AULA 04 – PROBABILIDADES 5) Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de: a) Em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).
RESOLUÇÃO COMENTADA 1. Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: a) Sair o número 3.
Solução. Lembrando a fórmula: P(V ∩ B) = P(V ).P(B / V) , temos:
Solução. Temos E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(E) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada procurada será igual a P(A) =
P(V ) =
1 6
5 7
(5 bolas vermelhas de um total de 7). Supondo que saiu bola vermelha
Solução. Agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade 3
=
6
1 2
c) Sair um múltiplo de 3.
Solução. O evento A = {3, 6} com 2 elementos. Logo a probabilidade probabilidade será P(A) = 2 6
=
2 6
=
1 3
5 1 5 . = 7 3 21 b) Em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.
Substituindo na fórmula temos:
procurada será P(A) =
P(B /V ) =
na primeira, ficaram 6 bolas na urna. Calculamos, então
b) Sair um número par.
1
P(V ∩ B) = P (V ).P (B / V) =
Solução. Com a reposição reposição da primeira bola retirada, retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade será calculada como: P(V
5 2
10
7 7
49
∩ B) = P(V ).P (B) = . =
3
6) Ao se retirar uma carta do baralho, qual a probabilidade de ocorrer uma dama?
2) Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: a) Sair a soma 8
Solução. Observe que neste caso, o espaço amostral E é cons tituído pelos pares
Solução. O espaço amostral possui 52 elementos (um baralho tem cinqüenta e
ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2. É evidente
duas cartas). O evento desejado (uma dama) possui 4 elementos (ouros, copas,
que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou
paus, espadas). Logo, a probabilidade procurada é:
P(D) =
6. O mesmo ocorrendo com j. As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade será igual a P(A) =
5 36
4 52
=
1 13
7) Suponha que uma caixa possui duas bolas pretas e quatro verdes, e, outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja v erde?
Solução. Este problema envolve dois eventos mutuamente exclusivos, quais sejam:
b) Sair a soma 12.
Solução. Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada procurada será igual a P(A) =
1
* Ou a bola transferida é verde ou a bola transferida é preta.
36
1ª possibilidade: a bola transferida é verde.
3) Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Ti randose uma bola com reposição , calcule as probabilidades seguintes: a) Sair bola azul.
Solução. P(A) =
6
=
3
20 10 b) Sair bola vermelha.
Solução. P(A) =
10
=
1
20 2 c) Sair bola amarela.
Solução. P(A) =
4 20
=
1 5
P(V ) =
4 6
=
2 3
(4 bolas
verdes em 6).
= 0, 30 = 30 3 0%
=
Probabilidade de que a bola transferida seja verde:
Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE na 2ª caixa, supondo-se que a bola transferida é de cor VERDE, será igual a:
0 , 50 = 50%
P(V
/ V ') =
4 5
(a segunda caixa
possui agora, 3 bolas verdes + 1 bola verde transferida + 1 bola preta, =
0 ,20 = 20%
portanto, 4 bolas verdes em 5).
4) Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais?
Solução. Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
Pela regra da probabilidade condicional, vem: P(V ∩ V ') = P (V ).P(V / V '') ) =
2 4 . 3 5
=
8 15
2ª possibilidade: a bola transferida é preta. Probabilidade de que a bola transferida seja preta:
P(P) =
2 6
=
1 3
(2 bolas
pretas e 4 verdes). Portanto, a probabilidade que saia BOLA VERDE, supondo-se que a bola
n(E) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais. n(E) = n(J) + N(P) – N(J U P) + 800
transferida é de cor PRETA, será igual a:
n(E) = 5000 + 4000 – 1200 + 800 n(E) = 8600
P(V / P ) =
3 5
(2ª caixa = 1 bola preta +
3 bolas verdes + 1 bola preta).
Portanto, a probabilidade procurada será igual a: Daí, vem:
P = 1200/8600 = 12/86 = 6/43. Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
P(V
)
∩P =P
1 3 1 (P ).P(V /P ) = . = 3 5 5
Finalmente vem:
OBS. A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os
P[(V
jornais é de aproximadamente aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade probabilidade de não ser).
- 1 -
∩V ') ∪ (V ∩ P)] = P (V ∩V ') + P (V ∩ P ) =
8 15
+
1 5
=
8 15
+
3 15
=
11 15
a l l i c n a M o ç r i C . f o r P – s e d a d i l i b a b o r P : 4 0 a l u A
AULA 04 – PROBABILIDADES 8) Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é:
a) b)
c)
d)
e)
Solução. a) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(V) e sorteou
19
3 3 9 . = 8 6 48 b) Considere que 1º transferiu uma vermelha:P(B) e sorteou
45
48 18 45
´
Finalize somando os resultados:
9 48
+
10 48
=
19
27
=
2 9
pontos obtidos seja 4 ou 5?
n(E) = 36 A: A soma dos resultados é 4. A={(1;3),(2;2),(3;1)}
Letra C.
48
6
14. (FEI-SP) Jogando-se dois dados, qual a probabilidade de que a soma dos
5 2 10 . = 8 6 48
vermelha na segunda caixa: P(V/B) =
Solução:
P(A) =
vermelha na segunda caixa: P(V/V’) =
19
Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta a urna. Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas? 1 verde, 1 azul, 1 branca n(E) = 3.3.3 = 27 A: Saírem 3 cores diferentes. n(A) = 3.2.1 = 6
18 75
13. (FUVEST-SP) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca.
19
3
n(A) = 3 P(A) =
75
9) Uma máquina produziu 50 parafusos dos quais 5 eram defeituosos. Retirandose ao acaso, 3 parafusos dessa amostra, determine a probabilidade de que os 3 parafusos sejam defeituosos.
Solução. Podemos selecionar 3 parafusos dentre 50 de formas. Dentre as 5 defeituosas, podemos retirar de
3
C
3
C
5
=
50
=
50! 3!47!
5! 3!2!
= 19600
P(AUB) =
= 1 formas.
preta 9
8
18
17
16
total
Logo P(P ∩ P ∩ V ) = P(P ).P(P ).P(V ) =
4
=
36
7 36
Como a 1ª é um às, então resta 3 cartas de ases P =
3 11
16. (EEM-SP) Lançando-se simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de: a) serem obtidos números cujo produto seja ímpar? n(E) = 36
3ª retirada
10
36
+
uma após a outra. Qual a probabilidade de que a segunda seja um ás, sabendose que a primeira é um ás? n(E) = 12
Solução. Como não há reposição, a cada retirada diminui o número de bolas n a urna. Os eventos são independentes. Veja a tabela. preta
3
36
15. (VUNESP-SP) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se duas cartas
10 ≅ 0,05% 19600 10) FEI-SP – Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição . Qual é a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha?
2ª retirada
4
n(B) = 4 P(B) =
Logo, P(D) =
1ª retirada
36
B: A soma dos resultados é 5. B={(1;4),(2;3),(4;1),(3;2)}
vermelha
A: o produto seja ímpar.
{
}
A= (1;1)(1;3)( 1;5)( 3;1)( 3;3)( 3;5)( 5;1)( 5;3)( 5;5)
10 9 8 720 5 . . = = ≅ 14,7% 18 17 16 4896 34
9
n(A) = 9 P =
11) FMU-SP – Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela são retiradas duas bolas, uma após a outra, sem reposição ; a primeira bola retirada é de cor preta; Qual a probabilidade de que a segunda bola retirada seja v ermelha?
Solução. Repare que esse problema difere do anterior, pois não supõe uma
=
1
36 4 b) serem obtidos números cujo produto seja par? n(E) = 36 A: o produto seja par.
{
}
A= (1;2 )(1;4 )(1;6 )( 2;1)( 2;2)( 2;3) ...( 5;2) ...( 6;6 ) 27
3
composição de resultados. Se a pergunta fosse: “Qual a probabilidade de a
n(B) = 27 P =
primeira
17. (CESCEA-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o
ser
preta
P(P ∩ V ) = P (P ).P(V ) =
e
segunda
ser
vermelha?”,
a
solução
seria:
4 5 20 5 No entanto, o evento “primeira preta” não . = = 9 8 72 18
é calculado. Ocorreu com certeza. Logo não interfere em nada no segundo. Logo P(V ) =
=
36
4
experimento retirada de uma bola. Considere os ev entos: A: “a bola retirada possui um número m últiplo de 2.” B: “a bola retirada possui um número múltiplo de 5.” Determine a probabilidade do evento A ∪ B. n(E) = 20
5
A: A bola retirada possui um número múltiplo de 2.
8
A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 28, 20}
12) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz retira ao acaso um cartão do bolso e o mostra a um jogador. Qual a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador ser amarela.
n(A) = 10 P(A) =
10 20
B: A bola retirada possui um número múltiplo de 5. B = {5, 10, 15, 20}
Solução. A probabilidade de sortear o cartão AV (duas cores) é
P( AV ) =
vez sorteado esse cartão, queremos que o juiz veja a face vermelha Logo
a
probabilidade
P (AV ∩ V ) = P(AV ).P (V
de
1 1 / AV ) = . 3 2
ocorrerem =
1
essas
duas
1 3
Uma
P (V ) =
situações
n(B) = 4 P(B) =
1
4 20
2 é:
A B = {10, 20} n(A B) = 2 P(A B) = P(A B) =
6
- 2 -
10 20
+
4 20
−
2 20
=
12 20
=
3 5
2 20
a l l i c n a M o ç r i C . f o r P – s e d a d i l i b a b o r P : 4 0 a l u A
AULA 04 – PROBABILIDADES n(E) = C15,5 = 3003
18. (CESGRANRIO) Dois dados perfeitos são lançados ao acaso. Determine a
n(A) = C13,3 = 286
probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 6. n(E) = 36
P(A) =
A: A soma seja 6.
27. (FUVEST-SP) Escolhidos ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores
{
}
3003
simplificando por 143
⇒
P(A) =
2 21
positivos de 60, determine a probabilidade de que ele seja primo. E = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
A= (1;5)(2;4 )( 3;3)( 4;2)( 5;1) n(A) = 5 P(A) =
286
5
n(E) 12
36
19. (FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três
A: O número escolhido é primo.
lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de apenas uma das escolhidas estar queimada? n(E) = C12,3 = 220
A = {2,3,5} n(A) = 3
P(A) =
3 12
=
1 4
A: Um das lâmpadas estar queimada.
28. (FUVEST-SP) Numa urna há 5 bolas brancas, 3 azuis, 4 verdes, 2 amarelas e
n(A)= C4,1.C8,2 = 4.28 = 112
uma marrom. Extraindo uma bola ao acaso, a probabilidade de sair uma bola azul ou amarela é? .
P(A) =
112 220
=
28 55
20. (VUNESP-SP) Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100. Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). Determine a probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100. n(E) = C100,2 = 4950
n(A)=
{(1; 99 )(2; 98)( 48; 52) ...( 49; 51)}
n(A)=49 P(A) =
49 4950
3 n(A) = 3 P(A) = 3 2 5 1 15 + = = P(A B) = 15 15 15 3 B: sair bola amarela. 2 n(B) = 2 P(B) = 15 n(E)= 15
A: sai bola azul.
21. (MACK-SP) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 30, determine a probabilidade de que ele seja par ou primo.
B: O número é primo. E={1,2,3,5,6,10,15,30}
B={2,3,5}
n(E) = 8 n(B) = 3
A: O número é par.
P(B) =
3 8
A={2,6,10,30} n(A)= 4
P(A) =
4
A B = {2} n(A B) = 1 P(A B) =
8
P(A B)=
4 8
+
3 8
−
1 8
=
1 8
3 4
22. (OSEC-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas e 3 v ermelhas e 5 azuis, é? n(E) = 12
A: Sair bola branca. n(A) = 4 P(A) =
4 12
=
1 3
23. (FGV-SP) Uma urna contém 1000 bolinhas numeradas de 1 a 1000. Uma bola é sorteada. Qual a probabilidade de observarmos um múltiplo de 7 ? an = a1 +(n-1).r
994 = 7 +(n-1).7 n = 142 P (A) =
142
=
1000
71 500
24. (PUC-PR) De um grupo de 15 rapazes, cinco devem ser relacionados ao acaso para formar um time de basquete. Entre os 15 estão Carlos e Augusto. Qual a probabilidade de que ambos sejam selecionados? 25. (UFBA) Uma fábrica produz 40 peças, das quais seis com defeito. Qual a probabilidade, escolhendo-se ao acaso uma das peças de que ela s eja perfeita? A: Peças perfeitas.
A: Peças defeituosas. P(A) + P(A) = 1 P(A) = 1 - P(A) P(A) = 1 -
6 40
⇒ P(A) =
17 20
26. (FUVEST-SP) Em uma loteria com 30 bilhetes, 4 são premiados. Comprandose 3 bilhetes, qual a probabilidade de nenhum deles ser premiado?
- 3 -
a l l i c n a M o ç r i C . f o r P – s e d a d i l i b a b o r P : 4 0 a l u A
