RESISTENCIA DE MATERIALES I Conferencia # 12 Tema VII: Flexión. Contenido: Cálculo de los desplazamientos en flexión (Método de los parámetros de origen). Condición de rigidez. INTRODUCCION Realiz Realizar ar un recorda recordator torio io de la confere conferenci nciaa pasada pasada acerca acerca de la flexió flexión, n, tipos tipos de flexión, tensiones que se originan como calcularlas as! como la aplicación de la cond condic ició ión n de resis resisten tenci cia. a. Reco Record rdar ar el cálcu cálculo lo de perfi perfile less de pared paredes es delg delgad adas as compro"ar el estudio del e#emplo que se orientó so"re esto. Pre!nta" de comro$aci%n&
$%Cómo se plantea la condición de resistencia& $%'ue pro"lemas podemos resoler a partir de ella& $%Cómo calcular un perfil de paredes delgadas&. #emplo un do"le * $%Cómo calcular!amos los desplazamientos que tipos de desplazamientos surgen en la flexión& O'(ETIVOS
+ traés de la conferencia los estudiantes conocerán 'ue tipos desplazamientos surgen en flexión. Como se determinan. Como aplicar la condición de rigidez. DESARROLLO
-eformaciones en la flexión.
-e"i -e"ido do a la acci acción ón de las las carg cargas as exte exteri rior ores es la iga iga se defo deform rma, a, las las secci seccion ones es trans transersa ersales les se despla desplazan zan (erti (erticalm calment ente) e) perpen perpendic dicula ulares res al e#e inicia iniciall recto recto al mismo tiempo se produce una rotación de la sección segn puede erse en la figura. l desplazamiento del centroide de la sección en la dirección perpendicular al e#e inicial recto se le denomina /deflexión de la iga0 o flec1a de la iga se designa /20. l ángulo de la sección transersal ( θ ) respecto a su posición inicial se denomina ángulo de rotación o ángulo de giro. l ángulo de giro en los cálculos prácticos se determina por el ángulo que forma la tangente en el punto dado el e#e inicial recto3
esto se de"e a que la sección transersal, después de la rotación se mantiene plana erendic!)ar a) def)ectado *O(O+de la iga (1ipótesis de las secciones planas). l conocimiento de las deformaciones en las igas (la flec1a) es necesario as! como el ángulo de giro( θ ) a que en la práctica ingenieril se tiene que efectuar el cálculo de igas sometidas a flexión no solo por resistencia sino tam"ién a la rigidez o deforma"ilidad. 4ara lograr el funcionamiento adecuado se define una flec1a permisi"le. l alor de esta flec1a permisi"le en los elementos de máquinas aria en un amplio rango en dependencia de la utilización del elemento. 5 5 5 ÷ [Y ] = 5 longitud entre apoos. 577 677 8as deformaciones de"en conocerse además para poder resoler los pro"lemas estáticamente indeterminados. 8os alores de los ángulos de giro en los apoos de"en ser inferiores a 7,775 radian [θ ] . 4ara conocer exactamente la deformación de la iga es necesario calcular para cada sección la deflexión (2) ( θ ). xisten diferentes métodos para calcular los desplazamientos cuación diferencial de la elástica de la iga (-9) cuación de los parámetros de origen. Método de Mo1r. Método de 9eres1iaguin. :osotros estudiaremos el segundo de ellos los dos ltimos se estudiaran después en Resistencia de Materiales ;;. l método a traés de la ecuación diferencial de la l!nea elástica, permite la determinación de los desplazamientos por el método de la integración directa de la ecuación diferencial de la l!nea elástica (cura plana, cua forma toma el e#e de la iga en la flexión plana). Cuando la iga tiene un nmero grande de tramos, ofrece grandes dificultades relacionadas con la o"tención de las constantes ar"itrarias de integración. -urante la integración de las ecuaciones diferenciales para el nmero (n) de tramos se tiene que emplear el nmero do"le de las constantes de integración. l pro"lema se torna "astante oluminoso. 8a técnica de la determinación de las constantes de integración puede simplificarse sensi"lemente al reducirla a la o"tención de solo dos incógnitas, la fec1a el ángulo de giro en el origen de coordenadas elegido. ste es el Método de los 4arámetros de
ste método se funda de las siguientes tesis de partida. l origen de coordenadas se escoge en el ultimo punto izquierdo de la iga en cuestión es comn para todos los tramos.
8a expresión para el momento flector M(z) se compone mediante el cálculo de los momentos de las fuerzas situadas a la izquierda de la sección examinada, a una distancia z desde el origen de coordenadas. +l incluir en las ecuaciones el momento exterior concentrado M, aplicado acierta distancia a desde el origen de coordenadas, aquel se multiplica por el factor ( z a) 0 igual a 5. n el caso de la ruptura de la carga distri"uida, esta se prologa 1asta el final del tramo en cuestión, introduciendo, para esta"lecer la carga compensadora de dirección contraria. 8a interpretación en todos los tramos se efecta sin a"rir el paréntesis. Con este enfoque, la expresión para el momento flector en cualquier tramo se representa por medio de todos los factores de fuerza que actan a la izquierda de la sección examinada.
Como limitante tiene el que se puede aplicar solamente a igas de igual rigidez en toda su longitud. 9eamos el método
d2 y
EI X
dz 2
========== cuación diferencial aproximada del e#e
= M( z)
flexionado de la iga.
dy dz ;ntegrando los dos miem"ros entre θ z (considerando ; x constante) EI X dθ = M( z )dz
θ
siendo θ =
z
∫
∫
EIx d θ = Mzdz 7
θ 7
z
∫
de donde: EIx(θ − θ 7 ) = Mzdz 7 z
∫
EIxθ = EIxθ 7 + Mzdz ========== (>) 7
de donde θ 0 es el ángulo de giro en el origen de coordenadas (z ? 7) es el primer parámetro de origen. scri"iendo la ecuación anterior de la siguiente forma EIx
dy dz
z
= EIx + ∫ Mzdz 7
;ntegrando y
∫
z
∫
z
z
∫ ∫
EIx dy = EIxθ 7 dz + dz Mzdz y7
7
-e aqu! o"tenemos
7
7
z
z
∫ ∫
EIxy = EIxy 7 + EIxθ 7 z + dz Mzdz =========== (6) 7
7
siendo la flec1a en el origen de coordenadas. (@egundo 4arámetro de ) (6) se pueden considerar como ecuaciones uniersales para determinar las flec1as ángulos de giro, escritas de forma general. +nalicemos una iga sometida a los 6 tipos de cargas que pueden actuar M = 0 ( z ≤ a ) ;. ;;. M = Mf ( a ≤ z ≤ b) M = Mf + P ( z − b) (b ≤ z ≤ c) ;;;. ;9.
M = Mf + P ( z − b) +
q( z − c) >
(c ≤ z ≤ 5)
>
9er demostración pág.6A5 Bilda Fdez *omo ;. 4ara cada una de las cargas. l sentido que tienen aqu! los momentos, la carga concentrada la carga distri"uida le da el signo positio () en la ecuación. Cuando simultáneamente actan arias fuerzas exteriores de los tipos analizados, las ecuaciones para determinar el ángulo de giro (θ) la flec1a ( Y ) serán 4ara el ángulo de giro
EIxθ D= EIxθ = EIxθ 7 + ∑ Mf ( z − a) + ∑
P ( z − b) >
>
+∑
q( z − c) A
4ara la flec1a EIxy = EIxy 7 + EIxθ 7 z +
∑
Mf ( z − a ) > >
+∑
P ( z − b) 6 A
+∑
q( z − c ) >E
-onde (a, ", c) -istancia desde donde esta aplicado el Mf, 4 q al origen de coordenadas respectiamente. (z) -istancia para la cual se determina la flec1a el ángulo de giro. stas ecuaciones se denominan cuaciones niersales de la 8!nea lástica de una 9iga3 en ellas se introducen, con el signo correspondiente, todas las fuerzas exteriores, (incluendo las reacciones) situadas entre el origen la distancia(z) donde se calcula el desplazamiento. 9eamos las condiciones de apoo su relación con ( Y0 θ 0 )
9iga empotrada o en oladizo
9iga simplemente apoada
θ7 θ+
Considerando 2G, como deformación máxima #emplo
5)
l origen se u"ica en el empotramiento. θ 0 = 0 Y0 = 0
>)
Calculo de las reacciones en el empotramiento. Fy = 7 Mto( A) = 7 − P + R = 7
∑
∑
P .l − M = 7 M = P .l
R = P 4ara calcular 2max esta será en (z ? l). EIxY = EIxY 7 + EIxθ 7 z +
EIxY = −
P .l ( z − 7) > >
+
∑
Mf ( z − a) > >
P ( z − 7) 6 A
−
+∑
P ( z − b) 6 A
+∑
q ( z − c) >E
P ( z − l ) A
@ustituendo (z ? l) EIxY =
EIxY =
EIxY =
− P .l (l ) > >
− P .l 6 >
− > P .l A
+
P (l ) 6 P (l l ) = + A A P (l) 6 A
= 4.l(5 A = 5 >) Y =
− P .l 6 EI
l signo negatio (=) significa que el desplazamiento es 1acia a"a#o. l signo positio () será lo contrario. Y max ≤ [Y ]
4ara el ángulo de giro, el signo () significa sentido de giro anti1orario el signo (=) significa sentido de giro 1orario. #emplo -eterminar la flec1a en el punto (+) el ángulo de giro en el punto (G) de la siguiente iga.
-atos
= P .a q = P a
M
EI
= cnst .
= @e de"en calcular las reacciones en los apoos donde R5 = P R> = P el origen en el apoo izquierdo Y 7 = 7 θ 7 = 7 planteando para z ? 6 en el otro apoo 2 ? 7 con la ecuación de la flec1a se despe#a el θ 7 . EIxY = EIxY 7 + EIxθ 7 z +
7 = EIxθ 7 z +
M ( z − >a) > >
∑ +
Mf ( z − a) > >
P ( z − 7) A
+
+∑
P ( z − b) 6 A
P ( z − 6a) A
−
+∑
q( z − 7) >E
q ( z − c)
+
>E q( z − >a) >E
(z ? 6a) θ 7
θ 7
− Pa (a) > P (6a) P H a (6a ) P H a(a) = − + − > A >E >E EIx6a 5
=
− J Pa > I EIx
4ara calcular (θ ) en el punto G, se aplica la ecuación de ( θ ) para (z ? 6a) EIxθ = EIxθ 7 +
∑ Mf ( z − a) + ∑
EIxθ = − EIxθ 7 ∗ (z ? 6a)
J Pa > I EIx
P ( z − b) >
+ Pa ( z − >a) +
>
+∑
P ( z − 7) >
+
q( z − c ) A
P ( z − 6a) > >
−
P H a( z − 7) A
+
P H a( z − >a ) A
7=
7=
> 5 J Pa
EIx I
+ Pa( a) +
P (6a )
>
>
+ P (7) −
Pa >
P H a (6a )
A
+
P H a ( a )
A
55 Pa >
[ − J H I + 5 + I H > − >L H A + 5 H A] = EIx 5K EIx (sentido de giro anti1orario()) θ max
≤ [θ ]
8a flec1a en el punto (+) se eala en la ecuación de la flec1a para (z ? Ea). EIxy a = EIxy 7 + EIxθ 7 z +
EIxy a = − EIx
J Pa > I EIx
z +
∑
Mf ( z − a) > >
Pa ( z − >a ) > >
7
+
+∑
P ( z − b) 6 A
P ( z − 7) A
+
+∑
P ( z − 6a ) A
q( z − c )
−
>E P H a ( z − 7) >E
+
P H a( z − >a) >E
(z ? Ea) 5 J Pa >
y a =
Pa − 5A7 + 5EE + LAK + 5> − LAK + EK − EIx L>
y a =
55 Pa 5K EIx
=
7,A5 Pa EIx
A
+
P (a )
− EIx
>
+
P ( Ea )
y a =
I
(Ea ) +
Pa (>a) >
A
−
P H a( Ea) >E
+
P H a (>a) >E
y a ≤ [ y ]
CONCLUSIONES
@e de"e puntualizar en los signos, como tener en cuenta las condiciones de los apoos para ( Y0 ) ( θ 0 ) o para ealuar en diferentes puntos como se e en el e#emplo. +demás el análisis de los resultados con los signos si la flec1a es positia, %qué indica&, si lo es el ángulo de giro. PRE.UNTAS DE COMPRO'ACION
5. = %'ue métodos se conocen& >. = %'ue limitaciones 1a para aplicar el método de los parámetros de origen& 6. = %'ue significa que el ángulo de giro sea negatio&
'I'LIO.RA/IA
5. Resistencia de Materiales. Feodosie pág. 5JL... 5A> 5KK... 5IK *omo ; (de"en er las demostraciones fundamentales de la ecuación). >. Resistencia de Materiales. Bilda Fdez pág. 6EK... 6AI (estudiar los e#emplos propuestos los resultados). 6. Resistencia de Materiales. @ilos pág. AA6 (aparece la deducción de la ecuación general). E. Resistencia de Materiales. 4isareno pág. >6L. %'ué pasara con una "arra cura sometida a flexión&
