Resumen de F´ısica Illbele Maximiliano 3 de noviembre de 2013
´Indice 1. Introducci´ on 1.1. ¿Qu´e es la f´ısica? . . . . . . . . . . . . . . 1.2. M´etodo Cient´ıfico . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Proceso de Medici´ on . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Resultado del proceso de Medici´on 1.4. Propagaci´ on de errores . . . . . . . . . . . 1.5. Error Relativo . . . . . . . . . . . . . . .
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2 2 2 2 2 3 3
2. Movimiento en una sola dimensi´ on 2.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Representaci´ on gr´ afica del movimiento 2.3. MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 3 4 4 4
3. Aceleraci´ on 3.1. Signo de la aceleraci´ on . . . . . . . . 3.1.1. Problemas de encuentro . . . 3.2. Ca´ıda libre . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Movimiento del fluido viscozo
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4 4 5 6 7
4. Movimiento en Dos Coordenadas 4.1. Repaso Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Tiro Oblicuo, disparo . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Movimiento Circular Uniforme . . . . . . . . . 4.3.1. Manejo de coordenadas polares (ρ, θ) . . 4.3.2. Manejo de coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) 4.3.3. Posici´ on angular . . . . . . . . . . . . . 4.4. Formulas movimiento circular . . . . . . . . . .
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8 8 9 10 11 11 11 12
5. Masa, Fuerza 5.1. Conservaci´ on del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Choque el´ astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Choque pl´ astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Definici´ on de centro de masa . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Segunda ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Tercera ley de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Principio de Superposici´on de fuerzas . . . . . . . . 5.5. Fuerzas externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Rozamiento Est´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. Rozamiento Din´ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Teorema de trabajo y energ´ıa o teorema de las fuerzas vivas 5.10. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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12 12 13 13 13 14 14 15 15 15 16 16 16 17
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1
5.10.1. P´endulo . . . . . . . . . . 5.10.2. Demostraci´ on del Trabajo 5.11. Trabajo para el resorte . . . . . . 5.12. Trabajo en ca´ıa libre . . . . . . . 5.13. Trabajo de las fuerzas de fricci´on
. . . en el . . . . . . . . .
. . . . . resorte . . . . . . . . . . . . . . . .
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6. Termodin´ amica
17 17 18 18 18 18
7. Calor: Q 7.1. Primera ley de la termodin´ amica . . . . . . . 7.2. Representaci´ on gr´ afica del estado del sistema 7.2.1. Boyle Mariot . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2. Gay lussac . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Gas ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Presi´ on y volumen en un sistema adiab´atico . 7.6. Experimento de Joule . . . . . . . . . . . . . 7.6.1. Ecuaci´ on T´ermica . . . . . . . . . . . 7.7. Ciclo de Karnot . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1. Eficiencia de una m´ aquina de Carnot . 7.8. Segunda Ley de la termodin´ amica . . . . . . 7.8.1. Enunciado de Kelvin . . . . . . . . . . 7.8.2. Enunciado de Calsius . . . . . . . . . 7.9. Entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9.1. Expresi´ on en funci´ on de T y V . . . . 7.9.2. Expresi´ on en funci´ on de T y P . . . . 7.9.3. Expresi´ on en funci´ on de V y P . . . .
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19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 22
8. Electricidad 8.1. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Campo el´ectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 23
1.
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Introducci´ on
1.1.
¿Qu´ e es la f´ısica?
La f´ısica, ciencia fundamental estudia los principios b´asicos del universo.
1.2.
M´ etodo Cient´ıfico
1.3.
Proceso de Medici´ on
1.3.1.
Resultado del proceso de Medici´ on
Como resultado delPproceso de medici´on defino una magnitud y doy un valor. Promedio = xp = nxi 2
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Varianza = Sx2 =
P (xi −xp )2 (n−1)
l = l + σx Observaci´ on: σ nunca puede ser menor que la apreciaci´oon del instrumento.
1.4.
Propagaci´ on de errores f (x1 , . . . , xn ) ⇒ df =
df df dx1 + . . . + dxn dx1 dxn
df df dx1 | + . . . + | dx dxn | Como son Ortogonales ⇒ |df | = | dx 1 n Producto: D = k ∗ mr ⇒ |σD | = k ∗ |σr |
Suma: D = d1 + d2 ⇒ |σD | = |σd1 | + |σd2 |
1.5.
Error Relativo
Definimos el error relativo asociada a una medici´on de una distancia D, como: El error porcentual es 100 * error relativo. Error en un producto: D = A ∗ B ⇒ |σD | = |BσA | + |AσB |
σD D
Error relativo en un producto: D =A∗B ⇒|
2.
σD σA σB |=| |+| | D A B
Movimiento en una sola dimensi´ on
2.1.
Concepto
Dada una posici´ on, tomada como un: ´ Angulo m´ as una distancia. Ejes cartesianas. Comenzaremos definiendo el Movimiento Rectil´ıneo sobre una dimensi´on, sin rotaci´on.
Desplazamiento: ∆x = posf inal − posinicial = x2 − x1 3
Velocidad media = rapidez =
∆x ∆t
∆x → = dx ∆t ∆t→0 dt
Recta tangente o velocidad instant´ anea Tomaremos la posici´ on en funci´ on del tiempo.
2.2.
Representaci´ on gr´ afica del movimiento
2.3.
MRU
Funci´ on lineal y movimiento: x(t) = v0 t + x0 La Velocidad Media es igual a la velocidad instant´anea. ∆x v0 (t2 − t1 ) = = v0 = v ∆t ∆t dx = v0 V = dt
2.4.
MRUV x(t) = 12 a0 t2 + v0 t + x0 Velocidad Media = V =
∆x ∆t
=
2 2 1 2 a0 (t2 −t1 )+v0 (t2 −t1 )
t2 −t1
= 12 a0 (t2 + t1 ) + v0
Velocidad Instant´ anea: V = a0 t + v0
3.
Aceleraci´ on Definimos la aceleraci´ on media como a =
∆V ∆t
a(t) =
3.1.
∆V ∆t
→
∆t→0
dv dt
Signo de la aceleraci´ on
Si velocidad y aceleraci´ on tienen el mismo signo, entonces el m´odulo de la velocidad a aumentando, en caso contrario el m´ odulo de la velocidad va disminuyendo. M´etricas: Posici´ on: x = [l] = m Velocidad: V =
[l] [t]
Acelraci´ on: a =
[l] [t2 ]
=
m s
=
m s2
4
1 2 2 ∆(V )
= a∆X (Vale ⇔ |a| = cte)
Tenemos que x = 21 at2 + v0 t + x0 y que V = v0 + at Luego tenemos que: V2 − V1 = a(t2 − t1 ) (x2 − x1 ) =
1 2 a(t − t21 ) + v0 (t2 − t1 ) 2 2
Elegimos: t2 = t1 = 0 ∆V 1 (∆V )2 + v0 a 2 2 a a ∆V v2 − v0 = + v0 a 2
⇒ x2 − x0 =
⇒ ∆x =
1 ∆V 1 v 2 + v0 a 2 2
1 ∆(V 2 ) = a∆x 2 Ejemplo: supongamos que un avi´ on va a aterrizar en un portaaviones con cierta aceleraci´on del frenado constante, la velocidad de 63 m/s, y que ∆t = 2s, tiempo en que frena el avi´on. Sea t = 0 cuando el avi´ on toca la pista. ⇒
∆v = 31,5 m/s2 ∆t Quiero averiguar la longitud m´ınima de la pista. a=
∆x = Observaciones: a = 3.1.1.
∆v 2
1 ∆(V 2 ) (0 − 632 ) = = 63m 2 a (0 − 63)
y sabemos que: ∆x = posf inal − posinicial
Problemas de encuentro
Ejemplo: La polic´ıa alcanza a un auto (Persecuci´on). Un auto pasa por un cartel a 45 m/s. Como excede el l´ımite de velocidad el polic´ıa comienza a perseguirlo acelerando constantemente justo en ese instante. En cu´ anto tiempo lo alcanzar´ a si la aceleraci´on de su moto es 3 m/s2 Sea x = 0 , la posici´ on del cartel. Sea t = 0 instante en que la polic´ıa arranca y el auto pasa por el cartel. x1 (t) = v0 t + x0 = 45m/s |{z} =0
xp (t) =
1 2 at + 2
v0 t |{z}
v0 =0⇒v0 t=0
+ x0 = 3m/s2 |{z} =0
⇒ x1 (te ) = xp (te ) ⇔ v0 te = 0=
1 2 at 2 e
1 2v0 2v 2 ate − v0 ⇒ te = ⇒ xe = 0 2 a a
5
3.2.
Ca´ıda libre
Tendremos un movimiento de ca´ıda libre cuanto tengamos una aceleraci´on en sentido vertical, constante. nor deja caer una pelota desde una altura h, queremos averiguar Ejemplo: supongamos que un se˜ cu´ anto tardar´ a en llegar al suelo. Quiero averiguar el tiempo de ca´ıda: tc . y(t) = − 21 gt2 + h s 1 2 2h y(tc ) = 0 ⇔ − gt + h = 0 ⇔ tc = 2 g Despejemos ahora la velocidad en el tiempo de ca´ıda. V (t) = gt s p 2h = − 2hg V (tc ) = −g g Supongamos ahora que la pelota primero es arrojada hacia arriba, despejemos cual es la altura m´ axima que alcanzar´ a.
Ahora tenemos que: y(t) = − 12 gt2 + v0 + h , V (t) = −gt + v0 Altura m´ axima: V (tm ) = 0 ⇔ tm =
v0 , tm =tiempo de m´aximo g
1 v2 v2 1 v02 y(tm ) = − g 02 + 0 + h = h + 2 g g 2 g ⇒ ∆yg = 12 V02 (Cu´ anto subi´ o) ∆x Si V = ∆t ⇒ ∆x = V0 ∆t Es decir que la velocidad por si misma no determina el movimiento, necesito el punto de origen (x0 ). Rt2 Por otra parte ∆V = V (t2 ) − V (t1 ) ⇒ a(s)ds t1
Zt ⇒ V (t) =
a(s)ds + v0 = f 0 (t) + v0
0
6
Zt V (s)ds = f (t) + v0 t = x − x0
∆x = 0
3.2.1.
Movimiento del fluido viscozo a = −γv =
dv dt
V (t) = ke−γt V (0) = v0 = k Zt X(t) =
v0 e−γs ds = −
v0 −γs t v0 e |0 = (1 − e−γt ) γ γ
0
SI lo arrojamos en sentido vertical la aceleraci´’on nos queda: a = −g − γb ⇒ a = 0 ⇔ v = − γg
7
4.
Movimiento en Dos Coordenadas
Tenemos que: h2 = a2 + b2 sen(α) =
a h
= cos(β)
sen(β) =
b h
= sen(α) Dado que α + β =
π 2
Figura 1: Trigonometr´ıa
Tenemos que: xp = r cos(α) yp = r sen(α) q r = x2p + yp2 tg(α) =
Figura 2: Trigonometr´ıa
4.1.
y x
Repaso Trigonometr´ıa
M´ oduto de A : (x, y) ⇒ |A| =
p
x2 + y 2
´ Angulo comprendido entre dos vectores cos(α) =
<~ a,~b> |a||b|
Suma de Vectores
Tenemos que: Cx = Ax + Bx C y = Ay + B y ~+B ~ =C ~ Figura 3: A
Definimos versores: ˆi = (0, 1) , ˆj = (1, 0) Entonces: A~x = Axˆi , A~y = Ay ˆj A la hora de hablar un movimiento en tres dimensiones, vamos a ver que es simplemente la suma de tres movimientos, cada uno con su componente. d~v dvx ˆ dvy ~ dvz ~ = i+ j+ k dt dt dt dt
8
∆~ r → ? ∆t ∆t→0
Donde ~r = xˆi + y~j + z~k ∆~r = (x0 − x)ˆi + (y 0 − y)~j + (z 0 − z)~k ∆y ~ ∆x ˆ ∆z ~ ∆~ r ∆t = ∆t i + ∆t j + ∆t k ~: ∆t → 0 Tenemos que la velocidad instant´anea nos da V dy ~ d~ r dx ˆ dz ~ dt = dt i + dt j + dt k Tenemos una superposici´on de tres movimientos de una dimensi´ on.
~+B ~ =C ~ Figura 4: A
~a = −gˆj ⇒ ay = −g y(t) = − 12 gt2 + v0 y + y0 |{z} =0
x(t) = v0x t + x0 |{z} =0
Figura 5: Tiro Oblicuo
4.2.
Tiro Oblicuo, disparo
En esta unidad, vamos a suponer que la fricci´on con el aire no influye en el disparo, y fijamos t = 0 el instante en que se hace el disparo. Sabemos que ∆~v = ~a∆t vy = −gt + v0 y vx = v0x t = vx0x Sustituyo x 2
v
y = − 21 g vx2 + v00yx x 0x Sabiendo que: v0x = v0 cos(α0 ) v0y = V0 sen(α0 ) 1 x2 1 x2 2 g + tg(α )x = − 1 + tg (α ) + tg(α0 )x y=− g 2 0 0 2 v0 cos2 (α0 ) 2 v02 v0 y aximo. g : tm tiempo al m´ 2 v2 y v0 yv0 y 1 v0 y Altura m´ axima: ym = − 2 g g2 + g = 21 0g 0y Coordenada x en la altura m´ axima: xm = v0 xv g h i 0 = − 12 g v2 cosxa2 (α0 ) + tg(α0 ) xa 0
v(y) = 0 ⇔ tm =
=
v02 cos(α0 ) sen(α0 ) g
0) = 21 v02 sen(2α g
Si xa = 0 Es el punto de disparo. F´ ormula de alcance: xa = 2
tg(α0 ) cos2 (α0 )v02 2 sen(α0 ) cos(α0 )v02 v 2 sen(2α0 ) = = 0 g g g
Veamos ahora que sucede si tengo un proyectil a una dustancua d y a un altura h quiero saber el ´ngulo inicial α0 y saber para que valores el sistema va a tener soluci´on es decir, cu´ales son los puntos a alcanzables fijado una distancia d. Si y = h ⇒x = d 2 h = − 12 g vd2 1 + (tg(α0 ))2 ) + d tg(α0 ) 0 r 2 2hv 2 d tg(α0 ) = gd2 ± V02 gd − gd20 − 1 2 v0 2 v 2 2hv 2 Tiene soluci´ on ⇔ gd0 − gd20 − 1 ≥ 0 9
h = −d2 2vg 2 + 0
h = 0 ⇒ d2 =
v02 2g v04 g2
Ejemplo: desde un aro de basquet cae una pelota que un joven quiere golpear arrojando una pelota de tennis, sabemos que el poste est´ a situado a una distancia D del joven y el aro est´a en una altura h. Decida c´ uando el joven le va a pegar.
yb = − 12 t2 g + h xb = d ytenis = − 12 gt2 + v0 yt xtenis = v0x t xb (te ) = xt (te ) ⇒ d = v0x te ⇒ v0x = tde yb (te ) = yt (te ) ⇒ − 21 yt2e + h = − 12 gt2e + v0y te ⇒ v0y = the v0y h te h v0x = tg(α0 ) = te d = d Es decir que si le quiere pegar debe tomar como ´angulo la tangente, es decir apuntarle a la pelota.
4.3.
Movimiento Circular Uniforme
~ | = cte Por hip´ otesis sabemos que |V La unica aceleraci´ on que tenemos es la aceleraci´on normal.
10
Por semejanza de ∆0 s tenemos que: ~| ~ |∆V |∆~r| ~ | = |∆V | |∆~r| = ⇒ |∆V ~| |~r| |~r| |V ~an = n ˆ V dα r dα dt = −ˆ dt Divido por ∆t ~| |∆V |~v | |∆~t| = l´ım ∆t→0 ∆t ∆t→0 |~ r| |∆t|
|a| = l´ım 2
Luego |~ α| = vr = vω : ω = vr llamada velocidad angular. ~ | = cte, tenemos que ω = ∆θ = 2π Periodo. Al suponer |V ∆t t 1 ω ν = T = 2π Frecuencia, cantidad de vueltas que se da en la unidad de tiempo. 4.3.1.
Manejo de coordenadas polares (ρ, θ) p ρ = x2 + y 2 y tg(θ) = xy x = ρ cos(θ) y = ρ sen(θ)
4.3.2.
Manejo de coordenadas esf´ ericas (r, θ, φ)
z = r cos(θ) x = r0 cos(φ) x = r0 sen(φ) p r 0 = x2 + y 2 p r = x2 + y 2 + z 2 φ = arc tg( xy ) θ = arc cos( zr ) 4.3.3.
Posici´ on angular
Posici´ on angular : θ(t) = ωt + θ0 . x = R cos(θ)(t) → Vx = −Rω sen(θ(t)) y = R sen(θ)(t) → Vy = Rω cos(θ(t)) Supongamos ahora que la velocidad no es constante. Sigue valiendo que a~n = nv dα rv dα dt = −ˆ dt ˆ ˆ ~r = iR cos(θ) + jR sen(θ) v| at = d|~ dt 2 |a~n | = |vω| = vr ~ v d|ω| 1 dV |ω| = | | ⇒ = : γ = aceleraci´on angular r dt R dt |{z} |γ|
|γ| = aRt d sen(θ) = dt
cos(θ)
dθ dt |{z} =ω
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~r = ˆiR cos(θ) + ˆjR sen(θ) ~v = −ˆiRω sen(θ) + ˆjRω cos(θ) = Rω(−ˆi sen(θ) + ˆj cos(θ) ~a = −ˆiRω 2 cos(θ) − ˆjRω 2 sen(θ) − ˆiRγ sen(θ) + ˆjRγ cos(θ) Como ω = cte desaparece. ~a = −Rω 2 (ˆi cos(θ) + ˆj sen(θ)) + Rγ[−ˆi sen(θ) + ˆj cos(θ)] ω = dθ t γ = dω dt
4.4.
Formulas movimiento circular an =
v2 r
v=
2πr 2 T
ω=
2π T
Frecuencia: ν =
1 T
rad rad ω = x ∗ rpm = x ∗ 2π min = x ∗ 2π 60seg
5.
Masa, Fuerza
ma mb
=
|V~B | |V~a |
Masa inercial: qu´e tan f´ acil es alterar el movimiento de un cuerpo. La masa es aditiva e inalterable. Es decir:
5.1.
ma +mc mb
=
|V~B | ~ | |Va+c
Conservaci´ on del movimiento
Ma Va + mb Vb = 0 | {z } | {z } Pa
Pb
Si no tengo ninguna perturbaci´ on externa se da que: Pa + Pb = Pa0 + Pb0 Ejemplo: tenemos un carrito B de masa 5g, y sabemos que en 0,2s se frena por completo con otra masa C de 10kg a una distante l de 50m, cu´al es la velocidad que tiene el cuerpo C?
mc = 10kg ∆t = 0,2s mb = 5g 0 = mc vc + mb vb mb l Vc = m = 5 ∗ 10−4 ∗ 250m/s = −125m/s c ∆t
12
5.1.1.
Choque el´ astico
El choque el´ astico es tal que Vr = −Vr0 luego del choque. Vr = Vb − Va Vr0 = Vb0 − Va0 (1) ma Va + mb Vb = ma Va0 + mb vb0 (2) −mb Va + mb Vb = mb Va0 − mb vb0 (1) + (2) ⇒ (ma − mb )va = 2mb vb = (ma + mb )va0 b )va +2mb vb ⇒ Va0 = (ma −m (ma +mb b +2ma va ⇒ Vb0 = (mb −mmaa)V +mb Si Va = 0 Tenemos que:
Va0 =
2mb vb (ma +mb
Va0 =
(mb −ma )vb (ma +mb
Si las masas son iguales, cuando se golpean uno queda quieto y el otro cuerpo sale con la velocidad del que se mov´ıa. 5.1.2.
Choque pl´ astico
El choque pl´ astico es en el que los dos cuerpos quedan pegados luego del impacto. vr0 = 0 va0 = vb0 = v 0 +mb vb (ma + mb )v 0 = ma va + mb vb ⇒ v 0 = mamvaa+m b
5.2.
Definici´ on de centro de masa
Sea M la masa total del sistema y V la velocidad del centro de masa.
M V = ma va + mb vb m a va + m b v b V = M ma dxa mb dxb = + M t M t d h m a va + m b v b i = dt | M {z } centro de masa
da = xcm − xa ma xa + mb xb − (ma + mb )xa M mb = (xb − xa ) M db = xcm − xb ma = (xb − xa ) M =
Figura 6: Centro de Masa
13
Calculamos la posici´on del centro de masa. =0 z}|{ ma xa +mb xb xcm = M 2 ⇒ xcm = 120 180 10m = 3 ∗ 10m Figura 7: Centro de Masa
5.3.
Segunda ley de Newton
∆P = 0 ⇒ ∆Pa = −∆Pb ∆P0 ∆va ∆t = f0 = ma ∆t Si la masa es constante. Si ∆t > 0
dpa ∆t
= fa Segunda ley.
Figura 8: Conservaci´on del movimiento
5.4.
Tercera ley de Newton
Principio de Acci´ on y Reacci´ on dpa dpb =− ⇒ fa = −fb ∆t ∆t M´etricas: h i L [F ] = M T2 1N ewton =
1Kg∗m s2
Supongamos que tenemos un bateo con velocidad 25m/s y la masa de la pelota es de 140g, despu´es del golpe escapa a 5m/s. Supongamos que viene horizontal y sale horizontal. El tiempo de golpe es ∆t = 0,015 ∆p ∆(mV ) 0,14 ∗ 2,5 = = ⇒ f = 105N ∆t ∆t 0,01 ∆mv = mvf − mv0 = m(vf − v0 ) 2 Ley de gravitaci´ on: F = γ mr1 m : γ = 6,67 ∗ 10−11 i.e. la fuerza depende de la distancia. 2
14
5.4.1.
Principio de Superposici´ on de fuerzas
Si act´ ua m´ as de una fuerza sobre un sistema el resultado es equivalente de sumar las fuerzas individuales.
Ejemplo: Supongamos un sistema en equilibrio dado por el siguiente gr´afico.
Se pide averiguar cu´ al es la aceleraci´on de cada masa. T1 − m1~g = m1 a1 T2 − m2~g = m2 a2 Si la masa del cable es despreciable entonces T1 = T2 Si el cable no se estira tenemos que ∆y1 = ∆y2 ⇒ V1 = V2 ⇒ a1 = a2 2 −m1 ) T = m1 (g + a1 ) = m(g − a1) ⇒ (m1 + m2 )a1 = (m2 − m1 )g ⇒ a1 = (m m2 +m1 g m2 1 +m2 −m1 T1 = m1 (g + a1 ) = m1 g m1 +m g = 2 mm11+m m2 +m1 2 El valor de tensi´ on es la misma para las dos masas.
5.5.
Fuerzas externas
dpa on dt = fe + fa Por principio de sustituci´ dpb = f b dt dpa +pb = fe + fa + fb dt dP dt = fe 6= 0: dP es el movimiento total del fe dM V dt = fe ⇒ A = M
Figura 9: Fuerzas externas
5.6.
Rozamiento Est´ atico
~| |Fc | ≤ µe |N Fe = mg sen(α) ≤ µN
15
sistema.
N = mg cos(α) ⇒ mg sen(α) ≤ mg cos(α) ⇔ sen(α) ≤ µ cos(α) ⇔ tg(α) ≤ µe para que no deslice
5.7.
Rozamiento Din´ amico
Fd = µd N : µd ≤ µe Una P vez que se mueve: P y → N − mg cos(α) = 0 x → −mg sen(α) + Fd = ma ⇒ mg = mg cos(α)µd mg sen(α) ax = g cos(α) [µd − tg(α)] | {z } <0
5.8.
Impulso
∆~ p=
Rtf
F~e dt = ~j
t0
I = ma∆t ⇒ I = F ∆t Fuerza promedio o fuerza media: F~ = Supongamos un sistema uniforme. dv dx dv m dv dt = F = m dx dt = mV dx 2 Tenemos que: 12 m dv dx = F x x Rf 1 dv2 Rf F dx 2 m dx dx =
x0
5.9.
∆~ p ∆t
x0
Teorema de trabajo y energ´ıa o teorema de las fuerzas vivas 1 2 m vf − v02 = 2
Zxf
i vf h1 F dx = ∆ mv 2 2 v0
x0
Ejemplo: supongamos un carro que se mueve con velocidad inicial v0 y se le aplica una F = ma, sabiendo que la aceleraci´ on es constante. ⇒ a∆x = ∆ 21 v 2 x(t) = 21 at2 + v0 t + x0 0 v(t) = at + v0 ⇒ t = v1 −v a Supongamos que el carrito tenga una velocidad inicial v0 Supongamos que una persona arroja una pelota desde una altura y = 0 −mgh = ∆
1 mv 2 | 2 {z }
1 = − mv02 2
energ´ıa cin´etica ⇒ v0 =
p
2gh ⇒ h =
v2 2g
Supongamos que quiero ahora despejar la Vf cuando caiga la pelota.
16
mg sen(α)d = ∆( 12 mVx2 ) Sabemos que h = d sen(α) mgh = ∆( 21 mv 2 ) −mgh = ∆( 12 mv 2 ) ⇒ −mgh = 21 mvf P P y = 0 ⇒ N − mg cos(α) = 0 x → −mg sen(α) = ma x ⇒ m dv dt = Fx dvy ⇒ m dt = Fy ∆( 21 mVx2 ) = ∆( 12 mVy2 ) =
5.10.
x Rf x0 x Rf
Fx dx Fy dy
x0
Trabajo
Definici´ on: W = ∆( 12 mv 2 ) =
x R~f
F~ d~x integral de l´ınea.
x~0
W = ∆Ek 5.10.1.
P´ endulo
R ∆( 12 mv 2 ) = F~ d~x Trabajo: W = mg∆h
5.10.2.
Demostraci´ on del Trabajo en el resorte
F = −K∆l Hip´ otesis xf > x0 Zxf W =
Zxf
F~ d~x =
x0
1 −Kxd~x = − K(x2f − x20 ) 2
x0
Hip´ otesis x0f < x00 0
0
Zxf
Zxf Kxd~s = −
W = x00
Zx0 Kxd~x =
x00
Kxdy =
1 2 2 k(x00 − x0f ) 2
xf
En qu´e distancia se va a frenar el carrito. W = ∆Ek El valor de la fuerza no depende de la posici´on. xf > x0 1 1 v2 − kx2f = − mv02 ⇒ x2f = m 0 2 2 k xf < x0 1 2 1 kx = − vf2 2 f 2 W = −∆V (x) = −V (xf ) + V (x0 ) 17
5.11.
Trabajo para el resorte
Para el resorte W = − 12 k(x2f − x2i )
5.12.
Trabajo en ca´ıa libre
En ca´ıda libre: W = −mg∆y ⇒ V = mgy Por otro lado: 1 1 W = −∆V (x) = −V (xf ) + V (x0 ) = ∆K = mvf2 − mv02 2 2 ⇔
1 mv 2 + V (xf ) = 2 f
1 mv02 2 | {z }
+V (x0 ) = Em
Energ´ıa cin´etica Em : energ´ıa mec´ anica. V : energ´ıa Potencial. Nunca puede darse que la energ´ıa cin´etica sea < 0 sino nos dar´ıa una velocidad imaginaria.
5.13.
Trabajo de las fuerzas de fricci´ on Wfr = Trabajo de las fuerzas conoservativas − Trabajo de las fuerzas disipativas
6.
Termodin´ amica Describiremos un sistema como una terna: (V, N, U ) tal que: V es el volumen. N es el n´ umero de elementos. U es la energ´ıa interna del sistema.
18
7.
Calor: Q Definiremos el calor como ∆U − W = Q : W es el trabajo macrosc´opico.
7.1.
Primera ley de la termodin´ amica
δU = δW + δQ es una variable de estado, es decir que no depende de la historia. dw = −F dy = −
7.2.
F Ady = −P Ady ⇒ dw = −pdv A
Representaci´ on gr´ afica del estado del sistema
R Como puede observarse el trabajo: W = − pdv depende del camino. 7.2.1.
Boyle Mariot
P V = Cte cuando la termperatura se mantiene constante. 7.2.2. P T
7.3.
Gay lussac
= Cte Si el volumen es constante.
Temperatura
Temperatura: es lo que mide el term´ometro.
7.4.
Gas ideal
Descubriremos la entrop´ıa S de un sistema: S(U, V, N ) tal que: ds dU
=
1 T
ds dV
=
P T
19
ds dN
=
−M T :
M es el potencial electroqu´ımico
Ecuaci´ on de estado mec´ anico: Nk NR P = = ⇔ P V = nRT T V V Proceso isot´ ermico: T = Cte
7.5.
Presi´ on y volumen en un sistema adiab´ atico
Hacer el Gr´ afico del sistema ZVb
ZVb W =−
P dV = −
Va
7.6.
Pa Va vb vb dV = −Pa Va log( ) = −nRT log( ) V va va
Va
Experimento de Joule
Llevo un gas de volumen V → 2V y observ´o que por la expansi´on libre del gas, la temperatura no cambia, a partir de all´ı dedujo que la energ´ıa s´olo depende de la temperatura. 7.6.1.
Ecuaci´ on T´ ermica
nC 1 = T U Por la primera ley: dU = −pdv + dQ ⇒ dQ = pdv + dU dU U (t, v) → dU = dU dT |V dT + dV |T dV (1) dU dU U (t, p) → dU = dT |P dT dP (2) + dP |T (1) ⇒ dQ = (2) ⇒ dQ =
7.7.
dU
hdT
dU dT
|V dt +
dU dV
|P +p dV dT
|T +p dV i dU |P dt + dV |T +p dV | dP T dT
Ciclo de Karnot
AB: Expansi´ on isot´ermica, ∆U = 0 ⇒ Qab = Wab ZVb P V → Pa Va = nRT2 ⇒ Wab = − Va
20
P dV = −nRT2 log(
vb ) va
BC: Expansi´ on adiab´ atica, QBC = 0 y se que P V γ = Pb VbΓ ZVc WBC = − Vb
Pb Vbγ h 1 Pb V b 1 i 1 dV = − = [Pc Vc − Pb Vb ] γ−1 γ−1 γ V γ − 1 Vc γ−1 Vb
CD: Compresi´ on isot´ermica. Wcd = −nRT1 log(
vd ) ⇒ QCD = −WCD vc
DA: Compresi´ on Adiab´ atica. P V γ = Pb Vbγ = Pa Vaγ Wda =
i 1 h Pa Va − Pb Vb γ−1
i vb vc 1 1 h [Pc Vc − Pb Vb ] + nRT1 log( ) + )+ Pa Va − Pb Vb va γ−1 vd γ−1 vb vc vb = −nR(T2 − T1 ) log( ) ya que = va vd va = QAB + QCD
W = −nRT2 log(
7.7.1.
Eficiencia de una m´ aquina de Carnot η=
7.8.
W QAB + QCD T2 − T1 = = QAB QAB T2
Segunda Ley de la termodin´ amica
La segunda ley de la termodin´ amica est´a ligada a la irreversibilidad de los procesos. 7.8.1.
Enunciado de Kelvin
No se puede generar trabajo extrayendo calor de una u ´nica fuente. 7.8.2.
Enunciado de Calsius
Es imposible un proceso cuyo u ´nico efecto sea transformar calor de una fuente fr´ıa a una fuente caliente.
7.9.
Entrop´ıa
La entrop´ıa es aditiva. 7.9.1.
Expresi´ on en funci´ on de T y V Z
T2
∆S = ncV T1
7.9.2.
dT + nR T
Z
V2
V1
dV = ncV ln V
T2 T1
+ nR ln
Expresi´ on en funci´ on de T y P S = S0 + ncp ln
T T0
21
− nR ln
p p0
V2 V1
7.9.3.
Expresi´ on en funci´ on de V y P S = S0 + ncp ln
V V0
+ ncV ln
p p0
Anexo 1 Cal = 4, 187 J ⇔ 1 J = 0, 24 Cal Calor: Q : Q = mcv (Tf − T0 ) : cv es el calor espec´ıfico. Los gases ideales, sin importar de qu´e sustancia, tienen dos valores caracter´ısticos: calor espec´ıfico molar a volumen constante (cV ) y calor espec´ıfico molar a presi´on constante (cP ). Para gases ideales monoat´ omicos cV = 1, 5R y cP = 2, 5R y para diat´omicos cV = 2, 5R y cP = 3, 5R , donde R es la constante universal de los gases: R = 8, 314J/molK = 0, 08207 l atm/mol K Ecuaci´ on de estado de los gases ideales, P V = n R T. De all´ı: En una evoluci´ on isob´ arica, cp n∆T = cp P ∆V R En una evoluci´ on isoc´ orica, cv n∆T = cv V ∆P R En una evoluci´ on isot´ermica, nRT ln( VVF0 ) = nRT ln( ppf0 ) Trabajo W =
R
pdV de ah´ı surge: nRT ln( VVF0 ).
Siempre vale que: ∆U = cv n∆T El primer principio de la termodin´ amica: Q = ∆U + W V´ alida para todos los gases ideales independientemente del n´ umero de ´atomos de sus mol´eculas: cp − cv = R Para gases ideales se cumple que:
P 0 V0 T0
=
P f Vf Tf
La entrop´ıa es una funci´ on de estado, es decir no depende del camino. c γ = cvp En un proceso adiab´ atico: P V γ = Cte T V γ−1 = Cte T P
γ−1 γ
= Cte ´ o TP
γ−1 γ
= Cte
Q = cp n∆t ∆U = cv n∆t W = p∆V T
∆S = cp nln Tf0 V
∆S = cp nln Vf0
Figura 10: Isob´arica
22
Q = cv n∆t ∆U = cv n∆t W =0 T
∆S = cv nln Tf0 P
∆S = cv nln Pf0
Figura 11: Isoc´orica
V
Q = nRT ln( Vf0 ) ∆U = 0 V
W = nRT ln( Vf0 ) V
∆S = nRln( Vf0 ) ∆S = nRln( PPf0 )
Figura 12: Isot´ermica
Q=0 ∆U = cv n∆T W = −cv n∆T ∆S = 0 Figura 13: Adiab´atica
∆U = 0 ∆S = 0
Figura 14: Ciclo cualquiera
8.
Electricidad
8.1.
Ley de Coulomb
Cuando se enfrentan dos cuerpos cargados aparece entre ellos una fuerza de atracci´on o de repulsi´ on. Fe = k0dq21 q2 : q1 y q2 son las cargas de los dos cuerpos. 2 k0 = 9 ∗ 109 NCm2 Carga del electr´ on: e = 1, 602 ∗ 10−19 C
8.2.
Campo el´ ectrico
E = Fqe = k0 dQ2 V [E] = N C = m
23
