resueltos_b4_t7.pdf

Bloque 4. Cálculo

Tema 7 Integral Definida Ejercicios resueltos 4.7-1 Resuelve las siguientes integrales definidas: 2

 3 x dx  e dx

a )

2

0 1

b )

x

0

e

1

1

x



c )

dx

1

  x  2x

d )

2

1

 x 3  5 x 4  dx

1 dx 2 x  1 2 2 x  1 ) 1 2 dx x  x 3



e)



g )

2

0

senxdx

1 0 1  x 2 dx 5 1 i)  dx 2 x  1  x  2    1

h)

x

1

 1  x

j )

0

4

dx

Solución

a )



2



1



e

2

3 x 2dx   x 3    23    03   8  0  8 0

0

1

e x dx  e x   e 1  e 0  e  1 0 0

b )

   

1

e

dx  ln x    ln e    ln 1   1  0  1 1 1 x

c )

1

2 1 1  d )   x  2 x  x  5 x  dx   x 2  x 3  x 4  x 5   1 3 4 2  1 1

2

3

4

2 4 10 1 2 1  1 2 1  2      1       1   1   1   2  3 3 3 2 3 4  2 3 4  3

G 3 w w

Conocimientos básicos de Matem áticas.

Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida Definida

Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González

MATEMÁTICA APLICAD APLICAD - Universid Universidad ad Zaragoza Zaragoza

Ejercicios resueltos

1



e)

1 dx x  1

3

2

 t  x  1  t1 2 1 1 1 2 dx      dt   t dt  1 2  C  2 x  1  C  dt dx x  1 t  

 

3 1 dx  2 x  1   2 2  2 1  2 2  2  2 x  1

3



2



)

2

1

 



2 x  1 dx x 2  x

2 x  1 2x 1 A B    dx dx dx  x 2  x  x   x  1  x  x  1 dx 2 x  1 A B    2 x  1  A   x  1  B  x x   x  1  x x  1 x  0 

1  A   A  B  1 x  1  1   B 



2

1

21 2 1 2 2 x  1   1 dx dx dx x x ln ln      2 1  1 x 1 x  1  x  x

  ln 2  ln 3    ln 1  ln 2   ln 2  ln 3  ln 2  ln 3 2

2

g )



h)

1 1         1 0 0 dx arctagx arctag arctag       0 1  x 2 0 4 4

i)

0

senxdx    cos x 0    cos 2     cos 0    1  1  0

1



5

2

1 dx  x  1   x  2  1

A

B

  x  1   x  2  dx   x  1 dx   x  2 dx 1 A B    1  A   x  2   B   x  1  x  1   x  2  x  1 x  2 x  1  1 

3A  1   A  3 x  2  1  3B 

G 3 w w


B

1 3

Bloque 4. Cálculo. Tema 7. Integral Definida


MATEMÁTICA APLICAD - Universidad Zaragoza


2



5

2

5 1 1 5 1 1  1   ln ln      1 2 dx    dx x x 2  3 2  x  1 x  2  3  x  1   x  2

 1

1 1 1 1 1 2 1 ln 4  ln 7    ln 1  ln 4   ln 4  ln 7  ln 4  ln 4  ln 7  3 3 3 3 3 3 3 x

 1  x

j )

0

4

dx

 t  x 2  1 1 1 1      dx dt arctg t C arctg  x 2   C     2  1  x 4  2 2  dt  2 xdx  2 1  t x

1

x

 1  x 0

dx  4

1 1 1 1 1  1  arctg  x 2     arctg 1     arctg  0       0  0 2 2 2 2 4 2 8

4.7-2 Calcula el área de la región limitada por las siguientes gráficas: a ) y  x  1

  y  0 ( EJE OX )  x  0  x  1 

  y  0 ( EJE OX )  x  0  x  2 

c ) y  x

3

  y  0 ( EJE OX )  x  0  x  1 

2 e) y  x  x  2

g ) y  x 2 

  x 

  y  0 ( EJE OX )  x  1  x  2 

b ) y  x 2  1

  y   x  2   0 ( EJE OX )

d ) y  x 2

f ) y  cos x

  y  0 ( EJE OX )  x   2  x  3 2 

 h) y   x 2  6 x  

y  x 2  2 x  

Solución

G 3 w w






3

a ) y  x  1

  y  0 ( EJE OX )  x  0  x  1 

1

3 1  1  A    x  1 dx   x 2  x     1    0   0 2 2 0  2  1

3

2

1

y  x  1 -4

-3

-2

y  0

-1

1

2

3

4

-1

x  0

-2

x  1

-3

-4

   0 ( EJE OX )  x  1  x  2 

b ) y  x 2  1

2

10 1  8  1  7 A    x  1 dx   x 3  x     2     1    1  1 3 3 1  3  3  3 2

2

y  x 2  1 5

4

3

2

1

y  0 -3

-2

-1

1

x  1

2

x  2

3

-1

G 3 w w






4

  y  0 ( EJE OX )  x  0  x  2 

c ) y  x 3

A 



2

0

2

 1   16  x dx   x 4    0  4  4 0  4  3

8

6

y  x 3

4

2

x  2

x  0 1

2

3

y  0

  y   x  2  y  0 ( EJE OX ) 

d ) y  x

2

5

Puntos de corte: 4

3

x 2   x  2  x 2  x  2  0 y  x 2

x  1, 2 A 

2



1

0

x 2dx 



2

1

  x  2  dx 

1

y   x  2

1

y  0 -2

1

-1

 

1

 1

2

 x 3   x 2         2 x   3 0  2 1

2



1

3

5

A    0     2  4      2     2   2 6 3    2  3

G 3 w w






5

  y  0 ( EJE OX )  x  0  x  1 

e) y  x2  x  2

1

y  x 2  x  2 0. 5

y  0 - 1. 5

-1

- 0. 5

0. 5

1

1. 5

2

2. 5

- 0. 5

-1

- 1. 5

-2

x  1

x  0 - 2. 5

1

 x3 x2   1 1   13   2 x       2   0   A     x  x  2  dx    0  3 2   6 3 2 0 1

2

f ) y  cos x

  y  0 ( EJE OX )  x   2  x  3 2 

x   2

x  3 2

1

y  0







3 2



G 3 w w

2

y  cos x

-1

A  



2

3 2

cos xdx    senx 




2

  3   sen    2

      sen   2     1 1  2   





6

g ) y  x 2 

.5

  x 

1. 25

1

y  x

0. 75

y  x 2

0. 5

0. 25

0. 5

1

1. 5

- 0. 25

- 0. 5

Puntos de corte: x 2  x  x 2  x  0  x   x  1  0  x  0,1 1

 x 2 x 3   1 1   1        0   A    x  x  dx   0 2 3  0  2 3   6  1

2

 h) y   x 2  6 x  

y   x 2  6 x

y  x 2  2 x  

8

Puntos de corte: 6

 x 2  6 x  x 2  2 x   2 x 2  8 x  0  x   x  4   0

4

x  0, 4 A 

4

   x 0

4

   2 0

2

 6 x    x 2  2 x  dx  2

 x 2  2 x

2

 8 x  dx  -1

1

2

3

4

5

6

4

2  x 3 x    2  8   3 2 0 

 128   64     64   0     3  3

G 3 w w






7

4.7-3 Calcula el volumen del sólido de revolución generado al girar alrededor del eje OX las siguientes gráficas:

x  1 x  1

   

Solución

x  1

a ) y  1  x 2  x  1 x  1

c ) y  3 

1  b ) y   x 2  2 x   2  1  y  x  2

a ) y  1  x 2 

y  1  x

  x  0   x  5  y  0 

2

x  1

1

   

-1

1

1

1

2

2 1 1  x 

V  

dx 

1

   1  2 x 2  x 4  dx  1

1

-1

1

 2 x 3 x 5     x     3 5  1  2 1  2 1    1       1     3 5  3 5  4 2  16     2      3 5  15 

-1

1 2  x  2x   2  1  y  x  2

b ) y  

y  

1 2 x  2x 2

1. 5 1

y 

0. 5

1

2

1 x 2 3

4

- 0. 5

G 3 w w






8

Puntos de corte:



x 2

2

 2 x 

x

2

  x 2  4 x  x  x 2  3 x  0  x   x  3   0  x  0, 3

Se calcula el volumen generado por la gráfica de arriba (volumen lleno) y se le resta el volumen generado por la gráfica de abajo (volumen del agujero): 2

2

4 2 3 x  3 x 3 x  x 2  3 2  2 x  dx     dx      2 x  4 x  dx    V    dx  0 0 2 0 0 4 2 4       3

3

 x 4  x5 x 4 5x3  15 2  3      2 x  x  dx        0 4 4 20 2 4    0 243  810  675 108 27  243 81 135             0    4  20 20 5  20 2 3

c ) y  3 

y  3

  x  0   x  5  y  0 

x  5

x  0

y  0

V 

G 3 w w

5

2

0 3 

dx  



5

0

5

9dx   9 x 0    45  0   45






9

resueltos_b4_t7.pdf

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