Resistenciaesfuerzocortante

Notas de Resistencia al Esfuerzo Cortante

RESISTENCIA AL ESFUERZO CORTANTE Estos problemas serán atacados ampliamente en el segundo curso de Mecánica de Suelos, para efectos de este primer curso, discutiremos solamente las expresiones que establecen tal resistencia (S) y las pruebas de laboratorio que permiten conocerla. Históricamente, Coulomb, en 1776 ataca el problema bajo la hipótesis inicial que dicha resistencia era debida a las propiedades de fricción existente en las superficies de contacto de las partículas. (Figura 1.2)

Todo estudio de Mecánica de Suelos consta centralmente de dos aspectos: 1. Cálculo y análisis de asentamientos. 2. Análisis de estabilidad. Para la discusión de los asentamientos, resulta imprescindible el uso de la teoría de la consolidación de Terzaghi; en lo que se refiere a los “Análisis de Estabilidad” habrá que atender no a las resistencias y en concreto a la resistencia al corte. Usualmente, en Ingeniería estos “Análisis de Estabilidad” se refieren a:

Donde el peso del cuerpo es “W”, el área decontacto “A”, la carga aplicada “P”, la carga total a la superficie de deslizamiento es ”N”.

a) Estructuras de contención de rellenos. b) Taludes en excavaciones o en otros lugares u obras. c) Cimentaciones, para lo cual se evalúa la “Capacidad de soporte” o de carga. Las principales teorías que se evocan al problema, lo hacen suponiendo superficies de falla que acotan “cuñas”, las cuales a su vez se supone que se mueven como cuerpos rígidos, movimientos que se logran solo si se vence la resistencia al corte (S) que el suelo ofrece en la superficie supuesta de falla. (Figura 1.1)

CUÑA

Resulta obvio, de acuerdo a la física elemental que:

F ≈Ν

F=μ N

1

donde µ es constante de proporcionalidad (Modulo de fricción)

CUÑA

E

S

S S S SUPERFICIES SUPUESTAS DE FALLA CUÑA S = RESISTENCIA AL ESFUERZO COTANTE DEL SUELO S

CUÑA = SUPUESTA COMO CUERPO RIGIDO

Figura 1.1 Analisis de estabilidad de masas de tierra, donde interviene la resistencia al esfuerzo cortante del suelo

3


Para algun cuerpo: P

Para el suelo:

N=P+W

A

F R

W

F Superficie de deslizamiento

F

F R

N N

Figura 1.2 Modelo de fricción aplicado al suelo.

de 1:

μ =

F N

por lo tanto: = tan φ

S = σ tan θ

y de la figura 1.2: F = N tan φ

por lo tanto:

μ = tan θ

Ley de la resistencia para suelos puramente friccionantes. (arenas y gravas limpias) donde"σ” es esfuerzo normal actuante en la superficie de deslizamiento,”S” es el esfuerzo tangencial actuante en la superficie de deslizamiento, “θ” es el ángulo de fricción interna ( constante del material).

2

De acuerdo a la expresión 2 es posible representar a la naturaleza friccionante por un ángulo, este ángulo ha sido llamado por ello: ángulo de fricción interna. El ángulo de fricción interna ( θ ), resulta ser el ángulo de inclinación de la fuerza resultante “R” respecto a la normal a la superficie de deslizamiento; esta aseveración es aplicada de manera cotidiana en el próximo curso de Geotecnia II. Sustituyendo:

La expresión I establece, que a confinamiento nulo (σ = 0) la resistencia al esfuerzo cortante (S) es nula, (S = 0) esto es cierto solo en algunos suelos, los granulares ( arena y gravas limpias), pues en ellos si es posible suponer que la resistencia al corte se debe exclusivamente a la fricción; pero existen otros suelos en los que se supone inicialmente como constante dependiente del nivel de esfuerzos “σ”.Así:

μ = tan θ

S=C

en la expresión 1:

Ley de resistencia para suelos “puramente cohesivos” (arcillas y algunos limos).

dividiendo entre el área A:

A

II

donde “C” es la = Cohesión

F = N tan θ

F

I

=

N A

Los suelos que tengan cohesión y fricción ( suelos – cohesivos – friccionantes ) exhibirán una ley de resistencia combinada, se ha supuesto que tal combinación se presenta como una adicción; por ello:

tan θ

4


S = C + σ tan θ

Estas líneas rectas son llamadas envolventes de falla pues son el lugar geométrico de todos los puntos que definen los esfuerzos actuantes en las superficies de falla ( σ y S ); para ilustrarlo, adoptemos una muestra de suelo sujeta a esfuerzos principales hasta la falla. (Figura 1.4).

III

Ley de resistencia para suelos cohesivos friccionantes. Terzaghi, según ya vimos en el tema anterior, demostró que el esfuerzo normal “σ” al que se hace mención, es en realidad el esfuerzo efectivo σ; σ=σ–Un. Así las anteriores ecuaciones quedan: S = σ tan θ = (σ - Un) tan θ

Donde “θ1” es el esfuerzo principal mayor (axial), y “θ3” es el esfuerzo principal menor (lateral). Estado de esfuerzos “A” muestra confinada lateralmente con el mismo esfuerzo (σ3). Estado de esfuerzos “B” muestra confinada lateralmente con σ3 y axialmente aplicado un esfuerzo: σ1 + σ3 = σ1.

I´

S=C

II´

S = C + σ tan θ = C + (σ - Un) tan θ

III¨

La cohesión “C” en realidad no es constante, su valor depende del contenido de agua “w” que el suelo tenga C = F(w) así, la expresión general que rige la resistencia al corte quedaría:

Estado de esfuerzos “C” correspondiente a la falla, con:

S = F (w) + σ tan θ

Pero como prácticamente es imposible determinar esa función, las expresiones usuales son las I’, II’, III’ según sea el caso. Estas leyes son representadas por líneas rectas en el plano Mohr. (Figura 1.3).

σ3

= Confinamiento Horizontal

σ if

= Esfuerzo principal mayor (axial)

correspondiente a la falla:

σ if = σ 3 + 2 θ σ = σ 3 + σ 2

S C S=

+

tg S=

estado

tg

Envolventes de falla S=C

Figura 1.3 Embolvente de falla para suelos : cohesivos, friccionantes y cohesivo - friccionantes.

5

(Figura 1.5)


=Esfuerzo principal m ayor (axial) =Esfuerzo principal m enor (lateral)

= A

=

+ +

+

B

C

Figura 1.4 Muestra de suelo sometida a un esfuerzo de confinamiento y distintos esfuerzos desviadores.

S Punto de tangencia

Circulo que representa al estado de esfurzos C correspondiente a la falla SS C

S3

1f 2

=Pc

Figura 1.5 Estado de esfuerzos a la falla, representados en el plano de Mohr para un suelo cohesivo - friccionante.

6


De la figura se puede ver que:

Pruebas para determinar la resistencia al esfuerzo cortante del suelo.

2θ = 180 − (90 − θ ) = 90 + θ

θ = 45° + θ

2

En la practica “S” se determina ya sea en el laboratorio o en el sitio de interés según sea el equipo disponible, grado de aproximación deseada, presupuesto disponible etc. A continuación discutiremos tales pruebas someramente, una discusión profunda al respecto podrá establecerse en bibliografía especializada o en laboratorios dedicados a la materia.

= ⊄

Donde “ ⊄ ” ángulo de inclinación de la superficie de falla respecto al plano donde actúa él 2.

a) Prueba directa de resistencia al esfuerzo cortante. b) Prueba “in situ” por medio de la veleta. c) Pruebas triaxiales de resistencia al esfuerzo cortante. d) Prueba de compresión simple.

Esfuerzo principal mayor. (Figura 1.6).

S

Estado de esfuezos C Estado de esfuerzos B C

Figura 1.6 Representación del estado de esfuerzos en el plano de mohr, previo a la falla y en el estado de falla.

7


SII , σII : Esfuerzos tangenciales y normal actuante en la superficie de falla en el instante de falla, correspondientes al ensaye II. Donde “S” es la resistencia al esfuerzo cortante del suelo en cuestión, si l nivel de esfuerzos fuese σ. El conocer la envolvente de falla representa el objetivo del ensaye, pues conocer tal envolvente implica poder determinar la resistencia “S” para cualquier nivel de esfuerzos al que este sujeto él depósito de suelo que representan las muestras ensayadas. Debido a la naturaleza de la prueba, tiene serias desventajas, como ya lo mencionábamos:

Prueba directa de resistencia al esfuerzo cortante. Este ensaye que predomino durante muchos años posteriormente fue desplazado por pruebas de tecnología más avanzadas (pruebas triaxiales). Debido a su simplicidad tiene inconvenientes en lo que respecta a la precisión y a la aplicabilidad, sin embargo, esta simplicidad tiene a su vez ventajas (pequeñas): El interés práctico y didáctico. En la siguiente figura presenta esquemáticamente él aparata necesario para tales ensayes. Las dos piedras porosas proporcionan drenaje libre a muestras saturadas si esto resulta deseable, si no, se sustituyen por placas de confinamiento.(Figura 1.7) .En un ensaye, además de conocer los diagramas de esfuerzos VS deformación normales y tangenciales. También es posible conocer los esfuerzos normales (G) y tangencial (S) actuantes en las superficies de falla.

Ejecutando varias pruebas con diversos valores de la presión normal pueden trazarse puntos en la grafica σ – S con los valores de las presiones normales y los valores máximos de “S” obtenidos en cada una de las pruebas; uniendo los puntos así obtenidos sé tendrá la envolvente de falla del material correspondiente a este procedimiento de prueba. (Figura 1.8)

Bastidor superior

Micrómetro

Yugo Plano de corte Muestra

F

B Bastidor inferior Base

Figura 1.7 Representación esquemática de la prueba de corte directo.

8

Sección crítica


S III IV

S S

II II

I C

II

Figura 1.8 Variación de la resistencia al corte con el esfuerzo normal.

Desventajas o inconvenientes de la prueba

4.- Es imposible impedir el drenaje de las muestras cuando esto sea deseable.

1.- Es imposible conocer los esfuerzos que actúan en planos distintos al de falla durante su realización. 2.- La prueba es aplicable a suelos de falla plástica (arena suelta, arcilla y algunos limos blandos), no debiendo ser aplicada a suelos de falla frágil (arcilla compacta, arenas y gravas compactas). 3.- El área de la sección critica, en realidad varia durante la aplicación de la fuerza tangencial lo que conduciría a efectuar correcciones que normalmente no suelen hacerse.

La segunda desventaja se presenta debido a que se generan grandes concentraciones de esfuerzos en el contacto de la muestra con el aparato, de tal forma que si el suelo tuviese frágil el mecanismo de falla seria progresivo (falla progresiva) eso implicaría que no todos los puntos de la superficie de falla están sometidos al esfuerzo “S” hipótesis fundamental del ensaye. (Figura 1.9)

Representacion del sistema de esfuerzos.

Muestra ensayada, en el estado incipiente de falla. S

Superficie de falla

Polo

F

Paralela a la superficie de falla

S 3 C 1

Plano donde actua

3

1

Plano donde actua

"Prueba in situ por medio de veleta"

Figura 1.9 Esfuerzos inducidos en el estado incipiente de falla y representación en el plano de mohr.

9


posteriormente se le aplica un giro produciendo un momento (Mm) que es posible medir con un aparato colocado en la parte superior. El mencionado momento se va incrementando, hasta lograr movilizar el suelo atrapada en la veleta teniendo para ello que vencer la resistencia al corte que se ofrece en el área perimetral de la veleta; esa resistencia genera a su vez un momento que obviamente se opone al giro inducido por “ Mm”, ese momento resistente MR será:

En lo que respecta al primer inconveniente, si bien es cierto, es imposible conocer esfuerzos en planos distintos al de falla durante su realización, si es posible hacerlo en el estado incipiente de falla. Para ello se hace uso de la “teoría de polo” determinado así los planos donde actúan los esfuerzos principales (θ3 y θ1 ); La magnitud de θ3 Y θ1 son fácilmente obtenibles si consideramos que solo existen un circuito tangente a la envolvente en el punto (θ, S ) que tenga su centro en el eje “θ”, según se muestra en la siguiente figura.

MR = Momento resistente generado + Momento resistente generado por “S”

Prueba in situ por medio de veleta Por “S” en el lado lateral en las áreas circulares de las bases.

La gran ventaja de esta prueba, es que mediante ella, es posible conocer “S” a distintas profundidades del deposito en estudio (Z1 Z 2 etc.) de una manera sencilla, y en el instante en que se realiza una simple operación aritmética. (Figura 1.10)

M R = M RL + 2M RB M RL = (π D × H) S ×

Se hacen perforaciones a profundidades ligeramente menores a las que se desean conocer “S”, después se hinca la veleta a la profundidad deseada (quedando sumergida)

1

D 2

donde (π D × H) es el área, “S” el esfuerzo por lo que (π D × H) S es la fuerza y

D 2

distancia. R osca para acoplar extensiones

MM

Z1

H

Fachada

Z2 Profundidades a las que se desea calcular "S"

D F

Suelo m ovilizado Planta

d

Figura 1.10 Esquema que ilustra la realización de la prueba de la veleta.

10

D D d= 32 2 = 3

es la


M RL =

πD 2

HS

1’ Sustituyendo 1’ y 1’’ en 1

De la figura en pag.

En el instante de la falla incipiente o sea en el equilibrio critico, el momento aplicado medible es máximo e igual al “MR.

M RB = F × d

M RB =

πD

2 HS + 2

2

πD 12

3 S =

πD

2

2

MM

HS +

πD 6

3 S =

MM =

D/2

S=

S H

S

F

πD

2

2

⎛ ⎝

S⎜H +

D⎞ 3

⎟ ⎠

π D2 ⎛

D⎞ S⎜H + ⎟ 3⎠ 2 ⎝

MM

πD ⎛ 2

D⎞ ⎜H + ⎟ 2 ⎝ 3⎠

S S

Figura 1.11

M RB =

πD

2

4

S×

Como se puede observar el denominador depende exclusivamente de las características geométricas de la veleta en particular ese denominador es constante en todos los ensayes, por ello se calcula de una vez por todas.

D 3

“Constante de la veleta” M RB =

πD

3

12

S

⎛ D 2 ⎞⎛ D⎞ ⎟⎟⎜ H + ⎟ C = ⎜⎜ π 3⎠ ⎝ 2 ⎠⎝

1’’

∴ S=

11

MM C


Pruebas de compresión sin confinar

Pruebas triaxiales de resistencia al esfuerzo cortante

El calificativo de este ensaye especifica claramente la naturaleza de el, pues consiste en cargar axialmente a una muestra inalterada y representativa hasta llevarla a la falla, sin confinamiento alguno. (Figura 1.12)

Estos ensayes, aunque resultan más caros, predominan sobre los anteriormente discutidos debido a su refinamiento en la tecnología que proporciona una mayor . aproximación en los resultados buscados, pues simula mas aceptablemente lo que en la naturaleza ocurre con él deposito en estudio. Las siguientes figuras muestran esquemáticamente a la “cámara triaxial” y un somero relato acerca de su realización (Figura 1.14).

A partir de un ensaye con el aparato mostrado, se tiene la carga máxima axial (q ) que el espécimen puede soportar sin u confinamiento y el ángulo de inclinación de la superficie de falla “°” respecto plano donde actúa (q ) . Con el valor (q ) (esfuerzo u u principal mayor) y el confinamiento nulo (esfuerzo principal menor) es fácil concluir que él circulo de Mohr que representa el estado de esfuerzos en el momento de falla incipiente, es el mostrado. (Figura 1.13).

E x te n s o m e tro P o le a s

S o p o rte d e l e x te n s o m e tro

C a b e za l C abezal E s p é c im e n B a s e fija

M a rc o d e c a rg a C a b le M é n s u la Tope

Figura 1.12 Representación esquemática de la prueba de compresión sin confinar.

12


S Punto de tangencia

C S=

+

tg

Envolvente de falla

2

C

3

1

=0 u

=q u

PFigura 1.13 Estado de esfuerzos de la prueba de compresión sin confinar.

Al compresor Bureta Cilindro de lucita Agua Membrana flexible Muestra cilindrica

Piedra porosa

Base y tapa metalica Valvula

Valvula

Detalles principales de una puestra en una camara triaxial

Esquema de la campana de compresion triaxial

Figura 1.14 Diagrama esquemático de la prueba de compresión triaxial.

13


Las pruebas triaxiales pueden ser de extensión o compresión.

Procedimiento: 1. Se coloca la muestra envuelta en la membrana de látex, sobre el pedestal. 2. La muestra, sellada con la membrana se coloca en la cámara, aplicando lateralmente la presión de confinamiento con aire y por medio de agua que llena la cámara. 3. Se controla el drenaje de la muestra mediante la válvula inferior. 4. Se aplica la carga vertical, mediante el vástago que penetra en la cámara, hasta que se produce la rotura.

1. De compresión a)Esfuerzo horizontal constante, incrementando el axial. b)Esfuerzo vertical constante, disminuyendo el horizontal. c) Esfuerzo vertical aumentando, con el horizontal disminuyendo.

2. De extensión a)Esfuerzo horizontal constante, disminuyendo el axial. b)Esfuerzo vertical constante, aumentando el horizontal. c) Esfuerzo vertical disminuyendo, con el horizontal aumentando. El ensaye mas generalizado en los laboratorios de Mecánica de Suelos, debido a su simplicidad práctica, es el de compresión bajo esfuerzo horizontal constante e incrementando el vertical. Además también, las pruebas triaxiales pueden variar, de acuerdo a sí las muestras drenan o no en la 1ra o 2da etapa. Así en la practica cotidiana de los laboratorios se establecen pruebas de compresión triaxial llamadas:

Figura 1.15 Formas típicas de muestra en un ensaye triaxxial

Prueba lenta o drenada ( “L”). La muestra ensayada drena en ambas etapas; en todo momento pues, los esfuerzos en la muestra son efectivos debido a que con el drenaje se disipan las presiones en excesos de la hidrostática generada por la carga en cuestión.

Estas pruebas se dividen en dos etapas:

1ra. Etapa:

2da. Etapa:

Aplicación del esfuerzo de confinamiento presionando con aire el agua dentro de la cámara.

Prueba rápida consolidada ( “Rc”). Prueba con consolidación al drenar en la 1ra etapa y sin drenaje en la 2da etapa.

Aplicación del esfuerzo desviador por medio del vástago que se ilustra en la figura 1.15.

14


S

III II I C

(

3

)I

(

3

) II

(

3

) III

C I

(PC) II (PC) III

Figura 1.16 Circulos de Mohr de distintas muestras ensayadas con diferentes esfuerzos de confinamiento.

Aun que también es posible descartar aquellos círculos que ofrecen valores disparados y en los que no se tiene confianza por la naturaleza de la muestra usada y por las irregularidades de la ejecución del ensaye triaxial.En la figura se ilustran tres círculos de Mohr que representan el estado de esfuerzos correspondientes al instante de la falla de una muestra de suelo sujeta a los confinamientos ( σ 3 )I , ( σ 3 )II y ( σ 3 )III falladas

Prueba rápida (“R”). “Prueba sin consolidación sin drenaje” pues no drenan en ninguna de las dos etapas. La alternativa de ensaye consistente en impedir el drenaje en la 1ra etapa y dejar que drene en la segunda, no tiene sentido pues en las presiones en exceso de la hidrostática debido al drenaje impedido en la 1ra etapa, se disparan de todas formas al ocurrir el drenaje en la segunda etapa; lo que equivaldrá a la prueba “R”.

mediante la aplicación axial de los esfuerzos desviadores (Pc)I, (Pc)II y (Pc)III.

Para determinar la envolvente de falla (los valores de “C” y “ φ ” de un suelo, por medio de estos tipos de pruebas, se ejecutan de 3 a 4 ensayes con distintas muestras del mismo suelo, sometidas a confinamiento distinto. Los Círculos de Mohr teóricamente debieran ser tangentes a la envolvente; en la practica esto no ocurre, por lo que la envolvente sé traza como una línea promedio por encima de unos y por debajo de otros círculos. (Figura 1.16)

15


Problema 1.- Una arena limpia fue ensayada en el laboratorio en una cámara triaxial bajo un confinamiento (en una primera etapa) σ 3 = σ c ;¿Cuál deberá ser el incremento de esfuerzo axial necesario para someter a la muestra a un equilibrio crítico si la arena tiene un “ φ ” conocido?.

=

P σc + c

Pc Pc − Sen φ 2 2 Pc (1 − Sen φ ) 2 Pc

=

=

⎝ 1 − Sen φ

=

1 −Sen φ ⎞

⎟⎟

1 − Sen φ ⎠

⎛ 2 Sen φ + 1 − Sen φ ⎞ ⎟⎟ 1 − Sen φ ⎠ ⎝

Pc 2

⎛ 1 + Sen φ ⎞ ⎟⎟ ⎝ 1 − Sen φ ⎠

σ c ⎜⎜

=

σv

=

1 + Sen φ 1 − Sen φ

σc

Usualmente se denota:

σ c Sen φ

1 + Sen φ 1 − Sen φ

σ c Sen φ

=

Nφ

2 Sen φ σ c

=

1 − Sen φ

De modo que:

ó bien:

σv σv

+

+ σc

σ c ⎜⎜

σv

2

P ⎞ ⎛ ⎜ σ c + c ⎟ Sen φ 2 ⎠ ⎝

⎛ 2 Sen φ

=

Pc 2

1 − Sen φ

σ c ⎜⎜

=

Solución:

Sen φ

2 Sen φ σ c

=

=

σ c + Pc

S

PC 2

3

=

=

V

C

PC = ? C

+ PC 2

16

= ?

1

= Nφ σ c


Problema 2.- Un deposito de arena limpia tiene las características φ = 30° γ = 1.5 Ton/m3. ¿ Cuánto habrá de disminuir el esfuerzo horizontal en una muestra ubicada a 2m de profundidad para que esta entre en un estado incipiente de falla?.

1.5 -

Pc Pc = 4 2

3Pc = 1.5 4

Solución:

PC Sen 30° = 2 Pc 32

Pc =

4 (1.5) 3

Pc = 2 T/m 2 o bién:

⎛ Pc ⎞ Pc Sen 30° ⎜ 3 - ⎟ = 2 ⎠ 2 ⎝

σn = 3- 2

σ n = 1 T / m2

2

= 1.5 t/m = 30

2m

2(1.5) = 3 t/m

2

S

PC 2 = 30 n

PC = ?

3 t/m 2

17


Problema 3.- El estado de esfuerzos plano de un cuerpo esta definido por los siguientes 600 Kg/cm2 de esfuerzos; σ 1 =

σ =

compresión, σ 3 = 150 Kg/cm2 de tensión.

600 − 150 600 + 150 + Cos 160° 2 2

σ = − 127.38 kg/cm 2

Determine, por él circulo de Mohr, los esfuerzos normal y tangencial en un plano inclinado 10° con respecto al plano en que actúa el esfuerzo principal menor. Verifique los resultados analíticamente. Use la convención aceptada en Mecánica de Suelos, según la cual los esfuerzos de comprensión son positivos y los de tensión son negativos.

asimismo:

δ =

σ1 − σ 3 2

Sen (180 - 2θ )

pero: Sen (180 - 2θ ) = Sen 2θ

Solución: Gráficamente, los esfuerzos pedidos son las coordenadas del punto A en la figura

σ = − 125 kg/cm 2

∴δ =

δ = 125 kg/cm 2

σ1 + σ 3 2

δ = −

σ1 − σ 2

Cos (120 - 2θ ) = − Cos 2θ

σ1 + σ 3 2

+

σ1 + σ 2

Sen 2θ

600 + 150 Sen 160° 2

δ = 128.26 kg/cm 2

Cos (120 - 2θ )

pero:

σ =

2

con θ = 80°

Aritméticamente:

σ =

σ1 − σ 3

Cos 2θ

Cos θ = 90° − 10° Cos θ = 80°

18


S (Kg/cm2)

1

1

S= 3

+ 2

3

2 =160

3

10

(Kg/cm2)

180-2

=80 400

200

200

2

+ 2

1

19

3

400

600

800


∴ 2θ = 43.2°

Problema 4.- Un estado de esfuerzos plano en una masa de arena puramente friccionante y compacta, esta definido por lo siguientes esfuerzos: esfuerzo normal en plano horizontal 3.7 Kg/cm2, esfuerzo normal en plano vertical 2.0 Kg/cm2, esfuerzo cortante en los planos vertical y horizontal = 0.8 Kg/cm2. Determine por medio del Circulo de Mohr la magnitud y dirección de los esfuerzos principales y diga si el estado de esfuerzos mencionado es de falla. Ver figura.

y

θ = 21.6° De hecho todo estado de esfuerzos plano en arenas será de fallas, pues no pude haber equilibrio en la arena con esfuerzo principal nulo, por falta de confinamiento.

El estado de esfuerzos es de falla, puesto que la definición de un estado de esfuerzos plano involucra que el otro esfuerzo principal, en la dirección normal al papel valga O (cero) y se trazan en este caso los Círculos de Mohr del estado general de esfuerzos (tridimensional) se ve que él circulo que define a 3 en este caso a de cortar a cualquier envolvente: recta que pase por el origen.

Gráficamente del circulo de Mohr 3.7 kg/cm2 0.8 kg/cm2

σ 1 = 4.1 kg/cm 2

0.8 kg/cm2 2 kg/cm2 2 kg/cm2

σ 1 = 1.7 kg/cm 2 2θ = Tan

0.8 kg/cm2

0.8 3.7 - 2.85

0.8 kg/cm2

3.7 kg/cm2

2 S (Kg/cm )

1.0

(3.7,0.8)

0.5 2.85 2

3

1.0

2.0

3.0

0.5

1.0

(2.0,0.8)

20

2 (Kg/cm )

1

4.0

5.0


Problema 5.- En Una Prueba Triaxial lenta realizada en una muestra de arena, la presión de cámara es de 3.2 kg/cm2 y el esfuerzo desviador en la falla es de 8.3 kg/cm2.Suponiendo que la envolvente de falla de la arena es una recta que pasa por el origen, determine el ángulo de fricción de la arena.

Sen φ =

σ1 − σ 3 σ1 + σ 3

Sen φ =

Solución:

8.3 14.7

∴ φ = 34.4°

Con relación a la figura.

S (Kg/cm )

2

6 5 4 3 1

2

2

3

= 4.15

1 1

3

1

2

3

4

5

7

6

8

9

10

11

12

13 (Kg/cm2 )

1

+ 2

3

=7.35

21


Problema 6.- En una prueba de corte directo drenada, hecha a una muestra de arena puramente friccionante, el esfuerzo normal sobre la muestra fue de 3 kg/cm2. Suponiendo una distribución uniforme de esfuerzos en la zona de falla y una envolvente de resistencia recta y pasando por el origen. Determine por medio del Circulo de Mohr la magnitud y dirección de los esfuerzos principales en la falla.

σ1 − σ 3 2

= 13 Tan φ = 2.4

σ1 + σ 3

=

2

13 = 4.3 Cos φ

El Angulo se obtiene con la expresión:

Tan φ =

2 3

θ = 45° +

∴ φ = 33.7°

θ = 45° + σ 1 = 6.7 kg/cm 2

σ 3 = 1.9 kg/cm 2

φ 2 33.7° 2

θ = 62°

3 2 1

Superficie de falla

3

S (Kg/cm2)

3

Polo

(3,2)

2

1

2 1 1

3 2

3

5

4

22

6

7

8

9

(Kg/cm2)


Problema 7.- La resistencia a la compresión simple de un suelo arenoso muy fino, húmedo y compacto es de 2 t/m2 y su ángulo de fricción interna puede estimarse en 40°. ¿Cuál será la presión necesaria para producir sobre la resistencia del suelo seco el mismo efecto que la cohesión aparente por capilaridad, en las mismas condiciones de compacidad?.

σc + 1 = σc =

1 Sen 40°

1 −1 Sen 40°

σ c = 0.56 T/m 2

Solución: En la prueba de compresión simple el circulo de esfuerzos efectivo ha de ser tangente a la envolvente de resistencia a 40° y tener como diámetro qu = 2 ton/m2.

S (Kg/cm2)

1

1 t/m2 40 1 c

c

2

+1 2 q = 2 t/m

23

3

(Kg/cm2)


Problema 8..- Se desea hacer una excavación con paredes inclinadas a 120° respecto a la horizontal, en un suelo puramente cohesivo, en el que φ = 0° ,

donde (L × 1) es el area de la superficie potencial de falla.

(

C=1.0 Ton/mª, γ = 1.5 Ton/m 2

Haga el análisis de estabilidad en la pared calculando para ello el factor de seguridad “FS” suponiendo que en el caso de fallar lo haría por una superficie plana con un ρ = 30° (superficie potencial de falla).

F = 8 3 Ton / M.L.

Donde “W” es el peso de componente normal del componente tangencial de la falla del peso y “F” la fuerza como producto de la acción superficie supuesta de falla.

Wt

⇒

¡¡Talud inestable!!

O calculamos el Factor de Seguridad: FS =

FS =

la cuña, “Wn” suelo, “Wt” superficie de la total resistente, de S = C en la

F Wt 8 3

12 3 FS = 0.67 0.67 < 1

Si el suelo además de tener la cohesión C=1Ton/m2 tuviese también propiedades friccionantes definidas por φ = 30° . ¿Qué pasaría con la inestabilidad del talud?

W = (Area de la cuña) × l × γ

donde “l” es la longitud del talud; se supondrá que l =1m, esto es analizaremos un metro de talud, tomando los datos de la figura tenemos que:

En este caso habrá que calcular la “F” correspondiente: F = S(L × 1)

(8 3 )4 × 1 × 1.5 W= 2

donde: S = C + σ Tan φ

Talud

Wt = W Sen 30° 1 2 Wt = 8 3 Ton/M.L.

Talud

por simple inspección:

La cuña en cuestión tiene un peso “W”; la componente tangencial “Wt” es la fuerza que tiende a producir el movimiento. Si su magnitud supera la resistencia que se genera en la superficie supuesta de falla, la pared se tendrá que considerar inestable, por el contrario, si la resistencia supera a “Wt” la pared será estable.

24 3 Ton/M.L.

)

F = 1.0 8 3 × 1

S=C+

Wt = 24 3

WN Tan φ L ×1

W ⎡ ⎤ F = ⎢C + N Tan φ ⎥ (L × 1) L ×1 ⎣ ⎦

Talud

F = C (L × 1) + WN Tan φ

F = S(L × 1)

24


O bien que:

donde C (Lx1) es la “F” debida a la cohesión y WN Tan φ es la “f” debida a la fricción.

FS = F = 1 (8 3 × 1) + W Cos 30° Tan φ

F = 8 3 + 24 3

FS =

3 1 2 3

F WT

20 3 1- 3

FS = 1.67

F = 8 3 + 12 3

1.67 > 1 F = 20 3 Ton / M.L de talud.

El hecho de que φ = 30° hace que el talud se vuelva estable.

Es fácil ver que: WT < F

Cuña supuesta como cuerpo rígido

Pared de la excavación H=43m Superficie potencial de falla

Nivel alcanzado con la excavación

120

= 30

25

Nivel original del suelo


H = 8Sen 30 = 4 m

WN W 30 WT H=43m F

H=

26

43 =83m Sen 30


a) Haga el calculo suponiendo que δ = 0 ; esto es el respaldo del muro es lo suficientemente liso como para que no exista fricción entre él y el relleno.

Problema 9.- Se desea construir un muro de contención, para un relleno, de propiedades φ = 30° , C = 0, establecidas por

γ = 1.5 Ton / m 3 ; la superficie de contacto entre relleno y muro presenta propiedades de fricción definidas por el ángulo de fricción “ δ ”. Para poder proceder a la construcción es necesario previamente hacer un análisis de estabilidad del muro, para ello resulta imprescindible conocer la magnitud del empuje “E” del relleno sobre el respaldo del muro en cuestión. Calcule ese empuje suponiendo que es provocado por una cuña del relleno, la cual tiene que fallar por una superficie plana a “F” como se muestra, tal cuña se comporta como un cuerpo rígido.

b) Haga

el

calculo

suponiendo

que

δ = φ 2 = 15° ; esto es el respaldo del muro

presenta rugosidades que le dan propiedades friccionantes con el relleno, iguales a la mitad de las que el relleno tiene internamente. c) ¿Qué propiedades de fricción deberá de tener el relleno ( φ = ? ), para que el empuje ejercido sea E=12 Ton / ml de muro si el respaldo del muro tiene las propiedades citadas en el inciso (b); δ = 15° .

RELLENO

CUÑA E

Superficie plana supuesta de falla

H=43m

= 90

H tg

R W 90-

90E

W R

Solución atendamos el cuerpo libre de la cuña en discusión

27

E


Por geometría elemental se debe cumplir que:

a.2) .

(P - φ ) + (90° - δ ) + θ = 180°

Obtengámoslo gráficamente; tabulemos la expresión 3.

para

ello

∴ θ = 90° + δ + φ − P ⎡ Sen ( ρ - 30°) ⎤ × Tan ρ ⎥ E = 36 × ⎢ ⎣ Sen (120° - ρ ) ⎦

Aplicando la ley de senos: W E = Sen θ Sen (P - φ )

Para obtener “Emax” grafiquemos los valores de la tabla totalmente, aparece en la tabla ese valor máximo.

La expresión 3 E = f( ρ ) , se define como el empuje que ejerce alguna cuña con un ángulo “ ρ ”. El valor de “E” es según sea la inclinación de la cuña a la que se refiera. Para efectos del análisis de estabilidad del muro, necesitamos el empuje maximo que es ejercido por alguna cuña con alguna inclinación ρ = ρ f que es el ángulo de

Observando la presente curva, es posible ver que la cuña formada por ρ = φ no genera empuje alguno, esto se debe a que la inclinación de la superficie de falla (supuesta),es igual al ángulo de fricción del material, lo cual implica que la fuerza resultante de fricción contrarresta por si sola el peso de la cuña en cuestión, por lo que no habrá movimiento alguno de la cuña También se observa que cuando ρ = 90° también el empuje es nulo, pues ρ = 90° implica inexistencia del relleno.

inclinación de la superficie potencial de falla.

Este empuje maximo (Emax) es posible determinarlo mediante dos procedimientos: a.1) Gráficamente sobre la curva “E” contra “ ρ ”. Analíticamente usando los principios de máximos y mínimos

Sen ( ρ - 30°)

90° 85° 75° 65° 60° 57.5° 50° 45° 40° 35° 30°

0.866 0.819 0.707 0.574 0.500 0.462 0.342 0.259 0.174 0.087 0.000

Sen (120° - ρ )

0.500 0.574 0.707 0.819 0.866 0.887 0.940 0.966 0.985 0.996 1.000

Tan ρ

00.000 11.430 3.732 2.145 1.732 1.570 1.192 1.000 0.839 0.700 0.577

28

Sen (120° - ρ )Tan ρ

0.577

“E” Ton / ml de muro 0.00 4.49 9.65 11.76 12.00 11.94 10.99 9.65 7.58 4.49 0.00


E tg

12 11 10 9 8 7 2

E = 12 t/m max

6 5 4 3 2 1 30 =30

35

40

45

50

55

60

65

70

75 80

85

90

95 =95

=60

29


a.2) Anaíticamente usando los conceptos de máximos y mínimos. La expresión 3: ⎡ Sen ( ρ - 30°) ⎤ × Tan ρ ⎥ E = 36 × ⎢ ° ρ Sen (120 ) ⎣ ⎦

Habrá que derivar con respecto a “ ρ ” igualando a cero, para despejar el valor de “ρ ” = ρ f que proporciona el empuje máximo (Emax).

dE = dρ

Sen (120° - ρ ) Tan ρ Cos(ρ - 30°) - Sen(ρ - 30°)

d [Sen (120° - ρ ) Tan ρ ] dρ

Sen 2 (120° − ρ ) Tan 2 ρ

[

]

=0

dE = Sen(120° - ρ ) Tan ρ Cos(ρ - 30°) - Sen(ρ - 30°) Sen(120° - ρ ) Sec2 ρ + Tan ρ [Cos(120° - ρ )](−1) = 0 dρ

Operando:

[

Tan ρ = Tan ( ρ - 30°) Sec 2 ρ − Tan ρ CoTan (120° − ρ )

]

Es posible demostrar que tal igualdad se cumple solo si ρ = 60° = ρ f , valor de “ ρ ” que proporciona el Emax, llevando este valor a la ecuación 3. E = E max

E = 36

Sen ( ρ - 30°) Sen (120° - 60°) Tan 60°

E max = 12 Ton / Ml

de muro

Como se puede ver, esta solución coincide con la anterior; como era de esperarse.

30


b)Particularmente en la ecuación 2 para: Al igual que en el inciso (a), en este inciso se presentan también dos alternativas, gráfica y analíticamente; expongamos la solución gráfica:

δ = φ 2 = 15° φ = 30° γ = 1.5 Ton / m 3

⎡ Sen ( ρ - 30°) ⎤ × Tan ρ ⎥ E = 36 × ⎢ ⎣ Sen (135° - ρ ) ⎦

H=4 3 m

tenemos: E=

1 Sen ( ρ - 30°) (1.5) (4 3 ) 2 2 Sen (90° + 15° + 30° − ρ ) Tan ρ

E = 36

Sen ( ρ - 30°) Sen (135° − ρ ) Tan ρ

Sen ( ρ - 30°)

90° 85° 75° 60° 57.5° 55° 50° 45° 40° 35° 30°

0.866 0.819 0.707 0.500 0.462 0.423 0.342 0.259 0.174 0.087 0.000

Sen (135° - ρ )

0.707 0.766 0.866 0.966 0.976 0.985 0.996 1.000 0.996 0.985 1.966

4

Tan ρ

00.000 11.430 3.732 1.732 1.570 1.428 1.192 1.000 0.839 0.700 0.577

31

Sen (120° - ρ )Tan ρ

0.577

“E” Ton / ml de muro 0.00 3.38 7.88 10.76 10.86 10.82 10.37 9.32 7.49 4.55 0.00


E tg

11 10 9 8 7 6

E = 10.86 t/ml de muro max

5 4 3 2 1 30

35

40

45

50

55

60

=30

65

70

75

80

85

90

95

=95

=60

E max = 12 Ton / Ml

Comparando esta curva con la del inciso (a) es posible asegurar que a mayores propiedades de fricción en el respaldo del muro, se tendrá una mejor estabilidad pues el empuje disminuye.

de muro

Así tenemos: 12 =

1 Sen (57.5° - φ ) (1.5) (4 3 ) 2 2 Sen(90° + 15° + φ - 57.5°) Tan 57.5

c) Para la solución de este inciso, habrá que particularizar la expresión 2 para: 12 = 36

δ = 15° φ = 30°

Sen (57.5° - φ ) Sen(47.5° + φ ) 1.57

γ = 1.5 Ton / m 3 H=4 3 m

ρ = 57.5

hipotéticamente correspondiente del inciso (b).

Sen (57.5° - φ ) = 0.523 Sen (47.5° + φ )

igual

al Sen (57.5° - φ ) − 0.523 Sen (47.5° + φ ) = 0

32

a


Igualando a una cierta cantidad “F”: Sen (57.5° - φ ) * − 0.523 Sen (47.5° + φ ) = F

es posible demostrar que la expresión “a” se cumple para φ ≅ 27.3°

φ ≅ 27.3° < 30° como era de esperase, pues

si con φ ≅ 30° el empuje era de 10.86 Ton., para un empuje mayor (12 Ton.) será necesario que el relleno fuese menos resistente, menor que “ φ ”, como así fue.

33


Ejercicios 5. Se han hecho tres pruebas triaxiales drenadas con un cierto suelo predominante friccionante, obteniéndose los siguientes resultado:

1. Una arena limosa fue ensayada en el laboratorio en una cámara triaxial bajo un confinamiento ( en una 1ra etapa), σ 3 = σ c = 1 Ton / m 2 . ¿Cuál deberá ser el incremento de esfuerzo axial (esfuerzo desviador) necesario para someter a la muestra a un equilibrio crítico si la arena en cuestión tiene φ ≅ 30° , C=0.5 Ton/ m2?.

Prueba 1 2 3

(Ton/m2) 8.2 16.0 24.4

Dibuje el diagrama de Mohr de las tres pruebas y calcule en él el valor del ángulo “ φ ” del suelo. Calcule en cada uno de los tres casos el esfuerzo cortante en el plano de falla, en el instante de la falla.

2. Un deposito de arena limosa tiene propiedades de resistencia definidas por C=0.5Ton/m2 , φ ≅ 30° , γ = 1.5 Ton / m 3 .¿Cuanto habrá que disminuir el esfuerzo horizontal en una muestra ubicada a 2 m de profundidad para que esta entre en un estado incipiente de falla?.

Respuesta: φ ≅ 37°27′ T1= 2.4 Ton/m2 T2= 4.8 Ton/m2 T3= 7.2 Ton/m2

3. En una prueba directa de resistencia al esfuerzo cortante sobre un suelo con φ ≅ 0 , C=0.5 Ton/ m2, se empleó una presión normal de 1 Ton /m2, produciéndose la falla con un esfuerzo cortante de 1 Ton /m2. Determine el valor de “ φ ” y mediante la teoría del circulo de Mohr , los esfuerzos principales máximos y mínimos en el instante de falla, los planos donde actúan y el ángulo de inclinación de la superficie de falla respecto al plano donde actúa el esfuerzo principal mayor.

6. Se desea hacer una excavación con paredes verticales (90° respecto a la horizontal) en un suelo puramente cohesivo 2 donde , el φ ≅ 0 , C=1.0 Ton/m , γ = 1.5Ton/m 3 . ¿Cuál es la profundidad máxima (Hmax) a la que es posible escavar con paredes estables? (FS=1). Haga el analisis de estabilidad de la pared suponiendo que en caso de fallar, lo haría por una superficie plana con ρ ≅ 45° (superficie potencial de falla).Figura 1.1.1.

4. En un suelo fino no saturado se tuvieron los siguientes resultados en un conjunto de tres pruebas triaxiales rápidas: Kg/cm2 0.25 0.75 1.50

(Ton/m2) 2 4 6

7. Resuelva el problema 6 para el caso en que la excavación sea sobre un suelo cohesivo-friccionante con φ ≅ 30° , C=1.0 Ton/m2, γ = 1.5Ton/m 3 .

Kg/cm2 1.05 2.05 3.10

Calcule el valor de los parámetros de que podrían resistencia “C” y “φ ” considerarse para la elaboración de un proyecto en el que el nivel de esfuerzos normales vaya a estar comprendido entre 1.5 y 2.0 kg/cm2.

8. Si se desea construir un muro de contención, para un relleno con propiedades de resistencia definidas por φ ≅ 30° , C=0, γ = 1.5Ton/m 3 . La superficie de contacto entre el muro y el relleno presenta propiedades de fricción, definidas por el ángulo “S” de fricción. Figura 1.1.2. Para poder proceder a la construcción, es necesario, hacer previamente un análisis de

Respuesta C=0.9 kg/cm2 φ = 9.5° .

34


a) Haga el cálculo suponiendo que δ = 0 , esto es, el respaldo del muro es lo suficientemente liso como para que no existan propiedades friccionantes entre él y el relleno. b) Haga el cálculo suponiendo que δ = φ = 15° ; esto es, el respaldo presenta

estabilidad del muro, para ello resulta imprescindible conocer la magnitud del empuje “E” del relleno sobre el respaldo del muro en cuestión. Calcule ese empuje suponiendo que es provocado por una cuña del relleno, la cual tiende a fallar por una superficie plana como se muestra en la figura; tal como se comporta como cuerpo rígido.

2

rugosidades que le dan propiedades friccionantes con el relleno, iguales a la mitad de los que el relleno tiene internamente.

Superficie natural

Cuña supuesta como cuerpo rígido

Hmax = ? Fondo de la excavación

Superficie plana supuesta de falla

45

Figura 1.1.1

Cuña

= 10 Cuña

H= 4 3 m

Superficie supuesta de falla

120

= 60

Figura 1.1.2

35

Resistenciaesfuerzocortante

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