927, que confirmou a hip€tese de de Broglie. A hip€tese de de Broglie dizia que as partˆculas de mat‡ria (tais como os el‡trons) possuem propriedades ondulat€rias. Esta demonstra•ƒo da dualidade onda-partˆcula foi importante historicamente no estabelecimento da mec…nica qu…ntica e da equa•ƒo de Schr†dinger. ‚

Hist…ria Em 1924 Louis de Broglie apresentou sua tese com respeito da onda-partˆcula, propondo a ideia de que toda materia apresentava propriedades a dualidade onda-partˆcula dos f€tons.[1] De acordo com de Broglie, para toda mat‡ria e para radia•ƒo, a energia E das partˆculas era relacionada com a frequ‹ncia de sua onda associada , a partir da rela•ƒo de Planck relation]] e que o momentum de partˆcula p era relacionada ao seu comprimento de onda – pelo qual ‡ atualmente conhecido como rela•ƒo de de Broglie

onde h ‡ a constante de Planck. Em 1926, ap€s o conhecimento dos resultados preliminares de Davisson and Germer, Walter Elsasser observou que a natureza ondulat€ria da mat‡ria pdoeria ser investiga por experimentos de espalhamento de el‡trons em s€lidos cristalinos, como, assim como a natureza ondulat€ria do raio X foi confirmada atrav‡s dos experimentos de espalhamento de raio X em s€lidos cristalinos.[1] [2] Em 1927, no Bell Labs, Clinton Davisson e Lester Germer lan•aram el‡trons lentos em um alvo de nˆquel cristalino.[3] A depend‹ncia angular da intensidade dos el‡trons refletidos foi medida, e foi verificada que h‰ algum padrƒo de difra•ƒo semelhante „queles previstos por Bragg para os raios X. Esse experimento foi replicado por George Paget Thomson.[1] O experimento confimou a hip€tese de de Broglie, na qual a mat‡ria pode apresentar propriedade ondulat€ria. Isto, em combina•ƒo com o experimento de Arthur Compton, estabeleceu a hip€tese da dualidade onda-partˆcula, que ‡ um passo fundamental na teoria qu…ntica. [1] R. Eisberg, R. Resnick. Quantum Physics: of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles. 2nd ed. [S.l.]: John Wiley & Sons, 1985. [2] H. Rubin. Biographical Memoirs (http:/ / www.nap.edu/ openbook.php?record_id=4990&page=103). [S.l.]: National Academy Press, 1995. vol. 68. [3] C. Davisson, L.H. Germer (1927). "Reflection of electrons by a crystal of nickel". Nature 119: 558 ƒ 560. DOI: 10.1038/119558a0 (http:/ / dx. doi.org/ 10.1038/ 119558a0).

Experimento de Davisson ƒ Germer

Liga€‰es externas Ž R. Nave. Davisson• Germer Experiment (http:/ / hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/ hbase/ quantum/ davger2. html). HyperPhysics. Georgia State University, Physics Departement.

Experimento de Stern-Gerlach Na mec…nica qu…ntica, o experimento de Stern-Gerlach, nomeado em homenagem a Otto Stern e Walther Gerlach, ‡ um experimento que foi realizado em 1922 que mostra a deflexƒo de partˆculas elementares, freqentemente usado para ilustrar princˆpios b‰sicos da mec…nica qu…ntica. Ele pode ser usado para mostrar que el‡trons e ‰tomos tem propriedades qu…nticas intrˆnsecas, e como medidas em mec…nica qu…ntica afetam o sistema que est‰ sendo medido.

Teoria b‡sica e descri€•o Otto Stern e Walther Gerlach planejaram um experimento para determinar se partˆculas tem algum momento angular intrˆnseco. Em um sistema cl‰ssico, como a Terra orbitando o sol, a Terra tem momento angular de sua €rbita em torno do sol e da €rbita em torno de seu eixo. O experimento procurou determinar se partˆculas individuais como el‡trons tem algum momento angular de spin. Se o el‡tron ‡ tratado como um dipolo cl‰ssico com duas metades de carga girando rapidamente, ele come•ar‰ a pressionar um campo magn‡tico, por causa do torque que o campo exerce sobre o dipolo. Se a partˆcula viaja em um campo homog‹neo, a for•a exercida em dire•‚es opostas do dipolo se cancelam e o movimento da partˆcula ‡ inalterado. Se o experimento ‡ conduzido usando el‡trons, um campo el‡trico de magnitude apropriada e orientado transverso ao caminho da partˆcula carregada ‡ usado para compensar a tend‹ncia de qualquer partˆcula carregada entrar em movimento circular em seu caminho atrav‡s de um campo magn‡tico, e o fato de que el‡trons sƒo carregados pode Basic elements of the Stern ƒ Gerlach experiment. ser ignorado. O experimento de Stern-Gerlach pode ser conduzido usando partˆculas neutras e a mesma conclusƒo ‡ obtida, uma vez que foi designado para testar momento angular, e nƒo fenŠmenos eletrost‰ticos. Se a partˆcula viaja atrav‡s de um campo nƒo homog‹neo, entƒo a for•a em um dipolo ser‰ ligeiramente maior que a for•a oposta no outro extremo. Isso faz com que a partˆcula seja deflexionada no campo magn‡tico nƒo homog‹neo. A dire•ƒo na qual as partˆculas sƒo deflexionadas ‡ tipicamente chamada de dire•ƒo "z". Se as partˆculas sƒo cl‰ssicas entƒo a distribui•ƒo de seus vetores de spin para ser verdadeiramente aleat€rios, cada partˆcula deve ser deflexionada por uma quantidade diferente, produzindo uma distribui•ƒo uniforme na tela do detector. As partˆculas que passam atrav‡s do dispositivo sƒo deflexionadas acima ou para baixo por uma quantidade especˆfica. Isto significa que o momentum angular da rota•ƒo ‡ quantizado, isto ‡ pode somente fazer exame em valores discretos. Nƒo h‰ uma distribui•ƒo contˆnua de momenta angulares possˆveis. El‡trons sƒo partˆculas de spin-›. Eles tem apenas duas possibilidades de valores de spin, chamado spin-up e spin-down. O valor exato de seu spin ‡ +/2 ou -/2. Se estes valores crescem como resultado da rota•ƒo das partˆculas como um planeta gira, entƒo as partˆculas individuais deve girar extremamente r‰pido. A velocidade de

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rota•ƒo deve exceder a velocidade da luz, o que ‡ impossˆvel. Entƒo, o momento angular de spin nƒo tem nada a ver com a rota•ƒo ‡ um fenŠmeno puramente qu…ntico. Esse ‡ o motivo pelo qual „s vezes ‡ conhecido como momentum angular intrˆnseco. Para el‡trons, duas possibilidades de valores de spin existem, assim como para pr€tons e n‹utrons, que sƒo partˆculas compostas de 3 quarks cada, que sƒo partˆculas de spin-›. Outras partˆculas podem ter diferentes nŒmeros de possibilidades. Delta b‰rions (¡ ++, ¡+, ¡0, ¡‹),por exemplo, sƒo partˆculas de spin -3/2 e t‹m quatro possˆveis valores para o momentum angular de spin. Vetores m‡sons, assim como f€tons, W e Z b€sons, e glŒons sƒo partˆculas spin -1 e t‹m tr‹s possˆveis valores para o momentum angular de spin. Para descrever matematicamente o experimento com partˆculas de spin -1/2 ‡ mais f‰cil usar a nota•ƒo bra-ket de Dirac.Enquanto as partˆculas passam atrav‡s do dispositivo de Stern-Gerlach, elas sƒo observadas. O ato de observa•ƒo na mec…nica qu…ntica ‡ equivalente „ medi•ƒo. Nosso dispositivo de observa•ƒo ‡ um detector e neste caso n€s podemos observar um dos dois valores possˆveis,spin-up ou spin-down. Eles sƒo descritos pelo nŒmero j, e a medi•ƒo corresponde ao operador Jz. Em termos matem‰ticos, As constantes c1 e c 2 sƒo nŒmeros complexos. A raiz quadrada de seus valores absolutos determina a probabilidade do estado |Ÿ> ser encontrado com um dos dois valores possˆveis para j. A constante tamb‡m precisa ser normalizada para que a probabilidade de encontrar a fun•ƒo de onda em um de seus estados seja unit‰ria. Aqui n€s sabemos que a probabilidade de encontrar a partˆcula em cada estado ‡ 0,5. Consequentemente n€s tamb‡m sabemos que os valores das constantes sƒo

Experimentos SeqŠnciais Se combinarmos alguns aparatos de Stern-Gerlach, podemos claramente ver que eles nƒo agem como simples seletores, mas alteram os estados observados (como na polariza•ƒo da luz), de acordo com as leis da mec…nica qu…ntica:

Hist…rico A experi‹ncia de Stern-Gerlach foi realizada em Frankfurt, Alemanha em 1922 por Otto Stern e Walther Gerlach. Nesse ‡poca Stern era um assistente de Max Born no Instituto de Fˆsica Te€rica da Universidade de Frankfurt, e Gerlach eram um assistente da mesma Universidade no Instituto de Fˆsica Experimental. Na ‡poca da experi‹ncia, o modelo que prevalecia para descrever o ‰tomo era o modelo de Bohr, que descrevia el‡trons circundando um nŒcleo carregado positivamente somente em determinadas €rbitas ou nˆveis de energia atŠmicos discretos. Desde que o el‡tron foi quantizado, podendo estar somente em determinadas posi•‚es no espa•o, a separa•ƒo em €rbitas distintas foi chamada de quantiza•ƒo espacial.

A plaque at the Frankfurt institute commemorating the experiment


Impacto A experi‹ncia de Stern-Gerlach teve um dos maiores impactos na fˆsica moderna: Ž Na d‡cada que seguiu, cientistas mostraram, usando t‡cnicas similares, que o nŒcleo de alguns ‰tomos tem tamb‡m o momentum angular quantizado. Isto ‡, a intera•ƒo com o spin do el‡tron que ‡ respons‰vel pela estrutura hiperfina das linhas espectrosc€picas. Ž Nos anos 30, usando uma versƒo prolongada do instrumento de S-G, Isidor Rabi e colegas mostraram que usando um campo magn‡tico vari‰vel, podemos for•ar o momentum magn‡tico para ir de um estado ao outro. Uma s‡rie de experi‹ncias culminou em 1937 na descoberta que as transi•‚es do estado poderiam ser induzidas usando campos vari‰veis no tempo ou campos de RF. A assim chamada Oscila•ƒo de Rabi ‡ o mecanismo de trabalho para a Resson…ncia Magn‡tica por Imagem, equipamento encontrado em hospitais. Ž Mais tarde Norman F. Ramsey modificou o instrumento de Rabi para aumentar o tempo da intera•ƒo com o campo. A extrema sensibilidade devido „ freq‹ncia da radia•ƒo faz com que isso seja muito Œtil para manter o tempo exato, e ‡ ainda usada hoje em rel€gios atŠmicos. Ž No inˆcio dos anos 60, Ramsey e Daniel Kleppner usaram um sistema de Stern-Gerlach para produzir um feixe de hidrog‹nio polarizado como fonte da energia para o Maser de Hidrog‹nio, que ‡ um dos mais populares rel€gios atŠmicos. Ž A observa•ƒo direta do spin ‡ a prova mais direta da quantiza•ƒo na mec…nica qu…ntica.

ExperiŠncia da dupla fenda A experiŠncia da dupla fenda ou experiŠncia de Thomas Young ‡ fundamental para a determina•ƒo da natureza qu…ntica da fˆsica atŠmica. Quando se tenta utilizar a eletrodin…mica e a mec…nica cl‰ssica para explicar os fenŠmenos atŠmicos, os resultados a que chegamos se encontram em franca contradi•ƒo com a experi‹ncia pr‰tica.

Contradi€•o O que se v‹ com mais clareza ‡ a contradi•ƒo a que se chega ao aplicar a eletrodin…mica ordin‰ria ao modelo de ‰tomo em que os el‡trons se movem em torno do nŒcleo seguindo €rbitas cl‰ssicas. Neste movimento, como em qualquer movimento acelerado das cargas, os el‡trons deveriam irradiar continuamente ondas eletromagn‡ticas. Ao irradiar, os el‡trons perderiam sua energia o que deveria conduzir no final a sua queda no nŒcleo atŠmico. Para tal, o ‰tomo deveria ser obrigatoriamente inst‰vel.

Difra€•o dos el„trons A profunda contradi•ƒo entre a teoria e a pr‰tica experimental atesta a constru•ƒo de uma teoria aplic‰vel aos fenŠmenos atŠmicos. Os fenŠmenos que ocorrem com partˆculas de massa muito pequena e em regi‚es muito pequenas do espa•o, exige um caminho especial onde as leis e as id‡ias cl‰ssicas fundamentais devem ser reordenadas. O ponto de partida para esclarecer esta troca de mentalidade para a dedu•ƒo das leis que regem a fˆsica atŠmica, foi o fenŠmeno observado e chamado de difra•ƒo de el‡trons. Na verdade, este fenŠmeno foi descoberto depois de criada a teoria da mec…nica qu…ntica. Se fizermos passar um feixe homog‹neo de el‡trons atrav‡s de um prisma, o que se observa ‡ uma figura constituˆda de m‰ximos e mˆnimos de intensidade vari‰vel que se sucedem entre si, an‰loga „ figura que se obt‹m na difra•ƒo das ondas eletromagn‡ticas.

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Experi‹ncia da dupla fenda

Ondulat…ria O comportamento das partˆculas materiais, os el‡trons, apresentam a peculiaridade comportamental dos processos ondulat€rios. A profundidade com que este fenŠmeno contradiz as id‡ias ordin‰rias sobre o movimento, se revela com particular evid‹ncia quando imaginamos o experimento que constitui uma idealiza•ƒo da difra•ƒo eletrŠnica por um cristal. Para verificarmos a validade da natureza qu…ntica da fˆsica atŠmica, existe uma experi‹ncia bastante simples de ser realizada cujos resultados foram no mˆnimo intrigantes quando realizados pela primeira vez. Esta experi‹ncia ‡ a conhecida como dupla fenda.

Dupla fenda A experi‹ncia da dupla fenda consiste em deixar que a luz visˆvel se difracte atrav‡s de duas fendas, produzindo bandas num ‡cran. As bandas formadas, ou padr‚es de interfer‹ncia, mostram regi‚es claras e escuras que correspondem aos locais onde as ondas luminosas interferiram entre si construtivamente e destrutivamente.

Descri€•o da experiŠncia No caso da realiza•ƒo da experi‹ncia da dupla fenda com um feixe eletrŠnico, imaginemos uma tela opaca aos el‡trons, e nela fazemos duas pequenas fendas. Observando o passar do feixe de el‡trons por uma destas fendas, com a outra fechada, obtemos numa tela plana (ou ‡cran) colocada atr‰s da fenda uma certa figura de distribui•ƒo das intensidades; da mesma maneira obtemos outra figura semelhante „ primeira abrindo a segunda fenda e fechando a primeira. Mas, observando a imagem que se faz dos el‡trons passando pelas duas fendas abertas ao mesmo tempo, baseando-nos nas id‡ias ordin‰rias, deverâmos observar uma figura consistente onde houvesse a simples superposi•ƒo dos feixes complementares. Ou seja, a soma natural dos dois feixes que se projetariam na tela, uma vez que cada el‡tron partˆcula material movendo-se em sua trajet€ria fixa e bem delineada passa pela fenda sem exercer influ‹ncia alguma sobre os outros el‡trons que passam pela outra fenda. O fenŠmeno da difra•ƒo eletrŠnica mostra que na realidade obtemos uma figura de difra•ƒo que ocorre em virtude da interfer‹ncia e nƒo se reduz de modo algum „ simples soma das figuras produzidas por cada uma das fendas separadamente. Isso pode ser explicado simplesmente se for observado que em pontos mais distantes do lado direito da figura as ondas provenientes do "slit" direito chegam primeiro do que as ondas do "slit" esquerdo ocasionando um Resultados do experimento de fenda dupla atraso no comprimento de onda original(que estavam exatamente sobre postos no ponto central entre os "slits") gerando uma destru•ƒo ou constru•ƒo da luz.

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Experi‹ncia da dupla fenda

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Diferen€as de fase Est‰ claro que ‡ impossˆvel fazer coincidir este resultado com a id‡ia de movimento dos el‡trons por uma trajet€ria. Pois a interfer‹ncia que aparece ‡ devido „ somat€ria ora construtiva, ora destrutiva que indica diferen•as de fase, isto ‡, neste caso, se h‰ diferen•a de fase, entƒo temos a natureza ondulat€ria dos el‡trons que devem ser encarados, em analogia, como onda eletromagn‡tica que se propaga pelo espa•o e nƒo como partˆcula material com movimento balˆstico, isto ‡ disparada..

Mecƒnica quƒntica e mecƒnica cl‡ssica A experi‹ncia da dupla fenda prova inequivocamente a chamada mec…nica qu…ntica, ou ondulat€ria, que deve basear-se em no•‚es essencialmente diferentes da mec…nica cl‰ssica. Pois na qu…ntica nƒo existe o conceito de trajet€ria da partˆcula. Esta circunst…ncia constitui o conteŒdo do chamado princˆpio da incerteza, ou princˆpio da indetermina•ƒo, que ‡ um dos fundamentais da mec…nica qu…ntica e foi descoberto em 1927 por Werner Heisenberg.

Fun€•o de onda Fun€•o de onda ‡ uma ferramenta matem‰tica que a fˆsica qu…ntica usa para descrever um sistema fˆsico qualquer.

Problemas de nomenclatura O termo fun€•o de onda segundo a mec…nica qu…ntica tem um significado bastante diferente dependendo do contexto, seja na fˆsica cl‰ssica, seja no eletromagnetismo cl‰ssico. Por causa da rela•ƒo concreta entre fun•ƒo de onda e localiza•ƒo de uma partˆcula num espa•o de posi•‚es, muitos textos sobre mec…nica qu…ntica t‹m um enfoque "ondulat€rio". Assim, embora o termo "fun•ƒo de onda" seja usado como sinŠnimo "coloquial" para vetor de estado, nƒo ‡ recomend‰vel, j‰ que nƒo s€ existem sistemas que nƒo podem ser representados por fun•‚es de onda, mas tamb‡m que o termo fun•ƒo de onda leva a imaginar erroneamente que h‰ algum meio que ondula no sentido mec…nico. Na quˆmica, especialmente, um dos objetivos da fun•ƒo de onda de el‡trons ‡ descrever os chamados orbitais eletrŠnicos; com isso, aumenta ainda mais a confusƒo de termos que se referem a um mesmo conceito.

Defini€•o O uso moderno do termo fun€•o de onda ‡ para qualquer vetor ou fun•ƒo que descreva o estado de um sistema fˆsico pela expansƒo em termos de outros estados do mesmo sistema. Normalmente, uma fun•ƒo de onda ‡: Ž um vetor complexo com finitos componentes: , Ž um vetor complexo com infinitos componentes:

,

Ž ou uma fun•ƒo complexa de uma ou mais vari‰veis, .

Fun•ƒo de onda

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Em todos os casos, a fun•ƒo de onda prov‹ uma descri•ƒo completa do sistema fˆsico ao qual est‰ associado. Por‡m, deve-se frisar que uma fun•ƒo de onda nƒo ‡ unicamente determinada pelo sistema ao qual est‰ associada, j‰ que muitas fun•‚es de onda diferentes podem descrever o mesmo cen‰rio fˆsico.

Interpreta€•o A interpreta•ƒo fˆsica da fun•ƒo de onda depende do contexto. Veja alguns exemplos a seguir: Uma partˆcula em uma dimensƒo espacial A fun•ƒo de onda espacial associada a uma partˆcula em uma dimensƒo ‡ uma fun•ƒo complexa conjunto dos nŒmeros reais. O quadrado complexo da fun•ƒo de onda,

definida no

, ‡ interpretado como a densidade de

probabilidade associada „ posi•ƒo da partˆcula e, por isso, a probabilidade de a medi•ƒo da posi•ƒo da partˆcula dar um valor no intervalo ‡ . Isto leva „ condi•ƒo de normaliza•ƒo N^2

.

j‰ que a medi•ƒo da posi•ƒo de uma partˆcula deve resultar em um nŒmero real.

Significado filos…fico da fun€•o de onda A fun•ƒo de onda ‡ a descri•ƒo mais completa possˆvel de um sistema regido pela mec…nica qu…ntica. Se na mec…nica cl‰ssica a descri•ƒo completa de um sistema consistia na tarefa de encontrar a posi•ƒo e a velocidade de todas as partˆculas e, com esta descri•ƒo, ser possˆvel prever todos os movimentos futuros e passados do sistema, na mec…nica qu…ntica nƒo se pode descrever todos as grandezas desejadas com a mesma certeza (ver Princˆpio da incerteza de Heisenberg). De acordo com a mec…nica qu…ntica, a descri•ƒo do sistema termina ao nˆvel da fun•ƒo de onda, com suas probabilidades de posi•ƒo. Por isso, depois do nascimento da mec…nica qu…ntica, a ci‹ncia alcan•ou um patamar que encerra o contraste entre o determinismo e o indeterminismo e, sob os auspˆcios da ci‹ncia contempor…nea, temos a fun•ƒo de onda, que est‰ na fronteira entre o determinismo e o indeterminismo.

Gato de Schr†dinger

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Gato de SchrŽdinger O Gato de SchrŽdinger ‡ um experimento mental, freqentemente descrito como um paradoxo, desenvolvido pelo fˆsico austrâco Erwin Schr†dinger em 1935. Isso ilustra o que ele observou como o problema da interpreta•ƒo de Copenhague da mec…nica qu…ntica sendo aplicado a objetos do dia-a-dia, no exemplo de um gato que pode estar vivo ou morto, dependendo de um evento aleat€rio precedente. No curso desse experimento, ele criou o termo Verschrnkung (entrela•amento).

Origem e motiva€•o

O Gato de Schr†dinger: Um gato, junto com um frasco contendo veneno, ‡ posto em uma caixa lacrada protegida contra incoer‹ncia qu…ntica induzida pelo ambiente. Se um contador Geiger detectar radia•ƒo entƒo o frasco ‡ quebrado, liberando o veneno que mata o gato. A mec…nica qu…ntica sugere que depois de um tempo o gato est‰ simultaneamente vivo e morto. Mas, quando olha-se dentro da caixa, apenas se v‹ o gato ou vivo ou morto, nƒo uma mistura de vivo e morto.

O experimento mental de Schr†dinger foi proposto como discussƒo do artigo EPR, nomeado devido aos seus autores: Albert Einstein, Podolsky, Rosen em 1935.[1] O paradoxo EPR esclareceu a estranha natureza das superposi•‚es qu…nticas. Amplamente exposto, a superposi•ƒo qu…ntica ‡ a combina•ƒo de todos os possˆveis estados do sistema (por exemplo, as possˆveis posi•‚es de uma partˆcula subatŠmica). A interpreta•ƒo de Copenhague implica que a superposi•ƒo apenas sofre colapso em um estado definido no exato momento da medi•ƒo qu…ntica. Schr†dinger e Einstein trocaram cartas sobre o artigo EPR de Einstein, durante o qual Einstein indicou que a superposi•ƒo qu…ntica de um barril inst‰vel de p€lvora ir‰, ap€s um tempo, conter ambos componentes explodidos e nƒo-explodidos. Para melhor ilustrar o paradigma incompleto da mec…nica qu…ntica, Schr†dinger aplicou a teoria da mec…nica qu…ntica em uma entidade viva que podia ou nƒo estar consciente. No experimento mental original de Schr†dinger ele descreveu como um poderia, em princˆpio, transformar a superposi•ƒo dentro de um ‰tomo para uma superposi•ƒo em grande escala de um gato morto e vivo por relacionar gato e ‰tomo com a ajuda de um "mecanismo diab€lico". Ele propŠs um cen‰rio com um gato em uma caixa lacrada, onde a vida ou morte do gato ‡ dependente do estado de uma partˆcula subatŠmica. De acordo com Schr†dinger, a interpreta•ƒo de Copenhague implica que o gato permanece vivo e morto at‡ que a caixa seja aberta. Schr†dinger n‚o desejava promover a ideia de gatos vivos-e-mortos como uma s‡ria possibilidade; o experimento mental serve para ilustrar a bizarrice da mec…nica qu…ntica e da matem‰tica necess‰ria para descrever os estados qu…nticos. Entendida como uma crˆtica da interpreta•ƒo de Copenhague ƒ a teoria prevalecente em 1935 ƒ o experimento mental do gato de Schr†dinger permanece um t€pico padrƒo para todas as interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica; a maneira como cada interpreta•ƒo lida com o gato de Schr†dinger ‡ freqentemente usada como meio de ilustrar e comparar caracterˆsticas particulares de cada interpreta•ƒo, seus pontos fortes e fracos.


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O experimento mental Schr†dinger escreveu: Qualquer um pode mesmo montar casos bem ridˆculos. Um gato ‡ preso em uma c…mara de a•o, enquanto com o dispositivo seguinte (o qual deve estar seguro contra interfer‹ncia direta do gato): em um contador Geiger tem uma pequena quantidade de subst…ncia radioativa, tƒo pequena, que talvez durante o perôdo de uma hora, um dos ‰tomos decaia, mas tamb‡m, com a mesma probabilidade, talvez nenhum; se isso acontecer, o tubo do contador descarrega e atrav‡s de um rel‡ libera um martelo que quebra um pequeno frasco de ‰cido cianˆdrico. Se algum deles tiver saˆdo do seu sistema natural por uma hora, algu‡m pode concluir que o gato permanece vivo enquanto o ‰tomo nƒo tiver decaˆdo. A fun•ƒo-psi do sistema poderia ser expresso por ter dentro dele o gato morto-vivo (com o perdƒo da palavra) misturada ou dividido em partes iguais.  tˆpico desses casos que uma indetermina•ƒo originalmente restrita ao domˆnio atŠmico tenha sido transformada em uma indetermina•ƒo macrosc€pica, o qual pode entƒo ser resolvido por observa•ƒo direta. Isso nos previne de aceitar tƒo inocentemente como v‰lido um "modelo confuso" para representar a realidade. Por ele mesmo ele nƒo explicaria qualquer coisa imprecisa ou contradit€ria. Existe uma diferen•a entre uma fotografia tremida ou desfocada e uma foto de nuvens e neblina.

„

[2]

O texto acima ‡ a tradu•ƒo de dois par‰grafos do artigo original bem mais extenso, o qual aparece na revista alemƒ Naturwissenschaften ("Ci‹ncias Naturais") em 1935.[3] A famosa experi‹ncia mental de Schr†dinger coloca a questƒo: quando o sistema qu…ntico para de ser uma mistura de estados e se torna ou um ou o outro? (Mais tecnicamente, quando o atual estado qu…ntico para de ser uma combina•ƒo linear de estados, cada um dos quais se parece com estados cl‰ssicos diferentes, e em vez disso come•ar a ter apenas uma cl‰ssica descri•ƒo?) Se o gato sobreviver, isso lembra que ele est‰ apenas vivo. Mas as explica•‚es das experi‹ncias EPR que sƒo consistentes com a mec…nica qu…ntica microsc€pica padrƒo requer que objetos macrosc€picos, como gatos e cadernos, nƒo podem ter sempre apenas uma descri•ƒo cl‰ssica. O prop€sito da experi‹ncia mental ‡ para ilustrar esse aparente paradoxo: nossa intui•ƒo diz que nenhum observador pode estar em uma mistura de estados, mesmo que eles sejam gatos, por exemplo, eles nƒo podem estar em tal mistura.  necess‰rio que os gatos sejam observadores, ou sua exist‹ncia em um estado cl‰ssico simples e bem definido exige outro observador externo? Cada alternativa pareceu absurda para Albert Einstein, que estava impressionado pela habilidade do experimento mental para esclarecer esses problemas; em uma carta „ Schr†dinger datada de 1950 ele escreveu: Voc‹ ‡ o Œnico fˆsico contempor…neo, al‡m de Laue, que v‹ o que ningu‡m consegue sobre a assun•ƒo da realidade ƒ se pelo menos algu‡m estiver sendo honesto. A maioria deles simplesmente nƒo v‹ o tipo de jogo arriscado que eles estƒo jogando com a realidade ƒ a realidade ‡ algo independente do que j‰ for a experimentalmente visto. A interpreta•ƒo deles ‡, entretanto, refutada mais elegantemente pelo seu sistema de ‰tomo radioativo + amplificador + carga de p€lvora + gato em uma caixa, no qual a fun•ƒo-psi do sistema cont‡m ambos gato vivo e explodido em peda•os. Ningu‡m realmente duvida que a presen•a ou aus‹ncia do gato ‡ algo independente do ato de observa•ƒo.

„

[4]

Note que nenhuma carga de p€lvora ‡ mencionada no esquema de Schr†dinger, que usa um contador Geiger como amplificador e cianeto no lugar de p€lvora; a p€lvora foi apenas mencionada na sugestƒo original de Einstein para Schr†dinger 15 anos antes.

Interpreta€•o de Copenhague Na interpreta•ƒo de Copenhague na mec…nica qu…ntica, um sistema para a superposi•ƒo de estados se torna um ou outro quando uma observa•ƒo acontece. Essa experi‹ncia torna aparente o fato de que a natureza da medi•ƒo, ou observa•ƒo, nƒo ‡ bem definida nessa interpreta•ƒo. Alguns interpretam a experi‹ncia, enquanto a caixa estiver fechada, como um sistema onde simultaneamente existe uma superposi•ƒo de estados "nŒcleo decaˆdo/gato morto" e "nŒcleo nƒo-decaˆdo/gato vivo", e apenas quando a caixa ‡ aberta e uma observa•ƒo ‡ feita ‡ que, entƒo, a fun•ƒo de onda colapsa em um dos dois estados. Mais intuitivamente, alguns pensam que a "observa•ƒo" ‡ feita quando a partˆcula do nŒcleo atinge o detector. Essa linha de pensamento pode ser desenvolvida pelas teoria de colapso objetiva. Por outro lado, a interpreta•ƒo de muitos mundos nega que esse colapso sequer ocorra.


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Steven Weinberg disse: Toda essa hist€ria familiar ‡ verdade, mas ela deixa uma ironia. A versƒo de Bohr da mec…nica qu…ntica estava profundamente cheia de falhas, mas nƒo pela razƒo que Einstein pensa. A interpreta•ƒo de Copenhague descreve o que acontece quando um observador realize uma medi•ƒo, mas o observador e o ato de medi•ƒo sƒo ambos tratados classicamente. Isso ‡ totalmente errado: Fˆsicos e seus aparatos devem ser comandados pelas mesmas regras da mec…nica qu…ntica que comandam todo o universo. Mas essas regras sƒo expressas em termos de uma fun•ƒo de onda (ou, mais precisamente, um vetor de estado) que evolui de um jeito perfeitamente determinˆstico. Entƒo de onde as regras probabilˆsticas da interpreta•ƒo de Copenhague v‹m?

„

[5]

Um progresso consider‰vel tem sido feito nos Œltimos anos em dire•ƒo a resolu•ƒo do problema, o qual eu nƒo irei entrar em detalhes aqui.  suficiente que se diga que nem B†hr nem Einstein se concentraram no problema verdadeiro da mec…nica qu…ntica. As regras de Copenhague claramente funcionam, mas elas tem que ser aceitas. Mas isso deixa a tarefa de explic‰-las aplicando a equa•ƒo determinˆstica para a evolu•ƒo da fun•ƒo de onda, a Equa•ƒo de Schr†dinger, tanto para o observador quanto para os aparatos.

A interpreta€•o de muitos mundos de Everett & Hist…rias consistentes Na interpreta•ƒo de muitos mundos da mec…nica qu…ntica, a qual nƒo isola a observa•ƒo como um processo especial, ambos estados vivo e morto do gato persistem, mas sƒo incoerentes entre si. Nos outros mundos, quando a caixa ‡ aberta, a parte do universo contendo o observador e o gato sƒo separados em dois universos distintos, um contendo um observador olhando para um gato morto, outro contendo um observador vendo a caixa com o gato vivo. Como os estados vivo e morto do gato sƒo incoerentes, nƒo t‹m comunica•ƒo efetiva ou intera•ƒo entre eles. Quando um observador abre a caixa, ele se entrela•a com o gato, entƒo, as opini‚es dos observadores do gato sobre ele estar vivo ou morto sƒo formadas e cada um deles nƒo tem intera•ƒo com o outro. O mesmo mecanismo de incoer‹ncia qu…ntica ‡ tamb‡m importante para a interpreta•ƒo em termos das Hist€rias consistentes. Apenas "gato morto" ou "gato vivo" pode ser parte de uma hist€ria consistente nessa interpreta•ƒo. Roger Penrose criticou isso: Eu desejo tornar isso claro, que o que est‰ sendo debatido est‰ longe de resolver o paradoxo do gato. At‡ agora nƒo h‰ nada no formalismo da mec…nica qu…ntica que necessita que um estado de consci‹ncia nƒo possa envolver a percep•ƒo simult…nea de um gato morto-vivo.

„

[6]

Embora a visƒo mais aceita (sem necessariamente endossar os V‰rios-Mundos) ‡ que a incoer‹ncia ‡ o mecanismo que proˆbe tal percep•ƒo simult…nea. [7] [8] Uma variante da experi‹ncia do Gato de Schr†dinger conhecida como m‰quina de suicˆdio qu…ntico foi proposta pelo cosmologista Max Tegmark. Ele examinou a experi‹ncia do Gato de Schr†dinger do ponto de vista do gato, e argumentou que essa teoria pode ser distinta entre a interpreta•ƒo de Copenhague e a de muitos mundos.

Interpreta€•o conjunta A interpreta•ƒo conjunta afirma que superposi•‚es nƒo sƒo nada mas subconjuntos de um grande conjunto estatˆstico. Sendo esse o caso, o vetor estado nƒo se aplicaria individualmente ao experimento do gato, mas apenas „s estatˆsticas de muitos experimentos semelhantes. Os proponentes dessa interpreta•ƒo afirmam que isso faz o paradoxo do Gato de Schr†dinger um problema trivial nƒo resolvido. Indo por esta interpreta•ƒo, ela descarta a id‡ia que um simples sistema fˆsico tem uma descri•ƒo matem‰tica que corresponde a isso de qualquer jeito.


Teorias de colapso objetivas De acordo com as teorias de colapso objetivo, superposi•‚es sƒo destruˆdas espontaneamente (independente de observa•ƒo externa) quando algum princˆpio fˆsico objetivo (de tempo, massa, temperatura, irreversibilidade etc) ‡ alcan•ado. Assim, espera-se que o gato tenha sido estabelecido em um estado definido muito tempo antes da caixa ser aberto. Isso poderia vagamente ser dito como "o gato se observa", ou "o ambiente observa o gato". Teorias do colapso objetivo requerem uma modifica•ƒo da mec…nica qu…ntica padrƒo, para permitir superposi•‚es de serem destruˆdas pelo processo de evolu•ƒo no tempo. Em teoria, como cada estado ‡ determinado pelo estado imediatamente anterior, e este pelo anterior, ad infinitum, a pr‡-determina•ƒo para cada estado teria sido determinada instantaneamente pelo "princˆpio" inicial do Big Bang. Assim o estado do gato vivo ou morto nƒo ‡ determinada pelo observador, ele j‰ foi pr‡-determinado pelos momentos iniciais do universo e pelos estados subsequentes que sucessivamente levaram ao estado referenciado no experimento mental.

Aplica€‰es pr‡ticas O experimento ‡ puramente te€rico, e o esquema proposto jamais poder‰ ser construˆdo. Efeitos an‰logos, entretanto, tem algum uso pr‰tico em computa•ƒo qu…ntica e criptografia qu…ntica.  possˆvel enviar luz em uma superposi•ƒo de estados atrav‡s de um cabo de fibra €ptica. Colocando um grampo no meio do cabo que intercepta e retransmite, a transmissƒo ir‰ quebrar a fun•ƒo de onda (na interpreta•ƒo de Copenhague, "realizar uma observa•ƒo") e ir‰ provocar que a luz caia em um estado ou em outro. Por testes estatˆsticos realizados na luz recebida na outra ponta do cabo, o observador pode saber se ele permanece na superposi•ƒo de estados ou se ele j‰ foi observado e retransmitido. Em princˆpio, isso permite o desenvolvimento dos sistemas de comunica•ƒo que nƒo possam ser grampeados sem que o grampo seja notado na outra ponta. O experimento pode ser citado para ilustrar que a "observa•ƒo" na interpreta•ƒo de Copenhague nƒo tem nada a ver com percep•ƒo (a nƒo ser em uma versƒo do Panpsiquismo onde ‡ verdade), e que um grampo perfeitamente imperceptˆvel ir‰ provocar que as estatˆsticas no fim do cabo sejam diferentes. Em computa•ƒo qu…ntica, a frase "cat state" (Estado do gato) frequentemente refere-se ao emaranhamento dos qubits onde os qubits estƒo em uma superposi•ƒo simult…nea de todos sendo 0 e todos sendo 1, ou seja, + .

Extens‰es Embora a discussƒo desse experimento mental fala sobre dois possˆveis estados (gato vivo e gato morto), na realidade teria um nmero enorme de estados possˆveis, pois a temperatura e grau e estado de decomposi•ƒo do gato iria depender em exatamente quando e como, assim como se, o mecanismo foi acionado, assim como o estado do gato imediatamente antes da morte. Em outra extensƒo, fˆsicos foram tƒo longe como sugerir que astrŠnomos observando mat‡ria escura no universo durante 1998 poderiam ter "reduzido sua expectativa de vida" atrav‡s de um cen‰rio de pseudo-Gato de Schr†dinger, embora esse seja um ponto de vista controverso.[9] [10] Outra varia•ƒo do experimento ‡ do Amigo de Wigner, no qual tem dois observadores externos, o primeiro que abre e inspeciona a caixa e quem entƒo comunica suas observa•‚es a um segundo observador. O problema aqui ‡, a fun•ƒo de onda entra em colapso quando o primeiro observador abre a caixa, ou apenas quando o segundo observador ‡ informado das observa•‚es do primeiro observador?

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Ver tamb„m Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Problema da medi•ƒo qu…ntica Fun•ƒo de base Experi‹ncia da dupla fenda Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica Efeito Zeno qu…ntico Problema de Elitzur-Vaidman Amigo de Wigner Suicˆdio e Imortalidade qu…ntica Schroedinbug

[1] (em ingl‹s) Artigo EPR: Pode a descri•ƒo da mec…nica qu…ntica da realidade fˆsica ser considerada completa? (http:/ / prola.aps.org/ abstract/ PR/ v47/ i10/ p777_1) [2] (em ingl‹s) Schr†dinger: "A situa•ƒo atual da Mec…nica Qu…ntica" (http:/ / www.tu-harburg.de/ rzt/ rzt/ it/ QM/ cat.html#sect5) [3] (em alemƒo) Schr†dinger, Erwin (1935). "Die gegenw—rtige Situation in der Quantenmechanik (A situa•ƒo Atual da Mec…nica Qu…ntica)". Naturwissenschaften. [4] (em ingl‹s) Link para a carta de Einstein (http:/ / www. jstor.org/ pss/ 687649) [5] (em ingl‹s)Weinberg, Steven (2005). "Os enganos de Einstein". Physics Today58: 31. DOI: 10.1063/1.2155755 (http:/ / dx.doi.org/ 10. 1063/ 1.2155755). [6] (em ingl‹s)Penrose, R. The Road to Reality (A estrada para a realidade), p‰g. 807. [7] (em ingl‹s)Wojciech H. Zurek, Incoer‹ncia,einselection (Sele•ƒo induzida pelo ambiente), e as origens qu…nticas do cl‰ssico, Reviews of / arxiv.org/ abs/ quant-ph/ 0105127) Modern Physics (Crˆticas „ Fˆsica Moderna) 2003, 75, p‰gs. 71-75 ou (http:/ [8] (em ingl‹s)Wojciech H. Zurek, Incoer‹ncia e a transi•ƒo da qu…ntica para a cl‰ssica, Physics Today (Fˆsica Hoje), 44, p‰gs. 36 ƒ 44 (1991) [9] Highfield, Roger (2007-11-21). Mankind 'shortening the universe's life' (http:/ / www.telegraph.co.uk/ earth/ main. jhtml?xml=/ earth/ 2007/ 11/ 21/ scicosmos121.xml&CMP=ILC-mostviewedbox). The Daily Telegraph. P‰gina visitada em 25/11/2007. [10] Chown, Marcus (2007-11-22). Has observing the universe hastened its end? (http:/ / www.newscientist.com/ channel/ fundamentals/ mg19626313.800-has-observing-the-universe-hastened-its-end.html). New Scientist. P‰gina visitada em 25/11/2007.

Liga€‰es externas Ž (em ingl‹s) A situa•ƒo atual da Mec…nica Qu…ntica por Erwin Schr†dinger (http:/ / www.tu-harburg.de/ rzt/ rzt/ it/ QM/ cat.html)

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Gravita•ƒo qu…ntica

Gravita€•o quƒntica Gravidade Quƒntica ‡ o campo da fˆsica te€rica que busca unificar a teoria da mec…nica qu…ntica, a qual descreve tr‹s das for•as fundamentais, com a relatividade geral, a teoria da quarta for•a fundamental: gravidade. O desafio final de alguns ‡ um arcabou•o unificado de todas as for•as fundamentais „ uma teoria do tudo. Muito da dificuldade em se fundir estas teorias origina-se das hip€teses radicalmente diferentes que estas teorias utilizam para explicar como nosso universo funciona. Enquanto a teoria de campo qu…ntico baseia-se em campo de partˆculas embutidas no espa•o-tempo da relatividade restrita, a relatividade geral modela a gravidade como uma curvatura no espa•o-tempo que afeta o movimento das massas. O caminho mais €bvio para combinar estas duas (que ‡ tratar a gravidade como simplesmente outro campo de partˆcula) conduz rapidamente para aquilo que conhecemos como problema da renormaliza•ƒo. Partˆculas de gravidade devem atrair-se mutuamente, somando juntas todas as intera•‚es, resultando em muitos valores infinitos os quais nƒo podem ser facilmente cancelados sem ajuste sensˆvel. Isto contrasta com a eletrodin…mica qu…ntica onde algumas vezes se atinge resultados infinitos, mas estes, por serem bem poucos, podem ser removidos via renormaliza•ƒo. Ambas, mec…nica qu…ntica e relatividade geral tem sido altamente bem sucedidas. Infelizmente, a energia e as condi•‚es na qual a gravita€•o quƒntica se torna importante sƒo inacessˆveis aos experimentos laboratoriais atuais. O resultado disto ‡ que nƒo h‰ dados observacionais que possam prover qualquer auxˆlio para combinar as duas [1] . A abordagem geral tomada na gera•ƒo de uma teoria quƒntica da gravidade ‡ assumir que o a teoria em questƒo ser‰ simples e elegante e entƒo procurar nas teorias atuais por simetrias e dicas de como combin‰-las em uma teoria mais abrangente. Um problema com esta abordagem ‡ que nƒo sabemos se a resultante ser‰ uma teoria simples e elegante. No entanto, tal teoria se faz necess‰ria no sentido de compreender problemas onde estƒo envolvidas uma combina•ƒo de grandes massas e energias com dimens‚es espaciais muito reduzidas, tais como o comportamento de buracos negros, e a origem do universo.

Perspectiva hist…rica Historicamente, tem havido duas rea•‚es „ aparente inconsist‹ncia da teoria qu…ntica com a necess‰ria independ‹ncia-b‰sica da teoria da relatividade geral. A primeira ‡ que a interpreta€•o geom‚trica da relatividade geral n•o ‚ fundamental, mas surge qualitativamente de alguma teoria mais primordial . Isto ‡ explicitado, por exemplo, no livro-texto cl‰ssico de Steven Weinberg Gravitation and Cosmology. Um ponto de vista oposto ‡ que a independencia-fundo ‚ fundamental , e que a mecƒnica quƒntica necessita ser generalizada por parƒmetros onde n•o foi especificado, a priori , o tempo. O ponto de vista geom‡trico est‰ exposto no texto cl‰ssico Gravitation, de Misner, Wheeler e Thorne. Os dois livros, editados por gigantes da fˆsica te€rica, expressam vis‚es completamente opostas do significado da gravita•ƒo. Foram publicados quase simultaneamente no inicio de 1970. A razƒo foi que um impasse tinha sido alcan•ado, uma situa•ƒo que levou Richard Feynman (que por si mesmo tinha feito importantes tentativas para compreender a gravita•ƒo qu…ntica) a escrever, em desespero, "Lembre-me de n‚o voltar a mais nenhuma conferŽncia de gravita•‚o" em uma carta para sua esposa no inicio de 1960. Progressos foram alcan•ados nas duas frentes, conduzindo, em 2004, „ teoria das cordas por um lado, e por outro lado „ gravita•ƒo qu…ntica em loop.

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Gravita•ƒo qu…ntica

A incompatibilidade entre mecƒnica quƒntica e relatividade geral Harmonizar a teoria da relatividade geral, que descreve a gravita•ƒo e suas aplica•‚es em estruturas de larga-escala (estrelas, planetas e gal‰xias) com a mec…nica qu…ntica, que descreve as outras tr‹s for•as fundamentais atuando em escala microsc€pica ‡, atualmente, um dos maiores problemas da fˆsica te€rica. Uma li•ƒo fundamental da relatividade geral ‡ que nƒo existe um referencial preferencial para o espa•o-tempo, como exposto na mec…nica Newtoniana e na relatividade restrita, ou seja, a geometria do espa€o-tempo ‚ dinƒmica. Apesar da f‰cil aceita•ƒo em princˆpio, esta id‡ia ‡ de difˆcil compreensƒo no que tange „ relatividade geral, e suas conseq‹ncias sƒo profundas, mas nƒo totalmente exploradas, mesmo ao nˆvel cl‰ssico. Em um certo sentido, a relatividade geral pode ser vista como uma teoria relacional, na qual a Œnica informa•ƒo fˆsica relevante ‡ a rela•ƒo entre diferentes eventos no espa•o-tempo. Por outro lado, a mec…nica qu…ntica possui uma depend‹ncia desde sua concep•ƒo de estrutura (nƒo-din…mica) de fundo. No caso da mec…nica qu…ntica, o tempo ‡ din…mico e nƒo determinado, como na mec…nica cl‰ssica newtoniana. Na teoria qu…ntica de campo relativˆstica, tal como em uma teoria cl‰ssica de campo, o espa•o-tempo Minkowski ‡ fixado no arcabou•o da teoria. A teoria das cordas, foi concebida como uma generaliza•ƒo da teoria qu…ntica de campo onde, ao inv‡s de partˆculas pontuais, objetos parecidos com cordas propagam-se num arcabou•o de espa•o-tempo fixo. Embora a teoria das cordas tenha origem no estudo do confinamento de quark e nƒo da gravita•ƒo qu…ntica, foi logo descoberto que o seu espectro contem o graviton, e que a "condensa•ƒo" de certos modos vibracionais da corda ‡ equivalente „ modifica•ƒo do arcabou•o original. A Teoria quƒntica de campo (n•o-Minkowskian) curvado, embora nƒo seja uma teoria quƒntica da gravidade, tem mostrado que algumas hip€teses da teoria qu…ntica nƒo podem ser consideradas sob espa€o-tempo curvo. Em particular, mesmo a no•ƒo qu…ntica de v‰cuo depende do caminho que o observador segue atrav‡s do espa•o-tempo (veja efeito Unruh). Tamb‡m, o conceito de campo parece ser mais fundamental que o conceito de part„cula (o qual surge como um meio conveniente para descrever intera•‚es localizadas). Este caminho, contudo, nƒo ‡ livre de controv‡rsia, sendo contr‰rio „ forma como a teoria qu…ntica de campo foi desenvolvida por Steven Weinberg no livro Quantum Field Theory. A gravita€•o quƒntica de loop ‡ fruto de um esfor•o para formular uma teoria qu…ntica independente do arcabou•o. A teoria qu…ntica de campo topol€gica fornece um exemplo de teoria qu…ntica independente do arcabou•o, mas com nenhum grau de liberdade local , e somente com finitos graus de liberdade globais. Isto ‡ inadequado para descrever a gravidade em 3+1 dimens‚es, na qual mesmo no v‰cuo t‹m-se graus de liberdade locais de acordo com a relatividade geral. Em 2+1 dimens‚es, contudo, a gravidade ‡ uma teoria de campo topol…gica que teve sua quantiza•ƒo bem sucedida de v‰rias maneiras, incluindo redes de spin. H‰ tr‹s outros pontos de tens•o entre a mec…nica qu…ntica e a relatividade geral. Primeiro, a relatividade geral prediz uma quebra de paradigma nas singularidades, e a mec…nica qu…ntica se tornaria

inconsistente nas vizinhan•as das singularidades. Segundo,

nƒo est‰ claro como determinar o campo gravitacional de uma partˆcula se, em rela•ƒo ao princˆpio da incerteza de Heisenberg da mec…nica qu…ntica, a localiza•ƒo e velocidade nƒo podem ser conhecidas com precisƒo absoluta. Terceiro,

h‰ uma tensƒo, mas nƒo uma contradi•ƒo l€gica, entre a viola•ƒo da desigualdade de Bell na mec…nica qu…ntica, a qual indica uma influ‹ncia superluminal , e a velocidade da luz como uma velocidade limite na relatividade. A resolu•ƒo destes dois primeiros pontos deve vir de uma melhor compreensƒo da relatividade geral [2]. [1] A aus‹ncia de dados observacionais impede que a proposta da gravita•ƒo qu…ntica seja dita uma "teoria cientˆfica", pelo menos em acep•ƒo moderna, ao rigor do termo, portanto. Entretanto a hist€ria nos mostra que nem sempre os fatos que levam „ proposi•ƒo ou evolu•ƒo de uma teoria precedem as id‡ias que ela encerrara ou encerrar‰ quando corroborada. A saber, os mais importantes fatos que corroboram as propostas

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Gravita•ƒo qu…ntica da relatividade de Einstein foram obtidos posteriormente „ divulga•ƒo de suas ideias, sendo a elabora•ƒo destas impelidas em verdade por inconsist‹ncias entre duas teorias j‰ consolidades „ epoca, a mec…nica cl‰ssica e o eletromagnetismo. Entretanto a ressalva ‡ implac‰vel: sem fatos que corroborem as ideias propostas, a "teoria" nƒo pode ser dita uma teoira cientˆfica. [2] http:/ / arxiv.org/ abs/ astro-ph/ 0506506

Teorias H‰ inŒmeras propostas de teoria de gravita•ƒo qu…ntica: Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Teoria das cordas Supergravita•ƒo AdS/CFT Equa•ƒo Wheeler-deWitt Gravita•ƒo qu…ntica de Loop de Ashtekar, Smolin e Rovelli Gravita•ƒo qu…ntica Euclidiana Geometria nƒo comutativa de Alain Connes Teoria Twistor de Roger Penrose Gravita•ƒo qu…ntica discreta de Lorentzian Gravita•ƒo induzida Sakharov Calculo Regge M‡trica acŒstica e outros modelos an‰logos de gravita•ƒo Processos Fˆsicos Teoria do campo unificado

Ver tamb„m Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Evento Centauro Teoria-M Gravita•ƒo semiclassica Teoria de campo qu…ntico no espa•o tempo curvo Processo Fˆsico Uma nova id‡ia, a gravidade gerada pelos ‰tomos. (http:/ / rolfguthmann.sites.uol.com.br/ ) Gr‰vitons

Na cultura popular A famosa parodia do p€s-modernismo por Alan Sokal (veja Sokal Affair) foi intitulada Transgressing the Boundaries: Toward a Transformative Hermeneutics of Quantum Gravity.

Liga€‰es externas Ž The shape of things to come (http:/ / www.newscientist.com/ article.ns?id=mg18725101.800) New Scientist, 30 de Julho 2005 Ž Conceito de Massa na Mec…nica Relacional e na Relatividade Geral- A. K. T. Assis- Instituto de Fˆsica - Unicamp (http:/ / www.ufrn.br/ sites/ producao_ct/ sec7_10.html|O)

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Hist€rias consistentes

Hist…rias consistentes Na mec…nica qu…ntica, a abordagem hist…rias consistentes pretende ser uma moderna interpreta•ƒo da mec…nica qu…ntica, geralmente a interpreta•ƒo de Copenhague tida como a mais convencional, provendo uma interpreta•ƒo natural da cosmologia qu…ntica. Alguns acreditam que esta interpreta•ƒo deriva do trabalho apresentado por Hugh Everett sendo uma versƒo moderna da interpreta•ƒo de muitos mundos. Outros discordam profundamente disto. A teoria se baseia no crit‡rio de consist‹ncia que entƒo permitiria a hist€ria de um sistema possa ser descrito pelas probabilidades de cada hist€ria, que obedecem as leis da probabilidade cl‰ssica, enquanto preserva a consist‹ncia com a equa•ƒo de Schr†dinger. De acordo com esta a interpreta•ƒo da mec…nica qu…ntica, o prop€sito da teoria da mec…nica qu…ntica ‡ predizer a probabilidade de v‰rias hist€rias alternativas. Uma hist€ria ‡ definida como uma seq‹ncia (produto) dos operadores de proje•ƒo em diferentes instantes no tempo:

O sˆmbolo indica que os fatores no produto sƒo ordenados cronologicamente de acordo como os valores de : os operadores "passados" com menores valores de aparecem no lado direito, e os do operadores "futuros" com os maiores valores de aparecem do lado esquerdo. Estas proje•‚es de operadores podem corresponder a qual conjunto de problemas que incluam todas que tratem de todas as possibilidades. Exemplificando, este poderiam ser o significado de 3 proje•‚es: "o el‡tron atravessou a fenda da esquerda ", "o el‡tron atravessou a fenda da direita" e "o el‡tron nƒo passou por nenhuma das fendas". Um dos objetivos desta teoria ‡ mostrar que quest‚es cl‰ssicas tais como •onde est‰ meu carro‚ sƒo consistentes. Nestes casos deve-se usar um grande nŒmero de conjuntos de proje•‚es, cada uma especificando a localiza•ƒo do carro em alguma pequena regiƒo do espa•o. Uma hist€ria ‡ uma seq‹ncia destas quest‚es, ou matematicamente o produto do correspondente operador de proje•ƒo. As leis da mec…nica qu…ntica sƒo para predizer as probabilidades das hist€rias individuais, dadas condi•‚es iniciais conhecidas. Finalmente, das hist€rias sƒo requeiridas sua consist‹ncia, isto ‡:

para diferentes. Onde representa a matriz de densidade inicial, e o operador foi expresso na figura Heisenberg. A necessidade de consist‹ncia permite postular que a probabilidade da hist€ria ‡ simplesmente a qual garante que a probabilidade do "A ou B" ‡ igual „ probabilidade de "A" mais a probabilidade de "B" menos a probabilidade de "A e B", e assim por diante. A interpreta•ƒo baseada em hist€rias consistentes ‡ usada em combina•ƒo com a visƒo do entrela•amento qu…ntico. O entrela•amento qu…ntico implica que somente determinadas escolhas das hist€rias sƒo coerentes, e permitem um c‰lculo quantitativo da fronteira entre o domˆnio cl‰ssico e o qu…ntico. Em algumas interpreta•‚es baseadas em hist€rias consistentes nƒo muda em nada em rela•ƒo ao paradigma da interpreta•ƒo de Copenhague que somente as probabilidades calculadas da mec…nica qu…ntica e a fun•ƒo onda t‹m um significado fˆsico. De forma a obter uma teoria completa, as regras formais acima devem ser suplementadas com um espa•o Hilbertiano particular e leis que governem a din…mica do sistema, pro exemplo um Hamiltoniana. Na opiniƒo de outros, ainda nƒo foi feita uma teoria completa, portanto nenhuma previsƒo ‡ possˆvel a respeito de qual conjunto de hist€rias consistentes ir‰ sempre ocorrer. Estas regras das hist€rias consistentes, o espa•o Hilbertiano e o Hamiltoniano devem ser suplementados por um conjunto selecionado de leis.

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Hist€rias consistentes

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Os propositores desta moderna interpreta•ƒo, tais como Murray Gell-Mann, James Hartle, Roland Omnes, Robert B. Griffiths, e Wojciech Zurek argumentam que esta interpreta•ƒo esclarece as desvantagens fundamentais da velha interpreta•ƒo de Copenhague, e pode ser usado como um modelo interpretacional para a mec…nica qu…ntica.

Ver tamb„m Ž Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica

ReferŠncia Ž R. Omn¢s, Understanding Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1999. O capˆtulo 13 descreve hist€rias consistentes.

Integra€•o funcional Em fˆsica matem‰tica, integra€•o funcional ‡ uma integra•ƒo de funcionais sobre espa•os de fun•‚es. Muito importante na an‰lise funcional, a integral funcional pode ser representada como: . A integral funcional, contudo, nƒo ‡ rigorosamente bem definida sempre. Na maioria das vezes, apenas h‰ sentido em calcular raz‚es entre as integrais. Outra questƒo ‡ que apenas se sabe calcular um tipo de integral funcional: a integral gaussiana.


An‰lise funcional; Deriva•ƒo funcional; Integral gaussiana; Teoria estatˆstica de campos; Funcional.

Interpreta•ƒo de Bohm

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Interpreta€•o de Bohm David Bohm, aluno de Robert Oppenheimer e contempor…neo de Albert Einstein em Princeton, ap€s publicar seu Teoria Qu€ntica, elogiado por Einstein como a mais clara explica•ƒo que lera sobre o tema, reinterpretou a fˆsica qu…ntica de forma divergente da Interpreta•ƒo de Copenhagen. A interpreta€•o de Bohm generaliza a teoria da onda piloto de Louis de Broglie de 1927, a qual apresenta que ambos: onda e partˆcula sƒo reais. A fun•ƒo de onda evolui de acordo com a equa•ƒo de Schr†dinger e de algum modo 'guia' a partˆcula. Isto assumindo um simples, e nƒo dividido universo (diferente da interpreta•ƒo de muitos mundos) e ‡ deterministica (diferente da interpreta•ƒo de Copenhague). Isto quer dizer que o estado do universo evolui suavemente atrav‡s do tempo, sem o colapso da fun•ƒo de onda quando a medi•ƒo ocorre, como na interpreta•ƒo de Copenhague. Contudo, deve-se assumir a exist‹ncia de um grande nŒmero de vari‰veis ocultas, as quais nunca podem ser diretamente mensuradas.

Equa€•o de Schroedinger Inicialmente, Bohm dividiu a equa•ƒo de Schroedinger em duas partes. A primeira era uma recapitula•ƒo da fˆsica newtoniana cl‰ssica, e a segunda um campo informativo semelhante a ondas. A equa€•o de Schroedinger define o movimento do el‡tron, e indica respostas para quest‚es sobre o comportamento e a natureza do el‡tron. Contrariamente a Niels Bohr (complementaridade onda-partˆcula) e „ escola de Copenhagen, Bohm postulou que o el‡tron se comporta como uma partˆcula cl‰ssica comum, mas tendo acesso „ informa•ƒo sobre o resto do universo. Bohm denominou o segundo termo de potencial qu…ntico, um campo informativo funcional que fornece ao el‡tron informa•‚es sobre o resto do universo fˆsico. Demonstrou que a influ‹ncia desse potencial quƒntico dependia apenas da forma, e nƒo da magnitude desse tipo de fun•ƒo de onda, sendo portanto, independente da separa•ƒo no espa•o: todo ponto no espa•o contribui com informa•ƒo para o el‡tron. Esta explica•ƒo para o comportamento do el‡tron tem rela•ƒo com o conceito de holomovimento e com as ordens impl†cita e expl†cita que o comp‚em.

Fundamenta€•o Matem‡tica Na equa•ƒo de Schr†dinger , onde a fun•ƒo de onda “(r,t) ‡ uma fun•ƒo complexa da posi•ƒo r e tempo t , a densidade probabilidade —(r,t) ‡ uma fun•ƒo real definida por . Sem perda de generalidade, nos podemos expressar a fun•ƒo de onda “ em termos da dendisdade de probabilidade real — = |“|2 e uma fun•ƒo de fase da vari‰vel real S que sƒo ambas tamb‡m fun•‚es de posi•ƒo e tempo . Quando fazemos isto, a equa•ƒo de Schr†dinger separa-se em duas equa•‚es,

com


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. Se identificarmos o momento como

e a energia como

, entƒo (1) ‡ simplesmente a

equa•ƒo de continuidade tendo a probabilidade de , e (2) estabelece que energia total ‡ a soma da energia potencial, energia cin‡tica, e um termo adicional Q, que pode ser chamado de potencial qu…ntico. Nƒo ‡ por acaso que S possua a unidade e tˆpico nome vari†vel de a•ƒo. A partˆcula ‡ vista como tendo uma posi•ƒo definida, com uma distribui•ƒo de probabilidade — que pode ser calculada da fun•ƒo de onda “. A fun•ƒo de onda "guia" a partˆcula por meio do potencial qu…ntico Q. Muito deste formalismo foi desenvolvido por Louis de Broglie, Bohm estendeu o caso de uma simples partˆcula para a o de v‰rias partˆculas e reinterpretou as equa•‚es. Elas tamb‡m foram estendias para incluir o spin, embora a extensƒo para condi•‚es relativˆsticas nƒo tenha sido bem sucedida.

Coment‡rios A interpreta•ƒo de Bohm nƒo ‡ muito popular entre os fˆsicos por inŒmeras raz‚es cientificas e sociol€gicas que poderiam fazer parte de um fascinante porem longo estudo, mas podemos ao menos dizer onde ‡ considerada menos elegante por alguns (ela foi considerada como "superestrutura desnecess‰ria" mesmo por Einstein que sonhava com um substituto deterministico para a interpreta•ƒo de Copenhague). Presumivelmente a Einstein, e outros, nƒo agradavam a nƒo localidade da maioria das interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica, como ele tentou mostrar sua incompletude no Paradoxo EPR. A teoria de Bohm ‡ de forma inevit‰vel nƒo local, o que conta como um golpe contra ela; mas isto ‡ menos importante agora, pois nos Œltimos tempos a nƒo localidade vem se tornando mais convincente devido a verifica•ƒo experimental da Desigualdade de Bell. Por‡m, a teoria vem sendo usado por outros como base de inumeros livros tais como Dancing Wu-li Masters, o qual tem por objetivo ligar a fˆsica moderna a religi‚es orientais. Isto, como tamb‡m os v‰rios amigos filos€ficos padr‚es de Bohm como J. Krishnamurti, devem ter levado alguns mais a desconsider‰-la. A interpreta•ƒo de Bohm versus Copenhague (ou quase Copenhague como definida por Von Neumann e Dirac) sƒo diferentes em pontos cruciais: ontologia versus epistemologia; potencial qu…ntico ou informa•ƒo ativa versus usual partˆcula-onda e ondas de probabilidades; nƒo localidade vs. localidade (deve-se notar que a mec…nica qu…ntica padrƒo ‡ tamb‡m nƒo local, veja o paradoxo EPR); completude versus abordagem segment‰ria normal. Em seu livro p€stumo "O universo n•o dividido", Bohm tinha (com Hiley, e, certamente, em inŒmeros outros papers) apresentou um elegante e completa descri•ƒo do mundo fˆsico. Esta descri•ƒo ‡ em muitos aspectos mais satisfat€ria antecessora, ao menos para Bohm e Hiley. De acordo com a interpreta•ƒo de Copenhague, h‰ uma esfera de realidade cl‰ssica, para objetos grandes e grandes nŒmeros qu…nticos, e uma esfera qu…ntica separada. Nƒo h‰ um Œnico fragmento da teoria qu…ntica na descri•ƒo do "mundo cl‰ssico" ƒ diferentemente da situa•ƒo encontrada na versƒo da mec…nica qu…ntica de Bohm. Estas diferen•as afetam tƒo pouco nos resultados dos testes experimentais que nƒo existes consenso se a interpreta•ƒo de Copenhague, ou outra, poder‰ ser provada como inadequada; ou os resultados sƒo tƒo vagos para serem interpretados de forma nƒo ambˆgua. Os papers em questƒo sƒo listados no final desta pagina, cujo o principal assunto sƒo os efeitos qu…nticos, como predito por Bohm, sƒo observados no mundo cl‰ssico ƒ algumas vezes de forma impens‰vel na versƒo dominante da interpreta•ƒo de Copenhague. A interpreta•ƒo Bohmiana da Mec…nica Qu…ntica ‡ caracterizada pela seguintes aspectos: Ž  baseada nos conceitos da nƒo localidade potencial qu…ntico e informa•ƒo ativa. Por um lado deve-se mencionar que a abordagem Bohmiana nƒo ‡ nova em rela•ƒo a seu formalismo matem‰tico, mas uma reinterpretarƒo da abordagem usual equa•ƒo de Schr†dinger (a qual sob certas aproxima•‚es ‡ a mesma cl‰ssica equa•ƒo Hamilton-Jacobi), a qual simplesmente, no processo de c‰lculo, adicionou-se um termo que foi interpretado por

Interpreta•ƒo de Bohm Bohm como um potencial qu…ntico e desenvolvido como uma nova visƒo da mec…nica qu…ntica. Entƒo, Na interpreta•ƒo de Bohm nƒo ‡ (como poderia sugerir o livro The Undivided Universe) a originalidade do formalismo matem‰tico (que ‡ a fun•ƒo de em uma forma central, e a equa•ƒo de Schrodinger aplicada a ela) ƒ mas uma interpreta•ƒo que nega a caracterˆsticas centrais da mec…nica qu…ntica: nƒo exist‹ncia do dualismo partˆcula onda (o el‡tron ‡ uma partˆcula real guiada guiada por um campo potencial qu…ntico real); nenhuma abordagem epistemol€gica (isto ‡, realidade qu…ntica e ontologia). Ž talvez o mais a parte mais interessante a respeito da abordagem de Bohm ‡ o formalismo: ela d‰ uma nova versƒo para o micro mundo, nƒo somente uma nova (apesar de radical) interpreta•ƒo. Esta descreve um mundo onde conceitos como a casualidade, posi•ƒo e trajet€ria t‹m um significado fˆsico concreto. Colocando de lado as possˆveis obje•‚es com respeito a nƒo localidade, o possˆvel triunfo da visƒo de Bohm (por exemplo, nƒo necessitar de nada parecido com Princˆpio da complementaridade) - deixa-nos com uma impressƒo de que Bohm talvez ofere•a seja um novo paradigma e uma absolutamente arrojada versƒo reformulada da uma antiga e estabelecida mec…nica qu…ntica. Ž Bohm enfatizou que experimento e experi‹ncia englobam um todo indivisˆvel. Nƒo h‰ separa•ƒo deste todo indivisˆvel. O potencial qu…ntico Q nƒo assume o valor zero no infinito.

Criticas Os principais pontos de criticas, juntamente com as respostas dos que advogam a interpreta•ƒo de Bohm, foram sumarizadas nos pontos que se seguem: Ž a fun•ƒo de onda deve " desaparecer" depois do processo de medi•ƒo, e este processo parece profundamente artificial no modelo de Bohm. Resposta: A teoria de von Neumann da medi•ƒo qu…ntica combinada com a interpreta•ƒo de Bohm explica fˆsicos comportam-se como se a fun•ƒo de onda "desaparecesse", a despeito do fato que nƒo h‰ um "desaparecimento" verdadeiro. Ž o artificialismo te€rico escolhe vari‰veis privilegiadas: enquanto a mec…nica qu…ntica ortodoxa admite todas as vari‰veis do espa•o de Hilbert que sƒo tratados sempre de forma equivalente (muito parecido com as bases compostas de seus eigenvetores), A interpreta•ƒo de Bohm's requer algumas vari‰veis tenha um conjunto de "privil‡gios" que sƒo tratados classicamente ƒ principalmente a posi•ƒo. Nƒo existe razƒo experimental para pensar que algumas vari‰veis sƒo fundamentalmente diferentes de outras. Reposta: Na fˆsica cl‰ssica, a posi•ƒo ‡ mais fundamental que outras vari‰veis. Portanto, nƒo devia ser estranho que isto pudesse tamb‡m ser verdadeiro na mec…nica qu…ntica tamb‡m. Ž O modelo Bohmiano ‡ verdadeiramente nƒo local: esta nƒo localidade passˆ vel de violar a invari…ncia de Lorent; contradi•‚es com relatividade especial j‰ eram esperadas; Estes fatos criam uma tarefa profundamente nƒo trivial: reconciliar os atuais modelos da fˆsica de partˆculas, tais como teoria qu…ntica de campo ou teoria das cordas, com alguns testes experimentais muito acurados da relatividade especial, sem algumas explica•‚es adicionais. Por outro lado, outras interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica ƒ tais como Hist€rias consistentes ou interpreta•ƒo de muitos mundos permite-nos explicar o teste experimental do entrela•amento qu…ntico sem qualquer utiliza•ƒo de nƒo localidade. Resposta: A teoria das cordas sugere uma teoria de campo qu…ntico nƒo comunicante, a qual tamb‡m introduz nƒo-localidades e viola•ƒo da invari…ncia de Lorentz. Portanto, na fˆsica moderna, nƒo localidade e viola•ƒo da invari…ncia de Lorentz nƒo sƒo tratados como patologias, mas, ao inv‡s disto, possibilidades interessantes. Al‡m disto, em algumas vers‚es da interpreta•ƒo de Bohm, a nƒo-localidade do potencial qu…ntico ‡ relativisticamente invariante na mesma medida que a fun•ƒo de onda ‡ relativisticamente invariante, o que conduz a vers‚es da interpreta•ƒo de Bohm que respeitem a covari…ncia de Lorentz.

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Interpreta•ƒo de Bohm Ž A interpreta•ƒo Bohmiana tem problemas sutis para incorporar o spin e outros conceitos da fˆsica qu…ntica: os eigenvalores do spin sƒo discretos, e alem disto contradiz a invari…ncia rotacional ao menos que uma interpreta•ƒo probabilˆstica seja aceita Resposta: H‰ variantes da interpreta•ƒo de Bohm na qual este problema nƒo aparece. Ž A interpreta•ƒo Bohmiana tamb‡m parece incompatˆvel com as modernas vis‚es a respeito entrela•amento que permite-nos calcular a "barreira" entre o "micro-mundo qu…ntico" e o "macro-mundo cl‰ssico"; de acordo com o entrela•amento, as vari‰veis que exibem comportamento cl‰ssico sƒo determinadas dinamicamente, nƒo por uma suposi•ƒo. Resposta: Quando a interpreta•ƒo de Bohm e tratada juntamente com a teoria de von Neumann da medi•ƒo qu…ntica, nenhuma incompatibilidade com as vis‚es a respeito do entrela•amento permanecem. Pelo contrario, a interpreta•ƒo de Bohm deve ser vista como uma complemento da teoria do entrela•amento, porque ela prove respostas para quest‚es que o entrela•amento por si s€ nƒo pode responder: Qual o motivo que leva o sistema a ser conduzido a um simples e definido valor da vari‰vel observada? Ž a interpreta•ƒo de Bohm nƒo leva a novas predi•‚es mesur‰veis, entƒo isto nƒo e realmente uma teoria cientifica. Resposta: No domˆnio nos quais a interpreta•ƒo convencional da mec…nica qu…ntica nƒo sƒo ambˆguos, as predi•‚es da interpreta•ƒo de Bohm sƒo id‹nticos a aqueles da interpreta•ƒo convencional. Porem, no domˆnio no qual a interpreta•ƒo convencional ‡ ambˆgua, tais como a questƒo do tempo observador e posi•ƒo-observador em mec…nica qu…ntica relativˆstica, a interpreta•ƒo de Bohm conduz a predi•‚es mensur‰veis novas e nƒo ambˆguas.

Veja tamb„m Ž Ž Ž Ž

David Bohm Holomovimento Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica Colapso da fun•ƒo de onda

Liga€‰es externas Ž Bohmian Mechanics [1] - a persuasive defense of Bohm's interpretation by Sheldon Goldstein, Stanford Encyclopedia of Philosophy Ž Bohmian Mechanics at the University of Innsbruck Institute for Theoretical Physics [2] Ž A new theory of the relationship of mind and matter [3] - an article by David Bohm Ž A Bohmian view on quantum decoherence [4] - quant-ph/0310096 Ž A Bohmian Interpretation for Noncommutative Scalar Field Theory and Quantum Mechanics [5] - hep-th/0304105 Ž Dynamical Origin of Quantum Probabilities [6] - quant-ph/0403034 Ž Bohmian mechanics is a "lost cause" [7] according to R. F. Streater Ž Why isn't every physicist a Bohmian? [8] - quant-ph/0412119 Ž Relativistic quantum mechanics and the Bohmian interpretation [9] - quant-ph/0406173 Ž A survey of Bohmian Mechanics [10]- quant-ph/9504010

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ReferŠncias Ž Holland, Peter R. The Quantum Theory of Motion : An Account of the de Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics. Cambridge: Cambridge U. Press, 1993. ISBN 0521485436 . An Amazon reviewer claims this is clearer than Bohm's own: Ž Bohm, David and B.J. Hiley. The Undivided Universe: An ontological interpretation of quantum theory.London: Routledge, 1993. ISBN 0-415-12185-X. Ž Albert, David Z. "Bohm's Alternative to Quantum Mechanics", Scientific American, May, 1994. For a start on comparing the various interpretations of quantum mechanics see Ž Wheeler and Zurek, ed., Quantum Theory and Measurement , Princeton: Princeton University Press, 1984 or Ž Jammer, Max. The Philosophy of Quantum Mechanics.

ReferŠncias [1] http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ qm-bohm/ #qr [2] http:/ / bohm-c705.uibk.ac.at/ [3] http:/ / members.aol.com/ Mszlazak/ BOHM.html [4] http:/ / xxx.lanl.gov/ abs/ quant-ph/ 0310096 [5] http:/ / xxx.lanl.gov/ abs/ hep-th/ 0304105 [6] http:/ / xxx.lanl.gov/ abs/ quant-ph/ 0403034 [7] http:/ / www.mth.kcl.ac.uk/ ~streater/ lostcauses.html#XI [8] http:/ / arxiv.org/ abs/ quant-ph/ 0412119 [9] http:/ / arxiv.org/ abs/ quant-ph/ 0406173 [10] http:/ / arxiv.org/ PS_cache/ quant-ph/ pdf/ 9504/ 9504010v1.pdf

Interpreta€•o de Copenhaga A Interpreta€•o de Copenhague (portugu‹s brasileiro) ou Interpreta€•o de Copenhaga (portugu‹s europeu) ‡ a interpreta•ƒo mais comum da Mec…nica Qu…ntica e foi desenvolvida por Niels Bohr e Werner Heisenberg que trabalhavam juntos em Copenhague em 1927. Pode ser condensada em tr‹s teses: 1. As previs‚es probabilˆsticas feitas pela mec…nica qu…ntica sƒo irredutˆveis no sentido em que nƒo sƒo um mero reflexo da falta de conhecimento de hipot‡ticas vari‰veis escondidas. No lan•amento de dados, usamos probabilidades para prever o resultado porque nƒo possuˆmos informa•ƒo suficiente apesar de acreditarmos que o processo ‡ determinˆstico. As probabilidades sƒo utilizadas para completar o nosso conhecimento. A interpreta•ƒo de Copenhague defende que em Mec…nica Qu…ntica, os resultados sƒo indeterminˆsticos. 2. A Fˆsica ‡ a ci‹ncia dos resultados de processos de medida. Nƒo faz sentido especular para al‡m daquilo que pode ser medido. A interpreta•ƒo de Copenhague considera sem sentido perguntas como "onde estava a partˆcula antes de a sua posi•ƒo ter sido medida?". 3. O ato de observar provoca o "colapso da fun•ƒo de onda", o que significa que, embora antes da medi•ƒo o estado do sistema permitisse muitas possibilidades, apenas uma delas foi escolhida aleatoriamente pelo processo de medi•ƒo, e a fun•ƒo de onda modifica-se instantaneamente para refletir essa escolha. A complexidade da mec…nica qu…ntica (tese 1) foi atacada pela experi‹ncia (imagin‰ria) de Einstein-Podolsky-Rosen, que pretendia mostrar que t‹m que existir vari‰veis escondidas para evitar "efeitos nƒo locais e instant…neos „ dist…ncia". A desigualdade de Bell sobre os resultados de uma tal experi‹ncia foi derivada do pressuposto de que existem vari‰veis escondidas e nƒo existem "efeitos nƒo-locais". Em 1982, Aspect levou a cabo a experi‹ncia e descobriu que a desigualdade de Bell era violada, rejeitando interpreta•‚es que postulavam vari‰veis escondidas e efeitos locais. Esta experi‹ncia foi alvo de v‰rias crˆticas e novas experi‹ncias realizadas por Weihs e Rowe confirmaram os resultados de Aspect.

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Interpreta•ƒo de Copenhaga Muitos fˆsicos e fil€sofos not‰veis t‹m criticado a Interpreta€•o de Copenhague, com base quer no fato de nƒo ser determinista quer no fato de propor que a realidade ‡ criada por um processo de observa•ƒo nƒo fˆsico. As frase de Einstein "Deus nƒo joga aos dados" e "Pensas mesmo que a Lua nƒo est‰ l‰ quando nƒo est‰s a olhar para ela?" ilustram a posi•ƒo dos crˆticos. A experi‹ncia do Gato de Schroedinger foi proposta para mostrar que a Interpreta•ƒo de Copenhague ‡ absurda. A alternativa principal „ Interpreta•ƒo de Copenhague ‡ a Interpreta•ƒo de Everett dos mundos paralelos. Ž Physics FAQ section about Bell's inequality (http:/ / math.ucr.edu/ home/ baez/ physics/ Quantum/ bells_inequality.html) Ž G. Weihs et al., Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 5039 Ž M. Rowe et al., Nature 409 (2001) 791.


Interpreta€•o de muitos mundos A Interpreta€•o de muitos mundos (ou IMM) ‡ uma interpreta•ƒo da mec…nica qu…ntica que prop‚e a exist‹ncia de mŒltiplos "universos paralelos". A IMM foi formulada inicialmente por Hugh Everett para a explica•ƒo de alguns processos nƒo determinˆsticos (tais como medi•ƒo) na mec…nica qu…ntica. Embora varias vers‚es de IMM tenham sido propostas desde o trabalho original de Everett, todas compartilham duas id‡ias chaves. A primeira delas ‡ a exist‹ncia de uma fun•ƒo estado para todo universo a qual obedece a equa•ƒo de Schr†dinger para todo tempo e para a qual nƒo h‰ processo de colapso da onda. A segunda id‡ia ‡ que este estado universal ‡ uma sobreposi•ƒo qu…ntica de v‰rios, possivelmente infinitos, estados de id‹nticos universos paralelos nƒo comunicantes. As id‡ias da IMM originaram-se na tese de Ph. D. de Hugh Everett na Universidade de Princeton, mas a frase •muitos mundos‚ ‡ devida a Bryce DeWitt, que posteriormente desenvolveu algumas das id‡ias presentes no trabalho original de Everett. A formula•ƒo de DeWitt tornou-se tƒo popular que muitos confundem-na com o trabalho original de Everett. IMM ‡ uma das muitas hip€teses multiverso na fˆsica e na filosofia.

Muitos mundos e o problema da interpreta€•o Como outras interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica, a interpreta•ƒo de muitos mundos ‡ motivada pelo comportamento que pode ser ilustrado pela experi‹ncia da dupla fenda. Quando partˆculas de luz (ou algo semelhante) sƒo conduzidos atrav‡s de uma dupla-fenda, uma explica•ƒo baseada no comportamento de onda para luz ‡ necess‰ria para identificar onde as partˆculas deverƒo ser observadas. J‰ quando as partˆculas sƒo observadas, elas se mostram como partˆculas e nƒo como ondas nƒo localizadas. Pela interpreta•ƒo de Copenhageu da mec…nica qu…ntica ‡ proposto um processo de "colapso" do comportamento de onda para o de partˆcula para explicar o fenŠmeno observado. Na ‡poca em que John von Neumann escreveu seu famoso tratado Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik em 1932, o fenŠmeno do "colapso da fun•ƒo de onda" era acomodado em dentro da formula•ƒo matem‰tica da mec…nica qu…ntica postulando-se que havia dois processos de transforma•ƒo da fun•ƒo de onda: 1. A mudan•a descontinua e de natureza aleat€ria que ‡ ocasionada pelo processo de observa•ƒo. 2. A evolu•ƒo no tempo de um sistema isolado que obedece a equa•ƒo de Schr†dinger, que ‡ determinista.

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Interpreta•ƒo de muitos mundos O fenŠmeno do colapso da fun•ƒo de onda por (1) proposto pela interpreta•ƒo Copenhague foi amplamente considerada como artificial e ad-hoc, e conseqentemente uma interpreta•ƒo alternativa na qual o comportamento da medi•ƒo pudesse ser entendido a partir de um principio fˆsico mais fundamental era amplamente desej‰vel. A tese de doutorado de Everett tinha a inten•ƒo de prover uma interpreta•ƒo alternativa. Everett propŠs que para um sistema composto (por exemplo, aquele formado por uma partˆcula que interage com o aparato de medi•ƒo), nƒo pode-se associar um estado bem definido a um determinado subsistema. Isto levou a Everett sugerir a no•ƒo de estado relativo de um subsistema em rela•ƒo a outro. O formalismo de Everett para compreender o processo do colapso da fun•ƒo de onda como um resultado da observa•ƒo ‡ matematicamente equivalente a superposi•ƒo de fun•£es de onda. Everett deixou a pesquisa fˆsica logo apos obter seu Ph.D, tendo como resultado que suas id‡ias foram desenvolvidas por outros pesquisadores.

Vis•o Geral Na formula•ƒo de Everett, um aparato de medi•ƒo M e um sistema objeto S formam um sistema composto, cada parte do qual antes da medi•ƒo existem em estados bem definidos (mas tempo-dependentes). A medi•ƒo ‡ tida como causadora da intera•ƒo de M e S. Apos S interagir com M, nƒo ‡ mais possˆvel descrever ambos sistemas como estados independentes. De acordo com Everett, a Œnica descri•ƒo possˆvel de cada sistema sƒo estados relativos: por exemplo o estado relativo de S dado o estado de M ou o estado relativo de M dado o estado de S. Na formula•ƒo de DeWitt, o estado de S ap€s a medi•ƒo ‡ dado pela superposi•ƒo qu…ntica das historias alternativas de S. Por exemplo, considere o menor sistema qu…ntico verdadeiro possˆvel S, como mostrado na ilustra•ƒo. Este descreve por exemplo, o estado-spin de um el‡tron. Considerando um eixo especifico (digamos o eixo z) o p€lo norte representando o spin "para cima" e o p€lo sul, spin "para baixo". Os estados de superposi•ƒo do sistema descrito pela (a superfˆcie da) esfera, chamada de esfera de Bloch. Para se executar uma medi•ƒo em S, deve-se interagi-lo com um outro sistema similar a M. Ap€s esta intera•ƒo, o sistema combinado ‡ descrito por um estado que abrange um espa•o de seis dimens‚es (o motivo para o nŒmero 6 ‡ explicado no artigo sobre a esfera de Bloch). Este objeto de 6 dimens‚es pode tamb‡m ser concebido a como uma superposi•ƒo qu…ntica de duas "hist€rias alternativas" do sistema original S, uma das quais "para cima" foi observada e a outra na qual o "para baixo" foi observado. Cada subseqente medi•ƒo bin‰ria (que ‡ uma intera•ƒo com o sistema M) causa uma divisƒo similar na ‰rvore da hist€ria. Portanto ap€s tr‹s medi•‚es, o sistema pode se apresentar como a superposi•ƒo qu…ntica, o sistema pode ser representado inicialmente como uma superposi•ƒo qu…ntica de 8= 2 ž 2 ž 2 copias do sistema original S. A terminologia aceita ‡ de algum modo enganosa porque ‡ incorreto considerar o universo esteja se dividindo um certo nŒmero de vez.

Estado relativo O objetivo do formalismo do estado-relativo, como originalmente proposto Everett em 1957 na sua disserta•ƒo de doutorado, foi interpretar o efeito da observa•ƒo externa englobada inteiramente no arcabou•o desenvolvido por Dirac, Von Neumann e outros, descartando totalmente o mecanismo ad-hoc de colapso da fun•ƒo de onda. Desde trabalho original de Everett, tem surgido alguns formalismos similares na literatura. Um destes ser‰ discutido na pr€xima se•ƒo. Do formalismo do estado-relativo, nos podemos obter a interpreta•ƒo do estado-relativo por duas suposi•‚es. A primeira ‡ que a fun•ƒo de onda nƒo ‡ s€ uma simples descri•ƒo do estado do objeto, mas que ela ‡ realmente inteiramente equivalente ao objeto, esta exig‹ncia foi muito comum em outras interpreta•‚es. A segunda e que o observador nƒo possua uma condi•ƒo especial, ao contrario da interpreta•ƒo de Copenhague a qual considera o colapso da fun•ƒo de onda como um tipo especial de evento que ocorre como resultado da observa•ƒo. A interpreta•ƒo de muitos mundos ‡ reconstruˆda por DeWitt a partir de um formalismo de estado (e interpreta•ƒo). Everett refere-se ao sistema (tal como o observador) como sendo dividido por uma observa•ƒo, cada divisƒo

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Interpreta•ƒo de muitos mundos corresponde a um resultado possˆvel de se obter pela observa•ƒo. Estas divis‚es geram uma ‰rvore de possibilidade como mostrada no gr‰fico abaixo. Subseqentemente DeWitt introduziu o termo "mundo" para descrever uma hist€ria completa da medi•ƒo de um observador, a qual corresponde a um caminho iniciado na raiz daquela ‰rvore. Note que "divisƒo" neste sentido, ‡ dificilmente novo ou in‡dito na mec…nica qu…ntica. A id‡ia de um espa•o de hist€rias completamente alternativas j‰ foi usada pela teoria da probabilidade desde meados de 1930, por exemplo, para o modelo do movimento Browniano. A inova•ƒo no ponto de vista DeWitt's foi que as v‰rias hist€rias completamente alternativas podem se sobrepor para formar um novo estado. No contexto da interpreta•ƒo de muitos mundos, a equa•ƒo de Schr†dinger influ‹ncia todos os instantes e lugares. Uma observa•ƒo ou medi•ƒo de um objeto por um observador ‡ modelada pela aplica•ƒo da equa•ƒo de onda de Schr†dinger a todo sistema englobando o observador e o objeto. Uma conseq‹ncia ‡ que cada observa•ƒo pode ser tida como a causadora de divisƒo da fun•ƒo universal de onda na superposi•ƒo qu…ntica de dois ou mais ramos nƒo comunicantes, ou "mundos". Desde muitos eventos semelhantes de observa•ƒo estƒo constantemente acontecendo, h‰ um enorme nŒmero de simult…neos estados de exist‹ncia simult…neos. Se um sistema ‡ composto de dois ou mais subsistemas, o estado do sistema tˆpico ser‰ uma superposi•ƒo dos produtos dos estados dos subsistemas. Uma vez que os subsistemas interajam, seus estados nƒo mais completamente independentes. Cada produto dos estados subsistema irƒo acabar envolvendo no decorrer do tempo o estada dos outros. Os subsistemas se tornaram entrela•ados e nƒo ser‰ possˆvel mais consider‰-los como sendo independentes. O termo usado por Everett's para este entrela•amento de subsistemas foi estado relativo, desde que cada subsistema deve ser agora considerado relativamente aos outros subsistemas como o qual ele tenha interagido.

Propriedades comparativas e suporte experimental Uma das caracterˆsticas a se salientar da interpreta•ƒo de muitos mundos ‡ que o observador nƒo requer de uma constru•ƒo especial (tal como o colapso da fun•ƒo de onda) para ser explicada. Muitos fˆsicos, por outro lado, nƒo gostam da implica•ƒo de haver infinitos universos alternativos nƒo observ‰veis. Como desde 2002, nƒo foram feitos experimentos pr‰ticos que para distinguir entre as interpreta•‚es de muitos mundos e Copenhague, e na aus‹ncia de dados amostrais, a escolha de uma delas ‡ de car‰ter pessoal. Porem, uma das ‰reas de pesquisa e planejar experimentos os quais possam distinguir entre as v‰rias interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica, embora exista algum ceticismo se esta ‡ mesmo uma questƒo importante a ser respondida. Realmente, pode ser argumentado que h‰ uma equival‹ncia matem‰tica entre Copenhague (quando ‡ expressa, por exemplo, como um conjunto de algoritmos para manipula•ƒo densidade de estado) e muitos mundos (o qual da as mesmas respostas das de Copenhague usando uma visƒo matem‰tica mais elaborada) o que parece mostrar que esta empreitada seja impossˆvel. Porem, esta equival‹ncia algorˆtmica nƒo deve ser verdadeira em escala cosmol€gica. Foi proposto que em um mundo com infinitos universos alternativos, os universos que se colapsam existem por um tempo menor que os universos que se expandem, este fenŠmeno pode causar um diferen•a detect‰vel probabilidade entre as interpreta•‚es de muitos mundos e Copenhague. Na interpreta•ƒo de Copenhague, a matem‰tica da mec…nica qu…ntica permite prever a probabilidades para a ocorr‹ncia de v‰rios eventos. Na interpreta•ƒo de muitos mundos, todos estes eventos ocorrem simultaneamente. O que se obtem por estes c‰lculos de probabilidade? E porque nos devemos observar, em nossa hist€ria, que eventos com alta probabilidade parecem ocorrer com mais freq‹ncia? Uma das respostas para esta questƒo ‡ dizer que h‰ medi•ƒo probabilidade no espa•o de todos universos, onde um possˆvel universo ‡ uma arvore completa do universo de ramifica•ƒo. Isto ‡ o que realmente este calculo produz. Entƒo nos deverâmos esperar encontrar-nos mesmo em um universo com alta probabilidade do que em um de relativamente baixa probabilidade: mesmo que todas as saˆdas em uma experimento ocorram, elas nƒo ocorrem de igual maneira. A interpreta•ƒo de muitos mundos nƒo deve ser confundida com a interpreta•ƒo com a muitas mentes a qual postula que ‡ somente a mente do observador que se divide ao inv‡s de todo universo.

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Interpreta•ƒo de muitos mundos

Um exemplo simples Vamos considerar formalmente o exemplo apresentado na introdu•ƒo. Considere um par de partˆculas de spin 1/2, A e B, na qual nos unicamente consideraremos o spin observ‰vel (em particular sua mudan•a de posi•ƒo). Como um sistema isolado, A partˆcula A ‡ descrita por um Espa•o de Hilbert de duas dimens‚es H A; similarmente a partˆcula B ‡ descrita por um Espa•o de Hilbert H B. O sistema composto ‡ descrito pelo produto tensor: o qual ‡ de dimensƒo 2 x 2. Se A e B nƒo estƒo interagindo, o conjunto de tensores puros ‡ invariante no que se refere a evolu•ƒo temporal; de fato, nos somente consideramos os observ‰veis do spin para os quais as partˆculas isoladas sƒo invariantes, o tempo nƒo ter‰ efeito a prior na observa•ƒo. Por‡m, apos a intera•ƒo, o estado do sistema composto ‡ um possˆvel estado de entrela•amento qu…ntico, o qual nƒo ‡ um tensor puro. O estado de entrela•amento mais geral ‡ uma soma

Para este estado corresponde um operador linear H B Œ H A o qual aplica estados puros para estados puros.

Esta aplica•ƒo (essencialmente numa normaliza•ƒo modular do estado) ‡ o aplica€•o do estado relativo definido por Everett, como associado a um estado puro de B correspondente a estado relativo(puro) associado de A. Mais precisamente, h‰ uma Œnica decomposi•ƒo polar de T ¤ tal que e U ‡ uma aplica•ƒo isom‡trica definido em algum sub-espa•o de H B. Veja tamb‡m decomposi•ƒo de Schmidt. Note que a matriz de densidade do sistema composto ‡ pura. Por‡m, ‡ tamb‡m possˆvel considerar a matriz densidade reduzida descrevendo a partˆcula A isolada tomando o tra•o parcial sobre os estados da partˆcula B. A matriz de densidade reduzida, ao contrario da matriz original descreve um estado misto. Este exemplo em particular ‡ baseado no paradoxo EPR. O exemplo anterior pode ser generalizado facilmente para sistemas arbitr‰rios A, B sem nenhuma restri•ƒo na dimensƒo de espa•o de Hilbert correspondente. Em geral, o estado relativo ‡ uma aplica•ƒo linear isom‡trica definida no subespa•o de H B para valores em H A.

Tra€o Parcial e estado relativo A transforma•ƒo de um sistema qu…ntico resultante do processo de medi•ƒo, tal como na experi‹ncia de dupla fenda discutida acima, pode ser facilmente descrita matematicamente de uma forma que seja consistente a maioria dos formalismos matem‰ticos. Nos iremos apresentar uma destas descri•‚es, tamb‡m chamada de estado reduzido, baseada no conceito tra•o parcial, o qual pode ser processo pela intera•ƒo, resume para um tipo de conhecimento formalismo muitos mundos. Isto entƒo ‡ um pequeno passo do formalismo de muitos mundos para a interpreta•‚o de muitos mundos. Por defini•ƒo, assumiremos que o sistema sempre ‡ uma partˆcula tal como o el‡tron. A discussƒo do estado reduzido e muitos mundos nƒo ‡ diferente no caso que se nos considerarmos qualquer outro sistema fˆsico, incluindo um "sistema observador". No que se segue, nos deveremos considerar nƒo somente estados puros para o sistema, mas mais genericamente estados mistos; Estes sƒo certamente operadores lineares no espa•o Hilbertiano H descrevendo o sistema qu…ntico. Sem duvida, como v‰rios cen‰rios medi•ƒo apontados, o conjunto de estados puros nƒo relacionados com a medi•ƒo. Matematicamente, a matriz de densidade sƒo misturas estatˆsticas de estados puros. Operacionalmente um estado misto pode ser identificado como a agrupamento estatˆstico resultante de um especifico

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procedimento prepara•ƒo laboratorial.

Estados Coerentes como estados relativos Suponha que tenhamos um agrupamento de partˆculas tal que o estado S dele ‡ puro. Isto significa que haver‰ um vetor unit‰rio Ÿ em H tal que S ‡ o operador dado em nota•ƒo bra-ket pela f€rmula seguinte: Agora consideremos um experimento para determinar se a partˆcula deste agrupamento tem uma propriedade particular: Por exemplo, a propriedade poderia ser a localiza•ƒo da partˆcula em alguma regiƒo A do espa•o. O experimento pode ser preparado para se comportar seja como uma medi•ƒo de um observador ou seja como um filtro. Como uma medi•ƒo, determinar‰ que a vari‰vel Q assume o valor 1 se a partˆcula se encontra em A e 0 no caso contrario. Como um filtro, ele deixar‰ passar somente aquelas partˆculas que se econtram em A e impedindo a passagem das outras. Matematicamente, uma propriedade ‡ dada pela sua proje•ƒo auto-adjunta E no espa•o de Hilbert H : Aplicando o filtro para um pacote de partˆculas, algumas delas ser…o rejeitadas, e outras passam. Agora ser‰ possˆvel mostrar que uma opera•ƒo de filtro ocasiona o "colapso" do estado puro como no seguinte exemplo: prepara-se um novo estado composto dado pelo operador densidade onde F = 1 - E . Para ver isto, note que como um resultado da medi•ƒo, o estado das partˆculas imediatamente apos a medi•ƒo ‡ um eigevetor de Q, que ‡ um dos dois estados puros...

com as respectivas probabilidades A forma matem‰tica da de apresenta•ƒo deste estado combinado ‡ pela utiliza•ƒo de combina•ƒo convexa de estados puros:

na qual o operados S 1 acima. Coment†rio. O uso da palavra colapso neste contexto ‡ de alguma maneira diferente daquela usada na explica•ƒo da interpreta•ƒo de Copenhague. Nesta discussƒo nƒo nos referimos a colapso ou transforma•ƒo da onda em nenhuma parte, mas particularmente da transforma•ƒo de um estado puro em um estado misto. As considera•‚es precedente sƒo completamente padr‚es da maioria dos formalismos da mec…nica qu…ntica. Agora considere um sistema "ramificado" o qual seguindo espa•o de Hilbert ‡ onde H 2 ‡ uma espa•o de Hilbert bi-dimensional com vetores de base

and

. A ramifica•ƒo no espa•o pode

ser entendida como um sistema composto constituˆdo do sistema original (do qual agora ‡ um subsistema) juntamente com um sistema nƒo-interativo subordinado qbit simples. No sistema ramificado, considere o estado entrela•ado Nos podemos expressar este estado na matriz de densidade formatado como

. Multiplicando resulta em:

O tra•o parcial do estado misto foi obtido pela somat€ria dos coeficientes do operador de

and

na

expressƒo acima. Isto resulta em estado misto em H . De fato, este estado misto ‡ id‹ntico ao estado composto "pos

Interpreta•ƒo de muitos mundos filtragem" S 1 acima. Sumarizando, nos temos descri•ƒo matem‰tica do efeito do filtro para a partˆcula no estado puro Ÿ no seguinte caminho: Ž O estado original ‡ ampliado com sistema qubit subordinado. Ž O estado puro do sistema original ‡ substituˆdo por um estado de entrela•amento puro de um sistema subordinado e Ž O estado pos-filtro do sistema ‡ o tra•o parcial do estado entrela•ado para o estado subordinado.

Ramifica€‰es mŒltiplas No curso do tempo de vida do sistema nos esperarâmos que muitos eventos de filtragem ocorressem. A cada um destes eventos, uma ramifica•ƒo ocorre. De forma que isto seja consistente com estrutura de ramifica•ƒo como descrito na ilustra•ƒo acima, nos deveremos mostrar que se um evento de filtragem ocorre em um dos caminhos do nodo raiz da ‰rvore, entƒo teremos que assumir que ele ocorrera em todas as ramifica•‚es. Isto mostra que a ‰rvore ‡ consideravelmente sim‡trica, que ‡ para cada nodo n da ‰rvore, a forma da ‰rvore nƒo muda pelo interc…mbio da sub-‰rvores imediatamente abaixo deste nodo n. De forma a mostrar esta propriedade de uniformidade de ramifica•ƒo, note que alguns c‰lculos resultam no mesmo se o estado original de S ‡ composto. De fato, o estado pos-filtragem ser‰ o operador de densidade: O estado S 1 ‡ o caminho parcial de Isto significa que cada medi•ƒo subseqente (ou ramifica•ƒo) ao longo de um destes caminhos da raiz da ‰rvore para um nodo folha corresponde a uma ramifica•ƒo homologa ao longo de cada caminho. Isto garante a simetria da ‰rvore de muitos mundos em rela•ƒo a rota•ƒo os nodos filhos de cada nodo.

Operadores quƒnticos gerais Nas duas se•‚es anteriores, temos representado a opera•ƒo de medi•ƒo em sistemas qu…nticos em termos de estados relativos. De fato existe uma classe mais ampla de operadores que devem ser considerados: estes sƒo conhecidos como operadores qu…nticos. Considerado as opera•‚es com operadores densidade no sistema de espa•o Hilbertiano H , isto se dar‰ da seguinte forma:

onde I ‡ um conjunto finito ou indexado infinitamente comut‰vel. Os operadores F i sƒo chamados de operadores de Kraus. 'Teorema. Dado

Entƒo Al‡m disso, o mapeamento V definido por

‡ tal como Se ¥ ‡ uma operador qu…ntico que preserva o caminho, entƒo V ‡ um mapa linear isom‡trico

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Interpreta•ƒo de muitos mundos Onde a soma direta de Hilbert e feita sobre todas as copias de H indexadas pelos elementos de I . Podemos considerar tais mapas ¤ como embutidos. Em particular: Corol‡rio. Qualquer operador qu…ntico que preserve o caminho ‡ a composi•ƒo de uma isometria embutida e um caminho parcial. Isto sugere que o formalismo de muitos mundos pode ser considerado para uma classe mais geral de transforma•‚es da mesma forma que foi feita para uma simples medi•ƒo.

Ramifica€•o Em geral, podemos mostrar a propriedade da ramifica•ƒo uniforme da ‰rvore como se segue: Se e onde

e

entƒo um calculo f‰cil mostra Isto tamb‡m demonstra que entre as medi•‚es propriamente ditas dos operadores qu…nticos (isto ‡, nƒo-unit‰ria), podemos interpolar uma arbitraria evolu•ƒo unit‰ria.

Aceita€•o da interpreta€•o de muitos mundos H‰ uma ampla gama de pontos a serem considerados na interpreta•ƒo de "muitos mundos".  freqentemente salientado (veja a referencia a Barret) que Everett por si mesmo nƒo estava inteiramente consciente do que ela significava. Al‡m disso, popularmente tem-se usado freqentemente a interpreta•ƒo de muitos mundos para justificar afirma•‚es a respeito do relacionamento entre a consci‹ncia e o mundo material. Fora destas interpreta•‚es new-age, interpreta•‚es do tipo "muitos mundos" sƒo consideradas suficientemente coerentes. Por exemplo, um a vota•ƒo entre 72 fˆsicos de destaque conduzida pelo pesquisador Americano David Raub em 1995 e publicada em um peri€dico Franc‹s Sciences et Avenir em Janeiro de 1998 registrou que aproximadamente 60% acreditam que a interpreta•ƒo de muitos mundos seja verdadeira. Max Tegmark (veja referencia para sua web page abaixo) tamb‡m relata o resultado de uma pesquisa feita no Semin‰rio de mec…nica qu…ntica de 1997. De acordo com Tegmark, "A interpreta•ƒo de muitos mundo esta cotada em segundo lugar, confortavelmente a frente da hist€rias consistentes e interpreta•‚es de Bohm." Outras vota•‚es nƒo cientificas tem sido feitas emoutros conferencias: veja por exemplo o blog de Michael Nielsen [1] o qual relata algumas destas vota•‚es. Porem o valor destas vota•‚es e um tanto discutˆvel. Um dos mais fortes defensores da Interpreta•ƒo de muitos mundos ‡ David Deutsch . De acordo com Deutsch o padrƒo de interfer‹ncia observado com um Œnico no experimento de dupla fenda, pode ser explicado pela interfer‹ncia dos fotos nos mŒltiplos universos. Visto desta forma, o experimento de interfer‹ncia de um Œnico f€ton ‡ indistinguˆvel de um experimento de v‰rios f€tons. De um ponto de vista mais pr‰tico, em um dos seus mais recentes papers de computa•ƒo qu…ntica (Deutsch 1985), ele sugere que o paralelismo que resulta da validade da IMM poderia conduzir a "um mˆtodo pelo qual certas tarefas probabil„sticas poderiam ser feitas mais r†pidas por um computador qu€ntico universal do que por qualquer um com restri•ƒes cl†ssicas ".

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Interpreta•ƒo de muitos mundos Asher Peres foi um critico aberto a IMM, por exemplo em uma se•ƒo em seu livro texto de 1993 com o tˆtulo Interpreta•‚o de Everett e outras teorias bizarras . De fato, Peres questiona se MWI ‡ realmente uma "interpreta•ƒo" ou mesmo se interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica sƒo mesmo necess‰rias. Alem disso, a interpreta•ƒo de muitos mundos pode ser considerada como meramente uma transforma•ƒo formal, a qual nƒo adiciona nenhuma regra instrumentalista (i.e. estatˆstico) „ mec…nica qu…ntica. Talvez o mais significativo, Peres parece sugerir a cren•a da exist‹ncia de um nŒmero infinito de universos nƒo-comunicantes somente piora o problema que se sup‚em tentar resolver. IMM ‡ considerada por alguns como sendo nƒo test‰vel, porque os mŒltiplos universos paralelos sƒo nƒo comunic‰veis no sentido que informa•ƒo nƒo pode passar entre eles. Alem disso, como tamb‡m foi salientado (por exemplo, por Peres) que vota•‚es de "aprova•ƒo" tais como as mencionadas acima nƒo podem ser usadas como evid‹ncia da corre•ƒo ou nƒo de uma teoria em particular.

Muitos mundos na literatura e fic€•o cientifica A interpreta•ƒo de muitos mundos (e o conceito relacionado dos mundos possˆveis) tem sido associado com diversos temas na literatura, arte e fic•ƒo cientˆfica. Ao lado da viola•ƒo de princˆpios fundamentais da casualidade e relatividade, estas hist€rias sƒo extremamente equivocadas desde que estrutura da teoria da informa•ƒo de caminhos dos mŒltiplos universos (que ‡ o fluxo de informa•‚es entre os diferentes caminhos) ‡ extraordinariamente complexa. Veja tamb‡m FAQ de Michael Price referenciado na se•ƒo de links externos abaixo onde estes temas (e outros similares) sƒo tratados como mais detalhes. Outro tipo da visƒo popular da divisƒo em muitos mundos, a qual nƒo envolve fluxo de informa•‚es entre os caminhos ou informa•ƒo fluindo para traz no tempo considera finais alternativos para eventos hist€ricos. Do ponto de vista da fˆsica qu…ntica, estas hist€rias sƒo incorretas por pelo menos dois motivos: Ž Nƒo h‰ nada que relacione a mec…nica qu…ntica com a descri•ƒo dos desdobramentos de eventos hist€ricos. De fato, este tipo de analise baseada em casos ‡ uma t‡cnica comum no planejamento ‡ pode ser analisada quantitativamente pela probabilidade cl‰ssica. Ž O uso de eventos hist€ricos ‡ uma forma complicada para introdu•ƒo a teoria qu…ntica j‰ que se geralmente se considera ser este assunto externo a ela, especialmente a questƒo da natureza da escolha individual.

Ver tamb„m Ž Ž Ž Ž

Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica Multiverso Entrela•amento qu…ntico Universo paralelo

As op•‚es seguintes promovem outras interpreta•‚es especulativas: Ž Imortalidade qu…ntica Ž Holomovimento

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Liga€‰es externas Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Contra interpreta•ƒo de muitos-mundos [2] Formula•ƒo da mec…nica qu…ntica de estado relativo de Everett [3] Interpreta•ƒo de muitos-mundos da Mec…nica Qu…ntica [4] Everett FAQ de Michael Price [5] Home page de Max Tegmark [6] Muitos-Mundos ‡ uma causa perdida [7] de acordo com R. F. Streater

ReferŠncias Ž Jeffrey A. Barrett, The Quantum Mechanics of Minds and Worlds, Oxford University Press, 1999. Ž Hugh Everett, Relative State Formulation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics vol 29, (1957) pp 454 ƒ 462. Ž Christopher Fuchs, Quantum Mechanics as Quantum Information (and only a little more), arXiv:quant-ph/0205039 v1, (2002) Ž Bryce DeWitt, R. Neill Graham, eds, The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton S‡ries in Physics, Princeton University Press (1973) Ž Asher Peres, Quantum Theory: Concepts and Methods, Kluwer, Dordrecht, 1993. Ž John Archibald Wheeler, Assessment of Everett's "Relative State Formulation of Quantum Theory", Reviews of Modern Physics, vol 29, (1957) pp 463 ƒ 465 Ž David Deutsch, The Fabric of Reality: The Science of Parallel Universes And Its Implications, Penguin Books (August 1, 1998), ISBN 014027541X. Ž David Deutsch, Quantum theory, the Church-Turing principle and the universal quantum computer, Proceedings of the Royal Society of London A 400, (1985) , pp. 97 ƒ 117

ReferŠncias [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

http:/ / www.qinfo.org/ people/ nielsen/ blog/ archive/ 000060.html http:/ / arxiv.org/ abs/ gr-qc/ 9703089 http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ qm-everett/ http:/ / plato.stanford.edu/ entries/ qm-manyworlds/ http:/ / www.hedweb.com/ manworld.htm http:/ / www.hep.upenn.edu/ ~max/ everett.html http:/ / www.mth.kcl.ac.uk/ ~streater/ lostcauses.html#XII

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Interpreta•ƒo transacional

Interpreta€•o transacional A interpreta€•o transacional da mec…nica qu…ntica (TIQM) criada por John Cramer e uma interpreta•ƒo pouco usual da mec…nica qu…ntica que descreve as intera•‚es qu…nticas em termos de ondas padr‚es por ondas retardas (avan•adas no tempo) e avan•adas (retrocedendo no tempo). O autor argumenta que isto evitaria os problemas filos€ficos que apresentam a Interpreta•ƒo de Copenhague e leis do observador, e resolve v‰rios paradoxos da mec…nica qu…ntica. Notavelmente, ela ‡ apontada como consistente com Experimento de Afshar, apresentado em 2004 pelo fˆsico iraniano Shahriar S. Afshar. A exist‹ncia de ondas avan•adas e retardadas como solu•‚es v‰lidas das equa•‚es de Maxwell foram propostas por R. Feynman e J. Wheeler em 1945 (citado no trabalho original de J. Cramer). Eles se utilizaram desta id‡ia para resolver o problema infinita auto-energia de um el‡tron. Mais tarde, eles desistiram da id‡ia de ondas que voltassem no tempo. J. Cramer reviveu esta id‡ia de duas ondas para formular sua interpreta•ƒo original da teoria qu…ntica. De acordo com a TIQM, qualquer fonte emite comumente uma onda retardada com a metade da amplitude observada, enquanto o detector emite uma onda avan•ada com a mesma meia amplitude. As fases da onda retardada e avan•ada sƒo correlacionadas de tal forma que as ondas interfiram positivamente na regiƒo do espa•o tempo, correspondendo a onda verdadeira (observ‰vel), e elas se interferiram negativamente em todas as outras regi‚es do espa•o tempo (isto ‡, antes ponto de emissƒo e depois do ponto de absor•ƒo). Para um observador, esta onda padrƒo no espa•o tempo pareceria como se uma partˆcula viaja-se atrav‡s do espa•o. Cramer utilizou a TIQM no ensino de mec…nica qu…ntica na University of Washington em Seattle.

Literatura Ž Tim Maudlin, Quantum Non-Locality & Relativity, Blackwell Publishers 2002, ISBN 0631232206 (discusses a gedanken experiment designed to refute the TI


Liga€‰es externas The Transactional Interpretation of Quantum Mechanics [1] - John Cramer's original paper An Overview of the Transactional Interpretation [2] Photon Emission [3] Pavel V. Kurakin, George G. Malinetskii, How bees can possibly explain quantum paradoxes [4], Automates Intelligents (February 2 2005). (This paper tells about a work attempting to develop TIQM further) Ž quant-ph/0408109 Cramer's Transactional Interpretation and Causal Loop Problems [5] an attempt to refute Maudlin's refutation Ž Ž Ž Ž

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Interpreta•ƒo transacional

ReferŠncias [1] [2] [3] [4] [5]

http:/ / www.npl.washington.edu/ npl/ int_rep/ tiqm/ TI_toc.html http:/ / www.npl.washington.edu/ npl/ int_rep/ ti_over/ ti_over.html http:/ / www. johnkharms.com/ photon.htm http:/ / www.automatesintelligents.com/ labo/ 2005/ jan/ bees.html http:/ / arxiv.org/ abs/ quant-ph/ 0408109

Interpreta€‰es da mecƒnica quƒntica Uma interpreta€•o da mecƒnica quƒntica ‡ uma tentativa de responder „ questƒo: Sobre o que trata exatamente a mec€nica qu€ntica? A questƒo t‹m as suas raˆzes hist€ricas na natureza mesma da mec…nica qu…ntica, que desde um princˆpio foi considerada como uma teoria radicalmente diferente das teorias fˆsicas precedentes. Por‡m, a mec…nica qu…ntica t‹m sido descrita como a teoria "mais comprovada e de maior sucesso na hist€ria da ci‹ncia" (vide Jackiw and Kleppner, 2000.) Mec…nica qu…ntica, como uma teoria cientˆfica, tem sido muito bem sucedida em prever resultados experimentais. Isto significa, primeiro, que h‰ uma correspond‹ncia bem definida entre os elementos do formalismo (matem‰tico, abstrato) e os procedimentos experimentais e, em segundo lugar, que os resultado obtidos neste experimentos estƒo extremamente de acordo com o formalismo. Al‡m disso, que as quest‚es b‰sicas de que o que significa a mec…nica qu…ntica sƒo ainda uma proposta em si mesmas e requerem algumas explica•‚es. O entendimento da estrutura matem‰tica da teoria trilhou v‰rios est‰gios preliminares de desenvolvimento. Por exemplo, Schr†dinger de inˆcio nƒo entendeu a natureza probabilˆstica da fun•ƒo de onda associada ao el‡tron; Foi Max Born que propŠs uma interpreta•ƒo de uma distribui•ƒo de probabilidade no espa•o para a posi•ƒo do el‡tron. Outros cientistas de destaque, tais como Albert Einstein, tiveram grande dificuldade em concordar com a teoria. Mesmo se estes pontos forem tratados como problemas menores, eles t‹m grande import…ncia para atividades de interpreta•ƒo. Disto nƒo se deve, por‡m, presumir que a maioria dos fˆsicos considere que a mec…nica qu…ntica necessite de uma interpreta•ƒo, al‡m das mˆnimas fornecidas pela interpreta•‚o instrumentalista, as quais serƒo discutidas abaixo. A interpreta•ƒo de Copenhague, no ano de 2005, ainda parecia ser a mais popular entre os cientistas (seguida pelas hist€rias consistentes e interpreta•ƒo de muitos mundos). Mas tamb‡m ‡ verdade que a maioria dos fisicos considera que quest‚es nƒo instrumentais (em particular quest‚es ontol€gicas) sejam irrelevantes para a fˆsica. Eles remetem ao ponto de vista de Paul Dirac, depois expresso em um famoso ditado: "Cale-se e calcule" freqentemente (talvez erroneamente) atribuˆdo a Richard Feynman (veja [1]).

Dificuldades de uma interpreta€•o direta As dificuldades observadas na interpreta•ƒo refletem v‰rios pontos a respeito da descri•ƒo ortodoxa da mec…nica qu…ntica. Neste artigo sƒo destacados 4 destes pontos: 1. Abstrato, a natureza matem‰tica da descri•ƒo mec…nica qu…ntica. 2. A exist‹ncia de processos nƒo deterministicos e irreversˆveis na mec…nica qu…ntica. 3. O fenŠmeno do entrela•amento, e particularmente, a alta correla•ƒo entre eventos que se esperariam remotos na fˆsica cl‰ssica. 4. A complementaridade de possˆveis descri•‚es da realidade. Inicialmente, a aceita estrutura matem‰tica da mec…nica qu…ntica era baseada profundamente em abstra•‚es matem‰ticas, tais como espa•o de Hilbert e operadores no espa•o de Hilbert. Em mec…nica cl‰ssica e eletromagnetismo, por outro lado, as propriedades de um ponto material ou as de um campo sƒo descritas por nŒmeros reais ou fun•‚es definidas em duas ou tr‹s dimens‚es. Claramente, localmente falando, para estas teorias

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Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica parece ser menos necess‰rio prover uma interpreta•ƒo especial para estes nŒmeros e fun•‚es. Alem disto, os processos de medi•ƒo apresentam um papel aparentemente essencial nesta teoria. Eles se relacionam a elementos abstratos da teoria, tais como a fun•ƒo de onda, para valores definidos operacionalmente, tais como probabilidades. Medi•‚es interagem com o estado do sistema, de algumas maneiras peculiares, como ilustrado no experimento de dupla fenda. O formalismo matem‰tico usado para descrever a evolu•ƒo temporal de um sistema nƒo relativˆstico prop‚em de certa forma dois tipos de transforma•‚es: Ž Transforma•‚es reversˆveis descritas pelo operador unit‰rio no estado espacial. Estas transforma•‚es podem ser determinadas pela solu•ƒo da equa•ƒo de Schr†dinger. Ž Transforma•‚es nƒo reversˆveis e nƒo deterministicas descritas matematicamente por transforma•‚es mais complicadas (veja operadores qu€nticos). Exemplos destas transforma•‚es sƒo aquelas experimentadas pelo sistema como resultado da medi•ƒo. Uma versƒo restrita do problema de interpreta•ƒo da mec…nica qu…ntica consiste em prover algum tipo de imagem plausˆvel, justamente para este segundo tipo de transforma•ƒo. Este problema deve ser dirigido puramente por redu•‚es matem‰ticas, por exemplo pela interpreta•ƒo como na de muitos mundos ou hist€rias consistentes . Alem das caracterˆsticas nƒo deterministicas e irreversˆveis do processo de medi•ƒo, h‰ outros elementos da fˆsica qu…ntica que a distinguem profundamente da fˆsica cl‰ssica e que nƒo podem ser representados por qualquer figura cl‰ssica. Um destes ‡ o fenŠmeno do entrela•amento, ilustrado pelo paradoxo EPR, o qual parece violar o principio da casualidade local. Outra obstru•ƒo para a interpreta•ƒo direta ‡ o fenŠmeno da complementaridade, o qual parece violar os princˆpios b‰sicos do l€gica proposicional. A complementaridade diz nƒo haver nenhuma figura l€gica (obedecendo a l€gica proposicional cl‰ssica) que pode descrever simultaneamente e ser usado para justificar todas as propriedades de um sistema qu…ntico S. Isto pode ser frequentemente formulado dizendo-se que h‰ um conjunto de proposi•‚es "complementares" A e B que pode descrever S, mas nƒo ao mesmo tempo. Exemplos de A e B sƒo proposi•‚es envolvendo a descri•ƒo de S na forma de onda e corpuscular. O enunciado anterior ‡ uma parte de formula•ƒo original de Niels Bohr, a qual ‡ frequentemente equaciona o principio da complementaridade em si. A completariedade nƒo ‡ tida usualmente como um prova da falha da l€gica cl‰ssica, embora Hilary Putnam tenha levantado este ponto de vista em seu trabalho Is logic empirical?. Ao contrario disto, a complementariedade significa que a composi•ƒo de propriedades fˆsicas de S (tais como posi•ƒo e momento variando em uma certa faixa) possuem uma conectividade proposicional que nƒo obedecem as leis da l€gica proposicional cl‰ssica. Como ‡ agora bem demonstrado (Omn¢s, 1999) "a origem da complementariedade encontra-se na nƒo commutatividade dos operadores descrevendo observ‰veis na mec…nica qu…ntica."

Estado problem‡tico das vis‰es e interpreta€‰es O preciso estado ontol€gico, de cada uma das vis‚es interpretativas, permanece um tema da argumenta•ƒo filos€fica. Em outras palavras, se nos interpretamos uma estrutura formal X da mec…nica qu…ntica por meio da estrutura Y (via uma equival‹ncia matem‰tica das suas estruturas), qual ‡ o estado de Y ? Esta ‡ uma velha questƒo do formalismo cient„fico, vista de um novo …ngulo. Alguns fˆsicos, por exemplo Asher Peres e Chris Fuchs, apresentam a argumenta•ƒo que uma interpreta•ƒo nƒo ‡ nada mais do que uma equival‹ncia forma entre um conjuntos de leis para operar dados experimentais. Isto deve sugerir que todo exercˆcio de interpreta•ƒo ‡ desnecess‰rio.

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Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica

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Interpreta€•o instrumental Qualquer teoria cientifica moderna requer pelo menos uma descri•ƒo instrumental a qual possa relacionar o formalismo matem‰tico a experimento pr‰tico. No caso da mec…nica qu…ntica, a descri•ƒo instrumental mais comum ‡ uma afirma•ƒo da regularidade estatˆstica entre processo prepara•ƒo e o processo de medi•ƒo. A esta geralmente ‡ acrescentado a afirma•ƒo da regularidade estatˆstica de um processo de medi•ƒo realizado em um sistema em um dado estado ¦. Considere por exemplo a medi•ƒo M de uma propriedade fˆsica observ‰vel com duas possˆveis saˆdas "para cima" ou "para baixo" que podem ser realizadas em um sistema S com espa•o de Hilbert H . Se a medi•ƒo ‡ realizada fora de um sistema do qual o estado qu…ntico seja conhecido ¦  H , entƒo, de acordo com as leis da mec…nica qu…ntica, a medi•ƒo ir‰ levar „ mudan•a do estado do sistema da seguinte forma: imediatamente ap€s a medi•ƒo o sistema se transformar‰ em um dos dois estados ¦para baixo se a saˆda for "para baixo" ou ¦ para cima ser a saˆda for "para cima". A teoria matem‰tica fornece as seguintes express‚es para este estado:

onde E para nŒmeros

baixo

and Epara

cima

sƒo proje•‚es ortogonais em dentro do espa•o dos autovetores do observado. Os

t‹m uma descri•ƒo instrumental precisa em termo de freq‹ncias relativas. Isto significa que, em um ciclo infinito de experimentos de medi•‚es id‹nticos (no qual todos os sistemas estƒo preparados no estado ¦), a propor•ƒo de valores com saˆda "para baixo" ‡ P para paixo e a propor•ƒo de valores com a saˆda "para cima" ‡ P para cima. Note que Ppara cima, Ppara baixo sƒo ambos nŒmeros nƒo negativos e: tal que P para cima, Ppara baixo podem ser consideras realmente como probabilidades. Por um abuso de linguagem, a simples descri•ƒo instrumental pode ser dita como sendo uma interpreta•ƒo, embora este uso seja de algum modo enganador j‰ que o instrumentalismo explicitamente evita qualquer regra explanat€ria; isto ‡, ele nƒo tenta responder „ questƒo a qual mecanismo qu…ntico estamos referindo.

Propriedades das interpreta€‰es Uma interpreta•ƒo pode ser caracterizada pelo fato de satisfazer certas propriedades, tais como: Ž Ž Ž Ž

Realismo Completude Realidade local Determinismo

Para exemplificar estas propriedades, nos devemos ser mais explˆcitos a cerca do tipo de visƒo que a interpreta•ƒo proporciona. Para finalmente considerar uma interpreta•ƒo como uma correspond‹ncia entre elementos do formalismo matem‰tico M e os elementos de uma estrutura interpretativa I, onde: Ž O formalismo matem‰tico consiste do mecanismo do espa•o Hilbertiano de vetores-ket, operadores auto-adjunto atuando no espa•o de vetores-ket, com depend‹ncia temporal unit‰ria dos vetores-ket e opera•‚es medi•ƒo. Neste contexto uma opera•ƒo de medi•ƒo pode ser considerada como uma transforma•ƒo a qual leva um vetor-ket em uma distribui•ƒo de probabilidade de vetores-ket. Veja tambˆm operadores qu€nticos para uma formaliza•‚o deste conceito. Ž A estrutura de interpreta•ƒo incluem estados, transi•‚es entre estados, opera•‚es de medi•ƒo e possˆveis informa•‚es a respeito da extensƒo espacial destes elementos. Como uma opera•ƒo de medi•ƒo a qual retorna um valor e resulta em uma possˆvel mudan•a de estado no sistema. Informa•‚es espaciais, por exemplo, podem ser

Interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica exibidas por estados representados como fun•‚es na configura•ƒo espacial. A transi•ƒo deve ser nƒo-deterministica ou probabilˆstica ou ter infinitos estados. De qualquer forma, a concep•ƒo critica de uma interpreta•ƒo ‡ que os elementos de I sƒo tratados como realidade fˆsica. Neste sentido, uma interpreta•ƒo pode ser interpretada como uma sem…ntica para o formalismo matem‰tico. Particularmente, a limitada visƒo instrumentalista da mec…nica qu…ntica delineada na se•ƒo anterior nƒo ‡ uma interpreta•ƒo completa desde que ela nƒo faz refer‹ncia a respeito da realidade fˆsica. O uso atual na fˆsica de "inteireza" e "realismo" ‡ freqentemente considerado tendo sido usada originalmente no trabalho (Einstein, 1935) que propŠs o paradoxo EPR. Neste trabalho os autores prop‚em o conceito de "elemento da realidade" e "inteireza" de uma teoria fˆsica. Embora eles nƒo tenham definido "elemento da realidade", eles prop‚em uma boa caracteriza•ƒo para ele, denominado-o como uma quantidade para qual um valor pode ser predito antes que amedi•ƒo em si a perturbe de alguma forma. O EPR define uma "teoria fˆsica completa" como uma na qual cada elemento da realidade fˆsica ‡ considerado pela teoria. Do ponto de vista sem…ntico da interpreta•ƒo, uma teoria da interpreta•ƒo ‡ completa se cada elemento da estrutura da interpreta•ƒo ‡ considerado pelo formalismo matem‰tico. Realismo ‡ uma propriedade de cada um dos elementos matem‰ticos do formalismo; qualquer elemento ‡ real se corresponde a alguma coisa na estrutura de interpreta•ƒo. Por exemplo, em algumas interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica (tais como a interpreta•ƒo de muitos mundos) o vetor ket associado ao sistema ‡ tido como correspondendo a um elemento da realidade fˆsica, enquanto em outras isto nƒo acontece. Determinismo ‡ uma propriedade caracterizada pela mudan•a de estado devido a passagem do tempo, em outras palavras ‡ que o estado a um dado instante do tempo no futuro e uma fun•ƒo do estado presente (veja evolu•‚o). Isto deve nos permitir esclarecer se uma estrutura interpretativa particular ‡ ou nƒo deterministica, precisamente porque ela ter ou nƒo uma clara escolha por um paramento de tempo. Alem disto, uma dada teoria poderia ter duas interpreta•‚es, uma das quais ‡ deterministica, e outra nƒo. A realidade local tem duas partes: Ž O valor retornado pela medi•ƒo corresponde ao valor de alguma fun•ƒo no espa•o de estado. Dizendo de uma outra forma, este valor ‡ um elemento da realidade; Ž Os efeitos da medi•ƒo devem ter uma velocidade de propaga•ƒo que nƒo excede alguma barreira universal (isto ‡, a velocidade da luz). De forma a fazer sentido, opera•‚es de medi•ƒo devem ser espacialmente localizada numa estrutura de interpreta•ƒo. Uma formula•ƒo precisa do realismo local em termos de uma teoria de vari‰veis local ocultas foi proposta por John Bell. O Teorema de Bell e sua verifica•ƒo experimental que restringe os tipos de propriedade da que uma teoria qu…ntica pode ter. Por exemplo, o teorema de Bell implica que mec…nica qu…ntica nƒo pode satisfazer o realismo local.

Compara€•o At‡ este momento, nƒo h‰ evid‹ncia experimental que nos permita distinguir entre as v‰rias interpreta•‚es listadas abaixo. Para que possa evoluir, a teoria fˆsica deve ser sustent‰vel e consistente com ela mesmo e com a realidade; problemas surgem somente quando tentamos "interpret‰-la". Entretanto, existem atividades de pesquisa sendo feita no sentido de realizar testes experimentais que poderiam diferenciar entre a v‰rias interpreta•‚es. Algumas das interpreta•‚es mais importantes foram sumarizadas aqui:

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Interpreta€•o

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Deterministica? Fun€•o de onda real? Um universo?

evita evita vari‡veis ocultas? colapso da fun€•o de onda?

Hist€rias consistentes (Copenhague "corrigida")

Nƒo

Nƒo

Sim

Sim

Sim

Interpreta•ƒo copenhague (Forma da Onda nƒo ‡ real)

Nƒo

Nƒo

Sim

Sim

Sim

Interpreta•ƒo copenhague ( Forma da Onda ‡ real)

Nƒo

Sim

Sim

Sim

Nƒo

Interpreta•ƒo Transacional

Sim

Sim

Sim

Sim

Nƒo

Consci‹ncia causa colapso

Nƒo

Sim

Sim

Sim

Nƒo


Sim

Sim

Nƒo

Sim 1

Sim


Sim

Sim 

Sim

Nƒo

Sim

1

A interpreta•ƒo de muitos mundos nƒo tem vari‰veis ocultas, exceto se consideramos entre os mundos em si. Bohm/de Broglie consideram que ambos partˆcula e fun•ƒo de onda ("onda guia ") sƒo reais.

Cada interpreta•ƒo tem muitas varia•‚es.  difˆcil obter uma defini•ƒo precisa da Interpreta•ƒo de Copenhague; na tabela acima, duas variantes cl‰ssicas e uma nova versƒo da interpreta•ƒo de Copenhague sƒo mostradas; uma que utiliza a fun•ƒo de onda unicamente como uma ferramenta para calculo, e outra que utiliza a fun•ƒo de onda como um "elemento da realidade ".

Ver tamb„m Lista de t€picos da fˆsica Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Hist€rias consistentes Mec…nica Qu…ntica Indeterminancia Qu…ntica Teorema de Bell Interpreta•ƒo de Bohm Interpreta•ƒo de Copenhague da mec…nica qu…ntica Interpreta•ƒo de muitos mundos Interpreta•ƒo transacional Colapso da fun•ƒo de onda Problema da medi•ƒo Computador qu…ntico Problemas insolŒveis da Fˆsica Filosofia da fˆsica


ReferŠncias Ž R. Carnap, The interpretation of physics, Foundations of Logic and Mathematics of the International Encyclopedia of Unified Science, Univesity of Chicago Press, 1939. Ž D. Deutsch, The Fabric of Reality, Allen Lane, 1997. Though written for general audiences, in this book Deutsch argues forcefully against instrumentalism. Ž A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev. 47 777, 1935. Ž C. Fuchs and A. Peres, Quantum theory needs no ‚ interpretationƒ , Physics Today, March 2000. Ž N. Herbert. Quantum Reality: Beyond the New Physics, New York: Doubleday, ISBN 0-385-23569-0, LoC QC174.12.H47 1985. Ž R. Jackiw and D. Kleppner, One Hundred Years of Quantum Physics, Science, Vol. 289 Issue 5481, p893, August 2000. Ž M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics. New York: McGraw-Hill, 1966. Ž M. Jammer, The Philosophy of Quantum Mechanics. New York: Wiley, 1974. Ž W. M. de Muynck, Foundations of quantum mechanics, an empiricist approach, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 1-4020-0932-1 Ž R. Omn¢s, Understanding Quantum Mechanics, Princeton, 1999. Ž H. Reichenbach, Philosophic Foundations of Quantum Mechanics, Berkeley: University of California Press, 1944. Ž J. A. Wheeler and H. Z. Wojciech (eds), Quantum Theory and Measurement , Princeton: Princeton University Press, ISBN 0-691-08316-9, LoC QC174.125.Q38 1983

Liga€‰es externas Ž Interpreta•‚es comparativas [2] Ž Visƒo pessimistas das interpreta•‚es "New Age" da mec…nica qu…ntica [3]

ReferŠncias [1] http:/ / www.physicstoday.org/ vol-57/ iss-5/ p10.html [2] http:/ / members.aol.com/ jmtsgibbs/ Interpretation.htm [3] http:/ / www.csicop.org/ si/ 9701/ quantum-quackery.html

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L€gica qu…ntica

L…gica quƒntica Em Fˆsica Matem‰tica ‡ mec…nica qu…ntica, l…gica quƒntica ‡ um conjunto de regras para o raciocˆnio relativo a uma classe proposi•‚es para as quais os princˆpios da teoria qu…ntica sƒo considerados. Esta ‰rea de pesquisa e este nome originaram-se em uma publica•ƒo de 1936 de Garrett Birkhoff e John von Neumann, que tentaram reconciliar a aparente inconsist‹ncia da l€gica booleana cl‰ssica com os fatos relacionados as medi•‚es de vari‰veis complementares na mec…nica qu…ntica, tais como a posi•ƒo e o momento. A l€gica qu…ntica pode ser formulada como uma versƒo modificada da l€gica proposicional ou como uma l€gica de muitos valores nƒo comutativa. Dentro das propriedades que claramente a distinguem da l€gica cl‰ssica,encontra-se a falha da lei distribuitiva da l€gica proposicional. p e (q ou r ) = ( p e q) ou ( p e r ), Onde os sˆmbolos p, q e r sƒo vari‰veis proposicionais. Para ilustrar como a lei distribuitiva falha, considere-se uma partˆcula movendo em uma reta e tendo: p = "a partˆcula est‰ se movendo para a direita" q = "a partˆcula est‰ no intervalo [-1,1]" r = " a partˆcula nƒo est‰ no intervalo [-1,1]" Se a proposi•ƒo "q ou r " ‡ verdadeira, entƒo p and (q or r ) = p Por outro lado, as proposi•‚es " p e q" e " p e r " sƒo ambas falsas, desde que elas se referem simultaneamente a valores de posi•ƒo e momento, o que nƒo ‡ permitido pelo principio da incerteza. Entƒo, ( p e q) ou ( p e r ) = falso Portanto a lei distributiva falha.

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Mecƒnica matricial A mecƒnica matricial ‡ uma formula•ƒo da mec…nica qu…ntica criada por Werner Heisenberg, Max Born, e Pascual Jordan em 1925. A mec…nica matricial foi a primeira defini•ƒo completa e correta da mec…nica qu…ntica. Ela estendeu o modelo de Bohr pela descri•ƒo de como os saltos qu…nticos ocorrem.

Princ†pio da incerteza de Heisenberg O princ†pio da incerteza de Heisenberg consiste num enunciado da mec…nica qu…ntica, formulado inicialmente em 1927 por Werner Heisenberg, impondo restri•‚es „ precisƒo com que se podem efetuar medidas simult€neas de uma classe de pares de observ‰veis. Pode-se exprimir o princˆpio da incerteza nos seguintes termos: O produto da incerteza associada ao valor de uma coordenada xi e a incerteza associada ao seu correspondente momento linear pi n‚o pode ser inferior, em grandeza, „ constante de Planck normalizada. Em termos matem‰ticos, exprime-se assim:

Werner Heisenberg

onde

‡ a Constante de Planck (h) dividida por 2œ.

A explica•ƒo disso ‡ f‰cil de se entender, e fala mesmo em favor da intui•ƒo, embora o raciocˆnio cl‰ssico e os aspectos formais da an‰lise matem‰tica tenham levado os cientistas a pensarem diferentemente por muito tempo Quando se quer encontrar a posi•ƒo de um el‡tron, por exemplo, ‡ necess‰rio faz‹-lo interagir com algum instrumento de medida, direta ou indiretamente. Por exemplo, faz-se incidir sobre ele algum tipo de radia•ƒo. Tanto faz aqui que se considere a radia•ƒo do modo cl‰ssico - constituˆda por ondas eletromagn‡ticas - ou do modo qu…ntico - constituˆda por f€tons. Se se quer determinar a posi•ƒo do el‡tron, ‡ necess‰rio que a radia•ƒo tenha comprimento de onda da ordem da incerteza com que se quer determinar a posi•ƒo. Neste caso, quanto menor for o comprimento de onda (maior freq‹ncia) maior ‡ a precisƒo. Contudo, maior ser‰ a energia cedida pela radia•ƒo (onda ou f€ton) em virtude da rela•ƒo de Planck entre energia e freq‹ncia da radia•ƒo e o el‡tron sofrer‰ um recuo tanto maior quanto maior for essa energia, em virtude do efeito Compton. Como conseq‹ncia, a velocidade sofrer‰ uma altera•ƒo nƒo de todo previsˆvel, ao contr‰rio do que afirmaria a mec…nica cl‰ssica. Argumentos an‰logos poderiam ser usados para se demonstrar que ao se medir a velocidade com precisƒo, alterar-se-ia a posi•ƒo de modo nƒo totalmente previsˆvel.

Princˆpio da incerteza de Heisenberg Resumidamente, pode-se dizer que tudo se passa de forma que quanto mais precisamente se medir uma grandeza, for•osamente mais ser‰ imprecisa a medida da grandeza correspondente, chamada de canonicamente conjugada Algumas pessoas consideram mais f‰cil o entendimento atrav‡s da analogia. Para se descobrir a posi•ƒo de uma bola de pl‰stico dentro de um quarto escuro, podemos emitir algum tipo de radia•ƒo e deduzir a posi•ƒo da bola atrav‡s das ondas que "batem" na bola e voltam. Se quisermos calcular a velocidade de um autom€vel, podemos fazer com que ele atravesse dois feixes de luz, e calcular o tempo que ele levou entre um feixe e outro. Nem radia•ƒo nem a luz conseguem interferir de modo significativo na posi•ƒo da bola, nem alterar a velocidade do autom€vel. Mas podem interferir muito tanto na posi•ƒo quanto na velocidade de um el‡tron, pois aˆ a diferen•a de tamanho entre o f€ton de luz e o el‡tron ‡ pequena. Seria, mais ou menos, como fazer o autom€vel ter de atravessar dois troncos de ‰rvores (o que certamente alteraria sua velocidade), ou jogar ‰gua dentro do quarto escuro, para deduzir a localiza•ƒo da bola atrav‡s das pequenas ondas que baterƒo no objeto e voltarƒo; mas a ‰gua pode empurrar a bola mais para a frente, alterando sua posi•ƒo. Desta forma torna-se impossivel determinar a localiza•ƒo real desta bola pois a pr€pria determina•ƒo mudar‰ a sua posi•ƒo. Apesar disto, a sua nova posi•ƒo pode ser ainda deduzida, calculando o quanto a bola seria empurrada sabendo a for•a das ondas obtendo-se uma posi•ƒo prov‰vel da bola e sendo prov‰vel que a bola esteja localizada dentro daquela ‰rea.

Natureza da medida em mecƒnica quƒntica Como se pode depreender da argumenta•ƒo acima exposta, a natureza de uma medida sofre s‡rias reformula•‚es no contexto da mec…nica qu…ntica. De fato, na mec…nica qu…ntica uma propriedade leva o nome de observ†vel, pois nƒo existem propriedades inobserv‰veis nesse contexto. Para a determina•ƒo de um observ‰vel, ‡ necess‰rio que se tenha uma prepara•ƒo conveniente do aparato de medida, a fim de que se possa obter uma cole•ƒo de valores do ensemble de entes do sistema. Se nƒo puder montar, ao menos teoricamente (em um Gedankenexperiment ) uma prepara•ƒo que possa medir tal grandeza (observ†vel), entƒo ‡ impossˆvel determin‰-la naquelas condi•‚es do experimento. Uma compara•ƒo tornar‰ mais clara essa no•ƒo. No experimento de difra•ƒo da dupla fenda, um feixe de el‡trons atravessando uma fenda colimadora atinge mais adiante duas outras fendas paralelas tra•adas numa parede opaca. Do lado oposto da parede opaca, a luz, atravessando as fendas simultaneamente, atinge um anteparo. Se se puser sobre este um filme fotogr‰fico, obt‡m-se pela revela•ƒo do filme um padrƒo de interfer‹ncia de zonas claras e escuras. Esse resultado indica uma natureza ondulat€ria dos el‡trons, resultado esse que motivou o desenvolvimento da mec…nica qu…ntica. Entretanto, pode-se objetar e afirmar-se que a natureza dos el‡trons seja corpuscular, ou seja, composta de f€tons. Pode-se entƒo perguntar por qual fenda o el‡tron atravessou para alcan•ar o anteparo. Para determinar isso, pode-se pŠr, junto de cada fenda, uma pequena fonte luminosa que, ao menos em princˆpio, pode indicar a passagem dos el‡trons por tal ou qual fenda. Entretanto, ao faz‹-lo, o resultado do experimento ‡ radicalmente mudado. A figura de interfer‹ncia, antes presente, agora d‰ lugar a uma distribui•ƒo gaussiana bimodal de somente duas zonas claras em meio a uma zona escura, e cujos m‰ximos se situam em frente „s fendas. Isso acontece porque as naturezas ondulat€ria e corpuscular do el‡tron nƒo podem ser simultaneamente determinadas. A tentativa de determinar uma inviabiliza a determina•ƒo da outra. Essa constata•ƒo da dupla natureza da mat‡ria (e da luz) leva o nome de princ„pio da complementaridade. Essa analogia serve para mostrar como o mundo microfˆsico tem aspectos que diferem significativamente do que indica o senso comum. Para se entender perfeitamente o alcance e o real significado do princˆpio da incerteza, ‡ necess‰rio que se distingam tr‹s tipos reconhecidos de propriedades din…micas em mec…nica qu…ntica: 1. Propriedades compat„veis: sƒo aquelas para as quais a medida simult€nea e arbitrariamente precisa de seus valores nƒo sofre nenhum tipo de restri•ƒo b‰sica. Exemplo: a medi•ƒo simult…nea das coordenadas x, y e z de uma partˆcula. A medi•ƒo simult…nea dos momentos px,py e pz de uma partˆcula.

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Princˆpio da incerteza de Heisenberg 2. Propriedades mutuamente excludentes: sƒo aquelas para as quais a medida simult…nea ‡ simplesmente impossˆvel. Exemplo: se um el‡tron est‰ numa posi•ƒo xi, nƒo pode estar simultaneamente na posi•ƒo diferente x j. 3. Propriedades incompat„veis: sƒo aquelas correspondentes a grandezas canonicamente conjugadas, ou seja, aquelas cujas medidas nƒo podem ser simultaneamente medidas com precis‚o arbitr†ria. Em outras palavras, sƒo grandezas cujas medidas simult…neas nƒo podem ser levadas a cabo em um conjunto de subsistemas identicamente preparados (ensemble) para este fim, porque tal preparo nƒo pode ser realizado. Exemplos: as coordenadas x,y e z e seus correspondentes momentos px,py e pz, respectivamente. As coordenadas angulares § i e os correspondentes momentos angulares Ji.

Observ‡veis e operadores No formalismo matem‰tico da mec…nica qu…ntica, os observ‰veis sƒo representados por operadores matem‰ticos sobre um espa•o de Hilbert. Esses operadores podem ser construˆdos a partir de seus equivalentes cl‰ssicos. Na formula•ƒo de Heisenberg, as rela•‚es da incerteza podem ser dados na forma de um operador comutador, que opera sobre dois outros operadores quaisquer: onde A e B sƒo operadores quaisquer. No caso das rela•‚es de incerteza: Dirac notou a semelhan•a formal entre o comutador e os par‹nteses de Poisson. Sabedor da equival‹ncia usada por Schr†dinger quando este postulou a forma da equa•ƒo de onda, Dirac postulou as seguintes equival‹ncias, que valem como receita para se acharem os operadores qu…nticos correspondentes a grandezas cl‰ssicas:

A descri•ƒo ondulat€ria dos objetos microsc€picos tem consequ‹ncias te€ricas importantes, como o principio da incerteza de Heisenberg. O fato de os objetos microsc€picos, em muitas situa•‚es, terem uma localiza•ƒo no espa•o mesmo que aproximada, implica que nƒo podem ser descritos por uma onda com um s€ comprimento de onda (onda plana), pois esta ocuparia todo o espa•o.  necess‰ria uma superposi•ƒo de comprimentos de ondas diferentes para se obter um "pacote" de ondas mais bem localizado e que represente o objeto microsc€pico.

O papel do princ†pio da incerteza nas formula€‰es modernas da mecƒnica quƒntica Hoje em dia, o princˆpio da incerteza ‡ importante principalmente por dois motivos: um hist€rico e outro did‰tico. Ambos sƒo an‰logos: o princˆpio da incerteza mostra de maneira clara que concep•‚es cl‰ssicas a respeito da medida devem ser abandonadas. No entanto, o princˆpio da incerteza *nƒo* ‡ um bom princˆpio (ou postulado) da mec…nica qu…ntica, j‰ que ‡ inexato e pouco geral. A mec…nica qu…ntica nƒo-relativˆstica ‡ totalmente descrita com alguns postulados, dos quais as rela•‚es de incerteza de Heisemberg surgem de forma pouco natural. Mas o espˆrito do princˆpio da incerteza ‡ mantido: nƒo se pode ter um sistema que, ao ser medido, tenha a probabilidade 1 de se encontrar tanto uma ou outra grandeza, se essas grandezas corresponderem a operadores que nƒo comutam. Iremos explicar isto melhor adiante:

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Princˆpio da incerteza de Heisenberg

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Todas as grandezas que podem ser medidas correspondem aos chamados "autovalores" de certos objetos matem‰ticos chamados de operadores (na verdade, a natureza requer que esses operadores sejam de uma classe especial, a dos "observ‰veis"). Chamemos um operador qualquer de A, e chamemos seus autovalores de a_n (a_1 ‡ um autovalor, a_2 ‡ outro e assim por diante). Existem estados qu…nticos, chamados "autoestados" (que representaremos por ) do operador A, nos quais uma medida tem 100% de chance de encontrar o valor a_n. Esses autoestados e esses autovalores sƒo definidos pela seguinte equa•ƒo: Um operador ‡ dito um observ‰vel se esses autoestados formarem uma "base". Diz-se que um grupo qualquer de estados qu…nticos formam uma base se qualquer outro estado qu…ntico puder ser escrito como uma superposi•ƒo deles. Ou seja, para qualquer estado qu…ntico , Onde os coeficientes

, em geral complexos, indicam o quanto os autoestados correspondentes

influenciam no estado resultante,

. Um dos postulados da mec…nica qu…ntica diz que a probabilidade de uma

medida da grandeza A revelar o valor a_n ‡: Quando o sistema est‰ no autoestado

, o postulado acima mostra que a probabilidade de se encontrar o valor

a_n correspondente ‡ 100%. Assim, pode-se dizer que o sistema *possui a grandeza A bem definida*. Agora consideremos dois operadores A e B, como o operador da posi•ƒo e o operador do momento. Em geral, os autoestados de um operador nƒo sƒo os mesmos autoestados do outro operador. Consequentemente, se o sistema est‰ em um estado qu…ntico onde a grandeza A ‡ bem definida, a grandeza B nƒo ser‰ bem definida. Ou seja, haver‰ uma "incerteza" na grandeza B. Mas, e se o sistema estiver num estado onde a grandeza A ‡ bem definida, e efetuarmos uma medida na grandeza B? Pode-se pensar que, entƒo, saberemos exatamente o valor de ambas as grandezas. Mas isso est‰ errado, devido a outro dos postulados da mec…nica qu…ntica: se uma medida de uma grandeza qualquer B revela o valor b_n, entƒo o sistema *‡ perturbado pela medida*, e passa para o autoestado correspondente „ grandeza B_n. Entƒo, suponha que dois operadores A e B nƒo possuem os mesmos autoestados. Se efetuarmos em um sistema qualquer a medida da grandeza A, e encontrarmos um certo valor, o sistema se torna um autoestado de A, com um valor bem definido de A e uma incerteza no valor de B. Se, ap€s isso, efetuarmos uma medida no valor de B, entƒo lan•amos o sistema num autoestado de B, com um valor bem definido de B e uma incerteza no valor de A. Com isso, dizemos que ‡ impossˆvel saber simultaneamente o valor da grandeza A e da grandeza B. A incerteza entre a posi•ƒo e o momento proposta por Heisenberg ‡, entƒo, uma consequ‹ncia dos postulados da mec…nica qu…ntica, e nƒo um postulado por si s€.

Bibliografia Ž A estrutura qu€ntica da matˆria - do †tomo prˆ-socr†tico s part„culas elementares.Jos‡ Leite Lopes - UFRJ Editora/Academia Brasileira de Ci‹ncias/ERCA-Editora e Gr‰fica limitada - Rio de Janeiro Ž Qu„mica Qu€ntica - Fundamentos e Mˆtodos. Jos‡ J.C.Teixeira Dias- Funda•ƒo Calouste Gulbenkian - Lisboa V†deo - Tudo Sobre Incerteza - Mecƒnica Quƒntica Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Primeira Parte no Google [1] Segunda Parte no Google [2] Terceira Parte no Google [3] Quarta Parte no Google [4] Quinta Parte no Google [5] Sexta Parte no Google [6]

Princˆpio da incerteza de Heisenberg

Liga€‰es externas Ž The certainty principle [7]

ReferŠncias [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]

http:/ / video.google.com/ videoplay?docid=-5282605523367356760 http:/ / video.google.com/ videoplay?docid=-7180902681748103402 http:/ / video.google.com/ videoplay?docid=-5128082095464869520 http:/ / video.google.com/ videoplay?docid=3237982797701884678 http:/ / video.google.com/ videoplay?docid=-4853271687297380878 http:/ / video.google.com/ videoplay?docid=-9059388017574247564 http:/ / daarb.narod.ru/ tcpr-eng.html

Princ†pio de exclus•o de Pauli O princ†pio de exclus•o de Pauli ‡ um princˆpio da mec…nica qu…ntica formulado por Wolfgang Pauli em 1925. Ele afirma que dois f‡rmions id‹nticos nƒo podem ocupar o mesmo estado qu…ntico simultaneamente. Uma forma mais rigorosa de enunciar este princˆpio ‡ dizer que a fun•ƒo de onda total de um sistema composto por dois fermions id‹nticos deve ser anti-sim‡trica. Para eletrons de um mesmo ‰tomo, ele implica que dois el‡trons nƒo podem ter os mesmos quatro nŒmeros qu…nticos. Por exemplo, se os nŒmeros qu…nticos n, l, e ml sƒo iguais nos dois el‡trons, estes deverƒo necessariamente ter os nŒmeros ms diferentes, e portanto os dois el‡trons t‹m spins opostos. O princˆpio de exclusƒo de Pauli ‡ uma consequ‹ncia matem‰tica das restri•‚es impostas por raz‚es de simetria ao resultado da aplica•ƒo do operador de rota•ƒo a duas partˆculas id‹nticas de spin semi-inteiro.

Sum‡rio O princˆpio de exclusƒo de Pauli ‡ um dos mais importantes princˆpios da fˆsica, basicamente porque os tres tipos de partˆculas que formam a mat‡ria ordin‰ria - eletrons, protons e neutrons - t‹m que satisfaz‹-lo. O princˆpio de exclusƒo de Pauli ‡ a razƒo fundamental para muitas das propriedades caracterˆsticas da mat‡ria, desde sua estabilidade at‡ a exist‹ncia das regularidades expressas pela tabela peri€dica dos elementos. O princˆpio de exclusƒo de Pauli ‡ uma consequ‹ncia matem‰tica das propriedades do operador momento angular, que ‡ o gerador das opera•‚es de rota•ƒo, em mec…nica qu…ntica. A permuta•ƒo de partˆculas num sistema de duas partˆculas id‹nticas (que ‡ matematicamente equivalente „ rota•ƒo de cada partˆcula de um …ngulo de 180 graus) deve resultar em uma configura•ƒo descrita pela mesma fun•ƒo de onda da configura•ƒo original (quando as partˆculas t‹m spin inteiro) ou numa mudan•a de sinal desta fun•ƒo de onda (para partˆculas de spin semi-inteiro). Por isso, duas partˆculas de spin semi-inteiro nƒo podem estar em um mesmo estado qu…ntico, j‰ que a fun•ƒo de onda do sistema composto pelas duas teria que ser igual a sua sim‡trica, e a Œnica fun•ƒo que atende a esta condi•ƒo ‡ a fun•ƒo identicamente nula. Partˆculas com fun•ƒo de onda anti-sim‡trica sƒo chamadas f‡rmions, e obedecem ao princˆpio de exclusƒo de Pauli. Al‡m das mais familiares j‰ citadas - el‡tron, pr€ton e n‹utron - sƒo tamb‡m fermions o neutrino e o quark (que sƒo os constituintes elementares dos pr€tons e n‹utrons), al‡m de alguns ‰tomos, como o h‡lio-3. Todos os f‡rmions possuem spin "semi-inteiro", o que quer dizer que seu momento angular intrˆnseco tem valor (a constante de Planck dividida por 2œ) multiplicada por um semi-inteiro (1/2, 3/2, 5/2, etc.). Na teoria da mec…nica qu…ntica, fermions sƒo descritos por "estados anti-sim‡tricos", que sƒo explicados em mais detalhes no artigo sobre partˆculas id‹nticas. Um sistema formado por partˆculas id‹nticas com spin inteiro ‡ descrito por uma fun•ƒo de onda sim‡trica; estas partˆculas sƒo chamadas b€sons. Ao contr‰rio dos fermions, elas podem partilhar um mesmo estado qu…ntico. Sƒo

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Princˆpio de exclusƒo de Pauli

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exemplos de b€sons o f€ton e os b€sons W e Z.

Hist…ria No inˆcio do s‡culo XX tornou-se evidente que ‰tomos e mol‡culas com el‡trons emparelhados ou um nŒmero par de eletrons sƒo mais est‰veis que aqueles com um nŒmero ˆmpar de eletrons. Num artigo famoso The Atom and the Molecule [1] publicado em 1916 por Gilbert N. Lewis, por exemplo, a regra tr‹s dos seis postulados propostos pelo autor para explicar o comportamento quˆmico das subst…ncias estabelece que um ‰tomo tende a ter um nŒmero par de el‡trons em sua camada de val‹ncia, sendo esse nŒmero, de prefer‹ncia oito, que estƒo normalmente dispostos simetricamente nos oito v‡rtices de um cubo (ver: ‰tomo cŒbico). Em 1922 Niels Bohr mostrou que a tabela peri€dica pode ser explicada pela hip€tese de que certos nŒmeros de el‡trons (por exemplo, 2, 8 e 18) correspondem a "camadas fechadas" est‰veis. Pauli procurou uma explica•ƒo para estes nŒmeros, que eram a esta altura apenas empˆricos. Ao mesmo tempo, ele estava tentando explicar certos resultados experimentais envolvendo o Efeito Zeeman em espectroscopia atŠmica e no ferromagnetismo. Ele encontrou uma pista essencial em um artigo de 1924 escrito por E.C.Stoner, que estabelecia que, para um dado valor do nŒmero qu…ntico principal (n), o nŒmero de nˆveis de energia de um eletron no espectro de um ‰tomo de metal alcalino posto sob a a•ƒo de um campo magn‡tico externo, situa•ƒo na qual todos os nˆveis de energia degenerados sƒo separados, ‡ igual ao nŒmero de el‡trons na camada fechada de um g‰s nobre correspondente ao mesmo valor de n. Este fato levou Pauli a perceber que os nŒmeros aparentemente complicados de el‡trons em camadas fechadas podem ser reduzidos a uma regra muito simples, a de que s€ pode haver um el‡tron em cada estado atŠmico, definido por um conjunto de quatro nŒmeros qu…nticos. Para esta finalidade ele introduziu um novo nŒmero qu…ntico com apenas dois valores possˆveis, identificado por Samuel Goudsmit e George Uhlenbeck como o spin do eletron.

Conex•o com a simetria do estado quƒntico O princˆpio de exclusƒo de Pauli pode ser deduzido a partir da hip€tese de que um sistema de partˆculas s€ pode ocupar estados qu…nticos anti-sim‡tricos. De acordo com o teorema spin-estatˆstica, sistemas de partˆculas id‹nticas de spin inteiro ocupam estados sim‡tricos, enquanto sistemas de partˆculas de spin semi-inteiro ocupam estados anti-sim‡tricos; al‡m disso, apenas valores de spin inteiros ou semi-inteiros sƒo permitidos pelos princˆpio da mec…nica qu…ntica. Como discutido no artigo sobre partˆculas id‹nticas, um estado anti-sim‡trico no qual uma das partˆculas est‰ no estado (nota) enquanto a outra est‰ no estado ‡

No entanto, se

e

sƒo exatamente o mesmo estado, a expressƒo acima ‡ identicamente nula:

Isto nƒo representa um estado qu…ntico v‰lido, porque vetores de estado que representem estados qu…nticos t‹m obrigatoriamente que ser normaliz‰veis, isto ‡ devem ter norma finita. Em outras palavras, nunca poderemos encontrar as partˆculas que formam o sistema ocupando um mesmo estado qu…ntico.


ConsequŠncias O princˆpio de exclusƒo de Pauli ajuda a explicar uma grande variedade de fenŠmenos fˆsicos. Um destes fenŠmenos ‡ a "rigidez" ou "resili‹ncia" da mat‡ria ordin‰ria (fermions): o princˆpio proˆbe que fermions id‹nticos sejam espremidos uns contra os outros (cf. m€dulo de Young e m€dulo de rigidez de s€lidos), e por isso nossas observa•‚es quotidianas do mundo macrosc€pico mostram que objetos materiais colidem, ao inv‡s de atravessar uns aos outros, e de que somos capazes de nos apoiar de p‡ sobre o solo sem nele afundar. Outra consequ‹ncia deste princˆpio ‡ a elaborada estrutura das camadas eletrŠnicas dos ‰tomos e a maneira como ‰tomos partilham eletrons na forma•ƒo da variedade de mol‡culas ou subst…ncia quˆmicas e a gama de suas combina•‚es (quˆmica). Um ‰tomo eletricamente neutro cont‡m eletrons ligados em nŒmero igual ao de protons de seu nŒcleo. Como os eletrons sƒo fermions, o princˆpio de exclusƒo de Pauli os proˆbe de ocupar o mesmo estado qu…ntico, e por isso os eletrons tem que se "empilhar" em estados qu…nticos diversos no interior de um ‰tomo. Considere, por exemplo, um ‰tomo de h‡lio neutro, que tem dois eletrons ligados. Ambos podem ocupar o estado de mais baixa energia (1s) mas para isso t‹m que ter spins opostos. Isto nƒo viola o princˆpio de Pauli porque o spin ‡ parte da caracteriza•ƒo do estado qu…ntico do eletron, e por isso os dois eletrons ocupam estados qu…nticos diferentes. No entanto, o spin s€ pode ter dois valores diferentes (ou autovalores). Num ‰tomo de lˆtio, que cont‡m tres eletrons ligados, o terceiro eletron nƒo pode ocupar um estado 1s, j‰ que resultaria com o spin, e portanto o estado qu…ntico, igual a algum dos dois primeiros, e tem que ocupar um dos estados 2s de energia mais alta. De forma an‰loga, os elementos sucessivos vƒo requerer que os eletrons adicionais vƒo ocupando estados de energia cada vez mais alta, a cada vez que um nŒmero par de eletrons esgota os estados disponˆveis no estado anterior. As propriedades quˆmicas de uma subst…ncia depende fortemente do nŒmero de eletrons em sua camada mais externa, o que d‰ origem „ tabela peri€dica dos elementos. Em condutores e semi-condutores, el‡trons livres t‹m que partilhar o espa•o total disponˆvel no interior do material e por isso seus nˆveis de energia se empilham criando uma estrutura de bandas a partir de cada nˆvel de energia atŠmico. Em bons condutores (metais) os eletrons estƒo tƒo fortemente degenerados que eles acabam por nƒo contribuir de forma significativa para a capacidade t‡rmica do metal. Muitas propriedades mec…nicas, el‡tricas, magn‡ticas, €pticas e quˆmicas dos s€lidos sƒo consequ‹ncias diretas da repulsƒo de Pauli entre eletrons livres ou semi-livres. A Astronomia mostra outra demonstra•ƒo espetacular deste efeito, na forma de estrelas anƒs brancas e estrelas de n‹utron. Em ambos os tipos de objetos, a estrutura atŠmica usual da mat‡ria ordin‰ria ‡ quebrada por for•as gravitacionais enormes, fazendo com que a estabilidade seja suportada apenas pela "pressƒo de degeneresc‹ncia". Esta forma ex€tica de mat‡ria ‡ chamada de mat‡ria degenerada. Nas anƒs brancas, os ‰tomos sƒo impedidos de colapsar uns sobre os outros pela pressƒo de degeneresc‹ncia de seus eletrons. Nas estrelas de neutrons, que exibem for•as gravitacionais ainda mais intensas, os eletrons e os protons colapsam formando neutrons, que sƒo capazes de produzir press‚es de degeneresc‹ncia maiores. Os neutrons sƒo os objetos mais "rˆgidos" conhecidos - seu m€dulo de Young, ou mais apropriadamente m€dulo de rigidez ‡ 20 ordens de grandeza maior que o do diamente. De acordo com a relatividade geral, as for•as gravitacionais no centro de um buraco negro se tornam tƒo intensas que toda a mat‡ria se quebra em seus constituintes fundamentais, que sƒo supostamente puntiformes e sem estrutura interna. Todas estas partˆculas poderiam se empilhar em um ponto zero dimensional porque as for•as gravitacionais seriam maiores que a pressƒo de degeneresc‹ncia. Isto parece violar o princˆpio de exclusƒo de Pauli, mas j‰ que o interior de um buraco negro est‰ al‡m do horizonte de eventos, ele ‡ inacessˆvel a verifica•ƒo experimental e esta hip€tese permanece sem comprova•ƒo possˆvel.

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Ver tamb„m Ž Ž Ž Ž

For•as de troca Intera•ƒo de troca Simetria de troca Regra de Hund

[1] http:/ / dbhs.wvusd.k12.ca.us/ webdocs/ Chem-History/ Lewis-1916/ Lewis-1916.html

Ž Dill, Dan. Notes on General Chemistry (2nd ed.). [S.l.]: W. H. Freeman, 2006. ISBN 1-4292-0068-5 Ž Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). [S.l.]: Prentice Hall, 2004. ISBN 0-13-805326-X Ž Liboff, Richard L.. Introductory Quantum Mechanics. [S.l.]: Addison-Wesley, 2002. ISBN 0-8053-8714-5 Ž Massimi, Michela. Pauli's Exclusion Principle. [S.l.]: Cambridge University Press, 2005. ISBN 0-521-83911-4 Ž Tipler, Paul; Llewellyn, Ralph. Modern Physics (4th ed.). [S.l.]: W. H. Freeman, 2002. ISBN 0-7167-4345-0

Liga€‰es externas Ž Nobel Lecture: Exclusion Principle and Quantum Mechanics (http:/ / nobelprize.org/ nobel_prizes/ physics/ laureates/ 1945/ pauli-lecture.html) Testemunho de Pauli sobre o desenvolvimento do princˆpio de exclusƒo.

Representa€•o de Dirac Na mec…nica qu…ntica, a Representa€•o de Dirac ou Representa€•o de Intera€•o ‡ uma intermedia•ƒo entre a Representa•ƒo de Schr†dinger e a Representa•ƒo de Heisenberg. Considerando que nas outras duas representa•‚es ou o vetor do estado qu…ntico ou o operador possuem depend‹ncia com o tempo, na Representa•ƒo de Dirac ambas possuem parte da depend‹ncia do tempo dos observ‰veis. Equa•‚es que incluem operadores agindo em tempos distintos, que sƒo comportadas na Representa•ƒo de Dirac, nƒo necessariamente serƒo comportados nas representa•‚es de Schr†dinger e Heisenberg. Isto ‡ porque transforma•‚es unit‰rias do tempo se relaciona com operadores de uma representa•ƒo com o operador an‰logo da outra representa•ƒo.

Defini€•o Operadores e vetores dos estados qu…nticos na Representa•ƒo de Dirac sƒo relacionados pela mudan•a de base para aqueles operadores e vetores na Representa•ƒo de Schr†dinger. [1] Para alternar na Representa•ƒo de Dirac, n€s dividimos o hamiltoniano da Representa•ƒo de Schr†dinger em duas partes, . Qualquer escolha das partes nos dar‰ uma Representa•ƒo de Dirac v‰lida, mas para nos ser Œtil na simplifica•ƒo do problema, as partes serƒo escolhidas de forma que

ser‰ facilmente resolvido e

conter‰ as partes mais difˆceis de analisar deste sistema. Se o hamiltoniano for dependente do tempo (por exemplo, se o sistema qu…ntico interagir com um campo el‡trico aplicado externo que varia com o tempo), normalmente nos ser‰ vantajoso incluir explicitamente os termos dependentes do tempo com , deixando o independente do tempo. N€s iremos assumir que este ser‰ o caso. (se existir um contexto em que isto fa•a sentido ter um pelo operador de evolu•ƒo).

dependente do tempo, entƒo deve-se trocar

Representa•ƒo de Dirac

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Vetor do estado quƒntico O vetor do estado qu…ntico na Representa•ƒo de Dirac ‡ definido como [2] Onde

‡ o mesmo vetor da Representa•ƒo de Schr†dinger.

Operadores Um operador na Representa•ƒo de Dirac ‡ definido como Perceba que

nƒo ser‰ dependente de t e pode ser reescrito como

.

Operador hamiltoniano Para o operador

a Representa•ƒo de Dirac e Schr†dinger sƒo id‹nticas

Isto pode ser comprovador usando o facto que os operadores comut‰veis com fun•‚es diferenci‰veis. Este operador em particular tamb‡m pode ser escrito da forma sem ambiguidade. Para a pertuba•ƒo hamiltoniana

, teremos

onde a pertuba•ƒo hamiltoniana da Representa•ƒo de Dirac se torna um hamiltoniano dependente do tempo (a nƒo ser que ).  possˆvel de se obter a Representa•ƒo de Dirac para um hamiltoniano dependente do tempo exponencias precisam ser substituˆdos pelo propagador unit‰rio devido para

, mas os

ou mais explˆcito com uma

integral exponencial ordenada pelo tempo.

Matriz densidade A matriz densidade pode se demonstrada transformando a Representa•ƒo de Dirac da mesma forma como qualquer outro operador. Em particular, deixe e ser a matriz de densidade na Representa•ƒo de Dirac e na Representa•ƒo de Schr†dinger, respectivamente. Se existe possibilidade de ser no estado fˆsico , entƒo

Equa€‰es da evolu€•o temporal Estados da evolu€•o temporal Transformando a Equa•ƒo de Schr†dinger numa Representa•ƒo de Dirac teremos:

Esta equa•ƒo se refere „ equa•ƒo Schwinger-Tomonaga.

Representa•ƒo de Dirac

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Operadores da evolu€•o temporal Se o operador

‡ independente do tempo entƒo a evolu•ƒo temporal correspondente para

‡ dada por

Na Representa•ƒo de Dirac os operadores evoluem no tempo como os operadores da Representa•ƒo de Heisenberg com o hamiltoniano .

Evolu€•o temporal da matriz densidade Transformando a equa•ƒo de Schwinger-Tomonaga na linguagem da matriz densidade teremos

Usos da Representa€•o de Dirac O prop€sito da Representa•ƒo de Dirac ‡ nos desviar de toda depend‹ncia do tempo devido o H 0 dos operadores, deixando apenas H 1, I afetando a depend‹ncia do tempo dos vetores do estado qu…ntico. A Representa•ƒo de Dirac ‡ conveniente quando considerado o efeito de uma pequena intera•ƒo, H 1, S, sendo somado ao hamiltoniano de um sistema solucionado, H 0, S. Pela troca na Representa•ƒo de Dirac, n€s podemos usar a teoria perturbacional dependente do tempo para encontrar o efeito de H 1, I.


Representa•ƒo de Schr†dinger Representa•ƒo de Heisenberg Equa•ƒo de Schr†dinger Nota•ƒo Bra-ket Teorema de Haag

[1] TOWNSEND, John S.. A Modern Approach to Quantum Mechanics, 2nd ed.. Sausalito, CA: University Science Books, 2000. [2] The Interaction Picture (http:/ / www.nyu.edu/ classes/ tuckerman/ stat.mechII/ lectures/ lecture_21/ node2.html), lecture notes from New York University

Representa•ƒo de Heisenberg

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Representa€•o de Heisenberg Na fˆsica a Representa€•o de Heisenberg, descoberta pelo fˆsico Werner Heisenberg, ‡ a formula•ƒo da mec…nica qu…ntica onde os operadores (observ‰veis) sƒo dependentes do tempo e o estado qu…ntico sƒo independentes do tempo. Isto demonstra o contrate com a Representa•ƒo de Schr†dinger na qual os operadores sƒo constantes e o estado qu…ntico se desenvolve no tempo. Estas duas representa•‚es apenas se diferem pela mudan•a na depend‹ncia do tempo. Formalmente falando a Representa€•o de Heisenberg ‡ a formula•ƒo da mec…nica matricial numa base arbitr‰ria, onde o Hamiltoniano nƒo ‡ necessariamente diagonal.

Detalhes matem‡ticos Na Representa•ƒo de Heisenberg da mec…nica qu…ntica o estado qu…ntico,

, nƒo se modifica com o tempo, e um

observador A satisfaz a equa•ƒo

onde H ‡ o hamiltoniano e [™,™] ‡ o comutador de A e H . Em certo sentido, a Representa•ƒo de Heisenberg ‡ mais natural e fundamental que a Representa•ƒo de Schr†dinger, especialmente para a teoria da relatividade geral e restrita. A similaridade da Representa•ƒo de Heisenberg com a fˆsica cl‰ssica ‡ facilmente identificada ao trocar o comutador da equa•ƒo acima pelos Par‹nteses de Poisson, entƒo a equa•ƒo de Heisenberg se tornar‰ uma equa•ƒo da mec…nica hamiltoniana.

Derivando a equa€•o de Heisenberg Suponha que n€s tenhamos um observador A (que ‡ um operador autoadjunto. O valor esperado de A para um dado estado ‡ dado por: ou se n€s escrevermos a seguinte Equa•ƒo de Schr†dinger (onde H ‡ o hamiltoniano independente do tempo e  ‡ a Constante de Planck dividida por 2˜™) n€s teremos e entƒo n€s definiremos Agora obteremos (diferenciando de acordo com a regra do produto) (a Œltima passagem ‡ v‰lida j‰ que: Heisenberg do movimento

comuta com H .) N€s agora estamos „ esquerda da Equa•ƒo de

(onde [ X , Y ] ‡ o comutador dos dois operadores e definidos como [ X , Y ] := XY ‹ YX ). Agora, se n€s fizermos uso do operador de iqualdade N€s veremos que para um observador independente do tempo A, n€s obteremos: Devido ao relacionamento entre os Par‹nteses de Poisson e os comutadores esta rela•ƒo tamb‡m obedece a mec…nica cl‰ssica.

Representa•ƒo de Heisenberg

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Relacionamento do comutador O relacionamento do comutador ‡ bastante diferente „ Representa•ƒo de Schr†dinger por causa da depend‹ncia do tempo dos operadores. Por exemplo, considere os operadores e . A evolu•ƒo no tempo destes operadores dependem do hamiltoniano deste sistema. Para um oscilador harmŠnico de uma dimensƒo

A evolu•ƒo da posi•ƒo e do operador do momento ‡ dada por:

Pela diferencia•ƒo de ambas equa•‚es e solucionando com as devidas condi•‚es iniciais

nos leva a:

Agora, n€s estamos prontos para diretamente comutar a rela•ƒo do comutador:

Perceba que para

, simplesmente obteremos a j‰ conhecida rela•ƒo de comuta•ƒo canŠnica.

Ver tamb„m Ž Ž Ž Ž Ž Ž

Teorema de Ehrenfest Covari…ncia de Lorentz Representa•ƒo de Schr†dinger Representa•ƒo de Dirac Equa•ƒo de Schr†dinger Nota•ƒo Bra-ket

Liga€‰es externas Ž No capˆtulo 2 h‰ uma introdu•ƒo para a Representa•ƒo de Heisenberg [1] (em ingl‹s)

ReferŠncias [1] http:/ / www.quantumfieldtheory.info

Representa•ƒo de Schr†dinger

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Representa€•o de SchrŽdinger Na mec…nica qu…ntica, uma fun•ƒo de estado ‡ uma combina•ƒo linear (uma superposi•ƒo) de valor pr€prio. Numa Representa€•o de SchrŽdinger, o estado de um sistema evolui com o tempo, onde a evolu•ƒo para um sistema qu…ntico fechado ‡ provocada por operador unit‰rio chamado de operador da evolu•ƒo temporal. Isto difere de uma Representa•ƒo de Heisenberg onde os estados sƒo constantes enquanto os observ‰veis evoluem com o tempo. As estatˆsticas de medi•ƒo sƒo as mesmas em ambas as representa•‚es.

O operador de evolu€•o temporal Defini€•o O operador de evolu•ƒo temporal U (t ,t 0) ‡ definido como: Isto ‡, quando este operador est‰ agindo no estado "ket" em t 0 no d‰ o estado "ket" em um tempo t . Para "bras", n€s temos:

Propriedades Primeira propriedade A operador da evolu•ƒo temporal deve ser unit‰rio. Isto ‡ necess‰rio porque n€s precisamos que a norma do estado "ket" nƒo mude com o tempo. Isto ‡, Em consequ‹ncia disto,

Segunda propriedade Distintamente U (t 0,t 0) = I , a fun•ƒo identidade. Como:

Terceira propriedade A evolu•ƒo temporal de t 0 para t pode ser vista como a evolu•ƒo temporal de t 0 para um tempo t 1 indeterminado e de t 1 para o tempo final t . Entƒo conclui-se:

Equa€•o diferencial para o operador da evolu€•o temporal Se dermos, por conven•ƒo, o ˆndice t 0 no operador da evolu•ƒo temporal de forma que t 0 = 0 e escrevermos isto com U (t ). A Equa•ƒo de Schr†dinger pode ser re-escrita da seguinte forma:

Onde H ‡ o Hamiltoniano para o sistema. Como

‡ uma constante de ket (o estado ket ‡ da forma t = 0), n€s

vemos que o operador da evolu•ƒo temporal obedece a Equa•ƒo de Schr†dinger:

Se o hamiltoniano independe do tempo, a solu•ƒo da equa•ƒo acima ser‰:

Representa•ƒo de Schr†dinger

Onde n€s tamb‡m usamos o facto que t = 0, U (t ) precisa reduzir para a fun•ƒo identidade. Assim obteremos: Perceba que

‡ um ket arbitr‰rio. Apesar de que, se o ket inicial ‡ um valor pr€prio do hamiltoniano, com o

valor pr€prio E , n€s temos: Assim, vemos que os valores pr€prios do hamiltoniano sƒo estados estacion‰rios, eles apenas escolhem um fator de fase global j‰ que eles evoluem com o tempo. Se o hamiltoniano ‡ dependente do tempo, mas os hamiltonianos de diferentes tempo comutam, entƒo o operador da evolu•ƒo temporal pode ser escrito da forma:

Uma alternativa para a Representa•ƒo de Schr†dinger ‡ trocar para uma rota•ƒo de refer‹ncias de quadros, que seja rotacionada pelo propagador do movimento. Desde que a rota•ƒo ondulat€ria seja agora assumida pelo pr€prio referencial, uma fun•ƒo de estados nƒo perturbados surge para ser verdadeiramente est‰ticos.

Ver tamb„m Ž Representa•ƒo de Heisenberg Ž Equa•ƒo de Hamilton ƒ Jacobi Ž Representa•ƒo de Dirac

Leitura recomendada Ž Principles of Quantum Mechanics by R. Shankar, Plenum Press. (em ingl‹s)

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Sobreposi•ƒo qu…ntica

Sobreposi€•o quƒntica Superposi€•o Quƒntica ‡ a aplica•ƒo do principio da superposi•ƒo da Mec…nica Qu…ntica. O principio da superposi•ƒo ‡ a adi•ƒo de amplitudes de ondas por interfer‹ncia. Na mec…nica qu…ntica ‡ a amplitude de fun•‚es de ondas, ou vetores de estado que sƒo somados. Isso ocorre quando um objeto simultaneamente "possui" dois ou mais valores para uma quantidade observ‰vel (e.g. a posi•ƒo ou energia de uma partˆcula). Mais especificamente, na mec…nica qu…ntica, qualquer quantidade observ‰vel corresponde a um autovetor (auto estado) de um operador linear Hermitiano. A combina•ƒo linear de dois ou mais autovetores resulta em uma sobreposi•ƒo de dois ou mais valores de uma quantidade observ‰vel. Se a "quantidade" ‡ medida, o postulado (da mec…nica qu…ntica) que fala a respeito de proje•ƒo afirma que o estado ser‰ aleatoriamente colapsado em um dos valores da superposi•ƒo (com probabilidade proporcional a amplitude do autovetor na combina•ƒo linear). Um questƒo que naturalmente aparece ‡: Por que objetos e eventos macrosc€picos (que obedecem as leis newtonianas) nƒo parecem mostrar propriedades da mec…nica qu…ntica (como a superposi•ƒo). Em 1935, Schr†dinger descreveu um experimento j‰ bem conhecido hoje como o gato de Schr†dinger, que mostra as disson…ncias entre a mec…nica qu…ntica e a fˆsica newtoniana. De fato, a sopreposi•ƒo qu…ntica resulta em v‰rios efeitos diretamente observ‰veis, como os padr‚es de interfer‹ncias das ondas em experimentos com luz.

Veja mais Ž Livro Wiki sobre Computa•ƒo Quantica - Avan•ado [1] Ž Computador qu…ntico Ž Gato de Schr†dinger

ReferŠncias [1] http:/ / pt.wikibooks.org/ wiki/ Computa%C3%A7%C3%A3o_Qu%C3%A2ntica

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Teorema de Ehrenfest O Teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, fˆsico e matem‰tico austrâco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mec…nica qu…ntica para o comutador deste operador com o Hamiltoniano do sistema. Isto ‡:

onde A ‡ algum operador da mec…nica qu…ntica e ‡ seu valor esperado. O Teorema de Ehrenfest ‡ obviamente a Representa•ƒo de Heisenberg da mec…nica qu…ntica, onde isto ‡ apenas o valor esperado do momento da Equa•ƒo de Heisenberg. O teorema tamb‡m ‡ altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mec…nica hamiltoniana, que envolve os Par‹nteses de Poisson ao inv‡s do comutador.

Deriva€•o Suponha que o sistema seja apresentado em um estado qu…ntico instant…nea do valor esperado de A, que ‡, por defini•ƒo:

. Se n€s quisermos saber a derivado do tempo

onde n€s temos integrando por todo espa•o. Se n€s aplicarmos a Equa•ƒo de Schr†dinger, encontraremos isto:

e isto:

Perceba que obteremos:

porque o Hamiltoniano ‡ um operador autoadjunto. Colocando isto na equa•ƒo acima n€s

Diversas vezes (mas nƒo sempre) o operador A ‡ independente do tempo, entƒo sua derivada ser‰ zero e n€s poderemos ignorar o Œltimo termo da equa•ƒo.

Exemplo geral Pelo exemplo mais geral possˆvel de uma partˆcula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano ‡ simplesmente:

onde ‡ simplesmente a localiza•ƒo da partˆcula. Suponha que n€s quis‡ssemos saber a mudan•a instant…nea do momento . Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:

j‰ que o operador comuta com ele mesmo e nƒo obt‡m depend‹ncia com o tempo. Expandindo o lado direito da equa•ƒo, substituindo p por , n€s obteremos:

Ap€s adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:


mas n€s reconheceremos isto como a segunda lei de Newton. Similarmente n€s poderemos obter a mudan•a de posi•ƒo instant…nea do valor esperado.

Este resultado ‡ novamente em acordo com a equa•ƒo cl‰ssica.

Teoria das vari‡veis ocultas Na fˆsica, uma teoria das vari‡veis ocultas ‡ defendida por uma minoria de fˆsicos que argumentam que a natureza estatˆstica da mec…nica qu…ntica implica que ela ‡ incompleta; ela ‡ realmente aplic‰vel somente ao conjuntos de partˆculas; novos fenŠmenos fˆsicos al‡m da mec…nica qu…ntica sƒo necess‰rios para explicar um evento individual. A mec…nica qu…ntica ‡ nƒo determinˆstica, o que significa que ela geralmente nƒo prediz a obten•ƒo de qualquer medi•ƒo com certeza. Ao inv‡s disto, ela simplesmente nos informa a probabilidade de obter determinadas saˆdas. Isto nos leva para uma estranha situa•ƒo onde as medi•‚es de uma certa propriedade em dois sistemas idŽnticos podem fornecer diferentes respostas. A questƒo que naturalmente surge ‡ se haveria uma realidade mais profunda escondida por debaixo da mec…nica qu…ntica, para ser descrita por uma teoria mais fundamental que possa sempre predizer as saˆdas de cada medi•ƒo com certeza. Existe uma analogia com a pesquisa de inten•ƒo de voto: Nƒo ‡ que a inten•ƒo seja indefinida, mas somente se um amostra razo‰vel da popula•ƒo foi consultada ela estar‰ de acordo com a opiniƒo geral. Em outras palavras, a mec…nica qu…ntica por defini•ƒo deve ser uma descri•ƒo incompleta da realidade. Para alguns fˆsicos este grau de indetermina•ƒo ‡ um fato objetivo. Uma teoria assim ‡ conhecida como teoria das vari‰veis ocultas. A maioria acredita, porem, que nƒo h‰ uma realidade mais profunda na mec…nica qu…ntica „ e, de fato, os experimentos tem mostrado que vari‰veis ocultas sƒo incompatˆveis com observa•‚es. Em 1935, Einstein, Podolsky e Rosen escreveram um trabalho de quatro p‰ginas chamados "Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete?" [1], que argumenta que tal teoria ‡ nƒo somente possˆvel, mas de fato necess‰ria, propondo o paradoxo EPR como prova. Em 1964, John Bell mostrou, atrav‡s do seu famoso teorema com suas desigualdades de Bell, que o tipo de teoria proposta por Einstein, Podolsky e Rosen produzem predi•‚es experimentais diferentes das fornecidas pela mec…nica qu…ntica ortodoxa. Outro obst‰culo significativo para a teoria de vari‰veis ocultas ‡ o teorema de Kochen-Specker. Fˆsicos como Alain Aspect t‹m realizado experimentos que podem ser interpretados como uma demonstra•ƒo que estas considera•‚es sƒo corretas, mas as esperan•as por uma teoria de vari‰veis local ocultas ainda estƒo muito vivas. Uma teoria das vari‰veis ocultas, com seu dito determinismo, que ‡ consistente com mec…nica qu…ntica devem ser nƒo-locais, mantendo a exist‹ncia de rela•‚es causais instant…neas entre entidades fˆsicas separadas. Teorias n‚o locais, isto ‡, teorias que permite aos sistemas interagirem a dist…ncia com velocidades maiores do que a velocidade da luz, nƒo poderiam ser desconsideradas. A primeira teoria de vari‰veis ocultas foi a teoria da onda piloto proposta

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Teoria das vari‰veis ocultas por Louis de Broglie no final de 1920. A teoria atualmente mais bem conhecida de vari‰veis ocultas, a mec…nica Bohmian, do fˆsico e filosofo David Bohm, criada em 1952, ‡ uma teoria de vari‰veis ocultas nƒo-local. A interpreta•ƒo de Bohm ainda goza de uma popularidade modesta entre os fˆsicos, embora a maioria ache que ela seja teoricamente deselegante. Porem, nƒo h‰ consenso. O que Bohm fez, baseado na id‡ia original de de Broglie, foi posicionar a partˆcula qu…ntica, por exemplo, um el‡tron, e um 'onda guia' oculta que governa seu movimento. Portanto, nesta teoria os el‡trons sƒo claramente definidos como partˆculas. Quando se realiza um experimento de dupla fenda (ver dualidade partˆcula-onda), ele ir‰ passar atrav‡s de uma fenda ou da outra. Contudo, sua escolha de fenda nƒo ‡ aleat€ria, mas governada pela onda guia, resultando no padrƒo de onda observ‰vel. Esta visƒo contradiz a id‡ia simples de eventos locais que ‡ usada no atomismo cl‰ssico e na teoria da relatividade. Isto aponta para uma visƒo mais holˆstica, a de que o mundo ‡ interdependente e est‰ interagindo. De fato, o pr€prio Bohm se irritou com o aspecto holˆstico da teoria qu…ntica em anos posteriores, quando ele come•ou a interessar pelas id‡ias de J. Krishnamurti. A interpreta•ƒo de Bohm (como tamb‡m de outros) foi tida como base de alguns livros que tentavam conectar a fˆsica como misticismo oriental e a "consci‹ncia". A principal franqueza da teoria de Bohm e que ela parece ser tramada „ o que ela realmente ‡. Ela foi deliberadamente criada para fornecer predi•‚es as quais sƒo em todos detalhes id‹nticos a mec…nica qu…ntica. Sua inten•ƒo nƒo era fazer uma contra-posposta s‡ria, mas demonstrar que uma teoria de vari‰veis ocultas tamb‡m era possˆvel. Isto era realmente um atalho importante. Sua esperan•a era a de que isto poderia levar a novos insights e experimentos que poderiam levar a fˆsica al‡m da teoria qu…ntica atual. Outro tipo de teoria determinˆstica[2] foi recentemente introduzida por Gerard 't Hooft. Esta teoria foi motivada pelos problemas que foram encontrados quando se tentou formular uma teoria unificada da gravita•ƒo qu…ntica. A maioria dos fˆsicos, contudo, tem a convic•ƒo que a verdadeira teoria do universo nƒo ‡ uma teoria de vari‰veis ocultas e que as partˆculas nƒo t‹m qualquer informa•ƒo extra que nƒo esteja presente na sua descri•ƒo feita pela mec…nica qu…ntica. Estas outras interpreta•‚es da mec…nica qu…ntica tem seus pr€prios prop€sitos filos€ficos. Um nŒmero muito pequeno de fˆsicos acreditam que o realismo local ‡ correto e que a mec…nica qu…ntica esteja em ultima inst…ncia incorreta.

ReferŠncias [1] http:/ / prola.aps.org/ pdf/ PR/ v47/ i10/ p777_1 [2] Gerard 't Hooft, Quantum Gravity as a Dissipative Deterministic System, Class. Quant. Grav. 16, 3263-3279 (1999) preprint (http:/ / xxx.lanl. gov/ abs/ gr-qc/ 9903084).


Teoria local vari‰veis ocultas Teorema de Bell Experimentos teste de Bell Mec…nica Qu…ntica Interpreta•ƒo de Bohm

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Teoria de tudo

Teoria de tudo Uma Teoria de Tudo, ou teoria do todo, ou ainda teoria unificada ou unificadora, expressƒo mais simples para Teoria da Grande Unifica€•o, ou TGU (ou ToE por suas iniciais em ingl‹s), ‡ uma teoria cientˆfica hipot‡tica que unificaria, procuraria explicar e conectar em uma s€ estrutura te€rica, todos os fenŠmenos fˆsicos (juntando a mec…nica qu…ntica e a relatividade geral) num Œnico tratamento te€rico e matem‰tico. Inicialmente, o termo foi usado com uma conota•ƒo irŠnica para referir-se a v‰rias teorias sobregeneralizadas. Depois o termo se popularizou na Fˆsica qu…ntica ao descrever uma teoria que poderia unificar ou explicar atrav‡s de um modelo simples de teorias de todas as intera•‚es fundamentais da natureza. Outros termos, nƒo inteiramente sinŠnimos, empregados para referir-se ao mesmo conceito sƒo grande teoria unificada, teoria de campos unificada e teoria do campo unificado.

No€‰es b‡sicas Houve numerosas teorias de tudo propostas por fˆsicos te€ricos no s‡culo passado, mas at‡ agora nenhuma tem sido capaz de apresentar uma prova experimental, t‹m havido tremendas dificuldades para que suas teorias tenham resultados experimentais est‰veis. Albert Einstein tentou desenvolver uma teoria de tudo. No seu tempo se acreditava que a Œnica tarefa seria unificar a relatividade geral e o eletromagnetismo. O primeiro problema em produzir uma teoria de tudo ‡ que as teorias aceitas, como a mec…nica qu…ntica e a relatividade geral, sƒo radicalmente diferentes nas descri•‚es do universo: as formas possˆveis de combin‰-las conduzem rapidamente „ "renormaliza•ƒo" do problema, onde a teoria nƒo nos d‰ resultados finitos para dados quantitativos experimentais. Finalmente, um nŒmero de fˆsicos nƒo espera que a teoria de tudo seja descoberta. As teorias pretendentes a serem teorias de unifica•ƒo t‹m grande import…ncia em cosmologia, especialmente na descri•ƒo dos fenŠmenos mais primordiais da evolu•ƒo do universo, em especial nos primeiros instantes posteriores ao Big Bang, como os que determinam o decaimento dos pr€tons. [1] Atualmente um dos obst‰culos existente ‡ o gr‰viton, que embora tenha a sua exist‹ncia sido prevista teoricamente ainda nƒo foi confirmado experimentalmente. A Teoria das Cordas assume-se como a maior candidata a uma Teoria de Tudo. Igualmente, assumem os seus pesquisadores e defensores que a Teoria M seria a teoria da grande unifica•ƒo, ou ainda a Gravita•ƒo Qu…ntica em Loop. Podemos tamb‡m atribuir „ Teoria do Tudo as teorias do "Mundo em 10 dimens‚es" de Michael Green e John Schwartz (1989) e dos "Universos multˆplos em 11 dimens‚es" de Edward Witten (1995). Afirmam alguns pesquisadores de uma Teoria de Grande Unifica•ƒo que existem na natureza os chamados "campos de Higgs", relacionados com o b€son de Higgs, os quais determinariam a massa das partˆculas.[2]

Antecedentes hist…ricos O conceito de uma "teoria de tudo" ‡ arraigada em uma velha id‡ia de causalidade, famosa expressƒo de Laplace: Um intelecto que em um certo momento pudesse conhecer todas as for•as que estabelecem a natureza em movimento, e todas as posi•‚es de todos os temas que essa natureza comp‚e, se esse intelecto fosse tamb‡m tƒo suficiente para apresentar esses dados em uma an‰lise, que pudesse unir em uma simples f€rmula os movimentos dos grandes corpos do universo e o muito pequeno do ‰tomo; para esse tipo de intelecto nada ser‰ incerto e o futuro como o passado seria o presente para esses olhos „ Essai philosophique sur les probabilitˆs, introdu•ƒo. 1814

Ainda que isto possa ser citado como determinista, em uma "simples f€rmula" pode todavia existir se a fˆsica ‡ fundamentalmente probabilˆstica, como diz a moderna mec…nica qu…ntica. Desde os tempos dos antigos gregos, os fil€sofos pr‡-socr‰ticos e seus posteriores t‹m especulado que a aparente diversidade de apar‹ncias que oculta uma subjacente unidade, e portanto que a lista das for•as pode ser minimizada, de modo que possa ter uma s€ ess‹ncia. Por exemplo, a filosofia mec…nica do s‡culo XVII propŠs que todas as

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Teoria de tudo for•as poderiam por Œltimo reduzir-se a uma for•a de contato entre pequenas partˆculas s€lidas. [3] Isto foi abandonado depois da aceita•ƒo das for•as gravitacionais a grande dist…ncia propostas por Isaac Newton; mas ao mesmo tempo o trabalho de Newton em seu Principia proveu a primeira dram‰tica evid‹ncia empˆrica da unifica•ƒo de for•as que nesse momento pareciam diferentes: o trabalho de Galileo na gravita•ƒo terrestre, as leis de Kepler do movimento planet‰rio e os fenŠmenos de mar‡s foram todas quantitativamente explicadas por uma simples lei, chamada de a gravita•ƒo universal. Em 1820, Hans Christian Oersted descobriu uma conexƒo entre a eletricidade e o magnetismo, muitas d‡cadas de trabalho culminaram na teoria do electromagnetismo de James Clerk Maxwell. Tamb‡m durante os s‡culos XIX e XX, gradualmente apareceram muitos exemplos de for•as de contato, elasticidade, viscosidade, fric•ƒo, pressƒo- resultados das intera•‚es el‡tricas entre pequenˆssimas partˆculas da mat‡ria. Ao final de 1920, a nova mec…nica qu…ntica mostrou que as intera•‚es quˆmicas se tratavam de for•as el‡tricas (qu…nticas), justificando o que Dirac havia dito sobre que as leis fˆsicas necess‰rias para a teoria matem‰tica de uma grande parte dos fˆsicos e quˆmicos eram entƒo completamente conhecidos.[4] As tentativas de unificar a gravidade com o magnetismo se remontam aos experimentos de 1849-50 de Michael Faraday[5] Depois da teoria gravitacional (relatividade geral) de Einstein publicada em 1915, a busca de uma teoria do campo unificado que combine gravidade com eletromagnetismo se tornou mais s‡ria. Ao mesmo tempo, se tornou plausˆvel se dizer que nƒo existiam mais for•as fundamentais. Proeminentes contribui•‚es foram as outorgadas por Gunnar Nordstrom, Hermann Weyl, Arthur Eddington, Theodor Kaluza, Oskar Klein,e a mais not‰vel dada por Einstein e seus colaboradores. Nenhuma destas propostas tiveram ‹xito. [6] A busca foi interrompida pelo descobrimento das for•as fraca e forte, que nƒo podiam ser agregadas dentro da gravidade ou do eletromagnetismo. Outro obst‰culo foi a aceita•ƒo de que a mec…nica qu…ntica teria de ser incorporada desde o inˆcio, nƒo emergiu como uma consequ‹ncia da determinˆstica teoria unificada, como Einstein esperava. Gravidade e Eletromagnetismo podem sempre coexistir pacificamente como tipos de for•as de Newton, mas por muitos anos se tem observado que a gravidade nƒo pode ser incorporada no panorama qu…ntico, deixando-a s€ ao unificar-se com outras for•as fundamentais. Por esta razƒo este trabalho de unifica•ƒo no s‡culo XX se focalizou em entender as tr‹s for•as "qu…nticas": eletromagnetismo e as for•as nucleares fraca e forte. As duas primeiras foram unificadas em 1967-8 por Sheldon Glashow, Steven Weinberg, e Abdus Salam.[7] As for•as forte e a eletrofraca coexistem no modelo padrƒo de partˆculas, mas se mant‡m distintas. Muitas teorias unificadas (o GUT por suas siglas em ingl‹s) t‹m sido propostas para unific‰-las. Ainda que a simplicidade das GUTs tem sido descartadas pela experi‹ncia, a id‡ia geral, especialmente quando se vincula com as supersimetrias, continua firmemente a favor da comunidade te€rica de fˆsica.

A F†sica moderna Na corrente principal da fˆsica atual, a Teoria de Tudo poderia unificar todas as intera•‚es fundamentais da natureza, que sƒo consideradas como quatro: gravita•ƒo, a for•a nuclear forte, a for•a nuclear fraca e a eletromagn‡tica. Porque a for•a forte pode transformar partˆculas elementares de uma classe a outra, a teoria de tudo deveria produzir uma profunda compreensƒo de v‰rios diferentes tipos de partˆculas como de diferentes for•as. O padrƒo previsˆvel das teorias ‡ o seguinte:

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Teoria de tudo

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Teoria de Tudo Gravidade

For•a Eletronuclear (GUT) For•as de Cor

For•a Eletrofraca For•a Forte

For•a Fraca

Eletromagnetismo For•a El‡trica

For•a magn‡tica

Adicionalmente „s for•as listadas aqui, a moderna cosmologia requer uma for•a inflacion‰ria, energia escura, e tamb‡m mat‡ria escura composta de partˆculas fundamentais fora da cena do modelo padrƒo. A unifica•ƒo eletrofraca ‡ uma "simetria quebrada": o eletromagnetismo e a for•a fraca parecem distinguir-se a baixas energias porque as partˆculas portam for•as fracas, os b€sons W e Z t‹m a massa de aproximadamente de 100 , enquanto que o fot€n, que portam a for•a eletromagn‡tica, nƒo t‹m massa. A altas energias os b€sons W e Z podem criar massa facilmente e a natureza unificada das for•as aparece. A grande unifica•ƒo se espera que trabalhe em um caminho similar, mas as energias na ordem de GeV ou muito maiores nƒo podem ser obtidas por nenhum acelerador de partˆculas na terra. Por analogia, a unifica•ƒo das for•as GUT com a gravidade se espera que seja a uma energia de Planck, em torno de GeV. Poderia ser prematuro a busca por uma teoria de tudo quando nƒo existe evid‹ncia direta de uma for•a eletronuclear e ainda em qualquer caso existem muitas diferentes propostas de GUTs. De fato o nome deliberado est‰ envolto no Hˆbris. Entretanto muitos fˆsicos cr‹en que a unifica•ƒo ‡ possˆvel, devido em parte „ hist€ria de converg‹ncia at‡ uma mesma teoria. A supersimetria se v‹ plausˆvel nƒo s€ por sua "beleza" te€rica, senƒo por sua naturalidade ao produzir grandes quantidades de mat‡ria escura, e a for•a inflacion‰ria pode ser relacionada a GUT fˆsicas (ainda que nƒo parece formar parte inevit‰vel da teoria). E agora as GUTs nƒo sƒo claramente a resposta final. Tanto o modelo padrƒo atual como a proposta GUT sƒo teorias qu…nticas de campos que requerem a problem‰tica t‡cnica da renormaliza•ƒo de respostas a campos sensˆveis.  usual considerar-se como um sinal de que h‰ uma s€ teoria de campos efetiva omitindo fenŠmenos cruciais s€ a muito altas energias. Al‡m disso a inconsist‹ncia entre a mec…nica qu…ntica e a relatividade geral implica que uma das duas deve ser substituˆda por uma teoria que incorpore a gravidade qu…ntica. A Œnica candidata principal a uma teoria de tudo no momento ‡ a teoria das supercordas. Investiga•‚es em curso sobre a Gravidade qu…ntica em loop pode eventualmente lan•ar um passo fundamental na teoria de tudo, mas este nƒo ‡ o principal objetivo. Estas teorias pretendem tratar com a renormaliza•ƒo do problema mediante o estabelecimento de algumas no limite inferior de escalas de comprimento possˆvel. A teoria de supercordas e a supergravidade (se cr‹ que ambas sƒo casos especiais de uma teoria M por difinir-se) sup‚e que o universo atualmente tem mais mais dimens‚es que o que pode-se ver-se a primeira vista, tr‹s espaciais e uma temporal. A motiva•ƒo por tr‰s desta abordagem come•a com a teoria Kaluza-Klein onde se notou que ao aplicar a relatividade geral em um universo de 5 dimens‚es (uma dimensƒo mais uma pequena dimensƒo compactada) a manteria equivalente „ relatividade geral, de 4 dimens‚es, com las leis de Maxwell do eletromagnetismo (tamb‡m em 4 dimens‚es). Isto tem dado lugar a esfor•os para trabalhar-se com teorias de muitas dimens‚es nas que se espera que se possam produzir equa•‚es que sejam similares „s conhecidas em fˆsica. A no•ƒo de extradimens‚es tamb‡m ajuda a resolver o problema da hierarquia, onde a pergunta de porque a gravidade ‡ mais fraca que qualquer outra for•a. A resposta comum diz que a gravidade estaria em uma dimensƒo extra „s outras for•as. Ao final de 1990 se notou que um dos problemas com muitas candidatas a teorias de tudo (mas particularmente com a teoria de cordas) era que estas nƒo continham as caracterˆsticas de predizer o universo. Por exemplo, muitas teorias da gravidade qu…ntica podem criar universos com arbitr‰rio nŒmero de dimens‚es ou com arbitr‰rias constantes cosmol€gicas. Inclusive a "padrƒo" teoria de cordas 10-dimensional permite „s dimens‚es "espiraladas" serem compactadas em muitos diferentes caminhos (um estimado ‡ onde cada uma corresponde „ conjuntos

Teoria de tudo

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diferentes de partˆculas fundamentais e for•as de baixa energia. Uma solu•ƒo especulativa ‡ que muitas dessas possibilidades sƒo realiz‰veis em um ou outro dos universos possˆbles, mas s€ um nŒmero pequeno deles sƒo habit‰veis, e portanto as constantes universais fundamentais sƒo por Œltimo o resultado de um principio antr€pico como consequ‹ncia de uma teoria de tudo. Esta aproxima•ƒo antr€pica ‡ claramente criticada no que tabge a que a teoria ‡ suficientemente flexˆvel para abarcar quase qualquer observa•ƒo, nƒo poderia fazer predi•‚es Œteis (como originais, false‰veis ou verific‰veis). Deste ponto de vista, a teoria de cordas poderia ser considerada como pseudoci‹ncia, onde uma teoria infalse‰vel ‡ constantemente adaptada para que os resultados experimentais se ajustem a ela.

Rela€‰es com o teorema da incompletitude de GŽdel Um pequeno nŒmero de cientistas afirma que o Teorema da incompletude de G†del prova que qualquer tentativa de construir uma teoria de tudo est‰ destinada ao fracasso. O teorema de G†del diz que qualquer teoria matem‰tica nƒo trivial ‡ inconsistente ou incompleta. Stanley Jaki assinalou em seu livro de 1966 "A Relev…ncia da Fˆsica" que qualquer teoria de tudo dever‰ ser uma teoria matem‰tica consistentemente nƒo trivial, com o que deve ser incompleta. Ele afirma que condena a uma teoria determinista do tudo.[8] Freeman Dyson tinha estabelecido que: O teorema de G†del implica que a matem‰tica pura ‡ inexaurˆvel. Nƒo importa quantos problemas possa-se resolver, sempre haver‰ outros problemas que nƒo podem ser resolvidos com as regras existentes. Porque pelo teorema de G†del, a fˆsica ‡ inexaurˆvel tamb‡m. As leis da fˆsica sƒo configura•‚es finitas de regras e incluem regras para fazer matem‰ticas, a fim que o teorema de G†del se aplique a elas.

NYRB, Mayo 13, 2004

„Freeman Dyson

Muitos t‹m interpretado esta cita•ƒo para apoiar a posi•ƒo de Jaki. Stephen Hawking foi originariamente crente em uma teoria de tudo mas depois de considerar o teorema de G†del, concluiu que esta nƒo poderia ser obtida. Muitas pessoas ficarƒo muitos desgostosas se nƒo h‰ uma teoria final, que possa formular um finito nŒmero de princˆpios. Eu pertenceria a este grupo, mas tenho mudado meu pensamento.

G†del and the end of physics, Julio 20, 2002

„Stephen Hawking

Esta visƒo tem sido contra-argumentada por Solomon Feferman[9] , assim como por outros. Muitos cientistas e matem‰ticos cr‹em que o teorema de G†del ‡ completamente irrelevante quando se discute uma teoria de tudo. O teorema de G†del ‡ uma declara•ƒo sobre que teoremas eventualmente resultariam sistemas matem‰ticos, onde "eventualmente" significa despois de um tempo arbitr‰rio. O teorema de Godel nƒo impede que um matem‰tico compute o que ocorre depois de qualquer quantidade de tempo, ou nƒo previne a uma pessoa que conhe•a as regras para fazer os c‰lculos. Tudo o que o teorema de G†del diz ‡ que, inclusive conhecendo todas as regras, seria impossˆvel predizer que novos padr‚es produzirƒo eventualmente as regras.

Potencial status da Teoria de Tudo Nenhuma teoria fˆsica no momento se acredita como sendo precisamente exata. Em lugar disto, a fˆsica tem procedido por s‡ries de "aproxima•‚es sucessivas" permitindo mais e mais precisas previs‚es sobre uma ampla gama de fenŠmenos. Muitos fˆsicos cr‹em que existam muitos erros nos confusos modelos te€ricos com a natureza mais ˆntima da realidade e sustentam que a s‡rie de aproxima•‚es nunca terminar‰ na "verdade". Mesmo Einstein expressou sua visƒo em ocasi‚es.[10] Em seu ponto de vista podemos razoavelmente esperar por "uma" teoria de tudo onde consistente - em si mesma- incorpore todas as for•as conhecidas atualmente, mas nƒo devemos esperar ter a resposta final. Por outro lado estava aberto a opinar que apesar da aparente complexidade matem‰tica em cada teoria, em um sentido profundo associado com sua subjacente simetria gaugiana e ao nŒmero de constantes fˆsicas universais, as teorias se simplificaram. Se isso ocorre, o processo de simplifica•ƒo nƒo pode continuar

Teoria de tudo indefinidamente.

ReferŠncias Universo Inflacion‰rio - www.astro.ufrgs.br (http:/ / www.astro.ufrgs.br/ univ/ ) Era Inflacion‰ria - www.on.br (http:/ / www.on.br/ site_edu_dist_2006/ pdf/ modulo5/ era_inflacionaria.pdf) e.g. Shapin, Steven.The Scientific Revolution. [S.l.]: University of Chicago Press, 1996. Dirac, P.A.M.. Quantum mechanics of many-electron systems. [S.l.: s.n.], 1929. vol. 123. Faraday, M.. Experimental Researches in Electricity. Twenty-Fourth Series. On the Possible Relation of Gravity to Electricity. [S.l.: s.n.], 1850. pp. 994-995. vol. 5. [6] Pais (1982), Ch. 17. [7] e.g. Weinberg (1993), Ch. 5 [8] Jaki, S.L.: "The Relevance of Physics",Chicago Press,1966 [9] Feferman, S. The nature and significance of G†del's incompleteness theorems, Institute for Advanced Study, Princeton, November 17, 2006 [10] Einstein, carta a Felix Klein, 1917. Apresentada em Pais (1982), Ch. 17. [1] [2] [3] [4] [5]

Teoria do campo unificado Em fˆsica, uma "teoria do campo unificado" ‡ um tipo de teoria de campo que permite que todas as for•as fundamentais entre partˆculas elementares sejam descritas em termos de um Œnico campo. Nƒo h‰ ainda nenhuma teoria do campo unificado aceita, e este assunto permanece como um campo aberto para pesquisa. O termo foi cunhado por Albert Einstein que tentou unificar a Teoria da Relatividade Geral com o Eletromagnetismo. Uma Teoria de tudo ‡ muito pr€xima da teoria do campo unificado, mas difere por nƒo exigir que sejam campos a base da natureza, e tamb‡m por tentar explicar todas as constantes fˆsicas da natureza.

Campos e part†culas Todas as quatro for•as fundamentais sƒo mediadas por campos, que no modelo padrƒo de partˆculas, sƒo resultado da troca de b€sons. As quatro for•as a serem unificadas sƒo (em ordem decrescente de for•a): Ž For•a nuclear forte: a for•a respons‰vel por manter os quarks juntos para formar os neutrons e pr€tons, e manter os neutros e pr€tons juntos para formar o nŒcleo. A partˆcula de troca que intermedia esta for•a ‡ o glŒon. Ž For•a eletromagn‡tica: a conhecida for•a que age sobre partˆculas carregadas. O f€ton ‡ a partˆcula de troca desta for•a. Ž For•a nuclear fraca: uma for•a de repulsƒo e de curto alcance respons‰vel pela radioatividade, que age sobre el‡trons, neutrinos e quarks.  governada pelo b€son W. Ž For•a gravitacional: uma for•a de longo alcance que age sobre todas as partˆculas com massa. A suposta partˆcula de troca foi denominada graviton. As teorias modernas do campo unificado tentam colocar estes quatro campos de for•a juntos em um Œnico referencial. A teoria qu…ntica entretanto, parece limitar o poder descritivo de qualquer teoria determinˆstica.

Hist…ria Em 1821 Hans Christian Oersted descobriu que correntes el‡tricas exerciam for•a sobre ˆmƒs, e em 1831, Michael Faraday descobriu que campos magn‡ticos vari‰veis no tempo podiam induzir correntes eletricas. At‡ entƒo, eletricidade e magnetismo eram entendidos como fenŠmenos nƒo relacionados. Em 1864, James Clerk Maxwell publicou seu famoso texto sobre uma teoria din…mica do campo eletromagn‡tico. Este foi o primeiro exemplo de uma teoria que foi capaz de unir duas teorias de campo anteriormente separadas (eletricidade e magnetismo) e criar uma teoria unificada do eletromagnetismo.

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Progressos modernos Em 1963, o fˆsico estadunidense Sheldon Glashow propŠs que a For•a nuclear fraca e a eletricidade e o magnetismo poderiam ser descritas em uma teoria parcial do campo unificado, uma teoria eletrofraca. Em 1967, o fˆsico paquistan‹s Abdus Salam e o estadunidense Steven Weinberg independentemente revisaram a teoria de Glashow colocando as massas das partˆculas W e Z a partir de quebra sim‡trica espont…nea atrav‡s do mecanismo de Higgs. Esta teoria unificada ‡ governada pela troca de quatro partˆculas: o f€ton, para intera•‚es eletromagn‡ticas, e uma partˆcula Z neutra e duas partˆculas W carregadas para a intera•ƒo fraca. Como resultado da quebra por simetria espont…nea, a for•a fraca se torna de curto alcance e os b€sons Z e W adquirem massas de 80.4 e 91.2 , respectivamente. Esta teoria obteve apoio experimental quando da descoberta das correntes neutras fracas em 1973. Em 1983, os b€sons Z e W foram produzidos pela primeira vez no CERN pela equipe de Carlo Rubbia. Pela sua contribui•ƒo, Salam, Glashow e Weinberg foram agraciados com o Pr‹mio Nobel de Fˆsica de 1979. Carlo Rubbia e Simon van der Meer receberam o de 1984. Depois que Gerardus 't Hooft mostrou que as intera•‚es eletrofracas de Glashow-Salam-Weinberg eram matem‰ticamente consistentes, a teoria eletrofraca tornou-se um modelo para as futuras tentativas de unificar for•as. Em 1974, Sheldon Glashow e Howard Georgi propuseram unificar as intera•‚es forte e eletrofraca em uma Grande Teoria Unificada, que teria efeitos observ‰veis, mas apenas para energias muito maiores do que 100GeV. Desde entƒo tem havido diversas propostas de Grandes Teorias Unificadas, mas nenhuma ‡ atualmente universalmente aceita. Um dos maiores obst‰culos para testes experimentais de tais teorias ‡ a escala de energia envolvida, que ‡ muito acima dos atuais aceleradores de partˆculas. Grandes Teorias Unificadas fazem previs‚es para a for•a relativa das for•as forte, fraca e eletromagn‡tica, e em 1991 o LEP determinou que teorias supersimetricas tem a rela•ƒo correta de pares para uma Grande Teoria Unificada como proposta por Georgi-Glashow. Muitas Grandes Teorias Unificadas predizem que o pr€ton pode decair, e se isto puder ser visto, detalhes do produto do decaimento poderiam fornecer dicas sobre outros aspectos da Grande Teoria Unificada. At‡ o presente nƒo se sabe se o pr€ton pode decair mas j‰ foi determinado experimentalmente um limite inferior de anos para a sua exist‹ncia.

O estado atual das teorias do campo unificado A Gravidade ainda nƒo foi incluˆda com sucesso em uma teoria de tudo. Tentativas de combinar o graviton com as intera•‚es forte e eletrofraca levam a dificuldades fundamentais (a teoria resultante nƒo ‡ renormaliz‰vel). Os fˆsicos te€ricos ainda nƒo formularam uma teoria consistente que combine a relatividade geral com a mec…nica qu…ntica. A incompatibilidade entre as duas teorias permanece um problema de primeira ordem no campo da fˆsica. Alguns fˆsicos te€ricos atualmente acreditam que uma teoria qu…ntica da relatividade geral talvez necessite de outros referenciais teoricos al‡m da teoria de campos, tais como Teoria das cordas ou Geometria qu…ntica. Uma promissora teoria de cordas ‡ a da corda heter€tica, que consegue ligar a gravidade e as outras tr‹s for•as de forma aparentemente firme. Outras teorias de cordas nƒo unificam as tr‹s for•as com a gravidade de forma tƒo apropriada. A geometria qu…ntica, aparentemente, nƒo liga as for•as eletrofraca e forte „ gravitacional, e se assim for, falhar‰ como uma teoria do campo unificado.

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Fontes e Editores da P‡gina Introdu€•o ‚ mecƒnica quƒntica Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=19753702 http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=19753702 Contribuidores: Contribuidores: AndreHahn, Bruno Roso, Helder.wiki, Mschlindwein, Rjclaudio, 2 edi•‚es an€nimas Antiga teoria quƒntica Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21221548 http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21221548 Contribuidores: Contribuidores: AndreHahn, Danilo.mac, Fabiano Tatsch, Mschlindwein Mecƒnica quƒntica Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22767811 http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22767811 Contribuidores: Contribuidores: Acto, Adailton, Alberto Fabiano, Alessandro70, Andre01e2, Andrelz, Angeloleithold, Arthemius x, Avancorafael, Beca, Bisbis, Blacks, Bon‰s, Braswiki, CSTAR, Cdang, Ciro, Cursocf, Davialexsandro, Dbolgheroni, E2m, EDULAU, EuTuga, Fabiolucas, Faustino.F, Fernando S. 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Bessa, XNoRiO, Yanguas, 50 edi•‚es an€nimas Postulados da mecƒnica quƒntica Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=19950119 http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=19950119 Contribuidores: Contribuidores: Burmeister, Danilo.mac, Jaciara Santos, Jack Bauer00, Natashas, Rjclaudio, Stegop, Yanguas, 4 edi•‚es an€nimas Albert Einstein Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22612108 http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22612108 Contribuidores: Contribuidores: 200-180-185-219.paemt7003.dsl.brasiltelecom.net.br, 333, 555, ABergmann, Adailton, Aderbal Neto, Adriel, Agil, Alchimista, Alessa77, Alexanderps, Alexandrolima, AltCtrlDel, Anarchos, Anderdavid, Andreas Herzog, Andreia9 3, Andrelz, Andrew McCarthy, Antonioroberto25, Aojodragon, Arges, Arley, Augusto Reynaldo Caetano Shereiber, Aur‡ola, Australopithecus, Badger M., Benio13, Beria, Bisbis, Blacks, Blamed, Bon‰s, Braswiki, Brunosl, Burmeister, CPMCayo, Campani, Carla Cristiana Carvalho, Carlos28, Chico, Choeng, ChristianH, Cinefago, Clara C., CommonsDelinker, Conhecer, Contraponto, Crazy Louco, Daimore, Danilo.mac, Danilodn, Dantadd, Danymiudo, Darwinius, Dcolli, Delemon, Der kenner, Diegomasutti, Disnei, Dpc01, D‡di's, E2m, Eamaral, Eduardoferreira, Elvis ricardo de souza, Epinheiro, Eric Duff, Espardo, EuTuga, Eug‹nioxx7, FML, Fabsouza1, Fbat, Felipe Menegaz, Felipe P, Fernando S. 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Equa€•o de Pauli Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20619470 http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=20619470 Contribuidores: Contribuidores: Gean, Jonas AGX Equa€•o de SchrŽdinger Fonte: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21993303 http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21993303 Contribuidores: Contribuidores: 333, Acscosta, E2mb0t, Everton137, GOE, Hdante, Lechatjaune, LeonardoRob0t, Leonardomio, Mschlindwein, Nuno Tavares, Rafael.afonso, Thom, 11 edi•‚es an€nimas Estado quƒntico Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22472994 Contribuidores: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22472994 Contribuidores: Jutta234, Leonardomio, Lijealso, Mschlindwein, PatrˆciaR, Retornaire, 1 edi•‚es an€nimas Experimento de Davisson Germer Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22079755 Contribuidores: Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22079755 Contribuidores: Giro720 ‚

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Fontes e Editores da P‰gina L…gica quƒntica Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=14376591 Contribuidores: Alessandro70, CSTAR Mecƒnica matricial Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21458405 Contribuidores: Gean, Ricardo Zenn, 1 edi•‚es an€nimas Princ†pio da incerteza de Heisenberg Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22689027 Contribuidores: Albmont, Anderson Andrade, Andrelz, BirdEgo, C‡sar Brandƒo, David Moseler, E2mb0t, EDULAU, Eric Duff, EuTuga, Juntas, Leonardomio, Lijealso, Ludwiglessa, MetalFenix, Mrcl, Mschlindwein, OS2Warp, Pietro Roveri, Pilha, Uderz, 35 e di•‚es an€nimas Princ†pio de exclus•o de Pauli Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22272186 Contribuidores: Alchimista, CostaJES, Danilo.mac, E2m, EDULAU, Jorge S‰ Martins, Joƒo Dias UltraJohnny, Lemarlou, Leonardomio, Marcos Elias de Oliveira JŒnior, Mdob, Mschlindwein, OS2Warp, Quiumen, Villarinho, 13 edi•‚es an€nimas Representa€•o de Dirac Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21482590 Contribuidores: Ricardo Ferreira de Oliveira, Thom Representa€•o de Heisenberg Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21763438 Contribuidores: Thom, 1 edi•‚es an€nimas Representa€•o de SchrŽdinger Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21273085 Contribuidores: Thom Sobreposi€•o quƒntica Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22131607 Contribuidores: Burmeister, E=mc, Incnis Mrsi, Lijealso, NiginiOliveira, OS2Warp, 3 edi•‚es an€nimas Teorema de Ehrenfest Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22461926 Contribuidores: Fabiano Tatsch, Thom Teoria das vari‡veis ocultas Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22637777 Contribuidores: Alessandro70, Cesariouspin, Leonardomio, Reynaldo, Santana-freitas, 7 edi•‚es an€nimas Teoria de tudo Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=22280358 Contribuidores: ChristianH, Danilo.mac, E2m, Gaf.arq, Gandalf b, Hyju, Less, Odon, Quiumen, Rafael.afonso, Rei-artur, Reynaldo, Rodrigo72lopes, Villarinho, Vmadeira, 19 edi•‚es an€nimas Teoria do campo unificado Fonte: http://pt.wikipedia.org/w/index.php?oldid=21439100 Contribuidores: 999, Alchimista, Angeloleithold, Cesariouspin, Danilo.mac, E2m, Giro720, Mschlindwein, Prof.Maque, 5 edi•‚es an€nimas

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