Resumen de Álgebra. Matemáticas II.
ÁLGEBRA 1.- RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. MÉTODO DE GAUSS El método Gauss consiste en convertir la matriz asociada a un sistema de ecuaciones en otra matriz equivalente triangular superior, “haciendo ceros” debajo de la diagonal principal. a11 a12 a13 b1 α⋅F ±β⋅F a b c g i j → ... 0 d e h a21 a22 a23 b2 a31 a32 a33 b3 0 0 f i Para ello se utilizan tres tipos de transformaciones elementales: Intercambiar filas. Sumar y/o restar filas. Multiplicar filas por un número para luego sumarlas o restarlas. Es importante seguir un orden para “no estropear los ceros ya conseguidos”. Por ejemplo, en un primer paso se puede hacer ceros los términos a21 y a31, y en el siguiente, el término a32. Una vez conseguida la matriz triangular superior, se transforma en ecuación la tercera fila para calcular z; después se sustituye este valor en la ecuación correspondiente a la segunda fila averiguando el valor de y ; y finalmente, se sustituyen ambos valores en la ecuación asociada a la primera fila para obtener x. Con el método de Gauss también se pueden discutir (clasificar) sistemas de ecuaciones, estudiar el rango de una matriz o calcular su inversa (método de Gauss-Jordan); pero, en general, resulta más cómodo utilizar determinantes. Método de Gauss-Jordan.- Consiste en considerar la matriz identidad, I, adosada a la derecha de la matriz A y, mediante transformaciones elementales, conseguir que la matriz identidad quede situada a la izquierda, obteniendo así la matriz inversa adosada a su derecha: o o o
(A I)
Transformaciones elementales −−−−−−−−−−−−−− →
(I A 1 ) −
2.- RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Normalmente se trata de resolver un problema de enunciado con tres incógnitas. Debemos definirlas correctamente, plantear un sistema de tres ecuaciones y resolverlo por el método de Gauss o aplicando la regla de Cramer. Finalmente se interpreta la solución obtenida. En principio no procede aplicar el T ma de RouchéFröbenius porque se supone que la solución es única (compatible determinado). Otras veces debemos plantear ecuaciones que dependen de algún parámetro; en estos casos sí es preciso estudiar cuándo tienen solución.
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3.- MATRICES QUE CONMUTAN El ejercicio suele consistir en calcular uno o más parámetros para que el producto de dos matrices A y B sea conmutativo. Para resolverlo, calculamos las matrices A ⋅ B y B ⋅ A , e imponemos como condición que ambas sean iguales: A ⋅ B = B ⋅ A . Igualando término a término, normalmente generaremos un sistema de ecuaciones, y resolviéndolo, conseguiremos la solución.
4.- GRANDES POTENCIAS DE UNA MATRIZ Dada una matriz cualquiera, A, nos pueden pedir calcular: Una gran potencia de esa matriz, por ejemplo, A124 . Su n-ésima potencia, es decir, An. En ambas situaciones debemos ir calculando las sucesivas potencias de A: A 2, A3,... En el primer caso llegará un momento en que volvamos a obtener A o la matriz identidad, I, con lo que, aplicando la regla de la división y las propiedades de las potencias, resulta sencillo decidir cuál es la matriz A 124. En el segundo caso debemos analizar como van evolucionando los términos de las sucesivas matrices para dejarlos en función de n, como término general de una sucesión. o o
5.- USO DE MATRICES PARA PROBLEMAS DE ENUNCIADO Se trata de utilizar matrices como forma de representación de situaciones de contexto real, y hacer las operaciones adecuadas entre ellas (suma, transposición, producto,...). Para hacer estas operaciones es imprescindible tener en cuenta las dimensiones de cada matriz y los conceptos que representan cada una de esas dimensiones.
6.- CÁLCULO DE DETERMINANTES Determinantes de orden tres (regla de Sarrus): a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a21 ⋅ a32 ⋅ a13 − a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a12 ⋅ a21 ⋅ a33 − a23 ⋅ a32 ⋅ a11 a31 a32 a33
o
Determinantes de orden superior a tres. Conviene “hacer ceros” previamente, aplicando la siguiente propiedad de los determinantes: Si a una fila (o columna) le sumamos el producto de una paralela por un número, el determinante no varía . Después se desarrolla por una fila o columna. Por ejemplo: a11 … a1n ⋮ ⋱ ⋮ = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + ... + a1n ⋅ A1n an1 ⋯ ann o
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7.- RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) linealmente independientes. Coincide con el máximo orden de sus menores no nulos. Para calcularlo se puede comenzar detectando un menor de orden dos no nulo e ir ampliándolo a órdenes mayores hasta decidir el rango. También coincide con el número de filas (o columnas) distintas de cero tras aplicar el método de Gauss. Es un ejercicio típico estudiar el rango de una matriz dependiendo de los diferentes valores que tome un parámetro.
8.- DISCUSIÓN DE SISTEMAS Se trata de discutir (clasificar) y/o resolver un sistema de ecuaciones lineales dependiendo de los valores que tome un parámetro. Se procede de la siguiente forma: 1.- Se toma la matriz (A|B) formada por la matriz de coeficientes A y la matriz de términos independientes B. Se estudia el rango de la matriz A en los diferentes casos y se compara con el rango de la matriz AB. 2.- Se aplica el T ma de Rouché-Fröbenius (comparación de rangos): Si rango (A) = rango (AB) = nº de incógnitas ⇒ SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO. (Solución única: los planos se cortan en un punto). Si rango (A) = rango (AB) < nº de incógnitas ⇒ SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO. (Infinitas soluciones: los planos cortan en una recta o coinciden). Si rango (A) ≠ rango (AB) ⇒ SISTEMA INCOMPATIBLE. (No tiene solución, los planos no tienen ningún punto en común). o
o
o
Si el sistema es homogéneo (todas las ecuaciones están igualadas a cero), no se utiliza la columna B, y se aplica: Si rango (A) = nº de incógnitas ⇒ SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO (Solución trivial: x = y = z = 0 ). Si rango (A) < nº de incógnitas ⇒ SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO (Infinitas soluciones). o
o
9.- REGLA DE CRAMER La solución de un sistema de ecuaciones compatible y determinado es: Ax A y Az ; y = ; z= ; x= A A A donde Ax es la matriz que resulta de sustituir en A la columna de coeficientes de x por la de términos independientes. Y, análogamente, A y y Az se obtienen sustituyendo en A la columna de los coeficientes de la incógnita correspondiente por la columna de términos independientes.
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Resumen de Álgebra. Matemáticas II. También se puede utilizar la regla de Cramer para resolver sistemas compatibles indeterminados de la siguiente forma: Sea AB, la matriz asociada al sistema de ecuaciones a11 a12 a 13 b1 AB = a21 a22 a23 b2 a 31 a32 a 33 b3 A
En este caso ran (A) = ran (AB) = 2 < nº de incógnitas = 3. Utilizamos un menor de a a orden dos distinto de cero, por ejemplo, 11 12 ≠ 0 ; entonces despreciamos la a21 a22 tercera fila (ecuación) pues no forma parte del menor; llamamos z = λ , y formamos la matriz asociada a un nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: a11 a12 b1 − a13 ⋅ λ a21 a22 b2 − a23 ⋅ λ A
que podremos resolver aplicando la regla de Cramer.
10.- CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Para que una matriz cuadrada, A, tenga inversa, A-1, es necesario que su determinante sea distinto de cero; en este caso se dice que A es regular y: A11 A21 A31 1 −1 A = ⋅ A12 A22 A32 con Aij = (−1)i+ j ⋅ αij A A A A 23 33 13 Traspuestade la matriz de adjuntos
11.- ECUACIONES MATRICIALES Consiste en resolver ecuaciones cuya incógnita es una matriz X. Para conseguirlo utilizamos la matriz inversa y tenemos en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo (se multiplican ambos miembros por la derecha o ambos miembros por la izquierda, según interese): 1. A · X = B ⇒ A-1 · A · X = A-1 · B ⇒ Id · X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B 2. X · A = B ⇒ X · A · A-1 = B · A-1 ⇒ X · Id = B · A-1 ⇒ X = B · A-1
12.- FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Cualquier sistema de ecuaciones lineales se puede expresar como ecuación matricial: a11 x + a12 y + a13z = b1 a11 a12 a13 x b1 a21 x + a22 y + a23z = b2 − − − − − − → a21 a22 a23 ⋅ y = b2 a x+a y+a z =b 32 33 3 31 a31 a32 a33 z b3 " A
" X
" B
y resolverse como tal, empleando la matriz inversa de A.
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Resumen de Álgebra. Matemáticas II. INFORMACIÓN DE LA UNIVERSIDAD:
Principales contenidos que se tendrán en cuenta en la elaboración de las Pruebas de Acceso a la Universidad para los estudiantes provenientes del Bachillerato LOE. Matemáticas II. Curso 2009-2010 De acuerdo con el Decreto 67/2008, de 19 de junio, por el que se establece el currículo del Bachillerato para la Comunidad de Madrid, publicado en el B.O.C.M. con fecha 27 de junio de 2008, para elaborar las Pruebas de Acceso a la Universidad se tendrán en cuenta los siguientes contenidos: ÁLGEBRA 1. Las matrices como herramientas para representar datos estructurados en tablas y grafos. Traspuesta de una matriz. Sima de matrices. Producto de un número real por una matriz. Producto de matrices. Potencias de una matriz cuadrada. Propiedades de las operaciones con matrices. (Se pretende que el estudiante sea capaz de realizar con corrección manipulaciones algebraicas con matrices, aunque no se exigirá la demostración de las propiedades ). 2. Determinantes. Definición y propiedades. Cálculo de determinantes de orden dos y tres, utilizando la regla de Sarrus. Propiedades elementales de los determinantes. Aplicación al desarrollo de determinantes de orden superior. (No se exigirá la demostración de las propiedades ). 3. Matrices inversas. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada de orden no superior a tres. Estudio de la inversa de una matriz dependiente de un parámetro. Ecuaciones matriciales. 4. Rango de una matriz. Estudio del rango de una matriz que depende como máximo de un parámetro. 5. Sistemas de ecuaciones lineales. Representación en forma matricial. Resolución de sistemas compatibles. Discusión de las soluciones de sistemas lineales dependientes de parámetros. Sistemas homogéneos. (Los sistemas lineales tendrán como máximo cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas y dependerán a lo sumo de un parámetro ). 6. Planteamiento y resolución de problemas cuya solución puede obtenerse a partir de un sistema lineal de, como máximo, tres ecuaciones con tres incógnitas.
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