Problema 1
Una cadena de tiendas necesita contratar guardias para sus tiendas en distintos centros comerciales (CC). Para ello cuenta con cotizaciones de dos empresas de guardias. En el cuadro siguiente se muestra el valor mensual propuesto por cada empresa (en M$ por persona) dependiendo dependiendo del CC en en el cual prestará prestará servicios.
CC 1
CC 2
CC 3
Empresa A
420
410
390
Empresa B
380
360
400
La empresa A dispone de un máximo de 30 guardias, y la empresa B de un máximo de 70 guardias para contratar. La cadena de tiendas necesita 20 guardias en el CC 1, 40 guardias en el CC 2, y 10 guardias en el CC 3.
El CC 3 exige que los guardias tengan certificación de artes marciales, requisito que sólo lo cumplen los guardias de la empresa A.
Considere la siguiente variable de decisión:
Xij: cantidad de guardias de la empresa i destinado al centro comercial j
i: { A, B}
j: { 1, 2, 3 }
Escriba la función objetivo para el problema de transporte MIN Z = 420 XA1 + 410 XA2 + 390 XA3 + 380 XB1 + 360 XB2 + M XB3
Se considera M como un número muy grande.
Escriba la restricción de oferta para la Empresa A XA1 + XA2 + XA3 = 30
Escriba la restricción de demanda para el Centro Comercial 3 XB1 + XB2 + XB3 <= 70 XA1 + XB1 = 20
XA2 + XB2 = 40 XA3 + XB3 = 10 No negatividad:
Xij >= 0 Pregunta 2
Una empresa de calzado fabrica y vende mocasines y sandalias. Para ello, dispone de 3 máquinas que trabajan 300 horas al mes cada una. Para fabricar un par de mocasines se requieren 6 minutos de máquina, y para fabricar un par de sandalias, se requieren 9 minutos de máquina. La empresa dispone de 500 metros de cuero. Para fabricar un par de mocasines se requieren 10 cms de cuero, y para fabricar un par de sandalias, se requieren 5 cms de cuero. Además, la Gerencia ha definido que no se deben fabricar más de 4000 pares de mocasines por mes. Por cada par de mocasines se obtiene una ganancia de $ 7000 y por cada par de sandalias una ganancia de $ 8000. Se desea saber cuántos pares de mocasines y sandalias fabricar en el mes, con el fin de maximizar las utilidades. Formule un modelo matemático de PL que permita resolver este problema Variables de Decisión: S = Pares de sandalias a fabricar por mes M = Pares de mocasines a fabricar por mes Función Objetivo: MAX Z = 7 M + 8 S
(Ganancia en M$)
Restricciones: 6 M + 9 S <= 300 x 3 x 60 = 54000 (minutos máquina) 10 M + 5 S
<= 500 x 100 = 50000 (centímetros de cuero)
M
<= 4000 (cantidad máxima mocasines)
M, S
>= 0 (no negatividad)
Pregunta 3
1. El departamento de policía de la comuna de Santiago necesita por lo menos la cantidad de policías que se muestra en la tabla para el control de sweed y alcohol en el barrio universitario durante cada periodo de 6 horas. Se puede contratar a los policías para que trabajen 12 o 18 horas consecutivas. Los policías reciben 2400 pesos por hora por cada una de las primeras doce horas del día que trabajan y cobran 3600 pesos por hora por cada una de las siguientes 6 horas que trabajan en un día. Formule un PL para minimizar los costos para cumplir con las necesidades diarias de policías en el barrio universitario. Turno Periodo Número de Policías 1 6 de la mañana a 12 del medio día 12 2 12 de medio día a 6 de la tarde 8 3 6 de la tarde a 12 de la noche 6 4 12 de la noche a 6 de la mañana 15 Variables de Decisión:
Xi = Nº de policías contratados para iniciar su trabajo en el tuno i de 12 horas consecutivas Yi = Nº de policías contratados para iniciar su trabajo en el turno i que realizan 6 horas de tiempo extra Con i = 1,2,3,4 MATRIZ DE HORARIOS
horario
Turno
Requerimiento
1 2 3 4
1 X1 X1 Y1
2 X2 X2 Y2
3 Y3 X3 X3
4 X4 Y4 X4
mínimo 12 8 6 15
FUNCION OBJETIVO
MIN Z = 2400*12*(X1 + X2 + X3 + X4) + 3600*6*(Y1 + Y2 + Y3 + Y4) S.A.
Y3 + X4 ≥ 12 Requerimientos horario 1: X1 + Y4 ≥ 8 Requerimientos horario 2: X1 + X2 + ≥ 6 Requerimientos horario 3: Y1 + X2 + X3 Y2 + X3 + X4 ≥ 15 Requerimientos horario 4: Requerimientos de horas trabajadas: el
número de policías contratados para un turno específico que trabajan tiempo extra deben ser menores o iguales a los contratados para ese turno TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3
Y1 ≤ X1 Y2 ≤ X2 Y3 ≤ X3
Requerimientos de signo y lógicos:
Y1 – X1 ≤ 0 Y2 – X2 ≤ 0 Y3 – X3 ≤ 0
Xi, Yi, є Z +0
Con i = 1,2,3,
Problema 4
Problema de expansión de la capacidad de un Sistema de Potencia Eléctrica: En este problema se desea planificar la expansión de la capacidad de un sistema eléctrico para los siguientes T años. La demanda (estimada) para el año t corresponde a d t MW para t = 1, 2, ..., T. La capacidad existente del sistema corresponde a c t MW para el año t = 1, 2, ..., T. Existen 2 alternativas para la expansión de la capacidad del sistema: •
•
Usar plantas térmicas a petróleo. Usar plantas térmicas a gas.
Se requiere una inversión p t por MW instalado de una planta a petróleo que esté operativa al comienzo del año t, y el correspondiente costo para una planta a gas es g t. Por razones políticas y de seguridad, se ha decidido que no más del 30% de la capacidad instalada, corresponda a plantas a gas (nuevas). Cada planta a petróleo tiene una vida de 20 años y una planta a gas una vida de 15 años. Se desea proponer un plan de expansión al mínimo costo posible. Variables de decisión: xt : cantidad de MW expandidos en planta a petróleo al inicio del año t, yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas al inicio del zt : cantidad total de MW wt : cantidad total de MW
con t = 1, 2, ..., T.
año t, con t = 1, 2, ..., T.
disponible en plantas nuevas a petróleo al inicio del año t. disponible en plantas nuevas a gas al inicio del año t.
Función Objetivo: T
pt xt g t y t
Min
t 1
Restricciones: ct
z t wt d t t
z t xk
t 20
k 1
t
z t
x
k
t 20
k t 19
t
wt y k
t 15
k 1 t
wt
yk
t 15
k t 14
wt ct z t wt
0,30
xt , yt , z t , wt 0
t 1.. .T
Problema 5
Dos productos se manufacturan pasando en forma sucesiva a través de máquinas diferentes. El tiempo disponible para elaborar los 2 productos en cada máquina está limitado a 8 horas diarias. Las tasas de producción (unidades por hora) de los productos y sus respectivas utilidades se encuentran la siguiente tabla:
Producto 1
Producto 2
Tasa producción máquina 1 (unidades/hr.)
5
6
Tasa producción máquina 2 (unidades/hr.)
4
8
Tasa producción máquina 3 (unidades/hr.)
3
2
Tasa producción máquina 4 (unidades/hr.)
3
6
Utilidad ($/unidad)
6
4
a) Suponga que el tiempo disponible no puede excederse de las 8 horas diarias, es decir, no existe la posibilidad de trabajar tiempo extra, formule el modelo. b) Resuelva el modelo en forma gráfica. Indique claramente las restricciones, y la solución óptima, el valor óptimo y explique cómo obtuvo la solución. c) En base a la solución gráfica responda: ¿qué restricciones están activas?
Variables de Decisión:
X1 = Número de producto 1 fabricados por día X2 = Número de producto 2 fabricados por día
Función Objetivo:
Maximizar Z = 6 X1 + 4 X2
(Utilidad diaria)
Restricciones:
1/5 X1 + 1/6 X2 <= 8
(Tiempo disponible en maquina 1)
1/4 X1 + 1/8 X2 <= 8
(Tiempo disponible en maquina 2)
1/3 X1 + 1/2 X2 <= 8
(Tiempo disponible en maquina3)
1/3 X1 + 1/6 X2 <= 8
(Tiempo disponible en maquina 4)
X1 ,
X2 >= 0
(Lógicas Producción positiva)
Problema 6
Creative Coffes vende dos tipos de café a las tiendas detallistas: regular y descafeinado. Para el mes en curso, la compañía tiene 200 toneladas de grano de café en inventario y tiene programadas hasta 300 horas de tiempo de procesamiento para el tostado. Cada tonelada de café regular requiere una tonelada de grano y una hora de tostado, y produce una ganancia de $3000. Cada tonelada de café descafeinado requiere también una tonelada de grano, pero necesita dos horas de tostado, y produce una ganancia de $5000. Para maximizar la ganancia neta (en miles de dólares) del mes, el gerente de producción desea determinar el programa de producción óptimo para el mes siguiente.
Formule el modelo y resuélvalo utilizando método grafico, indique que restricción es abundante y escasa en el optimo. Variables de decisión
X1 = Número de toneladas de café regular a fabricar este mes. X2 = Número de toneladas de café descafeinado a fabricar este mes. Función Objetivo
Maximizar Z = 3X1 + 5X2
($’000)
Restricciones
X1 +
X2 < 200
Restricción de grano.
X1 + 2X2 < 300
Restricción de tiempo.
X1 ,
Lógicas.
X2 >
0
Resolución grafica:
X1
+ X2 <= 200
X1 + 2 X2 <= 300
X1 = 0 X2 =200 (0,200)
X1 = 0
X2 = 0 X1 =200 (200, 0)
200
( 0 ,150) (100 , 100)
100
50
( 0 , 0)
50
100
150
X2 = 150
X2 = 0 X1 = 300 (300, 0)
250
150
200
250
300
(200 , 0)
Analizando en los 3 vértices el valor de la Función Objetivo:
(0,150)
Vértice (0,0) Z = 0 Vértice ((0,150) Z = 750 Vértice (100,100) Vértice (200,0) Z = 600 OPTIMO
Z = 900
Am bas restr icciones están acti vas y por lo tan to r epresentan recursos escasos
Ejercicios Propuestos. 1. Formular o Modelar
Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo? Jugo de Existencia Arándano [gal]
Costo
Jugo de Naranja
Jugo de Toronja
Bebida A
40
40
0
200
1,50
Bebida B
5
10
20
400
0,75
[$/gal]
Bebida C
100
0
0
100
2,00
Bebida D
0
100
0
50
1,75
Bebida E
0
0
0
800
0,25
Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.
2. Formular o Modelar
Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta: ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? 3. Formular o Modelar
Un avión cisterna tiene 3 estanques los cuales tienen las siguientes capacidades máximas:
Estanque
Peso [Ton]
Volumen [m ]
1
2350
1560
2
2890
2870
3
1980
1350
Se ha producido un incendio forestal en un bosque de difícil acceso por lo cual se hizo necesario llamar a este avión para que apague el fuego. El avión fue provisto de 3 componentes que permitirán que se extinga rápidamente el fuego y no causar daños al medio ambiente. Se tiene la posibilidad de transportar los componentes, pudiéndose hacer esto por el total o parte de cada componente.
Componente
Peso [Ton]
Volumen [m3/Ton]
Utilidad [$/Ton]
Ácido Acléctico
4032
1,2
400
Ácido Bencénico
5300
2,7
650
Óxido Corticoso
3700
1,9
320
Para mantener la estabilidad del avión, se debe respetar cierta distribución en los estanques: La cantidad existente en el estanque 2 debe ser la mitad de lo que hay en el estanque 3, mientras que en el estanque 1 debe haber 80 [Ton] menos que el doble del estanque 2. Esas 80 [Ton] corresponden a un componente de estructura independiente. Debido a que el dueño del avión se le paga por cantidad de carga transportada, se pide plantear el modelo de programación lineal que permita determinar cuanta carga aceptar y cómo distribuirla en el avión, de modo de maximizar la ganancia total del dueño. 4. Formular o Modelar
Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del componente B1, o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del componente B2. En cualquiera de las dos opciones, usted puede suponer que la calidad del producto es la misma. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. Cada componente necesita 3 materiales P, Q y R. Sin embargo, se utilizan en diferentes proporciones. Las cantidades
usadas dependen del lugar y del tipo de componente a elaborar. Actualmente se dispone de 400 unidades de P, 300 de Q y 500 de R. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar el número de corridas de producción en cada fábrica, tal que maximice la producción total del producto terminado, si se conoce la siguiente tabla: Fábrica
Unidades requeridas por corrida
Unidades producidas por corrida
P
Q
R
A1
B1
A2
B2
Material UNO
7
3
10
5
6
0
0
DOS
5
6
5
0
0
7
8
5. Formular o Modelar y Resolver Gráficamente
La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan 5.100 K$ y las de tipo rancho 5.000 K$. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla: Recurso por tipo de casa
Disponibilidad
Campo
Rancho
de horas
200
100
12000
Carpintero
50
120
13000
Albañil
a) Formule el problema de programación lineal. b) Encuentre la solución óptima gráficamente. c) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Española” que da un margen de utilidad de 4900 K$/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hr-albañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas.
