1. Considere la gráfica de f , que se muestra a continuación.
x). (a) En la misma cuadrícula, dibuje aproximadamente aproximadamente la gráfica de y = – f ( x Las siguientes cuatro figuras muestran imágenes de f bajo distintas transformaciones. transformaciones.
(b) Complete la siguiente tabla. Descripción de la transformación Letra de la figura Estiramiento horizontal de razón 1,5 x – 1) Aplica f en f ( ( x (c) Dé una descripción d escripción geométrica completa de la transformación que da como resultado de la imagen que muestra la Figura A.
2.
Sean f y g funciones tales que g ( x) = 2 f ( x + 1) − 4 . (a) La gráfica de f se transforma en la gráfica de g luego de las siguientes transformaciones: p Un estiramiento vertical de factor k , seguido de una traslación mediante . Escriba el valor de k , q p y q. (b) Sea h( x) = − g (3 x) . El punto A(6, 9) que pertenece a la gráfica de g se transforma en el punto A’ que pertenece a la gráfica de h. Halle A’.
3.
Sea la función h ( x) =
4 x − 2
, para x ≠ 2. 2 − x (a) Para el gráfico de f , halle (i) el punto de intersección con el eje y; (ii) la ecuación de la asíntota horizontal. (b) Halle h−1 ( 2).
4. La ecuación cuadrática k x 2 + (k – 3) x + 1 = 0 tiene dos raíces reales iguales. (a) Halle los posibles valores de k . (b) Escriba los valores de k para los cuales x 2 + (k – 3) x + k = 0 tiene dos raíces reales iguales. 5. La figura muestra un círculo de centro O y radio r. El ángulo central AOB es de θ radianes. La cuerda AB divide al círculo en dos segmentos; uno de menor tamaño (la región sombreada) y otro de mayor tamaño. (a) Halle, en términos de r y θ, una expresión para el área de la región triangular AOB. (b) Compruebe que el área del segmento de menor tamaño es igual
a
1 2
r 2 ( θ − sen θ ) .
(c) Halle el área del segmento de mayor tamaño. (d) Sabiendo que la relación de las áreas de los dos segmentos es 2:3, compruebe que sen θ = θ −
4π 5
(e) A partir de lo anterior, halle el valor de θ.
6. Los tres primeros términos de una progresión geométrica son x > 0. (a) Halle la razón común. (b) Resuelva
ln , ln , ln , para
2 ln 64
3. La gráfica
7. Una función cuadrática puede escribirse de la forma de tiene por eje de simetría y y-intercepto en (0; -6). (a) Halle el valor de . (b) Halle el valor de . (c) La recta es tangente a la curva de . Halle los valores de .
8.
5
2,5
# " Sea . Utilice la regla del cociente para mostrar que . ! !
9. Sea la función f ( x) = ( x 2 −1) e x . (a) Halle los x-interceptos de la gráfica de f . (b) Escriba el y-intercepto de la gráfica de f . (c) Halle f ′ ( x ). (d) A partir de lo anterior, calcule f ′ (0). (e) Muestre que y = 0 es la asíntota de la gráfica de f . 10. Los valores de las funciones f y g y sus derivadas para x = 1 y x = 8 se muestran en:
11. Considere una progresión geométrica cuyo primer término es 768 y cuyo segundo término es 576. Halle el menor valor de n tal que el término enésimo de la progresión es menor que 7. 12. Un barco está navegando en dirección norte desde el punto A hacia el punto D. El punto C se encuentra a 175 km al norte de A. El punto D se encuentra a 60 km al norte de C. En E hay una isla. La demora de E desde A es de 055˚. La demora de E desde C es de 134˚. Esta información se muestra en la siguiente figura. (a) Halle la demora de A desde E. (b) Halle CE. (c) Halle DE. (d) Cuando el barco llega a D, cambia de dirección y navega directamente hacia la isla a 50 km por hora. En el mismo momento que el barco cambia de dirección, un velero empieza a navegar hacia la isla desde un punto B. Este punto B se encuentra en (AC), entre A y C, y es el punto más próximo a la isla. El barco y el velero llegan a la isla al mismo tiempo. Halle la velocidad del velero.
13. Una función cuadrática f viene dada por f ( x) = ax2 + bx + c. Los puntos (0, 5) y (-4, 5) pertenecen al gráfico de y = f ( x). (a) Halle la ecuación del eje de simetría de la gráfica de f . (b) Escriba el valor de c. La coordenada y del mínimo del gráfica es 3. (c) Halle el valor de a y el de b.
14. Emily tiene una cometa ABCD que está colgada de un árbol. El plano ABCDE es vertical. Emily se encuentra en el punto E situado a una cierta distancia del árbol, de modo tal que EAD es una línea recta y el ángulo BED = 7˚. Emily sabe que BD = 1,2 metros y que el ángulo BDA = 53˚, tal y como se muestra en la figura. (a) Halle la longitud de EB. T es un punto situado en la base del árbol. ET es una recta horizontal. El ángulo de elevación de A visto desde E es igual a 41˚. (b) Escriba el ángulo de elevación de B visto desde E. (c) Halle a qué altura vertical sobre el nivel del suelo se encuentra B.
15. La Escuela Rosewood tiene 120 alumnos. Los alumnos pueden apuntarse al club de deportes (S) y al club de música (M). Para un alumno elegido al azar de entre estos 120, la probabilidad de que se haya apuntado a los dos clubes es igual a 1/4 y la probabilidad de se haya apuntado al club de música es igual a 1/3. Hay 20 alumnos que no se han apuntado a ninguno de los dos clubes. Hay 20 alumnos que no se han apuntado a ninguno de los dos clubes. (a) Complete el diagrama para estos alumnos:
(b) Se elige al azar a uno de los alumnos que está apuntado al club de deportes. Halle la probabilidad de que este alumno se haya apuntado a los dos clubes. (c) Determine si los sucesos S y M son independientes.
16. Los eventos A y B son independientes con P(A ∩ B) = P(A ∩ B′) = 0,3. (a) Halle P(A). (b) (i) Halle P(B). (ii) Halle P(A ∪ B). 17. Sea la función f ( x) =
2 x
2
2
+ x − 2x
(a) Halle la derivada de f . (b) Calcule f ′ (2). (c) Halle los valores de x tal que f ′ ( x) = 0.
18. Sea f ( x ) = ( x 2 − 9)( 2 x − 8) (a) Escriba los ceros de f . (b) Halle el Y-intercepto de f . (c) Halle la derivada de f .
(d) Halle los valores de x tal que f ′ ( x ) = 0
