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SOLUCIONARIO DE RESISTENCIA DE MATERIALES

U.T.P.L.

112. Calcule

el peso del cilindro más pesado que se coloca en la posición que se indica en la figura P-112, sin rebasar el esfuerzo de 50MN/m 2 en el cable BC. Desprecie el peso de la barra AB. El área transversal del cable BC es 100 mm 2.

5010⁄110 5  106 53.13°  53.53.13°13°  0.8  53.13°0.6    0 4000 40001010 4 10000    0 0.610000 6000 // º

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U.T.P.L.

114. Se

quiere punzonar una placa, tal como se indica en la figura 1-10c, que tiene un esfuerzo cortante último de 300 MPa. (a) Si el esfuerzo de compresión admisible en el punzón es 400 MPa, determine el máximo espesor de la placa para poder punzonar un orificio de 100 mm de diámetro. (b) Si la placa tiene un espesor de 10 mm, calcule el máximo diámetro que puede punzonarse.

(a)

   0.31416 400. . 3.1416 3.1416   300 3.0.13416 1416 3.141631416  3000. 0.033 (b)

   0.01 1 100 100 .  1    100    4


U.T.P.L.

     100 2   300 1 2  100 0.01  300 0.030  //. 115. figura

P-115 muestra la unión de un tirante y la base de una armadura de madera. Despreciando el rozamiento, (a) determine la dimensión b si el esfuerzo cortante admisible es de 900 kPa. (b) Calcule también la dimensión c si el esfuerzo de contacto no debe exceder de 7 MPa.

(a)

90010/ 5010   15030°  0 30300 0.50.86650100

86602.54

  5 4 90010/  30°86602. 0.150 5


U.T.P.L.

2 7 90010 ⁄  0.43301. 150 135000 43301.27 0.321 321 //sol (b)

 7.710/  5030°  43.301    710/  5030° 0.150 1050 43.301 0.04123 41.2 //sol

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U.T.P.L.

La palanca acodada que se representa en la figura P-118 está en equilibrio. (a) Determine el diámetro de la barra AB si el esfuerzo normal está limitado a 100 MN/m2 . (b) Determine el esfuerzo cortante en el pasador situado en D, de 20 mm de diámetro. 118.

(a) D=?

 100/  0 0.23060°0.240 0.26.24 31.2  0  3060°0.24  31.215  46.2  0 7


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 3060°  26  46.2 26 53        31200/   10010  3.1210 2   2    2   3 . 1 210    2 7.0510 2 0.014101000/1 14.10 // (b)

τ=?

8


U.T.P.L.

   0.53.4002 53.0   3.141510 168.7/ // 119. La

masa de la barra homogénea AB mostrada en la figura P-119 es 2000 kg. La barra está apoyada mediante un perno en B y mediante una superficie vertical lisa en A. Determine el diámetro del per no más pequeño que puede usarse en B si su esfuerzo cortante está limitado a 60 MPa. El detalle del apoyo en B es idéntico al apoyo b mostrado en la figura P-118

20009.8 19600  0 8 1960030  7350  0    7350  0    19600  7350 19600 20932.81

9


U.T.P.L.

20932.81      20932./ 81   6010  3.4910, 2   2     2 2    2   3.49102 7.452910 2 27.4510 0.01491000/1 14.9 //

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U.T.P.L.

120.

Dos piezas de madera, de 50 mm de ancho y 20mm de espesor indica la figura P-120. (a) Aplicando las ideas que se expresan en la figura 1-4, determine la fuerza cortante y el esfuerzo cortante en la unión si P = 6000 N. (b) Generalice el procedimiento para demostrar que el esfuerzo cortante en una sección inclinada un ángulo θ respecto a una sección transversal de área A, tiene un valor dado por (a)

 ⁄22

 600060°  5196.1524  600060°  3000 60° 50 57.74    57.7420  1154.80  0 60060° 3000 //    1154.3000 8010 11


U.T.P.L.

2.598. // (b)

           22       2 2  

L.Q.Q.D.

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Un recipiente cilíndrico a presión está fabricado de placas de acero que tienen un espesor de 20 mm. El diámetro del recipiente es 500 mm y su longitud, 3 m. Determine la máxima presión interna que puede aplicársele si el esfuerzo en el acero está limitado a 140 MPa. Si se aumentara la presión interna hasta que el recipiente fallara, bosqueje el tipo de fractura que ocurriría. 132.

0.02 0. 5  3  14010/      2   2  2  14010  0.520.02 11200 / 11.20 .

Para cilindros en los que la parea tenga un espesor igual o menor que un décimo de su radio interior, el esfuerzo medio calculado es prácticamente igual al esfuerzo máximo que aparece en la superficie interior del cilindro:

110 0.250.025 0.020.025

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134. Un depósito cilíndrico de agua de eje vertical tiene 8 m de diámetro y 12 m de altura.

Si ha de llenarse hasta el borde, determinar el mínimo espesor de las placas que lo componen si el esfuerzo está limitado a 40 MPa.

4010/  í ? . 1000/9.8/ 9800/  9800  12 117600/      .  .2  117600/   4010 /  2 8 0.01176 11.76 

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135. En

el depósito cilíndrico de la figura 1-16 la resistencia de las juntas longitudinales es de 480 kN y de las trasversales, de 200 kN. Si la presión interior ha de ser de 1.5 MN/m 2, determinar el máximo diámetro que se puede dar al depósito.

1.510/   . . 200/ . 480/ . .   .   1.5480/ 10/ 0.32  2 0.64    .2 2. .   2. /  1.2200 510/ 0.267 2 0.53  //

La resistencia interna admisible imprime de la resistencia de las juntas longitudinales

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO II DEFORMACIÓN SIMPLE

204. Una barra prismática de longitud L, sección transversal A y densidad p se suspende verticalmente de un extremo. Demostrar que su alargamiento total es

  . .  .  . ... . ....    .           2        2  .2. ... .   ....   .2. ,   2 ...

, llamando M a su masa total demostrar que también

 

a)

dy

b)

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205. Una varilla de acero que tiene una sección constante de 300 mm y una longitud de 150 m se suspende verticalmente de uno de sus extremos y soporta una carga de 20 kN que pende de su extremo inferior. Si la densidad del acero es 7850 kg/m3 y , determinar el alargamiento de la varilla. Indicación: Aplique el resultado del problema 204.

E  200 x 103 MN/m2  300  0.0003 150 2020102040.82 7850/  20010/ 20010/  0.00037850150 353.25   .  .   2     7850 9. 8 150  220010 0.004327 4.33 .  .2. 259.8150  20.353.000320010 0.004327 4.33 .

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207. Una llanta de acero, de 10 mm de espesor, 80 mm de ancho y de 1500 mm de diámetro interior, se calienta y luego se monta sobre una rueda de acero de 1500.5 mm de diámetro. Si el coeficiente de fricción estática es 0.30, ¿qué par se requiere para girar la llanta con respecto a la rueda? Desprecie la deformación de la rueda y use E = 200 GPa,

: 100.01 800.08 15001.5  1500.51.5005  0.30 ? :

20010/

209. Una barra de aluminio de sección constante de 160 mm 2 soporta unas fuerzas axiales aplicadas en los puntos indicados en la figura. Si E= 70GPa. Determinar el alargamiento o acortamiento total de barra.

   0.  1.  0.6  1010 8 510 0 3510  160107010  160107010  160107010 7.147104.46100.001875 0.001607 1.61  15 KN 0KN

30 KN 35 KN

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15 KN PAl

10KN

PAl

35 KN

210. Un tubo de aluminio está unido a una varilla de acero y a otra de bronce, tal como se indica en la figura P-210, y soporta unas fuerzas axiales en las posiciones señaladas. Determinar el valor de P con las siguientes condiciones: La deformación total no ha de exceder de 2 mm, ni las tensiones han de sobrepasar 140MPa en el acero, 80MPa en el aluminio ni 120MPa en el bronce. Se supone que el conjunto está convenientemente aislado para evitar el pandeo y que los módulos de elasticidad son para el acero, para el aluminio y para el bronce.

7010

8310

ALUMINIO BRONCE A=450 mm²

3P

3P

ACERO

A=600 mm² P

4P

2P

A=300 mm²

P PA

20010

PAL

2P

   210 6   6001021.7010 0   3001020.20010 8  210  4501030.8310  37.1.855  242  1.606 210 4.82104.76102.6710210 0.691210

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2.89410 28.94    228.94   30010  192933.33/  192.933 .  140 .    í 140 300102  0.021 21 80 600102  24 120 450103  18 á 18 .

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211. Dos barras AB y CD que se suponen absolutamente rígidas están articuladas en A y en D y separadas en C mediante un rodillo, como indica la figura P-211. En B, una varilla de acero ayuda a soportar la carga de 50 kN. Determinar el desplazamiento vertical del rodillo situado en C. 50 KN

A

B

D C

20010/  300 3 ∑ 0 3254.50 37.5 

T

25 KN

50 KN

C D

 0 502 4 0  25  A

B

A

RC

C

y

C'

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  3   3001037.520010 0.001875    ∆  4.5  0.001875 3 30.0084375 0.002812 2.81 . 212. Un bloque prismático de concreto de masa M ha de ser suspendido de dos varillas cuyos extremos inferiores están al mismo nivel, tal como se indica en la figura P-212. Determinar la relación de las secciones de las varillas, de manera que el bloque no se desnivele.

   ..  ..  25 3  35 6 200 70  0.0 06 5. 1 410     0.006 .  5.1410.  8.57  8.57 .

ALUMINIO E=70 GPa L = 6m

ACERO E=200 GPa L = 3m

masa=M

TA

TAL

W

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213. La barra rígida AB, sujeta a dos varillas verticales como se muestra en la figura P-213, está en posición horizontal antes de aplicar la carga P. Si , determine el movimiento vertical de la barra.



50

ALUMINIO E=70 GPa L = 4m A=500 mm²

ACERO E=200 GPa L = 3m A=300 mm²

A

B

P

∑  0 5 502 0  20   0 503 5 0  30 

TA

TAL

50 KN

30 KN

20 KN

50 KN

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  ..  30010300003 210/ 0.00151.5   ..  50010200004 710/ 2.286102.2 9 . 2.291.5 . 0.79  . 215. Una varilla de longitud L y sección circular tiene un diámetro que varía linealmente desde D en un extremo hasta d en el otro. Determinar el alargamiento que le producirá una fuer za P de tensión.

   2   . 2 2      1   

δ

P

 4      4   .  4     4       24


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    4     1   4 1      4  1   1   4     2    4      4         4   4 .   216. Una varilla de longitud L y sección recta constante, situada en un plano horizontal experimenta una rotación alrededor de un eje vertical que pasa por uno de sus extremos llamado a la densidad y a la velocidad angular. Demostrar



   

que el alargamiento total de la varilla viene dado por W dx

    .   25


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 2  2  . 2  ..    .  .  . 2  .        2           2            2  6           2  6       3 ... 217. Dos varillas de aluminio AB y BC articuladas en A y C a soportes rígidos, como indica la figura P-217, están unidas en B mediante un pasador y soportan la carga P = 20 kN. Si las varillas tienen una sección de 400 mm 2 y E = 70 x 10 3 MN/m2, determinar las deformaciones totales de cada una y el desplazamiento horizontal y vertical del punto B. Considérese α = 30 y β = 30°. ˚

A

 0  30 3020 0.5 0.5 20 1

L=3m

α

B θ

L=2 m P

C

26


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 0 30 300 0.87 0.87 2 0.5 0.5 20 0.87 0.87 0.87 0.5 1 ^ 2 0.435 0.4350.5 17.4 0.435 0.435 0 0.87 17.4   20   20    40010202000 7010  1.43 ,   0.80.720 87  20     400102030007010   2.14 ,  3060  1.2380.5 27


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 3060  1.8530.5 1.2380.51.8530.5 0.50.53.091 3  3060  0.7150.87  3060  1.070.87 0.7150.871.070.87 0.870.870.355 4 3 ^ 4 0.50.53.091 0.87 0.870.870.355 0.5 0.4350.4352.689 0.4350.4350.178 0.872.857 3.295 2.885  0.4095   3.579  28


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ELEMENTOS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS O HIPERSTÁTICOS 232. Una barra de acero de 50 mm de diámetro y 2 m de longitud se envuelve con un cascarón de hierro fundido de 5 mm de espesor. Calcular la fuerza de compresión que es preciso aplicar para producir un acortamiento de 1 mm en la longitud de 2 m de la barra compuesta. Para el acero, E = 200 x 10 9 N/m 2, y para el hierro fundido, E = 100 x 10 9 N/m2.

. 0.025  2  0.005  20010/  10010/ ∆1 0.001      0.03 0.025  8639410  0.0520.005  0.06        2   10010 2   20010 110 210  2     0.025220010

m 5 0 . 0

P

29


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 5.0910 2    8.6391010010  2.31510 0.0015.0910  196463.65 0.0012.31510  43196.54   196463.6543196.54 240  233. Una columna de concreto armado de 250 mm de diámetro se diseña para soportar una fuerza axial de compresión de 400kN. Si el esfuerzo admisible en el concreto es de 6MPa y en el acero de 120 MPa, determinar la sección de refuerzo de acero que se necesitará. Ec = 14GPa y Ea = 200 GPa.

 0.125 0.125       1410   20010    0.07  0.0712010  8.410/  8.46 ,         

30


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610 0.07  85.7110 /  85.71/       40010 6100.125  85.7110  40010 294527.31610  85.7110  105475.6970710000  1.323210  1323  234. Una columna de madera de sección 250 x 250 mm se refuerza mediante placas de acero de 250 mm de ancho y espesor t, en sus cuatro caras laterales. Determinar el espesor de las placas de manera que el conjunto pueda soportar una carga axial de 1200kN sin que se excedan los esfuerzos admisibles de 8 MN/m 2 en la madera y de 140 MN/m2 en el acero. Los módulos elásticos son Em = 10 x 10 3 MN/m2 y Ea = 200 x 10 3 MN/m2

 800 14010 800  175000 / 4  4   4    410 510  800  800810  640010/

1200 KN

t

t

31


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  6400  140,          4 120010   4  120010 175100.250.254140100.25 120010 10937.514010 1189062.514010 8.493310 8.4933 235. Un bloque completamente rígido de masa M se apoya en tres varillas situadas en un mismo plano, como indica la figura P-235. Las varillas de cobre tienen una sección de 900 mm 2, E = 120GPa, y esfuerzo admisible de 70MPa. La varilla de acero tiene una sección de 1200mm 2 , E = 200GPa, y el esfuerzo admisible es 140MPa. Calcular el máximo valor de M.

∑  0  2        20010 0.24  12010 0.16 1.210 1.3310  1.1110  1.117010  77700000 /   77.7 /   2 

M

Cobre 160 mm

Acero 240mm

Cobre 160 mm

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  2   77.710120010 2701090010 9.81 22348.62  22.35  237. Los extremos inferiores de las barras de la figura P-237 están en el mismo nivel antes de colgar de ellas un bloque rígido de masa 18Mg. Las barras de acero tienen una sección de 600mm 2 y E = 200 GN/m2. La barra de bronce tiene una sección de 900 mm 2 y E = 83 GN/m 2. Determinar el esfuerzo en las tres barras.

∑  0  2  0  2 18109.81  2 17580             1  1. 6    6001020010 900108310 8.3310 2.1410  2.57  2 17580   73910.53   28753.96  73910.53   60010  123.1810/

o r m e 1 c = A L

e m c 6 . n 1 o r = B L

o r m e 1 c = A L

18 Mg

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28758.96   90010  31.910/ 238. La plataforma rígida de la figura P-238 tiene masa despreciable y descansa sobre dos barras de aluminio, cada una de 250.00 mm de longitud. La barra central es de acero y tiene una longitud de 249.90 mm. Calcule el esfuerzo en la barra de acero una vez que la carga central P de 400kN se haya aplicado. Cada barra de aluminio tiene un área de 120 mm 2 y un módulo E de 70GPa. La barra de acero tiene un área de 2400 mm 2 y un módulo E de 200GPa.

 120   70   240   200    0.0001      0.0001 0.25  0.20010 2499 0.0001  7010 3.57101.25100.0001  3.  5 710    1.25100. 0001  2.858 8010   40010   2.856  8010 40010 120102.856  8010240010 40010 12010 0.00685 192000 5920000.00697  84935437.59 / O I N I M U L A

P

O R E C A

O I N I M U L A

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 8510 /  85   2.858 8010  2.85885108010  162.7610 /  162.76  240. Como indica la figura P-240, tres alambres de acero de 30 mm 2 de sección cada uno soportan una carga de masa M. Las longitudes iniciales de los alambres son 19.994 m, 19.997 m y 20.000 m. (a) ¿Cuál es el esfuerzo en el alambre más largo, si M = 600 kg? (b) Si M = 200 kg, determinar el esfuerzo en el alambre más corto. Emplee

200/

 300   19.994   19.997   20.000  600 9.81 5886  9 94   3010588619. 20010 0.01961   19.61 

1

2

3

M

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241. El conjunto de la figura P-241 consiste de una barra rígida AB, de masa despreciable, articulada en O mediante un perno y fija a las varillas de aluminio y de acero. En la configuración mostrada, la barra AB está en posición horizontal y hay un claro A= 4 mm entre la punta inferior de la varilla de aluminio y su articulación en D. Calcule el esfuerzo en la varilla de acero cuando la punta inferior de la varilla de aluminio se articuló en el apoyo D.

A

B 0 Aluminio (Al) A=400 mm² E=70 GPa

Acero (a) A=300 mm² E=200 GPa L= 1.5 m

C

D

?=

4 mm

 0 0.6  1.2 0  2  1 ∆ ∆ 0.6  ∆1.2 2 ∆ 2 410    410   2 2  1   2 410   22  36


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2  496 3001021.20010 410  900101.7010 5 800001.068 2  3.068  80000  26075.6   26.1   2   52.2  52.2    30010  174000 /  174  242. Una varilla homogénea de sección constante se empotra en sus extremos en soportes indeformables . Soporta una carga axial P aplicada, como indica la y figura P-242. Demostrar que las reacciones vienen dadas por . Obsérvese que estas reacciones son análogas a las de una viga simplemente apoyada con una carga concentrada transversal aplicada en el mismo punto.

 /

 /

∑  0       ∆∆      

P R1

R2

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                  .                       

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244. La barra representada en la figura P-244 está firmemente empotrada en sus extremos. Determinar los esfuerzos en cada material cuando se aplica la fuerza axial P = 200 kN

P

A c e r o (a ) A = 1 20 0 m m ² E=200 GPa

A l u m i n io ( A l ) A = 9 00 m m ² E=70 GPa

  0.  0.   3  2    12001020010 9001070010 1.2510 3.1710  2.336   0    2.586 200  200 3.536  56.561  56.561   90010  62.8 / 2.586 200    143.44  143.44    120010  120 /

Ta

Pa

Pa

P

PAL

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246. Una varilla está formada de tres partes distintas, como indica la figura P-246, y soporta unas tuerzas axiales P 1 = 120kN y P 2 = 50kN. Determinar los esfuerzos en cada material si los extremos están firmemente empotrados en unos nudos rígidos e indeformables.

600 mm

400 mm P2

P1 Bronce A=2400 mm² E=87 GPa

 0   0    120   120    120  0     12050   170    170    0

300 mm

Aluminio A=1200 mm² E=70 GPa

PB

R

PB

P1

R

R

Acero A=600 mm² E=200 GPa

P1

P2

PA

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       0    0. 6   12010 0. 4   17010 0. 3       2400108310 1200107010 6001020010  0 3.0110 4.7610 5.7110 2510 4.2510  0 1.02710 9.9610   96981 96981..5    97     170  97170   73 73    6001073    1220 12200000 / /  122 / 251. Según se muestra en la figura P-251 una viga rígida de masa despreciable está articulada en O y sujeta mediante dos varillas de diferentes longitudes; pero por lo demás idé idénti nticas cas.. Determine la carga en cada varilla si P=30kN

2  3.5  ..1.5   ..2 0.75 0.571  0.76

O P

L-1.5 m

L-2m

A B

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   0 302  2  3.5  0 600.762  3.5  0 601.52 3.5  0 60  5.02    11.11.95   0.76  0.7611.95    9.0808  252. Una viga rígida de masa despreciable está articulada en un extremo y suspendida de dos varillas. La viga está inicialmente en posición horizontal y en seguid seg uidaa se apl aplica ica la carga car ga P. Calcule Cal cule el movim movimien iento to verti vertical cal de de la ccarg arga a si P = 120kN. 120kN.

Acero A=600 mm² E=200 GPa L=4 m

3m

Aluminio A=900 mm² E=70 GPa L=3 m

2m

1m P

4     6001020010  3.3310 3     100107010  4.7610 42


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3  6 13 3.3310  16 4.7610 11110 7.9310   0.714714     0 3 1205  6  0 0.714 3 6000006  0 2.142  6000006  0   7369 73691.1.97    0.714714    0.714 73691. 73691.97   5261 526166  6   5      56   56   5 4. 7 610   673691.97  2.9210   2.9292  43


U.T.P.L.

253. Una barra rígida, de masa despreciable, está articulada en un extremo y suspendida de una varilla de acero y una de bronce, según se muestra en la figura P-253. ¿Cuánto vale la carga máxima P que puede aplicarse sin exceder un esfuerzo en el acero de 120 MN/m 2 mínimo en el bronce de 70 MN/m 2?

 0 2 5 60      200103   8310 2  1.510 2.4110  1.51  1.617010  112.710 /  120 112. 7 / / 2 5 60 62 5 62  5  62112.710800105701030010 47553.33  47.55  Acero A=900 mm² E=200 GPa L=3 m

2m

Bronce A=300 mm² E=83 GPa L=2 m

3m

1m P

, por tanto el acero no sobrepasará su esfuerzo admisible de sin que el bronce exceda el suyo.

44


U.T.P.L.

255. Tres varillas, situadas en un mismo plano, soportan conjuntamente una fuerza de 10kN como se indica en la figura P-255. Suponiendo que antes de aplicar la carga ninguna de las tres estaba ni floja ni tensa, determinar las tensiones que aparecen en cada una. Para el acero, Ea = 200 x 10 9 N /m2, y para el bronce. Eb = 83 x 109 N /m2,

Acero L=3m Bronce

Bronce

10 kN

cos30° 3 3.46 

h

3m

TA

TB

 0  23010    á    0.87   0.87  3.8310 46 0.87 20010 3  4.1710 1.5100.87  0.313

TB

10 kN

δA

δB

45


U.T.P.L.

 20.313 cos3010000 1.544  10000  6476.68   6.48   0.313  0.3136.48  2.03  256. Tres barras AB, AC y AD se articulan en A para soportar juntas un carga P= 20kN, como se indica en la figura P-256. El desplazamiento horizontal del punto A está impedido por una corta varilla horizontal AE que se supone infinitamente rígida. Determinar los esfuerzos en cada barra y la fuerza total en AE . Para la barra de acero, A = 200 m 2 y E = 200 GPa, y para cada una de las barras de aluminio, A 400 mm 2 y E = 70 GPa. C

B

D Acero L=3 m

Aluminio Aluminio

E P

cos45  cos30    cos45    cos30         3 1   3. 4 6 1   4. 2 4  .  . 2001020010 cos30 400107010 cos45 400107010 7510 1.4210 2.1310 

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U.T.P.L.

 1. 4 210  7510  1.89   1. 4 210  2.1310  0.66  ESFUERZOS DE ORIGEN TÉRMICO 261. Una varilla de acero de 150 mm 2 de sección está sujeta en sus extremos a dos puntos fijos, estando estirada con una fuerza total de 5000 N a 20º C. Calcular el esfuerzo de la varilla a -20ºC ¿A qué temperatura se anulará el esfuerzo? y 9 2 E = 200 x 10 N/m .

11.7/°c Acero A=150 mm² P=5000 N atº=20ºC

δT

       ∆  20010   150105000 20010  11.71040 5101.66610 0.000468 5100.0006346 126.9210 / 127 / 01.66610 11.710∆  1. 6 6610 ∆ 11.710 ∆14.24 

δP1

47


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20 14.24  34.24  264. Una llanta de acero de 10 mm de espesor y 75 mm de ancho se coloca sobre una rueda motriz de locomotora, de 1.8 m de diámetro, calentándola a 90°C, temperatura a la cual encaja perfectamente sobre la rueda, que está a 20°C. Determinar la presión de contacto entre ambas ruedas al descender la temperatura común a 20°C. Despreciar la deformación de la rueda producida por la presión de contacto y E = 200 x 10 3 N/m2 .

11.7/°c

 0.0750.01  0.00075  0.9  2.545   0.90.010.075  0.06825   ∆   11.71020.990  5.9510   ∆  11.71020.950  3.3110     654  3.3110 5.9510  7.5105.20010 0.002643.7710

Ac ero

m 0. 0 75

m 8 . 1

Rueda

A c e r o δTA δPA

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70026.53  5 3  70026. 0.06825  1026029.67 /  . 1026029.67 0.90.7001 9 923426.700.91  1014454.62 / 1.015 / 265. Un aro de bronce de 20 mm de espesor cuyo diámetro interior es de 600mm se coloca perfectamente ajustado sobre otro de acero de 15 mm de espesor, a una temperatura común de 130°C. EI ancho, igual para los dos, es de 100 mm. Determinar la presión de contacto entre ambos aros cuando la temperatura descienda hasta 20°C. Despreciar el hecho de que el aro interior pueda abollarse por pandeo. Ea = 200GPa y . Eb= 83GPa y .

19/°c :  ∆  19100.3102110  3.9410   20.310  1.884      1.8843.9410  1.8800 

11.7/°c Bronce Ac ero

m 6 . 0 = D D = 0 .5 7 m

0.1 m

t=0.02 m

t=0.015 m

49


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 2 1.8802  0.29921  :  ∆   11.7100.32110  2.42510   20.30  1.884      1.8842.42510  1.881   2 1.8812  0.29945                 3.9410   2.42510   0.001515    0.001515    1.884   8310 1.884  0.001515 20010 0.0015156.2810 1.134910 0.0015151.76210 50


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85981.84   0.210.015  0.0015  0.10.02  0.002   0.10.035  0.0035  8 4  85981. 0.0035  24566240 /  .  245652400.30.035 2866061 / 2.87 /

51

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266. A una temperatura de 20°C se coloca una plancha rígida que tiene una masa de 55 Mg sobre dos varillas de bronce y una de acero, como se indica en la figura P-266. ¿A qué temperatura quedará descargada la varilla de acero? Datos Acero: A = 6000 mm 2, E = 200 x 10 9 N/m2 y Bronce (cada una): A = 6000 mm 2, E = 83 x 10 9 N/m2 y .

11. 7 /°c. 19/°c 55Mg

55109.81/  539.55 

Bronce

Acero

Bronce

∆    269.7758310 0.25  19100.25∆11.7100.3∆ 60010 0.00000124∆1.35410 ∆109.22  109.22 20  129.22 

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∆

267. A una temperatura de 20°C hay un claro = 0.2 mm entre el extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de las dos barras de acero, según se muestra en la figura P-267. Despreciando la masa de la losa, determine el esfuerzo en cada barra cuando la temperatura del conjunto se eleva a 100°C. Para la barra de bronce, A = 600 mm 2 , E = 83 x 10 9 N/m2 y . Para cada barra de acero, A = 400 mm 2, E = 200 x 10 9 N/m2 y

18. 9 /°c 11.7/°c.

O R E C A

E C N O R B

O R E C A

800 mm

Δ

∆    0 ∆ ∆     ∆0 8   6001020.8310 8   0.0002 11.7100.880  400100.20010  18.910 0.880 0 0.00020.0007488110 3.21210 0.00120960 4.21210 0.0002608  6191.83  6.19183   40010  15473.53 / 19183   26.60010  20639.43 /

53


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268. Un cilindro de aluminio y otro de bronce, perfectamente centrados, se aseguran entre dos placas rígidas que se pueden apresar mediante dos tornillos de acero, como se observa en la figura P-268. A 10°C no existen fuerzas axiales en conjunto del dispositivo. Determinar las tensiones en cada material a 90°C, con los siguientes datos: Aluminio, A = 1200 mm 2 , E = 70 x 10 9 N/m2; y Bronce, A = 1800 mm 2 , E = 83 x 109 N/m2, y Cada tornillo, A = 500 mm 2 , E = 200 x 10 9 N/m2 , y

20 mm

75 mm

ALUMINIO

100 mm

20 mm

BRONCE

     20.07010 75  19100.180 23100.07580 120010 1   11.7100.21580  500100.220010 15   18001020.8310 13.810 1.7910 15.210 1.3410 20.12410 2.1510 88.7610 5.2810  16810.61  16811  2  2   33622  54


U.T.P.L.

16811   50010  33.62   216811 33622  33622   120010  28.02 / 33622   180010  18.68 / 273. La barra compuesta de figura P-273, está firmemente sujeta a soportes indeformables. Se aplica una fuerza axial P = 200kN a una temperatura de 20°C. Calcular los esfuerzos en cada material a la temperatura de 60°C. para el acero y para el aluminio.

11.7/°c

23.0/°c P

Acero (a) A=1200 mm² E=200 GPa

Aluminio (Al) A=900 mm² E=70 GPa

0  0 200000

Ta

Pa

Pa

P

PAL 55


U.T.P.L.

2000002  10010     23100.22011.7100.340 0.2  0.3 10010 900107010 12001020010 0.0001840.00014043.1710 1.2510  5920 /  5.920 /   10010   90010  111111111.1 /  111.111 / 275. Una varilla está formada por los tres segmentos que indica la figura P-275. Si las fuerzas axiales P 1 y P2 son nulas, determinar los esfuerzos en cada material al descender la temperatura 30°C en los casos siguientes: (a) los soportes no se mueven en absoluto, y (b) los soportes ceden 0.300 mm. Para el bronce, para el aluminio y para el acero.

18. 9 /°c 11.7/°c

23.0/°c

800 mm P1 Bronce A=2400 mm² E=83 GPa

500 mm

400 mm

P2 Aluminio A=1200 mm² E=70 GPa

Acero A=600 mm² E=200 GPa

a)

        ∆∆∆ 56


U.T.P.L.

  0. 8  0. 3 0. 4    120010     2400108310      7010 60010 20010 18.9100.82023100.33011.7100.490 1.33109.3910 70602  70602   240010  29.42 / 70602   120010  58.84 / 70602   60010  117.7 / b)

  0.310 1.33109.3910 0.310 1.33106.3910 48045.11  48045.11   240010  20 / 48045.11   120010  40 / 48045.11    60010  80 /

57


U.T.P.L.

277. La barra está articulada mediante un perno en O y conectada a dos varillas según se muestra en la figura P-277. Si la barra AB se mantiene en posición horizontal a determinada temperatura, calcule la relación de áreas de las varillas para que la barra AB se mantenga horizontal a cualquier temperatura. Desprecie la masa de la barra AB.

A

B 0

Aluminio E=70 GPa L=8 m

23.0/°c 11.7/°c     ∆  ∆    0  2310∆ 7010   1610090.5∆   2340000 ∆  0 3 4 0   43  34  2340000∆  31210∆

Acero E=200 GPa L= 8 m

Aluminio Acero.

58


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31210∆ 1610090.5∆  0.516 278. Una barra rígida horizontal de masa despreciable está conectada a dos varillas según se muestra en la figura P-278. Si el sistema está originalmente libre de esfuerzos, determine el cambio de temperatura que causará un esfuerzo de tensión de 60MPa en la varilla de acero.

18.9/°c 11.7/°c  2    5   0 250   52   2.5   2    5  12 18.9102∆ 1200102.528310  15 1.7103∆ 90010320010 1.8910∆2.5110 7.0210∆3.3310 11.8810∆2.1810 601090010   54000  11.8810∆0.0011772 ∆99 Bronce

Acero.

2m

Acero A=900 mm² E=200 GPa L=3 m

3m

Bronce A=1200 mm² E=83 GPa L=2 m

59


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279. Para el conjunto mostrado en la figura P-279, determine el esfuerzo en cada una de las dos varillas verticales si la temperatura se eleva 40°C después que se aplica la carga P = 50 kN, Desprecie la deformación y la masa de la barra horizontal AB.

Alnuminio A=900 mm² E=70 GPa

3m

Acero A=600 mm² E=200 GPa 3m

4m

3m

3m 50 kN

23.0/°c 11.7/°c  0 3 6 50109  15010 2 1  6    3    2  2  4  6001020010  11.7310440  2900107010  2310 340 3.3310 178710 9.5210 5.5210 3.3310 9.5210 3.6510 3 1  3 3.3310 9.521015010 23.6510 Aluminio Acero.

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2.23810 17.9510  80206  ó   10412   ó : 10412   90010  11.56 / 80206   60010  134 /

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO III TORSIÓN

304. Calcular el mínimo diámetro de un árbol de acero que, sometido a un momento torsionante de 14 , no debe experimentar una deformación angular superior a en una longitud de 6 m. ¿Cuál es entonces el esfuerzo cortante máximo que aparecerá en él? Use

 .   83  /  ..   ..   1410 3   3180 8310  1.93210  .   32 1.93210 32 /  0.118  118    .  0.1218  1410   1.93210  43/

3°

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305. En un árbol macizo de 5m de longitud, en el que el árbol total de torsión es de 4º, el esfuerzo cortante máximo es de 60 MPa. Si G= 83GPa, calcular su diámetro. ¿Qué pòtencia podrá transmitir a 20r/s?

  .  6010  .  6010  . 6010    1  2 . 2 .   0.0130220 1.64   ..  ..   8310 4   180  5 1158898623 .  1158.90 . 2 12 6010   1158.90  601158.90  5.17710 5.177 103.54  63


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306. Hallar la longitud de una varilla de bronce de 2 mm de diámetro para que pueda torcerse dos vueltas completas sin sobrepasar el esfuerzo cortante admisible de . Use

70 

  35 .   40.0202  3510  7010 6.28310 6.283

308. Demostrar que un árbol hueco de sección, circular, cuyo diámetro interior sea la mitad del exterior, tiene una resistencia a la torsión que es igual a macizo del mismo diámetro exterior.

Á  :   16   16   5.093 Á  :   16     16 2   161616   1616 15   5.432



de la que tiene un árbol

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ó:    5.5.403293    1.0665 1615 1615 ... 311. Un árbol de transmisión de acero corista de una parte hueca de 2 m de longitud y diámetros de 100 mm y 70 mm, y otra parte maciza de 70 mm de diámetro y 1.5 ni de longitud. Determinar el máximo momento torsionante que puede soportar sin que el esfuerzo sobrepase el valor de , ni el ángulo total de torsión supere el valor de 2.5° en la longitud total de 3.5 m, Use .

70 /  83 /

  2.1805   2   1.5 5   3.4910 7.461028310  2.357101.8310   83  10 /     3010   23./  1591.55 .   1510   23./

313. El árbol de la figura P‐313 gira a 3 r/ s absorbiendo 30 kW en A y 15 kW en B de los 45 kW aplicados en C. Si , calcular el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión de la rueda A respecto de la rueda C. (Material acero.)

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 795.77 ./  4510   23./  2387.32 ./  0. 0 5   32  6.1410  0. 0 75   32  3.1110    .   1591.6.1541050.025  64.80  .      20.0375   2387.3.13110  28.80 / 314. Un árbol de acero se encuentra cargado según se muestra en la figura P‐314. Usando un módulo , calcule el diámetro requerido del árbol si el esfuerzo cortante está limitado a y el ángulo de rotación en el extremo libre no debe exceder de 4°.

60083/ / 

 1804 6.9810 . 1000500 500 . 66


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 500 .  1000 .  500  5005001000  .. 2   1000   3 6.9810  325008310  32 8310 6.9810 1.2310 3.6810 6.9810 4.9110  7.0343810 5.1510 51.5    16 6010  16500  188495559.2 8000  4.244  0.03488  34.88 

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315. A un eje de sección constante y 5m de longitud que gira a 2 r/s se le aplican 70 kW a través de un engrane situado a 2 m del extremo izquierdo, en donde se absorben 20 kW Em el extremo derecho se utilizan 30 kW y a 1.5m de éste, los otros 20 kW. (a) Dimensionar el árbol si el esfuerzo cortante no ha de exceder 60 MN/m2. (b) Si el eje tiene un diámetro de 100mm, determinar el ángulo total de torsión de un extremo al otro. Use

83 /   2  70   20   30   20  6010 /  2     32  2702 5. 5 7   2502 3.98 .   2202 1.59 .   2230 2.39 .   2202 1.59 .     16 6010  165.5 7 6010 89.12  4.7310



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7.7910  47.9    16    16 6010  163.9 8 188495.55 63.68  3.378310 6.96410 69.64    .. 0.321  8310 3.985 9.82108310 19.90 0.81519.90 24.42180  0.426°

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316. Un eje de acero de 3 m de longitud tiene un diámetro que varía uniformemente desde 60 mm en un extremo hasta 30mm en el otro. Suponiendo que es válida la ecuación (3‐1) en cada elemento diferencial de longitud sin error apreciable, determinar el ángulo total de torsión si transmite un par torsor de 170 N.m. Use

  8310 /

0.015  3 0.005 0.0320.005 0.030.01     0. 0 30. 0 1  32 0.030.01  310 110  103 .01.   32 0.030.  1017032 38310 2.093  2. 0 9 3  2.309 3   2.309 33  3 0.02257 180 1.29°

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317. Un árbol hueco de bronce de 75 mm de diámetro exterior y 50 mm interior tiene dentro un eje de acero de 50 mm de diámetro y de la misma longitud, estando ambos materiales firmemente unidos en los extremos del eje. Determinar el máximo esfuerzo en cada material cuando se somete el conjunto a un par torsor de 3 kN.m. para el bronce y para el acero.

  83 /  ..     32  0. 0 5   32  6.1410       32    0. 0 75 0. 0 5   32   2.4910   1    .  .    6.14108310 2.49103510 1.96210 1.14710  0.585  2 2  1   310 0.585  310 1.585  1892.74 .   16

  35 /

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2 6   161107. 0.05  45113831 /  45.11 /    310 1892.74  1107.26 .   16 .   160.1892.075740.0.00575  28474030 /  28.5 / 318. Un árbol compuesto está construido con tres materiales diferentes y sujeto a dos pares aplicados según se ilustra en la figura P‐318. (a) Calcule el máximo esfuerzo cortante desarrollado en cada material. (b) Calcule el ángulo de rotación del extremo libre del árbol. Use los siguientes valores:

  28 /;  83 /;   35 /

    0. 1    32  9.8210     32  0. 0 75   32  3.1110 1   72


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2  410  1.510 .   16  161. 5 10   0.075   18108396 /  18.11 / .   16  161. 5 10   0.075   18108396 /  18.11 / .  410  1.510 410  3  5.510     410 1.510 2.510   16  162. 5 10   0.1   12732406 /  12.73 / . 73


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 ..  1. 5 10 5   3.11101.3510 2.06710180 1.1843° 1°113.48 319. En el árbol de la figura P‐319, firmemente empotrado en sus extremos, la porción AB tiene 75 mm de diámetro y es de bronce, con y La porción BC es de acero, de 50 mm de diámetro, Si a= 2 m y b= 1.5 m, determinar el par torsor máximo T que puede aplicarse en el punto B de unión de las dos partes.

   35 /.  60 /  80 /;   83 /.

∑0    1    ..  ..   .  1. 5   .  2    6.14108310 3.11103510 2.93410 1.83710  0.624  1    0.624    1.624   1.602   1     1.602  74


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2.602    32  0.32075 3.106310    0. 0 5   32  32 6.1410    . 0. 0 5     2  8010  6.1410  1964.8 .  1.96410 .    . 0. 0 5    2 6010  3.1110  4976 .  4.97610 .  1.6244.976  8.08 .  2.6021.964  5.11 . á     6.94 .   á  . 75


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320. En el problema anterior determinar la relación de longitudes b/a que debe existir para que el acero y el bronce trabajen al máximo esfuerzo posible. ¿Qué par torsor T es necesario para ello?

   ..  ..  .  .     6.14108310 3.11103510 1.96210.9.18610. ..  ..  0.46819     1    .       80100.6.0251410 1964.8 .   3. 6010 1 110   0.0375  4976 . 1:      1964. 49768 .   1964. 49768 . 0.46819  1.19   1.964 . 4.976 . 6.94 .

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321. Un árbol compuesto, que consta de un segmento de aluminio y uno de acero, está some‐ tido a dos momentos de torsión como se muestra en la figura P‐321. Calcule el máximo valor admisible de T de acuerdo con las siguientes condiciones: y el ángulo de rotación del extremo libre, limitado a 12 . Use los valores .

  83 ;   28     0. 0 75   32  32 3.1110     . 6.1410     10485.95 . 1   2     2 .. 5     6.14102.1.8310 12180 5.8910  3556.52 .    3 3556.522 1778.26 .   16  2 6   161778. 0.075  21.47  70 

  100 ;  70 , ˚

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  16 7010  0.16075  5798.45 .   16 100100.05 16   2454.375 . 2 3 310485.95 .  3495.32 . 3 2   163495. 0.075  42.2  70  322. Un par torsor T se aplica, como indica la figura P ‐ 322, a un árbol macizo con extremos empotrados. Demostrar que los momentos torsionantes en los empotramientos son ¿Variarían estos valores si el árbol fuera hueco?

  /    /

   ..  .. ..   .   . 78


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   .  ... . .     . ....    .  ... . .     . .... 324. Un árbol se compone de tres porciones AC, CD y DB soldadas entre sí y el conjunto firmemente empotrado en sus extremos y cargado como indica la figura P ‐ 324. Para el acero ; para el aluminio G= 28 GN/m2; y para el bronce . Determinar la tensión cortante máxima en cada material.

   83 /   35 / ∑0   300700 1   300 2

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   0. 0 25   32  32 3.8310   32  0.3205 6.1410    0. 0 25   32  32 3.8310    0  ..  ..  .. 0  .  2  10001  3001. 5       3.83108310 3.83103510 6.14102810 0 6.2910 0.745997.4610 0.026178.72510 0 0.00146225 0.77216  5281000  472 .     . 0 125   4720. 3.8310    15610 /  528 .     . 0 125   5280. 3.8310    17210 /  528300 80


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 228 .     . 0.025   2286.1410  9.310 / 338. Un tubo de 3mm de espesor, tiene una forma elíptica. Hallar el momento torsionante que producirá en el esfuerzo cortante de 60 MN/m2

  .4.   0.150.4 075  8.8410 . 2 .  601028.8410310 3.182 .

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO IV FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE EN VIGAS

Escribir las distribuciones de momentos flexionantes y fuerza cortante en las vigas de los problemas siguientes. Trazar también sus diagramas, marcando los valores en todos los puntos de discontinuidad, y en los de fuerza cortante nula, despreciar el peso propio de las vigas. 403. La viga cargada como se indica en la figura.

 0 6 502 207 0  40   0 504 6 201 0  30   0 40305020 7070  30  30  3050  20 82


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 30502  3050100  10020  305040  20  30502406  305010040240  20140      :  : 10020 5

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406. La viga cargada como se indica en la figura.

 0 2021202204240240 4040160804  40   0 40220212023420252060 80401204 2001200  140  84


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 0   2040206 140402040120 180180  2020  20202  2010  2020140  20120  202201402  10 20140280  10 120280  140204020  8020  202201402404  10 2014028040160  10 80120 X 0 AB 2 2 BC 4 4 CD 6

V ‐20 ‐60 80 40 0 ‐40

M 0 ‐80 ‐80 40 40 0

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410. Ménsula cargada con la carga triangular que indica la figura.

      2 . 2  2   ..    6 .   2 2      86


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413. Viga con la carga indicada en la figura.

∑  0 255 504.5 0  40   0 5 25301.5 2010 5 254520  10 

 10 01  10  10 12  1025  10102 25  101020  3010  1025102 12 2 87


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 1025522  102552  52 1025  1040102 57  501020  7010  1025405 102 12 2  10254020052  52 50270  : 30100 3 52 1025 532 10325 583025 0 303  10 1  3010 03010 3010 1

X 0 1 1 2 2 5 5 7

V 10 10 10 10 10 ‐20 20 0

M 0 10 ‐15 ‐5 ‐5 ‐30 ‐20 0

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418. Voladizo o ménsula cargada como indica la figura.

 0 605240 20.  0 2060523 0  10       0  52 10  10010  10100     0  1020.5 10  10102 30  306030  3010120  20200

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419. Viga cargada como indica la figura.

 0       30  0 2030.52335 605  12  3012  18

03 203   6.67  18 2  18 6.627.  183.33 90


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 18 2 3  18 ..    181.11 35  18 2032  12  1830 23 3  183060  6012      á:  183.33 183.33 2.32   181.11  182.321.112.32   27.89 . X V AB 0 18 3 ‐12 BC 3 ‐12 5 ‐12

M 0 24 24 0

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420. Una carga distribuida con un total de 60 kN, soportada por una reacción uniforme como indica la figura.

 7.5  7.5. 2  3.75  157. 5 2  151 7.522  151 3.752 )

 15307. 5 6  157.56  1513.752 )

)

X 0 2 4

V 0 15 0

M 0 15 30

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422. Determinar las distribuciones de V y M en el arco semicircular de la figura, si (a) la fuerza P es vertical como se indica, y (b) si es horizontal y hacia la izquierda, pero aplicada en el mismo punto.

  cos90   2 senθ 0θ90   2 x cosθ  cosθ 1   2 1 93


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cos90  / cos180  cos180 cos180 cos   2 senθ   2    2    2  2    2 1 

V 0 0 22.5 0.19 45 0.35 67.5 10.46 90 0.5 90 ‐0.5 112.5 ‐0.46 135 ‐0.35 157.5 ‐0.19 180 0

M 0 0.038 0.146 0.309 0.500 0.500 0.309 0.146 0.033 0

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Sin escribir la ecuaciones de momento flexionante y fuerza cortante, trazar los diagramas correspondientes a las vigas de los problemas siguientes. Dar los valores numéricos en todos los puntos de discontinuidad y en los de fuerza cortante nula. 429. Viga cargada como indica la figura.

:  0 2026 5 204 1042 1021 0 5 240808020  76  95


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 0 202 106 7620 0  44  á       :   .  0   .  202 40   .  2027636   .  2027636   .  202 762016   .  202 7620104 24   .  244420   .  20102 0 ∆Á   :  ∆   0     ∆0202 40   202 7636    ∆36036   ∆362016     ∆10 10424   ∆244420     ∆20102 0 96


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á  : ∆Á    0     ∆04020.5 40     ∆403614     ∆4161.60.5 8.8     ∆8. 8 242.40.520     ∆202020.5 0 16  424 641624 6440 1.60  24  2.4  10  8. 8 0. 2 0 8.810. 2 1.33  á 8.80   4.6   

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431. Viga cargada y apoyada como indica la figura.

 0 7 1073.5 505 2042 1031.5 4030 7 245250160451200  70   0 5021073.5204571038.540100 1002454007 2554000  200  98


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 0 70200501010 204 40 270270  7010 02  70102  705  705010 23  2010  70102502  705 50100  5 20100  705010203 37  7050102060  8030  70502102203 32  70501005 10 303090  15 8010  705010204 200 710   14010 2 1022045  70502007  5 140900 99


X AB 0 2 BC 2 3 CD 3 7 DE 7 10

V 70 50 0 ‐10 ‐10 ‐130 70 40

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M 0 120 120 115 115 ‐165 ‐165 0

434. Viga cargada como se muestra en la figura.

∑  0 301 2031.5 605 0  24   0 306 5 2033.5 600  66   0 662430203 9090  30 01  30  3066201 14  362020  2056  30661 201 12  306666101

100


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 101 3666  3066203 45  24  30661 2032.5  30666660150  2484  24  30661602. 560  24144 á 36 . X V AB 0 ‐30 1 ‐30 BC 1 36 4 ‐24 CD 4 ‐24 5 ‐24 DE 5 ‐24 6 ‐24

M 0 ‐30 ‐30 ‐12 ‐12 ‐36 24 0

101


U.T.P.L.


 0   2040104   100   0 4021102120240350 5 40120  32  102


U.T.P.L.

 0 1045 5 203 402 1610.5 1610.50 20060805  68    : ∆Á  0   ∆0102 20   ∆206848   ∆48 10228 ∆28208   ∆808   ∆8 40 32   ∆321620  0    : ∆Á  0   ∆0 0.5202 20   ∆20 487282 256   ∆568164   ∆64 321 32   ∆32 3220.5 0 á 64 . 103


U.T.P.L.

436. Viga en voladizo cargada como indica la figura.

 0 2021 103 205 0 4030100 30 .  0 1010.5 109 2024 5 300 20160305 1505  30  104


U.T.P.L.

 0 2010202  0  30    :  0  0102 20  20020 201010 10010  10202 30  30300    :  0  00. 5202 20  20201 40  4010150  500. 5100.552.5  52.50.5301.5 30 á 52.5 .  402  10 0.5  105


U.T.P.L.

439. Una viga apoyada en tres puntos como se muestra en la figura consiste en dos segmentos unidos en un perno liso en el que el momento flexionante es nulo.

 0   . 404080   . 160   0 4 5 402 2021 0 4 5 120 1  0 5 403 1 2024 0 5  280 2 106


U.T.P.L.

 0 5 2043 0  48   0 2042 5 0  32  4 5 120 1   120532 4  70  5  280 2   18070 5  42     160  427048160  160 160    : ∆Á

 0   ∆04242  ∆422202 ∆24038

107


U.T.P.L.

  ∆38038 ∆387032 ∆32032   ∆32420 048   ∆48480    : ∆Á  0    02422244    44 382 32    3232232    32 3221.6 57.6    57.6 4822.4 0 á 57.6 .   1.6    32  448 1284832 1.6 

108


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440. Un marco ABCD, con esquinas rígidas en B y C, sostiene la carga concentrada P como se muestra en la figura

 0  0   2 0       0 109


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         2 0      0   2 0       2   2  2    2

110


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   0     12  2  12  2      2    0   12  2 2  23 2   12  2 13 2   4 56    4 6   14    4 111


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  2  4   4   : ∆Á   0    ∆0 14    4    ∆ 4  12  2   0   0    ∆0 12  2    14     ∆ 4  4  0    : ∆Á   0 1           4 2   0    1  0  21  24              24  24  0   á  24

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 180   100   180402 402  100402  1802 4022 1402 2 2  1802 801 202  40  402  20 113


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  

 803 26.67  26.672  13.33  26.6723  4.44  18040426.675 12  2013.335   1802 14042  3 5 26.6725  2024.445 á 80.

114


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 0 6030.523320455 207 0  144   0 6030.5 1332202120215 202 0  46  115


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∑  0 461446030.520420 190190 603   20   2 46  20   2 46  10 46  30  46 2 3  46 206   466030.5 203  46902060  2016  46902203 32  4690180103  4690144202205  6020100  20160  4690214452024 205 52 116


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 469018014472040160105  105 60380 á 80.  461.75 46131.75  53.67 .  4636030.5133  48 . X AB 0 3 BC 3 5 CD 5 7

V 46 ‐44 ‐44 ‐84 60 20

M 0 48 48 ‐80 ‐80 0

117


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FIGURA

Σ

  .

ÁREA 20

0.5

10

90

3

270

60

2.5

150

170

430

170    2.53  118


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 0 5 1702.53  86   0 1702.47 5  84   0   170 8486170 170170   : ∆Á

0  84  84 201 64  64064 642030.560386 86860 642010.56.67140.66    : ∆Á  0  0.58464174 119


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 7463.53137.53  137.5346.235.8885.42  85.428610.58 á 137.53   803 26.67 26.67  803 1  603   20  0.51.07586  46.23    0.20586 2  5.88   64 20200.5 64 2010 640 5 10320 120


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1.72    29.63 1.72  16.97   29.6641.720.516.97  63.53  449. Una viga sobre la cual actúa carga triangular de la figura, está sostenida por una reacción distribuida uniforme

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20. 5660 2180 90 / 2  603 40 á  :

 0  0.5213226.67  6030.51339010.5 45  26.67   0

   1   40212 26.67 130  1 30 110 3.33   21   301 11 15 Á 45 . 122


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450. Viga cargada y apoyada como indica la figura.

204505040. 510.51 1804 36    :  0   ∆03610.518    50 185032   ∆3280364 32   ∆325018 ∆183610.50 123


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    6   232 11 32  32  6   :  0  6  26  6  0 á 26 .

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FIGURA

Σ

 0 634.579  32   0

ÁREA 36

2

27

8

63

 . 72

216

288

63  4.57

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9 634.43  31   0   63 313263 6363   :  31  311260.55  51830.5 32  32320   :  0  47.5  47.54.4543  4315271 126   2  31 312  1220.5 312 6  6310  31 126


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 9.32 31122.58   0.75533131   7.7575    312.580.5   40         47.47.75  á  47.5 ..   3.3333   

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453. Una carga variable uniformemente está sostenida por dos reacciones uniformemente distribuidas, como se muestra en la figura.

FIGURA 1 2 Σ

ÁREA 5 6 11

 ..

0.33 1.65 0.66 3.96 5.61

  11    .  0.5151  126  1   2   / 126  5   10 / /    0 128


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4 0.510 1055 13 5  11110.511  0 4 41.675.61   9.0   .. FIGURA 1 2 Σ

ÁREA 5 30 35

1.67 8.35 3.33 99.90 108.25

  35    3.09     0 0.521 13 1  4  353.09  0 0.33108.154   27.27.0     0     1260.5 92736 3636

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UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULA R DE LOJA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL CAPÍTULO V ESFUERZOS EN VIGAS

503. Una viga en voladizo, de 60 mm de ancho por 200 mm de canto y 6 m de longitud, soporta una carga que varía uniformemente desde cero en el extremo libre hasta 1000 N/m en el empotramiento. Determinar el valor y el signo del esfuerzo en una fibra situada a 40 mm de l extremo superior de la viga en una sección a 3 m del extremo libre.

  0.   0 60. 2  12  12 410   5002 3  13 3 750.

   7504100.06 1125000 / 505. Una sierra de cinta de acero de alta resistencia, que tiene 20 mm de ancho y 0.8 mm de espesor, pasa por unas poleas de 600 mm de diámetro. ¿Qué esfuerzo máximo se desarrolló por la flexión al rodear las poleas? ¿Qué diámetro mínimo pueden tener las mismas sin que sobrepase el esfuerzo de 40 0 MPa. ? E = 20 0 GPa.

      0. 0 2 0. 0 08  12  12 8.5310 1   2   1   2

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       20010 /  0.3  8.5310 5.6910.    8. 5 310  0.0004 2.1310 á  .    5. 6 910 á  2.1310 á 267136.15 / á 267 

131


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508. Determinar el espesor mínimo b de la viga de la figura, de manera que el máximo esfuerzo normal no exceda de 10 MPa .

 0   500020004   13000  0 50002 80001 3  6000   7000    :  0  020001 2000  200070005000 2000370001000  20003 700050004000  20004 700050006000  20004 7000500060000    :  0  200010.5 1000  10000.5500010002 5000  50000.54000600010 á 5000 .  132


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 12  0.123 6.6710    1 1010  6.50000. 6710 0.075  75  510. Una barra de 40 mm ele diámetro se emplea como viga simplemente apoyada sobre un claro de 2 m. Determine la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a lo largo de la mitad derecha de la viga si el esfuerzo debido a la flexión está limitado a un valor de

60 /

 0 1.5 2  0.75 

  1 133


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 0.25    :  0.25   0.25  0.75    : 1  0.25 0.25   0  0.25  0.250.031250.28125  0 Á 0.28125       0. 0 2  4 6.2810 á   8125 á  6.0.22810 6010 44785 1340 / 134


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518. Una viga de sección S380x74, está simplemente apoyada en sus extremos. Soporta una carga concentrada central de 40 kN y una uniformemente distribuida de 1.5 kN/m, incluido su peso propio. Calcular la máxima longitud que puede tener si el esfuerzo admisible es de 140 MPa. DENOMINACIÓN

ÁREA(mm2)

ALTURA(mm)

S380x74

9500

381

ANCHO (mm) 143

ESPESOR(mm) ALMA(mm) 15.87

14

10 /10  / 203

1060

146

   0 21540  1540 2  7.520  7.520 135


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 0  7.520  7. 5 201527. 5 207. 5 20  204020  20152207. 5   207. 5 207. 5 0 Á 0. 5 27.52020 Á 0.257.540 Á 1.875  10 14010 / 220310 4061010 4.0610      0. 1 805 4010  0.2517.4.5040  610 56.840.357 1.905  5.08159.2150  10.33 .   15.41  

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520. Una viga de sección W200 x 27 se usa como viga en voladizo de 6 m de longitud. Calcule la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la viga, además de su propio peso, si el esfuerzo por flexión no ha de exceder el valor de 140MN/m2.

DENOMINACIÓN ALTURA(mm) W200x27 207

10 /10 25.80

249

Á .   14  14010/      14010  2 25.8100.103510 7.22460.1035 7.2243.726 1.94 / 137


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531. Se aplica una carga concentrada de 90 kN en el centro de una viga simplemente apoyada de 8m de claro. Si el esfuerzo admisible es de 120MN/m2, elegir la sección w más ligera.

  18010 .     120010/   10   0.0015  1 150010 10 74. 7  9.81 732.81/ 0.73281 /    155010 150010 48.710 155010 1548.710 1550

DENOMINACIÓN MASA (Kg/m) W530x74 74.7

A(mm2) 9520

I(106mm4) 411

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    15501012010  101 1548.710 155010 185844000 .   119.90   101   25    119.90   2.9240.55.84 . 5.84      12010   10     4.8710   1  48.710 567. Una viga de madera de 90 mm de ancho y 160 mm de altura está sometida a una fuerza cortante vertical de 20 kN. Determinar el esfuerzo cortante en puntos tomados de 20 en 20 mm a lo alto de la viga, a partir de su borde superior

        0. 0 9 0. 1 60  12  12 30.7210   30.721020 0.09 0.090.020.07  911.46 /   30.721020 0.09 0.090.040.06  1562.50 / 139


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  30.721020 0.09 0.090.060.05  1953.125 /   30.721020 0.09 0.090.080.04  2083.33 /   32   32 0.020 90. 16  2083.33 / 570. Una viga simplemente apoyada de 4 m de claro tiene la sección indicada en la figura Determinar la máxima carga uniformemente distribuida que puede aplicarse a todo lo largo de la viga si el esfuerzo está limitado a 1.2 MPa.

        0. 1 50 0. 2 0. 1 0. 1 5 .  12  12 . 71.87510 050. 1 0. 0 250. 0 875  ∑    220.10.071.250.87510 0.05 260.87  1.2  260.871.210 4600 / 4.6 /

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573. la sección recta de una viga de madera es un triángulo isósceles, con el vértice hacia arriba, de altura h y de base b. Si V es el esfuerzo cortante vertical, demostrar también que , y que tiene lugar en el punto medio de la altura.

á 3/ á  3  23   13   13 23   29  3   23  29    2    2 23  .  36  2  4  9  á  3 2 3. 6  36  á  34 84   24   14  á  3 ....        36  2 23 23  29  62    18 23 3 9

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 32 2362  34 233  34 62 9 3  34 2 9 3   34 318 3180  183  16  581. Una viga está formada por tres tablas de sección 150 x 60 mm, encoladas entre sí para formar una sección de 150 mm de ancho por 180 mm de altura. Si el cortante admisible en las juntas es de 600 kPa, el cortante admisible en la madera es 900 kPa y el normal permisible también en la madera vale 8 MPa, determinar la carga máxima uniformemente distribuida que puede resistir la viga sobre un claro de 2 m.

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    .. 7.2910 á      7.29100.15 0.060.150.05 49.38  600  49.38 12.15 / 90.150.0.01455 .  0.7.20910 . 55.56  900  55.56  16.20 /      0. 0 9 2  7.2910 617.28 810/ 617.28 12.96 /

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582. Calcule las dimensiones del cuadrado más pequeño que sea la sección transversal de la viga mostrada en la figura, si y

900  80 

∑  0   4  0 542 3 0 583  1  3   0  313  352  2311  1110 á 3  á 3 .  .   123  2 .4  29 900 /  29 9  9002 144

resistencia-solucionario-singer.pdf

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