R´esum esumee du cours cours de M´ecan ecaniqu iquee Analyt Ana lytiqu iquee jean-eloi.lombard@epfl.ch jean-eloi.lombard@epfl.c h
22 janvier 2009
Table abl e des de s mati` mat i` eres ere s ´ 1 Equations de Lagrange 1.1 Cal Calcul cul des vari ariati ations ons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Pri Princi ncipe pe de moi moindr ndree actio action n . . . . . . . . . . . . . . . 1.33 Th´eor` 1. eo r`eme em e des extr ex tremu emumm mmss li´es es . . . . . . . . . . . . . 1.4 Princ Principe ipe de moindre moindre action et contrain contraintes tes holonomes holonomes . 1.5 Contraintes Int´ egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . egrales 1.66 Th 1. Th´´eor` eo r`eme em e de No¨ethe et herr . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2 Equations de Hamilton 2.11 In 2. Intr trodu oduct ctio ion n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Croc Crochet hetss de Po Poiss isson on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Transfo ransformatio rmation n canonique canoniqu e et fonction g´en´ en´eratrice eratric e . . . 2.4 Transfo ransformatio rmation n canonique canonique et structu structure re symplect symplectique ique . 2.5 Transfo ransformatio rmation n canonique canonique et crochet crochet de Pois Poisson son . . . . ´ 2.6 Equation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 2.6 .1 Cas g´ en´eral en´ eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 H ind´ in d´epen ep enda dant nt de t . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3 S´eparation eparation des variables . . . . . . . . . . . . . 3 Es Espa pace ce des des ph phas ases es
1
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
1 3 3 4 4 4 5
. . . . . . . . .
5 5 6 6 8 8 9 9 9 9 9
´ Equations de Lagrange
D´ efini efi niti tion on 1 (Int´ (I nt´ egra eg rale le prem pr emi` i` ere) er e) Une int int´ ´ egral eg rale e premi pre mi` ` ere ere est une fonction des positio p ositions, ns, des vitesses et du temps qui est conserv´ conserv´ ee ee au cours du temps. Remarque 1 Chaque Cha que int´ i nt´egra eg rale le prem pr emi` i`ere ere con c ondu duit it `a une ´equat equ atio ion n diff´erenti ere ntiell ellee du premier ordre.
1
D´ efinition 2 (Contrainte holonome) Une contrainte holonˆ ome est une contrainte o` u les vitesses n’apparaissent pas, elle peut se mettre sous la forme : f (r1 , . . . , rn , t) = 0 D´ efinition 3 (Syst` eme de coordonn´ ees g´en´ eralis´ ees) Un syst`eme de coordonn´ees q j avec j = 1, . . . , 3N − k qui permet de d´ecrire un syst`eme satisfaisant les k contraintes holonˆomes auxquelles il est soumis est un syst`eme de coordon´ees g´en´eralis´ees . D´efinition 4 (Force g´en´ eralis´ ee) Pour un syst`eme de N particules d´ecrit par n coordonn´ees g´en´eralis´ees q j , les forces g´en´eralis´ees sont d´efinie par : Q j =
Fi
i
∂ ri ∂ q j
Proposition 1 Si les forces F j d´ependent d’un potentiel V alors : Q j = −
∂V ∂q j
D´ efinition 5 (Deplacement virtuel) Un d´eplacement infinit´esimal est dit a un instant donn´e il satisfait les contraintes holonˆomes impos´ees virtuel si ` par le syst`eme. Principe 1 (de d’Alembert) Pour tout d´eplacement virtuel δ ri : (Fi − p˙ i )δ ˙ ri = 0
i
´ D´ efinition 6 (Equations de Lagrange) Soit T l’´energie cin´etique du syst`eme, energie potentielle et L = T − V le Lagrangien, alors les ´equations de V l’´ efinies par : Lagrange sont d´ d dt
∂L ˙ j ∂ q
−
∂L =0 ∂q j
D´ efinition 7 (Variable cyclique) Si d´epend pas de q j alors la quantit´e cyclique .
∂L ∂ q˙ j
∂L ∂q j
(1)
= 0, c’est-`a-dire Lagrangien ne
= cst. et on dit que la variable q j est
D´ efinition 8 (Impulsion g´en´ eralis´ ee) L’impulsion g´en´eralis´ee de la coordonn´ees q j est d´efinie par : p j :=
2
∂L ˙ j ∂ q
D´ efinition 9 (Syst` eme isol´ e) Un syst`eme est dit isol´e si son Lagrangien ∂L ne d´epends pas du temps ∂t = 0. On d´efini alors la fonction hamiltonienne h par :
h(q 1 , . . . , qn , q ˙1 , . . . , ˙q n ) =
i
1.1
q ˙i
∂L − L = cst. ˙i ∂ q
Calcul des variations
Les ´equations de Lagrange ont la mˆeme forme que les ´equations d’Euler introduite dans le cadre des calculs de variations. ´ D´ efinition 10 (Equation d’Euler) Soit la fonctionnelle1 I qui a toute fonction y (x) associe x2
I [y ] =
F (y, y , x)dx
x1
dy avec x1 , x2 des bornes d’int´egrations fix´ees et y = dx . La fonction y(x) qui rends I extremal avec les conditions y (x1 ) = y1 et y (x2 ) = y2 est donn´ee par l’´equation d’Euler :
d dx
1.2
∂F ∂y
∂F =0 ∂y
−
(2)
Principe de moindre action
D´ efinition 11 (Action) L’action est la fonctionnelle des trajectoires d´efinie par : t2
S [{q i (t)}] =
L({q i }, {q ˙i }, t)dt
t1
Principe 2 (de moindre action) Dans l’ensemble des trajectoires possibles allant de {q i1 } `a l’instant t 1 `a {q i2 } `a l’instant t 2 la trajectoire physique est celle dont l’action est extr´emale (en g´en´erale minimal). Remarque 2 Il peut y avoir plusieurs trajectoires extremales. Proposition 2 Le principe de moindre action est ´equivalent aux ´equations de Lagrange. La fonctionelle S [{q i (t)}] est extremale si les trajectoires {q i (t)} satisfont l’´equation d’Euler. Il suffit de prendre F = L , x = t et y i (x) = q i (t) pour retrouver les ´equations de Lagrange. 1
une fonctionnelle est une fonction de l’espace des fonctions d´erivable dans
3
R
1.3
Th´ eor` eme des extremumms li´ es
Pour miniser la fonction F (x, y) sous la contrainte f (x, y) = 0 il suffit de minimiser la fonction H (x,y,λ) = F (x, y ) + λf (x, y)
avec λ un multiplicateur de Lagrange, ce qui revient `a r´esoudre le syst`eme :
1.4
∂H ∂x ∂H ∂y ∂H ∂λ
+ λ ∂f =0 ∂x ∂f + λ ∂y = 0 f (x, y ) = 0
∂F ∂x ∂F ∂y
=0 ⇔ =0 ⇔ =0 ⇔
Principe de moindre action et contraintes holonomes
Proposition 3 Supposons un syst`eme `a 3N degr´es de libert´es d´ecrit par un Lagrangien L et soumis `a k contraintes holonomes f j ({xi }, t) = 0 pour tout j = 1, . . . , k est ´equivalent `a un probl`eme `a 3N + k degr´es de libert´es d´ecrit par le Lagrangien ˜ = L + L λ j f j
j
et les ´equations du mouvement sont donn´ees par :
d dt
˜ ∂ L ∂ q˙i
˜
∂ L =0 − ∂q i f j ({q i }, t) = 0
i = 1, . . . , 3N j = 1, . . . , k
Remarque 3 Les multiplicateurs de Lagrange λ j sont des fonctions du temps et non des constantes comme dans le probl`eme des extremums li´es. Remarque 4 Les contraintes sont donn´ees par : Ri = λ i ∇f i 1.5
Contraintes Int´ egrales
Pour extr´emaliser x2
F (x,y,y )dx
y(x1 ) = y 1 , y (x2 ) = y 2 )
x1
sous la contrainte
x2
f (x , y , y )dx = c
x1
il suffit de r´esoudre le probl`eme d’extremalisation de l’int´egrale G = F + λf (Λ ∈ R qui v´erifie la contrainte).
4
1.6
Th´ eor` eme de No¨ ether
Th´ eor` eme 1 (de No¨ ether) Pour chaque sym´ etrie continue du Lagrangien il y a une quantit´ e conserv´ ee. Supposons un syst` eme `a N degr´e de libert´es associ´es aux coordonn´ees g´en´eralis´ees q i . Le syst`eme est caract´eris´e par un Lagrangien L({q i }, {q ˙i }, t) et supposons qu’il est invariant pour un changement de coordonn´ees q i → q i (s) qui ne d´epends que d’un parametre s , soit : L(q i , q ˙i , t) = L (q i (s), q ˙i (s), t) donc
d L(q i (s), q ˙i (s), t) = 0 ds
et le th´eor`eme de No¨ether stipule que la quantit´e n
C =
∂L ∂q i (s) = cst. ˙i ∂s ∂ q
i=1
(3)
est constante.
´ Equations de Hamilton
2 2.1
Introduction
D´ efinition 12 (Hamiltonien) Le Hamiltonien est d´efini par la transformation de Legendre du Lagrangien qui remplace les vitesses q ˙ i par les im∂L pulsions g´en´eralis´ees pi = ∂ q ˙i , soit : H (q i , pi , t) =
pi ˙q i − L(q i , q ˙i , t)
(4)
i
´ D´ efinition 13 (Equations canoniques ou de Hamilton) Les ´equations ees par : canoniques ou ´ equations de Hamilton sont donn´
q ˙i = ∂H ∂p i p˙i = − ∂H ∂q i
Remarque 5 Supposons que 1. l’´energie cin´etique ne d´epends pas du carr´e de la vitesse 2. le potentiel ne d´epend pas de la vitesse alors : H = T + V
et le Hamiltonien est ´egal `a l’´energie. 5
(5)
2.2
Crochets de Poisson
D´ efinition 14 (Crochet de Poisson) Soit deux fonctions f , g de q i , p i et de t. Le crochet de Poisson est d´efini par :
{f, g} =
i
Proposition 4
∂f ∂g ∂f ∂g − ∂q i ∂p i ∂p i ∂q i
(6)
1. {f, g } = −{g, f }
2. {f, c} = 0 si c est une constante ∂f 3. {f, q i } = − ∂p et { f, pi } = i
∂f ∂q i
4. { pi , p j } = {q i , q j } = 0 et { q i , p j } = δ ij 5.
∂ {f,g } ∂t
= { ∂f , g } + {f, ∂t
∂g } ∂t
6. {f 1 + f 2 , g} = {f 1 , g} + {f 2 , g} 7. {f 1 f 2 , g} = f 1 {f 2 , g } + f 2 {f 1 , g} 8. identit´e de Jacobi : {f, {g, h}} + {g, {f, h}} + {h, {f, g }} = 0 D´ efinition 15 (Int´ egrale premi` ere) f (q , p , t) est une int´egrale premi`ere 2 si et seulement si ∂f + {f, H } = 0 ∂t
et si f n’est qu’une fonction de q et de p alors f (q, p) est une int´egrale premi`ere si et seulement si {f, H } = 0 Th´ eor` eme 2 (de Poisson) Si f et g sont des int´egrales premi`eres alors {f, g} l’est aussi. Remarque 6 Si H ne d´epends pas du temps, alors H est une int´egrale premi`ere. 2.3
Transformation canonique et fonction g´ en´ eratrice
D´ efinition 16 (Transformation canonique) Une transformation canonique est un changement de variables Qi (q i , pi , t) P i (q i , pi , t) tel que les ´equations du mouvement sont encore des ´equations canoniques. Il s’agit donc de transformations telles qu’il existe une fonction K (Qi , P i , t) v´erifiant : dP i dt dQi dt 2
∂K ∂Q i ∂K ∂P i
= − =
c’est-` a-dire f (q , p , t) ne varie pas en fonction du temps
6
La fonction K est l’´ equivalent de l’Hamiltonien dans les nouvelles coordonn´ees. D’apr`es le principe variationnel l’existence d’une fonction F (q i , pi , Qi , P i , t) v´erifiant :
pi ˙q i − H (q i , pi , t) =
i
P i Q˙ i − K (Qi , P i , t) +
i
dF dt
est une condition suffisante sur F . Proposition 5 (Transformations canoniques principales) Les quatres transformations canoniques principales sont : 1. F (q i , pi , Qi , P i , t) = F 1 (q i , Qi , t) et on pose : ∂F 1 ∂q i ∂F 1 P i = − ∂Q i pi =
et K = H +
∂F 1 ∂t
2. F (q i , pi , Qi , P i , t) = F 2 (q i , P i , t) −
i
Qi P i et on pose :
∂F 2 ∂q i ∂F 2 Qi = − ∂P i pi =
et K = H +
∂F 2 ∂t
3. F (q i , pi , Qi , P i , t) =
et K = H +
i q i pi
− F 3 ( pi , Qi , t) et on pose : ∂F 3 ∂p i ∂F 3 P i = − ∂Q i q i = −
∂F 3 ∂t
4. F (q i , pi , Qi , P i , t) =
et K = H +
i q i pi −
i
P i Qi + F 4 ( pi , P i , t) et on pose :
∂F 4 ∂p i ∂F 4 Qi = ∂P i
q i = −
∂F 4 ∂t
7
2.4
Transformation canonique et structure symplectique
D´ efinition 17 (Matrice jacobiennne de la transformation) Posons : x = (q 1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn )
= (Q1 , . . . , Qn , P 1 , . . . , Pn )
y
et d´efinissons la matrice M par : M ij =
et la matrice M −1 est : −1 M ij =
∂y i ∂x j ∂x i ∂y j
Proposition 6 Les relations d´eduites de l’existence des fonctions F 1 , F 2 , ecrivent : F 3 et F 4 s’´ t M J M = J avec : J =
0 I n −I n 0
et I n la matrice identit´e de dimension n.
D´ efinition 18 (Matrice symplectique r´ eelle) Une matrice est dite symplectique r´eelle si elle satisfait la condition : t
M J M = J
Proposition 7 Une transformation est canonique si et seulement si sa matrice jacobienne est symplectique. Th´ eor` eme 3 L’ensemble des matrice symplectique (2 N × 2N ) forme un groupe appel´e le groupe r´eel symplectique not´e S P N (R). 2
Proposition 8 Si M est une matrice symplectique r´eelle alors det(M ) = 1 Proposition 9 t
2.5
M JM = J ⇔ M J t M = J
Transformation canonique et crochet de Poisson
Th´ eor` eme 4 Le crochet de Poisson est invariant par rapport `a une transformation canonique. Remarque 7 Il est donc possible d’utiliser le crochet de Poisson pour v´erfier si une transformation Q(q , p , t), P (q , p , t) est canonique :
{Qi (q , p , t), P j (q , p , t)} = δ ij 8
´ Equation de Hamilton-Jacobi
2.6 2.6.1
Cas g´ en´eral
D´ efinition 19 L’´equation aux d´eriv´ees partielles
∂f ∂f H q 1 , . . . , qn , ,..., ∂q 1 ∂q n
+
∂f =0 ∂t
(7)
est l’´equation d’Hamilton-Jacobi . 2.6.2
ependant de t H ind´
Lorsque H ne d´epends pas explicitement du temps la solution peut tou jours s’´ecrire sous la forme : S (q 1 , . . . , qn , α2 , . . . , αn , t) = W (q 1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn ) − αn+1 t
et donc l’´equation de Hamilton-Jacobi devient :
∂ W ∂ W H q 1 , . . . , qn , ,..., ∂q 1 ∂q n
2.6.3
= α n+1
S´ eparation des variables
D´ efinition 20 (Variable s´ eparable) Une variable est dite s´eparable si on peut chercher la solution de l’´equation d’Hamilton-Jacobi de la forme f (q 1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn , t) = f 1 (q 1 , α1 , . . . , αn , t)+f (q 2 , . . . , qn , α1 , . . . , αn , t)
D´ efinition 21 (Syst` eme completement s´ eparable) Un syst`eme de n coordonn´ees est dit completement s´eparable si toutes les coordonn´ees du probl`eme sont s´eparables. L’´equation de Hamilton-Jacobi donne ensuite n ´equations du type : H i
3
∂ S j q j , , α1 , . . . , αn , t ∂q j
+
∂S j =0 ∂t
Espace des phases
D´ efinition 22 (Espace de phase) L’espace `a 2N dimensions des impulsions en fonction de leurs coordonn´ees conjugu´ees est l’espace de phase . Proposition 10 Pour un syst`eme autonome (H ne d´epends pas de t) l’´equation des tra jectoires dans l’espace de phases est donn´ee par : H (q, p) = E
9
D´ efinition 23 (Portrait de phase) Une collection d’orbites d’un syst`eme est un portrait de phase . D´ efinition 24 (Variables action-angle) Pour un syst`eme `a un degr´e de libert´e effectuant un mouvement p´eriodique, on appel variables action-angle , not´e (I, w), le couple de variables canoniques conjugu´ees variable action I, coordonn´ee, w tel que I soit constante et w augmente de 2π au cours d’une p´eriode, avec : ∂W (q, α) 1 I = dq 2π ∂q
avec W (q, α) solution de l’´equation de Hamilton-Jacobi. Pour une particule qui oscille entre q 1 et q 2 l’action est : I =
=
π
q2
1 2π 1
q1 q2
q1
∂W (q, α) dq − ∂q
∂W (q, α) dq ∂q
q1
q2
∂W (q, α) dq ∂q
Proposition 11 Lorsque le Hamiltonien est exprim´e comme fonction de I et w et l’´equation de Hamilton-Jacobi donne H (I, w) = β alors la fr´equence d’oscillation du syst`eme est donn´ee par : ω =
∂H (I, w ) ∂β = ∂I ∂I
et dans le cas d’un syst` eme autonome β = E : ω =
∂E ∂I
Remarque 8 La m´ethode des variables action-angles est utile pour calculer la fr´equence d’oscillation autour d’un point d’´equilibre pour un syst`eme dont la solution compl`ete n’est pas connue. Remarque 9 Pour une particule de masse m soumise `a un potentiel V (V est un puit) la fr´ equence d’oscillation autour de la position d’´equilibre x0 est V (x0 ) 2 ω = m
Remarque 10 Pour un syst`eme autonome l’´equation de Hamilton-Jacobi est de la forme :
H q,
∂ W ∂q
= E
et les points de rebroussements sont caract´eris´es par : V x = E
avec V le potentiel et E l’´energie du syst`eme. 10
Proposition 12 Consid´erons un syst`eme autonome completement s´eparable et supposons le mouvement par raport `a chaque paire (q i , pi ) p´eriodique. La solution de l’´equation de Hamilton-Jacobi est donc de la forme : W (q 1 , . . . , qn , α1 , . . . , αn ) =
W k (q k , α1 , . . . , αn )
k
et on proc`ede ensuite `a un changement de variable dont la g´en´eratrice est de la forme : F (q 1 , . . . , qn , I 1 , . . . , In ) = W (q 1 , . . . , qn , β 1 (I 1 , . . . , In ), . . . , βn (I 1 , . . . , In ))
avec les I k d´efinis par : 1 I k = 2π
∂W k (q k , α1 , . . . , αn ) dq k ∂q k
et les fr´equence d’oscillations de chaque coordonn´ee sont donn´es par : ωk =
∂β k ∂I k
D´ efinition 25 (Syst` eme int´ egrable) Un syst`eme `a n degr´es de libert´es est dit int´egrable s’il existe n int´egrales premi`eres ind´ependantes telles que :
{I i , I j } = 0
∀i, j = 1, . . . , n
On dit alors que les int´ egrales sont en involution . Proposition 13 Consid´erons un volume V de l’espace de phases d´efini par : V =
Ω
d pi dq i
∀i = 1, . . . , n
i
et avec une transformation passons des coordonn´ees ( q i , pi ) `a ( Qi , P i ) et donc au volume V d´efini de mani`ere analogue. Alors V = V Th´eor` eme 5 (de Liouville) Le volume de l’espace de phases est conserv´e au cours du temps.
11
