respuestas-ejercicios-villena 2orden.pdf

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

CAPITULO 1: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

3

1.  y ( x)  2 x ln x  2 x 2  Cx 3.  y ( x) 

1  x

2

  x cos x  senx  5.96

5.  y ( x)  e2 x  1  Ce x 7.  y ( x)  9.  y( x) 

1  x3

 x3

5

2

  x  C   x  

14.  y( x) 

1 7

3

6 x



C   x

1.

 y 2

2

e  x

xe C   x

2 x 2 2

 x  1

1  x

C 



 x

2

1  ln 1  e x  C   x   e 

4

ln  x  2 2

 x  1



C 

 x  12

1



4

2

9

3

  x   x ln x

4.  y ( x) 



1 e 2 x



C 

2  x  x 1 1 C 



 x

 x 2

1

 ln 1   x3  C 

2.  y  3.

2



 x

2.  y( x) 

1

3.  y( x) 

 x

e



2

 y  y 16.  x( y )  3   ye  Ce

15.  x ( y )  3 y  3  Ce

2

 x

12.  y ( x) 

 y

 x

1

10.  y ( x) 

2 13.  y ( x)   x  Cx  

  x 2 

5

C 



2 8.  y ( x)  e x  Ce  x

11.  y ( x)  e2 x  Ce3 x  

1.  y( x) 

 x3

4.  y ( x)  6.  y ( x) 

27      2 2   x  1  3  x

2.  y ( x) 

3

 x 4

4

  x3  5 x  C 

7 3 3 1 1 6 5 2 7 6 5  y 2   y 2  2 y 2  2 y 2   x 2   x 2  2 x 2  2 x 2  C  7 5 7 5

2

109

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

 y3

4.

  y 

3

 x3

x

3

2 3

5.  e  y  e x  C  1 6.   x  ln x    y  2 ln  y  C   x 7.  x 2  3 x   y 2  2 y  C  8.  y   x5   x3  2 x  6 9.  10.

1  x   y

1 2

 x   y  

11.  y( x) 

1.

 y

 x 1

2

2 x 2

1 3

1 4

 sen2 x   y    x  C 

2 x  1

3



2

14 3

 ln  x  C 

2. ln 2

  y  3.  ln 1  2     ln  x  C  2  x   x   1

 y

5. ln  x  C    7.  ln

 y  x

 x

1  2

1  y

3

 ln  x  C 

1    x

 y      ln   ln  x  C  2    y  x    x  y

 x

 2e y  ln x  C 

 ln x  2

  xy  e y  C 

2 2 2.  x  y   xy   x  C  2 2 4.  y   x  y   x  C 

 x 2

2 3 5.  x   xy  2 xy  C 

6.

7.  x y  2xy  C 

8.  x cos y   y  C 

2

1

1

3 2 1.  xy  3 y   y  x  0

 x3

 y  x

6.  ln

 y   x

 x

3.

4.

 y  x

2

2

  xy  y 2  17

2 x 9.  xy   ye  C 

3 x 2 1. e  x  y 

e3 x

3

y3  0

2. 

1  x



 y

2

 x

3

 C 

3 2 3 3.  x  y   xy  4

1. No es estable. Div erge de 3

2. Si es estable. Converge a 1 5

3. Si es estable. Converge a 12

4. No es estable. Div erge de 11 9

5. Diverge de 1  y converge a 5 7. Converge a 3 y diverge de 5

6. Converge a

1 2

 y div erge de 0

110

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

 B

1.  I (t ) 

2.  I (t ) 

 kBt 

1   BCe  N 

3. S (t ) 

1  19e

2000 1  3e0.806t 

4. a)  p(t )  3  3e0.27t 

1.21t 

3

t  5. a)  p (t )  20  25e 2

8. a)  p (t ) 

3  t   1  1

11. a) Q(t )  5000  35000e  

2.

1

2  y

8

b)  I   580.608 b) $22857.14

; t  1 

b) 28 objetos aproximadamente

3 2



 Ce2 x

1 2

 e  Ce5t  2t

  y cos y  si n y  C 

 y

1

3

2 x  1  Ce x  y 4



2

8.  x 

 y   x

1

 x 2 y 2

0. 13t 1

1 2 x e 2



 x

3 7

6.  y  x   7.

b)  p

1

4.  K  t   5.  x y  

 8  4e 2t 

1

 y x   

3. ln  x  

e

2t 

 15

b) Dentro de seis meses tendrá $4 millones

2  t 

 e x  ln y 

2e 2 x

0.084 t 

2

13 a) Q(t )  30  25e

1. 

2t 

b)  p

b)  p (8)  55

10. a)  I (t )   24  0.08t 600t 

12. a) Q(t ) 

3

6. a)  p(t )  15  5e2t 

b) Div erge

7. a)  p (t )  14  6e15t  9. a)  p(t )  2

b)  p



 C 

4 4 y2



2 y3



Ce y y3

9.  y   ln x  1   xC  10.

 y   x 1 si n x   x1C 

11.

e

12.

 1   y 2

13.

 x 

1  y e 2

14.

cos 2 x 1   x tan  y      2 2

15.

 x  1  14  y  Cy 3

16.

e x y 3  ye2 x  C  

17.

1 ln  y 2  x

18.



19.

 y x

 ln x  C 



 y

2 3

  1  x2  1

1

2

2

 C 

y

 e C 

 y

 1  12 ln  x  1  ln x  C  

1

si n  x sin x  x 2 y 2  x3 y   C  2

 C 

111

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

 y

20.

 x   y

 x

 Cx  o  y    cos3 y

2

C    x

21.

 xy 2 

22.

2  y   x  2 ln  y   x  1   x  C 

23.

 y ( x)   x3  Cx

24.

 12  y  2 

25.

1 2  y 2

3

1 2

 C 





1  x2 

3

1

2

  12  x2  C 

PARTE II. PROBLEMAS

2. a)

dQ dt 

 kQ ; Q(t )  1000e0.18t 

3.  p (t )  6  4e

 92 t 

b3  a3

4. a)  p(t ) 

b) t   9 años aproximada mente

a1  b1

a b

 C  e

 a 1  b1 t  2

b)  a1  b1    a2  b2  ó  a1  b1    a2  b2 

2

c)  p(t )  6  Ce3t   ;  p  $6 5. a) Q(t )  6. a)

dQ dt 

0.4t   22

b) t   5  años

4

 0.064Q

b) t   11 aproximadamente

  p  A  7. V ( p)  V 0     p0  A 

k 

CAPITULO 2: Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden

1.

 y ( x)  cos 2 x  12 sin 2 x

2.  y( x)  k 1e x  k 2 xe x

3.

 y( x)  k 1 sin 3 x  k 2 cos3 x

2 x  3 xe2 x 4.  y ( x)  e

5.

 y( x)  k 1e x  k 2e x

 x 6.  y ( x)  e

7.

 y ( x)  cos x  sin x

8.  y( x)  k 1  k 2 e  x 10.  y( x)  k 1e3 x  k 2 xe3 x

9.  y( x)  k 1 sin 2 x  k 2 cos 2 x  

1.

y( x )

2x

k 1e

2.  y( x)  k1e

3x

k2 e

x 

x

3

x  

 k2 xe3 x  91 x 2  274 x  272  41 e x

1

  x

 3 3  3.  y ( x)  e 2 k 1 si n 2  x  k 2 cos 2  x   si n2 x   4.  y( x)  k1 sin x  k2 cos x  12 e

2x

4 x  k 2e2 x  19  xe x  19 e x 5.  y ( x)  k 1e

112

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

6.  y ( x)  e2 x  k1senx  k2 cos x   12 e  x  7. y( x ) k1e7 x

k2e

9

5x

25

sin x

1 50

1 65

sin 2x  1

cos x

3 x 

32

e

8 65

cos 2 x

1

 

35

27 2 x 9  x 3 1 1 3 cos 2 x  sin 2x e  e  cos x  sin x  80 20 10 10 20 20 1 4 x 7 3 x 1 x 1 2 x 1 9.  y ( x)  e  e  e  e  60 6 10 6 12 8.  y ( x) 

10.  y ( x) 

7 12

11.  y ( x)  

1.

3

e x 

1589 500

4

e x 

e5 x 

25 4

1

1 senx  e2 x 2 3

e2 x 

1 10

x2 

7 50

x

161 500

1

 ex 4

 y( x)  k 1e 3 x  k 2 xe 3 x  k 3 e  x

2.  y ( x)

 k 1e2 x  k 2e  x  k 3e x  2

3.  y ( x)  k1e 4 x  e  x  k2 senx  k3 cos x 

1. No es estable dinámicamente

1. a)  y ( x)  k1e 

2 x

1

1

5

5

6

2

2

2

4

2

3

9

 k 1e3 x  k 2e x  k 3e x   x 

c)  y(t )

e

 1 t  2

3. No estable

 k2 xe2 x  x 3e 2 x  x 2e 2x  x 

b)  y ( x)

  k 1 cos 

 

3   3 t   k 2 sen   2 2    



9 20

sen x 

  

t    t   1 

3 20

cos x

1 2t  e 7

28 3 x 1 1  4 xe3 x   x2e 3x   x  e 27 9 27 1  t  6 6 5t  b)  x(t )  k 1e  k 2e 2   converge a  x  5 5

d)  y ( x) 2.

2. SI estable



CAPITULO 3: Ecuaciones Orden

en Diferencias de Primer

113

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

t 

1.  yt   6 3t   1

2.  yt 

1   6 2

4.  yt 

1 3 4     5 2 5

t 

t 

 1  3.  yt      5  5  5.  yt 



16  2 

t 

21

   5  3 5

t 

1.

 1   yt      2t   2  2 

3.

4et 4t 1  yt     4e 4e

1

2.  yt   k 2t   4.  yt   

1. Div erge 3. Diverge oscilantemente

4   

2  

3

e 2

t 

e3t 

 

 

2 4 sen  t   cos  t      4 4 5 2   2   5 2 5 2

2. converge oscilantemente 4. Converge

t 

t 

  1  1.  pt   k     5   3 

3   5  2.  pt   k     2   3 

t  3.  p(t )  k  2  0.6

4  pt   k  2t  

5.  pt   0  05 2t   0.6

6.  pt   k  1t  

7 3 10 3

7.  pt   k  1.4t   3



 t 

t  2t  1. a)  yt   1.37 23  0.37e

2. a) Diverge

c)  y t  k  12  t   3

b)Converge t 

  1  22  , Oscilante convergente   6   5 

3.  pt   k  

t  4.  pt   k  2 

7 3

, Oscilante divergente

t 

5.  pt   k 21.5  0.8  Divergente 6.

  

t 

 10k 10.15t   1. 24k 2  0.56t   0.2527m t 

t 

U t   k 10.15  k 2  0.56  0.0624 0.19m 7.  pt    k   2  constante

CAPITULO 4: Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden

114

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

3  1 

t 

t 

1   7        4 2  2  2   2 

1.

 yt  

3.

 yt   4

5.

 yt   k 12t   k 2 3t  

t 

2.  yt  

t 

 38

 1   1    2t    8  2   2 

7.  yt 

9.  yt  

4.  yt   4t 

 13

5

t 

21

6t 

t 

 5  k  cos  arctg 2t   k

10.  yt  

cos  t   3

25 26 3

1

2

8.  yt  

t 

 3  k cos 1



2



1



13

sen  t   3

6.  yt   k 1 1t   k 2t  1t  

4

 k 16t   k 2  1t  

 2 t 2 cos 4 t   sen 4 t  1

1 t  3 16

t  k 2 sen 2 t     

1 t   4 19

1 sen  arctg 2t    t  4 1

t 

 5  k  cos arctan 2 t   k sen arctan 2t    2 t   1 1

2

t 

t 

  5  17         k 2   5  17   t 2  t   2 11.  yt   k 1     2 2         t

t

t 

12 .  yt   k1  3  k2  2   3t 3

1         t   k2 sin  2 t   t 2  2t   3  3   3  1 1 2 3 t t t  14.  yt   k1  3  k2  2   4   t  t   4 2 2 2 13.  yt   k1 cos  2

t

15.  yt   k1  k2  2  

1 4

t   5 

3

cos 2 t  

10

1 10

t 

1.

1  yt   k1  k2  1  k 3   2

1.

No Converge

1.

 yt   k 1

t 

sin 2 t    

t

t 

1 1 2.  yt   k1  k2    k3t    4t  2  2

2. Converge

t 

t 

 1   1    k 2t    32  2   2 

t 

t 

t 

 1   1    k 3     1  2   2 

2.  yt   k 11  k 2 

CAPITULO 5: Sistemas de Ecuaciones y en Diferencias

Diferenciales

115

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

1.

  3e 3t   4e 2t   12     3t  2t    e  4     e

Y t   

 6et  5e t   7   2et  5et   8   

2. Y  t   

10   3t t   k1e  k2 e  3  3. Y  t      k e3t  k et   11   1  2 3 

   1 t   1 t      2      6    2   3    Y t    t  t     1   1   3   2   3  3      2   

  5    8t   9 2. Y t     5 t     8    9

3.

  23t   6 2 t   6   Y t      t  t    43  3 2   2  

3 t   11 t 3  4  3  4  1  2  4. Y t      11  3t  3  1t   1  4 4 

1.

 6 3t 1 2t     5 e  5 e  11   Punto de silla a)     y(t )   12 e3t  1 e2t   13    10 2 5

1.

2.

2 3 2 3

 2 t    2 t  

8 



9 2



9 

 x(t ) 

a) Nodo convergente b) Nodo Divergente c) Punto de si lla d) Punto de Silla

t t   x(t )   k1e  k2e  1  1.    Punto de silla     t  2t   y (t )   k1´e  k2´e  1

2



t t   x(t )   k1e  k2e  2.   Punto de silla    t t   y (t )   k1´e  k2´e 

3.

t  t  x(t )   k1e  k2e   Punto de Silla      t  t  y (t )   k1´e  k2´e 

1.

  52 t    k1sen 27 t  k2 cos 27 t    2  e  ( )  x t         Foco convergente     5    y(t )    2 t   7 7  e   k1´sen 2 t  k2´cos 2 t    6   2.

116

MOISÉS VILLENA MUÑOZ

1   12t  12t     x(t )   k1e  k2e 2    Punto de silla   y(t )   k ´e 12t  k ´e 12t   1 2  1 

117