CAPÍTULO 6 BKM: CAPITAL ALLOCATION BETWEEN THE RISKY ASSET AND THE RISK-FREE ASSET Introducción ¿Qué porcentaje del portafolio portafolio se debería invertir en un activo libre de riesgo vs clases de activos riesgosos? En primera instancia se puede considerar el portafolio riesgoso como dado (por ej. un fondo mutuo de acciones y otro de bonos de largo plazo). La decisión de cuanto invertir en el portafolio riesgoso (P) y el activo libre de riesgo (F) no afecta la composición de P. Podríamos querer cambiar los porcentajes invertidos entre P y F de modo de cambiar los niveles de riesgo implícitos, esto no afectaría la distribución de retornos de P. Sin embargo, si cambiaría la distribución de probabilidades de retorno del portafolio completo.
Combinaciones de riesgo-retorno Sea C el portafolio completo compuesto por un activo libre de riesgo (F) y un portafolio riesgoso (P). Se tiene que:
= () + 1 − = + () − = Las distintas combinaciones de riesgo-retorno vendrán dadas entonces por:
= + ∙
Donde SR es el Sharpe Ratio o exceso de retorno por unidad de riesgo. La ecuación de la recta formada se conoce como Capital Allocation Line (CAL). Los puntos a la derecha de P se obtienen endeudándose a
para invertir en P.
Diferencias de aversión al riesgo entre diferentes inversionistas explican que para un mismo set de oportunidades de inversión representado por la CAL, distintos inversionistas elegirán distintos portafolios óptimos. La utilidad que un inversionista obtiene de invertir en un portafolio con un retorno esperado y una desviación estándar dada se describe de la siguiente forma:
= ()− 0.5 El inversionista buscará aquel portafolio que maximice su utilidad. A representa el coeficiente de aversión al riesgo del inversionista. Para un inversionista neutral al riesgo A es 0, mientras que para un averso al riesgo A es mayor a 0.
Dado un Ū, la curva de indiferencia (combinaciones de retorno esperado y riesgo que otorgan igual nivel de bienestar) viene dada por:
() = + 0.5 A mayor aversión al riesgo mayor será la curvatura de esta curva que es creciente y convexa. La proporción óptima al problema de maximización de la utilidad vendrá dada por:
∗ = ( )− El portafolio óptimo vendrá dado por la curva de indiferencia que sea tangente a la CAL.
Estrategias pasivas Para elegir los activos del portafolio P se pueden seguir distintas estrategias (por ej. activas o pasivas). Una estrategia pasiva consiste en una elección de portafolio que evita realizar cualquier tipo de análisis de activos. Una forma de realizar esto es elegir un portafolio diversificado de acciones como el S&P 500. La CAL obtenida de combinar la tasa libre de riesgo con un índice amplio de acciones se conoce como Capital Market Line (CML). Invertir en este set de opciones de inversión no es una idea ingenua si se considera que la estrategia activa no es gratis: si uno la realiza implica tiempo y dinero obtener la información, mientras que si se delega a un profesional, este cobrará una comisión. De
hecho, en la última década los fondos mutuos pasivos indexados han superado a los fondos manejados de manera activa. Datos históricos permiten inferir una aversión al riesgo para el inversionista promedio alrededor de 2.6.
CAPÍTULO 7 BKM: OPTIMAL RISKY PORTFOLIOS Introducción Existen dos tipos de riesgo asociados a invertir en una acción. Aquellos que afectan a la economía en general, como el ciclo económico, la inflación, las tasas de interés, etc. Este tipo de riesgo se conoce como riesgo sistemático o no diversificable. Por otro lado, existe el riesgo asociado a factores específicos de la empresa. Este tipo de riesgo se conoce como no sistemático o diversificable. Si en un portafolio se incluyen muchos activos diferentes, la volatilidad de este debería bajar ya que los riesgos específicos de las distintas empresas se eliminarían entre ellos. Esto se conoce come diversificación. Sin embargo, no es posible diversificar todo el riesgo ya que los factores macroeconómicos afectan a todas las empresas.
Portafolios con 2 activos riesgosos Por diversificación eficiente se entiende la construcción de portafolios riesgosos con el nivel más bajo de riesgo para cualquier nivel dado de retorno esperado. Consideremos un portafolio compuesto de 2 fondos mutuos, uno de bonos de largo plazo (D) y otro de acciones (E). El retorno y la varianza del portafolio vendrían dados por:
= + = + + 2, La covarianza entre los retornos de los dos fondos mutuos viene dada por:
, = Si la correlación es 1, la desviación estándar del portafolio será una combinación lineal de las desviaciones estándar de los 2 fondos mutuos:
= + Esto implicaría que la combinación de estos activos no sería particularmente efectiva para reducir el riesgo total. El caso opuesto sería que la correlación fuera -1, la desviación estándar del portafolio vendría dada por:
= | − | En este caso, el portafolio ofrecería mejores oportunidades de riesgo-retorno que los activos por separado. Incluso se podría llegar a portafolios de cero desviación estándar (poco factibles en la práctica).
También se pueden usar pesos mayores a 1 y menores que cero. Esto implicaría vender corto un activo e invertir de manera apalancada en el otro. La conclusión de la figura es que pese a que el retorno de un portafolio diversificado es el promedio ponderado de los retornos esperados de los activos, no ocurre lo mismo con la desviación estándar. Cuando la correlación entre activos no es perfectamente positiva, aparecen beneficios con la diversificación.
Dado un set de oportunidades de inversión como el representado por la línea rosada continua, ¿Qué portafolio elegir? La respuesta depende de la aversión al riesgo de cada inversionista. Uno con gran aversión al riesgo elegiría un portafolio en el cuadrante de abajo a la izquierda, mientras que uno con menor aversión elegiría uno en el cuadrante de arriba a la derecha de la figura.
Asset Allocation with bonds, stocks and bills ¿Cómo elegir qué proporción del dinero destinar a bonos o a acciones? Esto también implica una decisión de asset allocation.
¿Qué pasa si nuestro portafolio riesgoso sigue componiéndose de bonos y acciones, pero además podemos invertir en el activo libre de riesgo? En la figura se observan dos posibles CAL asociadas a los portafolios A y B. ¿Qué portafolio elegir? Una forma de decidirlo es recordar que la pendiente de cada CAL representa el Sharpe Ratio o ratio de recompensa a la variabilidad. Debido a lo anterior, el portafolio B domina al A ya que la pendiente de su CAL respectiva es mayor.
La CAL se puede subir hasta el límite en que toque el punto de tangencia con la curva que representa las oportunidades de inversión. De esta manera se estaría eligiendo aquel portafolio que maximiza el Sharpe Ratio, es decir, el portafolio óptimo para combinar con el activo libre de riesgo. Cuando se busca construir portafolios riesgosos óptimos se resuelve el problema de maximizar la pendiente de la CAL para cada posible portafolio P:
{} − . = 1
La siguiente figura resume los pasos para determinar el portafolio óptimo total:
1. Identificar las opciones de riesgo-retorno disponibles a partir de los activos riesgosos. 2. Elegir el portafolio óptimo de activos riesgosos determinando los ponderadores de cada activo que maximizan la pendiente de la CAL. 3. Se elige un portafolio completo adecuado combinando el portafolio riesgoso con el activo libre de riesgo, de modo de maximizar la utilidad del inversionista.
Es importante remarcar de la figura que la línea representada por CAL (P) puede entregar los mismos retornos que los de los fondos mutuos de deuda (D) y acciones (E), pero con menor desviación estándar.
El modelo se selección de portafolio de Markowitz El objetivo de este modelo es poder realizar el primer paso descrito recién. La siguiente figura resume la idea:
La frontera de mínima varianza corresponde a la envolvente de todas las fronteras posibles conformadas entre los diferentes activos. Cualquier par de portafolios en la frontera permiten dibujarla completa. La parte superior se conoce como frontera eficiente ya que se puede obtener mayor retorno para la misma varianza del portafolio obtenido si se trazara una línea vertical hacia abajo. La idea detrás del modelo es que para cada nivel de riesgo, nos interesa el portafolio que entregue el mayor retorno esperado. Una frontera restringida a las ventas cortas (en la cual no se admiten pesos negativos) estará por dentro de la frontera de mínima varianza sin restricciones. La superioridad de esta última nos recuerda que imponer restricciones puede ser costoso. Una conclusión importante es que un portfolio manager ofrecerá el mismo portafolio riesgoso P (portafolio riesgoso óptimo) a todos sus clientes independiente de su aversión al riesgo. Esta última entra en juego a la hora de elegir el punto deseado a lo largo de la CAL. Un inversionista más averso al riesgo invertirá más en el activo libre de riesgo y menos en el portafolio óptimo riesgoso, y vi ce-versa. Ambos tipos de inversionistas usarán
P como su vehículo óptimo de inversión riesgosa. Este resultado se conoce como el
“Teorema de Separación ”. Los portfolios managers continuamente revisan el presupuesto de inversión de las distintas asset clases. Cuando estos se cambian frecuentemente debido a una intensa actividad de predicción, estas reasignaciones se conocen como market timing. Se puede dar el caso de que el activo libre de riesgo no esté disponible. Si esto pasa los inversionistas estarán obligados a invertir en algún portafolio de la frontera eficiente. Dependiendo de su aversión al riesgo (representada por sus curvas de utilidad), los inversionistas elegirán distintos portafolios riesgosos óptimos. Si la tasa libre de riesgo no está disponible para pedir prestado, la CAL solo se prolongará hasta el punto de tangencia (no se podrá tener una posición larga apalancada en el portafolio riesgoso óptimo).
El poder de la diversificación Si se considera un portafolio con ponderadores iguales para cada activo, la varianza del portafolio vendría dada por:
= 1 + − 1 ∙ Si la covarianza promedio es cero, la varianza del portafolio será cero a medida que n sea muy grande. Pese a lo anterior, la covarianza raramente será cero. Si n se hace grande, el riesgo específico de cada empresa (primer término del lado derecho de la ecuación) se hace cero, y la varianza del portafolio estaría dada por la covarianza promedio entre los retornos, que representaría el riesgo sistemático.
Falacia de la diversificación en compañías de seguro Es altamente creído que una compañía de seguros con un portafolio con muchas pólizas independientes puede eliminar por completo el riesgo. Sin embargo, esto no es condición necesaria ni suficiente. Si una compañía de seguros comienza a agrandar su portafolio, el
análisis se debe hacer en términos del “dólar profit” y no de la TIR. Por esto el “risk pooling” (acumular distintos activos riesgos) no elimina el riesgo total. El riesgo total percibido por un inversionista disminuye cuando un largo número de inversionistas está dispuesto a sostener el riesgo. Es el “risk sharing” lo que permite gestionar el riesgo a las compañías de los seguros.
Falacia de la diversificación temporal Se dice que a medida que el tiempo aumenta la desviación estándar de los retornos anuales disminuye. Si bien esto es verdad, se trata de usar esto como argumento para
decir que la variabilidad de la riqueza total terminal disminuye con el tiempo. Lo que interesa predecir es el valor final de la inversión y no la desviación estándar de los retornos anualizados. De hecho, el retorno total se hace más impredecible a medida que aumenta el horizonte de inversión (desviación estándar del retorno total aumenta). Si se busca asegurar un retorno, una compañía de seguro podría comprar una put con strike T
price igual a (1+r) . Sin embargo, a medida que T aumenta el precio de esta opción se hace más elevado.
CAPÍTULO 9 BKM: THE CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM) Supuestos 1. Existen muchos inversionistas y cada uno tiene una riqueza pequeña comparada con el total de la riqueza de todos los inversionistas. 2. Todos los inversionistas poseen los mismos horizontes de inversión. 3. Las inversiones están limitadas a un conjunto de activos financieros transados públicamente. 4. No existen impuestos a las ganancias de capital ni costos de transacción. 5. Todos los inversionistas son optimizadores de riesgo-retorno racionales, es decir, utilizan el modelo de portfolio de Markowitz. 6. Los inversionistas poseen expectativas homogéneas, es decir, todos tienen la misma información y realizan análisis que les entregan los mismos resultados para la toma de decisiones.
The Market Portfolio Debido a que todos los individuos poseen la misma información, al construir sus portafolios óptimos deberían tratar de imitar los ponderadores del portfolio de mercado (M). Este portfolio, que incluye todos los activos transados en proporciones equivalentes a su valor de mercado relativo al valor de mercado de todos los activos transados, no sólo estará en la frontera eficiente sino que además será tangente a la CAL óptima, conocida como Capital Market Line. Todos los inversionistas deberían tener a M como su portfolio óptimo riesgoso, y diferirían en la cantidad invertida en él dependiendo de su aversión al riesgo. El portafolio de mercado debe incluir a todos los activos ya que si los inversionistas sacan un activo en particular de su portfolio, el precio de este comenzará a caer hasta que se haga cada vez más atractivo en comparación a otros activos. Llegará un punto en que sea lo suficientemente atractivo para incorporarlo al portafolio de mercado. En este contexto, una estrategia pasiva de seguir a un índice de mercado es eficiente.
The Security Market Line (SML) El Beta de un activo es una medida adecuada de riesgo, ya que β es proporcional al riesgo con que ese activo contribuye al portfolio óptimo riesgoso. El premio por invertir en un activo debería depender de la contribución de ese activo al riesgo del portfolio óptimo riesgoso. Es por esta razón que esperamos que el premio por riesgo de invertir en
cualquier activo o portfolio deba ser función de su β.
= , El modelo CAPM establece la siguiente relación entre la prima por riesgo de un activo y el premio por riesgo del portfolio de mercado:
− = − La relación gráfica entre el retorno esperado de un activo y su β se puede ver en la siguiente figura:
Al comparar el gráfico de la SML con el de la CML, se observa que en el eje Y se tiene la misma unidad de medida (retorno), mientras que en el eje X en el caso de un activo individual se utiliza como unidad de riesgo su contribución al riesgo del portafolio (beta) y en un portfolio óptimo se utiliza su desviación estándar (lo que es correcto ya que estos portfolios están diversificados). Para que el incorporar marginalmente un activo al portfolio reduzca la varianza, se necesita que:
, < 1
Si el mercado estuviera en equilibrio, todos los activos deberían estar en la SML. Sin embargo en el mundo real no existen las expectativas homogéneas y los inversionistas realizarán análisis fundamental para determinar los retornos esperados de los activos. En este escenario algunos activos tendrán un retorno esperado por encima del predicho por la SML (activos subvalorados), por lo tanto, en la figura se encontrarían por encima de la SML. La diferencia entre el valor justo y el valor realmente esperado se conoce como
alpha de Jensen (α).
− = + − Para que el incorporar marginalmente un activo al portfolio aumente la rentabilidad esperada sin afectar la varianza, se necesita que:
> 0 CAPÍTULO 11 BKM, SECCIÓN 11.5: MUTUAL FUND AND ANALYST PERFORMANCE ¿Son capaces realmente los profesionales del mercado de generar una performance superior a la de un fondo pasivo que sigue un índice de mercado? Para responder esto hay que basarse en la evidencia empírica. La literatura sugiere que los analistas aportan valor agregado, sin embargo existe ambigüedad al hacer esta afirmación. La evidencia muestra que los portafolios manejados profesionalmente no tienen la habilidad para superar consistentemente al mercado. Por otro lado, los managers que fueron buenos por algunos períodos lo han sido consistentemente, lo que demuestra que no existe eficiencia de mercado fuerte, es decir, que los precios de mercado ya reflejan toda la información relevante existente. A la hora de analizar el retorno de los fondos mutuos, no hay que fijarse solamente en el retorno total sino que es necesario ajustarlos por su exposición al riesgo sistemático. Es fundamental que benchmark se elige para evaluar la performance de un fondo. Por ejemplo, si se elige un índice como el S&P 500 (que contiene solo acciones de gran tamaño) siendo que los fondos mutuos suelen invertir en muchas acciones de pequeña capitalización bursátil, no sería una comparación justa. Muchas veces el estilo de un fondo dominará su performance, lo que no tiene gran relación con la habilidad de elegir acciones de un manager. De modo de lidiar con este problema; Elton, Gruber, Das y Hlavka intentaron controlar por el efecto de activos fuera del S&P la performance de los fondos mutuos. Ellos usaron una versión multifactorial del Single Index Model (ecuación de la SML incluyendo α) para el retorno de activos. Este modelo multifactorial consideraba el exceso de retorno de 3
benchmarks distintos en vez de sólo uno. Estos benchmarks eran el S&P 500, un índice de equities de bajo marketcap y un índice de bonos. Su estudió determinó que calculando el
α de los distintos fondos mutuos con este nuevo modelo, en promedio este era negativo por lo que las comisiones cobradas por los fondos mutuos no se justificarían. El benchamark convencional hoy en día es un modelo de 4 factores que utiliza los 3 factores de Fama-French (índice de mercado, SMB-capitalización de mercado-, HML-valor libro-bolsa) aumentados por un factor de momentum (portafolio construido en base a los retornos de la acciones el año anterior). Los alphas calculados con este modelo controlan por una gran cantidad de estilos de fondos mutuos que pueden afectar los retornos promedios. Los resultados muestran que usando este modelo, en promedio, los fondos
mutuos de equity en USA tienen α levemente negativos. En promedio es tos fondos no superaron sus benchmarks ajustados por estilo.
CAPÍTULO 24 BKM: PORTFOLIO PERFORMANCE EVALUATION En la industria de asset management la forma correcta de medir los retornos es el timeweighted return. Esta medida simplemente corresponde al promedio simple de los
retornos anuales. Esta fórmula se usa ya que los portfolios managers muchas veces no controlan directamente la cantidad de dinero invertida en los activos, por lo tanto, es inapropiada medir el retorno por dinero invertido para medir sus habilidades de inversión. A la hora de hacer predicciones de retornos, lo más correcto es usar una media aritmética, mientras que al medir retornos pasados es mejor utilizar una media geométrica.
The Conventional Theory of Performance Evaluation De modo de poder comparar los retornos entre distintos fondos de inversión, es necesario ajustarlos por riesgo. Las medidas de desempeño ajustado por riesgo más conocidas son las siguientes:
Sharpe’s Ratio: mide el trade-off entre premio y riesgo total.
Treynor’s Measure: mide el trade-off entre premio y riesgo, pero utiliza solo el riesgo
= ̅ − ̅
sistemático.
= ̅ − ̅
Jensesn’s Alpha: es el retorno promedio de un portfolio por sobre el predicho por el
modelo CAPM.
= ̅ − [̅ + (̅ − ̅ )]
Appraisal Ratio : mide el retorno extraordinario por unidad de riesgo que en principio podría haber sido diversificado (conocido como tracking error ) manteniendo un portfolio de mercado.
=
Las medidas de riesgo utilizadas difieren bastante entre los distintos índices, por lo que no necesariamente todas las medidas serán consistentes entre ellas al evaluar la performance. El SR tiene el problema de que su valor numérico es difícil de interpretar. Existe una 2
variante que si es fácil de interpretar conocida como M . Su interpretación es la de un diferencial de retorno con respecto al benchmark. Lo que hacen es construir un portfolio con igual desviación estándar que el índice de mercado (M), mezclando un portafolio riesgoso P con un activo libre de riesgo F, y luego restan a la rentabilidad del portfolio la de este índice:
= ∗ −
Medida de performance correcta para distintos escenarios Para elegir la medida correcta de modo de evaluar si la elección de un portfolio (P) fue óptima, es importante determinar si P equivale al total de la inversión o sólo es una parte de la riqueza del inversionista. Existen 3 casos: 1. Portfolio P es la única inversión riesgosa: la forma de evaluar la elección es determinando si P es el portfolio con mayor SR de los disponibles (comparando con algún benchmark que represente una estrategia pasiva como el S&P 500). 2. Portfolio P es un portfolio manejado de manera activa y es combinado con un índice manejado de forma pasiva: asumiendo que los portfolios están mezclados de manera óptima, la medida correcta es AR.
= + El término en paréntesis ( AR) muestra cuanto aumenta el SR del portafolio global al incluir el portfolio P. 3. El portfolio P sólo es uno de muchos que se combinan dentro de un fondo de inversión grande: La medida correcta de evaluación en este caso es el TM. En este caso lo que importa es el exceso de retorno en relación al riesgo sistemático y no el riesgo total (ya que al ser un fondo muy grande se asume que está diversificado). TM corresponde a la pendiente de la recta de la siguiente figura:
La pendiente muestra todos los posibles valores de alpha y beta obtenidos al invertir en una combinación de un portfolio P con el activo libre de riesgo. Se observa que para cualquier nivel de beta, el portfolio P entrega un mayor alpha que el portfolio Q. Tanto SR como TM usan alpha, pero lo hacen de distintas maneras lo que puede llevar a rankear los portfolios de distinta manera. La siguiente figura muestra las relaciones entre las diferentes medidas:
Market Timing: Consiste en, previendo los movimientos del mercado, mover todos los fondos al mercado si éste va a subir o moverlos a T-bills si éste va a bajar. Sin embargo, los administradores sólo mueven parte de los fondos, no todos. Para ver si este efecto era significativo, Treynor y Mazuy estimaron la ecuación:
− = + ( − )+ ( − ) + Siendo a, b y c estimados a través de una regresión lineal múltiple. Si c es positivo, entonces existe evidencia de habilidad de market timing. Un estudio a muchos fondos mutuos mostró nula evidencia de existencia de market timing.
CAPÍTULO 27 BKM: THE THEORY OF ACTIVE PORTFOLIO MANAGEMENT El objetivo de un portfolio manager active es maximizar el Sharpe Ratio ex-ante. Los clientes pueden observar los retornos obtenidos y determinar el SR ex-post para evaluar la performance relativa de un manager con respecto a un benchmark. Idealmente los clientes buscarían invertir con el manager que consistentemente logra los SR más altos para sus portfolios, y que por lo tanto, tiene real habilidad para hacer predicciones.
Restricción al riesgo de un benchmark Muchos managers son evaluados en comparación a la performance de un benchmark. En este caso es necesario redefinir el concepto de riesgo. La medida propuesta es el Tracking Error , que corresponde a la desviación estándar de las diferencias de retorno entre el
portfolio riesgoso y el benchmark en una serie de tiempo.
= − / Treynor-Black Model Al momento de analizar si invertir cierto monto del presupuesto total invertido en un índice pasivo en una acción en particular, es de particular importancia realizar una predicción activa de su α. Esto se puede lograr mediante security analysis , buscando
acciones que puedan ofrecer un mayor retorno (α> 0) ya que están subvaloradas. ¿Cuánto tiene que sobre ponderar estas acciones un portfolio manager de modo de no perder diversificación en su portfolio? Este modelo se basa en el supuesto de que solo algunas acciones se podrán estudiar detenidamente del universo total de acciones. Además existe un índice pasivo de mercado (benchmark). La idea es construir un portfolio activo óptimo agregando las acciones estudiadas en función de su alpha, beta y riesgo diversificable o no sistemático. Finalmente, se busca construir un portfolio riesgoso óptimo combinando el portfolio activo con el portfolio pasivo. El fundamento del modelo es que se puede crear valor por selectividad. ¿Cuánto se debe invertir en cada activo del portfolio riesgoso y cuanto hay que invertir en este porfolio vs el portfolio de mercado?
∗ = 1 + 1− ⁄ = − / ⁄ = ∑ ⁄
Black-Litterman Model Modelo que permite cuantificar predicciones complejas (views) y aplicarlas para construir portfolios. Este modelo tiene un enfoque basado en los datos históricos, consideraciones de equilibrio y las views de los portfolios managers sobre el futuro cercano. Sin embargo, existen problemas con usar retornos pasados promedio ya que estos poseen gran desviación estándar. Los pasos para aplicar el modelo son los siguientes: 1. Calcular la matriz de covarianzas a partir de datos históricos. 2. Determinación de expectativas de mercado o baseline forecast . Se supone que los mercados son eficientes y que todos los activos reflejan en su precio toda la información disponible. Por lo tanto, el portfolio de mercado con ponderaciones dadas por el valor de mercado de los distintos activos es eficiente. La propuesta es calcular el exceso de retorno del mercado a partir de un coeficiente de aversión al riesgo para un inversionista promedio y su varianza:
= ̅ ∙ Luego es posible determinar el exceso de retorno para los diferentes activos como:
= ∙ Finalmente se calcula una nueva matriz de covarianzas para el baseline forecast . 3. Integrar las views del portfolio manager. Esto consiste en varias combinaciones lineales de los excesos de retorno, y una matriz de covarianza de los errores que representa el grado de confianza en las views. 4. Corregir expectaciones. Se generan un nuevo set de retornos esperados, condicionado en las views del portfolio manager. 5. Optimización del portfolio. Se procede a realizar la optimización de Markowitz, con una lista de inputs que reemplaza el baseline o expectativas de mercado iniciales con las expectaciones condicionadas en la view del portfolio manager.
