Experimento 4: Indutância Mútua. Disciplina: EN2705 – Circuitos Elétricos 2.
Discentes: Breitner Szot Marczewski Bruno José Rodrigues dos Santos Fernando Henrique Gomes Zucatelli Lucas André Tonin Turma: B/Noturno Prof º Dr. Fabiano Fragoso Costa.
Santo André, 01 de Dezembro de 2011
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1. INTRODUÇÃO A indutância mútua é o efeito causado quando dois enrolamentos, montados sobre o mesmo núcleo, normalmente ferromagnético, tem seu núcleo atravessado por um fluxo magnético em função da corrente de entrada na solenóide (indutor), induzindo assim uma força eletromotriz no outro circuito. Segundo a lei de Faraday, a força induzida é proporcional à taxa de variação no fluxo magnético que o atravessa. Como o fluxo é proporcional a corrente em um dos circuitos, por conseguinte, a força eletromotriz deve ser proporcional à variação da corrente também. Portanto, pode-se estabelecer a seguinte relação: ξ = -M∆i/ ∆t
Sendo: ξ = Força eletromotriz
M = Indutância mútua (O sinal negativo deve-se a lei de Lenz), o valor de M depende da geometria e do material empregado no circuito.
2. OBJETIVOS Determinação da indutância mútua entre dois indutores e da relação detransformação de um transformador.
3. PARTE EXPERIMENTAL 3.1.
Materiais
•
Protoboard;
•
Resistorde 1 k;
•
Indutores;
•
Multímetro digital bancada 8045A;
•
Fonte geradora de sinal Tektronix modelo AFG 3021B;
•
Osciloscópio digital Tektronix modelo TDS 2022B;
•
Cabos e fios para conexão;
•
). PenDrive (memória flash ).
2
3.2.
Métodos
A Figura 1 mostra o circuito utilizado para o estudo das relações no transformados e a indutância mútua do sistema.
Figura 1 – Modelo do circuito do transformador estudado.
Analisando as duas malhas do circuito tem-se t em-se o sistema de equações (1) di1 (t ) di2 (t ) v t R i t R i t L M ( ) . ( ) . ( ) . . = + + + L1 1 1 1 1 1 di di di (t ) di1 (t ) v2 (t ) = R L 2 .i2 (t ) + L2 . 2 + M. di di
(1)
Em regime permanente têm-se as seguintes relações entre os fasores:
V&1 = R1.I&1 + R L1 . I&1 + L1 . jω I&1 + M . jω I&2 & & & & V2 = R L 2 .I 2 + L2 . jω I 2 + M . jω I1 onde ω = 2π f ; j =
−1 no
(2)
caso do circuito da Figura 1 onde a malha do
secundário encontra-se em aberto tem-se que I &2
= 0,
assim (2) pode ser reescrita:
V& = ( R + R + L . jω ) I& + M . jω I& 0 L1 1 1 1 2 1 0 V&2 = ( R L 2 + L2 . jω ) I&2 + M . jω I &1
(3)
Tomando os módulos dos valores
& V 1 & I 1 = R1 + R L1 + L1 .ω & V 2 M = & ω I 1
(4)
O coeficiente de acoplamento K é dado por (5) M
=
K L1.L2
⇒
K
=
M L1.L2
; 0 < K < 1
(5)
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4. RESULTADOS RESULTADOS E DISCUSSÃO A Tabela 1apresenta os valores medidos dos componentes utilizados.
Tabela 1 –Valores medidos dos componentes. R RL1 RL2 L1 L2
999 12,3 12,1 0,988 mH 1,024 mH
A Figura 2 mostra o sinal para a entrada de tensão e1 (t ) = 1sen(2π .2000t ) , a Figura 3 mostra a imagem para a mesma frequência e amplitude, porémpara uma onda triangular e a Figura 4 os mesmos parâmetros para uma onda quadrada:
Figura 2 – Onda senoidal.
Figura 3 – Onda triangular
4
Figura 4 – Onda quadrada.
Nota-se na onda triangular que a função se torna descontinua nos pontos da saída referentes aos bicos da função triangular na entrada, e na onda quadrada os valores correspondentes as transições entre o nível alto e baixo (bordas dos quadrados) também apresentam descontinuidade, sendo que neste caso os valores tendem a
±∞ ,
este resultado é justificável ao se analisar as expressões em (1) onde onde
se nota que a derivada nestes pontos tende justamente para
±∞ ,
dependendo se a
transição é do alto para o baixo ou vice-versa. A Tabela 2 os valores dos módulos das grandezas medidas para o cálculo de M usando o sistema de equações (4):
Tabela 2 – Valores medidos e M e K calculados. V1 V2 I1 I2 M M K
338 mV 2,34 mV 0,00473 mA 0 mA 0,039 H 39,368 mH 39,140
Como o valor de K está fora do intervalo entre 0 e 1 decidiu-se utilizar a primeira linha do sistema de equações (4) para obter a corrente I1 e com este valor recalcular M (Tabela 3). Tabela 3 – Valores medidos e M e K calculados.
I1 M K
0,3302 mA 0,564 mH 0,5607
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A Figura 5 mostra o sinal para a entrada de tensão e2 (t ) = 2 sen(2π .4000t ) , a Figura 6 mostra a imagem para a mesma frequência e amplitude, porémpara uma onda triangular e a Figura 7 os mesmos parâmetros para uma onda quadrada:
Figura 5 – Onda senoidal.
Figura 6 – Onda triangular
6
Figura 7 – Onda quadrada.
A análise das ondas triangular e quadrada é similar para a entrada e 1 de tensão, todavia, ressalta-se que a quantidade de ruído captado é perceptivelmente maior que na situação anterior. A Tabela 4 os valores dos módulos das grandezas medidas para o cálculo de M usando o sistema de equações (4): Tabela 4 – Valores medidos e M e K calculados. V1 V2 I1 I2 M M K
676 mV 6,62 mV 0,00486 mA 0 mA 0,0541 H 54,1978 mH 53,8832
Como o valor de K está fora do intervalo entre 0 e 1 decidiu-se utilizar a primeira linha do sistema de equações (4) para obter a corrente I1 e com este valor recalcular M (Tabela 5). Tabela 5 – Valores medidos e M e K calculados.
I1 M K
0,6524 mA 0,40373 mH 0,4014
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5. CONCLUSÃO O experimento en ontrou uma grande quantidade de ruíd , o que dificultou a precisão do valor de M. Os valores medidos da indutância mútu foi de 0,40373 mH e o coeficiente de acopl mento foi de 0,4014. A dificuldade da r alização precisa do experimento pode ter ocorrido em função da qualidade do
materiais ou dos
instrumentos de mediçã , osciloscópio e multímetro de bancada.
6. EXERCÍ IOS Expressar a impe ância entre os pontos a-b (Zab) do c ircuito da Figura 8, como Z ab
=
& V ab I &1
(6)
f ( R1 , R2 , L1 , L2 , M , Z C , ω )
=
Figura 8 – Circuito para equacionamento.
Equacionando tal como em (1), sendo vC a tensão sobre a i mpedância ZC: di1 (t ) di2 (t ) v t = R1 .i1 (t ) + L1 . − M. ( ) ab di di v (t ) = − R .i (t ) − L . di2 (t ) + M . d i1 (t ) 2 2 2 C di di
(7)
Analisando em regi me permanente:
V &ab & ZC .I 2
=
(
V&
ab
& V ab I &1
).I&1 − M . jω .I &2 + L1 . jω ).
= −( R2 +
⇒ ( Z C + ( ⇒ V &ab
1
=
(
2
1
L2 . jω ).I&2 . + M . jω .I &1
+ L2 . jω )).I&2 =
+ L1 . jω ).I&1 −
M . jω .I&1 ⇒ I &2
M . jω .
R1 + jω L1 +
M . jω
( Z C + R2 + L2 jω )
M
2 2 ω
( Z C + R2 + jω L2 )
I &1 . I
Z C + R2 + L2 jω
M . jω
& M 2 . j 2ω 2 = ( R1 L1. jω ) − I 1 Z R L j + + ( ) ω C 2 2 = Z ab
=
.I &1
(8)
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7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS FILTROS. Departamento de Telecomunicações T elecomunicações Unicid (Universidade Cidade de São Paulo). Disponível em . Acesso em 08 de Nov. 2011 MUNDIN, Kleber C., Auto-Indutância e Indutância Mútua. Disponível em .Acesso em: 5 de Dez. de 2011
