Módulo de Resolución de Problemas - Resolvamo Resolvamoss 1 Manual para el docente 1er. Grado de Educación Secundaria
Elaboración David Ernesto Palomino Alva Colaboración en la elaboración Jenny Rios Poma Revisión académica Luis Enrique Eyzaguirre Espino (Coordinador) Carlos Alberto Calderón Arévalo Daniel Giovanni Proleón Patricio Fernando Del Casllo Oyarce Luis Alberto Díaz Nunja Luis Daniel Chumpitaz Malparda Marco Antonio Tello Mena Terry Revisión pedagógica Pedro David Collanqui Díaz Roger Jusniano Saavedra Salas
Ministerio de Educación Calle El Comercio N o 193 - San Borja Lima 41 - Perú Teléfono: Te léfono: 615-5 800 www.minedu.gob.pe Primera edición: 2012 Tiraje: 36 306 ejemplares Impreso en el Perú / Printed in Peru Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr.. Juan del Mar y Bernedo 1318 Jr Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.o 2012 - 08528
Corrección de estlo
Raquel Socorro Tinoco Casallo Diseño, diagramación e ilustraciones Freddy José Salazar Cubillas
©Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del editor.
Módulo de Resolución de Problemas - Resolvamo Resolvamoss 1 Manual para el docente 1er. Grado de Educación Secundaria
Elaboración David Ernesto Palomino Alva Colaboración en la elaboración Jenny Rios Poma Revisión académica Luis Enrique Eyzaguirre Espino (Coordinador) Carlos Alberto Calderón Arévalo Daniel Giovanni Proleón Patricio Fernando Del Casllo Oyarce Luis Alberto Díaz Nunja Luis Daniel Chumpitaz Malparda Marco Antonio Tello Mena Terry Revisión pedagógica Pedro David Collanqui Díaz Roger Jusniano Saavedra Salas
Ministerio de Educación Calle El Comercio N o 193 - San Borja Lima 41 - Perú Teléfono: Te léfono: 615-5 800 www.minedu.gob.pe Primera edición: 2012 Tiraje: 36 306 ejemplares Impreso en el Perú / Printed in Peru Impreso en Empresa Editora El Comercio S.A. Jr.. Juan del Mar y Bernedo 1318 Jr Chacra Ríos Sur, Lima 01 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: N.o 2012 - 08528
Corrección de estlo
Raquel Socorro Tinoco Casallo Diseño, diagramación e ilustraciones Freddy José Salazar Cubillas
©Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del editor.
Presentación
La acvidad de resolver problemas es una un a de las principales y más importantes en la educación matemáca, desarrollarla es un proceso de construcción personal que se enriquece día a día y se nutre del intercambio de experiencias que orienta al estudiante a construir mejores estrategias para resolver diversos pos de problemas. Por ello, como parte de la Movilización Nacional por la Mejora de los Aprendizajes, el Ministerio de Educación, a través de la Dirección de Educación Secundaria, ha diseñado el Mó dulo de Resolución de Problemas para que acompañe y se integre en el desa rrollo del Área de Matemáca, el cual está compuesto por un Cuaderno de trabajo para el estudiante y un Manual para el docente. El enfoque que encontrarás en el cuaderno Resolvamos 1 se fundamenta en los siguientes principios: •
•
•
• •
Existen consensos en la psicología cogniva y sus invesgadores (Piaget, Bruner y otros) respecto al desarrollo cognivo conforme crecen los estudiantes. Se desprende de esta teorías que las edades de 10 a 14 años son cruciales en el desarrollo de formas de razonamiento formal. Si las personas aprenden métodos adecuados de razonar durante estos años, esos buenos hábitos serán de ayuda permanente por el resto de sus vidas; por el contrar contrario, io, adquirir métodos inadecuados a esa edad ocasiona que su capacidad para resolver problemas se verá mermada en el futuro. Resolver problemas adecuadamente es posible, pero este aprendizaje no se desarrolla espontáneamente, requiere de condiciones pe dagógicas, recursos didáccos y una orientación mediadora eciente. Si bien la mayoría de las invesgaciones se han focalizado en trabajos individuales, existe evidencia de mejoras de las capacidades en resolución de proble mas al trabajar en equipo. Aprender a resolver problemas problemas requiere de interacción con alguien. Pocos individuos son hábiles para cricar su propio razonamiento y esto es especialmente cierto en los estudiantes. Además, necesitan oportunidades para probar y corregir sus estrategias, argumentos y formas de razonar, confrontándol confrontándolos os con los de otros. Aprender relavamente unas pocas técnicas habilita al individu o a trabajar efecvamente con la mayoría de pos de problemas. Estas técnicas son valio sas no solo en matemáca, sino en otras áreas y en la vida codiana. Las mayores barreras para mejorar la resolución resolución de problemas son sicológicas sicológicas más que intelectuales. Muchos estudiantes están acostumbrados a tener a alguien cerca para que les resuelva sus problemas, así que ellos simplemente no tratan de resolverlos por sus propios medios.
Estos principios se cristalizan en el Cuaderno de trabajo Resolvamos 1. Uno de los objevos subyacentes de esta propuesta es lograr que los estudiantes pierdan el temor a enfrentarse a situaciones problemácas planteadas en diversos contextos y que desarrollen diversas estrategias de resolución, resolución , se moven a afrontar retos de la vida codiana y tomen decisiones decisione s adecuadas para lograr sus propósitos. El cuaderno se divide en 28 acvidades que constan de cuatro tareas cada una , las cuales presentan situaciones problemácas en los más diversos contextos, desde lo codiano, escolar o laboral hasta el ámbito ldico o fantásco. Al seleccionar los problemas, hemos tenido en cuenta el enfoque del área expresada en el DCN, resaltando el valor social que conlleva el aprendizaje de la matemáca; esto sin dejar de lado el disfrute y el placer que se experimenta al resolver un enigma, una paradoja o un
acerjo, acvidades sumamente movadoras que, si bien no son ulitarias, permiten desarrollar capacidades de abstracción. La primera tarea presenta una situación donde el estudiante puede explorar, mediante
interrogantes, las diversas relaciones que se dan entre los objetos matemácos. Aunque se priorizan preguntas directas o de idencación de información, se proponen otras que apelan a la reexión de las tareas realizadas. En algunas ocasiones, las preguntas enen un nivel mayor de complejidad con el n de que el estudiante asuma un reto nuevo a lo aprendido. Se recomienda como metodolo gía de trabajo que el estudiante realice de manera individual la tarea y que el docente monitoree su realización, apoyando cualquier duda de manera personal. Cuando las di cultades son recurrentes, su tratamiento dará lugar a una plenaria. Las segunda y tercera tareas propuestas en las acvidades desarrollan un método y estrategias teniendo en cuenta un plan de resolución d e problemas, que consta de cuatro pasos. Con este método, se pretende que los estudiantes afronten los problemas de manera sistemáca. Se propone desarrollar estas tareas en parejas, donde l os estudiantes enen la oportunidad de discur en cada paso del proceso sobre lo que comprenden y acerca de cómo van a enfocar la solución del problema. Asimi smo, las preguntas formuladas en el cuaderno promueven la discusión, la comunicación y la argumentación de la pareja. La cuarta tarea es una situación de exploración compleja, rica en relaciones y en algunos
casos de respuesta abierta, cuyo nivel dependerá del grado de profundidad que el estudiante pueda demostrar al resolver las preguntas planteadas. El docente debe considerar que esta acvidad da para mucho más y que puede hacer que el estudiante trate de realizar invesgaciones más profundas a parr de ella. Se recomienda que esta tarea se desarrolle en grupos de tres a cuatro estudiantes, pues al tener di versos niveles de exploración se requiere de mayor interacción y de la contrastación de diferentes puntos de vista. Sugerimos que usted, al usar este manual, lea los problemas sin observar las soluci ones. Trate de resolverlos ulizando sus propias técnicas, de dos o tres maneras disntas. Reexione, luego, sobre las estrategias que le fueron les. Finalmente, pregntese cómo la solución hallada le puede servir para otros casos. Un buen ejercicio es buscar libros de texto del área e idencar problemas que pueden solucionarse con las estrategias empleadas. Usted no debe trabajar con los estudiantes sin antes haber enfrentado todos los posibles bloqueos y dicultades que un problema puede acarrear. Los estudiantes deben acostumbrarse a resolver problemas, pero no como u na tarea de candad, sino de calidad. No es necesario formular un gran nmero de problemas; es mucho mejor resolver pocos, pero en profundidad, como lo pretendemos hacer en las acvidades presentadas en el cuaderno. Sin más preámbulo, invocamos su espíritu de innovación para conducir a los estudiantes en este apasionante mundo creavo de la resolución de problemas mediante métodos matemácos.
Conoce tu Manual Antes de empezar a desarrollar las acvidades: Recomendamos leer la sección tulada Aspectos teóricos de la
heurísca en la que se promueve la reexión sobre qué es un problema, así como los aspectos que afectan su solución.
Como complemento se propone la sección Algunas estrategias comentadas que
los estudiantes podrán aplicar paradesarrollar su capacidad de resolver un problema por diversos métodos.
No menos importante, para comprender el marco teórico de esta propuesta, es El plan de cuatro pasos que describe el modelo para orientar a los estudiantes a enfrentar situaciones novedosas.
Finalmente, bajo el tulo El trabajo en equipo hallarás orientaciones para promover la parcipación y la colaboración de los estudiantes para resolver problemas.
Antes de empezar a desarrollar las acvidades: El Manual está compuesto por orientaciones metodológicas para cada acvidad y el solucionario correspondiente. En las Orientaciones metodológicas de
cada acvidadse describe la capacidad que deberá ser desarrollada y los conocimientos que deberán ser ulizados; se proponen estrategias heuríscas y se indican posibles dicultades que encontrarán los estudiantes al resolver los problemas.
Estructura de cada acvidad: El cuaderno está compuesto por 28 acvidades. Cada una propone cuatro tareas o situaciones problema que el estudiante debe desarrollar de manera personal o colecva. A connuación, se describe la estructura de una acvi dad. La Tarea 1 presenta
una situación de la vida codiana de menor complejidad con preguntas que conducirán al estudiante a la resolución del problema planteado.
Se recomienda que esta tarea se realice de manera individual.
Las Tareas 2 y 3 presentan situaciones algo más complejas que la de la Tarea 1 y propone una metodología de cuatro pasos, con preguntas y orientaciones para conducir a los estudiantes en la resolución del problema.
Se sugiere que estas tareas se desarrollen en grupo de dos estudiantes.
La Tarea 4 presenta una
situación problema de mayor complejidad, en la cual el estudiante debe poner en prácca los conocimientos y habilidades aprendidos. Asimismo, plantea preguntas orientadoras que ayudarán a los estudiantes a tener éxito en su solución.
La sección ¿Qué aprendí? detalla los aprendizajes que debe haber desarrollado el estudiante al concluir la acvidad y relaciona su importancia con situaciones codianas.
La sección Autoevaluación plantea una pregunta referida a la actuación del estudiante en el desarrollo de la acvidad, por lo cual deberá marcar el nivel que considere haber alcanzado.
Se propone que esta tarea se ejecute en grupo de tres o cuatro estudiantes.
Índice 1. Aspectos teóricos de la heurísca
08
2. El plan de cuatro fases
12
3. Algunas estrategias comentadas
15
4. El trabajo en equipo
21
Acvidad 1
Los nmeros ordenan tu mundo
22
Acvidad 2
Los nmeros ayudan a pensar mejor
28
Acvidad 3
No dividas y vencerás
34
Acvidad 4
Las proporciones nos brindan información
40
Acvidad 5
Ojos que no Venn
46
Acvidad 6
Proporcionalmente
52
Acvidad 7
Fracciones de realidad
58
Acvidad 8
Porcentajes que ponen y quitan
64
Acvidad 9
El lenguaje de los nmeros
70
Acvidad 10
Pensar lógicamente
76
Acvidad 11
Incógnitas a nuestro alrededor
82
Acvidad 12
Las ecuaciones al rescate
88
Acvidad 13
El mundo está lleno de incógnitas
94
Acvidad 14
Textos que esconden nmeros
100
Acvidad 15
La función de las funciones
106
Acvidad 16
Nmeros en todas partes
112
Acvidad 17
Funciones que muestran cambios
118
Acvidad 18
La geometría es más que cálculos
124
Acvidad 19
Medidas en nuestras vidas
130
Acvidad 20
Decisiones bien medidas
136
Acvidad 21
La geometría de los mínimos
142
Acvidad 22
Medir para decidir
148
Acvidad 23
Medimos las regiones y sus contornos
154
Acvidad 24
Estadíscas que nos hacen pensar
160
Acvidad 25
Los promedios de por medio
166
Acvidad 26
La matemáca sí cuenta
172
Acvidad 27
Un mundo de incerdumbres
178
Acvidad 28
Jugando con el azar
184
Bibliograa comentada
190
Enlaces web
191
1. Aspectos teóricos de la heurística
importante notar que el empo que se dedica a la resolución de un problema no puede preverse de antemano y que la inversión de energía y afecvidad es importante en e sta tarea (IREM, 1973).
La heurística se preocupa del estudio del proceso de solución de problemas en forma general, tratando de desarrollar estrategias descripvas, nunca prescripvas, que puedan servir a una persona en su camino a converrse en un hábil resolutor de problemas. En las páginas siguientes, cuando nos reramos a problemas lo haremos dentro del campo matemáco, aunque el sistema heurísco es fácilmente aplicable a otras áreas del conocimiento.
1.1. ¿Qué es un problema? Hemos usado hasta aquí la palabra problema sin habernos preocupado de denirla en el sendo en el que queremos ulizarla en el presente texto. Este vocablo se ha empleado en el aula, de manera indiscriminada, para referirnos, muchas veces, a sencillos ejercicios de rep eción. En la didácca de la matemáca, la denición de problema ha pasado por diversas discusiones y ha ido evolucionando hacia otros conceptos que implican aspectos psicológicos y sociales. Hagamos un breve recorrido por algunas de las deniciones del término que se han manejado a lo largo de la historia:
• Tarea de contenido matemático, cu yo enunc iado es signicavo para el estudiante (…) que este (lo) desea abordar, y para el cual no ha producido sendo (Puig, 1996). • En general, es una situación que parte de un estado inicial indeseado y debe llegar a un estado nal deseado. Entre ambos existe al menos una “barrera” que bloquea el paso del uno al otro (K. Duncker). Como hemos visto, un rasgo común a las deniciones anteriores radica en que no existen caminos visibles e inmediatos para poder afrontar la situación. Otro ingrediente es la actitud del individuo, el interés que muestra al enfrentarse al problema. En este texto, ulizaremos la siguiente denición que creemos resume las anteriores y nos da un espectro amplio que permita desarrollar un sistema heurísco úl para las aulas de Secundaria. Un problema es una situación que plantea una cuesón matemáca, cuyo método de solución no es inmediatamente accesible al sujeto que intenta responderla, porque no dispone de un algoritmo que relacione los datos y la in cógnita o los datos y la conclusión; por tanto, debe buscar, invesgar, establecer relaciones, implicar sus efectos, etc., para hacer frente a la situación nueva.
• Planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos ciencos (Real Academia Española, 2001). • Proposición dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son conocidos (Espasa Calpe, 2001). • Situación signicava a la que una persona quiere dedicarse, pero para la que no dispone de un modelo conceptual estable (Lesh, 1982). • Situación que diere de un ejercicio, donde la persona que pretende resolver no ene un proceso algorítmico que le conducirá, con certeza, a la solución (Kantowki, 1981). • Situación que supone una meta para ser alcanzada, donde existen obstáculos para lograr el objevo y en la que se requieren deliberación y desconocimiento del algoritmo úl para resolverla. Es usualmente cuantava o demanda técnicas matemácas para su solución. Debe ser aceptada como problema por alguien, antes de que pueda ser llamada problema (House, Wallace y Johnson, 1983). • Situación que, individualmente o en grupo, se acepta para desarrollar una tarea para la que el camino que determina la solución no es obvio inmediatamente. Puede ser enfocado de muchas maneras (Brannan y Schaaf, 1983). • Situación en la que se plantea una tarea o una interrogante para las cuales un individuo o grupo no ene previamente un procedimiento de solución (Tapia, 1996). • Acvidad en la que el estudiante debe buscar enfrentarse a situaciones nuevas, establecer relaciones, y en la que el profesor trata de suscitar la curiosidad y de movar al estudiante para que persevere en la invesgación. Es
Resolvamos 1
MD
Esta definición difiere, en gran medida, de lo que comúnmente se observa en las instuciones educavas, donde se suele confundir el concepto de ejercicio con el de problema. En general, se puede observar cuatro connotaciones que tradicionalmente se le da a esta palabra: Problema es el caso en el que la regla por aplicar salta a la vista, debido a que acaba de ser presentada y estudiada en clase.
Problemaesunasituación en la que se debe elegir la regla que se debe aplicar y que se trabajó en clase recientemente.
Problema es el caso para cuya solución hay que elegir una combinación de reglas previamente estudiadas.
Problemaesunasituación en la que hay que invesgar; su tratamiento exige una combinación original de reglas y el uso de razonamientos admisibles.
En este punto, conviene plantear algunas diferencias entre lo que llamamos ejercicio (resolución runaria) y problema (resolución no runaria). Para ello, consideraremos los siguientes aspectos:
8
a. El comportamiento que debe seguir el estudiante
En un ejercicio, basta que aplique en forma algorítmica los conocimientos ya adquiridos; en cambio, en un problema es necesario que se familiarice con la situación, que experimente, parcularice y busque caminos de solución, hasta llegar a ella. b. El objevo que persigue el profesor
En un ejercicio, se busca que el estudiante aplique conocimientos en forma runaria; en un problema, se requiere que invesgue.
Primaria
Para un estudiante de tercer o cuarto grado de Primaria sin ningún conocimiento de lenguaje algebraico, este es un problema que exige una forma creava de pensar. Veamos, por ejemplo, cómo lo resuelven Tania y Julio: Tania lo resolvió ulizando material concreto (19 chas de ludo). Primero le dio 5 chas a Ana y después reparó el resto alternadamente entre Ana y Estela. Ana
Estela
c. El empo a emplear
En un ejercicio, el profesor puede prever el tiempo necesario para resolverlo; es más, en algunas instuciones educavas se plantea como meta resolver una candad determinada de ejercicios en la sesión prevista. En el caso de un problema, su solución puede llevar mucho más empo, debido a q ue moviliza la comprensión, el planteamiento y la reexión de una situación.
Julio lo resolvió por ensayo y error. Primero, solamente tanteó de forma impulsiva; luego, se dio cuenta de que podía sistemazar su tanteo, llegando, nalmente, a la respuesta. Primer ensayo Segundo ensayo Tercer ensayo
: Ana = 5, Estela = 14. : Ana = 10, Estela = 9. : Ana = 12, Estela = 7. (Respuesta correcta).
d. La dimensión afecva
La resolución de ejercicios no suele generar emocion es importantes, su proceso reproducvo genera pasividad y es frecuente confundir “carga movadora” con “candad de ejercicios” que el estudiante realiza; mientras que la solución del problema supone una gran carga movadora en todo su proceso y predispone a asumir, de forma desaante, tanto el cuesonamiento como las formas de resolver y enfrentarse a un problema. Estas disnciones y consideraciones las hemos dado de sde un punto de vista objevo, suponiendo un sujeto ideal; sin embargo, debemos considerar otros parámetros inherentes a él. Lo que para uno es un problema para otro puede ser un simple ejercicio. Esto depende básicamente de lo siguiente: • Conocimientos previos, experiencias y habilidades • Diversidad de pensamiento Ilustraremos el tema con un ejemplo tomado de la realidad referido a la base de conocimiento, habilidades
Secundaria
Para Roberto, un estudiante de tercero de Secundaria, este enunciado no es más que un ejercicio sencillo, pues los conocimientos previos que posee le permiten realizarlo haciendo uso de un planteamiento algebraico. Esquema de Roberto (3.° de Secundaria)
Edad de Estela
:x
Edad de Ana
:x+5
Ecuación
: x + x + 5 =19
Solución
:x=7
Respuesta
: Ana ene 12 años y Estela, 7 años.
y experiencias.
Otro parámetro en esta aproximación, desde el punto de vista del sujeto, es la diversidad del p ensamiento.
Problema: Ana es cinco años mayor que Estela. Si la suma de sus edades es 19 años, ¿cuál es la ed ad de cada una de ellas?
Así, pese a tener la misma base de conocimientos, habilidades y experiencias, las personas poseen ciertas redes conceptuales y patrones mentales que permitirán a unas simplificar una situación, mientras que otras no verán la solución. Ilustraremos lo dicho utilizando una forma de planteamiento de un examen de admisión.
MD
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Manual para el docente
solución. Finalmente, vencida por la dicultad, se qu edará mirando el plato, frustrada por no haber logrado su objevo.
Problema: Hallar la medida de AC, sabiendo q ue ABCD es un rectángulo y D es el centro de la circunferencia mostrada, cuyo radio mide 2 m.
A
B
D
C Si hacemos el mismo experimento con un perro, este intentará acercarse al plato de comida, primero, enfrentando la malla; pero luego adverrá que puede retroceder, evitar el obstáculo y encontrar el plato de comida al otro lado.
Situación A: Los estudiantes orientados a usar algoritmos y fórmulas abordaron el problema utilizando el teorema de Pitágoras, introduciendo variables y resolviendo una ecuación cuadráca. Situación B: Otros estudiantes vieron la simplicidad de un nuevo enfoque. Solución rápida:
A
B
D
C
La acción que realiza la gallina es un ejemplo de cómo funciona el pensamiento lineal. A ella le cuesta mucho trabajo retroceder y abandonar su meta, aunque sea momentáneamente, por lo que solo intenta resolver su problema atacándolo directamente. Por otro lado, el comportamiento del perro ejemplica el pensamiento lateral, que es más evolucionado. A él no le importa dejar de ver el plato un momento, porque sabe que luego su recompensa será conseguirlo.
1.2. Aspectos que afectan la solución de problemas AC es una de las diagonales del rectángulo ABCD, la otra diagonal es el radio. Luego AC = 2 m.
Observar un mismo problema desde varios puntos de vista, contextos y perspecvas da lugar a diversas estrategias que son entrenadas revisando ejercicios de pensamiento lateral . Esta expresión fue acuñada por Edward de Bono para poner de maniesto un modo de pensar disnto del lineal, que es como la mayoría de nosotros dirigimos nuestro pensamiento. Supongamos que, separados por una malla metálica, colocamos a una gallina hambrienta frente a un plato de maíz. La malla permite ver el plato, pero el pico de la gallina no llega a alcanzar el maíz, por lo que arremete contra el obstáculo, sin darse cuenta de que podría buscar otra
Resolvamos 1
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Aspecto cognivo Habíamos visto que los conocimientos previos pueden afectar una adecuada resolución de un problema. A ella le agregamos el plano de los metaconocimientos; plano no observado hasta 1976 y constituido por los conocimientos acerca de nuestros procesos mentales. En este campo, precisamente, se centran los trabajos para la correcta confección de un retrato heurístico del sujeto y su posterior mejora. En un plano metacognitivo, podemos considerar dos aspectos relacionados entre sí, propuestos por J. Garófalo y F. Lester, en 1985: • Las creencias acerca de los conocimientos. • La regulación y control de la propia cognición.
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El primer aspecto se refiere a conocer las capacidade s y tener conciencia de cuáles son las aptitudes reales. También se refiere a aquellas situaciones construidas por la experiencia del individuo que le crean inseg uridad o ansiedad, de acuerdo con lo que él “cree” de su manejo cognitivo. Aquí se inscriben aquellas personas que manifiestan a priori resolver mejor los problem as algebraicos que los problemas geométricos. El segundo aspecto se refiere a una situación reflexiva y de interiorización del conocimiento. Es como nuestra conciencia que nos señala caminos, actitud y grado de perseverancia en tal o cual estrategia resolutiva.
y a la acvidad de resolver problem as, con la consiguiente secuela de desnivelación que e sto producirá. Una de las consideraciones más importantes en una clase es la que se brinda a la movación y predisposición q ue despertemos en nuestros estudiantes. Sin una buena actud hacia la matemáca, poco podremos conseguir con nuestras lecciones. Para movarlos, presentemos curiosidades, algunas paradojas, un juego lógico, un truco de magia o cualquiera de las múlples posibilidade s que la matemáca recreava nos puede aportar.
Como señala Alan Schoenfeld, la diferencia entre un novato y un hábil en resolución de problemas suele situarse en el plano metacognitivo; por esta razón, muchos investigadores trabajan en esta área, a fin de mejorar la habilidad para resolver problemas.
Inuencia del contexto
Aspecto afecvo La dimensión afectiva es vital en la resolución de problemas matemácos. La carga emova puede llevarnos a importantes sasfacciones, pero también nos puede sumir en una peligrosa frustración. Por eso, es importante que el profesor seleccione, adecuadamente, los problemas que trabajará con sus estudiantes, con el n de proponer invesgaciones que les sea posible abordar. Uno de los componentes de la dimensión afecva, que la escuela ha impregnado en nuestros estudiantes, es retratado perfectamente por M. Callejo:
Es casi un dogma social que la matemáca es el ltro en las universidades y el área con mayor candad de desaprobados en nuestras instituciones educativas. Diversos factores que comprometen a los agentes sociales han condicionado un contexto con una presión cultural y una tradición no matemáca. Nuestros estudiantes no la valoran y solo buscan estudiarla con un objevo denido: pasar las evaluaciones. La resolución de problemas se desarrolla en la vida cotidiana. Es necesaria para comprender, analizar y tomar decisiones frente a la abundante información que recibimos de diversos medios. Por ello, estamos convencidos de que el desarrollo de la competencia en resolución de problemas en matemáca puede ayudar a mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Las acvidades matemácas se resuelven casi siempre en pocos minutos. Si te q uedas bloqueado, tendrás la impresión de perder el empo. Se trabaja en una dirección. Si no sale ese camino, se abandona la tarea. El problema termina cuando se halla la solución. Si esta no es correcta, el trabajo y el empo inverdo fueron en vano. Los estudiantes con estas creencias van a observar, a la hora del trabajo personal, comportamientos y senmientos de frustración cuando: • se demoren al resolver un problema. • el problema no salga por el método enseñado en clase. • consulten la respuesta y no sea la correcta. Estos senmientos se transforman en rechazo a las tareas MD
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Manual para el docente
2. El plan de cuatro fases En la solución de problemas, existen varios esquemas que nos presentan el orden más adecuado para empezar a enfrentarse con situaciones novedosas. A connuación, citaremos algunos de los que se han desar rollado hasta la fecha, indicando el nombre de su creador y el año en que fue publicado. Esquema de George Pólya, 1945
• • • •
Comprender el problema Diseñar una estrategia Ejecutar el plan Visión retrospecva
2.1. Familiarización y comprensión En esta fase el estudiante debe identificar la incógnita, reconocer los datos, identificar las condiciones, si son suficientes, si son necesarios o si son complementarios. Para ello, debe leer atentamente el problema. Si es posible, debe ser capaz de expresarlo con sus propias palabras, así no sea tan riguroso su lenguaje. Una buena estrategia es hacer qu e le explique a otro compañero lo que se está solicitando en e l problema. Es importante respetar aquí el ritmo de aprendizaje de cada uno. Estrategias para la compresión:
• Lectura analíca • Parafraseo • Ejemplicación
Esquema de Wallas, 1971
• • • • •
Familiarización Incubación Inspiración Ejecución Vericación
Esquema de Mason-Burton- Stacey, 1982
• Abordaje • Ataque • Revisión Método ideal (Bransford y Stein, 1984)
• • • • •
Idencación del problema Denición y representación del problema Exploración de posibles estrategias Actuación fundada en una estrategia Logros. Observación y evaluación de los efectos de las acvidades
Esquema de Alan Schoenfeld, 1985
• • • •
Analizar y comprender un problema Diseñar y planificar una solución Explorar soluciones Verificar la solución
El esquema que hemos ulizado y que nos ha brindado buenos resultados con los estudiantes consta de cuatro fases. Bajo este marco se desarrollan las tareas 2 y 3 de cada acvidad del Cuaderno de trabajo para estudiante s. A la nomenclatura formal de cada fase se ha propuesto un nombre coloquial de modo que facilite su comprensión:
El docente debe indicar a los estudiantes que lean el problema con tranquilidad, sin presión ni apresuramiento, que jueguen con la situación, que le pierdan el temor inicial. Además, debe asegurarse de que entiendan el problema, ya que podría ocur rir que algunos de los términos no sean conocidos por todos. Por ejemplo, si introducimos la expresión cuadrado perfecto y no conocen lo que significa, el problem a no va a ser comprendido. Es necesario, pues, identificar aquellos términos que pueden causar dificultades y definirlos, explicarlos, hasta que todos hayan entendido su significado. Algunas veces, cuando hemos concluido un problema o una demostración, los estudiantes nos preguntan: “¿Allí termina?”. Esto indica que no comprendieron al inicio la naturaleza de la solución. En algunos problemas, la respuesta es un número; en otros, una expresión algebraica, un gráfico o una expresión argumentativa de toma de decisión, entre otros. En las d emostraciones, se da a conocer un conjunto de pasos debidamente fundamentados. Por esta razón, es importante que hagamos explícita la naturaleza de la solución, que los estudiantes puedan reconocerla antes de iniciar el proceso de búsqueda de la estrategia, con lo que sabrán de antemano lo que se busca y cuándo el problema puede decirse que está terminado.
Familiarización y comprensión
Antes de hacer, vamos a entender
Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan
Elabora un plan de acción
Durante la familiarización, se suele experimentar una tensión por la búsqueda de un plan de resolución, lo que, en algunos casos, puede desembocar en interés y, en otros, en ansiedad. Cuando se produce la familiarización, se experimentan sentimientos positivos que cobran más o menos intensidad, según las expectativas que se tengan sobre el éxito de dicho plan.
Ejecución del plan y control
Desarrolla tu plan
Algunas preguntas que pueden ayudar a familiarizarse con el problema y comprenderlo pueden ser:
Visión retrospecva y prospecva
Sácale el jugo a tu experiencia
• ¿Enenden el signicado de los términos del problema?
Modelo teórico
Para los estudiantes
• ¿Pueden indicar la naturaleza de la solución? En las siguientes líneas, explicaremos con detalle cada una de las fases, las cuales se subdividen en interrogantes o consejos que permiten ordenar nuestro pensamiento y plantearemos algunas preguntas que el profesor puede formular en ellas para ayudar al estudiante. Resolvamos 1
MD
• ¿Tienen en cuenta toda la información relevante? • ¿Pueden expresar el problema con sus propias palabras? • ¿Pueden explicarlo en términos de un esquema?
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• ¿Cuál es la incógnita? • ¿Cuáles son los datos? • ¿Cuál es la condición? • ¿Es la condición suciente para determinar la incógnita? • ¿Es insuciente? ¿Es contradictoria? ¿Es redundante?
2.2. Búsqueda de estrategias y elaboración de un plan En la segunda fase, e l estudiante comienza a explorar la situación, experimenta, parculariza. Empezar por lo fácil hace fácil lo dicil. El plan es un conjunto de estrategias heuríscas que se seleccionan con la esperanza de que el problema llegue a ser resuelto. Podrá elegir la más adecuada, dependiendo de las caracteríscas del problema. Esta es una de las fases más importantes en el proceso de solución, pues depen de tanto de la base de conocimientos como de la calidad d el pensamiento.
Una estrategia que podemos utilizar es resolver un problema análogo al que les estamos presentando. Los estudiantes deben identificar las analogías, sean de contenido o de método, y aplicarlas a la situación que intentan resolver. El docente debe estar atento a la motivación de los estudiantes e intervenir cuando esta decaiga. Si están desanimados porque el camino elegido no los conduce a la solución, ayúdelos a ver el problema desde otra perspecva. Pida que supongan el problema resuelto, genere una atmósfera propicia para la invesgación y promueva la experimentación, el ensayo, la comunicación. De ser necesario, brinde sugerencias e incenve a que formulen y evalúen sus propias conjeturas. Algunas veces, será necesario reconocer la dicultad del problema para que ellos sientan que están trabajando en algo dicil y que requiere perseverancia y dedicación. Algunas sugerencia s y preguntas que el profesor puede hacer en esta fase son: • ¿Te has encontrado con un problema semejant e? ¿O has visto el mismo problema planteado de forma ligeramente diferente? ¿Conoces un problema relacionado con este? ¿Conoces algún teorema que te pueda ser úl?
En general, debemos ayudar a los estudiantes a diseñar un plan, lo que se logra haciendo preguntas como las aquí presentadas. También es posible que identifiquemos la información relevante subrayando en el texto lo imp ortante o preguntando: “¿Este dato, • ¿Has encontrado un problema relacionado con el tuyo y que has resuelto ya? ¿Puedes ulizar su método? a qué conclusiones me puede hacer llegar?”. Luego ¿Puedes usar su resultado? podemos enumerar todas su s posibles respuestas a esta interrogante, de las cuales elegiremos, conjuntamente • ¿Puedes enunciar el problema en forma distinta? con ellos, aquella o aquel las que nos sean úles para la ¿Podrías plantearlo de otra manera? Cambia la solución. terminología, regresa a las deniciones. • Si no puedes hallar la solución del problema propuesto, trata de resolver primero algún problema similar. Encuentra ejemplos de la situación. Experimenta, parculariza, recue rda que empezar por lo fácil hace fácil lo dicil. Imagínate un problema análogo, pero más sencillo. ¿Puedes resolver una parte del problema? Considera solo un fragmento de la condición, descarta la otra parte. Realiza un esquema, una figura, un diagrama. Supón el problema resuelto. Empieza al revés, usa el razonamiento regresivo.
Estrategias para la acción:
• Busca una meta menor. • Parculariza. • Generaliza. • Tantea (ensayo y error). • Trata de encontrar un patrón. • Razona hacia atrás.
• ¿Has ulizado todos los datos? ¿Has empleado toda la condición?
• Elige una notación adecuada. • Supón el problema resuelto.
2.3. Ejecución del plan y control
• Supón que no se puede resolver. • Modica el problema.
Cuando el estudiante decide qué estrategias utilizar, viene la fase de la ejecución del plan, que debe realizarse siempre en forma controlada, evaluando cada paso de su realización, a fin de saber si el plan lo está acercando a la respuesta o lo está conduciendo a una situación compleja. Si lo lleva a la solución, pasará a la siguiente fase; de lo contrario, deberá repetir la fase dos. La actitud juega aquí un rol protagón ico, conviene no desanimarse. Es importante no abandonar una estrategia antes de revisar los diversos aspectos de esta, sin perder de vista que existen otras que eventualmente podríamos utilizar.
• Busca analogías con otros problemas. • Hazte un diagrama. • Plantea una ecuación. • Haz una simulación. • Construye un modelo sico de la situación. • Descompón el problema en partes. • Haz una tabla. • Construye una lista sistemáca.
En esta fase entran a tallar los mecanismos de regulación mental y la habilidad para salir de bloqueos. Aconsej e
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Manual para el docente
al estudiante que, al ejecutar su plan de solución, compruebe cada uno de los pasos. “¿Puedes ver claramente que el paso es correcto?”. Que actúe con flexibilidad, si las cosas se complican demasiado, que intente otro camino. Esto es lo que se llama un adecuado manejo de dos principios complementarios: el de perseverancia y el de varied ad, es decir, si por una parte no se debe abandonar un aspecto que nos haya sugerido algo útil, por otra parte es necesario examinar tantos aspectos como sea posible; que intente ver siempre algo nuevo. Cuando el problema haya sido resuelto, pregúntele: “¿Estás seguro? ”. “¿Cómo lo compruebas ?”.
2.4. Visión retrospectiva y prospectiva Cuando se ha obtenido una solución (no una respuesta, podrían haber varias o ninguna), se ingresa a la cuarta fase, donde se efectúa una reexión acerca del proceso ejecutado. Asimismo, se realiza una vericación d e la solución, pudiendo modicarse el problema o generalizar los resultados. Esta úlma fase ha tomado gran fuer za en invesgaciones recientes y es considerada como la más importante en el proceso heurístico. Estudios actuales afirman que es posible mejorar las habilidades para resolver problemas si se mejora el aspecto metacognivo. Para ello, la herramienta más poderosa es la metarreexión consciente, que nos permite observar nuestros bloqueos, emociones, etc., al resolver un problema. Estrategias para la reexión:
• ¿Podrías hacer un diagrama procedimental que sirva para resolver problemas de este po? • Reexiona sobre tus emociones, tus estrategias de pensamiento y tus preferencias. Gana experiencia para el futuro. • Recuerda que cada vez que resuelves un problema estás desarrollando tus habilidades de solución y de trabajo con la matemáca. Esta es una fase esencial para el mejoramiento de la habilidad del estudiante al enfrentarse con problemas. Los psicólogos e invesgadores la señalan como la fase principal para el conocimiento de la persona, de sus procesos mentales, sus preferencias y sensaciones durante el proceso de solución. Al contrario de lo que se suele pensar, solucionar un problema entraña diversas emociones y senmientos que pueden ser el motor que impulse a buscar resultados o, por el contrario, que bloquee dicho proceso, en caso de ocurrir emociones negavas. Promover la reexión sobre el proceso de solución
• Una estrategia interesante es el uso del problema como fichero mental para resolver nuevos problemas. Los estudiantes deben incorporar la idea de que cada vez que encuentran una solución, el procedimiento y su resultado pasan a formar parte de nuestras redes mentales de conocimientos, que podemos acvarlos en otras situaciones. • Para educar la flexibilidad del pensamiento, el docente puede incenvar a que busquen y presenten otros caminos de solución al problema. Visualizar soluciones desde otras perspectivas ayuda a incorporar heuríscas úles que pueden ser usadas luego, en forma deliberada, cuando sean necesarias. • Realizar variaciones y presentar preguntas o generalizaciones del problema dado van a desarrollar la capacidad de invesgación de nuestros estudiantes. Promover líneas de invesgación, así no sean abordadas en el momento, ayudará a entender cómo es que los matemáticos generan nuevos conocimientos.
• Controlar paso a paso lo que se hace. • Vericar y comparar la solución. • Ubicar los puntos diciles. • Modicar las condiciones o los datos del problema y resolver uno nuevo. • Reflexionar sobre la naturaleza del problema general. Algunas indicaciones y preguntas que el profesor puede hacerle al estudiante para promover esta etapa son: • Examina a fondo el proceso seguido. ¿Cómo has llegado a la solución? ¿Puedes vericar cada paso?
Por lo general, esta úlma fase del proceso de solución de un problema es descuidada en las aulas; sin embargo, en esta reexión sobre lo actuado es precisamente cuando el estudiante toma conciencia de sus potencialidades e idenca sus debilidades, conviréndose en un ser responsable y críco de su propio proceso ante tareas matemácas.
• Trata de entender cómo funcionaron las cosas. ¿Por qué ese camino te llevó a la solución? • ¿En qué momentos te quedaste bloqueado? • ¿Cómo lograste salir del bloqueo? • ¿Qué te dio la pista para decidir la estrategia a usar? ¿Algún dato? ¿Algún problema semejante? ¿Algún modelo? • Trata de aislarte del problema en sí y verica los procesos generales de tu solución.
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3. Algunas estrategias comentadas Un buen resolutor de problemas debe llegar a desarrollar la capacidad de resolver un problema por diversos métodos, además debe estar en capacidad de combinar estrategias creativamente En cada etapa de de sarrollo de la solución debemos definir qué estrategia se u tilizará en la siguiente fase.
3.1. Estrategias de comprensión Lectura analíca Leer analíticamente un texto es dividirlo en unidades que proporcionen algún tipo de información y establecer, luego, cómo estas partes del texto se interrelacionan y muestran el panorama de lo qu e se quiere decir. Al leer un problema de manera analítica uno puede preguntarse: ¿quiénes participan en la historia?, ¿qué es lo no varía a lo largo de la historia?, ¿cuántos estados se perciben en el texto?, ¿cuáles son los datos que nos proporcionan?, ¿qué datos son relevantes para resolver el problema?, ¿qué es lo que debemos encontrar?, ¿qué condiciones se imponen a lo que buscamos?, entre otras preguntas, que ayudarán a que el estudiante se familiari ce y le pierda temor a la situación. La lectura analítica ayuda mucho en la comprensión lectora del texto que da origen a un problema, pero no garantiza el camino a su solución. Leer analíticamente no es identificar las palabras claves ni buscar tips para encontrar la variable (estos son procesos me cánicos que no ayudan a comprender cabalmente un problema). En la vida real los problemas matemáticos pueden no contener esas palabras claves que aparecen en problemas diseñados para libros de texto y el estudiante enfocará erradamente un problema si hace uso de este mecanismo. La lectura analítica es importante en la comprensión de problemas pues estos textos contienen elementos matemáticos como números, diagramas, relaciones dentro de una historia o un contexto real complejo que no es lo mismo que leer un cuento o un e nsayo. De hecho hay personas que comprenden perfectamente textos humanísticos, pero no textos que contienen elementos matemáticos.
Parafrasear Parafrasear es decir algo de otro modo para conseguir claricar y comprender un texto. Explicar un problema de texto en sus propias palabras ayuda mucho en el proceso de comprensión. Hay que decir que parafrasear no implica aprenderse de memoria un texto y reperlo; es señalar lo más importante de una historia y expresarlo con palabras, evitando en lo posible parcularidades con números, fechas, nombres, locaciones, etc.
Problema
Parafraseo
Jaime es el organizador de la esta de n de año de su colegio. Él ha proyectado ganar S/.4800, para lo cual reparte 200 tarjetas, pero, lamentablemente, solo se vendieron 130 tarjetas lo cual le causó una pérdida de S/. 150. ¿Cuánto inviró en la esta?
Una persona organiza una esta; para ganar necesita vender una cantidad de tarjetas, pero vendió menos y perdió. Nos piden saber cuánto inviró en la esta.
Se sugiere que el d ocente tome todos los problemas del cuaderno y realice una lectura analíca de los mismos, que produzca sus propios esquemas de comprensión y que realice al menos dos parafraseos por cada problema presentado. Esos ejercicios lo ayudarán a mejorar su desempeño en la conducción de las tareas en aula.
Hacer esquemas La capacidad de representar una situación compleja mediante esquemas es algo que se va aprendiendo desde los primeros años de escolaridad y contin úa en proceso de construcción toda la vida. Hacer e interpretar esquemas son algunas de las capacidades más necesar ias en nuestra vida laboral adulta. En diversas situaciones cotidianas se requiere de la esquematización de los sistemas, las situaciones, los procesos, con el fin de comprender los mejor. Un esquema apunta a encontrar una estrategia de solución; no existe una relación directa entre hacer un esquema y dar solución a un problema, pero ayuda mucho en este proceso.
3.2. Estrategias de resolución Una estrategia importante en la búsqueda de soluciones es representar el problema mediante algún organizador visual. Aquí presentamos algunos organizadores de información que se ulizan frecuentemente en el proceso de resolver problemas matemácos.
Veamos un ejemplo para aclarar este enfoque:
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Manual para el docente
Diagramas de ras Se ulizan mayormente cuando la candad que interviene en el problema varía en el empo o es dividida en partes que se relacionan entre sí. Ejemplo: La tercera parte de las entradas para el estreno de una película se vendió días antes de la función y el día del estreno se vendió 1/3 del resto. Finalmente, quedaron 48 entradas sin vender. ¿Cuál era el nmero total de entradas previsto para la función de estreno? Solución: Candad: Nmero total de entradas. Elabora un diagrama de ras.
Diagramas de ujo Se emplean cuando una candad varía a lo largo de la historia o cuando tenemos la situación nal de esta candad. También cuando se dan secuencias de pasos para encontrar objetos matemácos, entre otras aplicaciones. Ejemplo: Un nmero se duplica, luego se le resta 8, después se invierten las cifras de este nmero. Finalmente, se divide por 6 y se obene 8. ¿Cuál era el nmero? Solución: Haremos un diagrama que indique las fases por las que pasó el nmero.
48
x 2
-8
Inverr
÷6
8
Diagramas tabulares (tablas)
Diagramas conjunstas
Se emplean cuando se brinda información sobre caracteríscas que relacionan dos grupos. También en problemas sobre edades o de proporcionalidad, en los que hay que buscar algn patrón o regla de formación.
Se suele recurrir a estos cuando se trata de información acerca de dos o más grupos, cuyos elementos pueden pertenecer a más de un conjunto. También cuando se deben realizar clasicaciones. Los más conocidos son los diagramas de Venn y los de Carroll.
Ejemplo:
Ejemplo:
Dos amigos enen lápices, borradores y tajadores en sus cartucheras. Hay 8 borradores en total. Mónica ene el doble de lápices que Felipe, quien ene 5 tajadores más que lápices. Mónica ene tantos tajadores como lápices ene Felipe. Mónica ene 18 les y no e ne borradores. ¿Cuántos lápices, tajadores y borradores ene cada uno?
De los 35 estudiantes de un aula, 23 usan lentes y 20 usan reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas? Solución: Grupo 1: Estudiantes que usan lentes. Grupo 2: Estudiantes que usan reloj. U
Solución: Grupo 1: Mónica, Felipe. Grupo 2: Lápices, bo rradores, tajadores. Lápices
Borradores
Tajadores
TOTAL
Mónica
2 x
0
x
18
Felipe
x
8
x + 5
TOTAL
Diagramas cartesianos
8
Diagramas analógicos Se suelen ulizar en problemas geométricos. Son dibujos que representan la realidad de manera similar, pero esquemáca, sin considerar los elementos irrelevantes al problema. Mediante esta representación es posible visualizar las relaciones entre los datos y las incógnitas. Ejemplo: Un hombre de 1,8 m de estatura camina hacia un ed icio a razón de 1,5 m/s. Si hay una lámpara sobre el suelo a 15 m del edicio, ¿cuánto mide la sombra del hombre sobre el edicio cuando se encuentra a 9 m de él?
Son de gran ulidad cuando se requiere representar funciones o cuando tenemos pares ordenados o relaciones entre dos variables. Ejemplo: El crecimiento de un grupo de bacterias se da con el paso de los días de manera constante. Al inicio, había 3 bacterias: después de 8 días hay 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga 400 bacterias? Solución: Candad: Organizaremos los datos en un gráco cartesiano. Pares ordenados: (0;3) (8;20)
Solución: Hagamos un diagrama que represente la situación narrada.
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Ejemplo: El arreglo mostrado se conoce como el triángulo de Pascal.
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Diagramas lineales Se usan cuando se cuenta con información acerca de una caracterísca de un solo grupo. Generalmente se emplean para ordenar los elementos del grupo con respecto a esa caracterísca. Ejemplo: Si tanto Roberto como Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto estás menos alegre que Robe rto, pero más alegre que Alfredo, ¿quién está menos alegre? Solución: Alfredo, Alberto, Roberto, Tomás. Roberto
Alberto
Alfredo
Tomás
+
Diagramas de árbol
1
1 5
1
1 3
4
1 2
1 3
1
1
6 4 1 10 10 5 1
Escribe las tres las siguientes de este arreglo. Como observas, cada la empieza por uno, ¿qué nmero sigue al 1 en la la 75?, ¿cuál es la suma de los nmeros que ocupan la la nmero veinte?, ¿puedes encontrar un patrón en las diagonales del triángulo de Pascal?
Haz una lista sistemáca En los casos en que se requiere la enumeración de objetos matemáticos es conveniente realizar un conteo o listado organizado, con el fin de no dejar de lado ninguna posibilidad. Esta estrategia es muy til al buscar soluciones en una ecuación polinómica, para encontrar espacios muestrales o resolver problemas de permutaciones o combinaciones. Ejemplo:
Se suelen ulizar en conteos de casos posibles o para hacer listas sistemáticas. Es la representación gráfica de los principios de adición y mulplicación.
¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
Pongamos una etiqueta a cada uno de los cuatro triángulos en que se ha dividido el triángulo mayor.
Ejemplo: Un productor de cumbia, quiere armar un do mixto (varón y mujer). El productor puede elegir entre 3 cantantes mujeres y 2 cantantes varones. ¿Cuántos dos mixtos diferentes puede formar?
a b c d
José Rosa Ral
Solución: • Contemos ahora los triángulos identificándolos por el nmero de letras: Triángulos con una letra: a-b-c-d Triángulos con dos letras: ab – bc – cd Triángulos con tres letras: abc –bcd Triángulos con cuatro letras: abcd • En total tenemos: 4+3+2+1 = 10 triángulos en total.
José Ana Ral José Nancy
Generaliza
Ral
En algunos problemas puede ser muy l simbolizar las expresiones o averiguar si lo que piden se reere a un caso parcular de alguna propiedad general; a esto se l e conoce como la paradoja del inventor. A veces es conveniente invesgar más de lo que piden.
3.3. Otras estrategias Busca patrones En algunos problemas es necesario experimentar con varios casos con el n de encontrar pautas o regularidades que después se podrán emplear para llegar a la solución.
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Ejemplo: Hallar el valor de (234756474)2 – (234756473)2.
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Manual para el docente
Solución:
Razona lógicamente
Se observa que elevar al cuadrado cada número y luego realizar la resta sería demasiado laborioso, así que se trata de ver en la estructura del problema alguna parcularidad. Lo primero que se observa es que se trata de una diferencia de cuadrados, lo que nos hace recordar las fórmulas algebraicas pernentes, además se aprecia que los números son consecuvos.
El razonamiento lógico es muy importante al resolver problemas, pues gracias a él podemos engarzar los pasos y comprender las secuencias y cadenas de razonamientos que se producen en el desarrollo de su solución. Un ejemplo clásico es el siguiente acerjo:
• Al generalizar el problema se observa que se solicita: ( n + 1 )2 – n2, cuando n vale 234756474. • Factorizando por diferencia de cuadrados, se ene: ( n + 1 + n ) ( n +1 - n ) = ( n + 1 ) + n • Luego, podemos armar que, para cualquier n entero posivo, se cumple: ( n +1 )2 –n2 = ( n +1 ) + n = 2n + 1. • Ahora el problema se ha simplicado bastante; para hallar la respuesta, solo basta duplicar el número dado y aumentarle 1. • Entonces: (234756474)2 – (234756473)2 = 469512949
José, Jaime, Tito y Rosa son guardias en un museo. José, Jaime, Tito y Rosa hacen guardia cuatro días a la semana. Dos personas solamente hacen guardia cada día. Nadie hace tres días de guardia seguidos.
Parculariza
Conviene siempre ulizar casos parculares para familiarizarse con el problema, de este modo es posible observar algún método que guíe hacia la solución de un problema genérico. Ejemplo: En una enda de remates te ofrecen un descuento del 12 %, pero al mismo empo debes pagar el impuesto general a las ventas (18 %). ¿Qué preferirías que calculasen primero, el descuento o el impuesto?
Ejemplo:
¿Cuál de los tres hombres no hace guardia con Rosa? Solución: • Veamos una lista parcial que muestra los dí as de la semana en los que cada uno hace de guardia: Dom
Lun
Mar
Miér
Juev
Vier
José
Tito
Rosa
José
Jaime Tito
Sáb Rosa
Jaime Empieza por el fnal
La estrategia de ulizar el pensamiento regresivo se uliza mayormente en problemas en los cuales tenemos información de una situación nal; también para demostrar desigualdades. La combinación de métodos progresivos y regresivos es una potente técnica para demostrar teoremas. La ulización del razonamiento regresivo nos evitará tener que trabajar con ecuaciones complicadas. Ejemplo: Ejemplo: El nivel del agua de un pozo desciende 2 cenmetros por debajo de su mitad en cada hora, hasta quedar vacío luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el agua inicialmente? Solución: • “3 cm debajo de su mitad” se interpreta como: ÷ 2, –3. • Esto ocurre en cada hora y se repite 4 veces, ya que todo el suceso ocurre en 4 horas; de modo que al nal el nivel es cero (0). • Las operaciones directas serían así: x → (÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3, ÷ 2, –3) → 0 • Ahora, operando al revés obtenemos: x = 90
Solución: • Parcularicemos para algunos casos: Si el arculo vale S/.100 y elijo el descuento primero, termino pagando S/.106. Pero si elij o pagar el impuesto primero, entonces termino pagando la misma candad. • Podemos probar con otros precios y obtener un resultado análogo. Esta experimentación me da pie para inferir que da lo mismo elegir el descuento o el impuesto primero. • Ahora deberé evalua r mi conjetura.
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Plantea una ecuación
Una de las técnicas de modelación por excelencia a nivel elemental lo constituye el planteo de ecuaciones. Lo primordial para poderla aplicar con éxito es el entrenamiento que se tenga en la traducción del lenguaje cotidiano al lenguaje algebraico. Es conveniente ponerse de acuerdo en cuanto a convenciones generales de redacción para no crear
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ambigüedades.
Utliza el ensayo y error
Ejemplo:
Tantear es una estrategia muy útil cuando se realiza de forma organizada y evaluando cada vez los ensayos que se realizan. En realidad, algunos métodos específicos de solución como el de regulación o el de aproximaciones sucesivas se basan en el uso sistemático de numerosos ensayos y sus respectivas correcciones. La idea es que cada rectificación conduzca a un ensayo que se acerque más a la respuesta.
Dos velas de la misma longitud se encienden al mismo tiempo. La primera se consume en 4 horas y la segunda en 3. ¿Cuánto tiempo pasa, después de haberse encendido, hasta que la primera vela tiene doble longitud que l a segunda? Solución: • La primera vela se consume en la cuarta parte cada hora. La segunda se consume en la tercera parte cada hora. Tiene que verificarse, por tanto: L - (1/4)Lx = 2 [L - (1/3)Lx]; simplificando: 1 - (1/4) x = 2 - (2/3)x de donde x = 2,4 horas.
Ejemplo:
• Es decir 2 horas 24 minutos.
Solución:
Establece submetas
• Primero se observa que: 50 x 50 = 2500, no llega; y 60 x 60 = 3600, se pasa. Con esto observamos que los números están en el rango entre 50 y 60. • 55 x 56 no pueden ser, pues el producto termina en 0. Se quiere que termine en 2 y que los números sean consecutivos. • Al probar 53 x 54 = 2862, el resultado no corresponde. • Pero al hacer la prueba con 56 x 57= 3192, se observa que cumple con el resultado que plantea el problema. • Entonces las páginas que se observaron fueron la 56 y la 57.
Muchas veces, para llegar a la solución de un problema se debe resolver problemas más pequeños. Es como escalar una gran montaña, se sabe que se debe llegar a alturas menores para conquistar la cima. De igual manera, para resolver un problema original se necesita de un problema auxiliar que sirva de medio. Ejemplos: Ejemplo: Supongamos que la población actual del Perú es de 22 millones de habitantes y se sabe que la tasa de crecimiento es de un 5 % anual, ¿en cuánto empo se duplicará la población?
Un libro se abre al azar. El producto de las dos páginas observadas en ese momento es 3192. ¿Cuál es el número de las páginas en las que se abrió el libro?
Supón el problema resuelto
Ejemplo: Usando solo regla y compás construye una tangente a una circunferencia dada, desde un punto exterior a ella. Solución: Para resolver este problema se supone que se debe hallar la tangente a una circunferencia, trazada desde un punto exterior a ella. T O
P
Solución: • La primera meta es hallar una fórmula que modele el comportamiento de la población y solo después de formada se igualará a 44 millones. Si bien aquí la incógnita es el empo, se busca en su lugar la relación entre el empo y el número de habitantes.
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• El punto T es de tangencia. Entonces, ¿qué relación existe entre la tangente y algún elemento de la ci rcunferencia?, ¿existe algún teorema que los relacione? • Existe un teorema que nos dice que el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. • Por tanto, si unimos O con T tendremos que OT es perpendicular a PT. • Además, como tenemos tres puntos involucrados P, T y O, es posible hacer un triángulo uniendo el punto P con el punto O. Se observa que el triángulo es rectángulo.
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Manual para el docente
• En nuestro problema F = 572, entonces C = 300. • Debemos poner el horno a 300 ° C.
T O
Resuelve un problema más simple
P El problema puede ser ahora convertido en el siguiente: “Construir un triángulo rectángulo, recto en T teniendo la medida de OP”. Se puede pensar que este triángulo está inscrito en una semicircunferencia de diámetro PO. De hecho, si se construye una circunferencia con ese diámetro, esta cortará a la antigua en un punto T, tal que PTO es rectángulo y T pertenece a la circunferencia inicial. El problema ha sido resuelto. Procedimiento: a. Se unen los puntos P y O mediante una recta y se determina el punto medio (A) de la recta PO. b. Haciendo centro en A y radio igual a AP o AO se traza un arco que corta a la circunferencia en el punto T (punto de tangencia). c. Uniendo P y T se obtiene una de las rectas tangentes.
Algunas veces, ulizar un método que nos dio resultado con un problema más simple relacionado nos lleva a la solución del problema original. Veamos un ejemplo de la geometría del espacio que hace uso de una propiedad similar, pero en el plano. Ejemplo 01: Encontrar la medida de la diagonal principal de un prisma recto cuyos lados miden 2 m, 6 m, 3 m. Solución: • Primero, hallaremos la diagonal de una cara del paralelepípedo, esto lo haremos usando el teorema de Pitágoras. • Aplicando nuevamente el teorema de Pitágoras obtendremos la diagonal pedida. Ejemplo 02: 1 + 2 =7 x + 1 y - 2
T
2 _ 1 = 4 x + 1 y - 2
O
El problema parece complicado, por los radicales que aparecen, pero tratemos de buscar otra situación más favorable, como un problema semejante, por ejemplo: P
s + 2 t =7
Usa una fórmula
2s - t = 4 Las fórmulas son muy útiles en la resolución de problemas. Muchas veces, al tener un conjunto de datos y buscar una relación entre los mismos recurrimos a fórmulas aprendidas con anterioridad. Es por esto que el buen resolutor de problemas debe tener a mano las fórmulas más importantes de la geometría, álgebra o trigonometría, con el fin de utilizarlas en el momento que crea necesario. Ejemplo: En una receta se lee que para hacer un budín necesitamos colocarlo 30 minutos en un horno a 572° F. Nuestro horno tiene la escala de temperatura medida en grados Celsius. ¿A cuántos grados centígrados deberemos poner el budín? Solución: • Debemos recordar la fórmula que da la conversión entre grados Celsius y Fahrenheit. La fórmula es: 5 C= ( F - 32)
Esto es un sistema de ecuaciones lineales con los mismos coecientes de los que nos dan, pero mucho más simple de resolver. Podemos razonar de este modo, si resolvemos este segundo problema, habremos resuelto el primero, pues los valores de s y t pueden ser igualados a los radicales correspondientes y así obtener x e y . Solución: • Resolviendo el problema más simple, obtenemos que: s = 3 y t = 2. • Ahora, igualamos esto a los radica les: 1 =3 x + 1
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1 =2 y - 2
• Resolviendo para x e y, tenemos que: x = -8/9 e y = 9/4.
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y
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4. El trabajo en equipo
Recuerda que para que el equipo funcione:
El trabajo en equipo ene muchas ventajas tanto para el profesor como para los estudiantes. Desde la perspecva del docente, al trabajar con grupos de cuatro integrantes, una clase de 32 estudiantes se reduce a 8, siempre y cuando los roles al interior del equipo estén funcionando. Asimismo, mejora la calidad de las preguntas que se hagan, pues han pasado por el ltro del grupo, y cuando estas llegan al docente, hay cuatro personas atentas a su explicación . Además, los estudiantes mejoran sus capacidades de comunicación y de argumentación. Sin embargo, no es fácil trabajar en e quipo. Algunas veces, al hacerlo, habrás sendo que haces todo el trabajo, que no te escuchan, que es mejor que cada uno se esfuerce individualmente, etc. Pero bien llevado, el trabajo en equipo es muy rico y aporta no solo al aprendizaje de la matemáca, sino también a comprender las relaciones que se dan entre las personas, a comunicarn os mejor, a saber tolerar y ser pacientes. Por otro lado, trabajar agrupados no significa necesariamente hacerlo en equipo. Seis personas juntas solo hacen media docena; pero si ellas juegan vóley y cada una ene roles y responsabilidades claras durante un juego, entonces estas seis hacen un equipo de vóley. Por esta razón, te recomendamos que, al conformar un equip o, además de tener un líder y tal vez un secretario, consideres que deben presentarse, a lo largo del trabajo, algunos roles picos que detallamos a connuación: Rol
Este rol genera preguntas y comentarios como:
Experimentador
¿Qué tal si probamos casos parculares? ¿Qué tal si hacemos una tabla? ¿Qué pasa si usamos esta variable? Probemos con este número, etc.
Cuesonador
¿Qué es lo que nos piden? ¿Saldrá por medio de una fórmula? ¿Es correcta nuestra respuesta?, etc.
Organizador
Mientras tú llenas la tabla, yo calcularé el costo; traeré la calculadora; usemos papel milimetrado; cada uno que llene su tabla y luego comparemos; etc.
Sumarizador
Solo nos quedan 10 minutos, debemos escribirlo en limpio; pasemos a otra pregunta; ¿a qué conclusiones hemos llegado?; ¿con cuál método empezamos?; etc.
MD
• Es preferible que los estudiantes se organicen en parejas o en grupos de 3 o 4. Más personas en el grupo pueden causar desorden. • Se debe tener en cuenta los cuatro roles, que deben aparecer durante todo el proceso de solución de problemas. No se pide que cada estudiante asuma un rol, sino que estos roles pueden ser asumidos por disntas personas a lo largo del proceso. • Los estudiantes deben tener responsabilidad individual y también comparda. Si no hacen bien su trabajo, perjudicarán al equipo. • Los estudiantes deben depender p osivamente de los otros miembros del equipo, reconocer sus caracteríscas y valorarlas. Tal vez uno redacte o dibuje mejor, o sea más hábil para geometría, otro para aritméca, etc. • Los estudiantes deben interactuar cara a cara con los miembros de su equipo. Se sugiere que se sienten de modo que cada uno pueda ver a los otros. • Se debe movar los esfuerzos y éxitos pe rsonales y grupales de los estudiantes.
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Manual para el docente
1 Los números ordenan tu mundo
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes si se imaginan un mundo sin nmeros. Pídales que recuerden sus acvidades del día, desde que se levantan hasta llegar al colegio, y que escriban aquellas en las que enen que ulizar nmeros. Haga leer a algunos las acvidades que anotaron. Luego, converse con ellos sobre la ulidad y presencia de los nmeros y cómo estos nos ayudan a organizar nuestras labores diarias. CAPACIDAD
Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con nmeros naturales, enteros o racionales. Patrones numéricos CONOCIMIENTOS CONOCIMIENTOS Nmeros naturales Expresiones numéricas PRINCIPALES RELACIONADOS Operaciones con nmeros naturales
T1
Adopta un animal
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
T2
En este caso, la tarea es directa y no requiere mayor interpretación; sin embargo, la pregunta 5 es de tipo abierto y es posible obtener varias respuestas. Una estrategia para responderla es organizar los costos de los animales en una tabla y probar con diversas combinaciones. Los estudiantes pueden tener dificultades para escribir las operaciones y expresiones numéricas, por lo que se les debe ayudar a que las escriban correctamente.
Los canarios
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
La tarea presenta un sistema de ayuda a un zoológico local, en la que se indica el tarifario con los costos de adopción de un animal por un año. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen extraer información de las tablas, con el n de ulizarla en la resolución de situaciones numéricas, así como para realizar operaciones combinadas, pero con nmeros en contexto. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la correcta selección y jerarquización de las operaciones numéricas.
La tarea presenta dos escenarios hipotéticos. En el primero, se colocan tres canarios en cada jaula y en e l segundo, cinco. En cada caso, e l resu ltado es distinto. Con esta información, se debe encontrar la cantidad de canarios. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen solucionar situaciones aritmécas mediante tablas simultáneas o grácos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en reconocer lo que no varía en el problema planteado. En este caso, en los dos escenarios el nmero de canarios que ene Yolanda no varía, solo se modica la disposición que hace de ellos. Reconocer magnitudes invariables es muy l al momento de plantear problemas o seleccionar tablas que permitan resolverlos. En este caso, se propone hacer una tabla que se llena teniendo en cuenta candades arbitrarias de jaulas. Es un tanteo organizado que termina cuando el nmero de canarios es igual en las dos columnas de la tabla: N.°de canarios (1. condición) y N.° de canarios (2. condición). Los estudiantes pueden tener dicultades al modelar la situación en una representación tabular y para entender en qué momento el problema se encuentra resuelto. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y luego explorar diversas vías de solución al mismo problema. Asimismo, es posible plantear una ecuación, tomando como incógnita el nmero de jaulas. Para ayudar a jar la estructura del problema, es posible modicar los datos; por ejemplo, el nmero de canarios que sobran inicialmente o el nmero de jaulas que sobran al nal. a
a
MD
22
T3
Matemáca futbolísca
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
El caso se reere a dos categorías que están vinculadas mediante un conjunto de relaciones numéricas. Las categorías son: a) Los jugadores b) La candad de goles La situación presenta información parcial relava a la candad de goles que anotaron tres jugadores. En función de relaciones entre el nmero de anotaciones de cada uno, se busca determinar la candad de goles que meeron los tres en un año especíco. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que, a parr de información parcial, impliquen tanto extraer conclusiones como integrarlas para obtener un resultado completo. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la idencación, lectura e interpretación de las relaciones numéricas, ya que el proceso de traducir el texto a una situación numérica puede encarar dicultades. En este caso, se propone organizar los datos en una tabla numérica que permita visualizar las relaciones numéricas entre las dos categorías. Es un buen soporte gráco para establecer las relaciones y descubrir qué candad de goles hizo cada jugador. Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar cada una de las pistas numéricas, ya que estas se encuentran en un gran texto. De allí la importancia de hacer preguntas que dividan la lectura en segmentos que brinden información parcial. Nunca se deben usar para este análisis las palabras claves, sino promover la comprensión del signicado de cada expresión verbal. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada (la tabla) y por qué fue la mejor forma de organizar la información. La tabla se uliza siempre que haya un nmero de categorías relacionadas entre sí. Las tablas pueden ser lógicas (lotramas) o numéricas, como en este caso.
El pequeño gran Gauss
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades Más allá del problema
La tarea presenta una famosa anécdota histórica que se le atribuye a Gauss. Es una situación para explorar patrones y razonamientos indirectos. Como se ve, Gauss no realizó directamente la operación, sino que buscó un atajo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen opmizar un cálculo mediante el reconocimiento de patrones. De este modo, se busca que valoren la potencia de la matemáca para, mediante un razonamiento adecuado, ahorrar empo en un cálculo. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en nuevas estrategias; no se debe pensar directamente y empezar a sumar. Los estudiantes deben entender que en estos casos puede ser l cambiar de enfoque y buscar relaciones escondidas en la estructura del problema. Se propone hacer uso del reconocimiento de patrones y emplear un problema análogo, pero de menor envergadura. En lugar de sumar hasta 100, primero resolver el problema de sumar hasta 10; de allí extrapolar el método a una candad más grande. Los estudiantes pueden experimentar dicultades al tratar de razonar de otra manera, por eso las preguntas formuladas enen la nalidad de guiar su razonamiento. El docente debe monitorear las respuestas. Finalmente, se exploran diversas vías de solución; por ejemplo, el método gráco, que ayuda a visualizar las relaciones entre los nmeros. Los estudiantes más avanzados pueden generalizar el método a progresiones aritmécas crecientes o decrecientes.
MD
23
Manual para el docente
1
Los números ordenan tu mundo
Adopta un animal El Parque de las Leyendas ene más de 3500 animales, cuyo costo de alimentación sobrepasa los S/.2 000 000 mensuales. Hace un año, la administración lanzó el programa “Adopta un animal”, mediante el cual personas caritavas pueden ayudar a mantener a los animales de este tradicional zoológico limeño. La tabla muestra los costos anuales de adopción de varios de ellos.
Animal
Costo (S/.)
ocelote
2000
oso de anteojos
3000
bho
500
cóndor
850
alpaca
1800
mono
300
lobo marino
1400
majaz
900
1) ¿Cuánto costaría adoptar 2 bhos, 3 cóndores y 4 alpacas?
Costaría S/.10 750. 2) Una fundación protectora del cóndor nacional quiere inverr S/.14 000 en este programa, ¿cuántos cóndores podría adoptar?
Podría adoptar 16 cóndores. ¿Cuánto dinero quedará?
Quedará S/.400. 3) ¿Cuántos ocelotes puedo adoptar con S/.13 500 si, además, deseo adoptar 3 monos ?
Puedo adoptar 6 ocelotes. ¿Cuánto dinero quedará?
Quedará S/.600. 4) Reexiona sobre las operaciones que realizaste para responder cada pregunta. Luego escribe las expresiones matemácas que te ayudaron a encontrar cada respuesta.
2 x 500 + 3 x 850 + 4 x 1800 14 000 850 (13 500 - 900) 2000
5) ¿Cuántos bhos y monos podrías adoptar con, exactamente, S/.25 000?
Las respuestas pueden variar, por ejemplo: 38 búhos y 20 monos tití.
14
Resolvamos 1
MD
24
Los canarios Yolanda está poniendo sus canarios en jaulas. Ella observa que si coloca tres canarios en cada jaula, le sobra un canario; pero si coloca cinco canarios en cada jaula, le sobran tres jaulas. ¿Cuántos canarios ene Yolanda?
1) ¿Qué es lo que guarda Yolanda?
Si Yolanda tuviese 4 jaulas:
Sus canarios.
1) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la primera condición? 4 x 3 + 1 = 13 canarios.
2) ¿Cuáles son las condiciones del problema? › Primera condición:
2) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la segunda condición? 5 x (4 - 3) = 5 canarios.
› Segunda condición:
Y si tuviese 5 jaulas:
Colocar 3 canarios en cada jaula; sobra 1 canario. Colocar 5 canarios en cada jaula; sobran 3 jaulas.
3) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la primera condición? 5 x 3 + 1 = 16 canarios.
3) ¿Qué es lo que debes encontrar?
El número de canarios que tiene Yolanda.
4) ¿Cuántos canarios debería tener si cumple con la segunda condición? 5 x (5 - 3) = 10 canarios. 5) ¿Cómo podríamos organizar mejor esta información? a) En una tabla de doble entrada de información. b) En un diagrama de Venn. c) Haciendo un gráco cartesiano.
1) Completa las casillas faltantes. N.° de jaulas 4 5 6 7
8 9
10
Luego de haber completado las casillas:
N.° de canarios (1.a condición)
4 x 3 + 1 = 13 5 x 3 + 1 = 16 6 x 3 + 1 = 19 7 x 3 + 1 = 22 8 x 3 + 1 = 25 9 x 3 + 1 = 28 10 x 3 + 1 = 31
1) ¿Qué fue lo que nos dio la pista?
N.° de canarios (2.a condición)
2) ¿Cuál crees que debe ser el nmero de canarios?
5 x ( 4 - 3 ) = 5 5 x ( 5 - 3 ) = 10 5 x ( 6 - 3 ) = 15 5 x ( 7 - 3 ) = 20 5 x ( 8 - 3 ) = 25 5 x ( 9 - 3 ) = 30 5 x ( 10 - 3 )=35
25 canarios. 3) ¿Por qué eliges este nmero?
El número de canarios es igual en las dos columnas, es decir, cumple las dos condiciones del problema.
El número de canarios no puede variar.
2) ¿Cómo organizamos la información?
Mediante una tabla de doble entrada.
3) ¿Qué otra pregunta te pudieron haber hecho? Las respuestas pueden
variar, por ejemplo: ¿cuántas jaulas tiene Yolanda?
4) Si en la primera condición sobraran tres canarios en vez de uno, ¿cuál sería la respuesta correspondiente?
Habría 30 canarios.
MD
25
Manual para el docente
15
Matemática futbolística Un grupo de amigos parciparon en campeonatos escolares. Roberto meó 6 goles durante el campeonato interescolar de ftbol del 2008 y 6 goles en el del 2011. En los años 2009 y 2010 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años, que van del 2008 al 2011, hizo un total de 15 goles. Daniel hizo 14 goles el 2009 y la mitad el 2011. Su total, para los 4 años, fue de 21 goles. Julio meó tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años; pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008. Entre los tres, el 2010 meeron 22 goles. ¿Cuántos goles hicieron el 2009 entre los tres?
1) ¿Acerca de cuántos estudiantes te da información el texto? Nómbralos.
Acerca de 3 personas: Roberto, Daniel y Julio.
goles; mientras que Daniel y Julio no marcaron ese año.
2) ¿Qué es lo que ellos hacen?
2) ¿Cómo consideras que se debería organizar la información de los amigos en todos los años?
Participan en campeonatos escolares de fútbol. 3) ¿Desde qué año te da información sobre los goles? ¿Y hasta qué año?
Desde el 2008 hasta el 2011.
Porque en una tabla de doble entrada se puede identificar lo que cada jugador anotó en cada año. Cada casilla cruza un año con un amigo.
La cantidad de goles que, en el 2009, hicieron entre los 3.
1) Organiza la información en la tabla y contesta las preguntas: Años
Roberto Daniel Julio TOTAL
2008
2009
2010
2011
TOTAL
6 0 0 6
2 14 0 16
1 0 21 22
6 7 0 13
15 21 21 57
a.¿De quiénes se sabe, exactamente, cuántos goles anotaron y en qué años? De los tres amigos, se conoce la
cantidad de goles que Roberto anotó en los años 2008 y 2011; Daniel, en 2009 y 2011, y Julio, en el 2010. b.¿De qué año o de quiénes enes el total de goles?
Tengo el total de goles del año 2010 y de Roberto y Daniel. c.¿Hay ceros en la tabla?
Sí.
1) ¿Crees que una tabla es la mejor forma de organizar la información? Sí. ¿Por qué? Porque se desea
saber los goles por amigo y por año, y cada casilla de la tabla independiza esta información. 2) ¿Cuáles son las pistas más diciles de entender? ¿Por qué?
16
Resolvamos 1
a) En un diagrama de Venn. b) En una tabla de doble entrada. c) Elaborando una lista por año o por amigo. ¿Por qué?
4) ¿Qué es lo que debes encontrar?
Amigos
1) El texto te da información de los goles hechos en cada temporada. Toma como ejemplo un año e indica los goles realizados por los amigos. En el 2008, Roberto anotó 6
MD
d.¿Hay alguna información que relacione a dos jugadores? Sí. ¿Qué dice? Julio metió tantos goles el 2010
como Daniel en los 4 años; pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en 2008. e. ¿Cuántos goles meeron, entre los tres, el 2009? 16 2) ¿A qué se reere la historia cuando dice: “Julio meó tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años”?
Que en el 2010 la cantidad de goles de Julio es igual al total de goles de Daniel. Es decir, 21. 3) ¿A qué nos referimos cuando se dice: “pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008”?
Que en ese año Daniel no anotó, es decir, los años correspondientes son ceros.
“(…) pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008”. Porque exige que la información esté organizada. 3) ¿En qué otros problemas puedes ulizar esta estrategia?
En problemas donde se deben relacionar varios datos acerca de dos conjuntos o categorías. 26
El pequeño gran Gauss Carl Friedrich Gauss fue sin lugar a dudas el más grande matemáco de la historia. Desde niño mostró talento para los nmeros. Cuentan que, a los 6 años, corrigió una de las cuentas que hacía su padre, sorprendiéndole tanto que, desde ese momento, consideró que Gauss sería un gran matemáco. En la escuela, una tarde el profesor, deseando descansar un poco, ordenó a sus estudiantes que hallaran la suma de todos los nmeros naturales desde 1 hasta 100. Escribió la consigna en la pizarra, dejó la za y ya se aprestaba a acomodarse en su pupitre cuando, de pronto, el pequeño Gauss levantó la mano diciendo que tenía la respuesta. El profesor no le creyó, pero igual fue a ver el resultado del niño. Grande sería su sorpresa al ver no solo que el resultado era el correcto, sino también que el método encontrado por el niño era todo un gran ejemplo del buen pensar. ¿Cómo hizo el pequeño Gauss para hallar 1 + 2 + 3 + 4 +… + 98 + 99 + 100 tan rápido? Con tus compañeros, busquen un problema más simple; por ejemplo, la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10. 1) ¿Cuánto es la suma del primer y el lmo término? 11 ¿Y del 11 ¿Y del segundo y el penlmo? tercero y el antepenlmo? 11 2) ¿Qué observan acerca de estas sumas? 3) ¿Es así para todas estas parejas?
6) ¿Cómo pueden ulizar este resultado para hallar la suma solicitada?Como hay 5 parejas que suman 11,
entonces la suma será 11 x 5 = 55. Ahora generalicen la suma desde 1 hasta el 100.
Son iguales.
Sí.
7) ¿Cuánto es la suma de los términos que equidistan de los extremos de la suma? Las parejas suman 101.
La suma de sus términos es igual a la suma de los extremos.
4) ¿Qué enen en comn estas parejas?
8) ¿Cuántas parejas de este po hay de 1 a 100?
Hay 50 parejas.
5) Completen con lo que han descubierto: La adición de dos números que equidistan de los extremos de la suma del 1 al 10 es siempre la misma.
9) ¿Cuál es la suma de los cien primeros nmeros?
Luego la suma es 101 x 50 = 5050.
Observen este otro método para sumar los nmeros del 1 al 10. La gura representa esos nmeros. Completen el gráco, de manera que se forme un rectángulo, y coloreen de rojo la parte agregada. 10) ¿Cómo son la guras? Son iguales. 2
9
12) ¿Cuál es la altura del rectángulo?
8
3
13) ¿Cómo pueden usar este gráco para hallar la suma de los nmeros del 1 al 10?
7
4
6
5
El gráfico representa el doble de la suma del 1 al 10. Como son 10 filas de longitud 11, entonces el gráfico es 11 x 10 = 110. Esto es el doble de la suma del 1 al 10. Por lo tanto, la suma del 1 al 10 es 110 / 2 = 55.
5
6
4
7
8
3
14) Empleen este método para hallar la suma de los nmeros del 1 a 100.
2
9
10
Es 11. Es 10.
11) ¿Cuál es la longitud del rectángulo?
10
1
1
La suma de cada fila será 101 y habrá 100 filas. Luego el rectángulo será 100 x 101 = 10 100; pero eso es el doble de la suma del 1 al 100. Entonces la suma del 1 al 100 es 5050.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales; ellos me ayudan a representar, ordenar y cuanticar una amplia variedad de situaciones en la vida cotidiana.
Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
MD
He parcipado de forma signicava.
27
Fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
17
2 Los números ayudan a pensar mejor
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes acerca de la presencia de los nmeros en los medios de comunicación y cómo se organizan mediante tablas o grácos, de manera que permiten visualizar las relaciones numéricas entre grandes candades de datos con mayor detalle. Explique que la Matemáca es un medio de comunicación que sistemaza y organiza la información, por ejemplo, en un formato compacto, como el de una tabla, o por medio de un gráco cartesiano. Este lmo puede condensar muchos datos o contar la evolución de un fenómeno, como el cambio en la población de Lima, el alza de la gasolina en los lmos años, etc. CAPACIDAD
Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con nmeros naturales, enteros o racionales. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES
T1
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Unidades de medida de masa, longitud, sistema monetario nacional, representación de datos estadíscos en tablas
La tarea presenta una situación comercial en la que se deben realizar diferentes combinaciones de dos pos de café en diferentes proporciones para la obtención de mezclas de diversas calidades. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran del uso de razones y proporciones en situaciones problemácas de contexto comercial; especícamente, en la mezcla de productos de diferente calidad que impliquen operaciones de adición, sustracción y mulplicación de nmeros naturales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los productos comerciales resultantes de mezclas dieren en su calidad, segn las diferentes proporciones de sus componentes, de manera que se pueda asociar el precio con la calidad del producto, como, por ejemplo, en el caso del café. En esta oportunidad, se propone la descomposición del problema en partes, en cuyo desarrollo se ha asociado el concepto de calidad con el precio de café. Asimismo, se ha ulizado la tabla para la organización de la información. El estudiante puede tener dicultades al comprender los enunciados; por ello, es importante que se reformule o parafrasee el problema con preguntas sencillas. Asimismo, la dicultad de los estudiantes se puede asociar con el uso de las jerarquías para realizar operaciones combinadas.
Los pastores
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Mezclas de café
Descripción de la acvidad
T2
Representación, orden y operaciones con nmeros naturales
La tarea presenta una situación problemáca en la que se debe hallar la candad de ovejas que ene cada pastor. Para ello, se empleará la información sobre el total de ovejas y las relaciones de proporcionalidad. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver situaciones problemácas de relación parte-todo en un contexto real, mediante el uso de diagramas de ras. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en reconocer que el problema comprende relaciones del po parte-todo y, por tanto, puede representarse mediante diagramas de ras. En este caso, se propone la representación gráca del problema del reparto. Con este po de representación, es fácil visualizar los datos y las condiciones del problema. Los estudiantes pueden tener dicultades al representar grácamente la información a parr de las relaciones indicadas; por ello, es conveniente reconocer, independientemente, cada relación y representarla con orden.
MD
28
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
Densidad poblacional
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada. Es posible cambiar los datos (por ejemplo, el nmero de ovejas en total), variar alguna relación entre las candades de lo que posen un par de pastores o considerar un pastor más con alguna relación numérica nueva, entre otras modicaciones. Se pueden plantear otras estrategias de solución del problema a parr de un dato supuesto: simplemente asumimos que Pedro ene 1 oveja, entonces Juan ene 3 y Ral, 2; en total tendrían 6 ovejas. Pero como en el problema el total es 288 (es decir, 288:6 = 48 veces 6), entonces cada uno tendrá 48 veces lo supuesto (Pedro: 1 x 48 ovejas; Juan: 3 x 48 = 144 ovejas, y Ral: 2 x 48 = 96 ovejas).
La tarea consiste en idencar una población trujillana con densidad poblacional cercana a 30 personas por km2, a parr de datos estadíscos de extensión y población de algunos distritos de la ciudad de Trujillo. En el problema se solicita realizar la esmación de un indicador muy l para autoridades municipales y empresarios: densidad poblacional. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen la esmación del resultado de operaciones con nmeros naturales, sin necesidad de realizar el cálculo de operaciones exactas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes redondeen la cifra y asuman riesgos al esmar. Se debe tener claro que una esmación es un cálculo aproximado que ayuda a comprender una situación rápidamente para tomar decisiones. En esta ocasión, se propone elegir una notación adecuada, por la cual se debe decodicar la denición de densidad poblacional y esmar su valor haciendo uso de cálculos aproximados para los diversos casos presentados. Los estudiantes pueden tener dicultades al pretender calcular de manera exacta; por ello, es necesario desarrollar la esmación, una de las habilidades más funcionales en la vida codiana. Así, les será posible esmar, por ejemplo, densidades poblacionales, áreas de regiones, costos y pesos, entre otras magnitudes, a parr de la realización de cálculos aproximados de operaciones con nmeros. Los estudiantes tendrán la oportunidad de reconocer la estrategia ulizada y comprobar sus esmaciones mediante el cálculo exacto. Asimismo, se exploran otras posibles preguntas que se pueden formular a parr del cuadro presentado.
El caso de la moneda desaparecida
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades Más allá del problema
La tarea presenta una situación paradójica, acerca de la aparente desaparición de un dinero. La situación presenta un razonamiento falso, pero que ene aparente fundamento matemáco. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren tanto cricar razonamientos como analizar y probar la veracidad de armaciones y argumentos con hechos matemácos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el análisis de razonamientos expresados en el enunciado para contrastarlos con argumentos matemácos que permitan desentrañar la veracidad o falsedad de armaciones y enunciados. En este caso, se propone hacer una tabla para organizar la información, representar la situación y resolver el problema de relación parte-todo. Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar que en realidad se pagó una cuenta de S/.27, incluida la propina (que no debe ser considerada como monto adicional). En esta acvidad, los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada. El docente puede explicar la paradoja desde otra ópca (por ejemplo, analizando el ujo del dinero). Para ello, hay que asignar un signo a los nmeros en cada etapa del problema.
MD
29
Manual para el docente
Los números ayudan a pensar mejor
2
Mezclas de café Una enda especializada en café dispone de 75 kg de café po A y 120 kg de café po B, los cuales se mezclarán en sacos de 16 k g cada uno, de la manera siguiente: una mezcla económica, de 4 kg de café po A y 12 kg de café po B, y una mezcla superior, de 8 kg de café po A y 8 kg de café po B.
1) ¿Qué po de mezclas habrá de realizar la enda?
de café superior y 4 sacos de café económico?
Una mezcla económica y una superior. 2) ¿Qué po de café es el de mejor calidad: el po A o el po B? ¿Por qué?
6) ¿Qué candad de café po A se requiere para envasar 3 sacos
Como los sacos pesan igual, el café tipo
A es de mejor calidad, pues en la mezcla superior hay mayor cantidad de ese tipo.
En cada saco de café superior, hay 8 kilos de café tipo A; en 3 sacos, hay 24 kilos. En cada saco de café económico, hay 4 kilos de café tipo A; en 4 sacos, hay 16 kilos. En total se requieren 40 kilos de tipo A. 7) Reexiona y responde. Al resolver este problema, habrás
3) ¿Cuántos kilos de cada po se necesitan para envasar 3
notado la necesidad de organizar la información y
sacos con mezcla económica y 4 sacos con mezcla superior?
visualizarla para poder usarla luego. El uso de la tabla es
Para 3 sacos de mezcla económica, necesito 3 x 4 kilos de tipo A y 3 x 12 kilos de tipo B. Para 4 sacos de mezcla superior, necesito 4 x 8 kilos de tipo A y 4 x 8 kilos de tipo B.
propicio para este n. Emplea la información del problema
4) ¿Es posible obtener 7 sacos de mezcla económica y 10 sacos
anterior para completar la tabla que te mostramos.
Económica Superior
Tipo A (kg)
Tipo B (kg)
4 8
12 8
de mezcla superior?
Para 7 sacos de mezcla económica, necesito 7 x 4 = 28 kilos de tipo A y 7 x 12 = 84 kilos de tipo B. Para 10 sacos de mezcla superior, necesito 10 x 8 = 80 kilos de tipo A y 10 x 8 = 80 kilos de tipo B. En total, del tipo A necesitaría 108 kilos y solo tengo 75 kilos del tipo A. No se dispone de la cantidad suficiente para obtener las dos mezclas a la vez. 5) Si cada saco de mezcla económica se vende a S/.300 y cada saco de mezcla superior, a S/.500, ¿cuánto es el ingreso al
8) El kilo de café po A cuesta S/.20 y el kilo de café po B cuesta S/.12. ¿Cuál es la ganancia que se obene por la venta de un saco de po económico?
Costo de saco tipo económico: 20 x 4 + 12 x 12 = S/.224. La ganancia en la mezcla económica es = 300-224 = S/.76. ¿Y por la venta de un saco de po superior?
Costo de saco superior = 20 x 8 + 12 x 8 = S/.256. Ganancia de la mezcla superior es = 500 - 256 = S/.244.
vender 3 sacos económicos y 5 de superior?
El ingreso es 3 x 300 + 5 x 500 = S/.3400.
18
Resolvamos 1
MD
30
Los pastores Tres pastores viven en la misma comunidad. En total enen 288 ovejas, aun cuando cada cual posee su propio rebaño. Juan ene el triple de ovejas que Pedro y este cuenta con la mitad de las que pertenecen a Ral. ¿Cuántas ovejas ene cada uno?
1) ¿De quiénes te hablan en el problema?
1) ¿Si Pedro tuviera 20 ovejas, cuántas tendría Juan?
60 ovejas.
De tres pastores. 2) ¿Cuántas ovejas enen en total?
288 ovejas.
2) ¿Y cuántas tendría Ral?
40 ovejas.
3) ¿Cómo se relaciona lo que ene Pedro con lo que ene Ral? Raúl tiene el doble que Pedro.
3) ¿Quién ene más ovejas, Juan o Pedro? Juan. 4) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
4) ¿Puedes representar lo que ene cada uno mediante un gráco? Sí. ¿Cómo? Mediante barras horizontales.
El número de ovejas que tiene cada uno.
2) Observa el gráco que has construido y responde: ¿a cuántos bloques equivalen las 288 ovejas? A seis bloques.
1) Si lo que ene Pedro se representa con un bloque así: Pedro: ¿Con cuántos bloques representarás lo que enen Ral y Juan? Completa el gráco:
3
3) Entonces, ¿un bloque, a cuántas ovejas equivale?
Equivale a 288 / 6 = 48 ovejas. 4
4) ¿Cuántas ovejas ene cada pastor? Juan:
Juan:
Pedro:
Pedro:
Ral:
Ral:
3 x 48 = 144 ovejas. 48 ovejas. 2 x 48 = 96 ovejas.
2) Observa el gráco que has construido y responde: ¿a cuántos 1) Comprueba si lo obtenido responde al problema.
En total, hay 144 + 48 + 96 = 288 ovejas. Juan tiene el triple que Pedro y este tiene la mitad de las que posee Raúl. 2) Describe la estrategia empleada para resolver el problema.
Es una estrategia gráfica, donde utilizamos barras para representar la cantidad de ovejas con respecto a cada pastor. 3) ¿La estrategia que has reconocido se puede aplicar en otros problemas?, ¿de qué po? Plantea un problema como ejemplo.
Es posible aplicarla a problemas en los que se tienen todas las variables relacionadas con una de ellas.
MD
4) Si Juan hubiese tenido cinco veces lo que ene Pedro y las condiciones de Ral se manenen, ¿cómo cambiaría la respuesta?
A Juan le hubiera correspondido 5 bloques. En total habría 8 bloques. Cada bloque valdría 288 / 8 = 36. Entonces, Juan: 180 ovejas, Pedro: 36 ovejas y Raúl: 72 ovejas. 5) Supón que hay un cuarto pastor llamado Manuel, quien ene el triple de lo que posee Ral, manteniendo las condiciones iniciales, ¿cuántas ovejas tendría entonces cada uno?
A Manuel le correspondería, en el gráfico, 6 bloques. En total serían 12 bloques. Dividimos 288 / 12 = 24. Entonces, Juan: 72 ovejas, Pedro: 24 ovejas, Raúl: 48 ovejas y Manuel: 144 ovejas. 31
Manual para el docente
19
Densidad poblacional Felipe y su grupo están haciendo una invesgación acerca de la población, en varios distritos de la ciudad de Trujillo. Ellos han obtenido del INEI una tabla con el nmero de habitantes y el área de algunos distritos, medida en km 2. Su tarea es idencar el distrito que ene una densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2. ¿Cómo se ayudarán para idencarlo?
Distrito
Extensión (km 2)
Población (hab.)
Trujillo
39,36
294 899
La Esperanza
18,64
151 845
El Porvenir
36,70
140 507
Víctor Larco Herrera
18,02
55 781
Huanchaco
333,90
44 806
1,99
40 014
Laredo
335,44
32 825
Moche
25,25
29 727
Salaverry
390,55
13 892
1 199,85
804 296
Florencia de Mora
Nota: Esmen la información redondeando a la segunda cifra decimal.
Total
Fuente: Instuto Nacional de Estadísca e Informáca INEI (2007).
1) ¿Qué signica la frase: densidad poblacional de cerca de 30 personas por km2?
Que hay 30 personas, aproximadamente, en 1 km 2.
1) La densidad poblacional de un distrito es el nmero promedio de personas por kilómetro cuadrado. ¿Cómo crees que se puede calcular la densidad poblacional?
Dividiendo el número de habitantes entre el área del distrito.
2) ¿Qué necesita saber el equipo de Felipe?
Conociendo la población y el área del distrito, se debe encontrar un valor cercano a 30 personas por km2.
2) ¿Crees que es posible resolver este problema sin hacer los cálculos con exactud? ¿Por qué?
Sí, basta redondear los números que intervienen en la división, con el fin de simplificar este cálculo.
1) ¿Cuál es la densidad poblacional de La Esperanza? (Redondea al entero más cercano).
1) ¿Qué estrategia fue la que más te sirvió para resolver este problema?
8146 personas en 1 km2.
Descomponer el problema en partes y utilizar la fórmula que corresponde a densidad poblacional.
2) ¿Cuál es la densidad poblacional de El Porvenir? (Redondea al entero más cercano).
2) Comprueba tus resultados haciendo el cálculo con exactud.
3829 personas en 1 km . 2
3) ¿Qué distrito, de los mencionados, ene la mayor densidad poblacional? ¿Qué distrito ene la menor densidad poblacional? Comprueba tus resultados haciendo las operaciones necesarias.
Florencia de Mora con aproximadamente 20 107,54 hab./km2 tiene la mayor densidad. Salaverry con aproximadamente 35,57 hab./km2 tiene la menor densidad. 4) ¿Qué distrito ene una densidad poblacional de alrededor de 30 personas por km 2?
Hay que dividir el número de habitantes entre la extensión. 3) Haz una esmación para ubicar los distritos que enen una densidad poblacional de alrededor de 100 habitantes por km2. ¿Cuáles son?
Laredo y Huanchaco. 4) Esma cuál es el segundo distrito más poblado de Trujillo y cuáles son los menos poblados.
La Esperanza es el más poblado; Moche y Salaverry son los menos poblados.
Salaverry, con 36 personas, aproximadamente, en 1 km2. 20
Resolvamos 1
MD
32
El caso de la moneda desaparecida El hecho sucedió hace dos semanas cuando tres amigos fueron a almorzar a un restaurante. Como siempre, al momento de pagar, dividieron la cuenta en partes iguales. Esta ascendía a S/.30, por lo que cada uno dio un billete de S/.10 al mozo para que se cobre. Cuando este llegó a la caja, el dueño le comunicó que se había equivocado y que la cuenta era solo de S/.25. El mozo fue con las cinco monedas hacia la mesa, pero en el trayecto pensó: "¿Cómo divido estos cinco entre tres? No sale exacto, de repente se pelean. Creo que solo les devolveré tres soles; los otros dos me los quedaré a modo de propina". Así lo hizo y cada uno de los compañeros se fue contento con la moneda de un sol que recibió de vuelto. Pero he aquí el enigma: cada amigo pagó solo S/.9, o sea que en total pagaron S/.27; el mozo se quedó con S/.2, con lo cual sumamos S/.29; sin embargo, los amigos entregaron inicialmente S/.30. Entonces, ¿dónde está el sol que falta? ¿Se esfumó? ¿Alguien lo tomó?
Con tus compañeros, realicen las sigui entes preguntas y resuelvan el problema: 1) ¿Es lógico que desaparezca una moneda de un sol?
7) ¿Siguen los S/.30?
No es lógico.
8) ¿Cuánto pagaron realmente los amigos entre cuenta y propina? S/.27
S/.30
2) ¿Cuánto entregaron los amigos inicialmente?
Sí.
3) Sin contar la propina, ¿cuánto pagaron al nal por el almuerzo?
9) ¿Cuánto les devolvieron?
S/.3
10) ¿En total, cuánto suman estas candades?
S/.27 4) ¿Creen que un organizador gráco puede ayudarles a entender la situación?
11) ¿Cómo lograron “ver” lo que pasaba?
Identificando en un gráfico los pagos realizados, propina y vuelto.
Sí puede ayudar a organizar la información. 5) La barra mostrada representa la candad que dieron los amigos al inicio: esto es S/.30. Completen los casilleros faltantes. Dinero entregado Cuenta real
S/.25
S/.30 Vuelto
S/.5
6) ¿Siguen exisendo los S/.30? Sí. Completen los casilleros faltantes. Cuenta real Propina Vuelto efecvo
S/.25
S/.2
S/.30
S/.3
12) ¿Pueden inventar un relato parecido, pero en el que aparenten desaparecer S/.2?
Las respuestas pueden variar. Por ejemplo, sobre el mismo relato, se puede modificar la cuenta real a S/.26; el mozo igual devuelve S/.1 a cada cliente, con lo que cada uno de ellos habría pagado S/.9. En total 9 x 3 = 27 + 1 nuevo sol de propina = S/.28. ¿Y los S/.2 faltantes?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales y sus operaciones, que son útiles en actividades comerciales, al estimar, medir y organizar cantidades.
Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
He colaborado de forma signicava.
Realicé aportes muy relevantes.
MD
33
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
21
3 No dividas y vencerás
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que es posible saber de antemano cuándo un nmero es divisible entre 2, 3 o 5, ulizando algunos criterios. Los matemácos del siglo XIX estuvieron muy interesados en trabajar, principalmente, los teoremas de divisibilidad; tal vez por los problemas que originó el cambio del calendario juliano al gregoriano y por establecer un método para jar el día de Pascua en el mundo católico. Explíqueles, por ejemplo, que si bien las fechas de Jueves y Viernes Santo cambian cada año, en realidad responden a fórmulas basadas en la teoría de la divisibilidad. Puede usar como recurso complementario los almanaques de diversos años. CAPACIDAD
Resuelve problemas que requieran de los criterios de divisibilidad de los nmeros. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES
T1
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Operaciones aritmécas básicas Potenciación
La tarea presenta tres sucesos que ocurren en disntos periodos. El problema exige encontrar aquellos días en que los tres acontecimientos coinciden. Es un caso pico de aplicación del mínimo comn mlplo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran idencar y desarrollar planteamientos relacionados con el mínimo comn mlplo en una situación de contexto real. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en los patrones que se forman para cada coincidencia. Así se puede observar cuándo coinciden solo dos de los proveedores y cuándo los tres vendedores. En este caso, se ha ulizado la lectura analíca y luego la organización de información mediante una tabla. Los estudiantes pueden tener dicultades al encontrar los patrones cuando se quiere descubrir con qué frecuencia se producen los encuentros de los tres proveedores. El uso de la recta numérica puede ser aquí de mucha ulidad.
Tiro al blanco
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Prever para cumplir
Descripción de la acvidad
T2
Mlplos. Divisores Máximo comn divisor Mínimo comn mlplo Criterios de divisibilidad
La tarea presenta un juego que involucra puntajes que, en este caso, deben ser mlplos de 15 (puntaje máximo). Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieren aplicar los criterios de divisibilidad a una situación contextualizada. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que, al no disponer de un criterio de divisibilidad para 15, se deben aplicar los teoremas de divisibilidad para nmeros compuestos. En este caso, se observa que 15 es el producto de dos nmeros primos entre sí: 3 y 5. Por tanto, se debe vericar la divisibilidad entre 15, comprobando la divisibilidad entre 3 y entre 5. En este caso, se propone desarrollar el procedimiento deducvo, para lo cual se ha buscado un teorema que ayude a resolver la pregunta. El teorema en cuesón dice: siendo a y b nmeros primos entre sí, si un nmero es divisible entre ab, entonces el nmero también será divisible entre a y entre b. Sin embargo, los estudiantes pueden también desarrollar como estrategia el procedimiento empírico de forma inducva, que los lleve a reconocer si un nmero cumple con ser divisible por a y luego por b. Los estudiantes pueden tener dicultades no solo para comprender el problema y su relación con la gura dada, sino también para determinar qué teorema puede servirles de ayuda. Por eso, las preguntas los guían hacia el descubrimiento del teorema que corresponde. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y después aplicarla; sin embargo, adquiere un nivel de complejidad debido a que su desarrollo involucra hacer igualdades con respecto a un puntaje total.
MD
34
T3
Prohibido calcular
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
La tarea presenta un nmero elevado a una potencia muy grande. El problema solicita que se determine la lma cifra del resultado de la potenciación. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar condiciones de divisibilidad. Esto conlleva a reexionar antes de realizar operaciones. En este caso, es posible la existencia de un patrón. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que no es necesario hacer la potenciación exactamente. A parr de esta certeza, se hipoteza acerca de la existencia de algn patrón para determinar la lma cifra del resultado. El docente debe guiar a los estudiantes para que exploren casos parculares, con la idea de que estos resultados les permitan visualizar una regla de formación para resolver rápidamente el problema. En este caso, se propone desarrollar el procedimiento perceptual sobre las implicancias de esfuerzo y empo a parr de la comprensión del problema, así como idencar un patrón y ulizarlo mediante un razonamiento inducvo, y emplear un organizador de información (una tabla). Los estudiantes pueden tener dicultades para comprender el problema y el signicado que le atribuyen a la operación de potencia. Abordar el problema entre pares va a permirles apoyarse en sus formas de comprensión. La estrategia de organizar la información y encontrar el patrón orienta a una mejor visualización de la secuencia que se produce con las lmas cifras de las potencias de tres. Como se observa, en este caso se produce una secuencia: 3, 9, 7, 1, 3, 0, 7, 1, 3, 9, 7, 1… Los estudiantes deberán reconocer las dicultades para resolver el problema y la estrategia ulizada. Después podrán explorar algunas variantes. Además, se les puede proponer que creen problemas y que entre ellos se planteen retos matemácos.
El calendario perpetuo
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades Más allá del problema
La tarea consiste en encontrar el día de la semana de cualquier fecha de nuestro interés. Para ello, nos brindan una serie de condiciones que constuyen un procedimiento algorítmico. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran la lectura adecuada de un instrucvo. Ello implica seguir las indicaciones, integrar la información literal con la proporcionada mediante tablas y realizar, de forma correcta, los procedimientos matemácos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la secuencia de pasos. Esta constuye un algoritmo que debe ulizarse con eciencia. Es decir, los estudiantes deben llegar a darse cuenta de que en cualquier etapa del cálculo pueden “quitar sietes” y reducir el nmero a residuos del 7. En este caso, se propone el procedimiento de lectura analíca, así como el desarrollo indicavo y simbólico del proceso algorítmico, a n de entender cada fase del cálculo. Los estudiantes pueden tener dicultades al organizar la secuencia de pasos y hacerla operava. Por ello, es importante que al inicio comparen sus resultados con los otros miembros de su equipo. De exisr algunas dudas o incoherencias en el procedimiento, deben consultar con el profesor. Es posible invesgar otras fechas históricas o familiares. Se puede proponer también que invesguen acerca del algoritmo de Gauss, que permite calcular la fecha de Pascua de Resurrección.
MD
35
Manual para el docente
3
No dividas y vencerás
Prever para cumplir Alicia ene una bodega en la ciudad de Molinopampa. Ella ha observado que las provisiones llegan con diferente frecuencia. Cada tres días, llega el camión de fruta; cada cuatro días, el camión con productos lácteos; y cada seis días, el camión con las gaseosas. Alicia está organizando el calendario, a n de que no vuelva a ocurrir lo que pasó el primero de octubre, cuando los tres proveedores llegaron juntos y no se había reunido el dinero necesario. Octubre L
M
M
J
V
S
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de fruta a Molinopampa?
9) ¿En qué otras fechas, hasta el nal de año, Alicia debe esperar a los tres proveedores juntos?
6, 18 y 30 de noviembre; 12 y 24 de diciembre.
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31 de octubre. 2) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de lácteos?
10) Reexiona y responde: ¿Qué concepto has ulizado en el desarrollo de los problemas? Explica el método empleado.
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 de octubre.
El concepto de mínimo común múltiplo, que pasa a ser la frecuencia común en este tipo de problemas. A partir de la primera fecha en que llegan juntos los proveedores, calculo los días siguientes en que esto ocurrirá, usando la frecuencia. El método empleado se basa en el uso de la tabla o en un diagrama.
3) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de gaseosas?
1, 7, 13, 19, 25 y 31 de octubre. 4) ¿En qué fechas no llega ningn proveedor?
2, 3, 6, 8, 11, 12, 14, 15, 18, 20, 23, 24, 26, 27 y 30 de octubre.
11) Un nuevo proveedor ha llegado para abastecer de golosinas al pueblo, él viene cada 9 días. La primera vez coincidió con la llegada de los tres. ¿Cada cuántos días llegarán juntos los cuatro proveedores?
5) ¿En qué fechas llegan los tres proveedores juntos?
1, 13 y 25 de octubre.
Debo hallar el mínimo común múltiplo de los cuatro números, que es 36. Cada 36 días coincidirán los cuatro proveedores.
6) ¿Cada cuántos días llegan los tres proveedores juntos a Molinopampa? Cada 12 días. 7) La frecuencia con la que llegan los tres proveedores a Molinopampa, ¿ene alguna relación con los siguientes tres nmeros: 3, 4 y 6?
Sí, es el mínimo común múltiplo de esos números. 8) ¿Hubieses podido hallar la frecuencia con la que llegan los tres juntos sin marcar los días en el calendario? Idenf í calos en este segmento y explica oralmente cómo te ayuda.
2
Leyenda: 22
Resolvamos 1
4
6
8
10
Llegada del camión de fruta.
12
14
16
18
20
Llegada del camión de lácteos. MD
36
22
24
26
28
30
Llegada del camión de gaseosas.
Tiro al blanco En la feria del pueblo, hay un juego de rar dardos a un tablero circular. Julio ha lanzado algunos dardos. Todos los que lanzó dieron en el blanco. ¿Cuáles de los siguientes puntajes: 173, 283,160, 195, 345 pudo haber obtenido Julio?
1) ¿Qué ha estado haciendo Julio?
1) ¿Es posible que su resultado sea 32? Explica por qué.
Ha estado lanzando dardos.
No.
Porque el resultado debe ser un número multiplicado por 15. 2) ¿Y es posible que sea 40? Tampoco.
2) ¿Cuántos dardos ha lanzado?
No se conoce la cantidad. 3) ¿Qué signica que todos los dardos dieron en el blanco?
3) ¿Qué relación hay entre los posibles totales y el nmero 15? Los totales deben ser múltiplos de 15.
Que ninguno cayó en 12 o 5 o fuera del disco. 4) ¿Qué condiciones te informan acerca de su juego?
Organizo la imformacion e identifico los múltiplos de 15.
4) Explica el procedimiento que realizarás.
Todos los dardos que lanzó dieron en el blanco.
1) Idenca, entre los nmeros dados, aquellos que pueden ser los totales.
173 x
Puntajes Mltiplos de
15
2) ¿Qué puntajes pudo haber obtenido Julio?
1) ¿Necesitaste dividir para saberlo?
195
160 x
283 x
345
195 o 345.
Sí.
4) ¿Qué estrategias te fueron les para resolver el problema?
2) Si tu respuesta fue armava a la pregunta anterior, ¿crees que se puede saber qué puntaje sacó sin necesidad de dividir?
Si el total debe ser múltiplo de 5, eso descarta a 173 y 283; además, debe ser múltiplo de 3, lo que descarta a 160. 3) ¿Qué pistas fueron las más diciles de entender? ¿Por qué?
Es necesario relacionar la frase “dieron en el blanco” con el 15 y el hecho de la divisibilidad del puntaje que se obtiene.
MD
Analizar los posibles resultados para descartar los que no eran divisibles por 3 o por 5. 5) Supón que un jugador ha lanzado 24 dardos y ha obtenido un puntaje de 345. Si sus dardos solo cayeron en el blanco (15) y en la franja amarilla (12), ¿es posible saber cuántos dieron en el blanco? Jusca tu respuesta.
Sí es posible, lo plantearemos a continuación. Dieron en 15: x Dieron en 12: 24 - x Puntaje total: 345 = 15x + 12(24-x), de donde x = 19
37
Manual para el docente
23
Prohibido calcular Luciana está jugando con su calculadora. Ella ha estado explorando la tecla XY para hallar 54, 5 y otras potencias. Su o Edgar la desaa a encontrar en qué cifra termina 3 2012. Luciana quiere usar su máquina, pero esta le da error. Aydala a encontrar la respuesta. Recuerda que no hay calculadora de mano que te ayude a encontrar el resultado. 7
1) ¿Qué está haciendo Luciana?
1) ¿Puedes formular un problema parecido, pero más fácil?
Jugando con la calculadora.
Sí, por ejemplo, 34 que termina en 1.
2) ¿Qué signica 54? Exprésalo como una operación extendida. 5 x 5 x 5 x 5.
2) ¿Si te hubiesen pedido la lma cifra de 52011, hubiese sido más fácil? ¿Por qué?
Sí, pues cualquier potencia de 5 termina en 5.
3) ¿Qué calcula la tecla XY en la calculadora?
Calcula una operación exponencial.
3) ¿Crees que te ayude hacer una lista de las primeras potencias de 3 y luego buscar algn patrón? Explica.
4) ¿Qué signica 32012? Exprésalo en tus palabras.
En este caso, sería mejor listar las 8 primeras: 31 = 3; 32 = 9; 33 = 27; 34 = 81; 35 = 243; 36 = 729 Así podemos advertir un patrón.
El 3 se repite como factor 2012 veces. 5) ¿Cuál es el reto que enfrenta Luciana?
Encontrar la cifra en que termina 3 2012 y se da cuenta de que su calculadora no le ayuda.
4) ¿Cómo podrías plantear la estrategia para resolver el problema? Elaborando una tabla con datos y
buscando un patrón.
1) Calcula las seis primeras potencias de tres y observa sus lmas cifras. Organiza la información en una tabla. Potencia de 3
Resultado
Úlma cifra
3
3 9 27 81 243 729
3 9 7 1 3 9
1
3
2
33 34 35 36
1) ¿En qué momento has tenido dicultad para resolver el problema?
Al identificar el patrón o regla de formación. 2) ¿Cómo has afrontado la dicultad?
Observando detalladamente el procedimiento indicado. 3) Describe la estrategia que has desarrollado para resolver el problema.
Sí. 3) ¿Cada cuántos pasos se repite la lma cifra? Cada 4 pasos. 2) ¿Puedes ver alguna regla de formación?
4) ¿Existe alguna relación entre los exponentes y la lma cifra del resultado? Si es así, explícala.
Si el exponente es múltiplo de 4 más 1, termina en 3; si el exponente es múltiplo de 4 más 2, termina en 9; si es múltiplo de 4 más 3, termina en 7, y si es multiplo de 4, termina en 1. 5) ¿Te sirve esta regla para resolver el problema? ¿Cómo la ulizarías? Sí. Debo dividir 2012 entre 4 y ver el
La estrategia que hemos usado es la identificación de un patrón partiendo de casos particulares; asimismo, hemos organizado los datos en una tabla. 4) ¿En qué otras situaciones podrías aplicar la estrategia?
En cualquiera donde las operaciones sean con números grandes y se pueda determinar un patrón. 5) ¿Cómo podríamos saber en qué cifra termina el resultado de 232012?
Como la base termina en 3, sigue la misma regla determinada. Entonces, el resultado termina en 1.
residuo para determinar el caso correspondiente. 6) ¿En qué cifra termina 3 2012? Termina en 1. 24
Resolvamos 1
MD
38
El calendario perpetuo Tal vez, uno de los trucos más sorprendentes de los calculadores prodigio sea decir rápidamente qué día de la semana cayó una fecha dada. Uno de esos calculadores es el profesor piurano Arturo Mendoza, nuestro record Guiness de cálculo mental. Dado que las fechas funcionan periódicamente, es posible elaborar un método de cálculo rápido para conseguirlas. Aquí les mostramos el método creado por Gauss para hacer este cálculo. Para saber qué día de la semana cayó una fecha determinada del siglo XX, necesitas tres datos: el día, la clave del mes y la clave del año. • El nmero del día nos lo dan al señalarnos la fecha. • La clave del mes pueden buscarla en la siguiente tabla: • Para hallar el año, deberán: 0 ENE.
3
6
1
4
ABR.
MAY.
JUN.
3
FEB.
MAR.
6
2
JUL.
AGO.
5
0
SET.
OCT.
5
3
NOV.
DIC.
1. Tomar el nmero formado por los dos lmos dígitos del año. 2. Dividir este nmero por 4 y tomar el cociente entero. 3. La clave es igual al nmero más el cociente. Finalmente, para hallar el día de la semana, sumarán: la fecha, la clave del mes y la clave del año. Buscamos su residuo al ser dividido por 7. Este nmero indicará el día, de acuerdo con la tabla mostrada. Al resultado nal, para el siglo XIX (1800-1899) se añadirá 2 y para el siglo XXI (2001-2099) se restará 2. 0
1
2
3
4
5
6
7
DOM.
LUN.
MAR.
MIÉ.
JUE.
VIE.
SÁB.
DOM.
En años bisiestos, a fechas posteriores a febrero se agrega 1 día. Al año bisiesto se le reconoce porque sus 2 lmos dígitos son 00 o mlplo de cuatro; por ejemplo, 1924, 2000, 2012, etc.
1) Con tus compañeros, invesguen en qué días cayeron las siguientes fechas importantes para nuestra historia: • Día de la Independencia: 28 de julio de 1821.
21 / 4 tiene un cociente entero de 5, la clave 21 + 5 = 26; luego 28 + 6 + 26 = 60. Al dividir 60 entre 7 da 4 de residuo. Como es una fecha del siglo XIX, se añade 2, por lo que fue un sábado. • Nacimiento del matemáco Federico Villarreal: 3 de agosto de 1850.
50 / 4 tiene un cociente entero de 12, la clave 50 + 12 = 62; luego 3 + 2 + 62 = 67. Al dividir 67 entre 7 da 4 de residuo. Como es una fecha del siglo XIX, se añade 2, entonces sale 6, por lo que el día fue sábado.
• Combate de Angamos: 8 de octubre de 1879.
8 + 0 + 98 = 106; luego 106 entre 7 da residuo 1. Como es del siglo XIX, se debe sumar 1+2=3, por lo que fue miércoles. • Nacimiento del sabio Julio C. Tello: 11 de abril de 1880.
11 + 6 + 100 = 117; luego 117 entre 7 da como residuo 5. Como es una fecha del s. XIX y fue año bisiesto, entonces cayó domingo. • Nacimiento de José María Arguedas: 18 de enero de 1911.
18 + 0 + 13 = 31; residuo 3, fue miércoles. • Nacimiento de Julio Ramón Ribeyro: 31 de agosto de 1929.
31 + 2 + 36 = 69; residuo 6, fue un sábado. 2) Encuentren los días en que nacieron cada uno de los miembros del grupo de trabajo.
Las respuestas variarán según los datos. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la divisibilidad, la cual se utiliza en los códigos de barras, en el número de RUC y para calcular fechas como las de Semana Santa, entre otros.
Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
MD
39
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
Manual para el docente
25
4 Las proporciones nos brindan información
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que en muchas situaciones codianas debemos realizar cálculos ulizando nociones de proporcionalidad. Un ejemplo de ello son los mapas, herramientas de uso diario que nos permiten no solo orientarnos y llegar a desnos que no conocemos como si los hubiésemos visitado antes, sino también ubicarnos geográcamente y esmar las distancias reales entre dos ciudades. Para esto, se relacionan proporcionalmente las dimensiones del mapa con las reales a parr de la lectura detallada de sus elementos. Otro ejemplo de estas nociones en la vida codiana es la relación de los precios de compra y venta al por mayor y al por menor. También hacemos uso de ellas cuando tenemos que reparr las ganancias de manera justa. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES
T1
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Razones y proporciones
La tarea trata de un paseo, cuya ruta se proyecta en una escala mediante un mapa que representa la distancia que hay entre las ciudades a visitar. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen el uso de conocimientos de proporcionalidad a parr de la lectura de un mapa a escala, con el n de esmar la distancia real de las ciudades que serán visitadas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la escala que se está ulizando para la representación de la realidad. En este caso, se propone tratar de encontrar un patrón para idencar una invariante, que en ambas situaciones es la constante de proporcionalidad. Mediante esta constante se pueden plantear proporciones para hallar incógnitas. Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar esta invariante e intentar ulizar esquemas mnemotécnicos como la regla de tres. En estos casos, es preferible que traten de comprender por qué se manene invariante la razón entre la distancia en la realidad y la distancia en el mapa.
Jugosa venta
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Los turistas matemácos
Descripción de la acvidad
T2
Relación de proporcionalidad directa Relación de proporcionalidad inversa
La tarea presenta una pica situación de proyección de recursos. La persona debe proyectar con antelación la candad de ingredientes que necesita para sasfacer una necesidad, pero debe hacerlo de manera ópma y basada sobre algn argumento matemáco. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren la modelación de situaciones de contexto real y el uso de nociones matemácas para tomar decisiones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes veriquen que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el aumento de una de ellas en un factor, implica el aumento proporcional en la otra magnitud en el mismo factor. Para ello, los estudiantes deben probar que a más kilos de naranja, se obtendrán más litros de naranjada. Asimismo, el incremento de una de las magnitudes como producto de un factor implica el incremento de la otra como resultado de su producto por el mismo factor. En este caso, se ha ulizado la estrategia de reducción del problema a casos parculares para probar la relación de proporcionalidad, organizar los datos en una tabla y, a parr de ella, encontrar la constante de dicha relación. Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar las magnitudes que están relacionadas de manera directamente proporcional. Algunos creen que este po de relación se da cuando al crecer una de las dos magnitudes, la otra también aumenta. Recuerde que el crecimiento debe darse en el mismo factor; de lo contrario, no será directamente proporcional.
MD
40
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y explorar diversas rutas de solución. Otra forma de resolver la situación es por medio de una proporción o mediante una fórmula de relación directa. Por ejemplo: K = a L, donde a es la proporcionalidad constante.
La alfombra
Descripción de la acvidad
La tarea presenta una situación de toma de decisiones para la compra de una alfombra, a parr de la 2 relación de las condiciones relación condiciones de precio por m m2 yytamaño, tamaño,según segúnlos losrequerimientos requerimientosde deRosaura. Rosaura.
Intención pedagógica
Se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren el establecimiento de conexiones entre nociones de proporcionalidad aritméca y nociones de geometría, a n de vericar que los elementos homólogos de guras geométricas semejantes están relacionados mediante proporcionalidad directa.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se ene que poner énfasis en la lectura de las condiciones y restricciones impuestas por Rosaura; asimismo, se debe tener cuidado en la interpretación de los datos de la tabla.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se propone la descomposición del problema en partes mediante preguntas y el análisis de los datos de la tabla.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades en vincular las condiciones del problema con las restricciones impuestas por Rosaura para tomar la decisión adecuada.
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y explorar diversas vías de solución. También se presenta un ejercicio de reexión para que disngan datos de condiciones.
T4
Un tremendo ajedrez
Descripción de la acvidad
La tarea presenta la construcción de un ajedrez gigante a parr de un modelo a escala. En estos casos, se ene que diseñar un ajedrez de tamaño natural. Las personas harán las veces de chas. Se debe proyectar de qué tamaño serán el tablero y las casillas.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren realizar modelos a escala, parendo de otros modelos de menores dimensiones.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la escala en la que se está trabajando y en cómo se llegará a esmar la escala real, es decir, la del ajedrez gigante.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se ha ulizado la estrategia de hacer una tabla para organizar la información, así como la idencación de una invariante que es la constante de proporcionalidad.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al proyectar el juego gigante, ya que deben hacer ciertos supuestos. Muchos de ellos esperan que todos los datos estén en el enunciado; pero, en este caso, se exige que propongan ciertas medidas reales y, a parr de allí, proyecten sus resultados. Asumir supuestos es una acción que se realiza con frecuencia cuando hay que resolver problemas en la realidad.
Más allá del problema
En la acvidad, los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y luego explorar diversas vías de solución. Para los más avanzados, puede proponer tareas de invesgación más allá del problema; por ejemplo, diseñar un juego de ajedrez gigante con piezas como las reales, que no tengan la misma altura.
MD
41
Manual para el docente
Las proporciones nos brindan información
4
Los turistas matemáticos Luisa y Pedro están de paseo por Chiclayo. Un guía del pueblo les ha entregado un plano como el que se muestra. Ellos quieren averiguar cuáles son las distancias para llegar de Chiclayo a una ciudad A y de allí a una ciudad B. Luisa mide, con una cuerda en el mapa, las distancias en carretera desde Chiclayo hasta la ciudad A y luego desde A hasta la ciudad B: obene 14 y 28 cm, respecvamente.
Ciudad B
Océano Pacíco
Ciudad A
Chiclayo
Escala: 14:1 200 000
1) ¿Qué información puedes extraer del mapa?
Las distancias a escala entre las ciudades mencionadas. 2) ¿Qué escala señala el mapa? 14:1 200 000 (según la medición de Luisa).
Luisa se tomó una foto al lado de una de las pirámides de Tcume. Si ella ene una estatura de 1,48 m, ¿cuánto ene de altura la pirámide que se observa en la imagen? x
3) Segn Luisa, ¿cuál es la distancia, en el mapa, desde Chiclayo hasta la ciudad A? Según el mapa de Luisa, 14 cm.
x
4) ¿Y la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B?
x
Según el mapa de Luisa, 28 cm. Significa que 14 cm equivale a 1 200 000 cm en la realidad.
x
5) Reexiona y responde. Una escala de 1:100 signica que una unidad del mapa equivale a cien unidades en la realidad. ¿Qué signica la escala dada en el mapa?
14 cm del mapa corresponden a 12 km reales.
10) Completa la siguiente expresión:
6) Completa la tabla mostrada: Tramo
Recorrido
Chiclayo - Ciudad A Ciudad A - Ciudad B Ciudad B - Chiclayo
Mide 0,4 cm. 9) ¿Cuánto mide la pirámide en la imagen? Mide 3,2 cm. 8) ¿Cuánto mide Luisa en la imagen?
Distancia en el mapa (cm)
Distancia en la realidad (km)
14 28 42
12 24 36
La altura de Luisa en la imagen y su tamaño real están en la misma relación que la pirámide en la imagen y en
la realidad. 11) Completa la siguiente proporción: Luisa en la imagen
7) ¿Cuál es la distancia total del paseo en la realidad?
=
La distancia total es de 36 km.
Luisa en la realidad
Pirámide de Túcume en la imagen
Pirámide de Tcume en la realidad
12) Resuelve la proporción establecida antes. ¿Cuál es la altura de la pirámide de Tcume?
La altura de la pirámide de Túcume es 11,84 m. 26
Resolvamos 1
MD
42
Jugosa venta Doña Petra prepara naranjada, todos los días, para llevar al mercado. Ella sabe que 4 kilos de naranjas le sirven para 2,5 litros de naranjada. Un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas, dependiendo del tamaño. Este n de semana, que habrá mucho pblico por la esta de San Juan, ella quiere llevar 40 litros de naranjada. ¿Cuántos kilos de naranja deberá comprar?
De una vendedora que desea comprar naranjas para su trabajo. 2) ¿Qué datos te dan? Que “4 kilos sirven para 2,5 litros de naranjada” y “un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas”. 3) ¿Cuál es la condición? Necesita preparar 40 litros de naranjada. 1) ¿De qué trata el problema?
4) El dato: “un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas”, ¿te sirve para la solución? Para lo solicitado, no sirve; serviría si
necesitáramos saber cuántas naranjas requerimos como mínimo y como máximo. 5) ¿Qué desea saber Petra? La cantidad de kilos de naranja que debe comprar.
4
Litros de 2,5 naranjada
8
5
12
7,5
16
20
24
28
32
36
de naranjada. 2) El hijo de Petra dice que si compra más kilos de naranjas, hará más naranjada. ¿Tiene razón? ¿Cómo completaría su razonamiento? Tiene razón porque son magnitudes
directamente proporcionales; además, podemos decir que si compra menos kilos de naranjas, hará menos naranjada. 3) Experimenta: Si compra 4 kilos, ¿cuántos litros de naranjada podrá hacer? 2,5 litros ¿Y si compra 8 kilos? 5 litros ¿Y si compra 12 kilos? 7,5 litros ¿Qué relación guardan estos datos entre sí? Al aumentar uno en una proporción,
el otro aumenta en la misma proporción.
4) Completa la tabla:
1) Completa la tabla que se muestra a connuación: Kilos de naranja
1) ¿Hay una relación entre el litro de naranjada y el kilo de naranjas? Sí. 4 kilos de naranja sirven para 2,5 litros
40
4 x 16
44
Kilos de naranja
10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5
Litros de naranjada
2) ¿Qué pos de nmeros hay en la la “Kilos de naranja”?
Son múltiplos de 4. 3) Al pasar de 4 a 20 kilos, el nmero de kilos se quintuplicó. ¿Qué ocurrirá con el nmero de litros de naranjada?
4
8
12
...
64
2,5
5
7,5
...
40
2,5 x 16 5) ¿Cuántos kilos debe comprar para sasfacer el pedido?
Debe comprar 64 kilos de naranja.
El número de litros también se quintuplicará.
1) ¿En qué momento has tenido dicultad para hallar la solución? Al establecer la relación entre las dos
magnitudes que intervienen en el problema. 2) ¿Cómo reorientaste el planteamiento para encaminarte a la respuesta? Completando la cantidad de litros de
naranjada, según las diferentes cantidades de kilos de naranja indicadas en la primera tabla. 3) ¿Qué concepto matemáco has empleado para resolver este problema? Relación de proporcionalidad directa.
4) Lee la información que se encuentra en cada columna de la primera tabla, como si cada una fuera una fracción. Divide el numerador entre el denominador de cada columna y compara los resultados. ¿Qué observas?
El cociente es constante e igual a 1,6. 5) ¿Es correcto escribir la siguiente relación de proporcionalidad?, ¿esta relación te permite resolver el problema? 4 kg de naranja 64 kg de naranja = 2,5 l de naranjada 40 l de naranjada
Sí, es correcto, es una relaci ón proporcional. MD
43
Manual para el docente
27
La alfombra Rosaura quiere comprar una alfombra con movos peruanos para su dormitorio, que mide 3 m x 4 m. Ella ha averiguado el precio de unas alfombras en diferentes endas de artesanía. Este depende del nmero de metros cuadrados y del lugar de origen.
Alfombras Tamaño
Rosaura no desea gastar más de S/.360. Además, Costo de la alfombra quiere que al menos 3 m 2 de su dormitorio queden sin Entrega e instalación alfombrar.
Cusqueña
Puneña
Ayacuchana
3mx3m
2mx5m
2mx4m
S/.38 el m2
S/.35 el m2
S/.36 el m2
S/.40
Sin cargo
S/.18
¿Cuál de estas alfombras le recomendarías que compre?
Tiene información de 3 tipos de alfombra. 2) ¿Cuáles son las dimensiones de su dormitorio? Las dimensiones de su dormitorio son 3 m x 4 m. 3) ¿Qué signica la la: “Entrega e instalación”? Es el costo por llevar la alfombra a la casa y dejarla instalada. 4) ¿De qué depende el precio de cada alfombra? El precio de cada una depende del número de m 2 y del lugar de origen. 5) ¿Cuánto es lo máximo que desea gastar Rosaura? Desea gastar como máximo S/.360. 6) ¿Qué área desea dejar libre? Desea dejar libre por lo menos 3 m2. 7) ¿Qué es lo que quiere hacer Rosaura? Rosaura quiere comprar una alfombra con motivos peruanos. 1) ¿De cuántos pos de alfombras ene información Rosaura?
1) ¿Cómo puedes saber si la alfombra no cubre al menos 3 m 2 del dormitorio de Rosaura?
Calculando el área de cada alfombra y comparando con la de su dormitorio. 2) ¿Cómo calcularías el costo total? Multiplicamos el costo del m2 por el área de la alfombra. Al producto le sumamos el costo de entrega e instalación. 3) ¿Cómo puedes visualizar los datos de las tres alfombras?
1) Completa la tabla mostrada con los cálculos adecuados: Cusqueña Área Costo de la alfombra Entrega e instalación Costo total
Puneña
Ayacuchana
9 m2 10 m2 8 m2 S/.38 el m2 S/.35 el m2 S/.36 el m2 S/.40 sin cargo S/.18 S/.382 S/.350 S/.306
2) ¿Cuál de las tres alfombras debe comprar Rosaura?
La alfombra "Cusqueña" supera el presupuesto de Rosaura; la alfombra "Puneña" dejaría solo 2 m2; entonces Rosaura debe comprar la alfombra "Ayacuchana", que se ajusta al presupuesto y a su requerimiento de espacio.
Se puede construir una tabla.
1) ¿Qué estrategia te sirvió más para tomar la decisión?
Ordenar la información en la tabla permite hacer mejor la comparación de alternativas. 2) ¿Crees que es l organizar los datos para comprar? Sí es muy útil. 3) ¿Qué otra forma de organizar los datos puedes ulizar? Se puede organizar la información en filas, en vez de columnas. 4) ¿Crees que se deben considerar otros factores, además de los matemácos? Menciona algunos.
Un factor importante es el presupuesto que Rosaura planeó. 5) Todo problema brinda datos y condiciones. En este caso, ¿cuáles son los dato y cuáles las condiciones?
Datos son las áreas del dormitorio y de las alfombras, así como los costos asociados a cada una. Las condiciones son el presupuesto y el requerimiento de espacio de Rosaura.
28
Resolvamos 1
MD
44
Un tremendo ajedrez Para una feria de ciencias, los escolares de la IE Micaela Basdas están planicando construir un juego de ajedrez en el pao del colegio. Las piezas de un ajedrez comn enen diferentes alturas, segn sea un rey, un peón, una torre. Vamos a suponer que las piezas miden 10 cm. También asumiremos que los niños de primer grado serán los peones.
Con tus compañeros, realicen las siguientes acvidades: 1) Elaboren una tabla donde registren las alturas de cada uno de los integrantes del grupo. Nombre
Altura (m)
6) Esta máquina puede servir para calcular con exactud cuánto debe medir cada casilla del tablero de ajedrez. Ulícenla para calcular la casilla del tablero grande. Altura pieza grande
Lado casilla estándar
Altura pieza estándar
166 cm
5 cm
10 cm
Lado casilla grande
83 cm
7) Expliquen cómo se ha construido esta máquina de calcular.
Usando proporciones. 2) Discutan y pónganse de acuerdo en una altura que represente a tu equipo. A resolver por los estudiantes. 3) Las casillas de los tableros de ajedrez más comunes miden 5 cm de lado y el tablero del juego ene las de 8 casillas. ¿Cuánto mide el lado del tablero? Mide 40 cm de lado.
A resolver por los estudiantes. Para la explicación, asumiremos 166 cm. 5) Completen la siguiente tabla para calcular cuál debe ser la medida del tablero de ajedrez que permita jugar a los estudiantes.
Tablero grande
Altura pieza
Lado de la casilla
Lado del tablero
Perímetro del tablero
Supercie del tablero
10 cm
5 cm
40 cm 664 cm
160 cm 2656 cm
1600 cm2
166 cm 83 cm
Relación directamente proporcional. 9) Si desean hacer un tablero de ajedrez para que jueguen los adultos, ¿qué datos necesitarán?
La altura promedio del grupo de adultos.
4) ¿Cuánto es, en cenmetros, la altura que eligieron?
Tablero estándar
8) ¿De qué concepto matemáco han pardo para construirla?
440 896 cm 2
10)Tres trabajadores pueden hacer el tablero y las piezas gigantes en 14 días; sin embargo, la fecha de inicio de la feria es dentro de once días. ¿Cuántos trabajadores más, como mínimo, necesitarán contratar para terminar el trabajo en un máximo de 10 días?
Aplicando la regla de tres inversa para resolver el problema, tenemos 14 x 3 / 10 = 4,2. Para asegurar el trabajo deberán contratar 5 trabajadores.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la proporcionalidad y he establecido relaciones entre cantidades y magnitudes. Podemos reconocer tales situaciones en actividades productivas, cientícas, comerciales y lúdicas.
Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy interesantes.
Interesantes.
MD
45
Poco interesantes.
Nada interesantes.
Manual para el docente
29
5 Ojos que no Venn
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que en la vida codiana tenemos necesidad de trabajar con grupos de objetos. Algunas veces estos enen elementos en comn y otras veces no. A ellos se denominan conjuntos y son también ulizados para la representación gráca de encuestas de opinión. Otra de las aplicaciones de estas guras es la clasicación de categorías en medicina, biología, sociología y en ramas de la matemáca, como la geometría o la topología. CAPACIDAD
Resuelve problemas de contexto real y matemáco que implican la organización de datos ulizando conjuntos. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
La tarea presenta los resultados de una encuesta entre estudiantes acerca de los programas que ven en televisión. Es posible que ellos vean dos o más programas, así como puede que existan algunos que no gusten de ninguno. En este caso, estamos ante la presencia de una clasicación entre grupos con posibles intersecciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran idencar e interpretar información cuantava en grupos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el estudiante establezca una adecuada comprensión entre los datos expresados en las viñetas y el organizador de datos (diagrama de Venn). En este caso, se propone ulizar la estrategia de hacer un diagrama de Venn general para tres conjuntos. Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar cada grupo. Los conectores “o”, “y” y “solo” deben comprenderse en cada caso. Las preguntas enen esa intención. Por ejemplo, si se dice que 34 ven A y B , se está diciendo que hay 34 estudiantes que ven tanto A como B ; sin embargo, en el lenguaje codiano, a veces se toma como 34 escolares ven A o B, lo que constuye un uso incorrecto de los conectores. Un error pico es considerar a los miembros que pertenecen a un grupo como si solo pertenecieran a él, sin suponer que pueden ser elementos de dos o más grupos a la vez. Asimismo, es frecuente gracar los tres círculos sin el recuadro que los conene, error que debe evitarse en esta forma de representación.
El torneo de damas
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
Relaciones lógicas Operaciones aritmécas Ecuaciones
Programas favoritos
Descripción de la acvidad
T2
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Conjuntos
La tarea presenta un problema de información en el que se solicita idencar a las parejas de jugadores que se enfrentaron en un torneo de damas, ejercicio del cual se pueden extraer conclusiones interesantes. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas referidos a conjuntos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la idencación de qué parejas han podido enfrentarse ese día. Eso se logra reexionando sobre lo que cada uno de los profesores maniesta. Dos jugadores que se enfrentan entre sí no pueden aparecer juntos entre los favoritos del mismo docente. En este caso, se propone desarrollar un procedimiento para organizar la información en un diagrama para representar los datos y las relaciones entre ellos. Los estudiantes pueden tener dicultades al inicio del problema, sobre todo al elegir la forma de afrontarlo. Las preguntas de la primera fase están diseñadas para ayudarlos a la comprensión del problema y a guiar su razonamiento hacia una estrategia de solución. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y explorar algunas variantes de la situación, con el n de jar la estructura subyacente al problema.
MD
46
T3
Con sumo cuidado
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
La situación presenta una metodología de invesgación de mercado, conocida como el método del panel. En ella los consumidores son entrevistados varias veces en un determinado periodo, con el n de observar su lealtad a una marca o producto. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar los resultados de encuestas, mediante el uso de diagramas de Venn. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en idencar la información relevante. El texto es largo, por lo que los estudiantes deben estar habituados a leerlo de manera analíca y así dividirlo en partes que les den información. Esto implica reorganizar la información en una tabla de datos y en el organizador visual (diagrama de Venn). En este caso, se propone realizar la lectura analíca, la organización de datos en una tabla y en un diagrama de Venn para tres conjuntos. El diagrama será muy apropiado, pues hay involucrados varios conjuntos de elementos con posibles intersecciones. Los estudiantes pueden tener dicultades al leer un texto largo. Por ello, se les debe guiar con preguntas similares a las que se presentan en la sección Antes de hacer, vamos a entender . Es conveniente que los estudiantes revisen los pasos dados en la solución del problema y que reexionen sobre el porqué de cada paso. Asimismo, se les puede indicar que resuelvan el problema de otra manera. En otra situación, se puede proponer a los estudiantes que realicen un po de encuesta similar, pero real. Hay que decidir sobre el tema y el pblico al cual se le aplicará el panel.
La descendencia de Lechuga
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
La tarea presenta un relato acerca de unos personajes y sus preferencias. El texto presenta mlples relaciones de pertenencia entre los personajes y sus gustos. Es importante notar que la información se da negavamente; por ejemplo, no nos informan cuántos comen zanahorias, sino cuántos no la comen. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas complejos sobre conjuntos que requieran interpretar e inferir información a parr de un texto. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la interpretación de cada una de las pistas que se dan a lo largo del problema. Hay que estar consciente de que se está trabajando con datos de no pertenencia. En este caso, se propone la lectura analíca, así como la representación y organización de la información mediante un diagrama de Venn para tres conjuntos.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades para comprender los datos proporcionados y trasladar la información cuantava del texto al gráco. Las preguntas de las fases o secciones 1 y 2 pretenden orientar el razonamiento.
Más allá del problema
Es importante que los estudiantes reexionen sobre lo actuado e idenquen la diferencia entre un problema con datos negavos y otro con datos directos. Es posible intentar resolver el problema mediante conjuntos de pertenencia, es decir, A: hijos que comen zanahoria, B: hijos que comen espinacas, C: hijos que comen rábanos.
MD
47
Manual para el docente
5
Ojos que no Venn
Programas favoritos En una encuesta sobre los programas de TV favoritos de 60 estudiantes de 1.° de Secundaria de Lima, se obtuvieron los siguientes resultados: • • • •
32 ven “Héroes urbanos”. 39 ven “Rutas del Per”. 47 ven “Matemanía”. 15 ven “Héroes urbanos” y “Rutas del Per”. • 28 ven “Rutas del Per” y “Matemanía”. • 25 ven “Matemanía” y “Héroes urbanos”. • 10 ven los tres programas. • Todos ven al menos un programa.
Héroes urbanos
2
5
6
Rutas del Perú
10 15
18 4
Matemanía
1) Sombrea en color amarillo la región del diagrama en la que están los estudiantes que solo ven “Héroes urbanos”. 2) Sombrea en celeste la región de aquellos que ven solo dos programas.
13 estudiantes. 9) ¿Cuántos miran nicamente “Matemanía”? 10)Reexiona y explica: ¿Por qué una tabla no es u n buen modo de organizar estos datos?
Tengo 8 regiones, considerando que el número de estudiantes que no ven ningún programa es cero. 4) De acuerdo con los datos y el diagrama, ¿cuántos estudiantes ven los tres programas?
Porque no permite mostrar la intersección entre los tres grupos. 11)El diagrama que te presentamos, ¿puede ulizarse para organizar los datos? Explica por qué.
Los estudiantes que ven los tres programas son 10. 5) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Héroes urbanos”, pero no “Rutas del Per”? 17 estudiantes. 6) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Rutas del Per”, pero no “Héroes urbanos”? 24 estudiantes. 7) ¿Cuántos comparten la preferencia por mirar “Rutas del Per” y “Héroes urbanos”, pero no “Matemanía”?
5 estudiantes.
Resolvamos 1
8) ¿Cuántos exactamente no miran “Matemanía”?
4 estudiantes.
3) ¿Cuántas regiones disntas idencas en el diagrama?
30
U
MD
Sí, porque en el diagrama podemos representar a los estudiantes que ven un solo programa y a quienes ven dos o tres programas. 12)Si tuvieras que colocar un comercial en dos de estos programas, ¿cuáles elegirías? ¿Por qué?
"Rutas del Perú" y "Matemanía" porque entre los dos cubren el universo. 48
El torneo de damas En la IE N.° 6024 se está realizando la seminal del torneo de damas “John Venn”. En esta fecha se enfrentan ocho jugadores en cuatro pardas. Los profesores enen sus favoritos para cada parda: • Profesora Lupe: Ángela, Kevin, Germán, Gloria. • Profesor Miguel: Ángela, Doris, César, Germán. • Profesor Benito: Gloria, Ángela, Pilar, César. Ningn profesor escogió al pequeño Coto como posible ganador. ¿Quiénes se enfrentaron en cada parda?
1) ¿Qué es lo que está ocurriendo en la IE N.° 6024?
1) Con lo que dicen los profesores, ¿se puede saber quiénes jugaron en esa fecha? Escribe la lista.
Un torneo de damas.
Ángela, Kevin, Germán, Doris, Gloria, César, Pilar y Cotito.
2) ¿Qué es lo que informan los profesores Lupe, Miguel y Benito?
Dan a conocer sus favoritos para ganar cada par tida.
2) ¿Pueden enfrentarse en una parda Ángela y Gloria?
3) ¿Cuántos jugadores se enfrentan en esta fecha?
No, pues la profesora Lupe los seleccionó como ganadores.
Se enfrentan ocho jugadores.
3) ¿Pueden enfrentarse en una parda Germán y Pilar?
4) ¿Qué jugador no fue escogido como favorito por ningn profesor? ¿Por qué?
Es posible. 4) ¿Cómo organizarás los datos para visualizar el problema?
Cotito, porque piensan que perderá por ser pequeñito.
a) En una tabla de doble entrada b) Con un diagrama de Venn c) En un plano cartesiano
5) ¿Qué es lo que te solicitan en el problema?
Determinar quiénes se enfrentarán en cada partida.
1) Coloca los nombres de los jugadores en el diagrama de Venn mostrado, considerando los favoritos de cada profesor: A: Jugadores favoritos de Lupe.
A
B
Kevin
B: Jugadores favoritos de Miguel.
4) ¿Con qué otros jugadores no pudo jugar Gloria? Con Ángela, Germán, Kevin,
Doris
César, Pilar y Cotito.
Ángela
C: Jugadores favoritos de Benito.
Gloria
2) ¿Con quién se enfrentó Ángela? Explica.
Con Cotito, pues ella está en la intersección de tres opiniones y eso descarta al resto de jugadores.
Germán
No, porque están juntos en dos opiniones: la de Lupe y la de Benito.
5) ¿Con quién jugó Gloria?
César
6) Completa la siguiente tabla con los jugadores que se enfrentaron ese día:
Pilar Cotito C
3) ¿Puede Gloria haber jugado con Kevin o Pilar? Explica.
1) ¿En qué parte del proceso de solución tuviste mayor dicultad? Depende del estudiante. 2) ¿Qué estrategias te fueron les para resolver el problema?
Utilizar un diagrama de Venn y analizar los casos posibles. 3) Si no te hubiesen di cho nada acerca de Coto, ¿se habría Es posible, pero no podido resolver el problema?
tendríamos el nombre del contrincante de Ángela.
MD
Con Doris.
U
Ángela
Coto
Gloria
Doris Pilar Kevin
Germán César
4) ¿El contrincante de qué jugadorfue más fácil de hallar? ¿Por qué?
De Ángela, pues no podía jugar con todos los otros que estaban en los conjuntos de los tres profesores por estar en la intersección de los tres. 5) ¿Se puede saber quiénes ganaron cada parda?
No se puede saber. 49
Manual para el docente
31
Con sumo cuidado Para estudiar el consumo de la goma Pega Pega entre los estudiantes, un grupo de 2000 de ellos fue entrevistado. A cada estudiante se le preguntó si ulizaba dicha goma para sus manualidades. Seis meses después, se entrevistó a los mismos estudiantes y se les preguntó si connuaban ulizándola. Luego, al año de haber hecho la primera encuesta, se procedió de igual modo. Los siguientes son los resultados del trabajo de campo: contestaron armavamente 836 estudiantes la primera vez, 827 la segunda vez y 808 la tercera vez. La primera y segunda vez, 542. La primera y tercera vez, 474. La segunda y tercera, 498. Las tres veces, 317. ¿Cuántos estudiantes contestaron negavamente la primera vez? ¿Cuántos la segunda vez? ¿Y la tercera vez? ¿Cuántos estudiantes contestaron negavamente las tres veces?
1) ¿Cuántos estudiantes fueron entrevistados?
3 veces.
encuesta
Solo A y C Solo B y C AyB ByC AyC A, B y C
U
3) En el diagrama inicial representa los elementos en cada región.
corresponde a 3 de esas regiones.
Número de estudiantes
Solo A y B
a
4) ¿Puedes colocar el nmero 836 en una de esas regiones de tu diagrama? No . ¿Por qué? Porque dicho número
2) Completa la tabla segn corresponda:
Solo C
3.
Sí, se puede modelar la información y responder las preguntas por diferencia con respecto al total.
1) Completa los espacios con la denición de los conjuntos que representarás:
Solo B
153
4) ¿Crees que el mismo po de diagrama te puede ayudar aquí? Explica.
La cantidad de estudiantes que respondieron negativamente en las encuestas.
Solo A
181
El diagrama de Venn.
5) ¿Qué es lo que enes que averiguar?
C: 3.ª
317
104
3) ¿Qué po de diagrama te ayudó a resolverlo?
Afirmativa o negativamente.
encuesta
157
225
Sí, el primer problema de esta lección.
4) ¿Cómo pueden responder los estudiantes?
B: 2.ª
137
2) ¿Has resuelto algn problema parecido en otra oportunidad?
Sobre la utilización de la goma "Pega Pega".
encuesta
a
Intervienen 3 conjuntos, los que respondieron afirmativamente en las diferentes encuestas.
3) ¿Qué es lo que preguntaron a los estudiantes?
A: 1.ª
2.
a
1) ¿Cuántos conjuntos intervienen en este problema?
2000 estudiantes. 2) ¿Cuántas veces fueron entrevistados?
1.
5) ¿Puedes colocar el nmero 317 en una de esas regiones de tu diagrama? Sí. ¿Por qué?
137 104 153 225 157 181 542 498 474 317
Porque dicho número representa una sola región que corresponde a los que respondieron afirmativamente en las 3 encuestas. 6) ¿Cuántos estudiantes contestaron negavamente la primera vez? La primera vez, 1164 estudiantes
contestaron negativamente. 7) ¿Cuántos la segunda vez? 1173. ¿Y la tercera vez? 1192. 8) ¿Cuántos estudiantes contestaron negavamente las tres veces? Fueron 726 estudiantes.
1) ¿Crees que hubiese sido l denir los conjuntos A, B y C como el nmero de estudiantes que contestaron negavamente la primera, segunda y tercera vez, respecvamente? ¿Por qué? Explica.
No, pues se debería transformar la información proporcionada después para completar el cuadro. Esto lo hace más difícil.
32
Resolvamos 1
MD
50
La descendencia de Lechuga El Sr. Joaquín Lechuga y su esposa Zoila fueron bendecidos con muchos hijos. Todos los días los Lechuga salen a trabajar al campo. Ellos viven en la localidad de Bambamarca y se dedican al culvo de hortalizas, que luego venden a los proveedores de la zona. El alimento predilecto de los señores Lechuga son las ensaladas, de las cuales conocen muchas recetas. Lamentablemente, y pese a su apellido, a sus hijos no les gustan varias verduras; así, por ejemplo, siete no comen zanahorias, seis no comen espinacas y cinco no comen rábanos. Cuatro de ellos no comen ni espinacas ni zanahorias, tres no comen espinacas ni rábanos y dos no comen zanahorias ni rábanos. Uno de los hijos no come espinacas, zanahorias ni rábanos. Y ninguno de ellos come las tres verduras. Al menos, ¿cuántos hijos ene la familia Lechuga?
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades y resuelvan el problema: 1) ¿Qué dato es el que más información puede darles?
El dato principal para poder empezar el trabajo es aquel que indica el número de hijos que no comen ni zanahoria ni espinaca ni rábanos. 2) Hagan un diagrama que muestre la relación entre los conjuntos, tomando en cuenta los que: "no consumen zanahorias" (NZ), "no consumen espinacas" (NE) y "no consumen rábanos" (NR). NZ
3 1
1
El conjunto “No zanahoria” del gráfico es la región de los que no la comen. Son 7 hijos los que se ubican allí. 5) Hagan un razonamiento similar con las otras dos verduras. 6) ¿Cuántos hijos ene la familia?
0
La familia tiene 10 hijos. 7) ¿Cuál o cuáles fueron los datos más les en este problema?
2
Saber cuántos no comen ninguna de las tres verduras y cuántos comen las tres.
1 NR
4) ¿Cuál es la región de los que no comen zanahorias? ¿Cuántos hijos deben estar en esta región?
Similar al anterior.
NE
2
3) En el diagrama que acaban de construir, determinen cuántos hijos de la familia lechuga están en cada región.
U
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas en los cuales he tenido que organizar y clasicar información acerca de grupos con determinadas características. La capacidad de clasicar y organizar datos se presenta en diversas actividades de la vida, como diseñar horarios, hacer encuestas, organizar libros en la biblioteca o asignar tareas a personas.
Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
MD
He parcipado de forma signicava.
51
Fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
33
6 Proporcionalmente
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes la presencia codiana de la noción de proporcionalidad en la información que difunden los medios de comunicación. Puede llevar al aula algunos tulares y nocias que en su redacción incluyan porcentajes, fracciones y proporciones. Explique que en estas tres formas se pueden presentar datos equivalentes, en cuyo caso las relaciones matemácas que expresan son las mismas. Así, se les puede pedir que una información dada en porcentaje la conviertan a un tular formulado en proporciones, de manera que sea posible percibir que, por ejemplo, 25 % es ¼ o 1 de cada 4. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES
T1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Porcentajes. Fracciones Operaciones aritmécas Función lineal
DNI para todos
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
T2
Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa
La tarea presenta un tular periodísco en el que se da información comparando dos candades por cociente, es decir, en forma de una razón aritméca. Con esta acvidad, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que impliquen ulizar con uidez conceptos referidos a fracciones, proporciones y porcentajes, así como la capacidad de establecer relaciones entre ellos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el signicado de la proporcionalidad dada y en cómo a parr de ella se puede explorar mejor la nocia presentada. Preguntar a los estudiantes por qué ulizar razones para comunicar una información y no, por ejemplo, decimales. En este caso, se propone descomponer la situación en partes mediante la formulación de preguntas para facilitar la comprensión del problema y su resolución. Los estudiantes pueden tener dicultades al resolver preguntas de bsqueda de relación entre problemas o en la resolución de otros problemas con datos supuestos, como es el caso de las preguntas 4 y 5, por lo que deberá orientarlos en la solución.
La calidad del buen café
Descripción de la acvidad
La tarea presenta el uso de información organizada en una tabla con varias entradas de datos. En dicha tabla relaciona el peso del café con el producto en diferentes estados: natural, procesado, café desechado o merma.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas vinculados a procesos de producción, a parr de la interpretación y organización de la información presentada en tabla.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de que la merma es la diferencia de pesos entre café natural y café procesado, así como en la relación proporcional que hay entre estos pesos y en la vinculación de esta relación con el rendimiento de café.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se ha utilizado la estrategia de reorganizar la información de los datos presentados en la tabla y un gráfico cartesiano para visualizar tendenci as que permitan responder al requerimi ento del problema.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dificultades en la interpretación de los datos de la tabla o para comprender los encabezados o el tipo de indicador a utilizarse para comparar. Por eso, las preguntas presentadas orientarán su razonamiento.
En la sección
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y reexionar sobre sus resultados. Adicionalmente, se presentan algunas variantes de la situación.
Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
MD
52
T3
El pequeño gran Hilario
Descripción de la acvidad
La tarea presenta un relato de contexto fantásco: es un matemacuento en el que parcipa el personaje de Hilario, a quien le ocurren modicaciones en su estatura, producidas por la ingesta de unos dulces que encuentra misteriosamente escondidos en su mochila. El relato da pie para formular varias preguntas de carácter matemáco.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que l os estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren la idencación y discriminación de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa en situaciones de contexto hipotéco, a parr de la lectura comprensiva de un texto narravo que conene datos que representan estas relaciones.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que no todas las magnitudes involucradas en el problema se comportan de manera directamente proporcional.
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
En este caso, se propone la lectura comprensiva del texto mediante preguntas que deben responder los estudiantes. Asimismo, se sugiere la organización de la información en una tabla que le permita idencar el patrón de las relaciones entre datos. Los estudiantes pueden tener dicultades para reconocer el par de magnitudes que crecen de manera directamente proporcional. Un error pico es considerar que la distancia de la cabeza de Hilario al techo disminuye proporcionalmente con el empo transcurrido. En este caso, las magnitudes en cuesón enen un comportamiento lineal decreciente, pero no directamente proporcional. Para aquellos estudiantes más avanzados, puede proponer tareas de invesgación más allá del problema. Por ejemplo, crear un relato similar al presentado o buscar en los cuentos infanles algunas relaciones de proporcionalidad. Parcularmente interesantes son los relatos de Alicia en el país de las maravil las de Lewis Carroll y Los viajes de Gulliver de Jonathan Swi. Puede encontrar acvidades matemácas referidas a estos relatos en: www.planetalibro.net/ebooks/eam/ebook_view.php
MD
53
Manual para el docente
6
Proporcionalmente
DNI para todos Fuente: Diario La República. Viernes, 7 de octubre de 2011.
Tres de cada veinte peruanos menores de 16 años no cuentan con el Documento Nacional de Identidad Así lo estimó el jefe del Reniec, Jorge Yribarren, al suscribir un convenio con Unicef para evitar indocumentados en el país.
1) Segn el tular, en un grupo de 120 peruanos menores de 16 años, ¿cuántos no tendrán DNI?
3 /20 x 120 = 18 personas 2) ¿Qué porcentaje de peruanos menores de 16 años no ene DNI?
3/20 x 100 = 15 % 3) ¿Qué fracción de los peruanos menores de 16 años no ene DNI?
3/20 4) Reexiona y responde: ¿Hay alguna relación entre los tres problemas planteados?
Sí, son diferentes formas de escribir la proporción de ciertos elementos de un grupo que cumplen determinada característica. 5) ¿Cuántos peruanos menores de 16 años no enen DNI? Asume que la población de estas caracteríscas es, aproximadamente, de 11 millones de personas. ¿Puedes expresar este nmero en unidades de millar?
3/20 x 11 millones = 1,65 millones personas, es decir, 1650 unidades de millar. 6) Escribe el tular en términos de los que sí poseen DNI.
17
34
Resolvamos 1
de cada
20
peruanos menores de 16 años cuentan con DNI
MD
54
La calidad del buen café José está produciendo diversas variedades de café. Para cada po, hay una diferente merma o pérdida cuyo porcentaje se manene constante entre el café natural y el procesado. El cuadro muestra algunos de los hechos que ha observado José.
CAFÉ MUKI
CAFÉ MISKY
Peso
Peso
Peso
Peso
de café
de café
Merma
Merma
de café
de café
Merma
natural
procesado
(g)
(%)
natural
procesado
(g)
(kg)
(kg)
(kg)
(kg)
2000
1600
400
20
1000
900
100
3000
2400
600
20
2000
1800
4000
3200
800
20
3000
5000
4000
1000
20
6000
4800
1200
20
CAFÉ SANDIA Peso
Peso
Merma
de café
de café
Merma
Merma
(%)
natural
procesado
(g)
(%)
(kg)
(kg)
10
3000
2400
600
20
200
10
4000
3200
800
20
2700
300
10
5000
4000
1000
20
4000
3600
400
10
6000
4800
1200
20
5000
4500
500
10
7000
5600
1400
20
José quiere clasicar los pos de café del menos al más rendidor. ¿Cómo lo puede hacer?
1) ¿De cuántos pos de café te dan información?
1) Con la información que enes, ¿es posible completar los datos faltantes en la tabla y resolver el problema? Explica.
De tres tipos de café.
Sí es posible; la merma en porcentaje se obtiene realizando la siguiente operación: (Peso café procesado/Peso café natural) x 100. El peso del café procesado se obtiene restando la merma al peso de café natural.
2) ¿Qué signica la palabra merma en este problema?
La cantidad de café natural que no se convierte en café procesado, es decir, se pierde. 3) ¿Qué magnitudes intervienen en esta situación?
Tres magnitudes: peso café natural; peso café procesado y la merma. 4) ¿Cuáles de estas proporcionalmente?
magnitudes
se
2) Completa, segn corresponda: relacionan
Peso café natural y peso café procesado.
El café menos rendidor es el que ene mayor merma por kilo de café natural y el más rendidor es el que ene menos merma por kilo de café natural. 3) Hay que buscar cuál es la merma por kilo de café para cada variedad. ¿Mediante qué po de gráco puedes organizar los datos para responder?
5) ¿Qué po de relación es?
Es directamente proporcional.
a) Diagrama de Venn
6) ¿Qué te solicita el problema?
b) Diagrama de árbol
O
Determinar el tipo de café más rendidor.
c) Gráco cartesiano
MD
55
Manual para el docente
35
1) Graca los datos tabulados en un plano cartesiano. Usa como eje x el peso del café natural y como eje y la merma en gramos. Une los puntos para cada po de café. Café Muki Merma (g)
Café Sandia
1400
Merma (g)
1200
1600 1400
100
1200
800
1000
600
800
400
600
200
0
400 2000
4000
6000
200
8000 Café natural
(kg)
0
Café Misky Merma (g)
2000
4000
6000
8000 Café natural
(kg)
600 500 400 300 200 100
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000 Café natural
(kg)
2) ¿Qué observas con relación a las líneas de los grácos que hiciste?
Cada una tiene una pendiente constante que representa la proporción de merma. 3) ¿Cuál de las líneas de los tres grácos es la más empinada?
Las líneas de Muki y Sandia tienen la misma inclinación y son las más empinadas. 4) ¿Cuál de los pos de café ene mayor merma? ¿Por qué?
Muki y Sandia, debido a que tienen una pendiente más empinada. 5) ¿Cuál de los pos de café dirías que es el más rendidor?
El café Misky, debido a que tiene menos merma.
1) Menciona las estrategias que te fueron les para resolver este problema.
Cambiar la representación de los datos, buscar regularidares, hacer uso de tablas y gráficos. 2) ¿En qué otros pos de problemas puedes ulizar como estrategia un gráco cartesiano?
En problemas donde se presente alguna relación entre dos magnitudes diferentes. 3) José quiere hacer un envío de 450 kg de café Misky. ¿Cuántos kilos de café natural requerirá?
10/9 x 450 = 500 kg
4) En la cosecha del 2012, ha recogido 29 000 kg de café Muki. ¿Cuántos kilos de café procesado logrará obtener?
0,8 x 29 000 = 23 200 kg
36
Resolvamos 1
MD
56
El pequeño gran Hilario Aquella mañana, Hilario llegó al colegio a las 7:50 a. m. y, como todos los días, abrió su mochila para seleccionar las cosas que usaría en las primeras horas de clase; en ese instante, vio la bolsa de dulces. Era extraño, él no había comprado esas golosinas ni nadie se las había regalado; sin embargo, los dulces lucían tan apetosos que abrió la bolsa y comió un caramelo amarillo. El sabor era muy parecido al del limón y a Hilario le gustó. Todo estaba bien hasta que de pronto, a los 4 minutos de haber comido el dulce, comenzó a crecer. Se asustó y corrió al baño a esconderse para que no lo vieran sus amigos. Había aumentado 28 cm. Seguía creciendo y creciendo a la misma velocidad y ya estaba temiendo que en unos minutos más llegara a tocar el techo del baño con su cabeza. Debía detener el crecimiento de algn modo, pero no sabía cómo. A las 8:20 a. m., Hilario ya tenía la altura del baño. Afortunadamente, se le ocurrió comer un dulce azul y entonces paró de crecer, pero comenzó a achicarse. Después de 4 minutos ya tenía 280 cm, y se fue achicando poco a poco. Ahora, el problema era otro: debía detenerse justo en su estatura original de 1,60 m. Buscó dentro de la bolsa de caramelos y halló un papel con unas extrañas instrucciones: “Si quieres detener el efecto de los dulces, debes gritar ¡checherebruka! en el momento que quieras detenerlo”. Felizmente, Hilario sabía resolver problemas matemácos y pudo calcular la hora en la cual gritaría ¡checherebruka! Así lo hizo y se salvó. Ahora, cada vez que ve una bolsa de dulces, desaparece en el instante. Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades: 1) ¿Cómo creen que se relacionan las magnitudes empo y altura de Hilario, después de comer el caramelo amarillo? ¿son directa o inversamente proporcionales?
Son directamente proporcionales. 2) Después de 20 minutos de comer el dulce amarillo, ¿cuánto había crecido Hilario?
28 cm/4min = 7 cm/min, entonces habría crecido 20 x 7 = 140 cm. 3) Completen la tabla para visualizar lo que ocurre con la altura de Hilario después de las 8:20 a. m. Tiempo desde que come el caramelo azul (min) Altura de Hilario (cm)
4
8
12 16 20 24 28
28 56 84 112 140 168 196
5) Las magnitudes empo y altura de Hilario, después de comer el caramelo azul, ¿son directa o inversamente proporcionales o no enen ninguna relación? Expliquen su razonamiento.
En este caso, al aumentar el tiempo, la altura de Hilario disminuye; sin embargo, lo hace en forma lineal, por lo que no podemos decir que sean inversamente proporcionales. 6) ¿Cuántos cenmetros por minuto disminuye Hilario, luego de comer el dulce azul?
Disminuye 20 cm en 4 minutos, entonces disminuye 5 cm/min. 7) ¿Después de cuántos minutos de haber comido el caramelo azul debe gritar ¡checherebruka!?
4) Hilario mide 1,60 m de alto. Si comió el dulce amarillo a las 8:00 a. m., ¿cuál es la altura del baño?
Debe gritar dicha palabra después de 28 minutos.
La altura del baño es de 160 + 140 cm = 300 cm o 3 m. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con magnitudes que son proporcionales. Existen varios tipos de proporcionalidad, las más usuales son la directa y la inversa. La proporcionalidad tiene múltiples aplicaciones: reparto de ganancias y herencias, estimación de poblaciones, diseño de espacios, estimación de tiempo de trabajo, entre otros.
Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
He colaborado de forma signicava.
Realicé aportes muy relevantes.
MD
57
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
37
7 Fracciones de realidad
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Presente a sus estudiantes diversas situaciones que requieran el uso de fracciones, como la distribución de un pastel, las relaciones entre dos unidades, la proporcionalidad, etc. CAPACIDAD
Resuelve problemas que implican cálculos en expresiones numéricas con nmeros naturales, enteros o racionales. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Fracciones
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Porcentaje Proporcionalidad directa Grácos estadíscos
Organizando el presupuesto
Descripción de la acvidad
La tarea presenta un caso parcular, en el que se observa la distribución del sueldo mensual de una persona en diversos rubros. Esto se representa mediante un diagrama circular.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran hacer cálculos en expresiones numéricas con racionales.
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
T2
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las diversas representaciones de las fracciones que resultan al dividir el presupuesto. En este caso, dado que las preguntas son directas, se propone realizar una lectura comprensiva y la elección de la operación aritméca correspondiente. Los estudiantes pueden tener dificultades al resolver las preguntas comparativas y aquellas en las que la cantidad se transforma en etapas. Una representación gráfica puede ayudar a comprender mejor las preguntas 4 y 11.
Vayamos Va yamos por partes
Descripción de la acvidad
Aquí se presenta una situación codiana en la que una candad de dinero sufre cambios durante el desarrollo del problema. La candad inicial es el sueldo de Arturo.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran cálculos en expresiones numéricas con nmeros racionales.
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la idencación del proceso de cambio de una magnitud. Tal idencación lleva a la representación de los cambios sufridos por esta candad mediante un diagrama de ras. En este caso, se propone hacer un diagrama de ras que represente el sueldo de Arturo. Se sugiere proponer tareas de invesgación más allá del problema, relacionadas, por ejemplo, con otras fórmulas de la antropometría, rama que estudia las longitudes en el cuerpo humano. Por otro lado, analizar datos de nuestro gigante Margarito Machaguay, en función de las ecuaciones dadas, permiría comprender que estas son solo una aproximación y que no son exactas cuando se habla de un caso parcular. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia empleada y transferir lo aprendido a una situación de estructura similar. Además, deberán idencar las caracteríscas de un problema que puede resolverse mediante la estrategia aquí ulizada.
MD
58
T3
Una aventura espacial
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
La tarea presenta un problema de móviles que involucra el uso de fracciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran modelar situaciones dinámicas en las que se emplean fracciones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la posibilidad de representar la situación grácamente para resolverla. En este caso, se propone hacer un diagrama lineal que también es analógico, pues representa los hechos y los personajes del contexto del problema en forma semejante a la situación planteada.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades para entender el problema, pues el texto es complejo. Las preguntas de la primera fase pueden ayudarlo en su comprensión.
En la sección
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y explorar diversas vías de solución.
Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Unas producvas vacaciones
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades Más allá del problema
La tarea presenta a tres personajes que realizan una acvidad económica y que deben reparrse las ganancias de manera justa. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran ulizar argumentos matemácos para tomar decisiones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el reparto debe realizarse de una manera justa y objeva. Para ello, los estudiantes deben idencar cuál es la magnitud que debe estar en relación directa con el pago de las ganancias de cada uno. En este caso, se propone la lectura analítica y elaborar una tabla para organizar y visualizar mejor la información. Los estudiantes pueden tener dicultades para comprender qué es lo que se quiere decir con "justo". Para ayudarlos, el docente puede proveer de problemas auxiliares en los que ellos perciban la lógica de un reparto proporcional a la ganancia que producen para el negocio. Se les puede proponer tareas de investigación , como, por ejemplo, resolver el problema mediante una hoja de cálculo Excel.
MD
59
Manual para el docente
7
Fracciones de realidad
Organizando el presupuest presupuestoo Fernando lleva las cuentas de manera muy organizada, por ello gusta de usar tablas y grácos matemácos para poder tomar decisiones claras y con fundamento. Él ha dividido su sueldo en 5 rubros y ha elaborado el diagrama circular que se muestra a connuación:
Alimentación
S/.300
S/.350
Servicios Transporte
S/.200
Salud
S/.250
Entretenimiento
S/.100
1) ¿Cuánto gasta en entretenimiento?
Gasta S/.300.
Gasta S/.350. Gasta S/.1200.
2) ¿Cuánto gasta en alimentación? 3) ¿Cuánto gasta en total?
4) ¿Cuánto, más que en transporte, gasta en servicios? 5) ¿Qué fracción de su sueldo gasta en alimentación?
Gasta S/.150 más en servicios que en transporte.
La fracción es 350/1200 = 7/24
6) Con respeto a esta fracción, completa el siguiente cuadro: Gasto en alimentación
Presupuesto
Fracción
350
1200
350/1200
175
600 120
175/600
35
7) Por cada S/.100 de sueldo, ¿cuánto gasta en salud? 8) ¿Qué porcentaje de su sueldo gasta en salud?
Por cada S/.100 gasta S/.16,67 en salud.
Gasta un porcentaje de 16,67 %.
9) Si Fernando desea gastar las 3/8 partes de su sueldo en salud, ¿cuánto deberá gastar en ello? 10) ¿Qué fracción de su sueldo gasta entre servicios y alimentación? 11) ¿Qué fracción gasta en otros rubros?
35/120
Deberá gastar S/.450.
La mitad de su sueldo.
Gasta 1/2 en otros rubros.
12) Reexiona y explica, ¿qué relación hay entre las regiones del gráco y su representación como fracción?
La fracción representa una parte del todo que está expresada en el grá fco. 13) Fernando ha recibido un aumento de S/.300. Él quiere dedicar las 2/5 partes de su aumento a entretenimiento y el resto a servicios. ¿Qué fracción de su sueldo será ahora dedicada a cada uno de estos rubros?
Servicios = 430/1500 = 43/150 Entretenimiento Entretenimie nto = 120/1500 = 2/25 38
Resolvamos 1
MD
60
Vayamos por partes El Sr. Arturo Cárdenas trabaja para una empresa agrícola. Después de cobrar su sueldo mensual, fue a su casa y le dio 2/5 de su sueldo a su esposa; luego salió en la tarde y gastó la mitad del resto en ocho libros de relatos para sus hijos. Ahora le quedan S/. 300. ¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas?
Entregó los 2/5 de su sueldo a su esposa y, en 8 libros de relatos para sus hijos, gastó la mitad de lo que le quedó. 2) ¿Qué es lo que varía en el empo? Lo que le queda de su sueldo. 3) ¿Qué es lo que te piden? Calcular el sueldo mensual del Sr. Cárdenas. 4) ¿Todos los datos numéricos sirven para resolver este problema? Sí, todos los datos sirven para resolver el problema. 1) ¿Qué ha hecho el señor Cárdenas con su sueldo?
1) ¿Con qué po de diagrama puedes representar los repartos del Sr. Cárdenas?
Ob) Diagrama de ras
a) Diagrama de Venn
c) Tabla de doble entrada
1) Si esta ra representa el sueldo del Sr. Cárdenas, sombrea lo que él le dio a su esposa.
2) Dibuja una ra debajo de lo que falta por reparr. ¿Qué parte dedicó Cárdenas a los libros de relatos? Sombrea esa parte.
3) La parte no sombreada corresponde a la candad que le quedó al Sr. Cárdenas. ¿Cuántos nuevos soles representa la parte no sombreada?
1) ¿Cómo puedes comprobar que tu resultado es correcto?
En el gráfico puedo comprobar las fracciones mencionadas en el enunciado. 2) Aquí se ha ulizado un diagrama de ras, con el cual se representaron los dos estados del problema: primero, el reparto a la esposa, y lu ego, el gasto en los libros. Este método es muy l para resolver problemas aritmécos. A connuación, completa la solución de un problema similar al estudiado. Problema: La Srta. Micaela Huamán ingresó a un restaurante, gastó la mitad de lo que tenía y dejó S/.3 de propina. Luego visitó una heladería, allí gastó la mitad de lo que le quedaba y dejó S/.2 de propina. Al salir, contó lo que le sobraba: S/.20. ¿Cuánto dinero tenía inicialmente? Solución:
La parte no sombreada representa S/.300.
47 4) Completa el diagrama con los nmeros adecuados.
200
200
44
3
22
200 200 200 300 300
2
20
Micaela Huamán tenía S/.94, inicialmente.
5) ¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas?
El sueldo mensual es S/.1000. MD
61
Manual para el docente
39
Una aventura espacial La nave azul sale del planeta Azul con rumbo al planeta Rojo. Al mismo empo, la nave roja, un poco más lenta que la azul, sale del planeta Rojo con rumbo al planeta Azul. Cuando se cruzan en el camino, la nave azul ha recorrido 1/5 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja. Después de este punto, la nave azul tarda 8 días en llegar a su desno. ¿Cuánto empo duró el viaje de la nave azul?
La nave azul y la nave roja. 2) ¿Cuál es el estado inicial de los parcipantes? La nave azul está en el planeta Azul y la nave roja, en el planeta Rojo. 3) ¿Cuál es el estado nal de los parcipantes? La nave azul está en el planeta Rojo y la nave roja, en el planeta Azul. 4) ¿En qué sendo viajan las naves? Van en sentido opuesto. 5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? Cuánto tiempo duró el viaje de cada nave. 1) ¿Quiénes parcipan en esta historia?
1) Un dibujo de la situación puede resultar muy l. Recuerda que las naves viajan una al encuentro de la otra. ¿Cómo podrías representar el viaje? Mediante un diagrama lineal.
1) Haz un diagrama lineal que represente el planeta azul, el planeta rojo y la distancia en línea recta entre ellos. Ahora divide esta distancia en 5 partes iguales. ¿Cómo llamarías a cada una de esas partes?
3) ¿Cuántos quintos del camino total recorrió la nave azul hasta el momento que se cruzó con la nave roja?
Recorrió 3/5 del camino total. 4) ¿Cuántos le faltan por recorrer?
Le falta recorrer los 2/5.
A
e/5
e/5
e/5
e/5
e/5
R
Las llamaría 1/5 de la distancia entre los dos planetas. 2) Señala, en tu diagrama, el punto en el que se encuentran las naves. Recuerda que la nave azul ha recorrido 1/5 más del camino que la roja.
1) ¿Cómo puedes comprobar que tus resultados son correctos?
5) Si en lo que le falta por recorrer tarda ocho días, ¿en cuántos días recorre 1/5 del camino?
Como en 2/5 tarda 8 días, en 1/5 demorará 4 días. 6) Entonces, ya puedes contestar cuánto tiempo tarda en recorrer el camino total, es decir, los 5/5.
Tarda 20 días.
Se puede comprobar haciendo un diagrama.
2) ¿Cuál sería el resultado si, al encontrarse las naves, la azul hubiera recorrido 3/7 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja?
Si la nave azul hubiera recorrido 5/7 de la distancia total, le faltarían 8 días para recorrer 2/7, por lo que en 1/7 serían 4 días. Luego, en total serían 7 x 4 días = 28 días.
40
Resolvamos 1
MD
62
Unas productivas vacaciones Cuatro amigos trabajaron durante las vacaciones del verano pasado: por las mañanas, vendiendo raspadillas de cuatro sabores, y por las tardes, empanadas de cinco sabores. Antes de empezar el verano, se pusieron de acuerdo para reparrse las ganancias en partes iguales. Así, designaron a Julia como contadora del grupo y convinieron en que ella debía llenar el formato que se muestra. Al nal de cada semana, juntaban las ganancias de los cuatro y las reparan equitavamente. Con los datos que aparecen en el cuadro siguiente, ¿puedes decir si el reparto fue justo para cada uno de ellos? Ventas de raspadilla y empanadas Amigo
Primera semana Ganancia producida Le tocó (S/.)
Carlos
27
Julia
18
Diego
20
Rosa
25
TOTAL
90
Reparto
90/4 90/4 90/4 90/4 90/4
Segunda semana Ganancia producida Le tocó (S/.) 30 28 17 24 99
90/4
Tercera semana Ganancia producida Le tocó (S/.)
99/4 99/4 99/4 99/4 99/4 99/4
25 16 25 15 81
Cuarta semana Ganancia producida Le tocó (S/.)
81/4 81/4 81/4 81/4 81/4 81/4
22 18 15 20 75
75/4 75/4 75/4 75/4 75/4 75/4
Total Ganancia producida Le tocó (S/.)
345/4 80 345/4 345/4 77 345/4 84 345/4 345 345/4
104
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades y resuelvan el problema: 1) En el cuadro, cada columna indica las ganancias de la semana. Calculen la ganancia total en cada una de las semanas que trabajaron los cuatro amigos. 2) Para que el reparto sea equitavo, ¿en cuántas partes iguales se deben dividir las ganancias de cada semana? ¿Qué fracción de la ganancia le tocó a cada amigo? Escriban sus respuestas en el renglón de reparto del cuadro, como se muestra en la primera columna.
Se debe repartir en 4 partes iguales, con lo que a cada amigo le corresponde ¼ de la ganancia. 3) Lo que le tocó a cada amigo está escrito en forma de fracción y debemos compararlo con lo que realmente ganó cada uno en la semana. ¿Se les ocurre cómo realizar la comparación?
Al expresar las ganancias reales en fracciones con denominador 4, podemos comparar los numeradores.
4) En la primera semana, a cada amigo le tocó 90/4, es decir, la ganancia total de la semana dividi da entre cuatro. En la segunda parte de cada casilla del cuadro, escriban el reparto correspondiente y compárenlo con la ganan cia real de cada amigo. En la primera semana, ¿quiénes recibi eron más de lo que en realidad ganaron? ¿Quiénes recibieron menos?
Julia y Diego recibieron más de lo que en realidad ganaron. Carlos y Rosa recibieron menos de lo realmente ganado. 5) Sumando las ganancias y los repartos de las cuatro semanas, ¿quiénes recibieron más de lo que ganaron? ¿Quiénes recibieron menos?
Julia, Diego y Rosa recibieron más de lo que en realidad ganaron. Carlos fue el único que perdió, pues recibió menos de lo que ganó. 6) ¿Fue justo el reparto?El reparto no fue justo para ninguno y perjudicial para Carlos. Hubiese sido justo hacer un reparto proporcional a las ganancias obtenidas.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las fracciones y sus operaciones. Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales como: repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras.
Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
MD
63
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
Manual para el docente
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8 Porcentajes que ponen y quitan
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes la gran ulidad y ubicuidad de los porcentajes en las acvidades codianas. Para demostrarlo, tome, por ejemplo, un periódico donde haya avisos que contengan porcentajes. Casi todas las ofertas ulizan el tanto por ciento y, en algunos casos, se aprovechan del escaso manejo que el consumidor ene de este po de información para plantear ofertas que, al analizarlas, no cumplen plenamente con el benecio esperado. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja de proporcionalidad directa e inversa (porcentaje). CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
Proporcionalidad directa Razones y proporciones Operaciones con decimales
La tarea presenta un tarifario con precios en nuevos soles. A parr de él, se solicitan varios precios con disntos pos de descuento. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren esmar porcentajes y calcular descuentos de varias maneras. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el porcentaje es solo una forma de escribir un nmero decimal o una fracción. También hay que hacer reexionar sobre las muchas maneras de calcular un por centaje y un descuento directamente, a parr del monto base. En este caso, se propone el uso de procedimientos de modelación directos, pues la situación así lo amerita. Los estudiantes pueden tener dicultades al resolver la pregunta 9. El docente puede ayudar a la comprensión del problema, formulando interrogantes más directas y estableciendo submetas en cada una de las partes de la situación planteada. Para contestar esta pregunta, se le puede sugerir al estudiante que organice los cálculos en dos etapas: con la oferta anterior y con la nueva. En ambos casos, deberá obtener los precios nales para poder decidir cuál de las ofertas es la más ventajosa.
La pequeña vendedora
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Las ofertas del día
Descripción de la acvidad
T2
Porcentaje
La tarea muestra una situación de contexto comercial que involucra el cálculo del porcentaje y conceptos como el precio de costo y el precio de venta. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren el cálculo de porcentajes, en los cuales hay que realizar aumentos o descuentos sucesivos y, además, utilizar diagramas de flujo. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el estudiante se dé cuenta de que solo hay una cantidad que cambia a lo largo de la historia: el precio del poncho. Este sufre transformaciones debido a los incrementos por ganancia y descuento final pactados en la venta. Asimismo, se debe asegurar que el estudiante comprenda la diferencia existente entre el precio de costo, precio de lista (oficial) y precio de venta (real). En este caso, se propone parcularizar la situación dando un precio base ccio, al que se le han aplicado las trasformaciones narradas en el texto. Para organizar este proceso, se plantea emplear un diagrama de ujo, con el n de visualizar la situación en cualquiera de los momentos y reconstruir los hechos, si lo que se ene es solo el precio nal. Los estudiantes pueden tener dicultades al elegir un precio ccio para trabajar el problema. Asimismo, muchos de ellos piensan que la respuesta dependerá de ese precio inicial. Para eliminar esta creencia, el docente puede hacer que experimenten con disntos precios base, a n de vericar que el resultado nal es nico.
MD
64
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
Los estudiantes reexionarán sobre la estructura del problema y buscarán darle solución a una versión de este, en el que se han realizado varias modicaciones. Esto es bueno, pues ayuda a jar el po de estructura del problema que puede resolverse mediante esta estrategia.
¡Qué gran descuento!
Descripción de la acvidad
La tarea muestra un pico ejemplo de publicidad engañosa. Se presenta un po de descuento sucesivo, pero la forma de presentarlo hace que el consumidor piense que el descuento es mayor.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se espera que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción simple que implican el análisis de descuentos con porcentajes sucesivos.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las razones por las que se elige un nmero base para realizar los experimentos. Los estudiantes deben notar que, al margen de cuál sea el precio inicial, el porcentaje será el mismo; por ello, tomamos el precio base más sencillo de trabajar que es 100.
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
En este caso, se propone parcularizar la situación y realizar un experimento numérico. Para ello, se asume un valor inicial y se le aplica el proceso señalado en el texto. Luego, se analizan los resultados para tomar decisiones. Los estudiantes pueden tener dicultades para comprender por qué deben elegir un ejemplo. Algunos de ellos pueden pensar que al problema le faltan datos, pues no indica el precio inicial. Otros creerán que la respuesta varía dependiendo del precio del producto. Es bueno que el docente haga que estos estudiantes experimenten con varios nmeros base para que se convenzan de que el porcentaje al nal es el mismo. Los estudiantes deberán reexionar sobre la elección de la candad inicial. Además, pueden extrapolar sus métodos a otros problemas que contengan, por ejemplo, dos aumentos sucesivos (inación mensual), un aumento y un descuento (pago con descuento e impuesto a la vez) o situaciones con tres descuentos consecuvos. Existe una fórmula para hallar el equivalente a dos descuentos sucesivos: De = D1 + D2 - D1.D2/100, estando De, D1 y D2 en porcentaje. Puede usted demostrar la fórmula.
Comprar y vender sin perder
Descripción de la acvidad
La tarea muestra una acvidad de contexto comercial que demanda el cálculo de porcentajes y el uso de conceptos como ganancia y pérdida. Adicionalmente, demanda suponer la candad de polos y el precio de venta de cada uno de ellos.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren desarrollar un manejo uido del cálculo de porcentajes y que, de ser necesario, puedan ser capaces de asumir candades o precios.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la necesidad de asumir ciertos datos para este problema, como la candad de polos y el precio de venta de cada polo. Ello con el objevo de responder a la pregunta planteada.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se propone descomponer el problema en partes para idencar la información relevante. Además, se plantea hacer uso de tablas, a parr de las cuales se establecen las relaciones necesarias entre las variables que intervienen.
Posibles dicultades Más allá del problema
Los estudiantes pueden encontrar dicultades al enfrentarse a una situación problemáca donde no conocen toda la información, referida a la candad de polos o al precio de cada polo. Es importante que el docente reexione con sus estudiantes sobre lo indiferente que resultan los valores que se asuman para la candad y el precio de los polos, pues en cualquier caso se determinaría siempre la misma respuesta.
MD
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Manual para el docente
8
Porcentajes que ponen y quitan
Las ofertas del día Los comerciantes de la “Feria Escolar 28 de Julio” acordaron realizar algunas ofertas para atraer a más clientes. El tarifario de descuentos acordado se muestra aquí.
Arculo
Precio (S/.)
Descuento
Camisa
45
20 %
Pantalón
75
30 %
Chompa
52
20 %
Zapatos
85
12 %
Casaca
80
40 %
Pares de medias
12
15 %
Mochila
48
10 %
1) ¿Cuántos nuevos soles se descuentan por cada camisa?
7) Un vendedor, para conocer el precio descontado de la casaca, en lugar de calcular el descuento en nuevos soles y luego restar, solo calcula el 60 % del precio inicial. ¿Estará haciendo bien? Explica. Sí, es correcto, pues al calcular el 60 %
Se descuentan S/.9. 2) ¿Cuál es el precio nal de una camisa?
ha restado a 100 % el 40 %.
El precio final de una camisa es S/.36. 3) ¿En qué arculo se obene el mayor descuento en nuevos soles: en la camisa o en la chompa?
8) Halla el precio nal de la siguiente compra: Arculos
En la chompa se obtiene el mayor descuento en nuevos soles (S/.10,40).
2 camisas 3 pantalones
4) ¿En qué arculo se obene el mayor descuento porcentual: en la camisa o en la chompa?
6 pares de medias
En los dos artículos se obtiene el mismo descuento porcentual.
2 pares de zapatos
5) ¿Cuál es el descuento porcentual de un par de zapatos?
Precio (S/.)
72,00 157,50 61,20 149,60
El precio final es S/.440,30. 9) La tienda ha cambiado la oferta de la casaca por otra promoción, que te da la segunda casaca a mitad de precio. ¿Cuál de las dos promociones es más ventajosa?
El descuento porcentual de un par de zapatos es de 12 %. 6) Reexiona y responde, los problemas presentados están relacionados con porcentajes. ¿Qué fracción del precio original de la casaca equivale al porcentaje del descuento?
La fracción es 40/100 = 2/5.
Inicialmente se paga S/.96. Con la nueva promoción se pagará S/.120. Entonces, la promoción original es la que más conviene. 10)Con lo que ahorres en la compra de media docena de chompas, ¿cuántas camisas puedes comprar?
Ahorro media docena de chompas: S/.62,40. Precio de 1 camisa: S/.45. Con descuento: S/.36. Entonces alcanza para comprar 1 camisa y sobra S/.26.40. 42
Resolvamos 1
MD
66
La pequeña vendedora Isabel ayuda a su a los nes de semana, en una feria de artesanías. El lmo sábado, Isabel observó que el precio de venta de un poncho es un 30 % más que su precio de costo. Sin embargo, al venderlo, ella tuvo que rebajar el precio de venta en un 10 %. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?
1) ¿Qué se dice del poncho?
1) ¿Qué cambia a lo largo de la historia?
Se informa sobre el precio de venta, que es un 30 % más que su precio de costo.
El precio de venta. 2) Completa con las palabras adecuadas:
2) ¿Qué hace Isabel al venderlo?
Podemos seguir la pista al precio del poncho. Como no tenemos el precio de costo , pode mos supon er un precio de costo inicial de S/.100.
Hace un descuento del 10 % sobre el precio de venta. 3) Si el precio de costo fuese de 100, ¿cuál sería el precio de venta? S/.130.
3) ¿Qué solicita el problema?
4) ¿El 10 % de rebaja se hace sobre el precio de costo o sobre el precio de venta? Sobre el precio de venta.
Hallar el porcentaje del costo que ganó.
1) Imagina que el poncho ene un precio de costo de S/.100 y completa el siguiente diagrama: Precio de costo
100
Precio de lista
+ 30 %
Precio de venta
- 10 %
130
117
2) ¿De cuánto es el porcentaje del precio de costo que se ganó?
117 PC - 100 PC = 17 % PC
1) ¿Qué te ayudó a resolver este problema?
Organizar la información en un gráfico.
2) ¿Cambiará la respuesta si, en lugar de suponer inicialmente un precio de S/.100, presumes S/.20? ¿Y si supones S/.40? ¿Qué conclusiones obenes a parr de estas observaciones? Se puede suponer cualquier precio, pero al utilizar 100
obtenemos directamente los porcentajes finales.
3) ¿Cómo cambiaría el problema si, en lugar de rebajar 10 %, se hubiera rebajado 20 %?
El precio final hubiese sido S/.104.
4) Redacta el problema inicial, pero sin usar porcentajes; en su lugar, uliza fracciones.
Isabel ayuda a su tía en una feria de artesanías los fines de semana. Este lunes Isabel observó que el precio de venta de un poncho es un 3/10 más que su precio de costo. Sin embargo, al venderlo, ella tuvo que rebajar en 1/10 el precio de venta. ¿Qué porcentaje del costo se ganó? MD
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Manual para el docente
43
¡Qué gran descuento! El dueño de la bodega del barrio, el cajamarquino Carlos Meneses, ha ideado un plan para atraer a los clientes. Con una tarjeta de 20 % + 20 % de descuento, los clientes asisten pensando que la rebaja es de 40 %. ¿Qué piensan ustedes? ¿Están en lo cierto?
1) ¿Qué desea conseguir Carlos Meneses? Atraer clientes. 2) ¿Por qué crees que elige escribir el descuento de esa manera y no con un solo valor?
Para que parezca que el descuento total es 40 %.
1) Plantea algunos ejemplos que te permitan describir casos de a % + a %.
Ejemplos a cargo del estudiante. 2) ¿Crees que dar ejemplos es una buena opción para estudiar este caso?
3) ¿Qué signica un descuento de 20 % + 20 %?
Descontar 20 % del precio y luego el 20% de lo que queda.
Sí, es una buena opción para comprender el problema.
4) ¿Qué te solicita el problema?
Saber qué piensan los clientes de la rebaja.
1) Completa el diagrama mostrado, con tres ejemplos de precios: Precio luego del 1. er descuento
Precio supuesto
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
200
-20 %
100
-20 %
50
-20 %
Ejemplo 3:
160
Precio luego del 2.° descuento
-20 %
-20 %
80
-20 %
40
2) En los casos observados, ¿qué porcentaje del precio inicial es el descuento?
128 64 32
Descuento total
72 Descuento total
36 Descuento total
18
Es 36 % del precio inicial.
No tenían razón. 4) ¿El descuento fue de 40 % o es menor? El descuento fue menor. 3) ¿Tenían razón los compradores?
1) ¿Cuál es la estrategia empleada?
La estrategia empleada es el uso del diagrama para representar los descuentos sucesivos en la búsqueda de un patrón. 2) ¿Cuál crees que es la mejor candad para tomarla de ejemplo inicial? La mejor cantidad es 100. 3) Si la tarjeta hubiese sido de 20 % + 10 %, ¿cuál habría sido el descuento? Habría sido 28 %. 4) Y si hubiese sido de 10 % + 20 %, ¿cuál habría sido el descuento? También hubiese sido 28 %. 44
Resolvamos 1
MD
68
Comprar y vender sin perder Hay épocas del año en que las ventas de un comerciante están sujetas a cambios e imprevistos que le obligan a vender perdiendo algunas veces para ganar en otras; pero lo importante al nal es que al menos recupere lo que inviró en su mercadería. Lean con atención este caso: Samuel Regalado compró un lote de polos de verano. Primero vendió el 20 % de su mercancía con una rebaja del 30 % respecto al costo, luego vendió el 40 % de la mercadería con una rebaja del 10 % y otro 10 % del mismo lote con una rebaja del 20 %. Hasta aquí solo ha vendido con pérdidas, pero debe recuperar al menos lo que ha inverdo en la compra de los polos y para esto decide vender el resto del lote ganando. ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al nal recupere sus costos? Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades y resuelvan el problema: 1) En el enunciado del problema, ¿se indican candades para el Cantidad nmero de polos y para el costo de cada uno? 20 1. venta
Precio unitario
Ingreso
7 9 8
140
q
W
a
No.
2. venta a
3. venta a
2) ¿Cómo se representa un total en porcentajes?
4. venta a
Como 100 %. 3) Asumiendo que se compró N polos a p soles cada uno, podemos resolver el caso; si se asignan valores a estas variables y se sigue el proceso indicado, el resultado no cambia. Entonces, asignen estos valores: N = 100. Completen: Candad de polos 1. venta a
2. venta a
3. venta a
4. venta a
20 40 % N = 40 10 % N = 10 30 % N = 30 20 % N =
40 10 30
360 80
7) Expliquen cómo calcularían q y W.
Primero se calcula el dinero invertido: 100 x 10 = 1000 soles. Luego, lo que falta: 1000 – (140 + 360 + 80) = 420 = W Como W es el producto de 30 por q, se deduce que: q = 420/30 = 14. 8) ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al final recupere su inversión? Como debe vender a 14 lo
que le costó 10, debe ganar 4 por cada 10 de inversión, es decir, 40 % más del precio de costo.
4) ¿Qué porcentaje de la mercancía falta vender? Expliquen cómo complementaron la candad de la 4. venta.
9) Reflexionen sobre el proceso:
a
Como ya se había vendido 20 % + 40 % + 10 % = 70 %, faltaba vender 30 %.
No varía el resultado fnal, igual se obtendría que en la
5) Para determinar el precio de cada polo en cada venta, consideren p = 10.
Al 70 %p = 70 %(10) = 7 6) Completen el cuadro, excepto el precio unitario de la 4. venta y el ingreso correspondiente.
El problema se ha resuelto asignando ciertos valores a N y p. ¿Qué ocurre si se eligen otros valores? Explica.
a
4.ª venta debe vender ganando el 40 %. 10) ¿Cuál es la respuesta al problema?
Debe vender el 30 % del lote en 40 % más del precio del costo.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el porcentaje. El cálculo porcentual se aplica en numerosas actividades comerciales, como: los intereses, la publicidad y los avisos de ofertas, así como en actividades cotidianas de compra y venta.
Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy interesantes.
Interesantes.
MD
69
Poco interesantes.
Nada interesantes.
Manual para el docente
45
9 El lenguaje de los números
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que cuando nos comunicamos en la vida codiana hacemos uso de expresiones matemácas que relacionan nmeros, como: “Tengo el doble de dinero que t”, “tres arculos por el precio de uno”, entre otras. Lo mismo se presenta cuando en los nocieros escuchamos decir, por ejemplo; “La inación se reducirá a la mitad este año”, “habrá más días de lluvia en febrero”, “el candidato obtuvo la quinta parte de todos los votos”, etc. Todas estas expresiones se reeren a valores numéricos, algunos conocidos y otros desconocidos. El lenguaje que ulizamos para relacionar los nmeros es sumamente importante, pues es aceptado por todos con un mismo signicado: si compras una revista de S/.8 y pagas con un billete de S/.10, todos saben que deben darte S/.2 de vuelto. Si este lenguaje no fuera universal, no se podría desarrollar el comercio y todo sería muy confuso. El lenguaje de los nmeros es tan universal que algunos ciencos suponen que si algn día alguna inteligencia exterior intenta comunicarse con nosotros, lo hará mediante nmeros. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran nmeros naturales y sus operaciones básicas. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES
T1
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Patrones numéricos Ecuaciones lineales Descomposición en factores primos
La tarea presenta un inventario de las pertenencias de cinco personas. Para brindar la información, se emplea una tabla de doble entrada, que es una de las formas convencionales de presentar un inventario. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple que involucran ecuaciones lineales, así como la modelación de expresiones numéricas de forma parcular y, en forma general, con símbolos algebraicos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la precisión del lenguaje ulizado y en sus grandes diferencias si exiseran incluso pequeños cambios gramacales. No es lo mismo decir “ene el doble de bolitas amarillas” que “ene dos veces más bolitas amarillas”, pues en esta lma expresión se está hablando del triple. Tampoco es lo mismo “el doble de mis bolitas amarillas disminuido en 5” (donde primero se duplica y luego se resta 5) que “el doble de mis bolitas amarillas disminuidas en 5” (donde primero se resta 5 a las bolitas amarillas y luego se duplica). En este caso, se propone descomponer el problema en subproblemas mediante preguntas que deberán ser respondidas en función de la información proporcionada en la tabla. Los estudiantes pueden tener dicultades al realizar las simbolizaciones de las expresiones solicitadas. Un error pico es traducir mal algunos enunciados porque no se ene en cuenta la precisión de los términos que conforman las diferentes proposiciones.
Ahorro es progreso
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Adivina adivinador
Descripción de la acvidad
T2
Nmeros naturales Nmeros racionales Expresiones numéricas
La tarea presenta un problema de traducción compleja que requiere la modelación mediante ecuaciones lineales o, en su defecto, un tratamiento intuivo por medio de tablas numéricas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas de traducción compleja que implican cálculos con nmeros, para lo cual los estudiantes deben ulizar la tabla numérica. Al desarrollar la tarea, se debe enfazar que un mismo problema puede ser resuelto empleando diversas estrategias. En este caso, se propone el ensayo-error mediante la puesta a prueba de diversas combinaciones de mañanas soleadas con mañanas frías durante 20 días. El cálculo del presupuesto y la idencación de la combinación con los respecvos precios deben dar como resultado el monto ahorrado de S/. 244.
MD
70
Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
Los estudiantes pueden tener dificultades en comprender adecuadamente el texto; esto se puede contrarestar mediante la experimentación con casos particulares. Las preguntas de la primera y segunda fases tienen este propósito. Los estudiantes deberán resolver el mismo problema utilizando otra modelación. Asimismo, se solicita la solución utilizando una ecuación lineal con una incógnita. De hecho, se puede resolver también con un sistema de ecuaciones, pero no es tema del grado.
Edades enigmácas
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
La tarea presenta un enigma del po recreavo en forma de relato. En él parcipan dos personas que hablan de las edades de las hijas de uno de ellos. La movación en este problema es intrínseca debido a su aparente imposibilidad de ser resuelto. Con esta tarea , se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas no runarios que impliquen conexiones entre conceptos numéricos (en este caso, la descomposición de nmeros primos y las operaciones básicas de la aritméca) así como el razonamiento lógico.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cómo se da la información. El dato aparentemente innecesario de que “la mayor se llama Alicia” no es interesante por el hecho del nombre, sino porque nos informa que hay una hija mayor, no hay dos mayores ni se trata de trillizas.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se propone el uso de diversas combinaciones de nmeros, las cuales se organizan en una tabla que cumpla con la condición del problema.
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Los estudiantes pueden tener dicultades al comprender el texto y diseñar una estrategia de solución. Las preguntas de las fases uno y dos pretenden guiar y organizar su pensamiento. Errores picos son no tomar en cuenta el hecho de que haya una sola hija mayor o no pensar en el caso posible de que dos hermanas sean mellizas. Los estudiantes deberán repasar crícamente todo el proceso de solución. Para los más avanzados, se puede solicitar que i nventen problemas similares. Esto ayuda a jar las estructuras, así como al dominio de las estrategias que se ulizaron para resolver el problema.
Hacer un presupuesto
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
La tarea presenta, en un contexto comercial, el precio de ciertos productos de un establecimiento en cuatro rubros. En la acvidad se debe responder a un conjunto de preguntas atendiendo a las restricciones planteadas en cada caso. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen analizar un caso a parr de las condiciones planteadas y la información extraída de la tabla. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las restricciones de cada una de las situaciones planteadas, así como en lo que implican, en el contexto del azar, casos favorables y casos desfavorables. En esta ocasión, se propone descomponer el problema en partes para responder a las situaciones problemácas planteadas en la acvidad.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al analizar las situaciones favorables y desfavorables cuando los productos son elegidos al azar dentro de cada rubro. Es importante que el docente guíe a los estudiantes en este momento, a n de evitar vacíos.
Más allá del problema
El docente puede aprovechar estas preguntas para reforzar el concepto de azar y monitorear el proceso. De este modo, podrá detectar las dicultades desde el inicio y no recién al haber dado por concluido el problema.
MD
71
Manual para el docente
El lenguaje de los números
9
Adivina adivinador Jess, Pablo, Consuelo, Irene y Tomás están jugando a las adivinanzas. Primero mezclaron una candad de bolitas de color rojo, azul, amarillo y verde. Luego, cada uno colocó en una bolsa una candad de ellas. Los resultados se muestran en la tabla adjunta. El juego consiste en decir una expresión y el compañero debe averiguar cuántas bolitas de determinado color ene el que planteó la pregunta. Nombre
N.° rojas
N.° verdes
N.° amarillas
N.° azules
Jess
8
11
9
12
Pablo
10
6
12
9
Consuelo
9
14
10
8
Irene
4
15
6
12
Tomás
15
8
13
8
1) ¿Quién puede decir: “El doble de mis bolitas amarillas disminuidas en 5 es igual a 7”?
Irene.
2) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que ene como x .
2x - 5 = 7; x = 6 3) ¿Quién puede decir: “El triple de mis bolitas verdes aumentado en 11 es igual a 53”?
Consuelo.
4) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa segunda persona. Resuelve la ecuación, representando lo que ene como y .
3y + 11 = 53; y =14 5) ¿Quién puede decir: “El cuádruple de mis bolitas azules es igual al doble de mis bolitas azules aumentado en 18”?
Pablo.
6) Del planteamiento anterior, escribe en forma algebraica lo expresado por la tercera persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que ene como z.
4z = 2z + 18; z = 9 7) ¿Quién puede decir: “La mitad de mis bolitas verdes más el triple de ellas es igual a 28”?
Tomás.
8) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa cuarta persona. Recuerda: debes resolver la ecuación, considerando lo que ene como t . t/2 + 3t = 28; t = 8 9) Reexiona: ¿Qué se uliza en comn en los problemas antes planteados?
Se emplean ecuaciones lineales con una incógnita.
10) Inventa preguntas similares a las aquí formuladas y dáselas a un compañero para que las resuelva.
Respuesta según lo desarrollado.
46
Resolvamos 1
MD
72
Ahorro es progreso Ramón reexiona acerca de sus ahorros y sus gastos codianos. Él podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana soleada gasta S/.9 en helados y cada mañana fría gasta S/.6 en café. Ha ahorrado durante veinte días, reuniendo S/.244. ¿Cuántos días tomó café? (Solo hay mañanas frías o soleadas).
1) ¿Cuánto puede ahorrar diariamente si no gasta en nada?
1) ¿Cuánto ahorraría en los veinte días si todas las mañanas fueran frías? Ahorraría 14 x 20 = S/.280.
Puede ahorrar S/.20 diarios.
2) ¿En cuánto disminuye este ahorro por cada mañana soleada? Disminuye en S/.3 diarios.
2) ¿Cuánto ahorra en las mañanas soleadas?
Ahorra 20 - 9 = S/.11.
3) ¿Cuánto ahorró realmente? Ahorró realmente S/. 244.
3) ¿Cuánto ahorra en las mañanas frías?
Ahorra 20 - 6 = S/.14.
4) Entonces, ¿puedes suponer que todas las mañanas fueron frías y luego corregir? Sí se puede.
4) ¿Durante cuántos días ha ahorrado?
Ha ahorrado durante veinte días.
5) ¿Cómo se organizará este cálculo? Mediante una tabla.
5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
6) ¿Qué estrategia emplearías para hallar la solución al problema? Emplearía la búsqueda de un patrón a partir de
El número de días que tomó café.
casos particulares.
1) Completa la tabla mostrada, hasta que descubras algn patrón. N.o de mañanas soleadas N.o de mañanas frías Ahorro (S/.)
0
1
2
20
19
280
277
18 274
2) Describe el patrón que has descubierto. El 3) ¿Cuándo el ahorro es de S/.244?
3 17 271
4 16 268
5 15 265
6 14 262
7 13 259
8 12 256
9 11 253
10 10 250
11 9 247
12 8 244
ahorro disminuye S/.3 en forma constante.
El ahorro es S/.244 cuando hay 12 días soleados y 8 días fríos.
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema.
Construir una tabla, hacer un tanteo organizado e identificar
un patrón. Sí, considerando la cantidad ahorrada, si todas las mañanas hubiesen sido soleadas y sabiendo que por cada mañana fría el ahorro aumenta S/.3.
2) ¿Se hubiese podido resolver el problema parendo de que todas las mañanas eran soleadas? Explica. 3) Resuelve el problema suponiendo que las 20 mañanas son soleadas. Completa la siguiente tabla: o N. de mañanas soleadas Mañanas soleadas o N. de mañanas frías Mañanas frías
Ahorro Ahorro
20 20 00 220 220
4) ¿Se pudo haber resuelto este problema mediante una ecuación? Sí. ¿Cómo?
Mañana soleada: x Mañanas frías: 20 - x 18 17 16 15 19 19 Ahorro: 11x + 14(20 - x) Ahorro: 244 2 3 4 5 Planteo la ecuación: 11x +14(20 - x) = 244 11 223 226 229 232 235 Entonces x = 12 El ahorro es S/.244 cuando hay 12 días soleados y 8 días fríos.
MD
73
Manual para el docente
47
Edades enigmáticas Dos amigos de la infancia se encuentran en una céntrica calle y enen la siguiente conversación:
—¡Hola, Roberto!, a los años que te dejas ver, yo ya me casé y hasta tengo tres hijas. —¡Hola, Andrés! ¿Tres hijas? ¿Y qué edades enen? —preguntó Roberto. —Esa respuesta, te la voy a plantear como un reto. Fíjate que el producto de sus edades es 36 y la suma es un nmero primo mayor que 11. Roberto pensó un momento y luego dijo: — Andrés, no puedo saber sus edades, me faltan datos. —¡Ah!, me olvidaba —contestó Andrés— la mayor se llama Ali cia.
1) ¿Acerca de quiénes conversan Andrés y Roberto?
1) ¿Las edades podrían ser 6 - 6 - 1? ¿Por qué?
Conversan acerca de las hijas de Andrés. 2) ¿Qué se sabe de ellas?
El producto de las edades es 36 y la suma es un número primo mayor que 11; además, se sabe que la mayor se llama Alicia. 3) ¿Qué dato planteado en el problema es irrelevante?
No, porque no cumple con la condición “la mayor se llama Alicia” que nos informa que solo una de ellas es precisamente la mayor. 2) ¿Qué otras edades podrían ser? Da dos ejemplos.
Pudieran ser 9 - 4 - 1. También 12 - 3 - 1. 3) ¿Puedes hacer una lista de las posibles edades?
Ningún dato es irrelevante.
Sí es posible. Debo descomponer 36 en tres factores.
4) ¿Qué desea averiguar Roberto?
4) ¿Cómo organizarías esta información? a) Mediante un diagrama de Venn. b) Mediante un gráco cartesiano. c) Mediante una tabla.
Las edades de las hijas de Andrés.
1) ¿Como producto de cuántos factores debes escribir 36?
Como un producto de tres factores. 2) Organiza los factores en la tabla que se encuentra a la derecha. 3) ¿Cuáles son las edades de las hijas de Andrés? Fundamenta tu respuesta.
Son 9-2-2. Porque la suma es un número primo mayor que 11 y entonces tenía dos posibilidades: 6 - 6 - 1 y 9 - 2 -2. Al saber que solo hay una mayor, se descartó 6 - 6 - 1.
1) ¿En qué parte de las acvidades de resolución del problema has tenido dicultad?
En determinar la relevancia de la información proporcionada. 2) ¿Cómo
procediste
para superar aquella
dicultad?
Determinando las posibles soluciones y descartando aquella que no cumple con las condiciones del problema. 3) Describe las estrategias que has empleado para resolver el problema. Construir una lista sistemática y una tabla. 48
Resolvamos 1
MD
Edades posibles
Suma de las edades
36 - 1 - 1 18 - 2 - 1 6-6-1 9-4-1 12 - 3 - 1 9-2-2 6-3-2 4-3-3
38 21 13 14 16 13 11 10
4) Uliza esta estrategia para resolver el siguiente problema: Marn, José y Noelia, que son mayores de edad, no quieren revelar las edades de cada uno y preeren que las deduzcas. Ellos señalan que el producto de sus años es 10 350. ¿Puedes determinar sus edades si Marn es el menor y José es el mayor? Usando esta estrategia y sabiendo que son
mayores de edad, es decir, que tienen 18 años o más, las edades respectivas son: Martín = 18, Noelia = 23 y José = 25. 74
Hacer un presupuesto La señora Victoria va de compras. En el establecimiento donde suele comprar, los productos se venden empaquetados y los precios por paquete guran en esta lista. Frutas Fresas
Pan y cereales S/.8,20 Pan
Manzanas Peras
S/.4,20
S/.11,50 Quinua
S/.12,50
S/.5,00 Cereal
S/.6,60
Lácteos
Embudos
Leche
S/.7,50 Jamón ahumado
S/.9,90
Queso
S/.9,60 Jamón inglés
S/.9,90
Yogur
S/.2,80 Queso mozzarella
S/.4,40
Ella dispone de S/.30.
Con tus compañeros, realicen las acvidades siguientes y recomienden a la señora Victoria qué comprar en cada una de las posibles situaciones que se presentan. 1) ¿Cuánto es lo máximo que puede gastar en cada grupo de alimentos si gasta lo mismo en cada uno?
30 / 4 = 7,50. Lo máximo. es S/.7,50. 2) Si compra un paquete de manzanas y otro de quinua, ¿qué po de lácteos podría comprar con el saldo?
Solo yogur. 3) La señora Victoria recuerda que ene fruta en casa, ¿cuánto podría gastar en cada uno de los otros grupos si gasta lo mismo en cada uno?
Podría gastar 30 / 3 = 10,00. 4) Muestren una posible lista de compras que incluya al menos un producto de cada grupo.
Fresas, pan, leche y atún. 5) Si lleva jamón ahumado, cereal y leche, el dinero restante ¿le alcanza para comprar fruta? ¿Qué podría comprar en ese grupo?
Sí, le sobra 30 – 24 = 6. Podría comprar peras.
6) Si decide comprar primero cada uno de los productos del grupo lácteos, ¿podría comprar dos productos más de cualquiera de los otros grupos? Indiquen alguna opción.
Habría gastado S/.19,90; y con los S/.10,10 restantes podría comprar: peras y pan o peras y queso mozzarella. 7) Reflexionen sobre este caso. La señora Victoria elige un producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿tendrá el dinero suficiente? Si tuviera un saldo favorable, ¿cuánto dinero le podría sobrar?
Siendo los productos más baratos, el gasto sería S/.16,40 y le sobraría S/.13,60. 8) Completen esta situación. La señora Victoria elige un producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿podría faltarle dinero? De ser así, expliquen lo peor que le puede ocurrir.
Sí, podría faltarle dinero. Lo peor sería que su elección incluyera los productos más caros de cada grupo, cuyo total sumaría S/.43,50, faltándole S/.13,50.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números. Estos están presentes, en el día a día, de diversas formas: enteros, decimales, fracciones. Los números me sirven para comunicarme y, además, me ayudan a tomar las mejores decisiones.
Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
MD
He parcipado de forma signicava.
75
Fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
49
10 Pensar lógicamente
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes lo valioso que es razonar con lógica. Explíqueles que los detecves muchas veces ulizan elementos de información para reconstruir una escena del crimen. Al hacerlo, emplean diversas relaciones lógicas. También un abogado, cuando construye un argumento para plantear una defensa o establecer una demanda, ene que emplear el razonamiento lógico a su favor, pero teniendo en cuenta las leyes, las normas y los elementos parculares de cada caso. CAPACIDAD
Resuelve problemas de contexto real y matemáco que implican relaciones lógicas. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Razonamiento lógico
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Enunciados y proposiciones Tablas de verdad Conectores lógicos Nmeros y operaciones Porcentaje
Instantáneas enigmácas
Intención pedagógica
La tarea presenta tres guras en las que hay que idencar a determinados personajes, parendo de algunas pistas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas que involucren realizar inferencias a parr de enunciados que relacionan datos.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la comprensión de cada una de las pistas dadas y en el método que se seguirá para ir estableciendo las correspondencias.
Descripción de la acvidad
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
T2
En este caso, se propone la bsqueda de una meta menor, para lo cual es necesario eliminar casos posibles y razonar lógicamente. Los estudiantes pueden tener dicultades al interpretar las pistas. Por eso, es conveniente hacer preguntas referidas a la comprensión de cada una de ellas, con el n de que interpreten claramente lo que la pista quiere decir. Se sugiere leer en voz alta cada pista y discurla en plenaria. Esto ayudará a centrar la atención y desarrollar niveles de reexión sobre lo escrito.
Los comerciantes
Descripción de la acvidad
La tarea presenta las relaciones entre tres categorías: los comerciantes, los montos de préstamo y los porcentajes de las tasas de interés.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren, a partir de la información parcial recibida, realizar inferencias y relacionar datos. También se espera que desarrollen la capacidad de integrar este conocimiento para describir completamente una situación.
¿A qué poner énfasis?
Se debe poner énfasis en la comprensión de cada pista y en cómo esta ayuda a asignar una pareja de datos y a descartar otras parejas.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se propone ulizar una tabla, con la cual se organice la información, y razonar lógicamente para poder realizar las inferencias correspondientes.
Posibles dicultades
Resolvamos 1
Los estudiantes pueden tener dicultades al interpretar las pistas. Por ello, las preguntas presentadas favorecen la comprensión de cada una. Estas no son exhausvas y, dependiendo de los casos, el docente puede realizar más preguntas con el n de que los estudiantes comprendan lo que cada una de las pistas les está informando.
MD
76
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
El premio mayor
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Los estudiantes deberán comprobar sus resultados para que se acostumbren a vericar, por sí mismos, lo que han realizado. Así desarrollarán cada vez más autonomía al resolver problemas. También se representará lo actuado por medio de una tabla resumen, a modo de sumarizar la descripción de lo ocurrido con los comerciantes.
La tarea muestra un acerjo lógico en el que intervienen valores de verdad y cuancadores. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren realizar inferencias a parr de proposiciones, enumerar casos posibles e idencar aquellos que verican determinada situación, considerando las hipótesis formuladas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la organización de los datos, la enumeración sistemáca de los posibles casos y su análisis a la luz de la situación planteada. En este caso, se propone razonar lógicamente, enumerar casos posibles, hacer una tabla y formular hipótesis. Los estudiantes pueden tener dicultades al interpretar cada uno de los letreros presentados en los cofres. Para que comprenda, se les puede pedir que parafraseen lo escrito. Asimismo, se les solicita que supongan situaciones para encontrar los valores de verdad. Un error pico es creer que si el letrero es falso, entonces en ese cofre no puede estar el premio. Esto no es así. Los estudiantes deberán reconocer las caracteríscas del problema planteado para que su estrategia pueda ser ulizada en otros casos. También se les solicita algunas modicaciones al problema inicial, como, por ejemplo, cambiar los textos de los letreros. Los estudiantes más avanzados pueden inventar problemas similares, variando los textos de los letreros o incrementando el nmero de cofres.
Las bolilógicas
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Más allá del problema
La tarea muestra dos categorías: unas bolitas de colores y unos vasos numerados. Como parte de la acvidad, se presenta un conjunto de condiciones para esconder las bolas debajo de los vasos. Parendo de este sistema lógico, los estudiantes deberán decidir cuáles de las situaciones son posibles, contrastando lo que les piden con el conjunto de condiciones señaladas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren analizar sistemas de condiciones y establecer relaciones complejas en diferentes niveles. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que las respuestas pueden no ser nicas y que es necesario comprender lo que cada condición está señalando. Se propone buscar una meta menor, razonar con lógica y eliminar los casos no posibles o hacer un descarte de casos. Los estudiantes pueden tener dicultades al comprender las proposiciones po: Si… entonces…; por tanto, se debe explicar que esta es una proposición condicional p → q, la cual nos dice que la condición p es necesaria para que se cumpla la proposición q, y no necesariamente si se cumple q ene que cumplirse p. A parr de las condiciones dadas, los estudiantes pueden inventar más problemas relacionados o, en su defecto, modicar las condiciones para realizar otro conjunto de preguntas similares a las formuladas.
MD
77
Manual para el docente
10
Pensar lógicamente
Instantáneas enigmáticas 1) En la escena, hay una persona a la que estamos buscando. Lee con atención las pistas para que la puedas encontrar. • No lleva nada en la cabeza. • No ene lentes. • No ene bolso. • No es calva ni ene el pelo rizado. • No lleva en su indumentaria ninguna prenda negra ni de cuadros ni de rayas. Encierra con un círculo a esta persona.
2) En una peregrinación, han pasado cinco simpácos frailes. Tenemos sus dibujos, pero desconocemos sus respecvos nombres: • Los frailes Abel y Ciro son más altos que sus compañeros. Abel : 2 • El bastón de Daniel es más alto que los bastones de Abel y de Ciro. Ciro:
4
• Los bastones de Abel y de Hugo son del mismo tamaño. • Los bastones de Abel y de Benito son menos altos que sus dueños. ¿Sabes quién es quién? Escribe en el círculo el nmero correspondiente.
1
2
3
4
5
Daniel:
1
Hugo:
3
Benito:
5
3) Seis estudiantes van con sus bolsos al aniversario d el colegio. Victoria, Julia, Ana y Luisa llevan sus bolsos en la mano i zquierda. Juana y Rocío lo llevan en su mano derecha. • Las que están de espaldas son Ana, Victoria y Rocío. • Ana y Luisa no enen a nadie a su izquierda. ¿Cómo se llama cada personaje y qué nmero le corresponde en el dibujo? Escribe los datos que te dan en el enunciado.
• Victoria, Ana, Julia y Luisa llevan el bolso en su mano izquierda. • Juana y Rocío llevan el bolso en su mano derecha. • Ana, Victoria y Rocío están de espaldas. • Ana y Luisa no tienen a nadie a su izquierda. Indica el nmero que corresponde a cada estudiante: Victoria: Luisa:
50
Resolvamos 1
5 3
MD
Ana: Juana:
78
1 4
Julia: Rocío:
2 6
Los comerciantes Luisa y otras tres comerciantes obtuvieron préstamos de diversos bancos para una campaña de ventas. Ellas solicitaron diferentes candades y a diferentes tasas de interés. Las cuatro pidieron el dinero por un año. A parr de las pistas dadas debajo, ¿puedes calcular la candad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés? Los montos fueron S/.5000, S/.4500, S/.2000 y S/.1500. Las tasas de interés fueron 10 %, 8 %, 6 % y 5 %. Pista 1: Sonia recibió el préstamo de menor candad y pagó la más alta tasa de i nterés. Pista 2: Luisa pagó el doble de interés que Sonia, a una tasa del 6 %. Pista 3: Sandra recibió S/.2500 más que María. Pista 4: María pagó un total de S/.160 en interés al nalizar el año.
1) ¿De quiénes te hablan en la historia?
3) ¿Qué diferencia hay entre interés y tasa de interés?
De cuatro comerciantes: Luisa, Sonia, Sandra y María. 2) ¿Para qué te dan las pistas?
Para saber cuánto dinero se prestó cada una y su respectiva tasa de interés.
Interés es la ganancia o beneficio que se genera cuando se presta una cantidad de dinero. Tasa de interés es un porcentaje del primero. 4) ¿Qué es lo que te piden encontrar? El dinero prestado a cada comerciante y su respectiva tasa de interés.
Establece relaciones entre personas, cantidades y tasas de interés. Da información para calcular las ganancias de las personas. Indica que algo cambia en el tiempo.
1) ¿Cuáles son las caracteríscas principales del proble ma? 2) Completa, segn corresponda: Hay que sacar conclusiones a parr de las una tabla. 3) ¿Qué debe relacionar la tabla?
pistas
que dan en el texto. Una forma de organizar los
datos
es mediante
Debe relacionar montos con interés y con personas.
1) ¿Qué conclusión obenes de la pista 1?
Sonia se prestó S/.1500 a una tasa de interés de 10 %. 2) ¿Qué conclusión obenes de la pista 2?
5) A connuación, ubica en la tabla a las comerciantes, segn las caracteríscas de su préstamo o tasa de interés. Recuerda que una vez ubicada cada comerciante, ninguna de ellas podrá tener otro monto de préstamo ni otra tasa de interés.
Luisa se prestó el dinero a una tasa de interés de 6 %. 5000
3) ¿Qué conclusión obenes de la pista 3?
4500
2000
1500
10 %
8%
6%
5%
Luisa
Que Sandra se prestó S/.4500 y María S/.2000.
Sandra
4) ¿Qué conclusión obenes de la pista 4?
Sonia
Divido 160/2000 = 0,08 = 8 % que es la tasa del préstamo de María.
María
6) Halla la candad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés.
Luisa: S/.5,000 (6 %); Sandra: S/.4,500 (5 %); Sonia: S/.1,500 (10 %); y María: S/.2,000 (8 %).
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.
Utilizar una tabla para ordenar la información y analizar las pistas para inferir las respuestas.
2) Comprueba que tus respuestas corresponden con lo relatado en el enunciado.
A realizar por el estudiante. MD
79
Manual para el docente
51
El premio mayor
á
En la feria escolar de Matemáca, el profesor Alfonso Meza ha puesto un juego enigma para probar las habilidades de sus estudiantes. El premio mayor es 10 minutos diarios más de recreo por lo que resta del año. Él ha escondido el sobre con el premio en una de tres cajas; las otras dos están vacías. A los concursantes, les dan la oportunidad de descubrir dónde se encuentra escondido el premio. Para ayudarlos, el profesor ha colocado tres letreros sobre cada una de las cajas. Sin embargo, le dice a un concursante que no se e de los letreros, pues solo uno de ellos dice la verdad. ¿Puedes descubrir en qué caja está el premio?
1) ¿De qué te hablan en la historia?
3) ¿Cuántos posibles casos existen?
Sobre un juego enigma que el profesor Meza ha propuesto a sus estudiantes. Él ha escondido un sobre premiado en una caja, mezclada con otras dos cajas vacías. Las cajas tienen sus respectivos letreros, de los cuales solo uno dice la verdad.
Existen 3 posibles casos. 4) Si un letrero dice la verdad, entonces los otros dos
dicen
algo falso. 5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
En qué caja está el premio.
2) ¿Para qué se han puesto los letreros?
Para ayudar a los concursantes.
1) ¿Sabemos cuál de los letreros dice la verdad?
No.
2) ¿Cuántas situaciones serán posibles para que se muestre la verdad? ¿Qué pasa con los otros letreros?
Serán posibles 3 situaciones. Los otros letreros definitivamente no dicen la verdad.
Completa los valores de verdad en la tabla (V o F) y contesta: ¿cumple con la condición del problema? 1) Hipótesis 1: El premio está en la caja I. V No cumple con la El premio está en esta caja I El premio no está en esta caja II V condición, pues solo uno El premio no está en la caja I III F debe ser verdadero. 2) Hipótesis 2: El premio está en la caja II. F El premio está en esta caja I El premio no está en esta caja II F Sí cumple con condición. El premio no está en la caja I III V
3) Hipótesis 3: El premio está en la caja III. I
El premio está en esta caja
II
El premio no está en esta caja
III
El premio no está en la caja I
4) ¿En qué caja está el premio?
la
4) Si quisieras aplicar esta estrategia, ¿cuáles tendrían que ser las caracteríscas del problema?
Deben presentarse diferentes opciones de solución, sujetas a una o varias condiciones.
2) ¿Cómo superaste la dicultad?
Al visualizar distintas situaciones. 3) ¿Qué estrategia te permió connuar con la solución del problema? Proponer hipótesis y probar estas con los
letreros de cada caja, buscando que cumplan con la condición del problema. Resolvamos 1
No cumple con la condición, pues solo uno puede ser verdadero.
El premio está en la caja II.
1) ¿En qué momento has tenido dicultad para resolver el problema? Al determinar el plan de acción.
52
F v V
MD
80
Las bolilógicas En un juego, hay exactamente seis vasos inverdos que están uno al costado del otro en la. Los vasos están numerados del 1 al 6 y en cada uno hay una bolita escondida. Cada bolita es de un color diferente: verde, azul, naranja, morado, rojo y amarillo, las cuales están escondidas de manera que: * La bolita morada debe estar debajo del vaso cuyo nmero sea menor que el del vaso donde está la bolita naranja. * La bolita roja debe estar debajo del vaso que está junto al vaso que conene la bolita azul. * La bolita verde debe estar escondida debajo del vaso 5.
Con tus compañeros, respondan las sigui entes incógnitas y resuelvan el problema: 1) ¿Cuál de las siguientes combinaciones del 1 al 6 puede ser el orden de las bolitas con su respecvo color?
5) Si la bolita morada está debajo del vaso nmero 4, ¿debajo de qué vaso puede estar la bolita naranja?
Debajo del vaso 6.
a) Verde, amarilla, azul, roja, morada, naranja.
6) Si la bolita naranja está debajo del vaso nmero 2, las bolitas que pueden estar juntas entre sí son:
b) Naranja, amarilla, roja, azul, verde, morada. c) Roja, naranja, azul, amarilla, verde, morada.
a) Verde y azul
d) Azul, verde, morada, roja, naranja, amarilla.
b) Verde y morada
e) Azul, roja, morada, amarilla, verde, naranja. 2) ¿Existe un nico orden en el que pueden estar las bolitas bajo los vasos?
No, se pueden plantear otros órdenes.
c) Naranja y amarilla d) Morada y roja e) Roja y amarilla
3) Si la bolita de color azul está en el vaso 4, la bolita roja puede estar debajo del vaso nmero 3. 4) ¿Cuál de los colores puede ser el de la bol ita que está debajo del vaso con el nmero 6? a) Verde b) Azul c) Morada d) Roja e) Amarilla
7) Si la bolita azul está debajo del vaso nmero 1, las bolitas que siempre deben de estar juntas son: a) Verde y naranja b) Verde y amarilla c) Morada y roja d) Morada y amarilla e) Roja y amarilla
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianeidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusi ones a partir de pistas. Los detectives y sc ales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones.
Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
He colaborado de forma signicava.
Realicé aportes muy relevantes.
MD
81
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
53
11 Incógnitas a nuestro alrededor
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes sobre la importancia de establecer incógnitas para absolver situaciones de incerdumbre en la vida codiana. Por ejemplo, si deseamos ir de paseo a un lugar y sabemos su distancia, podremos predecir cuándo llegaremos, siempre y cuando conozcamos la velocidad a la que nos desplazaremos. En este caso, la incógnita es el empo y la ecuación que se puede plantear es lineal. Asimismo, las incógnitas se presentan al trabajar situaciones inciertas, como las posibles ventas de un determinado producto, la candad de personas que verán un comercial en TV, el ujo de automóviles en un determinado peaje, las personas que viajan a una hora determinada en el tren eléctrico, entre otras. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Ecuaciones lineales con una incógnita
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Expresiones algebraicas Nmeros decimales Operaciones con racionales
Los tangramistas
Descripción de la acvidad
Aquí se presenta una situación ldica, donde una tabla muy singular no conene ningn dato numérico exacto, por lo que puede parecer que no da ninguna información acerca de un torneo de tangram. Sin embargo, a medida que respondemos las preguntas, vamos descubriendo que es posible extraer conclusiones a pesar de no tener con exactud los puntajes de cada jugador.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para idencar y resolver problemas de traducción simple con expresiones algebraicas lineales, que las comparen y las operen para poder extraer información de ellas.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que es posible trabajar con variables como si fueran candades generalizadas y que, teniendo en cuenta sus relaciones, podremos extraer conclusiones acerca de las expresiones formadas.
Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
T2
En este caso, se propone realizar cálculos con expresiones. Los estudiantes pueden tener dicultades al tratar de trabajar con expresiones en lugar de nmeros. Muchos no pueden establecer relaciones si estas no son numéricas, lo que constuye un estadio en la construcción del concepto de variable. La presente acvidad les ayudará a ampliar esta noción.
Bicimates
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
La tarea presenta un pico problema de móviles. En este caso, se trata del encuentro de bicicletas que avanzan en la misma dirección, pero en sendos opuestos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran matemazar situaciones con móviles, mediante diversos pos de ecuaciones lineales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la selección de la incógnita para el planteamiento, así como en la decisión de un soporte gráco que ayude a esta modelación. El gráco es un diagrama analógico que representa la situación real con elementos similares, cuyos puntos son las ciclistas, la línea horizontal y la distancia entre ellas al inicio. Es importante que los estudiantes representen tanto la situación inicial como la nal (siendo esta la del encuentro de las ciclistas).
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades para establecer relaciones entre las magnitudes que conene el caso (km, m/min), para ubicar los datos relevantes en el diagrama analógico elaborado y al seleccionar la incógnita. Las fases de solución, de la 1 a la 3, ayudarán a claricar esta situación.
En la sección
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y tratar de resolver el problema de otra manera, como la que se presenta en la sección, donde se considera como incógnita el empo de encuentro.
Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
MD
82
T3
Sueños de un avaro
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
La tarea presenta un acerjo en el que se ene que descubrir el nmero de monedas que guarda un avaro en cada una de las bolsas de su tesoro. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple que requieran el planteamiento de ecuaciones lineales con una incógnita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes idenquen lo que no cambia al aplicarle un conjunto de transformaciones. En este caso, es el nmero de monedas en una bolsa. A esta candad, se le aplican modicaciones segn lo que el avaro dice, las cuales generan las condiciones del problema que servirán para la construcción de la ecuación. En este caso, se propone idencar una magnitud invariable para usarla de incógnita e idencar las condiciones para establecer una ecuación. Los estudiantes pueden tener dicultades al traducir la expresión del avaro, por lo que hay que dividirla en dos partes, pues es una composición de dos estados. Estado uno: si en mi bolsa agrego tres monedas. Estado dos: si a dos bolsas iguales les quito 7 monedas. Hay que reconocer que estos dos estados son iguales. Siempre es bueno que los estudiantes comprueben que su solución responde a las condiciones del problema. Otra forma de resolver la situación es mediante un tanteo sistemáco. Esto ayuda a los estudiantes a apropiarse de las relaciones numéricas presentes en el caso. De esta manera, si alguno de ellos resolvió inicialmente el problema por tanteo, debe realizar luego una ecuación o una tabla para comprobar su respuesta, lo cual contribuye a exibilizar su pensamiento.
A matemazar el esqueleto
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
La tarea presenta una aplicación de las ecuaciones lineales a la medicina, ciencia en la que existen muchas más fórmulas similares a la planteada. Es una buena oportunidad para señalar que no solo los matemácos e ingenieros ulizan ecuaciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran ulizar una función lineal. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis primero en que las relaciones establecidas son funciones line ales. En cada caso, tanto para varones como para mujeres, la altura se expresa en función de la longitud de ciertos huesos. La construcción de estas fórmulas se consigue analizando una gran candad de casos reales y ajustando los datos para que sean representados por una función lineal. Cuando se establece una pregunta sobre cómo hallar la altura de una persona que ene una determinada longitud del fémur, uno uliza las relaciones funcionales. En este caso, se propone vincular el todo con las partes al establecer la relación que existe entre el tamaño de los huesos y la estatura de la persona.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al resolver los problemas 7 y 8 que combinan dos fórmulas. Hay que ayudarlos a modelar precisamente estas situaciones.
Más allá del problema
Se sugiere proponer tareas de invesgación más allá del problema, relacionadas, por ejemplo, con otras fórmulas de la antropometría, rama que estudia las longitudes en el cuerpo humano. Por otro lado, analizar datos de nuestro gigante Margarito Machaguay, en función de las ecuaciones dadas, permiría comprender que estas son solo una aproximación y que no son exactas cuando se habla de un caso parcular.
MD
83
Manual para el docente
Incógnitas a nuestro alrededor
11
Los tangramistas La IE Nuestra Señora del Rosario de Chachapoyas realiza, cada año, un fesval abierto de juegos matemácos. Uno de los que cuenta con más seguidores es el campeonato de tangram, que consiste en armar la mayor candad de guras en 4 minutos. En esta lma edición del fesval, se inscribieron 60 personas, que compieron en 10 equipos de 6 parcipantes cada uno. En la nal, la profesora de Matemáca, Elizabeth Sánchez, decidió registrar los resultados usando variables, con el n de que solo ella pudiera saber el puntaje de cada jugador, pues solo ella conocería los valores de las variables x, y, z. La tabla que presentó la profesora Elizabeth de un equipo en las tres temporadas fue la siguiente: Jugador
Cantidad de figuras
Primera temporada
Segunda temporada
Tercera temporada
María
x
y
z
Juan
x-2
y-2
z-3
Rocío
x+3
y+2
z+1
Rodrigo
x-4
y-4
z+2
Paola
x+5
y+1
z-4
Claudio
x-6
y-5
z -3
1) ¿Quién armó 3 guras más que María en la primera temporada?
Rocío armó 3 figuras más que María en la primera temporada.
7) Reexiona y responde. Para resolver los problemas anteriores, ¿cuál es el procedimiento comn que has realizado? Comparar las expresiones algebraicas con la
misma variable.
2) ¿Quién armó 4 guras más que Paola en la tercera temporada?
María armó 4 figuras más que Paola en la tercera temporada. 3) ¿Quién armó 5 guras menos que María en la segunda temporada?
Claudio armó 5 figuras menos que María en la segunda temporada.
8) ¿Es posible sacar conclusiones de una tabla así?
Sí; por ejemplo, se puede concluir que Paola ha ganado en la primera temporada, Rocío ha ganado la segunda temporada y Rodrigo, la tercera temporada. 9) La profesora Elizabeth dice que z = 10 y la suma de las dos variables restantes, donde x es mayor que y , es igual a 32, mientras que su diferencia es igual a 6. ¿Cuál es el valor de cada variable? Uliza este gráco para que respondas.
4) ¿Quiénes armaron la misma candad de guras en la tercera temporada?
19 x
Juan y Claudio.
32
5) ¿Quién armó más guras en la segunda temporada?
y
13
6
Rocío anotó más puntos en la segunda temporada. 6) Considerando las tres temporadas, ¿quién armó la mayor candad de guras? ¿Por qué?
Rocío porque anotó la mayor cantidad de puntos, considerando las tres temporadas. 54
Resolvamos 1
MD
Si se quita seis a la suma (32), se obtiene el doble del número menor (26); luego, el número menor es 13 y el mayor es 13 + 6 = 19.
84
Bicimates Gloria y Crisna viven a 20 km de distancia una de otra. Como parte de sus ejercicios, ellas salen los domingos a montar bicicleta, una hacia la casa de la otra al mismo empo. Gloria va a una velocidad constante de 30 m/min, mientras que Crisna va a razón de 70 m/min. ¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?
1) ¿Qué acvidad realizan las amigas?
1) ¿Cuál de las dos avanza más rápido? ¿Por qué?
Cristina avanza más rápido porque tiene la mayor velocidad.
Montar bicicleta. 2) Al momento de parr, ¿a qué distancia está una de la otra?
2) ¿Tener diferentes unidades te permite solucionar el problema? ¿Por qué? No, pues no es posible operar
directamente metros con kilómetros.
Están a 20 km de distancia. 3) ¿Qué magnitudes reconoces en el problema? ¿En qué unidades están?
Distancia en km y velocidad en m/min.
3) ¿Cuál es la incógnita? Represéntala en un gráco lineal.
La distancia a la casa de Gloria desde el lugar donde se produce el encuentro.
4) ¿Qué es lo que te piden en este problema?
x
La distancia entre la casa de Gloria y el lugar donde ambas se encontrarán.
Gloria
20 km - x Crisna
20 km
4) ¿El empo en el que se encuentran es igual para ambas? Explica. Si parten en el mismo momento, el tiempo será
igual para ambas.
1) Representa la incógnita en un gráco lineal. Casa de Gloria
x
20 km =
20 000 - x
4) ¿Cómo se relacionan estos dos empos?
Son iguales.
Casa de Cristina
5) Resuelve la ecuación planteada.
20 000 m
70x = 30 (20- x), entonces 100x = 30 (20), x = 6
2) ¿Cuántos minutos demora Gloria en recorrer x km?
Demora x/30 m/min.
6) ¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?
3) ¿Cuántos minutos demora Crisna en recorrer (20 000 - x ) m?
Demora (20 000 - x)/70 min .
1) ¿A cuántos kilómetros de la casa de Crisna se encontrarán?
Se encontrarán a 6 km de la casa de Gloria.
Colocamos estos datos en el siguiente gráco: Casa de Gloria
Se encontrarán a 20 - 6 = 14 km de la casa de Cristina. 2) ¿Pudo haberse elegido como incógnita la distancia hacia la casa de Crisna?
Sí, y luego se encontraba lo solicitado por diferencia. 3) Observa este esquema de solución. Completa donde haga falta. Sea t el empo en el que se encuentran las dos amigas: Crisna avanza en t minutos: 70 , Gloria avanza en t minutos: 30 MD
30t
70t
Casa de Cristina
20 000 m 4) Planteamos la ecuación: 30t + 70t = 20 000 m 5) Resuelve para t .
t = 200 minutos
6) ¿A qué distancia de la casa de Gloria se encontrarán?
Se encontrarán a 6 km de la casa de Gloria. 85
Manual para el docente
55
Sueños de un avaro Un enigmáco avaro guarda un tesoro en 49 bolsas, cada una con la misma candad de monedas. El avaro dice: “Si en mi bolsa agrego tres monedas, tendré lo mismo que si a dos bolsas iguales les quito 7 monedas”. ¿Cuántas monedas ene en cada bolsa?
1) ¿Cuál es la condición con respecto a las bolsas de monedas?
Que tienen la misma cantidad y que si agrego en una bolsa tres monedas, tendría lo mismo que si a dos bolsas les quitara 7 monedas. 49 2) ¿Cuántas bolsas ene el avaro? ¿Es importante No. conocer este dato para resolver el problema? ¿Por qué? Explica. Esto sería útil si se necesitara calcular el número total de monedas que tiene el avaro.
1) El avaro habla acerca de cambios en las bolsas. ¿Cuántos posibles cambios menciona?
Habla de 2 posibles cambios. 2) Si le das el valor de x a la candad de monedas que hay en una bolsa, ¿puedes escribir en términos de x lo que se dice en cada cambio?
Primer cambio: x + 3. Segundo cambio: 2x - 7. 3) ¿Cómo están relacionadas las expresiones en los cambios?
Son expresiones iguales.
3) ¿Qué es lo que necesitas encontrar?
El número de monedas en cada bolsa.
1) Plantea una ecuación. Completa con expresiones de x . En mi bolsa
agrego
3 monedas
x
+
3
Si a dos bolsas
les quito
7 monedas
2x
-
7
2) ¿Cómo son estas dos expresiones de acuerdo con lo que dice el avaro? Plantea una igualdad.
Son iguales. x + 3 = 2x -7 3) Resuelve la ecuación y responde: ¿Cuántas monedas hay en cada bolsa?
x + 3 = 2x - 7; x = 10. Hay 10 monedas en cada bolsa.
1) ¿En qué parte del desarrollo has tenido dicultad para resolver? Depende de los estudiantes. 2) ¿Cómo superaste esta dicultad?
Depende de los estudiantes. 3) Describe la estrategia empleada.
Definir la incógnita del problema mediante un símbolo, identificar lo que no varía y plantear una ecuación. 4) Trata de resolver este problema, pero ulizando el tanteo. Empieza a tantear suponiendo que las bolsas conenen 20 monedas. ¿Con qué nmeros seguirás tanteando?
Primer cambio: 20 + 3 = 23. Segundo cambio: 2 x 20 - 7 = 33. 56
Resolvamos 1
Con 16 monedas: Primer cambio: 16 + 3 = 19. Segundo cambio: 2 x 16 - 7 = 25. Se observa que reduciendo la cantidad del tanteo se reduce la diferencia entre los dos cambios sugeridos, entonces conviene seguir reduciendo la cantidad de monedas. 5) ¿Por qué no conviene seguir tanteando con un nmero mayor que 20?
Porque aumenta la diferencia de los cambios sugeridos. 6) ¿Es más fácil resolver el problema tanteando o por medio de una ecuación? Explica.
Depende del criterio del estudiante. MD
86
A matematizar el esqueleto Los ciencos forenses pueden esmar la altura de una persona midiendo la longitud de ciertos huesos como el fémur, la bia, el hmero y el radio. La tabla dada más abajo muestra las ecuaciones que relacionan la longitud de cada hueso y la altura de la persona, tanto para varones como para mujeres. Estas relaciones han sido encontradas por los ciencos después de muchas invesgaciones y de recolecciones de datos.
Radio Hmero Fémur Tibia Leyenda:
Hueso En la tabla: Fémur
Varones
Mujeres
Notación Longitud de...
A = 69,089 + 2,238 F
A = 61,412 + 2,317 F
F:
Fémur
Tibia
A = 81,688 + 2,392 T
A = 72,572 + 2,533 T
T:
Tibia
Hmero
A = 73,570 + 2,970 H
A = 64,977 + 3,144 H
H:
Hmero
Radio
A = 80,405 + 3,650 R
A = 73,502 + 3,876 R
R:
Radio
A:
Persona
Nota: Todas las medidas están en cenmetros.
Usando las ecuaciones dadas en la tabla anterior y una calculadora, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) ¿Cuál es la altura aproximada de una mujer si su fémur ene 46,4 cenmetros de longitud? 2) ¿Cuál es la altura aproximada de un varón si su bia ene 50,2 cenmetros de longitud?
A = 168,92 cm A= 201,77 cm
8,18 cm más. 4) Si un varón ene una altura de 1,8 m, ¿cuántos cenmetros menos mide su radio que su fémur? 22,27 cm menos. 5) Si el radio de un varón mide 21,80 cenmetros, aproximadamente, ¿cuánto tendrá que medir su hmero? 29,09 cm 3) Si una mujer ene una altura de 164 cenmetros, ¿cuántos cenmetros más ene su fémur que su bia?
6) ¿Para qué longitud del hmero un varón tendrá la misma altura que una mujer? ¿Cuál es esa altura?
H = 49,39 cm; A = 220,26 cm. 7) ¿Para qué altura comn del varón y la mujer un hombre tendrá la misma longitud del radio? R = 30,54 cm; A = 191,88 cm 8) Diseñen tres preguntas más que combinen las dimensiones de los huesos del varón y la mujer. Intercambien con otros grupos las preguntas formuladas por el equipo.
Las respuestas pueden variar, por ejemplo: ¿Para qué longitud del fémur la altura del varón será 4 cm más que la de una mujer? ¿Para qué longitud del húmero la altura de un varón es 1 cm menos que la de una mujer? Si el húmero de un hombre mide 45 cm, calcula la longitud de su radio. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas en los que se necesitó plantear ecuaciones lineales con una incógnita. En la cotidianeidad, estas ecuaciones se utilizan para estimar costos, calcular dosis de medicamentos, estimar tiempos de viaje y metrados de pisos, hacer presupuestos, etc
Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
MD
87
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
Manual para el docente
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12 Las ecuaciones al rescate
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que las ecuaciones también las ulizan los magos para diseñar trucos interesantes, como los de carácter numérico que aprenderán en esta lección. Se pueden invesgar, además, otros trucos con barajas, cartas especiales y juegos de mentalismo con objetos. Los estudiantes pueden hallarlos en Internet, donde también se encuentran programados varios juegos interacvos. A connuación, usted debe realizar los trucos de la primera acvidad. Hágalo con algunos estudiantes para movar la invesgación del juego mágico. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Ecuaciones lineales con una incógnita
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Expresiones algebraicas Patrones numéricos Fracciones numéricas
Algecadabra
Descripción de la acvidad
La tarea presenta dos juegos matemágicos de lectura del pensamiento. En el primer caso, se llega indefecblemente al mismo resultado, sin importar con qué nmero se empiece; en el segundo, la solución está en función del nmero pensado. Ambos pueden modelarse mediante una ecuación lineal para explorar su secreto, donde la incógnita es el nmero pensado que será descubierto.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen analizar una situación supuestamente mágica, así como modelar algebraicamente ciertas situaciones ldicas expresadas de manera verbal.
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
T2
Los estudiantes pueden tener dicultades al traducir las instrucciones en términos de las incógnitas. Las preguntas formuladas les ayudarán a invesgar estos dos hechos de matemagia.
Los papanaderitos
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
Resolvamos 1
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la traducción del enunciado verbal al lenguaje algebraico. Procurar que las traducciones y los cálculos sean realizados mentalmente por los estudiantes, para que efectivamente se motiven. En este caso, se propone traducir el lenguaje verbal de cada indicación del truco al lenguaje algebraico y organizar esta información en una tabla.
La tarea presenta una situación laboral en la que un grupo de estudiantes realiza un proceso producvo, donde hay que embolsar papapanes (panes de harina de papa). Para ello, deben encontrar algunas incógnitas para tomar decisiones acerca del nmero de bolsas necesarias. Se presentan dos posibilidad es de agrupación: en la primera, renen ocho papapanes por bolsa, y en la segunda, las bolsas contendrán cinco papapanes. El lmo caso, implica ulizar 120 bolsas más. Estas condiciones servirán para responder a la incógnita del problema. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución de problemas de traducción simple, que se pueden modelar mediante una ecuación lineal de una incógnita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la idencación de la magnitud invariable, que, en este caso, es la candad de papapanes producidos. Se propone traducir el enunciado del problema a expresiones algebraicas y organizar la información en tablas para idencar invariantes en la situación problemáca para plantear una ecuación lineal. Los estudiantes pueden tener dificultades al reconocer la invariante en las condiciones del problema. Por ello, las preguntas de las fases uno y dos ayudarán a que el estudiante se famili arice con la situación y comprenda las relaciones existentes entre el nmero de bolsas y la cantidad de papapanes.
MD
88
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y comprobar numéricamente que su solución ene sendo en el contexto del problema. Esto ayudará a jar la comprensión de las relaciones establecidas. Asimismo, se les puede solicitar que resuelvan el problema trabajando con otra incógnita o mediante un gráco.
El agua es vida
Descripción de la acvidad
La tarea presenta una situación referida a la opmización del empo que toma llenar un reservorio con dos grifos que enen diferente velocidad de llenado.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de problemas de situaciones de contexto real que pueden ser modelados mediante ecuaciones lineales de una incógnita.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la suposición de que el problema está resuelto; es decir, asignarle una variable y representar la fracción del reservorio que deberá ser llenado en una hora con cada uno de los grifos.
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
En este caso, se propone la descomposición del problema en problemas sencillos, mediante preguntas que deberán responder los estudiantes, así como la modelación de la situación, por medio de una ecuación lineal. Los estudiantes pueden tener dicultades al trabajar con las fracciones. Además, el hecho de que el tanque a ser llenado no está vacío puede generar dicultades para representar con una fracción el volumen que falta por llenar. Los estudiantes deberán reexionar sobre la ulidad de la estrategia y aplicarla cambiando las condiciones del problema. Los más avanzados pueden crear otros problemas similares que tengan la misma estructura; por ejemplo; el empo de trabajo de los obreros, el empo para hacer las tareas, el llenado de las piscinas, entre otros.
Los montones enigmácos
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Más allá del problema
La tarea presenta un texto que describe un juego de magia que consiste en adivinar el nmero de fósforos que hay en el montón del medio, luego de haberlos distribuido en tres grupos. La limitación es que no se da información acerca del secreto del juego. En la exploración, los estudiantes tendrán oportunidad de descubrir ese secreto, haciendo uso de las ecuaciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para resolver problemas de traducción simple de situaciones de juego ulizando lenguaje algebraico. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico para modelar la situación, ya que el enunciado puede resultar complejo. En este caso, se propone probar la situación con material concreto cambiando los datos del problema, organizar la información en una tabla y generalizar la solución para cualquier valor. Los estudiantes pueden tener dicultades en la traducción del lenguaje coloquial al lenguaje algebraico para la generalización de la situación problemáca. Un error pico es olvidar que al inicio del problema se indica que el nmero de fósforos en cada montón era igual. A los estudiantes más avanzados se les puede proponer que inventen sus propios juegos de magia a parr del presentado en esta tarea. Por ejemplo, incrementando el nmero de montones o modicando las relaciones que se establecen en cada pasada. En los libros de Yakov Perelman y Marn Gardner, que se encuentran en Internet, puede invesgar más trucos de este po.
MD
89
Manual para el docente
12
Las ecuaciones al rescate
Algecadabra Alejandra encontró, en un viejo libro de Matemáca recreava, un capítulo tulado “Trucos numéricos”, donde halló estas dos páginas con instrucciones para realizar un par de juegos de lectura del pensamiento.
1) ¿Por qué funcionan estos trucos?
5) ¿Cómo obenes el secreto para hallar el nmero pensado?
El resultado está en función de las operaciones planteadas. 2) Llama x al nmero pensado en cada truco. Completa la expresión, pero en términos de x . Piensa un nmero
x
Smale 5.
x + 5 2(x + 5) 2(x + 5) - 4 [2(x + 5) - 4] / 2 [2(x + 5) - 4] / 2 - x 3
Mulplícalo por 2. Réstale 4. Divídelo entre 2. Réstale el nmero pensado. El resultado es:
6) Si el resultado es R, plantea una ecuación para el resultado en términos de x .
(3x - 3) / 2 = R 7) Reexiona y explica cómo harías para despejar x . ¿Tu explicación es similar a la dada en el secreto?
x = (2R + 3) / 3 = 2R / 3 + 1, la explicación es la misma en términos de R. 8) Has aprendido cómo inventar trucos algebraicos. Inventa un par de juegos y aplícalos a tus compañeros de la clase.
3) ¿Puedes ver por qué funciona este truco?
Sí, porque al simplificar la expresión construida, el número pensado (x) se elimina y el resultado siempre será tres.
Primer juego
Piensa un número. Multiplícalo por 4. Réstale 5. Divídelo entre 2. Finalmente réstale 3. ¿Cuál es el resultado?
4) Completa la expresión, pero en términos de x . Piensa un nmero
x
Mulplícalo por 3.
3x 3x + 5 (3x + 5) / 2 [(3x + 5) / 2] - 4 (3x - 3) / 2
Smale 5. Divídelo entre 2. Réstale 4. El resultado es:
58
Resolvamos 1
Debo proceder a realizar operaciones para despejar x en cada resultado. Como hay una división entre 2, debo multiplicar por 2, luego observamos los coeficientes de la expresión resultante y dividimos entre 3 y queda x - 1, finalmente sumamos 1 y obtenemos x.
Secreto
Al resultado lo multiplicamos por 2, le sumas 11, lo divides entre 4 y obtienes el número.
MD
90
Segundo juego
Piensa un número. Súmale 2. Multiplícalo por 2. Réstale 2. Divídelo entre 2. Réstale el número que pensaste. El resultado será 1.
Los papanaderitos Una empresa ha donado a la IE Miguel Grau algunos kilos de papas y varios sacos de harina y de azcar con los cuales los estudiantes del primer grado han decidido elaborar papapanes dulces, para venderlos en la feria escolar del n de semana. Los estudiantes pensaron, inicialmente, hacer bolsas con 8 papapanes cada una; pero observaron que les sobraban demasiadas bolsas, así que decidieron hacer bolsas de solo 5 papapanes. De este modo, los papanaderitos ulizaron 120 bolsas más. Finalmente, ¿cuántas bolsas emplearon?
Van a elaborar papapanes dulces para la feria escolar. 2) ¿Cuántos papapanes por bolsa se iban a empaquetar inicialmente? 8 papapanes por bolsa. 3) ¿Qué ocurría si se hacían esos paquetes? Hubieran sobrado demasiadas bolsas. 4) ¿Qué se decidió hacer? Hacer paquetes de 5 papapanes. 5) ¿Cuántas bolsas más se ulizaron? Se utilizaron 120 bolsas más. 1) ¿Qué es lo que van a hacer los niños de primer grado?
6) ¿Qué es lo que te piden en el problema?
El número de bolsas que utilizaron finalmente.
1) El problema ene dos estados: la propuesta inicial y la decisión nal. ¿Qué candad no varía en ambos estados?
El número de papapanes no varía. 2) Completa, segn corresponda: Como piden encontrar cuántas bolsas emplearon nalmente, entonces podemos denotar a esta candad con la letra x y plantear una igualdad entre los dos estados.
1) Llamemos x al nmero de
bolsas
ulizadas nalmente.
2) Escribe, en términos de x , el nmero de bolsas que se iba a usar. x - 120 3) ¿Cuántos papapanes iba a contener cada bolsa? 8 papapanes. 4) Uliza las expresiones anteriores para escribir el nmero total de papapanes. 8(x - 120) 5) Escribe, en términos de x , el nmero de bolsas ulizadas realmente. x 6) ¿Cuántos papapanes se colocó en cada bolsa? 5 papapanes. 7) Uliza las expresiones anteriores para escribir el nmero total de papapanes. 5x 8) Como el nmero total de papapanes no varía, ¿qué se puede hacer con las expresiones halladas en las preguntas 4 y 7?
1) Comprueba que tu solución cumpla con las condiciones del problema. Si reemplazamos en ambas expresiones, se
obtiene 1600 papapanes. 2) ¿Qué estrategia fue la que te ayudó a resolver el problema?
El planteo de la ecuación de acuerdo con las condiciones del problema. 3) Resuelve el problema en forma gráca. Completa el siguiente esquema y ulízalo para resolver. Propuesta 8 8 8 8 8 inicial
8 8
Decisión nal
5 .. 5 5 ... ... 5 5 120
Se igualan ambas expresiones. 9) Resuelve la ecuación que has planteado.
5 5 5 5 5
Hay 120 x 5 = 600 papapanes que salen de bolsas a las que se quitaron 3 papapanes de cada una, entonces se le quitó a 600/3 = 200 bolsas. Se usaron 320 bolsas.
x = 320
10) ¿Cuántas bolsas ulizaron los papanaderitos?
Utilizaron 320 bolsas. MD
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Manual para el docente
59
El agua es vida Para abastecerse mejor de agua potable, la junta vecinal del centro poblado de Ahuac ha construido un reservorio que ene la forma de un cilindro recto. El reservorio se puede llenar mediante dos grifos: el grifo A lo llena en 2 horas, mientras que el grifo B lo llena en el doble de empo. Por problemas externos, ayer el reservorio solo se ha llenado hasta las dos quintas partes. Hoy la junta quiere que termine de llenarse lo más rápido posible, por lo que se han abierto los dos grifos a la vez. ¿Cuánto empo demorarán los grifos en terminar de llenar el reservorio?
1) ¿De qué te hablan en la historia?
1) ¿Qué fracción del reservorio falta por llenar?
De un reservorio de agua que se debe llenar.
Los 3/5.
2) Completa segn corresponda: Supongamos que el problema está resuelto, es decir, que el tiempo necesario para llenar las 3/5 partes del reservorio con los 2 grifos abiertos es “ x ”.
2) ¿Cómo se llena el reservorio?
Mediante dos grifos. 3) ¿En cuánto empo llena cada grifo el reservorio?
3) ¿Qué fracción del reservorio se llena con el primer grifo en una hora? Se llena x/2 . ¿Cuánto se llena en x horas?
El primero lo llena en 2 horas; el segundo, en 4 horas. 4) ¿Cuánto se ha llenado ya?
Se llena 1/2 del reservorio.
Los 2/5 del reservorio.
4) ¿Qué fracción del reservorio se llena con el segundo grifo en una hora? Se llena 1/4. ¿Cuánto se llena en x horas? Se llena x/4 del reservorio.
5) ¿Qué te piden averiguar?
En cuánto tiempo se terminará de llenar si se abren los dos grifos a la vez.
5) ¿Cuánto es lo que se debe llenar en x horas?
3/5 del reservorio. 6) ¿Qué puedes formar con todo lo descubierto?
Una ecuación.
x/2 + x/4 = 3/5 2) Resuelve la ecuación. x = 4/5 1) Plantea la ecuación.
3) ¿Cuánto empo se necesita para llenar el reservorio si se enen abiertos los dos grifos?
Se necesita 4/5 de hora, es decir, 48 minutos.
1) ¿Qué estrategia te fue más l para resolver el problema?
Suponer que ya tenía el valor pedido; pero, en forma general, usarlo para plantear una ecuación. 2) ¿En cuánto empo llenan el reservorio desde cero si se abren los dos grifos?
En 4/3 de hora, es decir, 1 hora 20 minutos.
60
Resolvamos 1
3) ¿Cuánto se demorará si se sabe que hay una fuga que vaciaría el tanque lleno en 6 horas?
Se demorará 12/7 de hora. 4) Si no hay fuga pero se coloca otro grifo que llenaría el reservorio solo en 3 horas, ¿cuánto empo será necesario ahora para llenar el reservorio si tengo los tres grifos abiertos?
Se demorará 12/13 de hora.
MD
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Los montones enigmáticos Camila ha encontrado una página de un anguo libro de matemagia con la siguiente descripción:
Juego de los montones Efecto
Estos fósforos retirados debe colocarlos en alguno de los montones de los extremos.
Entrega una caja de fósforos a un amigo y tú vuélvete de espaldas. Mándale hacer, sobre la mesa, tres montones iguales de fósforos. Pueden constar de un número cualquiera de palitos de fósforo, con tal de que sea superior a 3. Ahora, el amigo debe tomar tres fósforos de cada uno de los dos montones ubicados en los extremos y añadirlos al montón central. Luego, debe contar el número de fósforos en algún montón extremo y sacar esa cantidad del montón del centro.
En este momento, el amigo debe nombrar libremente un número entre 1 y 12. A pesar de que ignoras el número de fósforos de los montones, con tu mágico poder lograrás que en el montón del centro quede un número de fósforos igual al número libremente nombrado por tu amigo. Secreto
Lamentablemente, la parte donde estaba descrito el secreto se ha roto. ¿Será posible descubrir cómo se hace este truco? Con tus compañeros, respondan las siguientes acvidades y descubran el truco: 1) Ulicen chas o semillas en lugar de fósforos. ¿Esto afecta el resultado del truco? Expliquen. No, porque interesan las
los montones de fósforos.
cantidades y no el tipo de elementos. 2) ¿Qué caracterísca debe tener el nmero de semillas para poder hacer los montones? Deben ser de más de doce
semillas. En el montón central siempre quedan 9 fósforos. 4) Hagan un registro de lo que ocurre. Pueden usar un formato similar al que aquí se presenta. Candad total de semillas: MONTÓN 11 Montón Paso 2 Paso 3
8) Planteen una generalización del problema, es decir, empiecen con un caso general. Generalizaremos mediante
variables. Sea x la cantidad inicial de cada montón.
3) Si el nmero de semillas fuera 18, 21, 24 o 27, ¿qué observan?
Paso 1
7) ¿Cómo pueden demostrarlo sin necesidad de probar con muchas candades disntas? Usando una variable para
15
MONTÓN Montón11
MONTÓN22 Montón
MONTÓN Montón 33
x x-3 x-3
x x+6 9
x x-3 2x - 6
Paso 1 Paso 2
MONTÓN Montón 2
MONTÓN Montón 33
5 11 9
5 2 2
5 2 4
Paso 3
10) ¿Llegaron a demostrarlo?
Sí se demostró.
11) Redacten las instrucciones que faltan en el texto.
5) Denan qué es lo que se va a hacer en cada paso, para esto, lean el “Efecto” y dividan las instrucciones en tres pasos. 6) ¿Este patrón se cumplirá siempre?
9) Llenen un formato como el anterior, pero ulizando el caso general.
Sí, se cumple siempre.
“Sabiendo que tengo 9 fósforos en el montón central, se le dice al amigo que agregue o retire los fósforos de los montones que sean necesarios para dejar el número mencionado por él”. 12) Realicen el juego con tus compañeros de aula.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las ecuaciones lineales con una incógnita. He visto que puede aplicarse a la vida cotidiana, así como a situaciones curiosas; por ejemplo, trucos de magia y entretenidos rompecabezas. Siempre cuidaré de escribir bien la ecuación en términos de la incógnita elegida.
Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy interesantes.
Interesantes.
MD
93
Poco interesantes.
Nada interesantes.
Manual para el docente
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13 El mundo está lleno de incógnitas
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que en muchas acvidades se ene que trabajar con candades desconocidas. Así, por ejemplo, uno no sabe de antemano cuántos boletos de una rifa se van a vender, cuántas personas consumirán un men en un día determinado, cuánta gente adquirirá determinado producto, entre otras situaciones. Estas implican una incógnita, algunos de cuyos valores se verican por medio de las ecuaciones, que son igualdades relavas entre expresiones algebraicas. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Transformaciones de equivalencia Expresiones algebraicas Operaciones aritmécas Patrones numéricos Razones y proporciones Porcentaje
En esta tarea, se presenta a los estudiantes una situación comercial, cuya información la deberán extraer de una tabla, además de efectuar operaciones aritmécas, calcular costos y compararlos entre sí, segn la variedad del pedido de cada amigo. La información se presenta a través de un formato de tabla de doble entrada. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren extraer información de una tabla de doble entrada. Asimismo, que efecten las operaciones aritméticas necesarias para resolver las situaciones problemáticas planteadas. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de las condiciones particulares de cada caso, que nos plantean una operación aritmética diferente para la determinación del costo respectivo y las comparaciones correspondientes. En esta ocasión, se propone descomponer el problema en partes para el desarrollo sistemáco de cada situación. Los estudiantes pueden tener dicultades al traducir el enunciado de la tabla de doble entrada a la operación aritméca que se encuentra directamente relacionada. Por ello se recomienda, como estrategia adicional, reformular las preguntas o parafrasear lo que se maniesta en el texto.
La edad de David
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Crea tu propia copa de helado
Descripción de la acvidad
T2
Ecuaciones lineales con una incógnita
La tarea presenta un típico problema de edades. Generalmente, en este tipo de situaciones, se relacionan las edade s de los participantes en el pasado, presente y/o futuro. En este caso, hay dos personajes: David y Anabel, así como dos momentos de trabajo: hace 15 años y hoy. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen la traducción de expresiones verbales complejas a expresiones algebraicas. Luego de ello, se espera que establezcan las ecuaciones necesarias para resolver la situación problemática. A los estudiantes más avanzados se les puede proponer que inventen sus propios juegos de magia, a parr de este. Por ejemplo, incrementando el nmero de montones o modicando las relaciones que se establecen en cada pasada. En los libros de Yakov Perelman y Marn Gardner, que se encuentran en Internet, puede invesgar más trucos de este po. Para comprender algunas relaciones, se propone particularizar. Así, se pregunta, por ejemplo: “Si Anabel tuviera hoy 18 años, ¿cuántos años tendría David?”. Este paso es previo para que el estudiante logre establecer la relación general entre las edades de ambos en el presente. En este caso, se propone reconocer la incógnita identificando las ecuaciones, modelar cada condición y realizar el registro en una tabla.
MD
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Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
El terreno del agricultor
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Los estudiantes pueden tener dicultades al interpretar el acerjo de David; en cuyo caso, deberán dividirlo para facilitar su comprensión y trabajarlo por partes. Los errores picos son no considerar los estados del empo y trabajar como si los datos solo correspondieran al presente. Por eso, es conveniente dar un plazo mayor a la lectura de la primera fase hasta que comprendan bien el enunciado. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada. Adicionalmente, se pide que comprueben sus resultados. Esto es bueno, pues les ayuda a visualizar concretamente las relaciones que leyeron al inicio del problema y, en todo caso, a idencar errores en la obtención de la respuesta la correcta. También es importante que reconozcan la posibilidad de haber ulizado otra incógnita. Los estudiantes más avanzados pueden resolver el problema empleando como incógnita la edad de David.
La tarea presenta el caso de un agricultor que desea conocer la medida del cerco de un terreno cuadrado que ha dividido en 5 parcelas rectangulares, sabiendo cuánto mide el cerco de cada una de las parcelas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen representar grácamente una situación a parr de un enunciado verbal, así como relacionar sus dimensiones para plantear un sistema de ecuaciones. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en cada condición que señala el problema; asimismo, en la idencación y denición de las incógnitas. Es bueno que los estudiantes reexionen sobre el signicado que, en el contexto del problema, debe tener cada letra que vayan a ulizar. En este caso, se proponen dos estrategias: la representaci ón gráca y el planteamiento de un sistema de ecuaciones. También se propone la lectura analíca, al dividir el enunciado en partes, para así poder simbolizar cada una de las condiciones. Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar las incógnitas que ulizarán y al traducir el enunciado que implica el concepto de perímetro. La primera pregunta de la tercera fase está diseñada para ayudar en este aspecto. Los estudiantes deberán describir la estrategia ulizada. Es posible modicar los datos, pero manteniendo su organización. Esto ayuda a reconocer el po de estructura del problema trabajado.
Los enigmas del calendario
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
La tarea presenta una acvidad de invesgación de patrones numéricos en una hoja de calendario. Por su estructura, el calendario es una fuente de relaciones y patrones numéricos que son posibles de explorar. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen la idencación de patrones numéricos, su verbalización y simbolización. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la bsqueda de regularidades en la distribución de los nmeros del calendario. Asimismo, se debe orientar a los estudiantes para que, a parr de la experiencia, encuentren nuevas regularidades y creen nuevos trucos matemácos. En este caso, se propone experimentar con valores parculares para i dencar un patrón que será generalizado mediante símbolos.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al verbalizar y generalizar los patrones, por lo que el docente deberá monitorear cuidadosamente este proceso.
Más allá del problema
En el calendario, es posible explorar otras disposiciones; por ejemplo: una matriz de 5 x 5, una columna de 4 nmeros o una disposición triangular, en cruz o en forma de T. Los estudiantes más avanzados pueden explorar algunas de estas disposiciones.
MD
95
Manual para el docente
13
El mundo está lleno de incógnitas
Crea tu propia copa de helado En la heladería Sabor a fruta se exhibe esta lista de precios, la que informa al cliente sobre diversas opciones:
Sabor a fruta Copa básica Bola extra Dos bolas extra Agregados varios: Nueces Cerezas Chispas Salsa de chocolate Salsa de caramelo Crema batida Trocitos de chocolate
S/.4,00 S/.2,50 S/.5,00 S/.1,00 cada uno
Uliza esta información para calcular los costos sobre los pedidos que un grupo de amigos podría realizar.
1) Paola elige para su copa una bola extra, nueces, salsa de chocolate, crema bada y chispas, ¿cuánto debe pagar?
4 + 2,50 + 1 + 1 + 1+1 = 10,50 Debe pagar S/.10,50.
4) Si Javier le invita una copa de helado a Carmen, igual a la suya, ¿cuánto dinero le queda ahora?
68 – 12 = 56, Le queda S/.56.
2) Paola ene un cupón que le rebaja S/.3,50 en el costo de cualquier copa de helado. Lo usó para pagar su pedido indicado en la pregunta 1 y le añadió cereza. ¿Cuánto debe pagar ahora?
10,50 – 3,50 + 1 = 8 Debe pagar S/.8. 3) Javier ene 4 billetes de S/.10 y dos de S/.20. Pide una copa de helado con dos bolas extra, salsa de chocolate, crema bada y trocitos de chocolate. Después de pagar, ¿cuánto dinero le queda?
Tiene 40 + 40 = 80. Su pedido cuesta 4 + 5 + 1 + 1 + 1 = 12. Después de pagar le queda 80 – 12 = 68.
5) Compara los costos del primer pedido de Paola con el de Carmen y calcula la diferencia entre el mayor y el menor costo.
12 – 10,5 = 1,5, La diferencia es S/.1,5. 6) ¿Con cuántos cupones similares al que ene Paola se podría pagar un pedido que incluya dos bolas extra, nueces, cerezas, chispas, crema bada y trocitos de chocolate?
El pedido cuesta 4 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14 y se necesitarían 14 ÷ 3,5 = 4 cupones. 7) Reexiona y responde: Con el dinero de Javier, ¿se podrán cubrir los gastos en helados de Paola, Carmen y de él mismo? ¿Cuánto le sobraría?
Sí, le sobraría S/.45,5.
62
Resolvamos 1
MD
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La edad de David A David no le gusta que descubran cuántos años ene. Como es profesor de Matemáca, cuando alguien le pregunta acerca de su edad, él responde muy suelto de huesos con un acerjo. Por ejemplo, ayer, cuando Anabel le preguntó su edad, David contestó: “Mi edad es el doble de la tuya; pero, hace 15 años, era el triple”. ¿Con estos datos, será posible que Anabel pueda calcular la edad de David? Si es así, ¿cómo lo hará?
David y Anabel. 2) ¿Acerca de qué hablan los personajes? Acerca de la edad de David. 1) ¿Quiénes intervienen en la historia?
3) ¿Se expresa alguna relación matemáca entre las personas que intervienen?
Sí, cuando David dice: “Mi edad es el doble de la tuya; pero, hace 15 años, era el triple”. 4) ¿Qué es lo que se desea averiguar? La edad de David.
1) ¿Cuántos personajes hay?
Hay dos personajes.
2) ¿De cuántos momentos en el empo se hablan? ¿Cuáles son? Se habla del presente y el pasado.
1) Completa la tabla que representa esta situación. ¿Qué signica la x mostrada? Hace 15 años
entonces David tendría 36 años. 4) Si hace 15 años Anabel hubiera tenido 6 años, ¿cuántos años habría tenido David? Explica. Como dice David “hace 15
años, era el triple”, entonces hubiera tenido 18 años.
2x - 15 x - 15
David
3) Si Anabel tuviera hoy 18 años, ¿cuántos años tendría David? Explica. Como dice David “Mi edad es el doble de la tuya”,
Anabel
Hoy
2x x
2) ¿Qué relación hay entre las edades de David y Anabel hace 15 años? Hace 15 años, la edad de David era el triple
que la de Anabel. 3) Escribe una ecuación que represente esta relación.
5) ¿Cómo organizarías las edades en disntas épocas?
2x - 15 = 3(x - 15); x = 30
a) Con un diagrama lineal
4) Resuelve la ecuación y vuelve a completar la tabla.
b) Con un diagrama cartesiano
Hace 15 años
Oc) Con una tabla de doble entrada
Hoy
45 60 15 30 Anabel 5) ¿Cuántos años ene David? David tiene 60 años. David
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema. Establecer las relaciones en el presente y el
pasado mediante expresiones algebraicas organizadas en una tabla, plantear una ecuación y resolverla.
5) Resuelve el problema ulizando una tabla de doble entrada: Hace 5 años, la edad de Papo era tres veces la edad de Pipo. Dentro de 5 años, será el doble. ¿Qué ed ades enen Papo y Pipo?
2) ¿Cómo puedes comprobar tus resultados?
Verificando las condiciones del problema.
Papo Pipo
3) ¿Pudo tomarse como incógnita la edad de David?
Hace 5 años
Hoy
3x x
3x + 5 x+5
Dentro de 5 años
3x + 5 + 5 x+5+5
Sí, pero se hubiera trabajado con fracciones. 4) Resuelve el problema, pero tomando como incógnita la edad de David. Hace 15 años Hoy David Anabel
x - 15 x/2 - 15
x x/2
3x + 10 = 2(x + 10); x = 10 Las edades de Papo y Pipo son 35 y 15 años, respectivamente.
x-15=3(x/2 - 15); x = 60 MD
97
Manual para el docente
63
El terreno del agricultor Un agricultor es propietario de un terreno cuadrado que ha sido dividido en 5 parcelas rectangulares. Para cercarlas, ha calculado un cerco de 300 metros para cada parcela. Si deseara hacer solo un cerco alrededor de todo el terreno, ¿cuál sería su longitud?
1) Dentro del terreno cuadrado, ¿qué otra gura geométrica reconoces?
1) ¿De qué trata el problema?
De cercar el terreno.
Reconozco una figura de forma rectangular.
2) ¿Qué datos idencas en el problema?
2) ¿Cuál es el perímetro de estos sectores dentro del terreno?
El perímetro de cada parcela rectangular es 300 m.
300 m.
3) ¿Qué forma geométrica ene el terreno?
3) ¿Qué procedimiento realizarías para hallar la solución al problema?
Forma de cuadrado. 4) ¿Qué te solicita el problema?
Uso de los perímetros del cuadrado y del rectángulo.
La longitud para un cerco único.
1) Representa una de las parcelas y sus respecvas dimensiones.
4) Plantea la relación entre los lados del terreno.
Si juntamos los lados menores de las 5 parcelas, se tiene el lado del terreno cuadrado; luego 5x = y. x x x x x
y
y
x Sean x e y las dimensiones de cada parcela, donde: x lado = menor e y = lado mayor. 2) ¿Es posible relacionar estas dimensiones con el perímetro de la parcela (P)? Determina la relación.
Sí es posible. P: perímetro de la parcela, luego: 2x + 2y = P; x + y = P/2
5) Uliza las dos ecuaciones anteriores para determinar los valores de x e y .
x + y = 150; 5x = y Resolviendo, x = 25 m, y = 125 m.
3) Para nuestro caso, el perímetro de la parcela rectangular es 300 m, ¿cómo se expresa la relación?
6) ¿Cuál es tu respuesta?
El perímetro del terreno es 500 m.
Para el caso P = 300, tenemos x + y = 150.
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.
Hacer el diagrama de una de las parcelas y representar sus medidas. 2) Resuelve lo mismo, pero considera ahora que el agricultor divide el terreno en cuatro parcelas iguales y el perímetro de cada una es de 300 m.
El perímetro del terreno es 480 m. 64
Resolvamos 1
MD
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Los enigmas del calendario NOVIEMBRE 2012
Una hoja de calendario esconde muchas cosas curiosas. Domingo
En esta acvidad, tendrás la oportunidad de explorar estos enigmas, que luego podrás ulizar en tus sesiones de matemagia.
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
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27
28
29
30
Con tus compañeros, respondan las sigui entes incógnitas y resuelvan el problema: 1) Elijan cuatro nmeros, en un cuadrado de 2 x 2, sumen los 7) ¿Cómo aplicarían esto para saber el resultado de la suma de nmeros de una diagonal y los nmeros de la otra diagona l. estos nmeros rápidamente? Multiplicando el número ¿Qué observan?
central por 9.
2
3
9
10
Las sumas de las dos diagonales son iguales.
14
20
21
Las sumas de las diagonales también son iguales.
9) Prueben con varios tríos. ¿Observan alguna relación entre la suma y el trío de nmeros? Si no la observan, prueben con varios grupos hasta que logren descubrirla.
3) Pueden escribir un texto que informe lo que han observado, ¿qué ocurre con las sumas?
En una hoja de calendario, las sumas de las diagonales de un cuadrado de 2 x 2 son iguales. 4) ¿Pueden demostrar el hecho descrito, es decir, garanzar que se cumple para cualquier cuadrado de 2 x 2?
El cuadro, en general, es: x x+7
x+1 x+8
Diagonal 1: x + x + 8 Diagonal 2: x + 7 + x + 1
Sí, porque se mantiene la misma relación de los números por columna y fila. 6) Tomen ahora un cuadrado de 3 x 3 y sumen los nueve nmeros que lo conforman. ¿Tiene esta suma alguna relación con los nmeros sumados?
6 13 20
7 14 21
6 + 13 + 20 = 39
7 + 14 + 21 = 42
10)Escriban aquí lo que han descubierto.
Si se toma el número del centro y se multiplica por tres, se tendr á la suma de dichos números. 11)¿Pueden probar que este hecho se cumple siempre?
Sí, pues los números están en razón aritmética de razón 7, y si se suman los dos extremos y se dividen entre dos, obtienen el del centro. También se puede hacer escribiendo los números como (x - 7), (x) y (x + 7). 12)¿Cómo pueden crear un truco matemágico a parr de esta curiosidad matemáca?
5) ¿Ocurrirá lo mismo con un cuadrado de 3 x 3? ¿Por qué?
5 12 19
Sí, es posible, con el número central voy calculando los números vecinos.
8) Elijan tres nmeros seguidos que estén en la misma columna y smenlos. 5 + 12 + 19 = 36
2) Prueben con otros cuadrados. ¿Ocurre lo mismo? 13
¿Es posible saber cuáles fueron los sumandos?
Suma 117. Si tomamos el número central y lo multiplicamos por 9, obtenemos la suma.
Se puede pedir que sumen tres números en columna y digan la suma. Usamos nuestros poderes mentales y descubrimos de qué números se trata. 13)Si les dieran la suma de cinco nmeros en columna, ¿cómo descubrirían los sumandos?
La suma se divide entre 5 y se obtiene el número central. Se resta 7 y luego 14. A continuación, se suma 7 y después 14. Así se obtienen los otros cuatro.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las ecuaciones lineales con una incógnita, que me sirven para calcular con cantidades desconocidas. Se aplican en el comercio y la industria para planicar y estimar la producción, entre otras operaciones.
Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
MD
He parcipado de forma signicava.
99
Fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
65
14 Textos que esconden números
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que en la vida codiana muchas veces es necesario trabajar con candades desconocidas. Por ejemplo, no sabemos con ancipación el nmero de asistentes al fesval del colegio ni cuántos libros se sacarán el n de semana de la biblioteca escolar. Sin embargo, aunque no conocemos sus valores, se necesita trabajar con estas candades para proyectar recursos, costos, ganancias, etc. CAPACIDAD
Resuelve problemas de traducción simple y compleja que involucran ecuaciones lineales con una incógnita. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Costos jos y variables Operaciones con decimales Fracciones Razones y proporciones
El caso presenta una situación pica en la producción de bienes. Se trata de proponer el nmero de productos que debe vender una empresa para que sus costos de producción se igualen al ingreso obtenido. A esto se conoce como estado de equilibrio. Es importante conocer la candad que da lugar al estado de equilibrio, ya que la empresa obene ganancias a parr de ventas mayores a esa candad. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran modelar situaciones de producción en las que se demanda conocer el punto de equilibrio. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en diferenciar lo que se quiere decir con costo jo y costo variable. En este caso, se propone desarrollar el razonamiento inductivo que oriente al estudiante a reconocer procedimientos de modelación para ingresos y egresos en la producción de bienes. Los estudiantes pueden tener dificul tades para comprender y establecer la correspondencia entre las expresiones literal y matemática de cada una de las relaciones de costo, ingreso, utilidad. Por ello, la actividad guía esta construcción, paso a paso.
Dulces ecuaciones
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Costos jos, costos variables
Descripción de la acvidad
T2
Ecuaciones lineales con una incógnita
Se presenta una situación para modelarla mediante una ecuación lineal. Es un caso referido al costo combinado de tres objetos: un bizcocho, una caja y una bolsa. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran plantear ecuaciones lineales a parr de la información verbal explícita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la idencación de las partes del texto que dan información para modelar la ecuación. También se debe reexionar con los estudiantes, en relación con la importancia de una lectura atenta. En este caso, se propone subrayar los datos relevantes, así como elaborar un organizador de información que asocie la expresión literal y la simbólica, para el posterior planteo de una ecuación. Los estudiantes pueden tener dicultades al traducir una expresión verbal a un enunciado simbólico. Por ello, las preguntas parcularizan la situación consiguiendo que el estudiante logre comprenderla. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada. Además, se proponen otras posibles vías de solución que apelan a modelos grácos, muy les sobre todo para aquellos estudiantes que enen dicultades con los símbolos algebraicos.
MD
100
T3
Calcular para crecer
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
La tarea presenta una acvidad pica en la gesón de la pequeña empresa: la proyección de los recursos para cumplir con determinados pedidos. En este caso, mediante una ecuación, doña Francisca debe proyectar los kilos de café que necesita comprar para abastecer su negocio. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran el planteamiento y la solución de ecuaciones lineales con una incógnita. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en establecer relaciones proporcionales, asignando incógnitas a datos desconocidos. Esto implica formular ecuaciones para poder proyectar, de una manera objeva, el nmero de kilos de café que necesita doña Francisca. En este caso, se propone organizar la información en una tabla que permita establecer las relaciones y las incógnitas. También, plantear y resolver una ecuación, así como aplicar la reducción a la unidad. Los estudiantes pueden tener dicultades al formular la relación de proporcionalidad que da origen a la ecuación que soluciona el problema. Por eso, en la fase tres, se plantean preguntas para guiar el razonamiento de los estudiantes, de manera que logren formular la igualdad. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada. Luego explorarán diversas vías de solución para jar el concepto de reducción a la unidad, que permite resolver muchos problemas de proporcionalidad directa.
Detecves matemácos
Descripción de la acvidad
La tarea comprende una acvidad ldica que combina elementos de lógica con la solución de ecuaciones lineales, aunque la forma de presentarlas puede parecer compleja.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran idencar ecuaciones lineales, presentadas en formas disntas de la canónica ax + b = 0, a ≠ 0.
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
Más allá del problema
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las relaciones lógicas entre los cajones donde se guardan los materiales de las áreas, así como en las formas de presentación de las ecuaciones, que pueden ser reducidas a otras más convencionales. En este caso, se propone razonar con lógica y resolver una ecuación. Los estudiantes pueden tener dicultades al inferir conclusiones a parr de las relaciones lógicas que se dan. Deben idencar la ecuación de inicio, es decir, aquella que da la primera información para poder avanzar en la solución del problema. Esta ecuación de inicio debe relacionar una candad desconocida con alguna que conozcamos. Los estudiantes pueden inventar problemas similares a los aquí planteados.
MD
101
Manual para el docente
14
Text extos os que esconden números
Costos fijos, costos variables El grupo de cumbia La Miel ha ha decidido producir sus propios discos compactos. Los integrantes saben que los gastos jos ascenderán a S/.2000 por mes y que producir cada disco cuesta S/.2. Ellos desean vender la unidad a S/.7.
Lee con atención y contesta: 1) Costo jo: El jo: El costo jo de un producto o servicio generalmente considera el alquiler de l local, consumo de luz, pago de teléfono, etc., es decir, los gastos que de todas maneras deberemos hacer. Estos costos no dependen del nmero de unidades producidas. ¿Cuánto es el costo jo?
S/.2000 por mes.
2) Costo variable unitario: Es lo que cuesta producir una unidad del producto. Es decir, decir, es lo que cuesta producir un disco compacto, donde el costo de producción unitario es
S/.2.
3) Precio unitario de venta: Es venta: Es el precio al cual vamos a vender cada unidad de nuestro producto. ¿Cuál es el precio unitario?
S/.7.
4) Costo total: Es la suma de los costos fijos y variables, que depende de la cantidad producida. Imagina que La Miel produce x discos, discos, en cuyo caso la función fun ción costo total será: C( x x ) =
2000 + 2x
5) Función ingreso: Es ingreso: Es el dinero que ingresa como produ cto de la venta de los arculos. No considera co nsidera la inversión, por lo que es es mejor llamarlo ingreso bruto. En nuestro caso, es I( x ) =
7x
6) Función ulidad: Es la diferencia existente entre el ingreso bruto bru to y el costo total. En nuestro caso, es U( x ) =
5x - 2000
7) Candad de equilibrio: Es equilibrio: Es la candad de un producto que se debe fabricar y vender para no ganar ni perder. perder. Se calcula igualando el costo total con el ingreso bruto; es decir: C( x ). x ) = I( x x ).
400 discos.
Resolviendo esta ecuación, la candad de equilibrio es igual a
8) Reexiona y responde: ¿Cómo representarías la ulidad en relaci ón con el ingreso bruto y el costo total?
U (x) = I (x) - C (x) 9) En las preguntas anteriores has representado algebraicamente. Expresa las funciones planteadas.
C (x) = 2000 + 2x U (x) = 5x - 2000 I (x) = 7x 66
Resolvamos 1
MD
102
Dulces ecuaciones Un bizcocho, envuelto en bolsa de plásco y en caja de cartón, cuesta S/.21. El bizcocho sin bolsa de plásco, pero con caja, cuesta S/.20. Si el bizcocho cuesta 3 veces lo que cuesta la caja, ¿cuánto costará un bizcocho envuelto en bolsa nicamente?
1) ¿Con qué está envuelto el bizcocho?
4) ¿Qué relación hay entre el costo del bizcocho y el costo de la caja?
En bolsa de plástico y en caja de cartón.
El bizcocho cuesta 3 veces la caja.
S/.21
2) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja caja y bolsa?
5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
3) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja caja y sin bolsa?
El precio del bizcocho envuelto solo en bolsa.
S/.20
1) Si la caja caja cuesta x , ¿cuánto cuesta el bizcocho?
1) Si la caja costara S/.4, ¿cuánto costaría el bizcocho? bizcocho?
3x
2) Expresa con símbolos lo que se arma en el problema.
Costaría S/.16. 2) Te dan información de varios precios de objetos que están relacionados. ¿Cómo puedes representar estas relaciones?
El bizcocho
con caja
cuesta
S/.20
3x
+x
=
20 soles
S/.1 4) ¿Cuánto cuesta el bizcocho? S/.15 3) ¿Cuánto cuesta la bolsa?
a) Mediante tanteo. b) Mediante una fórmula.
5) ¿Cuánto cuesta el bizcocho envuelto solo con una bolsa?
Oc) Mediante una ecuación.
S/.16
Se puede comprobar verificando las condiciones del problema.
1) ¿Cómo puedes comprobar comprobar tus resultados? resultados?
2) Observa el siguiente gráco, teniendo en cuenta que el precio del bizcocho es tres tres veces el precio de la caja: Precio del bizcocho
5
Precio de la caja
5
5
5
20
3) ¿Qué opinas de esta estrategia gráca?
Es una buena estrategia, pues permite visualizar la situación.
4) Ahora resuelve el problema mediante una ecuación y por medio de la estrategia gráca, pero imagina que el bizcocho cuesta 4 veces lo que cuesta la caja. Precio del bizcocho
4
4
Precio de la caja
4
4
4
20
20 - x = 4x; x = 4, entonces la caja cuesta S/. 4 y el bizcocho, S/. 16. El bizcocho con bolsa costaría S/. 17. MD
103
Manual para el docente
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Calcular para crecer Doña Francisca sabe que ¼ de un kilo de café molido le rinde para 42 tazas de café pasado. Ella compra café cada quincena para que no se pierda el aroma. Por experiencia, sabe que al día vende un promedio de 60 tazas de café. ¿Para tener abastecido su negocio, cuántos kilos de café debe ella comprar quincenalmente, como mínimo?
1) ¿Qué es lo que hace el personaje del problema?
5) ¿Cuántos kilos de café necesita para preparar 42 tazas?
Vende café pasado.
Necesita ¼ de kilo para hacer 42 tazas.
2) ¿Cuántos días ene una quincena? 15 días. 3) Del enunciado, ¿cuántas tazas de café vende al día?
60 tazas de café al día. 4) ¿Qué quiere decir la oración: “la compra compra quincenal y la venta promedio de 60 tazas de café al día”? Quiere decir que si
conocemos el número de tazas vendidas en una quincena y la dividimos entre 15, el resultado será 60 tazas, que es lo que usualmente ella vende en el negocio.
1) ¿Con ¼ de kg de café, cuántas tazas puede preparar?
6) ¿Al día, cuánto de café necesita, aproximadamente, para cubrir las ventas?
Necesita 5/14 kilos para cubrir sus ventas. 7) ¿Qué es lo que quieres averiguar?
La cantidad de café a comprar quincenalmente.
1) Si en 15 días vende 15 x
900 tazas de café.
42 tazas. 2) Si se duplica la candad de café, café, ¿qué ocurrirá con la candad candad de tazas que puede preparar?
Se duplica la cantidad de tazas y serán 84 tazas.
Hay una relación directamente proporcional. 4) La razón: “kilos de café por taza”, ¿se manene constante?
Sí se mantiene constante, debido a que son directamente proporcionales. ¿Por qué?
1) Para evitar ulizar ulizar fracciones, ¿qué hubieras podido hacer?
Llevar el problema a números enteros utilizando fracciones equivalentes. 2) ¿Puedes resolver el problema con otra estrategia? Explica.
Sí, se puede calcular el requerimiento diario en kilos y multiplicar por 15. 3) Una tabla también hubiese resultado úl. Observa: kg
42 tazas
Resolvamos 1
x
kg
1 taza
1día
15 días
60 tazas
900 tazas
2) Plantea la proporción que te permita permita conocer los kilos de café
3) ¿Qué relación hay entre la candad candad de café y el número de tazas que puede preparar?
68
60 tazas de café, entonces tendrá
que necesitas para preparar 900 tazas.
¼ 42 =
X **
Nota: ** = 900 tazas. 3) Resuelve la ecuación. x = 5,36 kilos, aproximadamente. 4) Aproxima al entero entero superior más próximo y responde. ¿Cuántos kilos de café necesita comprar para mantener abastecido el negocio?
Necesita comprar 6 kilos de café.
En la columna central, se indica cuántos kilos de café se necesitan por taza. Completa: Para un día (60 tazas) necesita kg de café. Luego, para 15 días 5/14 necesitará 75/14 kilos. 4) El método que has ulizado se conoce como "reducción a la unidad". Discute con tus compañeros por qué creen que lleva ese nombre.
Se conoce así porque reducimos la información del requerimiento de café a 1 día.
kg
60 tazas
MD
104
Detectives matemáticos Miguel es muy minucioso y ordenado, por eso archiva todos los materiales de las clases que se dan en su escuela. En cada cajón de su archivador, él guarda lo que corresponde a cada una de las siguientes seis áreas: Arte; Inglés; Matemáca; Comunicación; Historia, Geograa y Economía; y Ciencia, Tecnología y Ambiente. El archivador se muestra en el dibujo:
CTA
Matemática Arte
HGE
Inglés Comunicación
Como se observa, los letreros que idencan a los cajones no están escritos. Para ello, Miguel ha diseñado 5 pistas. Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades y descubran a qué cajón pertenece cada área. Escriban este dato en el rótulo correspondiente. Pistas diseñadas por Miguel: 1) Los materiales de Comunicación están en el cajón cuyo nmero cumple con la siguiente condición: el nmero restado de su triple, dividido entre seis, es igual a la suma de 24 y el doble del nmero, dividido entre 18. ¿Cuál es el nmero?
El número es 6. 2) Los materiales de Arte están en el cajón cuyo nmero es la solución de la ecuación:
60 3x - 3
La solución es:
=
150 7 x -
5
x = 5.
3) Los materiales de Inglés están en la misma columna que los materiales de Comunicación. 4) Los materiales de Matemáca están en la primera la. 5) Los materiales de CTA no están en el cajón cuyo nmero es la solución de la ecuación
25 = x + 1
50 3 x -
¿Cuál es el valor de x ?
x =4
2
Los materiales de CTA tampoco están en el cajón cuyo nmero resulta de reemplazar el valor de x hallado en la expresión ( x + 6) ( x + 1)
Formulen un problema similar, ulizando cinco pistas lógico-matemácas. Las dos prime ras deben ser dos ecuaciones. Cambien A resolver por los estudiantes. sus pistas con las de otros grupos y vean si ellos pueden resolver su problema.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para poder tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales, productivas, cientícas, entre otras.
Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
He colaborado de forma signicava.
Realicé aportes muy relevantes.
MD
105
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
69
15 La función de las funciones
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que las funciones se encuentran en muchos aspectos de la vida diaria. Por ejemplo, a cada persona le corresponde un nico DNI, el precio de una sandía depende de su peso, el empo para llegar a un desno depende de la velocidad del transporte, entre otros. En la vida codiana, las funciones se suelen representar mediante grácos, tablas o en forma verbal, tanto en los periódicos como en otros medios de comunicación. Muchas veces, estas representaciones complementan nocias de interés nacional que debemos saber interpretar para estar correctamente informados. CAPACIDAD
Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: verbal, tablas, grácos, etc. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
Operaciones con racionales Relación de orden en R Plano de coordenadas
La tarea presenta información referida a un conjunto de personas, cuyas caracteríscas proporcionadas son dos: edad y altura. El caso muestra los datos mediante un gráco en el plano de coordenadas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar representaciones discretas de relaciones funcionales. Al desarrollar la tarea, se debe enfazar que el gráco representa una relación existente entre las edades y las alturas de los parcipantes. Es también importante que los estudiantes relacionen la edad con el eje x , así como con la primera coordenada en un punto de la relación. Del mismo modo, la altura está relacionada con la ordenada, es decir, con la segunda coordenada del punto de la relación. En este caso, se propone la lectura analíca para interpretar cada pregunta y poder responder. Los estudiantes pueden tener dicultades al establecer la relación entre la edad y la altura. Resulta a veces complejo para ellos establecer esta relación en un par ordenado.
Crecimiento de dos pequeños osos
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Francisco el encuestador
Descripción de la acvidad
T2
Representación de funciones
La tarea presenta un estudio de nutrición en dos osos con pocas semanas de nacidos, segn el cual se relaciona la candad de alimentos por día con el crecimiento mensual de cada uno de ellos. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran, a partir de la información dada, representar de forma tabular o gráfica el crecimiento de estos animales. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en el reconocimiento de la relación establecida entre el nmero de veces que a los dos osos se les alimenta al día y el incremento mensual de la altura de ambos. A partir de ello, los estudiantes podrán lograr diversas representaciones del crecimiento de los osos. En este caso, se proponen la representación tabular y la gráca, a parr de las cuales se podrán responder los cuesonamientos formulados. Los estudiantes pueden tener dicultades para evaluar la forma más conveniente de registrar los datos del crecimiento mensual de los osos. Para ello, es posible organizar la información en una tabla o en un gráco. Los estudiantes identificarán las estrategias utilizadas para resolver la situación problemática. También se plantea un nuevo caso de alimentación, a fin de que puedan ampliar lo aprendido. Además, los estudiantes pueden inventar situaciones similares a la presentada en esta actividad.
MD
106
T3
Los depósitos de agua
Descripción de la acvidad
La tarea presenta la forma como dos depósitos A y B funcionan: a medida que A se llena, B se vacía, lo que se representa en la gráca. En este caso, hay que determinar las velocidades de entrada y salida, así como el momento en que ambos recipientes enen igual candad de agua.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar los datos proporcionados por un gráco, así como la capacidad de ulizar esta información para responder a las preguntas formuladas.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la interpretación de la pendiente de las rectas mostradas que representan la forma como se llenan o vacían los dos recipientes. También es importante que el estudiante enenda lo que representa el punto de corte de las dos rectas.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se propone analizar la gráfica. Es importante indicar a los estudiantes que no basta con determinar la velocidad de entrada y salida, sino que también se debe analizar cada caso planteado, a fin de que se cumpla con la intencionalidad de la actividad.
Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Los estudiantes pueden tener dicultades al realizar los cálculos para determinar la velocidad de entrada y salida del agua en los depósitos, así como al desarrollar su interpretación posterior. Los estudiantes deberán reexionar acerca del uso de la estrategia ulizada en este problema para poder aplicarla en situaciones similares.
Bicicleteadas funcionales
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
La tarea presenta las representaciones verbales de cuatro funciones que de scriben el recorrido de cuatro corredoras de bicicleta. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran interpretar, a parr de un texto connuo, elementos relevantes para establecer un gráco funcional que representa la situación. Al desarrollar la tarea, enfazar la lectura analíca de los enunciados y explicar cómo, al separar porciones de texto, podemos trabajar por tramos para gracar cada una de las funciones. En este caso, se propone la lectura analíca y la división en subproblemas.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al extraer información de los textos y traducirla a un gráco cartesiano. Es conveniente que, luego de que se haya trabajado con toda la clase, se repasen estos grácos a la luz de los enunciados y se recalquen los puntos crícos.
Más allá del problema
Es posible realizar expresiones similares acerca de diversas situaciones codianas. El docente, como parte de la invesgación, puede encargar a los estudiantes que inventen una situación similar a la mostrada y que la traigan para trabajarla en clase.
MD
107
Manual para el docente
La función de las funciones
15
Francisco el encuestador Francisco ha aplicado una encuesta a sus primos, con el n de saber sus respecvas estaturas y edades. Con los datos recogidos, construye la gráca mostrada.
Altura José Luis
Laura
Lucas Rosa Edad
1) ¿Quién es el más alto?
El más alto es José.
2) ¿Quién es el más bajo?
Rosa es la más baja.
3) ¿Quiénes enen la misma estatura?
Laura y Luis.
4) ¿Quién es el mayor?
El mayor es Lucas.
5) ¿Quién es el menor?
Las menores son Rosa y Laura.
6) ¿Quiénes enen la misma edad?
Rosa y Laura. Rosa, Lucas, Luis o Laura y José. Rosa o Laura, José, Luis y Lucas.
7) Ordénalos de menor a mayor, segn su estatura. 8) Ordénalos de menor a mayor, segn su edad.
9) Reexiona y responde: ¿Te fue necesario conocer exactamente la estatura y la edad de cada uno de los primos de Francisco?
Si tengo el gráfico, no es necesario. 10) El primo Julián no fue entrevistado el día que Francisco hizo el gráco; pero se sabe que es más alto que Lucas y más bajo que Laura. Además, ene la misma edad que Rosa. ¿En qué lugar colocarías el punto que representa a Julián? ¿Es el nico lugar?
Altura José Laura
El punto que representa al primo Julián se puede mover en la recta indicada por la flecha.
Luis
Lucas Rosa Edad
70
Resolvamos 1
MD
108
Crecimiento de dos pequeños osos Ciertos estudios de nutrición en osos con pocas semanas de nacidos concluyen que: (i) si el pequeño oso come 3 veces al día, crecerá 5 cm al mes; (ii) si come 2 veces al día, crecerá 3 cm al mes; y (iii) si come solo una vez al día, crecerá apenas 1,5 cm al mes. Supón que al inicio del mes de enero, dos pequeños osos, Antojo y Bolita, miden 48 y 52 cm, respecvamente, y se les alimentó de esta manera: Antojo: 2 veces al día en enero y febrero, 3 veces al día en marzo y abril. Bolita: 3 veces al día en enero, 2 veces al día en febrero y 1 vez al día en marzo y abril. ¿Cuánto medirán a nes de abril? ¿En qué mes, en algn momento, alcanzarán la misma altura?
1) ¿De qué trata el problema?
Del crecimiento de los osos pequeños, en relación con el tipo de alimentación que reciben. Las medidas iniciales y el número de centímetros que crecen por mes.
2) ¿Qué datos idencas en el problema? 3) ¿Qué te solicita el problema?
La estatura de dos pequeños osos al final del mes de abril.
1) Necesitas especicar lo que crece cada oso en cada mes, ¿qué estrategia te conviene aplicar?
Conviene hacer una tabla.
2) Respecto al crecimiento de los osos, completa la siguiente tabla, indican do los datos en cenmetros: Osos
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Antojo
3 cm 5 cm
3 cm 3 cm
5 cm 1,5 cm
5 cm 1,5 cm
Bolita
1) Elabora un gráco en la cuadrícula de la derecha, donde registrarás lo que mide cada oso en los meses indicados, considerando en el eje horizontal los meses y en e l vercal la medida (cm) de los osos.
Altura 70 (cm)
2) En la tabla, se quiere indicar lo que mide cada oso al nal de cada mes. Completa
50
Osos
Inicio
Enero
Febrero
Marzo
Abril
Antojo
48 cm 52 cm
54 cm 60 cm
59 cm
Bolita
51 cm 57 cm
64 cm 63 cm
61,5 cm
60
40
3) ¿Cuánto medirán Antojo y Bolita a nes de abril?
0 Ini
Ene
Feb
Mar
Medirán 64 y 63 cm, respectivamente.
Abr
Meses
4) ¿En qué mes, en algn momento, han alcanzado la misma altura?
En el mes de abril.
1) ¿Qué estrategias te han sido les para resolver las preguntas propuestas?
Hacer una tabla y graficar.
2) ¿Cuánto hubiera medido el oso más pequeño si se le hubie ra alimentado 3 veces al día, de inicios de enero a nes de abril?
El más pequeño, Antojo, mediría 48 + 5 + 5 + 5 + 5 = 68 cm. MD
109
Manual para el docente
71
Los depósitos de agua Dos depósitos de agua A y B funcionan de la siguiente forma: a medida que A se va llenando, B se va vaciando, lo cual se muestra en la gráca. a) ¿Cuál es la velocidad de entrada y salida del agua? b) ¿En qué momento A y B enen la misma candad de agua?
Volumen 175 (l) 150 125 100 75 50 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tiempo (min)
1) ¿Qué candades se representan en los ejes de coordenadas? En el eje horizontal se representa En el eje vercal se representa el
el tiempo en minutos. volumen en litros.
2) ¿Cuál de las grácas corresponde al recipiente que se va llenando?
La línea de color rojo, porque empieza en el origen y representa un incremento del volumen 3) ¿Qué deduces al observar la gráca del otro recipiente?
Al inicio, cuando t = 0, contiene 150 litros, y conforme pasa el tiempo, el contenido disminuye. Su gráfica es la línea azul.
1) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema? a) Buscar regularidades. b) Calcular directamente. c) Ulizar la gráca. 2) Describe de qué manera varía el contenido en cada recipiente.
En A el contenido aumenta de modo uniforme y en B disminuye también de modo uniforme, lo que es característico de las gráficas lineales. 3) ¿Cómo calcularías las velocidades de entrada o salida del agua en los recipientes?
Hallar la velocidad de entrada y salida del agua. Tambien el momento en el que los depósitos tienen la misma cantidad de agua.
Para el recipiente A basta con dividir el volumen de agua que ingresó entre el tiempo transcurrido; de modo similar para el recipiente B, basta con dividir el volumen de agua que salió entre el tiempo transcurrido.
1) Comienza por lo más fácil, ¿a los cuántos minutos termina el proceso de vaciado de B? A los 7,5 minutos.
1) ¿Qué hiciste para determinar el instante en el cual ambos recipientes enen igual candad?
4) ¿Qué te solicita el problema?
Ubicar el punto en que se cruzan ambas gráficas y ver su posición en el eje referido al tiempo.
2) Calcula la velocidad de salida del agua del recipiente B.
150 / 7,5 = 20 litros por minuto. 3) Calcula la velocidad de entrada del agua al recipiente A.
A los 5 minutos, se llenan 50 litros; luego la velocidad es 50 / 5 = 10 litros por minuto. 4) ¿En qué momento A y B enen igual candad de agua?
Observando el gráfico, es el instante en el que las dos líneas se cruzan, lo que sucede a los 5 minutos. En ese instante, ambos tienen 50 litros.
2) En el instante en que B queda vacío, ¿qué candad de agua ene A?
A los 7,5 minutos, A tiene 75 litros. 3) ¿Al cabo de qué empo B conene la mitad de su capacidad inicial?
A los 3,75 minutos.
5) ¿Qué candad de agua conene cada recipiente a los 5 minutos?
En A, al transcurrir 5 minutos hay 10(5) = 50 litros. En B, al transcurrir 5 minutos hay 150 – 20(5) = 50 litros. 72
Resolvamos 1
MD
110
Bicicleteadas funcionales El locutor de la comunidad de Tambopata está está narrando la competencia entre cuatro parcipantes por el premio al mejor ciclista ecológico, en una carrera de 6 km. Al nalizar la conenda, el locutor comenta: • Aurora salió rápidamente situándose primera; pero, a medida que iba pasando el empo, su velocidad fue disminuyendo y llegó tercera a la meta. • Maite siempre mantuvo una velocidad constante, lo que le permió llegar segunda. • Raisa no empezó muy bien; pero, poco a poco, aumentó su velocidad, de tal forma que se adelantó a todas sus contrincantes. • Sonia fue rápida en la salida; pero cuando intentaba ponerse primera, tropezó y se cayó. Después de levantarse, connuó, aunque con dicultad. A mitad de la carrera, el dolor le impidió seguir y se reró. Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades y hagan una gráca que represente las carreras de las cuatro ciclistas. 1) ¿Cuántas grácas lineales tendrán que hacer?
8) Realicen la gráca para cada una de las compedoras, en el siguiente plano de coordenad coordenadas. as.
4 gráficas lineales. 2) ¿Qué va a relacionar cada gráca?
Distancia recorrida (km)
Cada gráfica va a relacionar distancia/tiempo. distancia/tiempo.
Aurora 6
3) ¿Al inicio, cuánto es lo que ha recorrido cada ciclista?
Maite
Al inicio no han hecho ningún recorrido. recorrido.
Raisa
4) ¿Al nal, cuánto habrá recorrido cada una?
3
Sonia se reró
Cada una habrá recorrido 6 km. 5) ¿Creen que es una buena estrategia dividir la carrera en tramos? Expliquen.
Tiempo (min)
9) ¿Cómo se presentan estas posiciones en el gráco?
Sí, porque permite graficar cada tramo a partir de una parte de la información. 6) ¿En cuántos tramos dividirías la carrera? Fundamenten su respuesta.
Respuesta a criterio del estudiante.
Los puntos finales del extremo derecho de cada gráfico muestran la posición final de cada competidora. 10)¿Cuáles fueron las posiciones nales?
1.a Raisa, 2.a Maite y 3. a Aurora. Sonia se retiró.
7) En el primer tramo, ¿quién iba primero?
11)¿Esta es la nica respuesta posible? ¿Por qué? Expliquen.
No, porque se pueden utilizar diferentes velocidades (diferentes inclinaciones); diferentes tramos para cambio de velocidad.
Aurora iba en primer lugar.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la dependencia funcional. Esta es útil para estudiar situaciones de cambio; por ejemplo: la población del Perú cambia con el tiempo, la ganancia de un comerciante varía dependiendo de sus ventas en el día, mis notas suben o bajan según el esfuerzo que ponga en mis estudios, entre otras circunstancias.
Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
MD
111
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
Manual para el docente
73
16 Números en todas partes
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con los estudiantes que a la matemáca se le conoce como la ciencia de los patrones. Los matemácos profesiona les tratan de encontrar estos patrones tanto en la naturaleza como en el comportamiento social y en la acvidad económica. Los médicos, al observar a un paciente, recurren a patrones de síntomas para hacer el diagnósco; los agentes de seguros, al invesgar un robo, emplean patrones de comportamiento para detectar a los menrosos; etc. Es posible, entonces, realizar predicciones sobre la base de patrones numéricos, pues ene estructuras sólidas que garanzan la validez de la predicción. CAPACIDAD
Resuelve problemas que requieren el uso de patrones. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES
T1
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Operaciones aritmécas Patrones numéricos Propiedades geométricas
Planeando las vacaciones
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas Posibles dicultades
T2
Principio adivo Principio mulplicav mulplicavo o
La tarea presenta un problema en el que se requiere analizar la forma como padre e hijo planican los gastos que van a efectuar durante el periodo de vacaciones. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades de resolución que involucren analizar situaciones problemácas, reconociendo similitudes o diferencias. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que los estudiantes logren comprender la diferencia entre magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales. Al elaborar sus respuestas, el estudiante debe estar atento a la relación existente entre las candades de la primera y segunda la de cada caso. En este caso, se propone organizar la distribución de los gastos diarios en una tabla e idencar un patrón que permita la generalización de los gastos por día. Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar la regularidad entre los elementos de las tablas en cada caso. Hay que ayudarlos a hacerlo correctamente.
Ponte pilas con las pilas
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
La situación presenta un problema de disposición de huairuros mediante ciertas reglas. Es claro que, al dividir ulizando repedamente repedamente un conjunto de reglas, las disposiciones nales se pueden hallar por medio de un patrón general. La tarea será encontrarlo. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que involucren tanto la identificación de patrones como su verbalización y generalización, que permitan responder a una situación más compleja, pero relacionada con la situación inicial.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe enfazar la comprensión de las reglas segn las cuales se movilizan los huairuros. Hay que hacer los experimentos con algunos casos parculares.
Estrategias heuríscas propuestas
En esta ocasión, se propone parcularizar (estrategia muy l para comprender el problema), ya que así uno puede experimentar concretamente lo que se nos dice en forma general. Así, es posible extrapolar el conocimiento parcular a la situación general dada. En otras palabras, palab ras, para familiarizarse con la estructura de una situación problemáca, se recomienda recomiend a experimentar con ella mediante casos parculares. Es una
Posibles dicultades En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
Resolvamos 1
Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar la regla general de disposición nal de los huairuros. El docente debe desarrollar las preguntas de la tercera fase con cuidado, monitoreando este proceso. Los estudiantes deberán reexionar acerca de la experimentación inicial y sobre cómo se registran los datos para poder idencar el patrón. Los estudiantes más avanzados pueden simbolizar la regla, haciendo uso del álgebra.
MD
112
T3
Dulces amigos
Descripción de la acvidad
La tarea presenta un caso del ámbito comercial que involucra operaciones aritmécas, el cual puede ser resuelto mediante patrones numéricos.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de problemas que involucren cálculos aritmécos no runarios, mediante patrones.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la relación que se construye, a parr del enunciado, es entre dos variables, donde no se conoce la candad que representa ninguna de ellas. Por eso, se asignarán valores a una para calcular el valor de la otra. Debe recalcarse que los pares de valores que dan solución a la relación deben ser enteros.
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
En este caso, se propone elaborar una tabla con todas las posibilidades de compra que cumplan con las condiciones del problema y que permitan idencar un patrón. Los estudiantes pueden tener dicultades al hallar por tanteo el primer par de soluciones. Este primer tanteo lo deben hacer de manera reexiva, pues, de lo contrario, pasarán demasiado empo buscando una solución. También suele ser dicil comprender que las soluciones formen una secuencia numérica. Observándolas se descubre el patrón de formación de cada una de ellas. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y, luego, explorar diversas vías de solución. Para los más avanzados, se pueden proponer tareas, como invesgar el modo en que se resuelven ecuaciones con soluciones enteras del po ax + by = c . La situación presentada puede ser modelada mediante una de ellas, a las cuales se les conoce con el nombre de "ecuaciones diofáncas", en honor al gran matemáco Diofanto de Alejandría.
La matemáca de los rumores
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
La tarea presenta un modelo matemáco con el que se propagan los rumores. Es una situación relacionada con los patrones mulplicavos y con las progresiones geométricas. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen desplieg uen sus habilidades habilidade s para resolver resolver situaciones situacio nes mediante patrones numéricos adivos y mulplicavo mulplicavos. s. Al desarrollar la tarea, se debe resaltar el crecimiento del nmero de personas que conocen el rumor. También es importante visualizar que este nmero se incrementa en una razón que ene que ver con el empo transcurrido. Es decir, se puede armar que el nmero de personas que conocen un rumor está en función del empo. Encontrar esta relación de manera explícita es parte de la tarea de exploración. En este caso, se propone elaborar una tabla para organizar la información y, con los datos que ella proporciona, idencar el patrón numérico.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar el patrón porque realizan directamente los cálculos en los primeros niveles y no dejan indicadas las operaciones. Si los estudiantes operan, pierden la pista de lo que está ocurriendo y no pueden relacionar el nmero de personas que conocen el rumor con el empo transcurrido. También les es dicil generalizar el patrón a un empo t .
Más allá del problema
Este modelo puede ser explorado desde mlples perspecvas. Los estudiantes más avanzados pueden invesgar situaciones sociales en las que se presenta este crecimiento geométrico. En algunas estafas nancieras nancie ras se ha ulizado este patrón, al que se le conoce como "la estafa piramidal".
MD
113
Manual para el docente
Números en todas partes
16
Planeando las vacaciones La familia de Federico planea su viaje de vacaciones. Él observa cómo sus padres hacen cuentas, consultan precios y calculan cuántos días pueden disfrutar del paseo. A Federico sus abuelos le regalaron dinero que guarda para este momento. Como siempre ha sido un chico muy organizado, considera que va a gastar cada día la misma candad de dinero; pero esta depende de los días que van a durar las vacaciones. En la tabla siguiente se ven algunos cálculos que hizo Federico, considerando disntas posibilidades.
Candad de días
10
5
20
8
16
Gasto diario posible en S/.
4
8
2
5
2,5
1) ¿Observas alguna regularidad? Explícala.
4) Puedes decir ¿cuánto piensa gastar Jorge por día?
Sí, el producto de cantidad de días por gasto diario es el mismo. 2) Con estos datos, ¿podrías decir cuánto dinero le regalaron?
Sí, S/.40.
Piensa gastar S/.60 diarios. 5) ¿Observas alguna regularidad? Descríbela.
Sí, el cociente del gasto total y la cantidad de días es el mismo. 6) ¿Puedes añadir otros valores a la tabla?
3) Agrega algunos valores más a la tabla, que mantengan la regularidad que observaste.
Candad de días Gasto total
Candad de días
10
5
20
8
Gasto posible diario S/.
4
8
2
5
40 2,5 1 16
4 10
Gasto total
74
Resolvamos 1
5
7
14
10
12
300
420
840
600
720
7
14
10
12
20
30
300
420
840
600
720
1200
1800
7) Reexiona sobre los cálculos de Federico y su padre. ¿Observas similitudes entre ambas tablas?
Jorge, el papá de Federico, también hace cuentas. Él considera que la familia debe gastar cada día una suma ja. Algunas de sus cuentas se ven en la tabla. Candad de días
5
En la primera el producto es constante y en la segunda el cociente es constante. 8) En Matemáca se estudia la proporcionalidad, ¿a qué po pertenecen las regularidades analizadas?
A la proporcionalidad inversa y directa, respectivamente. MD
114
Ponte pilas con las pilas Imagina que enes una pila de huairuros frente a . La divides en mitades y colocas cada mitad en dos montoncitos, uno a la derecha y otro a la izquierda. Si hay un nmero impar en la pila original, deja un huairuro en el medio. El proceso de división se repite en cada una de las nuevas pilas. Por ejemplo, con 5 huairuros se ene: Observa que, en el paso 2, los tres huairuros se dividieron en la misma forma que los cinco huairuros iniciales. Después de tres pasos, has logrado tener cinco pilas con un huairuro en cada una y ya no puedes seguir dividiendo. ¿Cuántos pasos se necesitan para llegar a un nal similar empezando con 30 huairuros?
1) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su nmero es par?
Se divide la pila en mitades y se pone una mitad en una pila a la derecha y otra a la izquierda. 2) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su nmero es impar?
4) ¿A que se llama un “paso”?
Se llama un paso a cada etapa de división de los huairuros. 5) ¿Por qué hay 3 huairuros en el grupo central en el paso 2? Explica cómo obenes tres huairuros.
Porque del paso 1 pasa el huairuro central y de cada extremo se agrega un huairuro, en total tres.
Se procede igual que en el caso anterior y el huairuro sobrante se coloca al centro.
6) ¿Qué es lo que te piden en el problema?
3) ¿Por qué el juego termina en el paso 3?
Porque todos los números son menores que 2 y ya no se pueden dividir.
1) ¿Es conveniente hacer todo el proceso empezando desde 30? No es conveniente, el proceso sería muy extenso. 2) ¿Cómo se desarrollaría el proceso si ulizáramos 6, 7, 8, 9 o 10 huairuros? Se realizarían 7, 7, 12, 12 o 18 pasos,
Determinar el número de pasos empezando con 30 huairuros.
3) ¿Crees que existe alguna relación entre el nmero de huairuros iniciales y el nmero de pasos?
Es posible, pues el juego tiene una estructura.
respectivamente.
Consigue 10 semillas y uliza un tablero cuadriculado para experimentar.
4) Registra tus hallazgos en una tabla. N.° huairuros
1) Experimenta con 2 huairuros.
N.° pasos
Con 2 huairuros se obtiene 1 paso.
2 1
3 1
4 3
5 3
6 7
7 7
8 9 10 11 11 11 15 15
Sí. Descríbelo. Cada dos números consecutivos los pasos aumentan en una razón igual a 4, a partir de 4 y 5 huairuros.
5) ¿Puedes visualizar algn patrón?
2) Experimenta con 3 huairuros.
Con 3 huairuros se obtiene, también, 1 paso. 3) Experimenta con otras candades de huairuros.
6) ¿Cuántos pasos demoras en llegar a una “la de unos” si empiezas con 30 huairuros? Se demora 55 pasos.
A realizar por los estudiantes.
Sí, porque se pudo establecer un patrón. 2) ¿Cómo organizaste los datos encontrados? Se organizaron en una tabla para poder analizar mejor la información. 1) ¿Fue más conveniente experimentar con problemas más sencillos? ¿Por qué?
3) ¿Puedes hallar una regla general para saber en cuántos pasos terminarás si conoces el nmero de pilas? Exprésalo.
n 4; si el número es par:
4 (n/2) - 5 = 2n - 5; si
el número es impar: MD
115
4(n-1)/2 - 5 = 2n - 7
Manual para el docente
75
Dulces amigos Mario está jugando con cuatro amigos y deciden comprar chocolates. Entre todos renen S/.8 y acuerdan que él vaya a comprar los chocolates a la bodega del barrio. Para reparrlos fácilmente se le pide que el nmero de chocolates que compre sea mlplo de 5. Además, debe gastar todo el dinero reunido. El niño acepta el encargo, pero en la bodega encuentra que solo hay chocolates de 50 y 30 cénmos. ¿Cuál es el nmero de chocolates que debe comprar Mario?
1) ¿Quiénes parcipan en la historia?
3) ¿Qué otra condición debe cumplir Mario al comprar?
Mario y sus cuatro amigos.
Debe gastar los S/.8 reunidos.
2) ¿Qué candades de chocolates podría comprar Mario?
4) ¿Qué es lo que se desea averiguar?
El número de chocolates que Mario comprará.
5, 10, 15, 20, …
1) Completa segn corresponda:
3) Escribe la ecuación que relacione las incógnitas.
no Las candades de compra se conocen, pero podemos asumir que las conocemos. Para ello, reemplazaremos a cada candad mediante una letra ; por ejemplo, x e y . 2) Dene las incógnitas. x : y :
Número de chocolates de 50 céntimos Número de chocolates de 30 céntimos
N.° chocolates de S/. 0,30 (y ) ¿Es posible esta compra? Total de chocolates
0
1
2
3
4
26,6
25
23,3
21,6
20
No
Sí
No
No
Sí
26
24
4) ¿Cuántas incógnitas ene esta ecuación?
Tiene dos incógnitas. 5) ¿Si le das un valor a una de las incógnitas, se puede hallar la otra? Explica. Si doy un valor a una de las incógnitas,
queda una ecuación de primer grado con 1 variable y es posible hallar la solución.
1) Haremos una lista organizada de todas las posibilidades. Para ello, completa la tabla segn corresponda: N.° chocolates de S/. 0,50 ( x )
50x + 30y = 800 o 5x + 3y = 8
5
6
3) Llena la tabla de soluciones usando el patrón encontrado.
7
15 No
No
Sí 22
2) ¿Observas algn patrón para organizar la bsqueda de soluciones? Las soluciones para x aumentan de tres en tres
N.° chocolates de S/. 0.50 ( x )
1
4
7
10
13
16
N.° chocolates de S/. 0.30 (y )
25
20
15
10
5
0
Total de chocolates
26
24
22
20
18
16
4) ¿Cuántos chocolates debe comprar Mario?
Como el número debe ser múltiplo de cinco, debe comprar 20 chocolates, 10 de 30 céntimos y 10 de 50 céntimos.
desde 1. Las soluciones para y bajan de 5 en 5, desde 25.
1) Si no le hubiesen pedido a Mario un nmero de chocolates mlplo de cinco, ¿habría una sola respuesta?
Habría varias respuestas. Por ejemplo, 4 chocolates de 50 céntimos y 20 chocolates de 30 céntimos. 2) Describe la estrategia empleada que te permió llegar a la respuesta. A resolver por el estudiante. 76
Resolvamos 1
MD
3) ¿Es posible comprar exactamente 25 chocolates y gastar todo el dinero? No es posible. 4) ¿Las razones de cada secuencia de soluciones están relacionadas con algunos nmeros de la ecuación? Sí . ¿Con cuáles? Las razones son 3 y 5, que son los
coeficientes de la ecuación. 116
La matemática de los rumores ¿Se han puesto a pensar cómo se difunden tan rápido los rumores? Hoy en día, gracias a la Internet, un rumor puede ser conocido por muchas personas en breves minutos. Anguamente, no era así; pero igual la velocidad con la que un rumor se propaga de boca en boca es algo digno de estudiarse. Imaginen que un forastero llega a la población de Quirubamba que ene 3 450 000 habitantes. Este forastero trae una nocia impactante para el pueblo. En la posada, él se la dice a tres lugareños, quienes se van y la cuentan a otros tres pobladores cada uno. A su vez, las nuevas personas que conocen el rumor lo cuentan cada cual a otras tres nuevas personas y así, sucesivamente. ¿Después de cuánto empo todo el pueblo sabrá la nocia? Consideren que se demoran 8 minutos en contársela a las nuevas personas y que ninguno cuenta la nocia dos veces. Con tus compañeros, respondan las sigui entes preguntas y resuelvan el problema: 1) Hagan un diagrama de árbol para representar cómo se 3) ¿Cuántas personas, en total, conocen la nocia después de exende la nocia: 24 minutos?
40 personas conocen la noticia.
1 1
1
4) ¿Cuántas personas conocen la nocia en 1 hora?
1
29 524 personas conocen la noticia.
1 1
1
5) ¿Cuánto empo demorarán en conocer la nocia todos los habitantes del pueblo?
1 1
Demorarán un poco más de 104 minutos, pero menos de 112 minutos (no se calcula con exactitud porque se requiere conocer logaritmos, solo nos basamos en una extensión).
1 1
1 1
2) Completen la tabla adjunta.
6) ¿Qué opinan de este po de crecimiento? ¿Es rápido o lento?
Vez que se cuenta la nocia
Tiempo transcurrido (minutos)
N.° de nuevas personas que conocen la nocia
N.° total de personas que conocen la nocia
0
0
1
1
1
8 16 24 32 40 48 52 56 60 64
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 13 40 121 364 1093 3280 9841 29 524 88 573
2 3
4 5 6 7
8 9
10
Este crecimiento es muy rápido.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con patrones. Estos se aplican para descubrir leyes y fórmulas, así como para crear modelos y realizar conteos sin necesidad de ponerse a contar.
Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy interesantes.
Interesantes.
MD
117
Poco interesantes.
Nada interesantes.
Manual para el docente
77
17 Funciones que muestran cambios
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que a su alrededor existen muchas funciones, pero que no las visualizamos. Se les puede solicitar que propongan algunos ejemplos en los que dos magnitudes estén relacionadas. Por ejemplo, el precio del galón de gasolina y el año de su medición, la velocidad de un ciclista y la distancia que recorre, las calorías que ingiere diariamente una persona y su peso, las ganancias de la panadería y el nmero de panes que vende, entre otras. Estas relaciones se pueden presentar de varias maneras: a través de un gráco cartesiano, una tabla de valores, en forma verbal o con una fórmula. En esta acvidad, se estudian las diversas representaciones de las funciones y cómo ellas nos ayudan a comprender mejor el mundo en que vivimos. CAPACIDAD
Representa de diversas formas la dependencia funcional entre variables: esquemas, tablas, grácos, etc. CONOCIMIENTO PRINCIPAL
T1
Funciones
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Plano de coordenadas Pendiente Cálculo con decimales Proporcionalidad directa
El El bebecrece bebecrece
Descripción de la acvidad
La tarea presenta una función en forma gráca que modela el peso de un recién nacido, dependiendo del empo de vida del bebé.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas en los que se requiere la lectura de grácos de funciones que modelan un fenómeno de la realidad y su interpretación críca.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las escalas ulizadas, así como en las medidas elegidas para cada eje. Es importante reconocer que cada par ordenado nos da una información respecto del bebé. En este caso, la abscisa representa el nmero de días desde el nacimiento y la ordenada representa la variación del peso en kg.
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
T2
Los estudiantes pueden tener dicultades al interpretar la ordenada del gráco, pues para muchos de ellos estos datos representan el peso del bebé y no la variación de su peso. Para hacerles comprender, se puede preguntar sobre lo que signica una variación de 4 kg en el peso de un bebé (por ejemplo: ¿signica esto que pesa 4 kg?). También se pueden dar los pesos inicial y nal, con el n de que los estudiantes idenquen la variación en el peso.
El tamaño ideal
Descripción de la acvidad Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
Estrategias heuríscas propuestas
Resolvamos 1
Se propone descomponer el problema en partes mediante el análisis y la interpretación críca del gráco de la función, a parr de las preguntas que deberán ser respondidas por los estudiantes.
La tarea presenta la modelación de un fenómeno antropométrico. En este caso, representa una función en forma de símbolos que relacionan la altura de una persona con su peso ideal. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas en los que se requiere analizar un fenómeno real, a parr de la representación simbólica de la función que lo modela. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que la fórmula brindada es una que se ha generado a parr del cálculo con muchas personas, es decir, no es exacta. Si bien la mayoría se inscribe en ella, existen algunos individuos que se salen de esta regla. También es oportuno señalar que resulta innecesario hacer el cálculo con medidas extremas, las de un gigante o un enano, por ejemplo, pues no son representavas. En este caso, se propone elaborar una recta en la que se ubiquen las alturas mínima y máxima, dividir el intervalo en una candad discreta de tramos y aplicar la fórmula para el cálculo de los pesos correspondientes con estos datos.
MD
118
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
Los estudiantes pueden tener dicultades al calcular con decimales y al despejar la variable necesaria para cada caso. La expresión presentada no solo sirve para hallar el peso en términos de la altura, sino también para dar la altura en función del peso. Para hacerlo, solo se debe despejar E de la fórmula. Matemácamente, estas dos funciones están relacionadas, pues una es la inversa de la otra. Errores picos se reeren a no saber cuál de las variables está representada por x y cuál por y . Esto se debe a que, en la mayoría de casos, se trabajan con esas dos letras, que casi nunca se ulizan en los modelos reales. Por ello, es recomendable que el docente trabaje con graas que se asocien a lo que representan rápidamente. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada. También se exploran otras representaciones de la función, como la recta que se genera en el gráco cartesiano. Cabe explicar aquí las relaciones existentes entre la recta dibujada y la función, donde la primera es la gráca de la segunda. Por otro lado, la expresión P = 90E - 86 es la regla de correspondencia, el nmero 90 es coeciente de variación, pero también a es la pendiente de la recta que es la gráca de la función. Es incorrecto decir que 90 es su pendiente, pues una función lineal no ene medida de inclinación, sino coeciente de variación.
La pista de carreras
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
El caso reere la representación gráca de una carrera de autos, donde las variables que se presentan no son las convencionales. Sin embargo, el gráco puede ser ulizado para extraer ciertas conclusiones acerca de la mencionada carrera. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desarrollen sus habilidades para la resolución de situaciones problemácas, realizando inferencias a parr del gráco cartesiano de una función que modela una acvidad real.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en las variables que están involucradas, a saber: la velocidad del auto en la segunda vuelta y la distancia recorrida en metros. Hay que esmular a que el estudiante se imagine la carrera y se pregunte por qué baja la velocidad en algn punto, ¿lo hace en un tramo recto o lo hace cuando gira?
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se propone descomponer la situación en subproblemas con las preguntas planteadas, a n de que los estudiantes al responder comprendan el enunciado del problema y se facilite la interpretación del gráco.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar los tramos o dónde comienza la carrera. El hecho de que la información esté referida a la segunda vuelta, ¿inuye en algo? A algunos estudiantes se les hace dicil la interpretación del problema. Otra dicultad es que las variables no son las picas que relacionan velocidad con empo. Un error generalizado es considerar que la pista de carrera ene la forma del gráco. Esto ocurre al no interpretar correctamente las variables que intervienen.
En la sección
Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada. Para los más avanzados, se pueden proponer tareas de invesgación como, por ejemplo, realizar un gráco a parr de datos reales.
Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Declarando los impuestos
Descripción de la acvidad
Se presenta el caso de dos trabajadores independientes que desean calcular el impuesto a la renta que les corresponde pagar este año, lo que se debe efectuar segn las normas establecidas en la tarea.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades de resolución de problemas que impliquen interpretar correctamente la información del enunciado, así como de resolver situaciones problemácas de po comercial. Asimismo, se espera que puedan representar grácamente un conjunto de datos.
¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en idencar la información relevante del enunciado y en los cálculos numéricos que son demandados en la acvidad. En este caso, se propone descomponer el problema en partes y elaborar una tabla para responder a cada uno de los cuesonamientos presentados.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al completar la tabla y al reconocer lo que se debe hacer segn la candad de ingresos sea menor o mayor a 156 000. En otro momento, pueden encontrar dicultades en la elaboración de la gráca.
Más allá del problema
Los estudiantes deberán efectuar un razonamiento regresivo, con el n de establecer, a parr del impuesto, el monto respecvo. Para aquellos estudiantes más avanzados, se les puede pedir que creen casos semejantes.
MD
119
Manual para el docente
Funciones que muestran cambios
17 El bebecrece
Aunque pueda parecerte extraño, los médicos también ulizan la matemáca. Las historias clínicas, muchas veces, conenen grácos, tablas, nmeros y fórmulas que brindan información al especialista acerca de nuestros indicadores vitales. Aquí te mostramos la gráca correspondiente a un bebé que ene un crecimiento normal en un periodo de 30 días y que al nacer pesó 3300 g.
Peso (g)
+100 -100
P 10
20
30
Tiempo (días)
1) ¿Qué magnitudes se relacionan en el gráco?
6) ¿Cuántos días pesó el bebé menos de 3300 g?
Las magnitudes son tiempo (en días) y variación de peso (en gramos).
El bebé peso menos de 3300 g durante seis días. 7) Indica el aumento de peso durante la segunda y tercera decena de días.
2) ¿Cuánto pesa el bebé en el punto (0;0)?
En este punto que corresponde al nacimiento del bebé, el peso es de 3300 g. 3) ¿Qué ocurre en los primeros días de vida?
En los primeros de vida, un bebé pierde peso. 4) ¿En cuánto se ha incrementado el peso del be bé del segundo al sexto día?
Día 2: 3300 - 300 = 3000 g Día 6: 3300 g Entonces: aumentó 300 g 5) Explica qué ocurrió en el punto “P”. ¿Cuánto pesa en este punto?
En el punto P, el bebé recuperó el peso que tenía al nacer, es decir, 3300 g. 78
Resolvamos 1
MD
Observando el gráfico, la segunda decena de días aumentó 500 g y la tercera, 700g. 8) Reexiona y responde: En los problemas planteados, has interpretado los datos en el gráco; si estos hubieran sido presentados en una tabla, ¿habrías podido responder con facilidad las preguntas?
Si los datos solicitados estuvieran en la tabla, sería fácil; pero si solicitan otro valor, el gráfico es una mejor alternativa. 9) Indica el máximo y mínimo peso q ue tuvo el bebé durante el mes y en qué día.
El menor peso fue 3000 g en el día 2 y el máximo peso fue 4000 g en el día 30. 120
El tamaño ideal Las proporciones en los seres humanos enen que ver con una rama de la medicina llamada antropometría. En ella se ulizan muchas fórmulas que nos permiten saber si estamos en el promedio de una persona común o tenemos algunas diferencias. Una fórmula muy ulizada es la que expresa la altura ideal de una persona adulta, en función de su peso: P = 90E - 86, donde P es el peso en kilos y E es la estatura en metros. Haz una tabla que le permita a una persona que no sabe usar fórmulas encontrar su peso midiendo su estatura. Nota: Considerar como altura mínima 1,45 m y como altura máxima 1,75 m.
1) ¿Qué información de la lectura es relevante para el problema planteado?
La relación del peso con la estatura.
1) ¿Vale la pena hacer el cálcul o para alturas como 30 o 50 cm? Explica.
No, pues la probabilidad de que alguien mida 30 cm o 50 cm es casi nula.
2) ¿Qué magnitudes están relacionadas?
2) ¿Y para alturas como 3 o 3,5 m?
El peso en kilos y la estatura en metros.
No, porque la probabilidad de que alguien mida 3 m o 3,5 m es nula.
3) ¿Cuál es la fórmula que relaciona estas magnitudes? Explica las variables que la conforman.
3) ¿Cuál podría ser la altura promedio de un peruano?
P = 90E - 86, donde P es el peso en kilos y E es la estatura en metros.
La altura promedio de un peruano es de 1,6 m.
4) ¿Qué solicita el problema?
Hacer una tabla usando la fórmula anterior para que una persona pueda identificar su altura de acuerdo con su peso.
1) ¿Cuál es la altura mínima promedio de un peruano?
4) ¿Cómo organizarías los datos para que puedas estudiar las variaciones de altura y peso? a) En un diagrama de árbol b) En un diagrama de Venn c) En un tabla
2) ¿Cuál es la altura máxima promedio de un peruano?
La altura mínima promedio es de 1,45 m.
La altura máxima promedio es de 1,75 m.
3) Dibuja una recta numérica. Coloca en ella la altura máxima y la mínima y divide el intervalo en una candad de tramos. 1,45 1,48 1,51 1,54 1,57 1,60
1,63 1,66 1,69
1,72 1,75
4) Finalmente, coloca los puntos desd e la altura mínima a la máxima en esta tabla y calcula, mediante la fórmula, los pe sos para cada caso. Altura (m) 1,45
1,48
1,51
1,54
1,57
1,60
1,63
1,66
1,69
1,72
1,75
44,5
47,2
49,9
52,6
55,3
58
60,7
63,4
66,1
68,8
71,5
Peso (kg)
1) ¿Qué necesitaste para poder construir la tabla?
2) Uliza los datos de la tabla para hacer un gráco de la relación.
Necesité definir límites, mínimo y máximo, y luego elegir cierta cantidad de valores entre dichas cantidades.
Peso (kg) 80 70 60
3) Robert L. Wladow, el hombre más alto del mundo, murió a los 22 años y llegó a medir 2,72 m. En el momento de su muerte, pesaba 199 kg. ¿Cumplía Wladow con el modelo matemáco?
50
No cumplía con el modelo. Según esta fórmula, su peso debía ser 166 kilos.
10
MD
40 30 20 0 1,4
121
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8 Altura (m)
Manual para el docente
79
La pista de carreras*
Velocidad de un auto de carrera a lo largo de una pista de 3 km (Segunda vuelta)
Velocidad (km/h)
Este gráco muestra cómo varía la velocidad de un auto de carrera durante su segunda vuelta a lo largo de una pista plana de 3 km. ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea d e parda hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista? ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?
180 160 140 120 100 80 60 40 20 0
1
5
4
2 3 0,5 0
0,2
0,4
1,5 0,6
0,8
1.0
1,2
1,4
Línea de parda
1) ¿Qué variables se relacionan en este gráco?
2,5 1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Distancia recorrida en la pista (km)
4) ¿Cuál es la velocidad inicial?
Se relacionan la velocidad en km/h y la distancia recorrida (km).
La velocidad inicial es 160 km/h. 5) ¿Y cuál es la velocidad cuando ha recorrido 2,0 km?
2) ¿Qué ocurre con la velocidad del auto en un tramo recto?
La velocidad es la misma: 160 km/h.
En un tramo recto la velocidad es constante.
6) ¿Qué es lo que enes que averiguar?
3) ¿Cuántos tramos rectos ene la pista?
La distancia desde la línea de partida hasta el comienzo del tramo recto más largo y el lugar donde se registró la velocidad más baja.
Tiene tres tramos rectos.
1) ¿Es semejante el problema a otros que ya conoces?
3) ¿Qué es lo que representa el eje horizontal?
Representa la distancia que recorre el auto desde la línea de partida.
SÍ, es semejante a problemas de análisis de gráficos de funciones. 2) ¿Qué es lo que representa el eje vercal?
4) ¿Qué estrategias emplearías para solucionar el problema?
Interpretar el gráfico.
Representa la velocidad en km/hora del auto.
1) Marca en el gráco los puntos donde el auto gira. Explica.
Ver gráfico. Cuando el auto gira, la velocidad se reduce. 2) ¿Cuál es el tramo más largo? Del punto 3 al punto 4.
5) ¿Cuál es la velocidad en cada uno de ellos? Organiza estos datos en una tabla.
3) ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de parda hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista?
La distancia aproximada es de 1,3 km. 4) ¿Cuántos puntos hay donde la velocidad se reduce?
Punto
Velocidad (km/h)
2 3 4
90 60 110
6) ¿Cuál de estas velocidades fue la menor durante la segunda vuelta? La menor velocidad durante la segunda vuelta
Hay tres puntos en los cuales la velocidad disminuye.
fue de 60 km/h.
1) ¿Qué estrategia te fue más l para resolver este probl ema?
Identificar las variables del gráfico e interpretarlas.
2) Aquí hay cinco pistas dibujadas. ¿Sobre cuál de ellas se desplazó el auto para producir el gráco de velocidad mostrado P anteriormente? P
P
Se desplazó sobre la pista B.
P
P
*Este problema pertenece a la eva luación PISA 2000 - Alfabezación Matemáca.
80
Resolvamos 1
MD
122
Declarando los impuestos Todo trabajador independiente expide comprobantes de pago por la labor desempeñada. A esto se le llama renta de cuarta categoría. Cada año debe reportar sus ingresos y, segn el monto total y previo cálculo, debe abonar el impuesto a la renta. Supón que la determinación del impuesto se aplica segn estas normas: a) Para ingresos que no excedan los S/.156 000, el impuesto a la renta será el 15 % de dichos ingresos. b) Para ingresos mayores a S/.156 000, se pagará el 15 % de S/.156 000 más el 30 % del exceso de S/.156 000. Uliza tus conocimientos de matemáca para ayudar a dos contribuyentes: Juan Mendoza y Pedro Gonzales, quienes desean saber cuánto les toca pagar. Ellos han calculado sus ingresos anuales y presentan estas cuentas: Ingresos anuales de Juan Mendoza: S/.100 000. Ingresos anuales de Pedro Gonzales: S/.200 000. Con tus compañeros, realicen las sigui entes acvidades e idenquen: ¿Cuánto le correspond e pagar a cada uno? 1) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación de Juan?
7) Hagan una gráca con los valores que han obtenido en la tabla. Impuestos (S/.)
Como 100 000 es menor que 156 000, le corresponde la opción (a).
40 000
2) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación de Pedro?
35 000 30 000
Como 200 000 es mayor que 156 000, le corresponde la opción (b).
25 000 20 000
3) Calculen el impuesto que debe pagar Juan.
15 000
15 % de 100 000 = 15 000
10 000
4) ¿En cuánto exceden a S/. 156 000 lo s ingresos de Pedro?
5000
200 000 – 156 000 = 44 000 Exceden en S/.44 000.
0
0
50 000
100 000
150 000
8) ¿Para qué monto de ingresos los impuestos son de S/.24 900? Indiquen el proceso.
15 % de 156 000 = 23 400 30 % de 44 000 = 13 200 23 400 + 13 200 = 36 600 Pedro debe pagar S/.36 600 de impuestos.
a) Cálculo directo:
6) Completen la tabla que conene el impuesto ya calculado para ingresos que van de 100 000 a 200 000 y en intervalos de 20 000 en 20 000. Norma
Impuesto
100 000
a
15 000
120 000 140 000
a a
160 000
b
180 000
b
18 000 21 000 24 600 30 600
200 000
b
36 600
250 000
Ingresos (S/.)
5) Calculen el impuesto que debe pagar Pedro.
Ingresos
200 000
24 900 – 23 400 = 1500 1500 es el 30 % del exceso, de aquí, el exceso es 5000. Los ingresos son de 156 000 + 5000 = 161 000 b) Por gráca:
Se puede apreciar solo, aproximadamente, que puede ser 160 000. La gráfica solo muestra tendencias, pero no da un resultado exacto.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relaci onados con funciones, las cuales están presentes en el deporte, así como en la medicina, la economía y otras cie ncias.
Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
MD
He parcipado de forma signicava.
123
Fue aceptable.
Debo mejorar.
Manual para el docente
81
18 La geometría es más que cálculos
d a d i v i t c A
ANTES DE INICIAR EL TALLER
Comente con sus estudiantes que el mundo está lleno de diversas formas geométricas, ángulos, escalas, etc. Muchas veces, no requerimos fórmulas para trabajar estos elementos geométricos, sino conocer sus propiedades y caracteríscas para sacar provecho de ellas. ¿Por qué se uliza con frecuencia el triángulo para elaborar estructuras resistentes? ¿Por qué las tapas de los buzones son circulares? ¿Por qué el DNI ene forma rectangular y no cuadrada? ¿Qué ventajas ene el tamaño A4 sobre el tamaño carta de una hoja de papel? ¿Por qué las antenas de TV satelital enen forma de un paraboloide? Son preguntas que pueden ayudar a reexionar sobre la geometría como una parte de la Matemáca que va más allá de operaciones de cálculo. CAPACIDAD
Resuelve problemas de construcción y medición de ángulos y segmentos. CONOCIMIENTOS PRINCIPALES
T1
Segmentos Ángulos
CONOCIMIENTOS RELACIONADOS
Grados sexagesimales Unidades de medidas de longitud Proporcionalidad geométrica Paralelismos Simetría
La ciclovía
Descripción de la acvidad
La tarea presenta una pista de forma triangular para bicicletas. El triángulo es escaleno e isósceles.
Intención pedagógica
Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran ulizar escalas y realizar mediciones en un plano, sean de segmentos o de ángulos.
¿A qué poner énfasis?
Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que el plano es una representación de la realidad. El docente deberá explicar claramente lo que signica la escala y cómo se puede ulizar para responder las preguntas de la acvidad.
Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
T2
En este caso, se propone elaborar un diagrama analógico que representa una situación real, pero en forma esquemáca, manteniendo las relaciones de la realidad. Los estudiantes pueden tener dicultades al denir la estrategia para responder la pregunta 8. Hay que hacerles recordar el teorema que arma lo siguiente: al unir los puntos medios de dos lados de un triángulo, el segmento formado ene la mitad de la longitud del tercer lado. Ver gura:
Tiempo Tiempodedenadar nadar
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica
¿A qué poner énfasis?
La tarea presenta un esquema a escala que permite realizar una medición que, en la realidad, es inaccesible. Es importante señalar que para su solución se pueden emplear nociones de semejanza de triángulos, las que pueden trabajarse con los estudiantes de forma intuiva y natural. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran establecer conexiones entre contenidos matemácos, como la medición de segmentos, el uso de escalas y el cálculo con proporcionalidad geométrica. Este po de problemas integradores son los más interesantes porque logran tender puentes entre disntos contenidos del DCN. Al desarrollar la tarea, se debe enfazar en el uso de la escala para realizar las mediciones y en la relación de semejanza que se logra descubrir.
Estrategias heuríscas propuestas sugeridas
En este caso, se propone construir una gura analógica y plantear una ecuación.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al idencar los elementos que son homólogos en los dos triángulos. Un error pico es plantear equivocadamente la relación de proporcionalidad; por eso, este proceso se detalla en las preguntas del cuaderno.
Resolvamos 1
MD
124
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T3
Las cámaras de vigilancia
Descripción de la acvidad
Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis? Estrategias heuríscas propuestas
Posibles dicultades
En la sección Sácale el jugo a tu experiencia
T4
Los estudiantes deberán recorrer nuevamente el proceso seguido para resolver el problema. Finalmente, se les pregunta acerca de otras posibles relaciones que los hubieran llevado a resolver el problema.
La tarea presenta la vista en planta de un recinto que debe ser vigilado por unas cámaras de seguridad. Las condiciones del problema exigen que dichas cámaras se coloquen en las esquinas del ambiente, evitando la entrada. Además, por movos de costo, se pide que sea el mínimo nmero de ellas, las que deberán cubrir toda la región que ocupa el recinto. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran la ulización de instrumentos geométricos. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en que basta con una representación a escala de la región en planta para poder determinar el nmero de cámaras, ya que estas se encuentran en relación con los ángulos de giro y no con medidas especícas. especícas. En este caso, se propone ulizar un diagrama analógico, analóg ico, así como el ensayo y error para hallar la respuesta.
Los estudiantes pueden tener dicultades al tantear sistemácamente el nmero de cámaras. El algoritmo de bsqueda debe organizarse desde las posiciones más crícas a las menos crícas. Un error pico es girar solamente en el espacio de la región visible más cercana a la cámara; por ello, es mejor que lo hagan ulizando el compás. Los estudiantes deberán reconocer la estrategia ulizada y explorar diversas vías de solución. Ellos pueden encontrar el mínimo nmero de cámaras en otras disposiciones. Además, deberán idencarlas y, si es posible, colocarlas en cualquier esquina; así como determinar si existe una relación entre la candad mínima de cámaras y el nmero de lados del polígono.
De botes y rebotes
Descripción de la acvidad Intención pedagógica ¿A qué poner énfasis?
La tarea presenta el tablero de un billar muy parcular. En él las bolas se mueven en líneas que hacen ángulos de 45° con los lados del tablero. Se desea invesgar las disntas trayectorias que una bola puede tener. Con esta tarea, se pretende que los estudiantes desplieguen sus habilidades para resolver problemas que requieran invesgar una situación geométrica ulizando instrumentos de medición. Al desarrollar la tarea, se debe poner énfasis en la forma en la que la bola rebota en los parantes. Debe quedar muy claro que el ángulo de incidencia o entrada de la bola es exactamente igual al ángulo de salida. Esto es intuivo, pero se puede experimentar con una linterna y un espejo.
Estrategias heuríscas propuestas
En este caso, se propone realizar un experimento.
Posibles dicultades
Los estudiantes pueden tener dicultades al realizar las mediciones de los caminos seguidos por la bola. También resulta dicil para ellos establecer las relaciones entre e ntre el viaje de la bola bo la y el tamaño de la mesa.
Más allá del problema
Es posible invesgar las trayectorias en otros tableros rectangulares. Se les puede proponer a los estudiantes tareas de invesgación, como estudiar los rebotes de las bolas en tableros que no sean rectangulares o el método de los diamantes que ulizan los jugadores profesionales de billar.
MD
125
Manual para el docente
18
La geometría es más que cálculos
La ciclovía Celia está manejando bicicleta en su ciudad. La ciclovía ene la forma que se muestra en el gráco y la ciclista se encuentra en el punto C. Analiza el mapa para responder las preguntas:
3,5 cm
Leyenda: C = Celia M = Mirador F = Fuente de la amistad
8 cm
Escala: 1 cm = 20 m
1) ¿Cuál crees que es el giro más dicil que debe hacer Celia en la ciclovía? ¿Por ¿Por qué?
El giro más difícil es en el punto C, pues, al ser el ángulo más pequeño, es más complicado hacer la curva. 2) ¿Cuántos grados habrá girado la bicicleta de Celia al dar toda la vuelta a la ciclovía?
Habrá girado 180º, la razón es que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º. 3) ¿Cuántas veces veces mayor es el ángulo F que el ángulo C?
Medida del ángulo F Medida del ángulo C
=
65º 30º
=
2,17
4) ¿Qué po de triángulo es el MCF? ¿Por qué?
Es un triángulo escaleno según sus lados y acutángulo e isósceles según sus ángulos. 5) ¿Cuántos metros debe recorrer Celia para llegar a la fuente? Usa proporciones para responder.
La distancia CF es 8 cm, esto equivale a 160 m en la realidad. 6) ¿Cuántos metros más recorrerá Celia si decide ir a la fuente de la amistad por la ruta más larga?
La ruta más larga es CM + MF y mide 11,5 1 1,5 cm. Esto equivale a 230 m. Entonces, recorrerá 230 -160 = 70 m más. 7) Reexiona y responde: ¿Qué conceptos matemácos has empleado para resolver los problemas?
He empleado la teoría básica de triángulos, medición de segmentos, medición de ángulos, además de proporciones para obtener las medidas reales del triángulo a par tir del dibujo a escala. 8) Se quiere adornar el parque con piedras blancas que unan los puntos medios de la ciclovía. ¿Cuántos metros lineales de piedra necesitamos?
Si se unen los puntos medios, obtengo un triángulo cuyo perímetro es la mitad del triángulo original. Por tanto, necesitamos 195 metros lineales de piedra. 82
Resolvamos 1
MD
126
Tiempo de nadar Hernán nada a una velocidad constante de 2 m/s. Él ene curiosidad por saber cuánto empo demorará en cruzar un lago de un extremo a otro; pero no desea averiguarlo lanzándose al lago y midiendo el empo con un cronómetro; preere ulizar la matemáca. Entonces, construye un diagrama como el mostrado.
300 m
C
R
180 m
¿Puede resolver su problema mediante este diagrama?
P 120 m
x
A
1) ¿Qué distancia deberá hallar Hernán?
1) ¿Es posible representar los elementos matemácos en el gráco mostrado? Sí, se pueden representar.
Debe hallar la distancia AB. El gráfico muestra: RC = 300 m; PR = 180 m; AP= 120 m.
2) ¿Cuál de las guras geométricas ene más datos?
2) ¿Qué datos presenta el gráco?
El triángulo PRC. 3) ¿Qué ángulos en el diagrama enen el mismo valor? valor? ¿Cuáles son? Los ángulos opuestos por el vértice y
3) ¿Qué guras reconoces reconoces en él? Dos triángulos rectángulos. 4) ¿Y qué elementos matemácos reconoces?
Dos ángulos opuestos por el vértice, dos ángulos rectos y los lados de cada triángulo. 5) ¿Qué desea realizar Hernán? Desea saber el tiempo que demorará en cruzar el lago por su parte más ancha.
1) ¿Cuál es tu incógnita? La distancia x en el gráco. Ver gráfico.
AB.
Indícala con una
4) Para averiguar el empo que se demorará, ¿qué debe conocer Hernán? Debe conocer la velocidad de nado
4) Completa la siguiente proporción: 120
=
Son proporcionales.
Triángulo PRC
PR=
Triá iáng ngu ulo PAB
AP=
RC = 300 AB =
300 x
5) Resuelve esta proporción propo rción y encuentra enc uentra la l a distancia distanc ia y el empo que demorará en cruzar el lago.
Lado
180 m 120 m
y la
distancia a recorrer.
180
3) Completa la siguiente siguiente tabla:
los
ángulos rectos.
2) ¿Cómo están relacionados rel acionados los triángulos triáng ulos PRC y PAB?
Lado
B
x = 600/3 m = 200 m El tiempo que demora en cruzar el lago es 100 s.
m
xm
1) Describe la estrategia que se ulizó para resolver este problema. Encontrar una submeta, así como una
relación geométrica adecuada en la figura.
3) ¿Puedes escribir otra proporción que permita resolver el problema? Exprésala.
Sí es posible, por ejemplo:
2) Si los ángulos en R y en A no hubiesen sido rectos, ¿se hubiera podido resolver el problema?
180 300
No hubiese sido posible. MD
127
=
120 x
Manual para el docente
83
Las cámaras de vigilancia
Entrada
Con el n de cuidar los bienes informácos de la IE Ciencia Nueva, el director quiere colocar cámaras de vigilancia en las esquinas del ambiente donde se encuentran dichos bienes. La condición de esas lmadoras es que puedan girar. ¿Cuántas cámaras se necesitarán como mínimo y en qué esquinas deberán ubicarse? En la entrada no puede colocarse ninguna cámara de vigilancia.
1) ¿Será necesario poner una cámara en cada esquina? Explica por qué sí o por qué no.
No será necesario, porque una cámara bien ubicada puede cubrir, al girar, un área grande del ambiente. 2) ¿Qué representa el gráco? Muestra el diagrama del ambiente de la institución educativa. 3) ¿Cómo representarías una cámara de vigilancia en el gráco? Con un pequeño rectángulo de diferente color. 4) ¿Qué condiciones deben cumplir las cámaras? Pueden girar. 5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? El número de cámaras a colocar.
1) ¿Cuántas esquinas hay en el ambiente donde se encuentran 10 esquinas. los bienes informácos? 2) ¿Qué estrategias emplearías para desarrollar este problema? (Puedes marcar más de una alternava). a) Hacer uso de una tabla de doble entrada de información. b) Hacer acvidades de ensayo y error. c) Hacer un gráco. d) Hacer diagramas de ujo.
1) Coloca cámaras en disntas esquinas del ambiente. Para ayudarte, desarrolla la(s) estrategia(s) elegidas(s).
Las respuestas pueden variar, por ejemplo:
2) ¿Cuántas cámaras como mínimo se necesitarán?
1) Describe el procedimiento que has empleado para dar solución al problema. Se ha elaborado un modelo físico
y luego se ha procedido a probar mediante ensayo y error. Hay nueve esquinas posibles y, para cada número, hay diferentes disposiciones.
2) ¿Cuántas posibles respuestas hay?
84
Resolvamos 1
MD
3
3) ¿Qué elementos matemácos has reconocido en el desarrollo del problema? Las figuras geométricas y la
rotación para determinar el alcance de las cámaras. 4) ¿Cómo se miden los ángulos de visión de las cámaras de vigilancia en el gráfico?
Para medir los ángulos se usa el transportador. ¿Se pueden medir estos ángulos en el diagrama? 128
Sí.
