ResoluçãoFunçãoQuadrática

|1|

MATEMÁTICA CIÊNCIA E APLICAÇÕES 1

Função quadrática

5

d)

y –2

–1

1

0

2 x

Exercícios –1

1.

C: a, d, e; B: b, c, f.

2.

a) y 4

–8 1

–2

0

–1

1

2

x

3.

y

a)

3

y

b)

8

–1

0

1

2

x

3

–1

y

b)

9 4 2

1

–2

–1

0

1

2

x

–1 0

1 3 2 2

3

x

y

c) –2

–1

1

0

2 x

–4

–1

–4

MCA1-Resoluções-2aProvaCadernoFechado_1ªparte.indd 72

13/05/10 04:20

Capítulo 5 • Função quadrática

4.

|2|

h) x = 0 ± 0 − 4 · (−1) · 2 = ±2 2 = 2 · (−1) −2

y

a)

7

=

4

x = − 2

x=3 i) x = 1 ± 1 + 4 · 1 · 6 = 1 ± 5 2 2 x = −2

3

–1

x=+ 2

0

1

2

x

3

6.

a) x = 3 3 ± 9 · 3 − 4 · 1 · 6 = 3 3 ± 3 = 2 · 1 2 x = 2 3

y

b) –1

1

0

2

=

3 x

–1

x = 3

b) 9x2 − 6x + 1 + x2 − 4x + 4 − 25 = 0 x2 − x − 2 = 0 ⇒ x = 1 ± 1 + 4 · 1 · 2 = 2

–4

5.

x = 2 = 1 ± 3 2 x = −1

x = 1 1 x = 2

a) x = 3 ± 9 − 4 · 2 · 1 = 3 ± 1 4 4

x = 4

x = −3

c) x = −2 ± 4 − 4 · (−1) · 15 = −2 ± 8 2 · (−1) −2

2x2 + 7x + 5 = 0

x = 0

b) x = −4 ± 16 − 4 · (−1) · 0 = −4 ± 4 2 · (−1) −2

c) 2 · (x2 + 6x + 9) − 5x − 15 + 2 = 0

x = 5

1 x = + 3

d) x = 0 ± 0 − 4 · 9 · (−1) = ±6 2 · 9 18 1 x = − 3 e) x = −6 ± 36 − 4 · (−1) · (−9) = −6 ± 0 = 3 2 · (−1) −2

x = −7 ± 49 − 4 · 2 · 5 = −7 ± 3 = 4 4 x = −1 =

5 x = − 2

d) Para x  0, tem-se:

⇒ x2 − 3x + 1 = 0 e x = −3 ± 9 − 4 · 1 · 1 2 = −3 ± 5 2

0 f ) x = 0 ± 0 − 4 · 30 = 6 = 0 2 · 3 g) x = 5 ± 25 − 4 · 1 · 9 = 5 ± −11 ∉ ℝ 2 2


3x 1 x2 + x = x ⇒ x =

x = −3 + 5 2 x = −3 − 5 2

e) x2 + 2x − 3 = 5 ⇒ x2 + 2x − 8 = 0 ⇒ ⇒ x = −2 ± 4 − 4 · 1 · (−8) = −2 ± 6 = 2 2

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x = 0

x = 2

e) x · (x2 + 10x + 21) = 0

= x = −4

7.

x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = 1 x = −1

x = −7

=

x − 3x + 2 = 0 ⇒ x = 3 ± 9 − 4 · 1 · 2 = 2 2

= 3 ± 1 2

x = 2

8.

x = 1

a) y = x2 ⇒ y2 − 5y + 4 = 0 y = 1 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = +1 ou x = −1

S = {−1, 1, 2}

b) y = x2 ⇒ y2 − 8y + 15 = 0

−4x2 + 4x − 1 = 0 ⇒

y = 3 ⇒ x2 = 3 ⇒ x = + 3 ou x = − 3

1 ⇒ x = −4 ± 16 − 4 · (−4) · (−1) = −4 ± 0 = 2 2 (−4) −8

y = 5 ⇒ x2 = 5 ⇒ x = + 5 ou x = − 5

S = {− 5 , − 3 , 3 , 5 }

1 1 S = − 2 , 2

c) y = x2 ⇒ y2 − 6y − 27 = 0

c) x − 3x + 2 = 2x + 3x − 2x − 3 ⇒ x + 4x − 5 = 0 2

2

y = 9 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = 3 ou x = −3

x = −4 ± 16 − 4 · 1 · (−5) = −4 ± 6 = 2 · 1 2

2 y = −3 ⇒ x = −3; não tem solução

x = 1

S = {−3, 3}

x = −5

=

y = 4 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = 2 ou x = −2

S = {−2, −1, 1, 2}

1 2x + 1 = 0 ⇒ x = − 2

2

x = −3

S = {−7, −3}

b)

x2 + 10x + 21 = 0 ⇒

⇒ x = −10 ± 100 − 4 · 1 · 21 = −10 ± 4 = 2 2

x = +1 a)

9.

S = {−5, 1} d) x2 + 10x + 25 = 4x2 − 12x + 9 ⇒ 3x2 − 22x − 16 = 0

a) f(−1) = (−1 + 1) · [(−1)2 − (−1) + 1] = 0 f(0) = (0 + 1) · (02 − 0 + 1) = 1 b) (x + 1) · (x2 − x + 1) = 9 x3 − x2 + 1 + x2 − x + 1 − 9 = 0 ⇒ x3 = 8 ⇒ x = 2

x = 22 ± 484 − 4 · 3 · (−16) = 22 ± 26 = 6 6 x = 8 2 x = − 3

=

2 S = − 3 , 8


7 2 23 59 10. a) f(2) = 36 · 2 − 12 · 2 + 9 = 3,5 7 23 59 f(11) = 36 · 112 − 12 · 11 + 9 = 9 7 23 59 7 23 41 b) 36 · t2 − 12 t + 9 = 2 ⇒ 36 t2 − 12 t + 9 = 0

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|4|

17.

41 t = 7 não serve t = 4 (no mês de abril)

11. Cada um dos n amigos deveria pagar p reais, com p = 300 n . Com a desistência de 3 deles, os restantes (n − 3) pagaram (p + 5) reais cada. Tem-se p + 5 =

Soma

Produto

a)

−1 1 − 3 = 3

−5 3

b)

6 − −1 = 6

−5 −1 = 5

c)

0 − 2 =0

−7 2

−3 − 1 =3

−2 1 = −2

300 , ou seja, n − 3

300 300 2 n + 5 = n − 3 , que equivale a n − 3n − 180 = 0

d) x2 − 3x − 2 = 0

n = 15 n = −12 não serve. Eram 15 pessoas.

18. a) x1 + x2 = − ba

10 = 3

c 5 b) x1 · x2 = a = 3

12. Δ = 0 ⇒ 4 − 4 · 1 · p = 0 ⇒ p = 1

x + x1 1 1 = c) x + x = 2 x1 · x2 1 2

13. Δ = 0 ⇒ 16 − 4 · 5 · m > 0 ⇒ m < 45

10 3 =2 5 3

d) (x1 + x2)2 = (x1)2 + 2 · x1 · x2 + (x2)2 2

10 = (x )2 + 2 · 5 + (x )2 1 2 3 3

14. Δ = 16 − 4 · (m + 3) = 4 − 4m

x12 + x22 = 100 − 10 = 70 9 3 9

2 raízes se 4 − 4m > 0, ou seja, m < 1. 1 raiz se 4 − 4m = 0, ou seja, m = 1. Nenhuma raiz se 4 − 4m < 0, ou seja, m > 1.

19. a)

x1 − x2 = 5

⇒ x1 = −3 e x2 = −8

x1 + x2 = −11

15. Δ < 0 ⇒ 9 − 4 · 4 (p + 2) < 0 ⇒ p > −23 16 23 Como −16 ≅ −1,4375, o menor número inteiro que satisfaz a inequação é −1.

b) p = x1 · x2 = 24

20.

x1 + x2 = 25

⇒ x1 = 11 e x2 = 14

x2 = x1 + 3

16. Δ = 0 ⇒ 9 − 4 · (m − 1) · (m + 1) = 0 ⇒ — √13 m = 2 13 ⇒ m2 = 4 — √13 m = − 2

2p = x1 · x2 = 154 ⇒ p = 77

21. x1 + x2 = 10 3 ⇒ as raízes são 3 e 1 x2 = x1

1 3 . A maior delas é 3.

22. x1 · x2 = 27 x1 = x22


⇒ x2 = 3 e x1 = 9 ⇒ p = − (x1 + x2) = −12

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23. y = ax2 + bx + c = a ·

b c x2 + a x + a =

= a · [x − (x1 + x2) x + (x1 · x2)] = a · (x − Sx + P) = 0 2

2

⇒ x2 − Sx + P = 0

c) y = −x2 + x + 2 1 − 4 · (−1) · (2) 9 = 4 ea<0 4 · (−1) 9 Im = y ∈ ℝ | y ⩽ 4 yv = −

d) y = x2 + 3x ⇒ yv = –

24. a) x2 − (3 + 4)x + 3 · 4 = 0 ⇒ x2 − 7x + 12 = 0 b) x2 − (−1 + 2)x + (−1) · 2 = 0 ⇒ x2 − x − 2 = 0

9 Im = y ∈ ℝ | y ⩾ − 4

c) x2 − (−5 − 4)x + (−5) · (−4) = 0 ⇒ x2 + 9x + 20 = 0 d) x2 − ( 3 + 2 + 3 − 2 ) · x + ( 3 + 2 ) · ( 3 –

9−4·1·0 9 ⩽−4 ea>0 4·1

29. xv = 5 =

−b 2 2 · (−3) ⇒ b = 30 e y = −3x + 30x + c

Como yv = 50, então 50 = −3 · 52 + 30 · 5 + c ⇒

– 2 ) = 0 ⇒ x2 − 2 3 x + 1 = 0 e) x2 − (0 + 8)x + 0 · 8 = 0 ⇒ x2 − 8x = 0

⇒ c = −25.

f ) x2 − (3 + 3)x + 3 · 3 = 0 ⇒ x2 − 6x + 9 = 0

30. a) 14 horas correspondem a t = 2 e f(2) = 40 ou 40 km.

g) x2 − ( 7 + 6 7 )x + 7 · 6 7 = 0 x2 − 7 7 + 42 = 0

25. a) xv =

6 2 2 = 3 e yv = 3 − 6 · 3 + 4 = − 5 ⇒ V (3, −5)

−1 1 1 b) xv = − −4 = − 4 e yv = −2 − 4

2

1 − −4 +3=

25 1 25 = 8 ⇒V −4, 8 0 c) xv = − 2 = 0 e yv = 02 − 9 = −9 ⇒ V(0, −9)

b) O número de quilômetros é máximo para tv, e como 12 tV = − 2 · (−1) = 6, foi às 18 horas. Δ O valor máximo é yv = −4a = 56 km.

31. a) O saldo médio em janeiro é y(1) = −135, ou seja, devedor de R$ 135,00. O saldo médio em agosto é y(8) = 180, ou seja, credor de R$ 180,00.

26. São

aquelas cuja parábola tem a concavidade para

baixo, ou seja, a < 0: b, c.

b) Tem-se y = 0 para t = 2 e t = 10, ou seja, o saldo ficou nulo em fevereiro e em outubro. c) A função sem raízes 2 e 10, concavidade para baixo e

· (−2) · 0 27. a) yv = − 3600 4−· 4(−2) = 450 b) yv = −

16 − 4 · 1 · 8 =4 4·1

c) yv = −

4 − 4 · (−1) · (−5) = −4 4 · (−1)

d) yv = −

0−4·3·2 =2 4·3

um ponto de máximo para t = 6, decrescendo a partir desse valor, ou seja, a partir de junho.

32. a) h(1) = 35 b) Se h = 75, tem-se 40t − 5t2 = 75 para t = 3 e t = 5. c) É dada pelo vértice: yv = 80.

28. a) yv = −

0+4·1·2 = −2 e a > 0 4·1

Im = {y ∈ ℝ | y ⩾ −2} b) yv = −

0 − 4 · (−1) · 5 =5ea<0 4 · (−1)

Im = {y ∈ ℝ | y ⩽ 5}


d) No instante em que a bola retorna ao solo, tem-se h = 0, ou seja, 40t − 5t2 = 0, o que ocorre para t = 8.

33. a) Verdadeira, pois L(7) = L(17). b) Falsa, pois L(5) = 750.

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c) Verdadeira, pois o lucro máximo é dado por yv = 3200.

c) a > 0, raiz 2; V = (2, 0); Im = {y ∈ ℝ | y ⩾ 0}

d) Verdadeira, pois L(4) = L(20).

34. a)

y

1 7 33 4 ·9− 2 ·3+k=0⇒k= 4

4

1 7 33 b) y = 4 x2 − 2 x + 4 , e a temperatura mínima é dada por yv = −4. 0

x

2

35. Seja ℓ a medida do lado do curral quadrado; sejam r e 3r as medidas dos lados do curral retangular. A soma dos perímetros é 140 ⇒ 4ℓ + 8r = 140 (1). A soma A das áreas é dada por A = ℓ2 + 3r2 (2). De (1) tem-se ℓ = 35 – 2r e (2) se torna

37. a) a < 0; raízes + 12

1 e−2;

1 1 V 0, 4 ; Im = y ∈ ℝ | y ⩽ 4 y

A(r) = (35 − 2r) + 3r = 7r − 140r + 1225. O me2

2

2

1 4

nor valor de A ocorre para r v = 10. Se r = 10, então ℓ = 15 e a área do curral quadrado é ℓ2 = 225, em metros –

quadrados.

36. a) a > 0; raízes 2 e 4;

1 2

x

1 2

b) a > 0; não tem raízes;

V(3, −1); Im = {y ∈ ℝ | y ⩾ −1}

V(−1, 4); Im = {y ∈ ℝ | y ⩾ 4} y

y

3

4

2 0

3

4 x

1

0

–1

–1

x

c) a < 0, raiz 0;

b) a < 0; raízes 0 e 2;

V(0, 0); Im = {y ∈ ℝ | y ⩽ 0}

V(1, 2); Im = {y ∈ ℝ | y ⩽ 2}

y

y 2 –1

0

1 x

0

1

2

x –3


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38. a) a > 0; raízes 0 e

39. a) Todas têm raiz dupla e igual a 0.

1 1 1 2;V 4,−4 ;

1 1 decrescente para x < 4 e crescente para x > 4 y

b) Se x = 0, y = 0 e V(0, 0). c)

y

a>0

2 0

y 0

1 4

1 2

–

0 1 – 4

x

x

x

1 2

a<0

b) a < 0; não tem raízes; V(1, −3); crescente para x < 1 e decrescente para x > 1.

40. Procuremos, por exemplo, a imagem x = 1 nas três funções.

y 1

Se y = 2x2, a imagem é 2; se y = x2, a imagem é 1; se

2 x

0

1 1 1 y = 2 x2, a imagem é 2 . Então I é y = x2, II é y = 2 x2 e III é y = 2x2.

–3 –5

41. Como a concavidade é voltada para baixo, então a < 0. c) a < 0; raiz −1, V(−1, 0) crescente para x < −1 e decrescente para x > −1.

c gativo, ou seja, a < 0 e, como a < 0, então c > 0. A soma das raízes é positiva, pois o valor absoluto da

y

–2

–1

Como as raízes têm sinais contrários, seu produto é ne-

b raiz positiva é maior que o da negativa. Então, − a < 0

0 x

e daí b > 0.

–1

42. a) Suas d) a < 0, raízes −2 e 4; V(1, 9); crescente para x < 1 e

raízes são −3 e 5 e sua forma fatorada é

y = a · (x + 3) · (x − 5). Usando o ponto (4, 7), determina-se a = −1 ⇒ y = −x2 + 2x + 15.

decrescente para x > 1. y

b) As raízes são −2 e 1 e a forma fatorada é

9

y = a(x + 2) · (x − 1). Usando o ponto (0, −4), deter-

8

mina-se a = 2 ⇒ y = 2x2 + 2x − 4

43. a) As raízes são 12 e 52 e a forma fatorada é –2

4 0

1


x

1 5 3 y = a · x − 2 · x − 2 . Usando o ponto 2 , −4 , tem-se a = 4 ⇒ y = 4x2 − 12x + 5.

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|8|

b) Usando o ponto (0, 2), tem-se que c = 0. Usando os

46. De f(1) = 9, vem 9 = 25 + m + n ⇒ m + n = −16. Como

pontos (−1, 1) e (1, 5) em y = ax2 + bx + 2, obtém-se

ela só tem uma raiz, então ∆ = 0 ⇒ m2 − 4 · 25n = 0 ⇒

o sistema:

⇒ m2 − 100n = 0. Do sistema m + n = −16 (I)

1=a−b+2 , de solução a = 1 e b = 2 ⇒

5 = a + b + 2

m2 − 100n = 0 (II)

Tem-se: (I) n = –16 − m e (II) m2 − 100 (−16 − m) = 0,

⇒ y = x + 2x + 2 2

com soluções m = −20 e m = −80. Substituindo em (I),

44. O gráfico de f(x) = x + 2 é uma reta que corta os eixos nos pontos (−2, 0) e (0, 2). O gráfico de g(x) = x2 − 2x − 8

tem-se m = −20 e n = 4; m = −80 e n = 64.

é uma parábola com a concavidade voltada para cima,

47. a) a < 0; raízes −3 e 13

raízes −2 e 4 e vértice (1, −9). Os pontos de interseção

1 3

–3

são representados pelos pares (x, y) que satisfazem

–

+

–

f(x) = g(x) ⇒ x2 − 2x − 8 = x + 2 ⇒ x = 5 e x = –2. Os pontos de interseção são (−2, 0) e (5, 7). y

1 y < 0 ⇔ x < −3 ou x > 3 1 y > 0 ⇔ −3 < x < 3 5 b) a > 0; raízes − 4 e 1

7

– +

2 1 –2 f

5 4

0

45

x

–

5 y < 0 ⇔ −4 < x < 1 1 c) a > 0; raiz 3

45. O gráfico f(x) = −x2 é uma parábola com a concavidade

1 3

para baixo, raiz 0 e vértice (0, 0). O gráfico de f(x) = x2 − 4 +

é uma parábola voltada para cima, raízes −2 e 2 e vértice (0, −4). Os pontos de interseção, obtidos da igualdade −x2 = x2 − 4, têm abcissas + 2 e − 2 e imagem −2 ⇒ ⇒ ( 2 , −2) e (− 2 , −2).

+

1 y > 0 para x ∙ 3 ; Não existe x ∈ ℝ tal que y < 0. d) a < 0; raízes − 2 e 2

y – 2 –1

+

5 y > 0 ⇔ x < − 4 ou x > 1

–9

–2

1

0

1 2

–1

– 2

2 x

–

2 +

–

x

–2 –3 –4


y>0⇔− 2 2

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|9|


48. a) a < 0; raiz 1

c) Se x = 0 e x = 4 têm imagens iguais, x = 2 é abscissa do vértice, que também é a raiz; a > 0.

1 –

–

2

x∙1⇒y<0 Não existe x real tal que y > 0. b) a > 0; não tem raízes

+

+

y > 0, ∀x ∙ 2 Não existe x ∈ ℝ tal que y < 0. d) a < 0; não tem raízes –

–

–

+

y > 0, qualquer x ∈ ℝ. c) a > 0; raízes −2 e 0 y < 0 para qualquer x real. –2 +

0 –

+

50. a) y = x2 − 11x − 42 tem a > 0 e raízes −3 e 14

y > 0 ⇔ x < −2 ou x > 0 y < 0 ⇔ −2 < x < 0 d) a < 0; raízes 0 e 1 0 +

–

y < 0 ⇔ x < 0 ou x > 1 y>0⇔0
+

1 b) y = 3x2 + 5x − 2 tem a > 0 e raízes −2 e 3 1 3

–2 +

–

+

1 S = x ∈ ℝ | x < −2 ou x > 3

49. a) a < 0, raiz 1

c) y = −x2 + 4x + 5 tem a < 0 e raízes −1 e 5

Se xv = 3 e x = 1 é raiz, tem-se outra raiz para x = 5. 1 –

14 –

S = {x ∈ ℝ | −3 < x < 14}. 1

–

–3 +

5 +

–1 –

+

–

–

y < 0 ⇔ x < 1 ou x > 5 y>0⇔1
S = { x ∈ ℝ | −1 ⩽ x ⩽ 5} 3 d) y = 4x2 + 12x − 9 tem a < 0 e raiz 2 3 2

b) a > 0; raiz 0 –

0 +

5

–

+

y > 0, ∀x ∙ 0 Não existe x ∈ ℝ tal que y < 0.


3 S=ℝ− 2

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| 10 |

e) y = 3x2 + x + 5 tem a > 0 e não tem raízes

e) y = –x2 − 4x − 3 tem a < 0 e raízes −3 e −1 –3

–1

–

+

–

S = {x ∈ ℝ | x ⩽ −3 ou x ⩾ −1}

S=ℝ 4 f ) y = 9x2 − 24x + 16 tem a > 0 e raiz 3

+

f ) x2 − 3x − 1 < 0 e y = x2 − 3x − 1 tem a > 0 e raízes 3 − 13 3 + 13 e 2 2

+ 4 3

3 – 13 2

4 S= 3

3 + 13 2

+

51. a) y = −x2 + 10x − 25 tem a < 0 e raiz 5

–

S= x∈ℝ|

+

3 − 13 3 + 13
5 –

–

52. a) x2 − 3x ⩾ 0 e y = x2 − 3x tem a > 0 e raízes 0 e 3 0 +

S=∅

3 –

S = {x ∈ ℝ | x ⩽ 0 ou x ⩾ 3}

b) y = x − 8x + 15 tem a > 0 e raízes 3 e 5 2

3

b) x2 − 16 < 0 e y = x2 − 16 tem a > 0 e raízes −4 e 4

5

+

–

–4 +

S = {x ∈ ℝ | 3 ⩽ x ⩽ 5} c) −x2 − 2x − 15 > 0 e y = −x2 − 2x − 15 tem a < 0 e

+

4 –

–

–

+

S = {x ∈ ℝ | −4 < x < 4} 1 c) 9x2 − 3x ⩾ 0 e y = 9x2 − 3x tem a > 0 e raízes 0 e 3

não tem raízes

1 3

0

–

+

–

+

1 S = x ∈ ℝ | x ⩽ 0 ou x ⩾ 3

S=∅ d) x2 + 2x − 35 < 0 e y = x2 + 2x − 35 tem a > 0 e raízes −7 e 5

d) −4x2 − 9 < 0 e y = −4x2 − 9 tem a < 0 e não tem raízes;

–7 +

+

–

5 –

–

–

+

S = {x ∈ ℝ | −7 < x < 5}


S = ℝ.

13/05/10 04:21

| 11 |


e) 3 − x2 > 0 e y = 3 − x2 tem a < 0 e raízes − 3 e 3; – 3 –

54. a) y = x2 + 12x + 20 tem a > 0 e raízes −10 e −2 Em ℤ, a solução é {−9, −8, −7, −6, −5, −4, −3}

3 +

– –10

S = {x ∈ ℝ | − 3 < x < 3}.

+

–2 –

+

f ) x2 + 3x < 2x − x2 ⇒ 2x2 + x < 0 b) y = −x2 − 5x − 4 tem a < 0 e raízes −4 e −1

1 y = 2x2 + x tem a > 0 e raízes − 2 e 0; 1 – 2

Em ℝ, a solução é {x ∈ ℝ | x ⩽ −4 ou x ⩾ −1} Em ℤ, a solução é {..., −6, −5, −4, −1, 0, 1, 2, ...}

0

+

–

+ –4

1 S= x∈ℝ|−2
–

53. y = 10x2 − 3x − 4 tem a > 0 e raízes − 12 –1 2 +

–1 +

–

4 e 5

55. A inequação 45 x2 − 8x + 80 > 140, em ℝ tem solução

4 5 –

{x ∈ ℝ | x < −5 ou x > 15}. Portanto, será daqui a

+

15 anos. 1 4 A = x ∈ ℝ | x ⩽ − 2 ou x ⩾ 5

56. a) Para que o lucro de B supere o de A, deve-se ter

1 y = −2x2 + 9x − 4 tem a < 0 e raízes 2 e 4

solução em ℝ é 2 < x < 26. Como x é inteiro, deve variar

1 2 –

135 + 8x > x2 − 20x + 187 ⇒ x2 + 28x + 52 < 0, cuja

4 +

de 3 a 25. –

b)

y A

1 B = x ∈ ℝ | x < 2 ou x > 4 a)

– A

1 2

1 2

343

4 5

4

B

B

187 151 135

A∩B

1 A ∙ B = x ∈ ℝ | x ⩽ − 2 ou x > 4 b) – A

1 2

1 2

4 5

0

4

2

x

26

57. a) 4 ⩽ x2 ⩽ 9 x2 − 4 ⩽ 0 x2 − 9 ⩽ 0

B A∪B

1 4 A ∙ B = x ∈ ℝ | x < 2 ou x ⩾ 5


–2 +

2 –

–3 +

+

3 –

+

13/05/10 04:21


–3

–2

| 12 |

2

3

b) x2 + 3x − 4 < 0

–3

–2

2

−x2 + x + 6 > 0

3 –4

S = {x ∈ ℝ | −3 ⩽ x ⩽ −2 ou 2 ⩽ x ⩽ 3}

–2

b) −2 ⩽ x2 − 2 ⩽ 2 ⇒ O ⩽ x2 ⩽ 4

3 1

S = {x ∈ ℝ | −2 < x < 1}

0 ⩽ x2 x2 − 4 ⩽ 0 +

1 –2

c) x2 + 5x ⩾ 0

+ –2

2

+

0

–

+

x2 + 4x − 12 < 0

–2

5x2 + 2 > 0

2 –5

0

–6 –2

2

2 –6 –5

S = {x ∈ ℝ | −2 ⩽ x ⩽ 2}

0

2

S = {x ∈ ℝ | −6 < x ⩽ −5 ou 0 ⩽ x < 2}

c) 7 < 2x2 + 1 ⩽ 19 6 < 2x2 ⩽ 18

59. a) n

2

3 < x2 ⩽ 9

− 3n > 20 ⇒ n2 − 3n − 40 > 0 2

x2 − 3 > 0 x2 − 9 ⩽ 0 –5 – 3 +

3

–3

–

+

3

+

–

+

8 –

+

+

O número mínimo de lados é 9. –3

– 3

3

3

b) 90 ⩽ –3

– 3

3

3

S = { x ∈ ℝ | −3 ⩽ x < − 3 ou 3 < x ⩽ 3}

58. a)

−2x2 + 8 < 0 ⇒ x2 − 4 > 0 x2 + 3x ⩽ 0 –2 –3

n2 − 3n ⩽ 230 2

180 ⩽ n2 − 3n ⩽ 460 n2 − 3n − 180 ⩾ 0 n2 − 3n − 460 ⩽ 0 –12

15

–20

–20

–12

15

23

–20

–12

15

23

23

2 0

–3 –2

S = {x ∈ ℝ | −3 ⩽ x < −2}


Como n > 0, o intervalo é de 15 a 23, fechado.

13/05/10 04:21

| 13 |


62. a)

60. 6x2 − 5x + 1 > 0

–5

4x2 + x − 14 ⩽ 0

−3x + 10 > 0 ⇒ 3x − 10 < 0

1 3

1 2

+ –2 +

2

+

–

–

–

+

–

–

+

–

–

–

+

–

+

–

3 S = x ∈ ℝ | −5 < x < 0 ou 4 < x < 2

–

+

–

1,75 +

b)

–2

10 3 –

3 4

0

2

3

+

–

–

+

+

+

–

+

+

–

+

+

+

S = {x ∈ ℝ | −2 ⩽ x ⩽ 2 ou x = 3} 1 3

–2

–2

1 2

1 2

1 3

1,75

10 3

c)

1,75

–2

63.

3 2

0

+

–

–

+

–

–

+

+

+

+

+

+

–

+

–

+

1 2

–2

4

5 2

2

4

+

+

–

–

–

+

+

+

+

–

–

+

–

–

–

+

+

+

+

–

+

+

–

+

+

–

–

–

+

–

+

–

+

–

+

–

+

–

+

Dois números negativos: −2 e −1. Infinitos números

3 S = x ∈ ℝ | x ⩽ −2 ou 0 ⩽ x ⩽ 2 ou x ⩾ 4 b)

–3

–1

1

–

+

+

–

+

–

–

+

+

–

+

–

+

–

–2

positivos.

2

–

S = {x ∈ ℝ | −3 ⩽ x ⩽ −1 ou 1 ⩽ x ⩽ 2} c)

4

1 S = x ∈ ℝ | x < −3 ou 2 < x < 4

As soluções inteiras são −2, −1, 0 e 1.

61. a)

1 2

–3

64.

0

2

4

–

+

+

–

+

+

–

+

–

+

–

–

S = {x ∈ ℝ | 0 ⩽ x ⩽ 2 ou x = 4}

2

65. a)

–2

0

3

7

–

+

+

+

–

+

+

–

–

–

+

+

–

–

+

–

–

–

+

–

+

–

–

–

S = {x ∈ ℝ | x ⩾ 2 ou x = −2}


S = {x ∈ ℝ | −2 ⩽ x < 0 ou 3 < x ⩽ 7}

13/05/10 04:21


b)

| 14 |

–

–1 +

+

+ +

1 4

1 2

67. a) x − 4 ⩽

2

–

+

+

–

–

–

+

–

+

–

+

–2

1 1 S = x ∈ ℝ | x < −1 ou − 4 ⩽ x ⩽ 2 ou x > 2 c)

–2

–1

x2 − 4x − 12 ⩽0 x

12 x ⇒

0

+

–

–

+

–

–

+

+

–

+

–

+

S = {x ∈ ℝ | x ⩽ −2 ou 0 < x ⩽ 6}

0

+

+

–

+

–

+

+

+

–

+

–

+

1 − x2 1 b) x < x ⇒ <0 x –1

S = {x ∈ ℝ | x < −2 ou −1 ⩽ x ⩽ 0} 1

d)

3

7

8

+

–

–

+

+

–

–

+

+

–

–

+

–

+

–

–2

2 +

1

+

+

–

–

–

+

+

+

–

+

–

x−3 x−3 c) x − 2 ⩽ x − 1 ⇒ x − 2 − x + 1 ⩽ 0 ⇒ ⇒

–

0

–

S = {x ∈ ℝ | −1 < x < 0 ou x > 1}

S = {x ∈ ℝ | x < 1 ou 3 < x < 7 ou x > 8}

66. a)

6

x2 + 4x − 5 ⩽0 x−2

3 +

2

–

+

–

+

+

–

–

+

–

S = {x ∈ ℝ | x < −2 ou −2 < x < 2 ou x ⩾ 3}

–

–

–

+

+

–

S = {x ∈ ℝ | x > 2}

b) –4

1 2

0

2

5

–

–

–

+

+

+

–

–

+

+

–

–

+

–

–

–

–

+

+

–

+

–

+

–

1 S = x ∈ ℝ | x < −4 ou 0 ⩽ x ⩽ 2 ou 2 ⩽ x < 5 c)

–3

2

–

+

+

+

+

+

+

–

+

–

–

+

S = {x ∈ ℝ | x > 2}


68. x + 3 ⩽ ⇒

6 ⇒x+3− 6 ⩽0⇒ x−2 x−2

x2 + x − 12 ⩽0 x−2 –4 +

2

3

–

–

+

–

–

+

+

–

+

–

+

A solução da inequação em ℝ é: S = {x ∈ ℝ | x ⩽ −4 ou 2 < x ⩽ 3} O único número natural que satisfaz a sentença é x = 3.

13/05/10 04:21

| 15 |


Exercícios complementares

De (3), x3 = −1 −x1 e em (4),

1.

tem-se: x1 · (−1 − x1) = 5a (6)

Para h = 35,6, tem-se 35,6 = 1,5t − 94 ⇒ t = 30.

Substituindo (5) em (6), tem-se:

Se t = 30, p = 3,8 · (30)2 − 72 · 30 + 246 = 1 506 (gramas).

2.

Cada um dos n carentes deveria receber q reais com q = 1 200 . Faltando 3 pessoas, as (n − 3) restantes recen beram, cada uma, (q + 20) reais, sendo q + 20 = 1 200 . De 1 200 + 20 = 1 200 , n−3 n n−3 tem-se n2 − 3n − 180 = 0 ⇒ n = 15 ou n = −12. Eram 15 pessoas.

3.

−x1 · (1 + x1) = 5x1 · (3 – x1) 4x12 − 16x1 = 0 ⇒ x1 = 0 ou x1 = 4. Substituindo x em (5), x1 = 0 ⇒ a = 0 (não serve) e x1 = 4 ⇒ a = −4. a) a = −4 b) x1 = 4

7.

(3m + 2)2 − 4(m2 + m + 2) = 0

Sejam v1 e v2 as velocidades e t1 e t2 os tempos do 1o. e 2o.

2 16 64 –8 Se m = 5 , y = x2 + 5 x + 25 , e a raiz é 5

8.

(1 − m)2 − 4 · (−2m) = 0 m2 + 6m + 1 = 0

Cada um dos n CDs comprados custou q reais, q = 154,80. n Com a bonificação, ele ficou com (n + 2) CDs, ao preço de (q − 2,58) reais cada. Então, q − 2,58 = 154,80. n+2

9.

Como a reta y = 8 tangencia a parábola e esta inter-

y = a(x – r)(x + r). Para x = 40 , temos y = 3, então 3 = a ( 40 – r) ( 40 + r) e daí 3 = a(40 – r2)(1) Por outro lado, para x = 0 temos y = 8, então

Se −4 é raiz dupla, então y = a · (x + 4) · (x + 4).

8 = a (0 – r) (0 + r) e daí 8 = a (–r)2 (2)

Se (−2, 12) pertence ao gráfico,

De (1) e (2) vem

então a · (−2 + 4) · (−2 + 4) = 12 ⇒ a = 3.

6.

m = −3 − 2 2

(0, 8) é ponto de máximo e a equação da parábola é

⇒ n = −12 ou n = 10. Ele comprou 10 CDs e ficou com 12, ao preço de 154,80 = 12,90 cada. 12

A lei é y = 3 · (x + 4)2 = 3x2 + 24x + 48.

m = −3 + 2 2

cepta o eixo dos x nos pontos (r, 0) e (–r, 0), o ponto

De 154,80 − 2,58 = 154,80 tem-se n2 + 2n − 120 = 0 ⇒ n n+2

5.

x2 + x = mx + 2m ⇒ x2 + (1 − m) x – 2m = 0 Se as raízes são iguais, então Δ = 0

A velocidade é de 10 km/h.

4.

m = −2

2 m= 5 Se m = −2, y = x2 − 4x + 4, e a raiz é 2

viajantes, respectivamente. Como s = vt = 90, sabe-se v1 · t1 = 90 (1) que v2 · t2 = 90 ⇒ (v1 − 1) · (t1 + 1) = 90 ⇒ ⇒ v1 t1 + v1 − t1 − 1 = 90 ⇒ t1 = v1 − 1 (2) Substituindo (2) em (1), tem-se v1 · (v1 − 1) = 90 ⇒ v1 = 10 ⇒ v12 − v1 − 90 = 0 v1 = –9 (não serve)

Se y admite uma raiz dupla, então Δ = 0 ⇒

3 8 = e r = ±8. 40 – r2 – r2

10. Tem-se x1 + x2 = 8 e sabe-se que 3x1 − 4x2 = 3.

Sejam x1 e x2 as raízes de x2 – 3x + a = 0 e x1 e x3 as de

A solução desse sistema é x1 = 5 e x2 = 3.

x2 + x + 5a = 0.

Como x1 · x2 = q, então q = 15.

Sabe-se que

x1 + x2 = 3 (1) x1 · x2 = a (2)

e

x1 + x3 = –1 (3) x1 · x3 = 5a (4)

De (1), x2 = 3 − x1 e em (2), tem-se: x1 · (3 − x1) = a (5)


11.

Se x = 1 é raiz, então 12 + (1 + 5m − 3m2) + m2 + 1 = 0 ⇒ ⇒ 2m2 − 5m − 3 = 0. A soma dos valores de m é: b 5 − a = 2 .

13/05/10 04:21


12. a)

Se x1 e x2 são as raízes de f, é dado que x21 + x22 = 40. Tem-se também x1 · x2 = p e x1 + x2 = −4. Como (x1 + x2)2 = 16, então x21 + 2x1 · x2 + x22 = 16 (x21 + x22) + 2 (x1 · x2) = 16

| 16 |

2 xv = 2 . A área máxima é 2 ·

2 2 −

2 2 1 2 = 2 , em

metros quadrados.

16. A solução é obtida do quadro: –1

40 + 2p = 16 e p = −12. x = −6 b) x2 + 4x − 12 = 0 x=2

2

+

3

–

–

+

–

–

+

+

–

+

–

+

S = {x ∈ ℝ | −1 ⩽ x < 2 ou x ⩾ 3}

17. a)

4x2 · (x − 3) − (x − 3) = 0 ⇒ (4x2 − 1) · (x − 3) ⩽ 0 –

1 2

1 2

+

–

+

+

–

–2–

–

+

–

+

–

+

14. Se a + 2b = 120, então a = 120 − 2b. A área A = ab = (120 − 2b) · b = 120b − 2b2 é máxima 120 para o b do vértice: bv = − 2 · (−2) = 30.

– –

–

S=

3

x ∈ ℝ– | x ⩽ −+

–

+

+

+ +

1 1 + – 2 ou 2 ⩽ x ⩽ 3

b) 3x3 · (2x − 1) + 2x · (2x − 1) > 0 (3x3 + 2x) · (2x − 1) > 0 x · (3x2 + 2) · (2x − 1) > 0

A área máxima é 120 · 30 − 2 · 302 = 1 800, em metros

1 2

0

quadrados.

–

+

+

+

+

+

–

–

+

+

–

+

1 S = x ∈ ℝ | x < 0 ou x > 2

18. A área da placa é dada por A(x) = (x + 3) · (2x − 4) a) 12 ⩽ (x + 3) · (2x − 4) ⩽ 28 ⇒ 12 ⩽ x2 + x ⩽ 20 A solução do sistema x2 + x ⩾ 12 x2 + x ⩽ 20

é obtida de:

–5

–4

3

4

–5

–4

3

4

Como as medidas dos lados devem ser positivas, devese ter x + 3 > 0 e 2x − 4 > 0 ⇒ x > 2. A solução é {x ∈ ℝ | 3 ⩽ x ⩽ 4}.


13/05/10 04:21


b) Se A = 28, então (x + 3) · (2x − 4) = 28 ⇒ ⇒ x2 + x − 20 = 0 ⇒ x = 4 ou x = −5 (não serve). Para x = 4, os lados medem 7 m e 4 m.

19. a)

(1) x2 + 3x + 3 ⩽ −x2 + 8x + 1 ⇒ 2x2 − 5x + 2 ⩽ 0 1 e S1 = x ∈ ℝ | 2 ⩽ x ⩽ 2 1 e S2 = x ∈ ℝ | 2 ⩽ x ⩽ 1

A solução de (1) é S1 = {m ∈ ℝ | m < 2} e a de (2), que equivale a 4m + 24 < 0, é S2 = {x ∈ ℝ | m < −6}. Temse S1 ∙ S2 = {m ∈ ℝ | m < −6}, e o maior valor inteiro

23. A função definida por y = mx2 + mx − 1 deve ter a concavidade para cima e não ter raízes, ou seja, a > 0 e Δ < 0.

A interseção de S1 e S2 é:

mx2 + mx − 1 > 0 ⇒ m > 0 m2 − 4m · (−1) < 0

1 x ∈ ℝ | x = 2 ou 1 ⩽ x ⩽ 2 b) (1) x2 + 1 < 2x2 − 3 ⇒ x2 − 4 > 0 S1 = {x ∈ ℝ | x < −2 ou x > 2} (2) 2x2 − 3 ⩽ −5x ⇒ 2x2 + 5x − 3 ⩽ 0 1 S2 = x ∈ ℝ | −3 ⩽ x ⩽ 2

Então, m > 0 e –4 < m < 0, portanto S = ∅, ou seja, não existe m que satisfaça a inequação dada.

24. Para t = 3 temos S(3) = 45 + 120 – 45 = 120 Para t = 6 temos S(6) = 45 + 240 – 180 = 105

S = S1 ∙ S2 = {x ∈ ℝ | −3 ⩽ x < −2}

20. O domínio é a solução de 2x2 2−−x4 ⩾ 0, obtida do quadro:

A distância percorrida é: |S(6) – S(3)| = |105 – 120| = 15 metros

25. Sejam x o número de máquinas e y o número de horas de trabalho. Sendo p o número total de bolas produzidas,

2

2

m + 2 < 0 (1) (−2m)2 − 4(m + 2) · (m − 3) < 0 (2)

procurado é −7.

(2) −x2 + 8x + 1 ⩽ x2 + 5x + 2 ⇒ −2x2 + 3x + 1 ⩽ 0

– 2

⇒

| 17 |

+

+

+

–

+

–

+

+

+

–

+

–

temos p = 20xy, pois cada máquina produz 20 bolas por hora. O custo, em R$, com as máquinas é 80x, e com os dois trabalhadores, 40y; o custo total é 80x + 40y.

S = {x ∈ ℝ | x < − 2 ou 2 < x ⩽ 2}

Temos: 80x + 40y = 1600,

21.

O domínio é a solução do sistema

x2 − 4 > 0 , 9 − x2 > 0

que é a interseção das soluções parciais:

2x + y = 40 e, portanto, y = 40 – 2x. Como p = 20xy, temos: p = 20x (40 – 2x)

S1 = {x ∈ ℝ | x < −2 ou x > 2} e

p = –40x2 + 800x

S2 = {x ∈ ℝ | −3 < x < 3}, ou seja,

p é máximo ⇔ x = –800 = 10 2(–40) Com x = 10, temos p = –40 · 102 + 800 · 10 = 4 000.

{x ∈ ℝ | −3 < x < −2 ou 2 < x < 3}

Assim, para produzir o maior número de bolas possível,

22. É preciso que a função definida por: y = (m + 2)x2 − 2mx + (m − 3) não tenha raízes e sua

devem ser usadas 10 máquinas. Com essa verba e com 10 máquinas, serão produzidas 4 000 bolas.

concavidade seja voltada para baixo, ou seja: a<0eΔ<0 Então (m + 2) x2 − 2mx + (m − 3) < 0 ⇒


26. L = (25 – 0,5x)x + (30 – y)y – (50 – 0,5x – y)2 Com a condição x = 2y, ou seja, y = 0,5x, temos:

13/05/10 04:21


| 18 |

L = (25 – 0,5x)x + (30 – 0,5x)0,5x – (50 – 0,5x – 0,5x)2

Substituindo (4) e (5) em (3), temos:

L = 25x – 0,5x2 + 15x – 0,25x2 – (50 – x)2

(3 – 3a)2 – 4 · a · 2a = 0 ⇔ 9 – 18a + 9a2 – 8a = 0 ⇔

L = 40x – 0,75x2 – (2 500 – 100x + x2)

⇔ a2 – 18a + 9 = 0 ⇔ a = 9 ± 6 2 Substituindo os valores de a em (4) e (5), obtemos os

L = –1,75x2 + 140x – 2 500 Sabemos que L é máximo se, e somente se, x = –140 , 2(–1,75) ou seja, x = 40. Com x = 40, temos y = 20. A decisão do diretor não foi correta. Os preços deveriam ser R$ 40,00 e R$ 20,00.

27. a)

respectivos valores de b e c. a = 9 + 6 2 , b = –24 – 18 2 e c = 18 + 12 2 ou a = 9 – 6 2 , b = –24 + 18 2 e c = 18 – 12 2 x 2

29. y = 4x –

2

2 y = 4x – x 4

Do enunciado, temos:

• O número total de cupons é: 78 + 70 + 52 · 2 + 36 · 3 = 360 mil cupons • A probabilidade pedida é 36 · 3 = 3 360 10 b) A receita bruta a ser obtida anualmente é:

y=x – x +4 4 4

RT(p) = (115 – 0,25 · p) · p ∴ RT(p) = – 0,25 · p2 + 115 · p

x 2

x

RT

x 2 RT

máx.

Na figura, temos um esboço do arco de parábola que representa y em função de x, com x > 0. y pV

0

P

A receita total é máxima no vértice da parábola: pv = –115 = 230 – 0,5 O preço que maximiza a receita bruta é R$ 230,00.

28. Seja f(x) = ax2 + bx + c. Substituindo os pontos (1, 3) e (2, 6) pertencentes ao

0

se, 0 < x < 16. b) Da simetria da parábola, podemos concluir que y é máximo para x = 8 e, nesse caso, temos:

(∆) é igual a zero, o que nos fornece a equação (3). a+b+c=3

b2 – 4ac = 0

(3)

Fazemos: (2) – (1)

y=4·8– 8 2

(1)

4a + 2b + c = 6 (2)

⇒ 3a + b = 3 ⇒ b = 3 – 3a (4)

(2) – 2 · (1) ⇒ 2a – c = 0 ⇒ c = 2a (5)


x

a) Da figura, podemos concluir que y > 0 se, e somente

gráfico dessa função, obtemos as equações (1) e (2). A função possui uma única raiz, portanto o discriminante

16

30. a)

2

= 16.

Sendo xv e yv ’ nessa ordem, a abscissa e a ordenada do vértice da parábola de equação y = x2 + mx + 2, –m em que m é uma constante real, temos xv = e 2 yv = f(x v ).

13/05/10 04:21

| 19 |


f(x v ) = f –m 2 yv = –m 2

2

y

+m· – m +2 2

2

2 yv = m – m + 2 ∴ yv = –m + 2 4 2 4 2 Assim, a abscissa é –m e a ordenada é –m + 2. 4 2 2

2

1

b) Sendo Im o conjunto imagem de f, temos:

–1

0

x

Im = y ∈ ℝ: y ⩾ –m + 2 4 2

Esse conjunto contém {y ∈ ℝ: y ⩾ 1} se, e somente 2 2 se, –m + 2 ⩽ 1. Temos –m ⩽ –1. 4 4 m2 ⩾ 4 ∴ m ⩽ –2 ou m ⩾ 2

Desafio 1 cubo grande (com todos os cubinhos) 27 cubinhos

c) Pelo item a, podemos concluir que a imagem f é igual {y ∈ ℝ: y ⩾ 1} se, e somente se, a ordenada do vértice 2 é igual a 1; yv = 1. Temos: –m + 2 = 1. 4 m2 = 4 ∴ m = 2 ou m = –2.

8 cubos (formados de 4 cubinhos) Total: 36 cubos na figura.

Testes

Vejamos os dois casos:

1.

y = x2 + 2x + 2 (m = 2)

120 = x ⋅ y ⇒ y =

120 x

180 = ( x + 15) ⋅ ( y − 2 ) ⇒

2

⇒ 180 = xy − 2x + 15y − 30 ⇒ 1

–1

⇒ 180 = 120 − 2x + 15 ⋅ ⇒ 90 + 2x −

x

0

120 − 30 ⇒ x

1800 0 =0 ⇒ 90x + 2x 2 − 1800 = x

x≠0 x 2 + 45x − 900 =⇒ 0

y = x2 – 2x + 2

−45 ± 2 025 + 3 600 ⇒ 2 −45 ± 75 x1 = 15 ⇒x= x 2 = −60 (não serve ) 2

= ⇒x 2

(m = –2)

1

y = 0

1

x

120 120 = = 8 x 15

Resposta: d.

Como f é crescente em {x ∈ ℝ: x ⩾ 0}, devemos considerar apenas o primeiro caso. Logo, m = 2. d) Do item c, temos f(x) = x2 + 2x +2

2.

De acordo com o gráfico, tem-se que a > 0 e as raízes são – 2 e 1:

f ( x ) = a ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 ) f ( x ) = a ( x + 2 ) ⋅ ( x − 1)

MCA2-Resoluc�o�es-Mercado.indd 127

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| 20 |

f ( x= ) a( x 2 + x − 2)

5.

x anos, então 1980 – x2 = x e, daí, x2 + x – 1980 = 0,

Para x = 0, f ( x ) = −4

portanto x = 44 ou x = −45 (não convém).

−4 =−2a ⇒ a =2

Em 2006, o avô de Júlia tinha 26 anos a mais do que em

f ( x ) = 2x 2 + 2x − 4

1980, ou seja, 44 + 26 = 70 anos.

Resposta: d.

3.

Resposta: d.

R ( q) = a ( q − 0 ) ⋅ ( q − 500 )

6.

R= ( q) a ( q2 − 500q)

v (= t ) 20t − t2

v (= t ) 100 ⇒ −t2 + 20t − 100 = 0

Para q = 50, R = 45 000

= 45 000 a ( 2 500 − 25 000 )

= t

−20 ± 400 − 400 = 10 (horas ) −2

6 h + 10 h = 16 h

a =−2 ⇒ R ( q) =−2q2 + 1000q

Resposta: c.

C ( q= ) aq + b 45 000 =a ⋅ 50 + b  a ⋅ 350 + b 105 000 =

O avô de Júlia nasceu no ano x2. Em 1980, ele completou

 

7.

O número inicial de alunos da classe era n. A arrecadação necessária era n ∙ R$ 135,00.

 – : 60 000 = 300a ⇒= a 200

Como 7 alunos deixaram a escola, o número de alunos

45 000= 200 ⋅ 50 + b ⇒ b= 35 000

ficou reduzido a n − 7. Tendo permanecido o valor das

C= ( q) 200q + 35 000

despesas, temos n ∙ R$ 135 = (n − 7) ∙ (R$ 135 + R$ 27) e, daí, 135n = 162n − 1 134, portanto n = 42. As despesas

L= ( q) R ( q) − C ( q)

foram de 42 · 135 = 5 670 reais. Como o diretor colaborou

L ( q) = −2q + 1000q − ( 200q + 35 000 )

com R$ 630,00, os alunos arcaram com R$ 5 040,00.

L ( q) = −2q2 + 800q − 35 000

Cada um dos 42 – 7 = 35 alunos da classe arcou com

Resposta: a.

5 040 : 35 = 144 reais.

2

Resposta: e.

4.

f ( x )= x + 2

g ( x ) = 1− x

8.

Na linha de cima do quadro deve estar faltando o coeficiente do termo em x:

h( x ) =f( x ) ⋅ g ( x ) =( x + 2 ) ⋅ (1− x ) =− x 2 − x + 2

2x 2 − b ⋅ x + 60 = 0

a < 0 ⇒ concavidade para baixo

Como x = 6 é raiz, tem-se: 2 ⋅ ( 36 ) − b ⋅ 6 + 60 = 0 ⇒

−x 2 − x + 2 = 0

⇒b = 22

= x

1± 1+ 8 1± 3 x1 = −2 = −2 −2 x 2 = 1

Raízes: –2 e 1 Para x = 0, h ( x ) = 2 Resposta: d.


Resposta: e.

9. ( 4m + 3n) x 2 − 5nx + (m − 2) = 0 b − ( −5n) 5 Soma das raízes: − = = ⇒ a 4m + 3n 8

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| 21 |


⇒ 40n = 20m + 15n ⇒

A receita y é máxima para x = − 2 400 = 75 e será –32 ymáx = 800 ∙ 75 + 25 ∙ 16 ∙ 75 = 60 000 + 30 000 = 90 000

⇒ 20m − 25n = 0  c m−2 3 Produto das raízes: = = ⇒ a 4m + 3n 32 ⇒ 32m − 64= 12m + 9n ⇒ ⇒ 20m − 9n = 64 

Resposta: b.

13.

preço de venda preço de custo

0  20m − 25n =  20m 9n 64 − =  

Deseja-se lucro máximo, então:

100x − x 2 − 6 000 + 60x = 0

 – : 16n = 64 ⇒ n = 4

−x 2 + 160x − 6 000 = 0

20m − 25 ⋅ 4 = 0 ⇒ m = 5

10.

x (100 − x ) − 60 (100 − x )  

m+n = 9

O lucro será máximo no vértice da parábola

Resposta: a.

= xv

6x + x −1 − 5 = 0

Resposta: e.

6x 2 − 5x= + 1= 0 ⇒ x

5 ± 25 − 24 ⇒ 12

14. A receita da agência é dada pelo produto do número de

1 u= 5 ±1 2 ⇒x= 1 12 v= 3 u + v − uv =

−b −160 = = 80 −2 2a

clientes pelo preço que cada um paga. Cada redução de R$ 5,00 no preço causa um aumento de 10 clientes, então, se houver n reduções de R$ 5,00, o número de clientes aumentará 10n.

1 1 1 2 + − = 2 3 6 3

Calculemos a receita após essa redução:

Resposta: a.

y = receita = preço × no. de clientes = = (50 – n ∙ 5) ∙ (40 + 10n) = (50 – 5n) (40 + 10n) =

11. Inicialmente, cada um dos x estudantes pagaria 3 250 : x

= 5 ∙ (10 – n) ∙ (4 + n) ∙ 10

Com a entrada de mais três pessoas, cada uma deverá

A receita máxima ocorre para n = 10 – 4 = 3, ou seja, 2 para preço = 50 – 3 · 5 = 35.

pagar 3 250 : (x + 3).

Resposta: b.

para a compra do notebook.

É dado que 3 250 : (x + 3) = 3 250 : x − 75, então: 3 250 = 3 250 − 75 x+3 x 3 250 x = 3 250 (x + 3) – 75x (x + 3)

15. extremidades da passarela

y

75x2 + 225x – 9 750 = 0 ⇒ x2 + 3x − 130 = 0 ⇒ ⇒ x = 10 ou x = −13 (não convém) Resposta: b. 1

12. O número de alunos é x (0 < x ⩽ 100). A receita da companhia aérea será: y = 800 ∙ x + (100 − x) ∙ 16 ∙ x y = –16x2 + 2 400x


– 1,2

2

3

4

5

x

margens do rio

Equação da parábola: y = a ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )

y= −1( x − 0 ) ⋅ ( x − 5) = − x 2 + 5x

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| 22 |

A altura máxima da passarela corresponde à ∆ −25 coordenada y do vértice: y v = − = = 6,25 . 4a −4 Assim, em relação ao nível do rio, a passarela terá no máximo 6,25 + 1,20 = 7,45m

Resposta: a.

16.

x

∆ −1 1 yv = − == 4a 4 4

y = a ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )

R= x ∪ y

y= a ( x + 1) ⋅ ( x − 5)

( −2, − 7 ) ∈ ao gráfico ⇒

1

0

−7 = a ( −2 + 1) ⋅ ( −2 − 5) ⇒

⇒ a =−1

1 4

0

1

y =− ( x + 1)( x − 5) =− ( x 2 − 5x + x − 5) =

1

x

S = área sombreada

4

= − x + 4x + 5 2

Assim, a área S é maior que a área do retângulo de 1 base 1, e altura é menor que a área do retângulo 4 1 1 1 de base 1 e altura . Então, u. a. ≤ S ≤ u. a. 4 2 2

O valor máximo corresponde a coordenada y do

∆ − (16 + 20 ) vértice: y v = − = = 9 4a −4 Resposta: b.

Resposta: d.

17. f ( x ) =0,2x ⋅ (1− x ) =−0,2x 2 + 0,2x

f x 19. ( ) > 0 ⇒ f ( x ) e g ( x ) > 0 g (x)

f ( x ) ≥ 0 ⇒ −0,2x + 0,2x ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 ou [0; 1] 2

ou f ( x ) e g ( x ) < 0

Além disso, g ( x ) ≠ 0 (condição de existência) Assim, x < −3 ou ]−∞, − 3[ 0

1

x

Resposta: e.

20. A função quadrática tem raízes −1 e 2 e concavidade volResposta: e.

18. x:

tada para cima, então é da forma y = a(x + 1) (x − 2). Para x = 3, temos y = 10, então: 10 = a(3 + 1) (3 − 2) ⇒ a = 10 = 5 . 4 2 A parábola cruza o eixo Oy para x = 0, então: y = Q(0) = 5 (0 + 1) (0 – 2) = − 5. 2 Resposta: b.

y = x − x 2 ≥ 0 ⇒ y = x (1− x ) ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1

x 0

1

21. R ( x ) = kx (P − x ) = −kx 2 + kPx, ou seja, R ( x ) é uma parábola com a concavidade para baixo.

∆ −1 1 yv = − = = 4a −4 4 y: y = x − x ≥ 0 ⇒= y x ( x-1) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 1 2


Resposta: e.

22. R ( x ) = −kx 2 + kPx Se P 44 000 ⇒ R ( x ) =−kx 2 + k ⋅ 44 000 ⋅ x =

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| 23 |


A máxima rapidez de propagação corresponde ao vértice da parábola:

b b b xv = − ⇒2= − ⇒a= −  2a 2a 4

b −k ⋅ 44 000 − = = xv = 22 000 (pessoas) 2a 2 ( −k )

 em : 4 =−

Resposta: b.

23. f(x) = ax

2

Assim, h( t ) =− t2 + 4t

+ bx + c

Resposta: a.

f(x+1) = a(x + 1)2 + b(x + 1) + c = = ax2 + (2a + b)x + (a + b)

26.

f(x + 1) – f(x) = 6x – 2, ∀x

2a = 6 ⇒ a + b = –2

2

= 10x 2 − 66x + 121

a=3 b = –5

O valor mínimo de z corresponde à coordenada y do vértice da parábola:

484 ∆ ( 4 356 − 4 840 ) = yv = − = − = 12,1 4a 40 40

O menor valor de y ocorre para: x = − b = − –5 = 5 2a 6 6 Resposta: c.

24.

3x + y = 11⇒ y = 11− 3x z = x 2 + y 2 = x 2 + (11− 3x ) = x 2 + 121− 66x + 9x 2 =

2ax + (a + b) = 6x – 2, ∀x então

b2 ⇒ b =4 ⇒ a =−1  b 4 ⋅ −   4

x 2 + kx + 36 = 0

Resposta: b.

27.

1 1 ≤ x − 20 12 − x

1 1 5 + = x1 x 2 12

x ≠ 20 e x ≠ 12 (condição de existência)

x1 + x 2 5 = x1 ⋅ x 2 12

12 − x − ( x − 20 ) 1 1 − ≤0⇒ ≤0⇒ x − 20 12 − x ( x − 20 )(12 − x )

b Soma das raízes: x1 + x 2 = − = −k a

⇒

c Produto das raízes: x1 ⋅ x 2 = =36 a Assim, deseja-se que:

−k 5 = ⇒ k =−15 36 12

Resposta: a.

25. h ( t ) =

32 − 2x ≤0 −x 2 + 32x − 240

f ( x= ) 32 − 2x (0, 32) e (16, 0) pertencem a f(x)

g( x ) = −x 2 + 32x − 240 ⇒ x =

−32 ± 1024 − 960 −2

32 ± 8 x1 = 20 (não serve) ⇒x= x 2 = 12 (não serve) 2

at2 + bt + c

Considerando o solo como origem dos espaços: h (0) = 0 ⇒ c = 0

f (x )

16

h (= t ) at2 + bt

A altura máxima corresponde ao vértice da parábola: parábola: y v =−


∆ b2  ⇒ 4 =− 4a 4a

12

20

g(x )

f (x )

12

16

20

g(x )

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| 24 |

f (x) ≤ 0 para x < 12 ou 16 ≤ x < 20 . g( x )

Assim,

 em : x ( x + 1) = 90 ⇒ x 2 + x − 90 = 0 ⇒

Os números inteiros positivos que satisfazem a equação são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 16, 17, 18 e 19 (15 números).

−1± 1+ 360 ⇒ 2 −1± 19 x′ = −10 (não serve) ⇒x= x′′ = 9 2

= ⇒x

Resposta: b.

Assim, v1 = x + 1= 9 + 1= 10 (km/h)

28. Uma interpretação do enunciado é dada pela figura

Resposta: d.

abaixo:

30. Do gráfico, vem que f ( 0 ) = −1 e f ( −1) = 1.

x

f ( x ) =x 2 + mx + n x

x

−1=n 1=( −1) + m ( −1) + n ⇒ 1=1− m − 1⇒ m =−1 2

x

perímetro: 4x

m =1 n

3y

Resposta: a.

y

y

31. Se x o preço de um CD e y o número de CDs comprados.

3y

154,80 =y  x

perímetro: 8y 4x + 8y = 140 ⇒ y = 35 – x 2 áreas = x2 + 3y2 = x2 + 3 ∙ 35 – x 2

2

154,80 = y +2  x − 2,58

=

 em :

2 = x + 3 675 – 210x + 3x = 4 2

154,80x = 154,80x − 399,38 + 2x 2 − 5,16x

2 = 7x – 210x + 3 675 4

2x 2 − 5,16x − 399,38 = 0

O mínimo da soma das áreas ocorre para x = − b = 210 = 15 (m) 2a 14 Nesse caso, a área do quadrado é x2 = (15 m)2 = 225 m2

x 2 − 2,58x − 199,69 = 0 x=

Resposta: a.

29. Seja

o tempo que ele demora para percorrer os 90 km. x + 1 e t1 = y − 1 são, respectivamente, a Então, v1 = Como os dois viajantes percorrem a mesma distância, tem-se: v1 ⋅ t1 = v 2 ⋅ t2

( x + 1) ⋅ ( y − 1) = x ⋅ y ⇒

xy − x + y − 1= xy

y = x +1  v 2 ⋅ t2 = 90 ⇒ x ⋅ y = 90 


2,58 ± 6,66 + 798,76 2,58 + 28,38 = x = 15,48 2 2

Preço efetivamente pago: x − 2,58 = 15,48 − 2,58 = 12,90 (reais )

v 2 = x a velocidade do segundo viajante e t2 = y

velocidade e o tempo do primeiro viajante.

154,80 154,80 154,80 + 2x = = +2 x − 2,58 x x

Resposta: d.

3.

x 2 + 3x + 5 = 0 ∆ = 9 − 20 < 0 (com isso, as alternativas a, b e d estão excluídas)

x 2 + 5x + 3 = 0 ∆= 25 − 12= 13

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| 25 |


(portanto a equação tem raízes irracionais e a alternativa c está excluída) Logo, a alternativa correta é e.

33. Como 2 é raiz de f ( x )

yv = −

e a abscissa do vértice é

2+ x x v = 4 , a outra raiz é tal que =4⇒x =6 2 Assim f ( x ) = a ( x − 2 ) ⋅ ( x − 6 ) e como (4, 2) é um ponto de f ( x ) vem que:

2 =a ( 4 − 2 ) ⋅ ( 4 − 6 ) ⇒ a =− Logo, f ( x ) = −

( 4λ2 − 4λ ) = − 4λ ( λ − 1) = 1− λ ∆ =− 4a 4λ 4λ

• para λ < 0, a concavidade da parábola é para baixo e y v > 0 ⇒ que a função assume valores positivos e negativos. • para λ > 1, a concavidade da parábola é para cima e y v < 0 ⇒ que a função assume valores positivos e negativos.

1 2

• para 0 ≤ λ < 1, a concavidade da parábola é para

1 1 − x 2 + 4x − 6 ( x − 2) ⋅ ( x − 6 ) = 2 2

cima e y v > 0 ⇒ que a função só assume valores positivos. Resposta: e.

1 a ⋅ b ⋅ c =− ⋅ 4 ⋅ ( −6 ) =12 2

37. f ( x ) = x 2 + bx + 1

Resposta: e.

34.

b 2λ xv = − = − = −1 2a 2λ

f ( −1) = 2 − b

y = 56x − x 2 ⇒ = y x ( 56 − x )

f ( f ( −1) ) =3 ⇒ f ( 2 − b )= f ( 2 − b ) + b ( 2 − b ) + 1= 3 2

Raízes: = x 0= e x 56

4 − 4b + b2 + 2b − b2 + 1= 3 ⇒ b = 1

Resposta: b.

Resposta: d.

35. Do gráfico, vem que: ( −2, 0 ) , (1, 0 ) e ( 0,

− 4)∈ à

parábola. f ( x ) = ax 2 + bx + c

0 = 4a − 2b + c 

38. f ( x=)

mx 2 − x + n

y v > n e m ⋅n >

1 4

0 =a + b + c 

∆ = b2 − 4ac = 1− 4m ⋅ n

−4 = c 

1 m ⋅ n > ⇒ ∆ < 0, ou seja, a parábola não intercepta 4 o eixo x.

4 4a − 2b =  em  e :  a + b = 4 ×2 ) (  4 4a − 2b = ( + ) ⇒ 6a = 12 ⇒ a = 2  8 2a + 2b = 2+b = 4 ⇒b = 2 f ( x ) = 2x 2 + 2x − 4 Resposta: d.

36. f ( x ) = λx 2 + 2λx + 1, onde λ∈. As coordenadas do vértice desta parábola são:


∆ 4 mn − 1 1 − = = yv = n− 4a 4m 4m yv > n ⇒ n −

1 1 >n⇒ − >0⇒m<0 4m 4m

Assim, a concavidade da parábola é para baixo. Resposta: c.

39. Devemos ter: soma das raízes = −p = ∆ + 1 – ∆ = 1 (1) produto das raízes = q = ∆ ∙ (1 – ∆)= ∆ – ∆2 (2)

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De (1), vem p = –1 e a equação fica sendo x 2 − x + q = 0, onde: ∆ = (−1)2 – 4q = 1 – 4q ∆2 = (1 – 4q)2 = 1 – 8q + 16q2 De (2), vem: q = (1 – 4q) – (1 – 8q + 16q2) q = 4q −16q2 16q2 – 3q = 0 Como q ≠ 0, vem q = 3 . 16 Resposta: d.

40. a) Verdadeira, pois: f ( 0 ) = 1000 f ( 50 ) = −2 500 + 1500 + 1000 = 0 b) Falsa, pois o número inicial da população de insetos é 1 000. c) Falsa, pois a população de insetos cresce até o décimo quinto dia. d) Verdadeira, pois para t = 50 dias a população de insetos é zero.


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ResoluçãoFunçãoQuadrática

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