PDM3
Résistance des Matériaux 2006/20071
La Résistance Des Matériaux (RDM) c’est l’étude des effets produits par les efforts qui agissent sur une structure
h
F
A L/ 2
B L/ 2
d
IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
2
plan 1) rappels et objectifs 2) sollicitations simples 3) sollicitations composées 4) flambage élastique 5) concevoir une structure 6) éléments finis 3 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
Chapitre 1
rappels et objectifs 4 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
1.1 . Hypothèses • Structure : poutre homogène isotrope
section
ligne moyenne r
ligne moyenne = lieu de tous les centres de gravité
G(s) S(s)
L 5
• Contrainte et déformation : définitions : contrainte σ = force / surface unité : pascal (Pa) déformation ε = variation de longueur / longueur initiale unité : sans unité (µm/m) rappels : • grandeurs physiques ponctuelles • Re limite élastique d’un matériau = contrainte maximale
supportée par le matériau sans déformation irréversible de celui-ci 6
• Matériau : H : déformations élastiques
RR Re
σ
point de striction
zone plastique zone élastique
ε
9 contraintes inférieures à la limite élastique Re 9 déformations extrêmement petites (allongements négligeables devant les dimensions de l’élément)
L’élément peut être considéré comme indéformable 7
• Intérêt de ces hypothèses lois classiques de la mécanique générale (mécanique MPh1)
conditions complémentaires de déformation résultant des propriétés des matériaux (matériaux MPh1)
permet de déterminer - les efforts intérieurs engendrés par les efforts appliqués - les contraintes et déformations qui en résultent 8
1.2 . Coté industrie Objectif industriel Connaître le niveau de chargement maximal qui existe dans la structure étudiée. En précisant : 9Où ? 9Combien ? 9Quoi ? 9Quelle amélioration possible ?
9
Comment est conçu un produit ? cahier des charges schéma fonctionnel calcul de pré-dimensionnement avant projet validation projet
10
En pratique, trois cas se présentent :
chargement connues
structure
problème à résoudre dimensionnement
inconnues
inconnues
connues
connues
connues
détermination des conditions d’utilisation vérification des conditions d’utilisation 11
1) dimensionnement •
cahier des charges :
Chargement que doit supporter la structure Idée de la géométrie globale de la structure Informations sur le type de matériau à utiliser • objectif : Définir les dimensions de la structure et choisir le matériau qui permet la tenue mécanique de la structure Préciser le niveau maximal de chargement autorisé 12
2) détermination •
des conditions d’utilisation
cahier des charges :
Géométrie exacte de la structure Matériau
•
objectif :
Définir le chargement que peut supporter la structure Préciser le niveau maximal de chargement autorisé 13
3) vérification •
des conditions d’utilisation
cahier des charges :
Chargement que doit supporter la structure Géométrie exacte de la structure Matériau
•
objectif :
Vérifier le niveau maximal de chargement autorisé 14
1.3. Réflexion sur la démarche Objectif : Définir le chargement maximal autorisé 9 Quoi ? (quel type de sollicitation ?) 9 Combien ? (quelle marge de sécurité ?) 9 Où ? (en quel point ? c’est le point critique) 9 Quelle amélioration possible ? 15
9Quel type de sollicitation ? Sollicitations élémentaires (mécanique MPh1)
Traction / compression
Cisaillement F
F
F
F
Torsion
Flexion C
x
F
16
Sollicitations composées Dans une structure réelle, soumise à des chargements réels, toutes ces sollicitations existent simultanément.
Démarche : • On repère tous les efforts extérieurs appliqués • On calcule les sollicitations élémentaires • On les combine pour évaluer le niveau global de contrainte dans la structure (cf chapitre 3) 17
9Quelle marge de sécurité ? Hypothèse : on reste dans le domaine élastique
On compare : la contrainte maximale existant dans la structure σmax à la contrainte élastique admissible par le matériau Re M.S. = σmax
< 1 ?? 18
9En quel point ? Il faut déterminer les efforts intérieurs en chaque point de la structure pour calculer les contraintes en chaque point
coupe
Principe de la coupe : transformer les efforts intérieurs en efforts extérieurs
19
1.4. Démarche de calcul 1) Comprendre la réalité
2) Établir le schéma de calcul •poutre = ligne moyenne •forces extérieures = connues •réactions aux appuis = inconnues
?
3) Calculer les efforts intérieurs en chaque point
?
20
• établir le schéma de calcul 1) Forces C O N N U E S
appliquées ponctuelles ou réparties
I N C O N N U E S
de contact système considéré : la poutre efforts extérieurs : forces de contact planche- appuis ⇒ dépendent des conditions aux limites (CL)
21
2) Conditions aux limites on idéalise les CL : réactions aux appuis et encastrements
schéma
réalité appui mobile
RY
1 inconnue
RY appui fixe encastrement
2 inconnues RX
RY RX M
3 inconnues 22
• calculer les efforts intérieurs 1) principe de la coupe - Si on retire une partie de la structure : - Pour conserver l’équilibre de la structure initiale, définition d’un torseur d’efforts N,T,Fz,Mt,Mfz,Mfy éléments de réduction du torseur en M y x
T M
N
Mt x
Mf 23
2) démarche de calcul a. Établir le schéma de calcul b. Calculer les réactions extérieures (issues des CL)
c. Étudier les discontinuités (où sont les changements de chargement ou de sections ? combien de coupes faut-il faire ?)
d. Calculer les éléments de réduction pour chaque coupe e. Tracer les diagrammes 24
3) calcul des éléments de réduction sur une coupe (à faire pour chaque coupe) (rappel) • On calcule N(x),T(x),Mf(x) et Mt(x) en chaque point M d’abscisse x : ΣF=0 ΣM=0 • On vérifie les résultats à l’aide de la relation T(x) = - d ( Mf (x)) / dx • On trace les graphes N, T, Mf et Mt en fonction de x, c’est-à-dire en chaque point de la poutre 25
4) intérêt de la détermination des éléments de réduction
Chaque élément de réduction N(x),T(x), Mf(x), Mt(x) est lié à une sollicitation élémentaire.
traction/compression cisaillement torsion flexion
T M Mf
N
Mt x
N effort normal T effort tangentiel Mt moment de torsion Mf moment fléchissant 26
5) exemple a. Schéma
a
A
b. Efforts extérieurs
2a
C
B F 2F/3
F/3 x
F
c. Où faire les coupes ? d. Calcul des éléments de réduction Exemple sur la première coupe •On coupe avant B •On conserve la partie gauche
A
C B 27
calcul…
28
1.5. Ordres de grandeur : caractéristiques mécaniques élastiques Metals and alloys Re MPa
90-150 120-170 100-230 12-17 60-80 275-1100 250-300 430-490 29 1000-1500 -
Glasses
Plastics All plastics are viscoelastic and consequently the elasticity varies considerably with temperature and strain rate. The table below gives approximate values at 20°C for slow rates of strain.
Re MPa
20-30 76-97 62-83 82-117 55-65 21-35 69-104 50-76 30-40 34-52 10-20 55-80
30
Chapitre 2
sollicitations simples 31 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
A) traction et compression
32
A.1 . Définition sollicitation par un effort normal aux sections droites de la poutre
dans une section droite :
N≠0
( effort normal )
tous les autres éléments de réduction sont nuls
N
x
33
Exemples • Éprouvette de traction S0 L0
• Effet poids propre d’un câble suspendu
L
34
A.2 . Contrainte de traction σN F
F F
dS
dFx
def : F
S
N
σN
dFx = ds
dFx N = ∫∫ dFx = ∫∫ ds = ∫∫ σ N ds ds
Si σN = constante, alors
σN
=N S
35
• traction F
S
N>0
F
S
N<0
donc σN >0
• compression donc σN <0 36
A.3 . Loi expérimentale Essai de traction loi de Hooke: σN = E εN
σ
Re
( ε⊥ = -ν ε// )
zone élastique
σN = N / S εN = ∆L / L
ε
donc
FL NL ∆L = = SE SE 37
A.4 . Comportement d’une poutre en traction (ou compression) dimensionnement en traction on doit s’assurer qu’en chaque point de la structure
l σN l ≤ Re … comme σN = N / S : • si N est connu, on peut calculer Smin • si S est connu, on peut calculer Nmax
38
A.5 .Validité des lois Conditions d’application de la théorie : équilibre du système Les lois de comportement ne s’appliquent plus lorsqu’on est dans un état instable Par ex : en compression lorsque • la poutre est rectiligne de grande longueur
• la charge de compression est importante et atteint une valeur critique
phénomène de FLAMBAGE (chap4)
39
A.6 .Problème type Effet du poids propre 1) schéma de calcul 2) calcul des réactions 3) étude des discontinuités L
4) calcul des éléments de réduction (vérification T, Mf) 5) tracé des diagrammes 6) conclusion 40
Données :
L
- Section du câble : S - Masse volumique ρ - Résistance élastique Re Hypothèses : - câble suspendu - on ne néglige pas le poids propre du câble
41
calcul…
42
B) cisaillement
43
B.1 . Définition sollicitation par un effort tranchant dans le plan des sections droites de la poutre
dans une section droite :
T ≠ 0 (effort tranchant) tous les autres éléments de réduction sont nuls
T M
x
44
Exemples cisaillement pur
poinçonnage
rivetage
45
En général, le cisaillement n'est pas pur.
T ≠ 0 et Mf ≠ 0 flexion et cisaillement
τ
traction
cisaillement dans section oblique 46
B.2. Contrainte de cisaillement τc contrainte τ telle que
T = ∫∫ τ ds S
Hypothèse :
constante sur la section
T τ= S
valeur moyenne de la contrainte
Peut être très inférieure à la valeur maximale La répartition dépend de la forme de la section NB : τc est une contrainte tangentielle
47
y
En réalité, la répartition des contraintes sur une section est la suivante:
T τ= ∫ y ds I b( y ) b(y) est la largeur de la section à la côte y def :
λ facteur de forme en cisaillement τ max = λ τ moy = λ T / S 48
Quelques valeurs de λ pour des formes de sections simples type de section
4 3
section circulaire pleine section circulaire creuse
T
section rectangle
h b T
rR 4 ⎛⎜ 1+ 2 3 ⎜⎝ r + R2
(
T
section losange régulière
λ FACTEUR DE FORME EN CISAILLEMENT
)
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
3 2 9 8 49
B.3. Loi expérimentale
γ = déformation due au cisaillement
γ
∆x
∆νc
∆vc dvc γ = lim = ∆x → 0 ∆x dx 50
Essai de cisaillement τ
(pente de la droite) Loi de Hooke
Re’ zone plastique zone élastique
Ordres de grandeur :
τ=Gγ G = E / 2 (1+ ν) γ
acier : G = 80770 Mpa alu :
G = 25960 MPa
Re' limite élastique en cisaillement = Re / √3
51
B.4 . Comportement d’une poutre en cisaillement dimensionnement en cisaillement on doit s’assurer qu’en chaque point de la structure
l τ l ≤ Re’ (Re' = Re / √3) •
si T est connu, on peut calculer Smin
•
si S est connu, on peut calculer Tmax
52
B.5 .Validité des lois Conditions d’application de la théorie : équilibre du système
lois applicables tant qu’on reste dans le domaine élastique 53
B.6. Problème type Poinçonnage F φd e
poinçon tôle support
problème : - la tôle doit céder au cisaillement - le poinçon doit résister à la compression 54
données : poinçon : résistance élastique choisie avec une forte marge de sécurité : - acier doux : Rp = 60 MPa - acier trempé : Rp = 800 MPa
tôle : résistance à la rupture en cisaillement : acier doux : Rr' = 180 MPa
dimensionnement du dispositif : 1) calcul du poinçon 2) calcul de la tôle 55
calcul…
56
C)
torsion
57
C.1 . Définition 9 sollicitation dans le plan de la section 9 tendance à faire tourner l'une par rapport à l'autre deux sections voisines.
dans une section droite :
Mt ≠ 0 (moment de torsion) M
tous les autres éléments de réduction sont nuls
Mt x 58
Exemples barre de torsion
x
C
arbres en torsion
arbre de transmission moteur engrenages
compresseur
ressorts 59
C.2. Contrainte de torsion τt M’ ∆α Hypothèse : section circulaire
Mt
ρ
M
α angle ∆x distance ρ distance à l’axe de torsion
∆x
glissement relatif : γ t = MM' =ρ ∆α ∆x ∆x déformation due à la torsion: θ = lim∆α=dα ∆x→0 ∆x dx τ t = G γt = G ρ θ
!
γt = ρ θ
non constante sur la section 60
τt
τt
Mt Mt
ρ
Mt = ∫∫ τt dS ρ
dS
= ∫∫ G ρ2 θ dS = G θ ∫∫ ρ2 dS
∆x
On pose : Mt = G J θ τt = G ρ θ
J = ∫∫ ρ2 dS
constante de torsion
donc
τt = ρ Mt
NB : τt est une contrainte tangentielle
J
61
Quelques valeurs de J pour des formes de sections simples type de section
J constante de torsion ( moment d’inertie /point )
= ∫ r 2 dS
πD
section circulaire pleine
32
section circulaire creuse
T
T
(
4
S
π (R 4 − r 4 )
b h b2 + h2
)
section norectangle n utilisa torsion ble pou h n e s 12 e é it r calcul c on solli i t s c e d s e e s d ection s b uls calc r u ollicitée o p section losange e l b a s li i s en tor t T u n o n sion régulière
2
a4 6 62
C.3 . Loi expérimentale Essai de torsion Mt = k θ
Mt (N.m)
(pente de la droite)
Mte zone élastique
zone plastique
donc τt = ρ kθ
J
θ (°.m-1)
θ élastique petit : quelques degrés par mètre θ plastique très grand : 30 à 50 tr/m avant rupture 63
C.4 . Comportement d’une poutre en torsion contrainte tangentielle
idem cisaillement
dimensionnement en torsion on doit s’assurer qu’en chaque point de la structure
l τt l ≤ Re’ 64
C.5 .Validité des lois Les lois relatives à la torsion sont considérées comme: - exactes pour les sections circulaires (même creuses) - acceptables si le centre de gravité de la section est confondu avec le centre de torsion - fausses si le centre de gravité de la section n'est pas confondu avec le centre de torsion très complexe (calcul numérique)
65
Exemples de cas où les lois sont inapplicables :
profil en U G
T
aube G T 66
C.6 .Problèmes types Arbre cylindrique en torsion G le module d’élasticité en cisaillement du matériau. J0 le module de torsion
M1
L1
M2
L2
L3
a) Calcul des moments de réaction aux extrémités fixées de l’arbre. b) Calcul de la contrainte de torsion dans la section la plus sollicitée.
67
MA
M1
A
B L1
MD
M2
L2
C
D
L3
Données : - Rayon de l’arbre : R = 2 cm - Moment de torsion : J - Moments des couples M1=100 Nm et M2=-200 Nm Hypothèses : - arbre cylindrique - on néglige le poids propre de l’arbre 68
calcul…
69
D)
flexion plane
70
D.1 . Définition Les efforts qui s'exercent sur une section droite ont tendance à faire tourner la section autour de l'axe z.
dans une section droite :
Mf ≠ 0 (moment de flexion) tous les autres éléments de réduction sont nuls
z M
Mf
x
71
Exemples flexion pure F
F
A
B
C
D
BC est en flexion pure
flexion plane simple F A
Mf ≠ 0 T≠0
B 72
flexion plane simple F
F’
Mf ≠ 0 ; T ≠ 0 et N ≠ 0
flexion et torsion Mf ≠ 0 ; T ≠ 0 et Mt ≠ 0 F
En général, la flexion n’est pas pure !
73
D.2 . Contrainte de flexion F
F
fibres comprimées (σN < 0 ) Mf
Mf
fibre neutre (σN = 0 )
sections droites
fibres étirées (σN > 0 )
σf est une contrainte normale
74
Hypothèse : ( BERNOUILLI 1705 ) Pendant la déformation, les sections droites - restent planes - restent perpendiculaires aux fibres déformées
Pour un point P quelconque :
y z P dS
σf(P)=Mfz yP Iz
avec Iz = ∫∫y dS 2
S
σf
yP
x <0
yP distance à l ’axe Iz moment d’inertie par rapport à l’axe 75 de flexion
Quelques valeurs de Ιz pour des formes de sections simples I moment d ’inertie / axe
= ∫ y 2 dS
type de section
S
π D4
section circulaire pleine section circulaire creuse section rectangle
64 T
4 T h b
section losange régulière
π (R 4 − r 4 )
T
b h3 12 a4 12
76
D.3 . Loi expérimentale Essai de flexion plane σf
Re
εn
jauges de déformation
On applique Mf à la surface On peut donc calculer σf Les jauges mesurent ε// et ε⊥
77
Relation contrainte - déformation loi de Hooke loi de Poisson
σ=Eε ε⊥ = - ν ε//
Mf z σ f (P) = yP Iz donc
Mf z ε(P) = yP E Iz 78
D.4 . Comportement d’une poutre en flexion Dimensionnement contrainte normale
idem traction/compression
en flexion on doit s’assurer qu’en chaque point de la structure
l σN l ≤ Re
79
Calcul de la flèche v(x) = déplacement normal à la ligne neutre ligne // ligne neutre
v(x)?
80
y
P
Q
yP
A
B
v(x)
θ(x)
θ(x+dx) Q’ B’
P’ A’
On admet :
x
ligne neutre : AB ligne // à AB : PQ
v(x+dx)
dv(x) θ(x)= dx
d2v ε // (P) = −yP 2 dx
(1)
(2) 81
d2 v ε // σ // =− =− 2 dx yP EyP
(2) σ// = E ε // or
2
σf(P)=Mfz yP Iz
donc
d v Mfz = 2 dx E Iz
Pour avoir la flèche v, il faut donc intégrer deux fois deux constantes définies par les conditions aux limites: en général, 2 points où on a :
ou
un appui : v = 0 un encastrement : v = 0 et v’ = 082 (formules de Bresse)
D.5 .Validité des lois Conditions d’application de la théorie : équilibre du système
lois applicables tant qu’on reste dans le domaine élastique 83
D.6 .Problèmes types exemple : calcul de la flèche F A
a
b B
a C
F D
BC en flexion pure
Calcul de la flèche en tout point de la poutre AD 84
Données Dimensions :
F
a
b
a
F
a= 10 cm b= 30 cm section: largeur 1cm, épaisseur 2 mm
Forces appliquées : F= 10 N Caractéristiques matériau acier : E = 200 GPa Re= 240 MPa 85
Démarche : on utilise la relation de la déformée :
d2 v Mfz = 2 dx E Iz
donc : pour calculer la flèche v(x) en tout point d’abscisse x, il faut connaître le moment fléchissant en tout point Mf(x) c’est-à-dire déterminer les éléments de réduction T et Mf
86
Calcul des réactions et des éléments de réduction :
Réactions : RB=RC=F
F A
F B
C
D
Eléments de réduction T et Mf discontinuité d’efforts en B, C et D 3 coupes et 3 torseurs d’efforts : sur [AB], [BC], [CD] Sur [AB], pour 0
Diagrammes des éléments de réduction : F A
F B
C
D
T x
Mf
Fa
x -Fa 88
Calcul de la flèche en tout point :
Calcul…
89
Calcul sous Excel
x a b F E largeur épaisseur I
1,00E-01 3,00E-01 1,00E+01 2,00E+11 1,00E-02 2,00E-03 6,67E-12
0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,1 0,175 0,25 0,325 0,4 0,4 0,425 0,45 0,475 0,5
v(x) 8,75E-03 6,86E-03 4,84E-03 2,60E-03 0,00E+00 0,00E+00 -6,33E-03 -8,44E-03 -6,33E-03 0,00E+00 0,00E+00 2,60E-03 4,84E-03 6,86E-03 8,75E-03
V1(x)
V2(x)
V3(x)
contrainte max 3,00E+08
v(x) (m)
flèche sur AD 1,E-02 8,E-03 6,E-03 4,E-03 2,E-03 0,E+00 -2,E-03 0 -4,E-03 -6,E-03 -8,E-03 -1,E-02
v(x) 0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
x (m)
90
Chapitre 3 :
sollicitations composées 91 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
3.1. Définition cas le plus général Tous les effets existent simultanément. Les éléments de réduction se réduisent à : N≠0 Mf ≠ 0 T≠0 Mt ≠ 0 Toutes les contraintes définies dans les chapitres précédents existent : - traction / compression - cisaillement - torsion - flexion 92
3.2. Notion de tenseur contrainte 3.2.1. Contraintes normales ou tangentielle • les contraintes de traction ou de flexion sont normales à la section
• les contraintes de cisaillement ou de torsion sont tangentielles par rapport à la section F
F
S
S
σ normale
σn
τ
tangentielle
contrainteσ =contraintenormaleσ n +contrainte tangentiel leτ93
3.2.2. Tenseur contrainte y
x z
def: σij = contrainte sur la face de normale i, dans la direction j
Ces contraintes sont « rangées » dans une matrice appelée tenseur des contraintes ⎛ σ xx ⎜ T = ⎜ σ yx ⎜ ⎜σ ⎝ zx
σ xy σ yy σ zy
σ xz ⎞ ⎟ σ yz ⎟ ⎟ σ zz ⎟⎠
cas plan ⎛ σx ....... = ⎜⎜ ⎝ τ xy
τ xy ⎞ ⎟ σ y ⎟⎠
rq : les contraintes normales sont les termes de la diagonale 94
3.2.3. Identification des termes σij par rapport aux cas connus traction compression pure F
x
σ
section de normale x contrainte dans la direction x σt = σxx = σx
⎛σ ⎜ T =⎜0 ⎜ ⎝0
0 0⎞ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎠ 95
flexion pure
F x σ
section de normale x contrainte dans la direction x
σf = σxx = σx
⎛σ ⎜ T =⎜0 ⎜ ⎝0
0 0⎞ ⎟ 0 0⎟ ⎟ 0 0⎠ 96
cisaillement pur
F
τ
section de normale x contrainte dans la direction y τcy = σxy = τxy
x
⎛ 0 τ 0⎞ ⎜ ⎟ T = ⎜ τ 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0⎠ 97
torsion pure
y
Mt
Q τQ
τP P
section de normale x contrainte dans la direction tangentielle au point étudié
OU
τt = σxy = τxy τt = σxz = τxz
x
⎛ 0 τ 0⎞ ⎜ ⎟ T = ⎜ τ 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0⎠ par exemple ! 98
3.3. Comportement mécanique Une sollicitation même simple engendre des déformations dans toutes les directions. phénomènes physiques simples loi de comportement linéaire domaine élastique du matériau ⇓ LIMITE
99
Hyp : on reste en domaine élastique
⇒ Cas des sollicitations élémentaires les contraintes doivent rester inférieures à la limite élastique du matériau Re ou Re’ contraintes normales
contraintes tangentielles
⇒ Cas des sollicitations composées : critères de limite élastique : Tresca, Von Mises (ou critères de résistance) (matériaux métalliques) 100
3.3.1. critère de Tresca • •
basé sur la théorie du cercle de Mohr considère la contrainte de cisaillement au point le plus chargé
• si σ1, σ2 et σ3 sont les contraintes principales, le critères s’écrit : ( σ1- σ2 ) / 2 ≤ Rp’ 101
3.3.2. critère de Von Misès • basé sur des considérations énergétiques
• contrainte équivalente de Von Misès σ2VM = σx2 + σY2 + σz2 - σx σY - σx σz - σY σZ + 3 (τXY2 + τYZ2 + τXZ2 ) (à comparer à Re) 102
• application à quelques cas connus traction compression pure F
x
σ
σ2VM = σx2
σVM = σx
critère de limite élastique :
σVM < Re σx < Re
103
cisaillement pur
F
τ
σ2VM = 3 τXY2
x
σVM = 3 τXY
critère de limite élastique : σVM < Re τXY < Re / 3 104
3.4. Problèmes types y
poutre circulaire F2 P(x,y)
diamètre d longueur L x
F1
Calcul de la contrainte au point (P) due à F1 et F2 1) analyse des contraintes élémentaires au point P 2) calcul des contraintes élémentaires (valeur et direction) 3) calcul de la contrainte équivalente 105
Données Dimensions : L= 30 cm d = 4 cm
Forces appliquées : F1= 10 kN ; F2 = 4 kN Caractéristiques matériau acier : E = 200 GPa Re= 240 MPa
106
Calcul…
107
Chapitre 4 :
flambage élastique 108 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
4.1 . Définition Il y a flambage quand sous l’action d’un effort axial de compression important une poutre rectiligne de grande longueur fléchit. compression axiale importante
Poutre rectiligne de grande longueur (une dimension 10x plus grande que les 2 autres) 109
F
Fc
• état instable • se produit lorsque la charge atteint une valeur critique
110
4.2. Théorie d’Euler hypothèses • poutre rectiligne •chargements alignés sur la ligne moyenne •comportement élastique •articulations parfaites
traction-compression et flexion non indépendantes On écrit l’équilibre du système sur le système déformé 111
4.3. Comportement mécanique : cas appuyé-appuyé F
Poutre en appui simple à une extrémité Effort de compression sur l’autre extrémité
112
4.3.1. Calcul des éléments de réduction y
x
F A
B
• Schéma de calcul … sur la poutre déformée ! y R
F A
• Calcul des réactions
x R=P 113
• Calcul des éléments de réduction
T
y F
N
H Mf
α v(x) flèche
x
A
Hypothèses : v(x) << L ; dv/dx << 1
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0
N + F cos α =0 T - F sin α =0
N= -F T=Fα
Σ MH = 0
Mf(x) + F v(x) =0
Mf(x)= -F v(x) 114
4.3.2. Calcul des déplacements d2v Mf −Fv = = 2 dx EI E I
on pose ω2= F EI
soit v"+ F v = 0 EI
alors
v"+ω2 v = 0
équation différentielle du 2ème ordre à coefficients constants Solution de la forme :
v(x) = K erx
r2 + ω 2 = 0 r=±jω donc
v(x) = A sin (ωx) + B cos (ωx) 115
On cherche A et B à partir des conditions aux limites en x=0
v(x) = 0
B=0
en x=L
v(x)= 0
A sin ωL =0
A ≠ 0 donc ω L = k π (k entier)
kπ On obtient les modes suivants : v(x) = A sin( x) L
EIz 2 2 Pk = 2 k π L
charges limites de flambage
bh3 (Iz = ) 12 116
2
EI π alors A = 0 F P < 2 ( = P1 ) L la poutre est en compression pas de flambage
• Si
• Si
EI π 2 F P = 2 ( = P1 ) L
v = A sin (π x / L )
4EI π 2 P= ( = P2 ) • Si F 2 L v = A sin (kπ x / L )
1er mode de flambage y x
v(x)
y
2ème mode de flambage x v(x)
117
4.4. Ordres de grandeur Réglet
L = 50 cm b = 15 mm e = 0,7 mm
acier E = 200 GPa, Rp= 120 MPa appuyé-appuyé
• Charge limite de flambage : EI π 2 P1 = 2 L
=3,39 N
• Contrainte de compression : σ = N / S = 3,39/(15x0,7) = 0,32 MPa << Rp
118
4.5. Conclusion poutre longue en compression
vérifier la résistance en compression & contrôler la charge limite de flambage (proportionnelle au cube de l’épaisseur)
119
Chapitre 5
concevoir une structure 120 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
Démarche de conception 1) Cahier des charges
1) Analyse et schéma fonctionnels
2) Pré-dimensionnement
2) Pré-calcul RDM
3) Choix des matériaux
3) Analyse des résultats et dimensionnement
4) Étude des discontinuités 4) Calcul des de géométrie ou d’efforts concentrations de dans la structure contraintes 5) Validation
5) Essai sur prototype 121
5.1. Cahier des charges • • • • •
Facteur de sécurité Contrainte d’encombrement Contrainte de matériaux Efforts appliqués Effets éventuels des grandeurs d’influence (température, humidité, pression,…)
• ….. Analyse et schéma fonctionnels 122
5.2 . Pré-dimensionnement • Concevoir la structure à partir de l’analyse et du schéma fonctionnels • Simplifier en une structure équivalente • Poser le schéma de la structure
Pré-calcul RDM 123
5.3. Choix des matériaux • • • •
En fonction du pré-dimensionnement Facteur de sécurité Marge de sécurité souhaitée Type de matériau souhaité
Analyse des résultats et dimensionnement 124
5.4. Étude des discontinuités de géométrie ou d’efforts dans la structure • A partir des résultats précédents: analyse détaillée • Points particuliers dans la structure ? • Où sont appliqués les efforts ?
Etude des concentrations de contraintes 125
Hypothèse : contrainte continue dans une section
En réalité, vrai seulement : - loin des discontinuités de géométrie - loin des conditions aux limites - loin des points d’application des forces
A la discontinuité, il y a des concentrations de contraintes. À prendre en compte ! 126
Définition : facteur de concentration de contrainte Kt
σmax = kt σN
• Abaques • Calcul de résistance des matériaux plus précis : méthodes numériques (cf. chapitre 6) 127
Références CMAO, Machines et Mécanismes, Laboratoire CASM
Kt
128
Références Guide du dessinateur, les concentrations de contraintes, 1977 CETIM d/b
d/D
129
à retenir… • Un trou perturbe le comportement de la pièce, aussi petit soit-il … on peut optimiser mais en modifiant la géométrie • Pas d’angle vif : l’outil a lui-même un rayon ; l’agrandir dès que possible … on peut optimiser sans modifier l’encombrement
130
5.5. Validation Réaliser le dimensionnement « définitif » – Structure choisie – Matériau choisi – Dimensions choisies et analysées
Essai sur prototype 131
5.5. Validation • Réaliser un prototype de la structure – Savoir appliquer les efforts : actionneur ou machine de traction – Savoir mesurer les efforts : capteur et chaîne de mesure
• Améliorations ?? • Calcul plus précis : méthodes numériques > calcul par éléments finis 132
Chapitre 6 :
Introduction à la méthode des éléments finis 133 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
6.1 . Historique Mise au point dans les années 1975.
Initialement, utilisée pour : • • • •
dimensionnement de structures compliquées dans le cas où on ne peut pas faire d’essai pour réduire le nombre d’essais pour optimiser les dimensions, les masses, les matériaux à utiliser,… 134
Méthode adaptée à la modélisation de tout phénomène physique
Permet de : – mettre en situation un objet quelconque dans un environnement choisi. – renseigner sur le phénomène physique mis en œuvre. 135
6.2. Principe Discrétiser la structure : définir de très petits éléments sur lesquels on peut considérer que les phénomènes physiques sont globalement linéaires Simuler les conditions aux limites : en étudiant de proche en proche le comportement de ces petits éléments, la méthode des éléments finis permet de calculer le comportement global de la structure 136
6.3. Mise en œuvre sur cas simples F
Poutre en traction (effort concentré) Calcul RDM
Calcul par EF
U= F x / (SE)
• Discrétisation
N1
N2
N3
• CL: U(0)=0, force F
U
• Analyse : On travaille sur les nœuds • Calcul : On assemble sur les éléments x
• Résultat : le code calcule : 137 U(N2)= 2F a / (SE) et U(N3) = 4F a / (SE)
f Poutre en traction
F
(effort concentré + réparti)
Calcul RDM
Calcul par EF
U= (fl + F)x – fx²/2 / (SE)
• Discrétisation
N1
N2
N3
• CL: U(0)=0, force F et répartition f
U
• Résultat : le code calcule : U(N2)= L(3 f L / 4 + F ) / (2SE) x
U(N3) = L( f L + 2F ) / (2SE) 138
6.4. Principaux codes industriels ANSYS NASTRAN SAMCEF ABAQUS IDEAS MECHANICA FLUX2D, FLUX3D FLUENT
139
6.5. Démarche d’étude Démarche globale de simulation point 1 – – –
modéliser très simplement le système réaliser un calcul simplifié RDM obtenir un ordre de grandeur des résultats
point 2 – – –
réaliser un maillage du système réaliser l’analyse par éléments finis analyser les résultats 140
point 3 – vérifier la cohérence des résultats entre calcul simplifié RDM et simulation EF – faire si besoin une analyse EF plus fine sur les zones critiques
point 4 – réaliser un essai – valider les résultats de simulation
point 5 – optimiser le système si besoin 141
Validité de la méthode AVANT :
choisir le type de modélisation choisir les éléments poser les hypothèses choisir les conditions aux limites
APRES : • • •
travail d’analyse
travail d’analyse critique
exploitation des résultats vérification des ordres de grandeurs vérification des hypothèses 142
La modélisation d’un système est toujours simplifiée par rapport à la réalité : il faut donc toujours vérifier la cohérence des résultats.
143
6.6. Exemples • Etude de concentration de contraintes : plaque trouée en traction - dimensions : longueur = 100 mm ; largeur = 60 mm épaisseur = 1 mm ; rayon trou = 10 mm - matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : ν = 0,28 force appliquée en traction longitudinale : 100 N
On cherche la valeur de la contrainte maximale Modélisation du problème sous ANSYS® 144
A) Calcul analytique (ref. abaques)
- Calcul de la contrainte moyenne (ou nominale) dans la section du trou : N = 600 N S= (w-d)e = 40 mm² σN = N / S = 15 MPa
- Calcul de Kt d’après les abaques : d/w =20/60=0,33 donc Kt = 2,35 et σNmax = 35 MPa
0,33 145
B) Méthode numérique 1) Définir la géométrie
146
2) Définir les matériaux
147
3) Réaliser le maillage = discrétiser
148
4) Définir les conditions aux limites : forces et déplacements imposés
149
5) Lancer le calcul
150
6) Exploiter les résultats
151
(x 104 Pa)
152
C) Analyse des résultats 9 Étudier l’ordre de grandeur des résultats 9 Comparer les résultats obtenus avec le résultat du calcul analytique simplifié Calcul analytique :
σNmax = 35 MPa
Calcul éléments finis :
σNmax = 40 MPa
Ordre de grandeur correct ! La différence est due dans notre cas à l’application des efforts sur le modèle. 153
• Étude de concentration de contraintes : réduction de section F r? - dimensions : longueur = 120 mm ; largeur = 50 mm épaisseur = 1 mm ; rayon du congé de raccordement = 10 mm - matériau : acier : Re= 180 MPa ; E= 210 GPa : ν = 0,28 force appliquée en traction longitudinale : 5000 N
On cherche la valeur de la contrainte maximale Modélisation du problème sous ANSYS®
154
A) Calcul analytique (ref. abaques) - Calcul de la contrainte nominale dans la section du congé : N = 5000 N S= ed = 35 mm² σN = N / S = 143 MPa
- Calcul de Kt d’après les abaques : d/D = 35/50 = 0,7 r/(D-d) = 10/(50-35) = 0,67 donc Kt = 2,1 et σNmax = 300 MPa 0,7
155
Maillage et conditions aux limites F=5000 N
Résultats : contraintes
300 MPa
R = 10 mm
0
50
100
200
220
240
26
0
280
300 (
Kt = 300/140 Kt = 2,1
MPa )
156
Amélioration : augmentation du rayon du congé de raccordement
250 MPa R = 20 mm
0
50
100
200
220
240
260
270
280
Kt = 250/140 Kt = 1,7
300 ( MPa )
¾Diminution de la contrainte ¾Meilleure tenue mécanique de la pièce
157
C) Analyse des résultats Comparaison calcul EF / calcul analytique : analytique rayon du congé largeur max largeur min
éléments finis
r 10 20 D 50 50 d 35 35 d/D 0,7 0,7 D-d 15 15 r/(D-d) 0,67 1,33 Kt 2 1,6 Kt
Ordre de grandeur correct !
2,1
1,7 2,0 1,0 158
6.7. Conclusion La méthode des éléments finis est précise et permet d’optimiser les structures. Elle permet d’étudier le comportement d’une structure sous diverses sollicitations. Mais la mise en œuvre est délicate et demande du savoir-faire notamment pour le maillage et l’application des conditions aux limites. Il est donc toujours nécessaire de réaliser un calcul initial simplifié. 159
Conférence
Étude industrielle en résistance des matériaux Gilles Sabatier ingénieur en mécanique des structures Linuhonnun / Islande 160 IUT ANNECY - Mesures Physiques - S3 MCPC - Christine Barthod - 2006/2007
