1 RESUMO 7 TEMA: DERIVADAS: BUSCANDO SIGNIFICADOS PARA ESTE CONCEITO. 1)TANGENTE, VELOCIDADES E OUTRAS TAXAS DE VARIAÇÃO.
A)TANGENTES. Seja a curva C que tem equação y = f(x). Desejamos encontrar a reta tangente a C em um ponto P(a,f(a)). Para tal consideramos um ponto vizinho Q(x,f(x)), onde , e calculamos a inclinação da reta secante PQ dado por . Observe a figura:
Fazendo o ponto Q aproximar-se de P ao longo da curva C, o que equivale a obrigar o x a tender a a, tem-se que o número tende a um número m que é a inclinação da reta tangente t , se essa reta tangente t existir. Em outras palavras estamos definindo a reta tangente t a curva C no ponto P como sendo aquela que é a posição limite da reta secante PQ quando x tende a Q. Dessa forma podemos podemos definir a reta tangente t da seguinte maneira:
A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P(a, f(a)) é a reta que passa por P que tem inclinação
, desde que esse limite exista.
Exemplo 1: Encontre uma equação da reta tangente à parábola R: y = 2x – 1.
no ponto P(1,1).
Existe outra equação para expressarmos a inclinação da reta tangente t como um limite de inclinações de retas secantes que pode ser mais ma is fácil de trabalhar em algumas al gumas situações. Então a inclinação da reta secante PQ é dada por: por: portanto x = a + h. Então
Considere h = x –
2 Observe a figura:
Quando x tende a a, tem-se que h tende a 0, assim a expressão para a inclinação da reta tangente t pode ser escrita por:
, desde que esse limite exista.
Exemplo 2: Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole no ponto (3, 1). R: x + 3y – 6 = 0. Exemplo 3: Encontre as inclinações das retas tangentes ao gráfico da função (4, 2) e (9,3). R: m = 1/2; m = 1/4; m = 1/6.
nos pontos (1,1),
Observe as figuras abaixo que representam as situações dos exemplos 2 e 3.
B)VELOCIDADES Suponha um objeto movendo-se sobre uma linha reta de acordo com a equação s = f(t), onde s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função que descreve o movimento é chamada de função posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a + h o deslocamento ( variação da posição) será de f(a + h) – f(a). A velocidade média neste intervalo é Velocidade média =
Ou seja, a equação que expressa a velocidade média é a mesma que expressa a inclinação da reta secante PQ. Podemos então concluir que ao representarmos a função horária s = s(t) por uma curva C, a velocidade média no intervalo de tempo entre t = a e t =a + h é o valor da inclinação da reta secante PQ.
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Considere agora que a velocidade média seja calculada em intervalos de tempo [a, a+h] cada vez menores, o que equivale a dizer que estamos fazendo h tender a 0. Então temos que a velocidade v(a) no instante t = a é o limite das velocidades médias quando h tende a zero, isto é, para intervalos de tempo próximos de 0. Assim temos que,
Comparando este resultado com aquele obtido no item a temos que a velocidade no instante t=a é igual a inclinação da reta t tangente a curva C no ponto P(a, f(a)). Exemplo: Suponha que uma bola foi deixada cair do posto de observação da torre, 450 m acima do solo. a)Qual a velocidade da bola após 5 segundos? R: 49 m/s b)Com qual velocidade a bola chega ao solo? R: 94 m/s Use a equação horária do movimento como sendo
para t segundos de queda.
C) OUTRAS TAXAS DE VARIAÇÃO.
Suponha que y é uma quantidade que depende de outra quantidade x numa relação funcional, isto é, y é uma função de x e podemos escrever que y = f(x). Se x variar de para então temos que a variação de x ( também chamada de incremento de x) é dada por , enquanto a variação correspondente de y é dada por . Chamamos de taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [ ao quociente de diferenças:
Esse quociente pode ser interpretado como sendo a inclinação da reta secante PQ da figura:
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De modo análogo ao que adotamos na interpretação da velocidade instantânea, podemos considerar a taxa média de variação em intervalos cada vez menores fazendo tender a , isto é, fazendo tender a 0. O limite dessas taxas médias de variação quando tende a 0 é denominado taxa . Essa taxa de variação instantânea pode ser instantânea de variação de y em relação a x em interpretada como sendo a inclinação da reta tangente t à curva y = f(x) no ponto P( . Assim podemos escrever que :
Exemplo 1: O fator limitante na resistência atlética é o desempenho cardíaco, isto é, o volume do sangue que o coração pode bombear por unidade de tempo durante uma competição atlética. A figura abaixo mostra um gráfico de teste de esforço de desempenho cardíaco V em litros(L) de sangue versus a quantidade de trabalho que está sendo feito W em quilogramas-metro (kg.m) durante um minuto de levantamento de peso. O gráfico ilustra o conhecido fato médico de que o desempenho cardíaco aumenta com a quantidade de trabalho , mas depois de atingir um valor de pico, começa a cair.
a)Use a reta que aparece na figura abaixo para estimar a taxa média de desempenho cardíaco em relação ao trabalho a ser executado quando este aumenta de 300 para 1.200 kg.m.
b)Use a reta da tangente representada na figura abaixo para estimar a taxa de variação instantânea do desempenho cardíaco em relação ao trabalho que está sendo executado no ponto onde ele é de 300 kg.m.
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R: a)0,0067 L/kg.m b)0,02 L/kg.m Observe que a velocidade de uma partícula é a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo. Existem outras taxas de variação utilizadas na física tais como a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo que é denominada de potência. Na química existe o interesse pela taxa de variação da concentração de um reagente em relação ao tempo chamada de taxa de reação, enquanto que na siderurgia o interesse é pela taxa de variação do custo de produção de x toneladas de aço por dia em relação a x denominada de custo marginal. Um biólogo pode se interessar pela taxa de variação populacional de uma colônia de bactéria no tempo. Portanto a ideia de taxa de variação tem aplicações importantes tanto nas ciências naturais, como nas ciências exatas ou ciências sociais. Em todos esses casos essas taxas podem ser interpretadas como inclinações de retas tangentes o que faz com que a solução do problema da reta tangente passe a ter um significado mais prático. Na verdade quando resolvemos um problema de reta tangente não estamos apenas solucionando uma questão geométrica, mas sim resolvendo uma grande variedade de problemas envolvendo taxas de variação. Exemplo 2: Foram registradas as leituras de temperatura T ( em graus Celsius) a cada hora, começando á meia noite, em um dia de abril na cidade de Whitefish, em Montanta, nos Estados Unidos. O tempo x foi medido em horas a partir da meia-noite. Os dados estão na tabela abaixo.
a)Encontre a taxa média de variação da temperatura em relação ao tempo. (i)Do meio dia até as 15 horas ii) do meio dia até as 14 horas iii) do meio dia até as 13 horas.
b)Observe como se estima a taxa de variação instantânea ao meio dia. Para tal utilizaremos o gráfico que representa a situação descrita.
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Nesse caso poderíamos estimar os pontos A e B como sendo A(8,7; 8) e o ponto B(14; 18,2). Então teríamos:
Agora use o mesmo gráfico do item b e estime a taxa de variação instantânea às 21 horas.
ii)1,5 iii)1,7
Respostas: a) i) 1,3
e 21h: - 0,7
b) 12 h : 1,9
D)EXERCÍCIOS 1)a) Encontre a inclinação da reta tangente à parábola B) Encontre a equação da reta tangente do item a.
no ponto (-3, 3).
2)Encontre a equação da reta tangente a à curva no ponto especificado. a) em (1, 1)
b) em (-2, 1/4) c) em (-2,-7)
3)a)Encontre a inclinação da reta tangente à curva
no ponto onde x = a.
b) Encontre as inclinações das retas cujas coordenadas x ( abscissas) dos pontos de tangência são: (i) -1 (ii) 0 (iii) 1 4)Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 40 pés/s, sua altura (em pés) depois de t segundos é dada por . Encontre a velocidade quando t =2.
5)O custo( em dólares) de produzir x unidades de uma certa mercadoria é C(x)= . a)Encontre a taxa média da variação de C em relação a x quando os níveis de produção estiverem variando (i) de x = 100 a x = 105. ii) de x = 100 a x = 101 b) Encontre a taxa instantânea de variação de C em relação a x quando x=100. ( Isso é chamado de custo marginal.) 6)A figura abaixo mostra o gráfico da altura h em centímetros versus a idade t em anos de um indivíduo, desde o nascimento até os 20 anos. a)Quando a taxa de crescimento é máxima? b)Estime a taxa de crescimento aos 5 anos. c)(Aproximadamente em que idade, entre os 10 e 20 anos, a taxa de crescimento é máxima? Estime a taxa de crescimento nessa idade.
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Respostas dos exercícios. 1)a) m = -4 2)a)
b) y = -4x – 9 b)
3) a)
b) i) -1/2
4) -24 pés/s. 5)a) i) $20,25 /unidade b)$ 20/unidade.
c) y = 10x + 13
ii)-2/9 iii) -1/8
ii)$20,05/unidade
6 ) a)primeiro ano. b) 6cm/ano.
c)10 cm/ano cerca de 14 anos.
2)DERIVADAS. A)Derivada de uma função f em um número a. A.1) Definição.
Vimos que a inclinação da reta tangente à curva com equação y = f(x) no ponto onde x = a é dado por :
, desde que esse limite exista.
Vimos também que a velocidade de um objeto com uma função posição s = f(t) no instante t = a é dado por:
O que podemos concluir do estudo das tangentes, velocidades e taxas de variação é que o limite da forma:
Está relacionado ao cálculo de uma taxa de variação no contexto das ciências ou engenharia, tais como a taxa de reação em química ou o custo marginal em economia. Uma vez que esse tipo de limite é amplamente utilizado, ele recebe um nome e uma notação especial. DEFINIÇÃO : A derivada de uma função f em um número a, denotado por
, é
8 se o limite existe. A.2) Interpretação geométrica da derivada como a inclinação da reta tangente.
Se na expressão , escrevemos x = a + h tem-se h = x – a . Portanto h tende a zero se e somente se x se aproximar de a. Então uma forma equivalente de expressarmos a derivada de uma função f em um ponto a é a mesma expressão que calcula a inclinação de uma reta tangente t a uma curva no ponto de tangência onde x = a:
se esse limite existir .
De fato podemos interpretar a derivada de uma função f em um ponto x = a como sendo a inclinação da reta t tangente ao gráfico de f no ponto de tangência P(a, f(a)). Assim
Exemplo 1: Encontre a derivada em relação a x de em x = a. Use esse resultado para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de em x = 2. ou
e y = 4x - 3.
R: f’(a)=2a
A.3) Interpretação de uma derivada como uma taxa de variação.
Definimos anteriormente que a taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação a x em x= como o limite das taxas médias de variação sobre intervalos cada vez menores. Se o intervalo for [ , ], então a variação em x é
e
Então a taxa de variação instantânea é dada por
Tal limite define a derivada de uma função f em um ponto onde x = a. Assim podemos afirmar que A derivada f’(a) é a taxa de variação instantânea de y = f(x) em relação á x quando x = a. Em particular se s = f(t) for a função posição de uma partícula que se move ao longo de uma reta, então, f’(a) será a taxa de variação do deslocamento s em relação ao tempo t. Em outras palavras , f’(a) é a
9 velocidade da partícula no instante t = a . Definimos a rapidez da partícula como sendo o valor absoluto da velocidade, isto é .
Exemplo 1: A posição de uma partícula é dada pela equação do movimento
, onde t é
medido em segundos e s em metros. Encontre a velocidade e a rapidez após 2 segundos. R: A velocidade é -1/9 m/s e a rapidez é 1/9 m/s. B)Função Derivada. Vimos que a derivada de uma função f em um número fixo a é dada por :
, quando esse limite existe. Podemos pensar em f’ como uma funçã o cuja entrada é a e a saída é o número f’(a) que representa ou a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de tangência onde x = a ou a taxa de variação instantânea de y em relação a x em x = a. Na verdade mudamos o nosso ponto de vista para uma enfoque
funcional ou seja vamos variar o número a e substituí-lo por uma variável x, obtendo a definição a seguir:
A função f’ definida pela fórmula
é denominada função derivada de f em relação a x. O domínio de f’ consiste em todos os x do domínio de f para os quais existe esse limite.
.
Exemplo 1: a) Encontre a derivada em relação a x de
b)Abaixo apresentamos os gráficos de f e f’ em um mesmo sistema de eixos cartesianos. Discuta
a relação entre ambos.
Exemplo 2: a) Encontre a derivada em relação a x de f(x)= . b)Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =
em x = 9.
Respostas dos exemplos: Exemplo 1: a)f’(x)= b) Como f’ é interpretada como a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto x, a derivada f’(x) é positiva onde a reta tangente a y = f(x) tem inclinação positiva, é negativa onde a inclinação é
negativa e se anula onde a reta tangente é horizontal.
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Exemplo 2: a)
b)m=1/6
C)EXERCÍCIOS 1)
R: 2; 0; -2; -1
2)
R: b)3 c)3 3)Dado que a reta tangente a y = f(x) no ponto (1,2) passa pelo ponto (-1,- 1), encontre f’(1). R: 3/2 4)Dado f(3)=-1 e f’(3)=5, encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto onde x = 3. R: y = 5x – 16. 5) Para a função f fornecida encontre f’(x) e depois encontre a reta tangente a y = f(x) em x = a. a) a=1 R: f’(x)=4x; y = 4x - 2 b) a=0 ;y=0 R: f’(x)=
; y =1/6x + 5/3 c) R; 6)Determine a função derivada de f.
R: R: 7)Se , encontre f’(2) e use -o para achar uma equação da reta tangente à parábola no ponto (2,2). R: f’(2)=7; y = 7x - 12 a) b)
8)Cada limite representa a derivada de alguma função em algum número a. Estabeleça f e a em cada caso.
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a)
R: a) f(x)=
e a = 1.
b) B)
e a = 1.
9) Uma partícula move-se ao longo de uma reta com equação de movimento s = f(t), onde s é medido em metros e t em segundos.Encontre a velocidade quando t = 2, nos seguintes casos: a) f (t ) t 2 6t 5 b) f (t ) 2t 3 t 1 R: a) -2 m/s
b)23 m/s
10)O custo de produção de x onças (1libra = 12 onças) de ouro provenientes de uma mina é C = f(x) dólares. a) Qual o significado da derivada f ( x) ? Quais são suas unidades? b) O que significa f (800) 17 ? 11)Na figura abaixo está representado o gráfico da função horária de um movimento (a reta mostrada é tangente). Determine: a) Os instantes em que a velocidade é nula. b) A velocidade para t = 1s. c) Os maiores intervalos abertos nos quais a velocidade escalar é negativa.
R: a) t = 3s e t = 7s b) -10 m/s c)
e 7< t < 8
12) Sob hipóteses apropriadas, a função posição de um objeto largado do alto do Empire State Building, de uma altura de 1250 pé acima do nível da rua, pode ser modelada pela função posição , onde f(t) é medido em pés acima do nível da rua e t, em segundos depois de ser largado o objeto.
a) Encontre a função velocidade do objeto. R: v(t)=-32t b) Encontre o intervalo de tempo ao longo do qual vale a função velocidade. R: é válida até o instante
c) Qual é a velocidade do objeto ao atingir o nível da rua. R; -282,8 pés/s.
