TEORÍA DE RENTAS UNIFORMES
RENTA O ANUALIDAD SIMPLE VENCIDA . RENTA O ANUALIDAD SIMPLE ANTICIPADA. RENTA O ANUALIDAD DIFERIDA: SIMPLE VENCIDA. SIMPLE ANTICIPADA.
Una renta es un conjunto conjunto de dos o más flujos de efectivo , en el el que a partir del segundo: Los plazos de los períodos de tasa ( plazo de la tasa efectiva) y los plazos de los períodos de renta (plazo que media entre uno y otro flujo ) contiene el mismo número de días ( f ). Los importes de cada flujo o renta son uniformes.
OBJETIVOS:
Definir y clasificar las rentas. Definir la tasa efectiva para cada período de capitalización, que se efectiviza a lo largo del Horizonte Temporal. Calcular los diferentes factores que intervienen en la fórmula de la Teoría de renta uniformes, tales como : Monto o Valor Futuro, Valor Presente o Valor Actual , Renta (cobros o pagos) uniforme, Número de períodos de capitalización y Tasa implícita. Definir y diferenciar correctamente los diferentes factores financieros: FCSi;n; FASi;n; FDFAi;n ; FRCi;n . Establecer un conjunto de relaciones de equivalencia financiera entre los factores financieros.
OBJETIVOS:
Definir y clasificar las rentas. Definir la tasa efectiva para cada período de capitalización, que se efectiviza a lo largo del Horizonte Temporal. Calcular los diferentes factores que intervienen en la fórmula de la Teoría de renta uniformes, tales como : Monto o Valor Futuro, Valor Presente o Valor Actual , Renta (cobros o pagos) uniforme, Número de períodos de capitalización y Tasa implícita. Definir y diferenciar correctamente los diferentes factores financieros: FCSi;n; FASi;n; FDFAi;n ; FRCi;n . Establecer un conjunto de relaciones de equivalencia financiera entre los factores financieros.
TEORÍA DE RENTAS UNIFORMES Es una serie de pagos o cobros periódicos, que se hacen en cantidades iguales y a intervalos regulares de tiempo. R 0
1
R
R
R
R
2 3 4 5 Plazo de las Rentas sucesivas
R n
Período o intervalo de Pago Inicio
Término
PERÍODO O INTERVALO DE PAGO .-El tiempo que hay entre cada pago
sucesivo , este es uniforme a través del plazo de la operación financiera. Estos pagos sucesivos se conocen como flujos de efectivo (ingresos , egresos).
Simbología: R=
Cobros o pagos periódicos en intervalos regulares de tiempo (mes, año, etc). Pueden ser constantes o variables. S (VF) El Valor Futuro que viene a ser la suma de todos los pagos periódicos ( R ) capitalizados a una tasa de interés . P (VA) Valor Actual viene a ser la suma de todos los pagos periódicos ( R ), descontados a una tasa de interés o de actualización. Se conoce como Valor Valor Presente. i=TE = Es la tasa de interés efectiva efectiva por período , es constante en cada período. n = Número de cuotas que se pagan o cobran en la duración de la operación financiera. n
H
f
i
j
m
Las Anualidades Anualidades se clasifican en: Vitalicia Eventuales Temporal Ciertas
Temporales Perpetuas
RENTAS EVENTUALE RENTAS EVENTUALESS O CONTING CONTINGENTES ENTES Pertenecen a este grupo aquellas Rentas en las que el comienzo o el final de las series de pagos es impreciso y depende de algún acontecimiento previsible pero sin exactitud. Ejemplo: Un contrato de seguro de vida, donde hay el compromiso de pagar en una fecha una cantidad determinada mientras ésta viva.
Estas Rentas o Anualidades pueden ser: Vitalicias.-Son las rentas que tienen vigencia mientras dure la vida del rentista. Temporales.-Son en esencia rentas vitalicias que terminan después de un determinado número de pagos, aun cuando el rentista este con vida. Rentas Ciertas.Son aquellas rentas o anualidades en las que la duración de la serie de pagos , no depende de alguna eventualidad externa, sino que se estipula en términos concretos por adelantado como: Plazo, tasa, días del período de capitalización, etc. Estas están de acuerdo a su duración, pueden ser: Temporales.- Son aquellas que tienen un plazo determinado. Ejemplo: Crédito Hipotecario.- Permite a personas naturales obtener préstamos a largo plazo para comprar, ampliar bienes inmuebles, terrenos urbanizados , casas , oficinas , locales comerciales .
Las rentas ciertas y eventuales pueden ser a su vez:
1.- VENCIDAS U ORDINARIAS.- Cuando las rentas se inician a fin de período.
2.- ANTICIPADAS O IMPOSICIONES.- Cuando las rentas se inician a comienzo de período. 3.- DIFERIDAS.- Cuando las rentas se inician después de un determinado número de períodos de renta, plazo en el cual el capital inicial se va capitalizando. Las rentas diferidas pueden ser a su vez: a.- Diferidas Vencidas o b.- Diferidas Anticipadas. ESQUEMA DE LA CLASIFICACIÓN DE LAS RENTAS CIERTAS TEMPORALES VENCIDAS.-
R 0
1
R
R
R
.
2 3 4 Plazo de las Rentas Sucesivas
Nota:Se da inicio cada fin de período.
R n-1
R n
RENTA ANTICIPADA.R
R
0
1
R
R
R
R
2 3 4 Plazo de las Rentas Sucesivas
n-1
n
Nota: Se da cada inicio de período.
RENTA DIFERIDA: VENCIDA R R R 0
1 Plazo Diferido
k
k+1
R
k+2 k+3 Plazo de las Rentas
Plazo del Contrato
.
R k+n
RENTA DIFERIDA ANTICIPADA.-
0
1 Plazo Diferido
R
R
R
R
k
k+1
k+2
k+3
Plazo de la s Rentas
Plazo del Contrato
. R k+n
RENTA VENCIDA Se caracteriza porque sus pagos o cobros periódicos iguales , se hacen al final de cada intervalo de pago.
CÁLCULO DEL VALOR FUTURO (S).Consiste en hallar la suma de todos los pagos o cobros periódicos a una misma tasa de interés por período, y al final del plazo de la anualidad. R(1 + i)3 2 R(1 + i) n-1 R(1 + i ) R(1 + i)
0
R
R
R
R
1
2
3
4
Plazo de la Anualidad
R 5
R
R
n -1
n
CALCULO DEL MONTO
S
R
1 i
1 i 1 1 R (1 i ) 1 i n
n
S= R FCS i; n.
Tipo: Colocamos cero u omitimos, cuando la Renta es vencida Colocamos uno, cuando la Renta es anticipada
Ejercicio # 1: Un equipo industrial es adquirido con 6 pagos periódicos bimestrales de $950 , si se aplica una TEA = 21%. ¿Calcular el Valor Futuro? 60 R = $ 950 360 TEB (1 21%) 1 TEA = 21% TEB 3.228012% n = 6 Bimestres S
S S S
950 * FCS3.228012%, 6 1 3.228012% 6 1 950 * 3.228012% 950 * 6.505553 $ 6180.28
Ejercicio #2: ¿Calcular el VF de una serie de 5 depósitos Quincenales de S/. 1500 . Los depósitos son cancelados a final de cada período que percibe una TNA del 21 % convertible mensualmente?. RPTA: S/.7 631.82.
R = S/. 1500 n =5 períodos quincenales j = TNA =21% m = C/ 30 días S
S
S S
21 % TEQ 1 360 30 TEQ 0.871205%
15 30
1
1500 * FCS 0.871205 %, 5 1 0.871205 % 5 1 1500 * 0.871205 % 1500 * 5.08788281 S / .7631 .82
Ejercicio #3 ¿Hallar el VF de una Anualidad con pagos periódicos de S/. 10 000 al final de cada trimestre, durante un año , a una TNA = 18% convertible trimestralmente?. RPTA: S/. 42 781.91
RENTA ANTICIPADA Es una anualidad cuyo pago periódico se hace al principio de cada intervalo de tiempo R R R R R R R 0
1
2 3 4 Plazo de la Anualidad
n-1
n
CALCULO DEL MONTO: Ra
Ra
R
R
1 i R Ra (1 i )
i Conociendo la Renta Vencida ( R ) , la Renta Anticipada R a puede actualizarse con la tasa efectiva.
MONTO CUANDO LA RENTA ES VENCIDA Y ANTICIPADA
RENTA VENCIDA S
R * FCS ,
S
1 i 1 R * i
i n
RENTA ANTICIPADA S
R 1 i * FCS , a
i n
1 i 1 1 i * i n
n
S
R
a
Ejercicio # 1: Un equipo industrial es adquirido con 6 pagos periódicos cada inicio de bimestre de $950 cada pago , si se aplica una TEA = 21%. ¿Calcular el Valor Futuro? R a= $ 950 TEA = 21% n 6 Bimestres
S
S S S
950 * FCS3.228012 %,6 1 3.228012%6 1 950 * (1 3.228012% * 3 . 228012 % 950 * (1 3.128012%) * 6.505553 $ 6379.78
Ejercicio #2: ¿Calcular el VF de una serie de 5 depósitos Quincenales de S/. 1500 . Los depósitos son cancelados al inicio de cada período que percibe una TNA del 21 % convertible mensualmente?. RPTA: S/.7 631.82. S
1500 * (1 0 .871205 %) * FCS 0 .871205 %, 5
S
1 0 .871205 % 5 1 1500 * (1 0 .871205 %) * 0 . 871205 %
Ejercicio #3: ¿Hallar el VF de los pagos periódicos de S/. 1000 pagaderos cada trimestre por un año, con una tasa del 36% convertible C/ 90 días? a.- Cuando se dan a inicio de trimestre. b.- Cuando se dan a fin de trimestre. 36 % TET 9% R= S/. 1000 360 j= 36% 90 m= C/90 días
Renta Vencida
Renta Anticipada
S = VF = 1000*FCS 9%,4 S = VF = S/. 4573.13
S = VF = 1000*(1+9%)*FCS9%,4 S = VF = S/. 4984.71
FCS9%,4= 4.573129
Nota: En ventanas financieras la única diferencia es TIPO: se omite en Renta vencida y es 1 en renta
Ejercicio #4: Un Empleado apertura una Libreta de Ahorros con S/. 2 500 y desea ahorrar cada fin de mes la suma de S/. 500 durante ¾ año. Estas cantidades se consignarán en la Cuenta de ahorros que paga una TEA = 8 % . ¿Cuál es lo acumulado al término del plazo?. RPTA: S=VF = S/. 7 265.12 Ejercicio #5: Cada inicio de mes cierta compañía coloca sus excedentes los cuales ascienden a $ 500 en una entidad bancaria que paga TEQ =0.75%.¿Cuánto habrá acumulado al sexto mes?.RPTA: S= VF= $ 3162.12 Ejercicio #6: ¿Por qué monto debe extenderse una Letra de Cambio , si me obligo a realizar 8 imposiciones quincenales de $ 250 en una entidad financiera que paga el TEM = 3% con el deseo de saldar mi cuenta?. S = VF= $2138.76 Ejercicio #7: Una empresa reserva $ 20 000 al término de cada año para crear un fondo en caso de futura expansión. Si el fondo gana TEA = 20% .¿Cuál será el VF acumulado al término del décimo año?.S=VF= $519 173.64
CALCULO DEL VALOR PRESENTE .Consiste en hallar la suma de las Rentas actualizadas de todos los pagos periódicos . 1 i n 1 P R n (1 i) i
P = R FAS i; n
FASi;n= Es traer del futuro S hacia al presente las R ( flujos) que componen la anualidad. VALOR PRESENTE CUANDO LA RENTA ES VENCIDA Y ANTICIPADA
RENTA VENCIDA
RENTA ANTICIPADA
P= VA = R*FASi,n P=VA= R a*(1+i)*FASi,n 1 i 1 1 i 1 P = R (1+ i ) P R i i ( 1 ) ( 1 ) i i n
n
n
n
Ejercicio #1: Un automóvil de segunda es vendido con 8 cuotas uniformes mensuales de $ 350, aplicando una TNA = 8% capitalizable mensualmente. a.- Si los pagos son vencidos. b.- Sí los pagos son anticipados. ¿Calcule el respectivo precio de contado?. 8% TEM 0.6667 % R = $350 360 n = 8 cuotas mensuales 30 j = TNA =8% m = C/30 días Renta Vencida Renta Anticipada P=VA= 350*FAS0.6667%,8 P=VA=350*(1+0.6667%)*FAS0.6667%,8 P
1 1 0.6667% 8 350 * 0.6667%
P=VA= 350*7.76522562 P=VA= $ 2717.83
1 1 0.6667%8 P 350 * 1 0.6667%* 0 . 6667 % P=VA=350*(1+0.6667%)*7.76522562
P=VA= $ 2735.95
RENTA VENCIDA
RENTA ANTICIPADA
Ejercicio #2: ¿Qué cantidad de dinero tendré que depositar hoy día en un banco para poder disponer de S/. 1 500 al final de cada trimestre durante 3 años , si el banco paga una TNA = 13% capitalizable mensualmente?
RPTA: P =VA= S/. 14679.85 Ejercicio #3: La empresa ABC pide un préstamo al banco, que se cancela mediante pagos semestrales vencidos de S/. 20 000 durante dos años a una TNA =36% .¿Cuánto deberá ABC después de haber pagado los dos primeros pagos?. RPTA: P=VA = S/. 31 312.84. Ejercicio #4: ¿Determine el precio de contado de un TV a color si realizo 10 depósitos adelantados mensuales de $ 35 en FINANCOR que cobra una TNA = 21% convertible mensualmente?. RPTA: P=VA = $ 324.12 Ejercicio #5: La empresa Regial S.A. Solicita un préstamo , que se cancela mediante pagos mensuales de S/. 3000 durante un año a una TNA =20% . Después de haber realizado 5 vencidos pagos , decide al sexto pago cancelar las restantes.¿Cuál será el importe total a pagar? RPTA:P=VA = S/. 19 667.19 Ejercicio #6: Se desea alquilar un local comercial y poder cancelar a la fecha del contrato anual el total de mis rentas a pagar, el dueño me exige
imposiciones mensuales de $ 500 aplicando una TEM = 1.15% .¿Cuál será el valor a pagar?.RPTA: P=VA= $ 5 638.68 Ejercicio #7: El Señor García necesita tener en un futuro una entrada mensual con el fin de cubrir los estudios universitarios de su hijo. Para esto decide colocar un determinado capital en un banco con el objeto que , al comienzo de cada mes durante 6 años , pueda retirar S/. 600 al mes. Si la TEA =15%. ¿Cuál es el capital que debe colocar?. RPTA: P=VA= S/. 29 414.94. Ejercicio #8: El Sr. Torres quiere adquirir un departamento y le ofrecen dos formas de financiamiento: Inicial de $ 10 000 y 8 cuotas anuales adelantadas de $ 5 000 con una TEA = 9%. RPTA = $40 164.76 Inicial de $15 000 con 4 pagos semestrales adelantados de $ 5 000 con un TES =5% RPTA = $33 769.98 ¿Cuál alternativa conviene más?. RPTA: LA SEGUNDA
Ejercicio #9: Un Camioneta de segunda es vendido con una cuota inicial de $ 1500, y 15 cuotas uniformes vencidas mensuales de $250, aplicando una TNA = 8% capitalizable C/15 días .¿Calcule el respectivo precio de contado?.RPTA: VA= $ 5057.03 Ejercicio #10: ¿Qué cantidad de dinero tendré que depositar hoy día en un banco para poder disponer de S/. 1000 al final de cada Quincena durante 1 año , si el banco paga una TNA = 15% capitalizable mensualmente? RPTA: VA = S/. 22 227.65
CALCULO DE LAS RENTA.a.- Conociendo Valor Futuro VF
R * FCS ,
i n
VF
R * (1 i) * FCS , a
i n
b.- Conociendo Valor Presente VA R * FAS i , n
VA Ra * (1 i ) * FAS i , n
CALCULO DE LA RENTA CONOCIENDO EL VALOR FUTURO: i R S 1 i 1 R S .FDFA ; n
i n
FDFAi;n= Transforma el valor futuro S en un conjunto de Rentas R equivalentes, distribuidas uniformemente
CALCULO DE LA RENTA VENCIDA Y ANTICIPADA
Renta Vencida i R S 1 i 1 R S.FDFA ; n
i n
Renta Anticipada i R(1 + i) = S 1 i 1 n
EJERCICIO #1:
Se desea realizar la compra de un Local industrial , dentro de 8 meses ,
en una entidad bancaria que paga una TNA = 24% con capitalización mensual , con el fin de poder obtener el terreno en el tiempo indicado?. a.- Si la Renta es vencida. 24 % TEM 2% b.- Si la Renta es Anticipada. 360 VF = $50 000 30 n = 8 períodos mensuales j = TNA = 24% m = Cada 30 días
Renta Vencida
Renta Anticipada
R= 50000* FDFA2%,8
R a= 50000*(1+2%)-1* FDFA2%,8
2% R 50000 * 8 1 2 % 1 R $5825 49
2% Ra 50000* (1 2%) * 8 1 2 % 1 Ra $5711.26
FDFA2%,8= 0.1165098
RENTA VENCIDA
RENTA ANTICIPADA
Ejercicio #2: ¿Calcular la renta vencida y renta anticipada de un fondo de S/. 7631.82 , de 5 depósitos Quincenales sucesivos , que percibe una TNA del 21 % convertible mensualmente?. ( TEQ = 0.871205%). RPTA: R= S/. 1500 ; R a= S/. 1487.04
Ejercicio #3: El VF que se acumula en una cuenta de ahorros asciende a S/. 16 996, cuyos depósitos se realizan durante 4 bimestres consecutivos se perciben una TNA del 24% capitalizable mensualmente. ¿Calcular la renta vencida y renta anticipada a pagar en cada período que le permita acumular el Fondo?. RPTA: Ra = S/. 3 844.68; R = S/. 4 000 CALCULO DE LA RENTA CONOCIENDO VALOR ACTUAL: VENCIDA
ANTICIPADA
i(1 i ) R P ( 1 ) 1 i R P.FRC ; n
=
n
i n
(1 i) i 1 i 1 n
R (1 + i) = P
n
FRCi;n= También conocido como Factor de Recuperación del Capital; transforma el valor pte. P , en un conjunto de rentas R equivalentes , distribuidas uniformemente.
Ejercicio #1: Se obtiene un préstamo de $ 50 000 a devolverse en 3 semestres en cuotas trimestrales a la TNA del 18%, capitalizable trimestralmente. ¿Hallar el valor de las letras de devolución del préstamo si son: a.- Vencidas 18 % 4.5% TET b.- Adelantadas 360 VA = 50 000 90 n = períodos trimestrales j = TNA = 18% m = C/ 90 días
Renta Vencida
Renta Anticipada
R = 50000* FRC4.5%,6
R a= 50000*(1+2%)-1* FRC4.5%,6
4 .5 % R 50000 * 6 1 1 4 . 5 % R 50000 * 0.19387839 R $ 9693 .92
Ra Ra Ra
4.5% 50000* (1 4.5%) * 6 1 1 4 . 5 % 50000* (1 4.5%)1 * 0.19387839 $ 9276.48 1
RENTA VENCIDA
RENTA ANTICIPADA
Ejercicio #2: Una empresa solicita un crédito de S/. 10 000 a una entidad financiera. Se cancelaran pagos vencidos semestrales por dos años a una TEA = 25 %. a.-¿A cuánto ascenderá los pagos semestrales?. RPTA: S/. 3 278.72 b.-¿A cuánto ascenderán los pagos mensuales?. RPTA: S/. 521.37
Ejercicio #3: ¿ Cuál será la cuota constante a pagar por un préstamo bancario de S/. 8000 reembolsable en 4 cuotas cada fin de mes , en un Bco. que cobra una TNA del 36 % con capitalización mensual?. RPTA: S/. 2152.22; FRC3%;4= 0.269027045 Ejercicio #4: Se pretende comprar una Residencia que cuesta $ 80 000 y se quiere saber.¿A cuánto asciende el monto de los pagos de las anualidades que tendríamos que cubrir , si nos comprometemos a realizar pagos cada fin de mes ; Si se aplica una TEA = 10 %. a.- Se programan los pagos por 15 años. RPTA: $ 838.71 b.- Se programan los pagos por 20 años. RPTA: $ 749.31
CÁLCULO DE “n” EN UNA ANUALIDAD.-
Podemos calcular el número de pagos de una anualidad con las fórmulas: MONTO O VALOR FUTURO : S=VF = R FCS i ;n S=VF = Ra (1+ i) FCS i,n VF * i 1 Log R 1 i n 1 VF R n Log (1 i) i El ùltimo pago es : VF RFCSi;n X FSCi;n X Es el último pago.
Log n
VF * i 1 R * (1 i) a Log (1 i)
VALOR PRESENTE: P = VA = R FAS i; n VA * i Log 1 1 1 i n R VA R n i Log (1 i) El último pago es : VA RFASi;n X FSAi;n el último
VA * i Log 1 R * 1 i a n Log (1 i)
Ejercicio #1: ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un Fondo de $ 20 000 efectuando depósitos de $800 cada fin de mes en un banco que paga una TNA = 18% capitalizado mensualmente.? ¿Cuál será la última cuota a pagar ?. RPTA: n = 21.39 y la Última Cuota = $ 305.26 VF = 20 000 R= $ 800 depósitos mensuales j = TNA = 18% m = C/ mes TEM
18 % 1.5% 360 30
20000*1.5% 1 800 n LOG1 1.5% n 21.39 meses LOG
Ejercicio #2: Una beneficiaria de una Póliza de $ 10 000 de Seguro de vida , recibirá pagos a inicios de mes uniformes de $ 500. Sí la compañía de seguros paga intereses a una TNA = 15% convertible quincenalmente . a.-¿Cuántos pagos completos de S/. 500 recibirá? RPTA: n = 22.84 meses. b.-¿Con qué suma se realizaría el último pago, el cuál cesaría el beneficio? RPTA: X = S/. 419,47 P = VA = $10 000 15 % R = $500 TEM 1 1 360 j = TNA = 15% 15 m = C/ 15 días TEM 30 15
10000*1.253906% LOG1 500 * (1 1.253906%) n LOG(1 1.253906%) n 22.84 meses
Ejercicio #3: ¿Cuántos depósitos de fin de mes de S/. 400 serán necesarios ahorrar para acumular un monto de S/. 4 232 en un Banco que paga una TNA del 36% con capitalización mensual?. RPTA: 9.33 ; X = S/. 125.27.
Ejercicio #4: ¿En cuánto tiempo podrá acumularse un monto de S/.2 000 efectuando depósitos de S/.150 cada fin de quincena en un Banco que paga una TNA = 24 % con capitalización mensual?. RPTA: 12.58; X = S/.86.30 Ejercicio #5: ¿Cuántos depósitos cada fin de mes de S/. 800 serán necesarios para acumular S/.12 000, en un banco que paga una TEA = 18%?.RPTA: 13.72 ; X = S/. 566.90 Ejercicio #6: ¿Cuántos pagos habrán de hacerse semestralmente de S/. 5 000 para poder cerrar una deuda de S/. 40 000 con una TNA del 6 % capitalizable trimestralmente. RPTA: 9.30 ; X = S/. 1 495.37 Ejercicio #7: Se va a construir un fondo de S/. 50 000 mediante depósitos de S/. 9000 cada tres meses . Si el fondo gana el 24 % convertible trimestralmente .¿Hallar el número de depósitos que tendrán que hacerse?. RPTA: 4.94 ; X = S/. 7 942.20
Ejercicio #8: Un individuo de 40 años de edad deposita cada fin de mes la cantidad de S/. 150 en su AFP , que lo hace durante 25 años; a la edad de 65 años se retira del trabajo y la AFP le abona una pensión mensual de S/. 2 500 a partir de los 66 años .La tasa efectiva en todo el tiempo de la aportación fue del 24 % con capitalización mensual. ¿Cuánto tiempo abonará mensualmente la AFP?. RPTA: = S/. 2 844 258. 81 ; n = 159.96 aprox. 13.33 años Ejercicio #8: Hoy día se contrae una deuda por $ 15 000, con el acuerdote pagarla en 24 meses con una TEA = 20%. Luego de efectuado el sexto paga y ante la aparición de problemas financieros , se plantea al acreedor, el deseo de seguir pagando siempre y cuando la deuda pendiente se refinanciará a 3 años , contados a partir de la fecha .¿Cuál sería el pago mensual que tendría que asumir?
Cálculo de i = TE: Por campaña navideña una casa comercial ofrece canastas navideñas en productos por un importe de S/. 1 200 y cobra una cuota inicial de S/. 200 y 11 cuotas mensuales vencidas de S/. 120 .¿Cuál es la tasa de interés cargada? P= VA = S/. 1 200 – S/. 200 = S/. 1 000 n = 11 CUOTAS MENSUALES R = 120 P=VA = R. FASi;n Se evalúa cuando i = 5% 1000= 120FAS0.05;11; EL FAS0.05;11= 8.306414218; P=VA = S/. 996.77. Se evalúa cuando i = 4% EL FAS0.04;11= 8.76047671; P=VA = S/. 1051.26 4% 1 051.26 b a c d x% 1 000 b 5% 996.77
a
c d
b 1000 1051.26 1% 996.7 1051.26
x
4%
x
4%
x
4% 0.9473068%
x
4.9473068%
0.94073068%
La TEM = 4.9473068%
Ejercicio #1: ¿Calcule la TEM de una anualidad de 20 rentas trimestrales vencidas de S/. 4000 cada una cuyo valor presente es: S/. 28 989.61 29 877.7745 = 4 000 FAS 0.12;20 28099.006 = 4 000 FAS0.13;20
12%
x% 13%
29877.7745 28989.61 28099.006
x 12%
28989.61 29877.7745 1% 28099.006 29877.7745
x 12%
0.49931427%
T ET
x
12.49931427%
T EM
(1 0.1249931427)1/3 1
T EM
0.040039798
T EM
4.0039798%
Ejercicio #2:: Un préstamo de S/. 3 545.95 debe amortizarse con cuotas constantes mensuales vencidas. Se cuenta con las siguientes opciones: a.- 4 cuotas de S/. 1 000.
¿Qué tasa efectiva mensual se aplico a cada alternativa? RPTA:5% Ejercicio #3: Una persona depositó $ 100 en una cuenta de capitalización de una Administradora de Fondos de Pensiones , cada fin de mes y durante 10 años. Al finalizar este plazo, la AFP le informo que su fondo había acumulado $ 16 247.34. ¿Cuál fue la TEA que rindió sus depósitos? RPTA: 6% Ejercicio #4: Un artefacto eléctrico tiene un precio al contado de $ 800 y al crédito con una cuota inicial de $ 300 y el saldo amortizable en dos meses con cuotas mensuales de $ 300 .¿Qué TEA esta cargando al financiamiento?. RPTA: TEA =336.51%; TEM = 13% Ejercicio #5: ¿Cuál es la TEM que está cargando INTERBANK por el financiamiento de un préstamo de S/. 20 000 , que debe cancelarse en un plazo de 4 meses con cuotas uniformes mensuales de S/. 5380.5409 . RPTA: 3%
CIRCUITO FINANCIERO S FSC
FSA
FCS P
R
FRC
FAS
FDFA
ANUALIDADES DIFERIDAS. Si una anualidad Vencida o Anticipada se inicia cuando ha transcurrido algún tiempo, en el que no se efectúa ninguna condición en la anualidad, entonces decimos que su pago se ha diferido . En este tipo de anualidad se contemplan dos tiempos: uno el Plazo Diferido ( k ) y el otro el Plazo de la Anualidad (n ) , que sumados hacen el Plazo del Contrato.
ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA:
0
1 Plazo Diferido
R
R
k
k+1
R
R
.
k+2 k+3 Plazo de la Anualidad
Plazo del Contrato
R k+n
ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA :
0
1 Plazo Diferido
R
R
R
R
k
k+1
k+2
k+3
. k+n
Plazo de la Anualidad Plazo del Contrato
VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA S R FCSi ;n
Monto de una Anualidad Diferida Vencida
S R a 1 i FCSi ;n
Monto de una Anualidad Diferida Anticipada .
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA VENCIDA.-
P(1 i)
k
R
FASi;n
P
R FAS ; (1 i)
k
i n
P
RFAS;
i n
FSAi;k
VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD DIFERIDA ANTICIPADA. P
R FAS ; i
FSAi; n n
P
R 1 i FAS ; a
i
FSAi; k P n
R 1 i 1 a
k
FASi; n
EJERCICIOS: 1.- Una compañía adquiere unos yacimientos de mineral, los estudios muestran los trabajos demorarán 6 años ; se estima que la explotación dará una ganancia anual de S/. 2 400 000 , suponiendo que la tasa comercial es del 8 % y que los yacimientos se agotaron después de 15 años continuos de explotación. a.- ¿Calcular el valor futuro?. RPTA: S/. 65 165 073 .42 b.- ¿Calcular el valor presente?. RPTA: S/:12 945 416.38
2. Una compañía es concesionaria de la explotación de un hotel, por 15 años contados desde su inauguración; éste estará en servicio dentro de 2 años . Se estima que los ingresos brutos mensuales serán de $ 250 000.¿Calcular el Valor Futuro de dichos Ingresos Brutos .Sí la tasa del 12 % de interés convertible mensualmente? RPTA: S/. 124 895 049.40 3. ¿Calcular el valor futuro y valor presente de una anualidad diferida de 2 años , de 7 pagos de $ 150 000 c/u a inicio de semestre , si la tasa de interés es del 6.5% semestral. RPTA: RPTA: S = $1 361 528 .47 ;P= $ 681 053.21 4.Una compañía Frutera sembró cítricos que empezaron a producir dentro de 5 años , la producción anual se estima de S/. 400 000 y este rendimiento se mantendrá por espacio de 20 años .¿Hallar con la tasa del 6 % el Valor presente de la producción?.RPTA: S/.3 428 396.95 5. ¿Qué capital habrá que depositar en una institución de crédito para disponer de 10 000 pagaderos al principio de cada año durante 4 años a partir de los 3 años de la fecha de depósito si dicha financiera abona el 28% anual? RPTA: S/.13 677.78
6.- ¿Calcular el valor de contado de una Propiedad Comercial vendida con una cuota inicial de $ 50 000 y pagos de $ 3000 mensuales anticipados a pagar por 15 años , si dichos pagos se realizan 1 año después con una la tasa de interés del 12% convertible mensualmente? RPTA: $274 049.55 7.- En una transacción comercial un cliente conviene con su acreedor cancelar una deuda efectuando un pago inicial de $/. 5 000 y $/. 1000 al comienzo de cada mes empezando a inicios del sexto mes y durante 10 meses consecutivos . Si el cliente decidiese efectuar todo el pago al contado .¿Qué importe debe cancelar , considerando una TEM = 3%?.RPTA: $ 12 358.23 8.- Calcule el valor presente de una anualidad compuesta de 4 períodos trimestrales diferidos y 12 rentas trimestrales uniformes anticipados aplicando una TEM= 3 % . La renta diferida anticipada debe ser equivalente a los 2/ 3 de la renta vencida que se obtenga de un valor presente de S/. 8 000 , amortizable con 8 rentas uniformes semestrales vencidas aplicando una TEA= 24% ? RPTA:S/. 5681.74
CALCULO DEL VALOR DE LAS RENTAS: Renta Vencida en función a " P" P RFASi ;n FSAi ;k ;
R P FRCi; n FSCi; k
Renta Anticipada en función a " P" P Ra(1 i )1 k FASi ; n ;
R a P (1 i) k 1 FRCi; n
Renta Vencida en función a " S" S RFCSi ;n ;
R SFDFAi; n
Re nta Anticipada en función a " S" S Ra 1 i FCSi ;n ;
1
R a S1 i FDFAi; n
EJERCICIO: 1.- Se compra una computadora de última generación cuyo precio de contado es S/. 4 200 y solo tengo S/. 2 200 y resto lo deseo negociar al crédito , acordando tres meses de gracia a una TEM= 3%
a.- ¿cuál
será la cuota a pagar si son 4 cuotas mensuales cada fin de mes? RPTA: S/.587.95 b.-¿Cuál será la cuota a pagar si las 4 cuotas mensuales son a inicio de mes? RPTA: S/.570.82 2. Una deuda de $ 50 000 debe cancelarse en 6 años mediante pagos por trimestre vencidos a la tasa del 5 % convertible semestralmente. Luego de 1 año de tiempo diferido. ¿Hallar el valor de los pagos? RPTA: S/.2 544.75 3. Una ley de incentivos para la agricultura permite a un campesino adquirir equipos por el valor de $ 80 000, para pagarlos dentro de dos años , con 8 cuotas semestrales. Si la ley fija el 6 % de interés para estos préstamos .¿Hallar el valor de las cuotas semestrales vencidas ? RPTA: S/.12 781.53 4. Cierto banco , como incentivo para el desarrollo de la industria lechera, hace un préstamo para ser pagado en las siguientes condiciones: $800 000 semestrales durante 4 años, debiendo pagar la primera cuota dentro de 3 años.¿Hallar el valor del préstamo, si la
5. Una persona desea comprar una camioneta 4x4 deseando reunir $ 4 700 , en un lapso de 5 años de aportaciones constantes y empieza a reunirlos a partir de 2do. año .Se pregunta:¿ Cuánto habrá de invertir cada principio de año, si el banco le da a ganar el 30% de interés anual? RPTA: S/.399.79 CALCULO DE “n” e “i” EN UNA ANUALIDAD DIFERIDA
VENCIDAY ANTICIPADA.El cálculo de “n” e “i” se efectúa en forma similar a los cálculos de anualidades anticipadas y vencidas .
EJERCICIOS: 1. Un empleado puede ahorrar $ 800 mensuales e invertirlos en una compañía financiera que abona el 9% convertible mensualmente .¿En cuánto tiempo se logrará reunir $ 55 000 ?.¿Calcular el tiempo y el depósito final?. RPTA: 55.65 cuotas mensuales
2.- Un comerciante vende maquinarias en $ 65 000, precio de contado .Para promover sus ventas, idea el siguiente plan a plazos , con cargo del 1 % mensual de intereses. La cuota inicial es de $12 000 y el saldo en 18 abonos mensuales.¿Cuál es el valor de las mensualidades? RPTA: S/. 323.21 3.- Para mantener en buen estado cierto puente, es necesario repararlo cada 6 años con un costo estimado de 850 000. El concejo del municipio decide establecer una reserva anual a fin de proveer los fondos necesarios con miras a sus reparaciones futuras .Si esta reserva se deposita en una cuenta que abona el 8% de interés .¿Hallar el valor de la reserva anual?. RPTA: 183 868.08 4.- Una persona compra una póliza que le asegura una renta de $20 000 cada final de año , durante los próximos 15 años . Desea cambiar su póliza por otra que le asegure una renta de $ 30 000. ¿Durante cuánto tiempo recibirá la nueva renta , si la tasa de interés es del 8%?. RPTA: n = 7.92 pagos años.
5.- Una persona compra una maquinaria por un valor de $ 60 000 y acuerda pagar $ 15 000 como cuota inicial y el saldo en cuotas trimestrales de $ 12 000 , con el 12% convertible trimestralmente .¿Hallar el número de pagos y el valor del pago final?. RPTA: n = 4.038; El último pago S/. 457.70 6.- Cierta persona deposita la suma de $ 1 000 000 en un banco que abona el 7 %., para que dentro de 5 años , le pague una renta de $ 200 000 anuales . ¿Hallar el número de pagos?. RPTA: n =6.37 7.- Un Ahorrista deposita $ 100 000 en un banco , con la intención de que dentro de 10 años se pague , a él y sus herederos , una renta de $ 2 500 , a principio de cada mes .¿Durante cuántos años se pagará esta renta, si el banco abona el 6 % convertible mensualmente? RPTA: n = 61.38 pagos mensuales.
