Facoltà di Ingegneria
Corso di Tecnica delle Costruzioni 1 Anno accademico 2009-2010
Docente: Prof. A.Vulcano
Lo studente: Domenico Gaudio 115537
SOMMARIO
1. Geometria e analisi dei carichi 2. Schema statico e analisi delle caratteristiche delle sollecitazioni 3. Costruzione del diagramma di inviluppo(momento) 4. Calcolo delle armature longitudinali 5. Diagramma momento resistente 6. Costruzione grafica del momento resistente 7. Calcolo armature trasversali 8. Calcolo della lunghezza di ancoraggio
CARATTERISTICHE DEI MATERIALI Conglomerato : Rck= 25 N/mm2 Acciaio : Feb32K DATI GEOMETRICI: i = 50 cm b0 = 10 cm CARICHI
Peso proprio struttura c.a = 25 KN/m3 laterizi = 8 KN/m3
Sovraccarichi fissi Pavimento = 0.4 KN/m2 Massetto = 0.5 KN/m2 Intonaco =0.3 KN/m2 Impermeabilizzazione = 0.3 KN/m2 Incidenza tramezzi = 1.0 KN/m2 Incidenza parapetti = 1.0 KN/m2
Sovraccarichi accidentali Campate = 2.0 KN/m2 Sbalzi = 4.0 KN/m2 Incidenza parapetti = 1.0 KNm/ml
SISMA Kv = ±0.4 S = 0.33 ì=1 SCHEMA STATICO
a= 4.00 cm
C2=1.2 cm
CALCOLO ALTEZZA SOLAIO H ≥ max {12 cm; 1/25 luce max}= 1/15*a= 1/25*4= 16 cm Scegliamo lo spessore della soletta pari a 4 cm e lo spessore del laterizio pari a 14 cm. Conoscendo l’interasse del laterizio “i” pari a 50 cm e la nervatura “b0” di 10cm passiamo calcolarci la base del laterizio: Bl= i-b0= 50cm-10cm=40cm
CALCOLO DEI SOVRACCARICHI Peso proprio della struttura: peso di ciò che nella struttura ha funzione portante (nel nostro caso sono esclusi i laterizi, ma non sempre è cosi). gs = 25 x 0.04 x 0.5 = 0.5 KN/m (peso soletta) gn = 25 x 0.1 x 0.14 = 0.35 KN/m (peso nervatura) gl = 8 x 0.4 x 0.14 = 0.448 KN/m (peso laterizio) Sovraccarichi permanenti : peso di ciò che grava ininterrottamente sulla struttura gpav = 0.4 x 0.50 = 0.2 KN/m (peso pavimento) gmass = 0.5 x 0.5 = 0.25 KN/m ( peso massetto) gint = 0.3 x 0.5 = 0.15 KN/m ( peso intonaco) Esclusivamente sullo sbalzo avremo anche la presenza di una guaina bituminosa e catrame, la cui azione vale: gimp = 0.3 x 0.5 = 0.15 KN/m ( peso impermeabilizzante) Mentre per quanto riguarda la campata ci sarà l’azione del tramezzo: gtram = 1.0 x 0.5 = 0.5 KN/m ( peso tramezzo) Sommando tutti i carichi otterremo un unico carico per la campata ( g )ed un unico carico per lo sbalzo ( gsb) . Peso totale agente sulla campata
gTOT = gs + gn + gl + gp + gm + gi + gt =2.398 KN/m Peso totale agente sullo sbalzo gSBTOT = gs + gn + gl + gp + gm + gi + gimp = 2.048 Kn/m risulta verificata la condizione gsbalzo
Sovraccarichi accidentali (possono essere la presenza di mobili, di persone…) qCAMP = 2.0 x 0.5 = 1 KN/m qSB = 4.0 x 0.5 = 2 KN/m Sull’estremità libera dello sbalzo è presente un’azione concentrata dovuta al parapetto. Calcolo forza agente sul parapetto: FP = 1.0 x 0.50 = 0.5 KN Il parapetto può essere considerato come una mensola incastrata alla base, quindi a causa della forza F di persone che si poggiano sul parapetto, si genera un coppia mp. Momento agente sul parapetto mp = 1.0 x 0.5 =0.5 KN m
Ai sovraccarichi accidentali fanno parte anche le azioni dovute al vento, alla neve ed al sisma. Per quanto riguarda il vento non verrà preso in considerazione nel nostro progetto perché il suo contributo sul solaio è minimo. La neve è da considerarsi esclusivamente sullo sbalzo ed in zone con altitudine elevata ( non è il nostro caso). Il sisma invece, particolarmente quello verticale, produce delle azioni importanti sia sulla campata che sullo sbalzo, però avendo dimensioni della campata abbastanza ridotte la sua azione verrà considerata esclusivamente sullo sbalzo ( qv ). qV*= kv I (gsb +S qsb ) = ± 1.083 KN/m I : coefficiente che tiene conto dell’importanza sociale dell’opera. Per civile abitazione vale 1.
Kv : coefficiente di intensità sismica. Può assumere valori positivi o negativi in base al verso sussultorio del terremoto (± 0.4 ).
PROGETTO DI UN SOLAIO MISTO IN C.A. E LATERIZIO Il solaio è un elemento strutturale che ha molteplici funzioni tra cui quella portante,di coibentazione termica (solaio di copertura) e di coibentazione acustica (solaio di piano). Si distinguono diversi solai in funzione del materiale utilizzato:
Solaio in legno; Solaio in c.a. ; Solaio in c.a.p. ; Solaio in ferro ; Solaio in lamiera nervata ; Solaio misto latero-cementizio.
A seconda della destinazione d’uso si distinguono i solai a soletta piena, solai a nervatura e solai misto c.a. e laterizio. Il solaio a soletta piena è costituito da un getto unico di c.a., in quanto essendo lo stesso un elemento inflesso (è presente quindi un asse neutro che divide la soletta in parte tesa e compressa) e poiché come ipotesi di base il calcestruzzo non resiste a trazione (infatti il cls. Se teso si fessura rapidamente), la funzione dell’armatura disposta nella zona tesa è quella di assorbire gli sforzi di trazione. Tale tipologia presenta l’inconveniente di essere troppo pesante a problemi impiantistici, per tale motivo vengono utilizzati solo per le luci inferiori a tre o quattro metri e per sovraccarichi elevati. Per ridurre il peso sono stati realizzati i solai a nervatura che presentano una soletta piena nella parte superiore e nervature nella parte inferiore ad interasse di due-tre metri. Per l’eccessiva lunghezza dell’interasse si devono realizzare un controsoffitto e particolari casseformi. Di conseguenza trovano impiego per luci superiori a trequattro metri e per sovraccarichi elevati. I suddetti solai per tali motivi vengono utilizzati solo per edifici industriali. Nelle civili abitazioni sono usati i solai misti costituiti da laterizi, la cui funzione è quella di alleggerire il peso del solaio, quindi non hanno funzione statica, e da nervature ad interasse di 50 cm. Tali caratteristiche conferiscono al solaio peso e costi di costruzione ridotti e vantaggi dal punto di vista impiantistico.
GEOMETRIA DEL SOLAIO Dato il ripetersi dei singoli elementi si considera significativo per tutto il solaio il comportamento di un singolo elemento costituito da una nervatura e due mezzi laterizi (ipotesi di nervature indipendenti) così ci si pone in una condizione a vantaggio di statica. Di fatti, se consideriamo un carico gravante sul singolo elemento questo risulterà essere maggiore di quello realmente gravante sulla nervatura. Tale elemento ha una lunghezza pari all’interasse i pari a 50cm che verifica il limite imposto dalla normativa per la quale:
i ≤ 15 s Tale limite è imposto per ragioni statiche. Per definire la geometria del nostro elemento caratteristico dobbiamo tener conto dei limiti imposti dalla normativa. Assumiamo come altezza del solaio H=18cm, tale valore scaturisce da un limite di minimo imposto dal D.M DEL 16/01/1996 per il quale:
H ≥ max {
}
Dove lmax corrisponde alla luce massima del solaio. L’altezza del laterizio (Hl) può assumere dei valori variabili tra 14 ÷ 20cm. Lo spessore della soletta (s), invece, varia tra 4 ÷ 6cm. Per determinare l’altezza H del solaio, combiniamo Hl e s in modo tale da scegliere la soluzione ottimale nei limiti imposti dalla normativa. Assumiamo un valore di Hl=14 cm e s=4cm. La lunghezza del laterizio si determina dalla seguente relazione (Bl):
Bl = i – b0 Dove b0 è lo spessore della nervatura assunta pari a 10cm. Tale spessore risulta essere verificato in quanto la normativa prescrive che
b0 ≥ max {
}
tale limite è legato alla pratica costruttiva. Di conseguenza Bl risulterà essere pari a 40cm come stabilito dalla normativa per la quale il suddetto deve essere: Bl ≤ 52cm.
ANALISI STATICA DELLA STRUTTURA CONDIZIONE DI CARICO 1 Procediamo nel calcolo analitico delle reazioni presenti sul solaio al fine di ricavare i grafici del taglio e del momento flettente. In questo caso consideriamo tutti i carichi, accidentali e fissi, presenti sullo sbalzo e sulla campata e forza e momento sul parapetto. In questa situazione ricaviamo il massimo momento negativo sull’appoggio ( qSB + gSB ) (q + g )
Fp Mp
Va
Vb
Applichiamo l’equazioni di equilibrio della statica:
VA + VB – FP – qSBc2 – gSBc2 – qa – ga = 0 -mp - FP(c2 + a) - qSBc2(a + c2/2) - qSBc2(a + c2/2) + Vba - qa2/2 - ga2/2 = 0 Da cui si ricava : VA = 5.8 VB = 13.15 Calcolo delle sollecitazioni : T( AB) = Va – (gcamp + q) x
con 0m < x < 4m
T (BC) = Fp + (qsb + gsb ) ( a +c2 – x1) con 4m < x < 5.2m
M (AB) = Vax - (g + q)X2/2 M(BC) = - mp – Fp (a + c2 – x1 ) – (qsb + gsb ) ( a +c2 – x1)2/2
VALORI DELLE SOLLECITAZIONI NEI VARI TRATTI: TRATTO AB : T(0m) = 5.8
T(4m) = – 7.79
M(0m) = 0
M (2m) = 4.8
M(4m) = – 3,98
→ Momento max negativo
TRATTO BC: T ( 4m ) = 5.35
T (5.2m) = 0.5
M( 4M) = -4
M( 5.2m) = - 0.5
A
B
C
Diagramma momento
A
B
C
Diagramma taglio
Considerando l’appoggio ricaviamo che il momento massimo negativo è pari a 3.98KN\m
CONDIZIONE DI CARICO 2 Procediamo nel calcolo analitico delle reazioni presenti sul solaio al fine di ricavare il grafici del taglio e del momento flettente. In questo caso consideriamo tutti i carichi, accidentali e fissi, presenti sulla campata; per quanto riguarda lo sbalzo consideriamo il carico fisso e forza sul parapetto. In questa situazione ricaviamo il massimo momento positivo sulla campata:
(q + g) gSB
Fp Va
Applichiamo l’equazione di equilibrio della statica :
– FP – gSB c2 + VA – ( q + g)a + VB = 0 -FP (a + c2) - gSB c2(c2/2 + a) + Vb a - ( q +g) a2/2 = 0
Da cui si ricava :
VA = 6.278 VB = 10.271
Calcolo delle sollecitazioni :
T(AB) = Va – (q+g )x T (BC) = FB + gsb ( a + c2 – x1)
Vb
M( AB) = VA x – ( q + g) x2/2 M (BC) = – FP (a + c2 –x) – gSB (a + c2 - x1)2/2
VALORI DELLE SOLLECITAZIONI NEI VARI TRATTI:
TRATTO AB : T (0m) = 6.278 M (0m) = 0
T (4m) = – 7.314 M (1.70m) = 5.8 momento positivo max in campata
M(4m)= -2.072
TRATTO BC : T(4m) = 2.957
T(5,2m)= 0.5
M(4m) =-2.072
M(5,2m)= 0
A
B
C
A
B
C
Diagramma momento
Diagramma taglio
CONDIZIONE DI CARICO 3 Procediamo nel calcolo analitico delle reazioni presenti sul solaio al fine di ricavare i grafici del taglio e del momento flettente sul solaio al verificarsi del sisma. In questo caso consideriamo solo la forza del sisma verticale. Avremo due casi: il primo quando il sisma verticale agisce dal basso verso l’alto e il secondo al verificarsi del contrario, cioè dall’alto verso il basso.
FV = 0.2
Va
Vb
FV = kV I FP = ± 0.2 Applichiamo l’equazione di equilibrio della statica :
– FV + V A + V B = 0 - FV (a + c2) + Vba = 0
Da cui si ricava: VA= - 0,06 VB= 0,26
Analogo procedimento lo effettuiamo considerando la forza del sisma verticale FV in verso opposto al caso precedente.
Calcolo delle sollecitazioni :
T (AB) = – VA T (BC)= FV M (AB) = VA x M (BC) = - FV (a + c2 –x)
VALORI DELLE SOLLECITAZIONI NEI VARI TRATTI: TRATTO AB : T (AB) = – 0.06 M (0m) = 0
M(4m) = -0.24
TRATTO BC : T (BC)= 0.2 M (4m) = -0.24
Diagramma momento
Diagramma taglio
M(5.2m) = 0
CONDIZIONE DI CARICO 4 Procediamo nel calcolo analitico delle reazioni presenti sul solaio al fine di ricavare i grafici del taglio e del momento flettente sul solaio al verificarsi del sisma. In questo caso consideriamo il carico accidentale e fisso (q*v) sullo sbalzo e in seguito solo quello fisso (qv**). In questa situazione ricaviamo il massimo momento positivo sulla campata e negativo sull’appoggio. Inoltre avremo due situazioni: la prima quando il sisma verticale agisce dal basso verso l’alto e la seconda al verificarsi del contrario, cioè dall’alto verso il basso.
qV*
vA
VB
qV*= kv I (gsb + qsb ) = ± 1.083
Applichiamo l’equazione di equilibrio della statica : VA + VB – qV*c = 0 -qV*c (c/2 + a) + Vba = 0 Da cui si ricava : VA = -0.19 VB = 1.49
Analogo procedimento lo effettuiamo considerando il carico del sisma verticale qV* in verso opposto al caso precedente.
Calcolo delle sollecitazioni : T (AB) = VA T (BC) = qV*(c+ a - x) M (AB) = VA x M(BC) = – qV* (c+ a - x)2/2
VALORI DELLE SOLLECITAZIONI NEI VARI TRATTI: TRATTO AB : T (AB)= 0.19 M(0m) = O
M(2m)= -0.38
TRATTO BC : T(4m) =1.3
T(5.2m)= 0
M(4m)= -0.78
M(5.2m)= 0
Diagramma momento
Diagramma taglio
M(4m)= -0.76
CONDIZIONE DI CARICO 5 qV**
VA
VB
qV**= kv I gsb = 0.82
Applichiamo l’equazione di equilibrio della statica :
VA + VB – qV**c = 0 VB a - qV** c2 (c/2 + a) = 0 Da cui si ricava : VA = - 0,147 VB = 1,13
Analogo procedimento lo effettuiamo considerando il carico del sisma verticale q V** in verso opposto al caso precedente. Calcolo delle sollecitazioni : T (AB) = vA T(BC) = qv** ( a + c – x )
M (AB) = VA x M (BC) = – qV** ( a + c – x )2/2
VALORI DELLE SOLLECITAZIONI NEI VARI TRATTI: TRATTO AB : T(AB)= - 0.147 M(0)= 0
M(4m)= – 0,588
TRATTO BC : T( 4m) = 0.984
T (5.2m) = 0
M( 4m) = -0.59
M( 5.2) = 0
Diagramma momento
Diagramma taglio
COSTRUZIONE DEL DIAGRAMMA DI INVILUPPO Il diagramma di inviluppo è un diagramma che fornisce, sezione per sezione, i massimi momenti flettenti positivi e negativi. Si costruisce a partire dai diagrammi dei momenti degli schemi analizzati precedentemente e in particolare: schema Fv , |Mb-| MAX , |Mb+| MAX , qV* , qV**. Operativamente si realizza considerando il maggiore dei diagrammi tra lo schema |MB-| MAX e |MB+| MAX . Per la campata si assume il contributo FV diretta dal basso verso l’alto e qV**;si considera un intervallo tanto più piccolo quanto più preciso si vuole il diagramma di inviluppo, individuando così il valore del momento da sommare allo schema
|MB-| MAX . Per la campata si considera il contributo dello schema FV diretta dall’alto verso il basso e qV* conforme con le condizioni di carico sulla campata (infatti a priori si potrebbe pensare di sommare il maggiore dei contributi tra qV* e qV**, quindi
qV** ma così procedendo si violerebbero le condizioni di carico sulla campata ). Il diagramma di inviluppo si costruisce considerando il diagramma più esterno al quale si devono apportare due modifiche: Spuntatura del diagramma del momento flettente; Correzione con riferimento all’appoggio estremo. La prima correzione tiene conto dell’approssimazione che si commette nello schema statico considerando l’appoggio come un vincolo puntuale. Infatti occorre considerare l’appoggio come un vincolo diffuso, per cui in corrispondenza dello stesso non si deve considerare una cuspide, ma apportare la suddetta correzione. La seconda correzione tiene conto dell’assunzione fatta considerando l’appoggio estremo privo di rigidezza torsionale (infatti il momento in corrispondenza dell’appoggio si considera essere nullo). In realtà la trave ha una certa rigidezza torsionale e la si potrebbe schematizzare come un incastro al quale è collegato una molla la cui rigidezza rappresenta quella della trave. Ma quanto suddetto presenta l’inconveniente rappresentato dalla difficoltà operativa nel determinare la rigidezza della molla. Per assunzione si considera l’appoggio come un incastro cedevole alla rotazione il quale determina un momento negativo pari a:
M=
AB
2
in cui
AB
=
AB
CALCOLO DELLE ARMATURE LONGITUDINALI (PREDIMENSIONAMENTO) Calcoliamo l’armatura longitudinale nelle sezioni più significative del solaio, ovvero in corrispondenza degli appoggi, dove si hanno i momenti massimi negativi e in campata in corrispondenza del momento massimo positivo. In corrispondenza dell’appoggio B non facciamo riferimento al valore massimo determinato con la costruzione grafica, ma consideriamo il valore massimo tra i momenti posti alla sinistra e alla destra dello stesso posti a distanza 15 cm. Questo perché in corrispondenza dell’appoggio la sezione resistente è costituita sia dal solaio che dalla trave. Nel calcolo delle armature longitudinali si considerano tre ipotesi: 1. Si trascura la resistenza del calcestruzzo teso (in quanto è un valore alquanto esiguo e inoltre così procedendo ci si pone in una condizione a vantaggio di statica); 2. si trascura l’eventuale armatura in compressione (sempre a vantaggio di statica); 3. Nel caso della sezione soggetta a momento positivo l’asse neutro può essere sito in due posizioni: Taglia la soletta; Taglia la nervatura; Si fa una ipotesi semplificata e consideriamo l’asse neutro che taglia la soletta (questo perché siamo in fase di predimensionamento). Dall’analisi di tale sezione si determina AS (area dell’armatura longitudinale)
M = C x h* = T x h* = σS x AS x 0,9 x h
(1)
in cui:
C è la risultante di compressione; T è la risultante di trazione; In questo caso consideriamo C = T perché il momento statico rispetto all’asse neutro SN è nullo. h* è il braccio della coppia interna;
σS
è la tensione dell’acciaio; h è l’altezza utile pari a H - d dove d è lo spessore del copriferro.
Si considera come valore di SS la tensione ammissibile dell’acciaio (SSA = 155 N/mm2 per acciaio FeB32K), perché cosi facendo determiniamo un valore dell’area dell’armatura maggiore, e quindi la stessa è in grado di sopportare un valore limite pari a SSA. Dalla formula inversa dell’equazione (1) determiniamo AS
AS-calcolo = In ambedue i casi consideriamo uno spessore del copriferro pari a 2cm.
MINIMI NORMATIVI
ASmin-travetto (cm2) = 0,07 x H x i dove H la si esprime in cm ed i in m.
ASmin-zona tesa = 0,25% x AC Dove AC è l’area del travetto. Nel determinare l’area dell’armatura teorica consideriamo il valore massimo trai valori delle aree di calcolo e i minimi normativi.
A(+)S-teorica= max { A(+)Scalcolo , ASmin-travetto , ASmin-zona tesa} A(-)S-teorica= max { A(-)Scalcolo , ASmin-zona tesa} Considerato che in commercio sono presenti dei valori standard dei diametri delle armature (i valori dei diametri sono Φ(mm)=8/10/12/14/16/18), si rende necessario, nella fattispecie, prendere in esame un valore commerciale dell’armatura. Tale valore lo andiamo a scegliere maggiore di quello teorico, a vantaggio di sicurezza.
A(+)S-commerciale ≥ A(+)S-teorica A(-)S-commerciale ≥ A(-)S-teorica
VERIFICA DEL CALCESTRUZZO E’ necessario verificare che la tensione del calcestruzzo non eccedi il valore ammissibile.
σC(max) ≤ σC(amm) Si determinano le tensioni ammissibili del calcestruzzo nelle sezioni soggette al momento max negativo e al momento max positivo come segue:
σc(amm) = 6 + σ
(+)
c(amm) =
(
)
(
)
(
)
(
)
Dal momento che siamo in fase di predimensionamento è possibile effettuare la verifica del calcestruzzo confrontando i valori di un parametro r associato alla tensione del calcestruzzo (senza determinare gli effettivi valori delle tensioni). r = espressione per determinare il parametro r associato al momento max positivo e al momento max negativo. I valori di r calcolati nelle sezioni più sollecitate del solaio devono essere confrontati con i valori ammissibili di r.
ramm = →
( ) ( )
DIAGRAMMA MOMENTO RESISTENTE Prima di calcolare il momento resistente del solaio, introduciamo il concetto di fascia piena e semipiena. Consideriamo una generica sezione del solaio soggetta a momento positivo. In tal caso le fibre compresse risulteranno essere quelle superiori, a ragion di ciò la soluzione a travetto normale adottata per la nostra sezione risulterà essere funzionale in quanto sulle fibre superiori avremo un notevole quantitativo di calcestruzzo che reagisce a compressione. Nel caso del momento negativo le fibre compresse risulteranno essere quelle inferiori, se si considera una sezione a travetto normale avremo che il quantitativo di calcestruzzo reagente a compressione risulterà essere alquanto esiguo. Per ovviare a tal problema si può adottare nelle sezioni soggette a momento negativo la tipologia di fascia semipiena, che consiste nel sostituire parte del laterizio con calcestruzzo. Qualora anche la fascia semipiena risultasse essere insufficiente sarà necessario adottare una tipologia di fascia piena, che consiste nel sostituire tutta la parte di laterizio compresso con calcestruzzo.
Calcolo del numero di file di laterizi in campana Nel determinare il numero di laterizi in campana definiamo la luce netta di quest’ultimo come la differenza tra la luce della campata e lo spessore della trave.
lnetta= lcampana - 30cm = 370cm Fatto ciò si può calcolare il numero di file di laterizi come segue:
nlaterizi =
= 14.4
I 10 cm che consideriamo derivano dal fatto che in prossimità della mezzeria della campata inseriamo un travetto ripartitore che interrompe le file di laterizio. Dall’analisi del solaio in esame si calcola un numero di file di laterizi pari a 14.4; tuttavia per cautelarci da eventuali imperfezioni costruttive, consideriamo 14 file di laterizi e 2 fasce piene minime tecnologiche di 5 cm cadauna. Per il calcolo del numero di file di laterizi in corrispondenza dell’appoggio si considera la differenza tra la luce dello stesso e metà spessore della trave
lnetta= lsbalzo – 15 = 105 cm Poiché nello sbalzo è previsto un travetto di fondo spesso 10cm la luce disponibile sara pari ad:
ld= lnetta – 10 = 95cm Dall’analisi del solaio in esame si calcola un numero di laterizi pari a 3.8 Consideriamo quindi 3 file di laterizi e per i 20cm rimanenti useremo una fascia piena minima tecnologica in vicinanza dell’appoggio.
CALCOLO MOMENTI RESISTENTI Il momento resistente è quel momento flettente cha fa lavorare almeno un materiale al limite ammissibile. Si considera quindi il minimo tra il momento resistente relativo al calcestruzzo e quello relativo all’acciaio. Nel caso in esame distinguiamo sezione a campata soggetta a momento positivo e appoggio soggetta a momento negativo.
SEZIONE CAMPATA M(+) Nel caso di sezione soggetta a momento positivo prendiamo in considerazione un valore di tensione ammissibile del calcestruzzo pari a:
σc(amm) = 6 + σ
(+)
c(amm) =
(
)
(
)
(
)
(
)
Nel caso in esame lo spessore della soletta risulta essere pari a 4cm e utilizziamo quindi la prima espressione. Per l’acciaio invece il valore della tensione ammissibile sarà pari a 155 N/mm2. Nel caso della sezione soggetta a momento positivo l’asse neutro può essere sito in due posizioni: Taglia la soletta ; Taglia la nevatura ; Per individuare in quale dei due casi ci troviamo, si procede per tentativi: 1. Ipotizziamo che l’asse neutro tagli la soletta ; 2. Poniamo il momento statico dell’area reagente omogeneizzata pari a zero e determiniamo il valore di Xc. Sn = 0 Xc ; 3. Verifichiamo che il valore determinato di Xc sia minore o uguale dello spessore della soletta; se tale relazione è soddisfatta l’asse neutro come da ipotesi taglia la soletta, altrimenti ; 4. L’asse neutro taglia l’armatura e si deve quindi ricalcolare il momento statico e il corrispettivo valore di Xc.
Nel caso in esame ricadiamo nella seconda ipotesi, le relazioni utilizzate per determinare i momenti resistenti del calcestruzzo e dell’acciaio sono le seguenti:
Mca =
Msa =
(
)
Avendo calcolato Sn e In per sezioni generiche. Possiamo quindi costruire una tabella relativa al momento positivo dove determiniamo per ogni combinazione di barre (inferiori in questo caso) il valore di Xc , da questo calcoliamo Mca e Msa ,e quindi considerando il minimo tra i due il momento resistente riferito a ogni combinazione di barra.
SEZIONE CAMPATA M
(-)
Nel caso di sezione soggetta a momento negativo prendiamo in considerazione un valore di tensione ammissibile del calcestruzzo pari a :
σc(amm) = 6 + Per l’acciaio la tensione ammissibile sarà sempre 155
.
Tuttavia nella sezione di appoggio soggetta a momento negativo distinguiamo tre casi per motivi suddetti: 1. Travetto normale; 2. Fascia semipiena; 3. Fascia piena. In tutti i tre casi si considera una sezione rettangolare. Ciò che varia da caso a caso è lo spessore b. b = b0 nel caso del travetto;
b = b0 +
nel caso di fascia semipiena;
b = i nel caso di fascia piena. Anche in questo caso si può costruire una tabella relativa al momento negativo dove determiniamo per ogni combinazione di barre (superiori in questo caso) il
valore di Xc , da questo calcoliamo Mca e Msa,e quindi considerando il minimo tra i due il momento resistente riferito a ogni combinazione di barra. Tali valori sono tabellati in funzione della tensione ammissibile dell’acciaio.
Tabella MA+ As Combinazione (cm^2) barre 3,14 1Φ16+1Φ12 2,01 1Φ16 1,13 1Φ12
Xc
Mca
Msa
Mr+
Asse
4,66 3,83 2,97
14,1 11,98 9,47
7,13 4,64 2,64
7,13 4,64 2,65
n 2-n2 n1-n1 n1-n1
Tabella Mr- riferita ad uno spessore b= 10 As Combinazione (cm^2) barre 1,63 1Φ12+1Φ8 2,26 2Φ12 1,13 1Φ12 0,50 1Φ8
Xc
Mca
Msa
Mr+
8,84 10,41 7,36 5,05
4,9 5,54 4,23 3,07
3,3 4,4 2,4 1,12
3,3 4,4 2,4 1,12
Tabella Mr- riferita ad uno spessore b= 30 As Combinazione (cm^2) barre 1,63 1Φ12+1Φ8 2,26 2Φ12 1,13 1Φ12 0,50 1Φ 8
Xc
Mca
Msa
Mr+
5,11 6,01 4,25 2,91
9,31 10,72 7,9 5,57
3,65 4,95 2,6 1,17
3,65 4,95 2,6 1,17
Tabella Mr- riferita ad uno spessore b= 50 As Combinazione (cm^2) barre 1,63 1Φ12+1Φ8 2,26 2Φ12 1,13 1Φ12 0,50 1Φ8
Xc
Mca
Msa
Mr+
3,95 4,66 3,29 2,25
12,32 14,3 10,4 1,45
3,75 5,12 2,64 1,19
3,75 5,12 2,64 1,19
COSTRUZIONE GRAFICA DEL DIAGRAMMA DEL MOMENTO RESISTENTE. Il diagramma del momento resistente è un diagramma ch circoscrive quello del momento d’inviluppo. Presenterà dei salti (ovvero dei gradini) ogni qual volta ci saranno: Cambi di armatura (quali ad esempio interruzioni o variazioni d’inclinazione della stessa armatura) Passaggi di travetto a fascia piena o da travetto a fascia semi piena o, ancora, da fascia semi-piena a fascia piena. Nel diagramma il momento resistente utilizzando gli accorgimenti sovra citati si tracciano rette parallele alla linea d’asse, aventi valori pari ai momenti resistenti precedentemente calcolati nelle diverse sezioni, fino a intersecare il diagramma d’inviluppo. Se il diagramma del momento resistente circoscrive quello d’inviluppo tutte le sezioni risulteranno essere verificate a flessione. Fatto ciò non resta che apportare piccole modifiche al diagramma del momento resistente disegnato. In alcuni punti il prolungamento delle rette parallele alla linea d’asse intersecano il diagramma d’inviluppo, si avranno quindi alcune sezioni che lavorano a un valore limite di ammissibilità. A fini cautelativi, pertanto, si farà in modo da non intersecare il diagramma d’inviluppo e mantenere un margine da questo di circa 20 cm. Nel diagrammare il momento resistente negativo (in corrispondenza degli appoggi) la modalità operativa risulterà essere analoga a quella precedentemente definita. Tuttavia qualora il diagramma del momento resistente dovesse risultare insufficiente in quanto non circoscrive il diagramma d’inviluppo sarà necessario, a seconda dei casi, ricorre all’utilizzo di una fascia piena minima tecnologica di calcestruzzo o ancora a un utilizzo combinato di una fascia semipiena e di una fascia piena di calcestruzzo per rientrare nella verifica all’ammissibilità. Si seguirà, infine, un’ultima correzione grafica derivante dal fatto che in corrispondenza dell’appoggio (essendo lo stesso una trave) si avrà un momento resistente più elevato. Nel verificarsi della detta evenienza si dovranno tracciare due rette, ortogonali allo schema, in corrispondenza dei lati dell’appoggio non chiudendo così il diagramma.
CALCOLO ARMATURE TRASVERSALI-TRAVETTO RIPARTITORE VERIFICA A TAGLIO Armatura trasversale La funzione dell’armatura trasversale è quella di ripartire sul solaio in modo uniforme i carichi concentrati. La normativa impone armature trasversali obbligatorie nel caso di luce del solaio maggiore a 4,5 metri, se persistono rilevanti carichi concentrati e se il solaio ha un comportamento a piastra, cioè in pianta è quadrato. L’area dell’armatura trasversale deve rispettare le seguenti condizioni:
3Φ6 AS-TRASVERSALE ≥ 20% ASlong-nelle nervature ASlong-nelle nervature= 1φ12+1φ16 Travetto ripartitore Un altro elemento del solaio cha ha la funzione di ripartire i carichi concentrati è il travetto ripartitore, obbligatorio per luci maggiori di 5 metri. Il travetto viene armato come se fosse una trave, infatti lo schema statico relativo è quello di una trave appoggiata sulle nervature, che costituiscono degli appoggi cedevoli elasticamente (come avere tante molle elastiche alla traslazione). Pertanto lo schema statico viene denominato “trave elastica su un suolo elastico”. Vengono usati per l’armatura due ferri longitudinali superiori ed inferiori di diametro Φ8 e Φ14 e una staffa di diametro Φ8 e Φ10 ogni 15cm.
Verifica a taglio Per la verifica a taglio si fa riferimento allo schema “traliccio di Ritter-Morsch”. Il suddetto schema è costituito da un corrente compresso di cls, un corrente teso corrispondente all’armatura longitudinale, e una biella di cls compresso inclinato a 45° rispetto all’asse longitudinale. La normativa impone che in corrispondenza degli appoggi di estremità ci sia un’armatura longitudinale inferiore AS in grado di assorbire uno sforzo di trazione uguale almeno al taglio
As ≥ Tale relazione si ottiene imponendo l’equilibrio nello schema suddetto. E’ necessario, inoltre, effettuare una verifica al taglio nelle sezioni più prossime agli appoggi: 1. Occorre costruire il diagramma di inviluppo del taglio (procedimento analogo alla costruzione del diagramma di inviluppo del momento resistente); 2. Considerare le sezioni in corrispondenza delle quali il taglio risulta essere elevato (quindi gli appoggi); 3. Calcolare la tensione tangenziale massima attraverso la relazione
τmax =
(
(
)
Appoggio A destro
τmax1 = τmax2 = τmax3 =
(
)
(
)
(
)
=0.008 = 0.044 =0.03
Appoggio B sinistro
τmax4 = τmax5 =
( (
)
=0.04 )
=0.06
)
τmax6 =
(
=0.01
)
Appoggio B destro
τmax7 = τmax8 = τmax9 =
( ( (
=0.008
)
) )
=0.004
=0.02
4. Confrontare la τmax con i seguenti limiti normativi:
τc0 =
[N/ mm2]
τc1 =
[N/ mm2]
Se τMAX ≥ τc1 occorre rivedere la sezione e/o la qualità dei materiali impiegati. Se τMAX ≤ τc0 e di conseguenza τmax ≤ τc1 la verifica è soddisfatta. Nel caso in cui τc0 ≤ τMAX ≤ τc1 occorre prevedere una fascia semi-piena o se necessaria una fascia piena. Questo perché la tensione tangenziale dalla formula di Jourasky è pari a:
τa = Sag è il momento statico dell’area reagente omogeneizzata rispetto all’asse baricentrico della stessa; b è lo spessore della corda considerata; Ig è il momento di inerzia dell’area reagente omogeneizzata rispetto all’asse baricentrico; T è il valore del taglio.
La suddetta relazione è equivalente alla (1) dalla quale si evince che l’unico modo per ridurre le tensioni è quello di aumentare lo spessore b della sezione, cioè passare da travetto normale a fascia semi-piena o fascia piena.In definitiva occorre effettuare la verifica nelle sezioni in prossimità dell’appoggio e in quelle di passare da travetto normale a F.S.P o F.P..
CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO Una delle ipotesi fondamentali poste alla base dello studio delle sezioni in conglomerato cementizio armato è l’aderenza acciaio-calcestruzzo. L’acciaio infatti tende a scorrere nell’involucro di conglomerato, contrastato in questo suo movimento dalle tensioni di aderenza presenti lungo le superfici di mutuo contatto. E’ necessario pertanto assicurarsi che le tensioni di aderenza siano contenute entro limiti accettabili per il conglomerato adoperato,pena lo sfilamento delle armature metalliche con la impossibilità da parte di queste ultime di assorbire gli sforzi di trazione. Il calcolo della lunghezza di ancoraggio è un problema di progetto volto a garantire,per ciascuna barra di armatura, un tratto sufficiente di ancoraggio a partire dalla sezione della quale la barra non è necessaria. Esistono due problemi relativi all’aderenza: Problema di progetto; Problema di verifica: consiste nella verifica che le massime tensioni di aderenza siano inferiori rispetto ad un limite
τaderenzamax < τb .
Le barre di armature si distinguono in barre lisce, e barre ad aderenza migliorata FeB22k FeB32k
barre lisce;
FeB38k FeB44k
barre ad aderenza migliorata;
La normativa prevede perle barre lisce un uncino di estremità, a differenza di quanto disposto per le barre ad aderenza migliorata per le quali non è obbligatorio. L’aderenza è la resistenza che si sviluppa tra una barra di armatura e il calcestruzzo circostante quando la barra tende a scorrere rispetto al cls. Il meccanismo di aderenza è diverso a seconda che si consideri barra liscia o ad aderenza migliorata. Nel caso di barra liscia si suppone che questa sia annegata in un prisma di cls e soggetta ad una forza F crescente. La barra risulterà soggetta ad uno sforzo di
trazione e per il principio di azione e reazione il cls risulterà soggetto ad uno sforzo di compressione. Per bassi valori della forza F è la coesione tra la barra e il cls ad impedire lo scorrimento. Se si incrementa F in modo tale che la barra inizi a scorrere, saranno le tensioni tangenziali τb di aderenza cha nascono sulla superficie laterale della barra di armatura ad contrastare lo scorrimento stesso. Il meccanismo secondo il quale si ha la crisi dell’aderenza si chiama “sfilamento”, e questo si verifica quando τb < τb . Nel caso di barra ad aderenza migliorata per bassi valori della forza F è sempre la coesione ad contrastare lo scorrimento. Al crescere di F superata la coesione nell’intorno della barra nascono delle fessure inclinate rispetto all’asse longitudinale. La parte di cls compresa tra una fessura e l’altra risulta essere compressa, per cui nascerà uno sforzo di compressione inclinato rispetto all’asse della trave. Alla forza F quindi si oppone la componente dello sforzo di compressione diretto secondo l’asse ( τb ). La componente trasversale τbtgα risulta essere di compressione nella barra di armatura e per il principio di azione e reazione sarà di trazione sull’anello di cls circostante la barra, il quale risulta fessurato di conseguenza. Tale tensione risulta essere massima in corrispondenza dell’anello di cls che circonda la barra, mentre è nulla in corrispondenza dell’anello di separazione della zona fessurata da quella integra per il semplice motivo che si considerano anelli crescenti, di conseguenza l’area cresce e a parità di sforzo la tensione dovrà diminuire. Il meccanismo per cui si ha la crisi di aderenza tra la barra e il cls. Questo perché se si suppone di considerare una trave a sezione rettangolare in cui il copro ferro è insufficiente, per il fenomeno sopra citato il cls viene sottoposto a trazione per cui si fessura.
LUNGHEZZA DI ANCORAGGIO Le tesioni di aderenza ammissibili sono così definite:
τb = 1,5 x τco nel caso di barre lisce τb = 3 x τco
nel caso di barre ad aderenza migliorata
[N/ mm2]
in cui τc0 =
La tensione di aderenza ammissibile dipende dalla qualità del cls, dal tipo di armatura e da dove si ubica l’ancoraggio, il quale è preferibile realizzare in zona compressa. Se l’ancoraggio è ubicato in zona compressa si calcolano le tensioni ammissibili come suddetto, altrimenti se l’ancoraggio avviene in zona tesa, poiché c’è maggiore pericolo di sfilamento occorre ridurre le tensioni ammissibili almeno fino al 50%. La lunghezza di ancoraggio si determina dall’equazione di equilibrio tra la forza di trazione cui è sottoposto la barra e la tensione di aderenza.
F = σSωS = σSπ
= τbπla
la= σS la rappresenta la lunghezza di ancoraggio senza uncino. Poiché la normativa impone per le barre lisce un uncino la lunghezza di ancoraggio è costituita dalla somma di un tratto rettilineo e la circonferenza dell’uncino. Per il calcolo della lunghezza del tratto rettilineo si fa riferimento allo sviluppo rettilineo imponendo come prima condizione di equilibrio:
F = σSωS = σSπ
= τbπ (20 + la );
da cui si ricava la
La lunghezza di ancoraggio effettiva risulta essere:
la = la + (
3
)
(
)
+3 ;
in cui:
è la semi-circonferenza dell’uncino;
è la lunghezza del tratto rettilineo subito dopo la fine della semicircomferenza.
VERIFICA ADERENZA La verifica è relativa alle barre di diametro maggiore e consiste nel verificare che sia soddisfatta la seguente relazione:
τaderenzamax < τb . Per calcolare la tensione di aderenza da confrontare con il limite si considera un concio di trave di lunghezza dz soggetta a taglio e momento. Si considera la barra di armatura di lunghezza dz
dz
T
T+
dz
La tensione di aderenza si ipotizza distribuita in modo uniforme. Facendo riferimento alla sola barra di armatura le tensioni presenti saranno:
σS X ωS
(σS +
Dall’equilibrio a traslazione:
σSωS + τb(π )dz - σSωS -
dzωS = 0
τb =
ωS = π
Ma
;
π
=
In definitiva:
Inoltre
τb =
y
; =T
dz ) ωS
