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7º Relatório de Fisica
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA EXPERIMENTAL II (5268)
OSCILAÇÕES MECÂNICAS
Turma: 005 – Engenharia Química Sign up to vote on this title
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RESUMO O experimento realizado em laboratório e descrito neste relatório teve como objetivo a determinação da constante elástica de molas de forma estática para obter a equação da constante elástica de uma mola em movimento horizontal (caso dinâmico). Para isso foi montado um sistema constituído por um suporte que sustentava um fio inextensível em cujas extremidades era presa uma mola e na outra um “clips” que suportava diferentes massas. Como resultados, foram obtidos as constantes elásticas de três molas helicoidais e a equação da constante elástica de molas em oscilação a partir do resultado encontrado para a constante elástica das molas no caso estático. A determinação da constante elástica das molas nos casos estático e dinâmico foi feita através da análise de gráficos construídos para observar o comportamento das molas quando submetidas a diferentes trações devidas à reação à força peso que as diferentes massas submetiam o sistema.
1. INTRODUÇÃO
Em 1660, R. Hooke (1635 – 1703) estudou o comportamento de sistemas elásticos formados por molas e observou que a deformação sofrida por uma mola com uma de suas extremidades fixa a um suporte aumentava com o aumento da massa suspensa na sua outra extremidade. You're Reading a Preview full access a free trial. Com base em seusUnlock estudos, Hookewith concluiu que os sistemas obedeciam a um comportamento que ficou conhecido como Lei de Hooke: Download With Free Trial
“As forças que causam deformação em corpos elásticos é proporcional à deformação causada.” (Lei de Hooke)
−∆
Sendo um corpo qualquer exercendo uma força de distensão em uma mola, a mola exercerá sobre o corpo a chamada Força Elástisca ( á ). Matematicamente, a Lei de Hooke é expressa da seguinte forma: Sign up to vote on this title
á
=
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- Em que K é a constante elástica da mola, que representa a dureza da mola. Quanto maior o
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OBJETIVOS O experimento realizado em laboratório tiveram como objetivos principais a determinação da constante elástica de molas no caso estático, para assim pode obter a equação de uma mola em oscilação.
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. Aplicação da Lei de Newton ao sistema utilizado no experimento O sistema montado e utilizado no experimento é composto de uma mola helicoidal fixa em um suporte lateral no trilho da Azeheb (ou da Pasco). Na outra extremidade da mola, fixa-se um fio inextensível que passa por uma roldana e suspende diferentes massas com valores conhecidos. Observe a Figura 01 que mostra a esquematização da montagem do sistema:
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seja, quando não há forças atuando no sentido de alterar o comprimento da mola) e é a nova posição que a mola ocupa quando é exercida uma força sobre ela.
2.2. Movimento Harmônico Simples (MHS) Na natureza existem diversos tipos de movimentos em que pode ser observada certa periodicidade. Um tipo bastante simples, mas de grande interesse são os movimentos oscilatórios em que a força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento x da posição de equilíbrio. Quando isso ocorre, dizemos que o corpo elástico é ideal e obedece à lei de Hooke. A montagem experimental descrita neste relatório é um exemplo de sistema em que ocorre esse tipo de oscilação, mais conhecida como Movimento Harmônico Simples (MHS).
2.3. MHS e o Movimento Circular e Uniforme Quando o sistema massa-mola mostrado na Figura 01 é posto a oscilar horizontalmente, verifica-se que um ponto situado na junção do fio inextensível com a mola percorre um caminho de vai-e-vem em torno de uma reta. Se colocarmos um corpo para girar em um movimento circular e uniforme, verificaremos que a projeção desse movimento representa de forma muito adequada o que ocorre no movimento de oscilação da mola, sendo que a reta percorrida no movimento de vai-e-vem do ponto na mola representa um diâmetro da You're Reading a Preview circunferência. Observe a Figura 02 que representa a comparação entre o movimento de oscilação da mola com o movimento circular e uniforme. Unlock full access with a free trial. Download With Free Trial
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Observe que à medida que ocorre o movimento de oscilação do ponto representado por uma bola cinza, um ponto representado por uma bola preta é a sua projeção sobre o eixo que representa um diâmetro do círculo no qual o mesmo corpo efetuaria um Movimento Circular e Uniforme.
2.4.Molas Os materiais conhecidos como molas são aqueles que possuem características elásticas e que armazenam energia mecânica (energia potencial elástica). São geralmente feitas de aço temperado. As molas utilizadas no experimento realizado eram do tipo helicoidal (bobina).
2.5.Força Elástica Na Física Clássica, uma mola pode ser vista como um dispositivo capaz de armazenar energia potencial elástica quando sujeita a uma deformação (compressão ou distensão). Muitas das forças de interações entre dois ou mais corpos são caracterizadas como forças elásticas. Essas forças são devidas à deformação sofrida por um corpo elástico, que no caso dos experimentos descritos trata-se de uma mola helicoidal. O estudo das interações elásticas é mais interessante quando se é utilizado um corpo com propriedades elásticas apreciáveis, uma vez que não existem corpos perfeitamente rígidos. Nesse caso, uma mola comporta-se perfeitamente para oYou're propósito dest e estudo. Reading a Preview Unlock fullcomo accesselásticas with a freesão trial. As deformações conhecidas aquelas que desaparecem quando cessam as forças que causaram esta deformação. Download With Free Trial
2.6.Caso Estático Considerando o sistema montado em equilíbrio (sem oscilação horizontal e vertical), com uma determinada massa suspensa, e utilizando a 2ª Lei de Newton, teremos a seguinte expressão para a constante elástica no caso estático: Sign up to vote on this title
No eixo y
Not useful No eixo x
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Juntando as expressões (1) e (2), obtemos:
∆ ∆ .
=
= .
( )
2.7. Caso Dinâmico
Quando o sistema oscila em torno do ponto de equilíbrio , e por isso possui aceleração não nula, a abordagem muda e passa a ser considerada um caso dinâmico. Observe a Figura 02 que representa a nova abordagem do sistema:
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Mas a resultante das forças atuantes no sistema é a somatória da força elástica exercida pela mola sobre o corpo com a força peso exercida pelo corpo sobre a mola, ou seja, = . Assim: á
∑ −
− =
á
( )
Porém, temos conhecimento de que a aceleração de um corpo é dada pela derivada de segunda ordem de sua função horária do espaço. Então: =
( )
Dessa forma, substituindo o novo valor para a aceleração de (6) em (5), e sabendo que = + representa a posição da mola quando há uma força atuando sobre ela, temos, com as devidas substituições:
− − − − − ′− =
Como =
+
, então:
(
+
(
)=
+
You're Reading a (Preview + ) =
)
( )
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Mas da parte estática sabemos que: Download With Free Trial .
=
Ou seja:
=
( )
Assim, substituindo (8) em (7), teremos: =
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E substituindo (10) e (11) em (9), obtemos:
=
Mas sabemos que o valor de
(
)
é dado por
=
(
)
Em que T é o período do movimento de oscilação. Assim, substituindo (13) em (12), obtém:
2
4
=
=
Finalmente, isolando K, obteremos a equação para a constante elástica da mola no caso dinâmico: =
(
)
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3. Teoria de erros Download With Free Trial
As medidas experimentais são divididas em duas categorias:
medidas diretas: são medidas obtidas com o auxílio de instrumentos. Essas, dividem-se ainda em medidas diretas de uma única medida e medidas diretas de várias medidas. Sign up to vote on this title Medidas indiretas: são quantidades numéricas equações cujos Useful através obtidas Notdeuseful dados já determinados foram obtidos por meio de medidas diretas.
Uma medida experimental, seja ela direta ou indireta, deve ser expressa da seguinte
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Formas e/ou Equações para obter os desvios das grandezas mensuradas:
Uma única medida:
O desvio no caso da utilização de uma única medida é denominado incerteza, e essa pode ser obtida de duas maneiras. O fabricante do instrumento pode informar o valor, e assim, deve-se utilizar o desvio fornecido. Quando não tem um valor previamente estabelecido, adota-se a metade da menor divisão do instrumento de medida como a incerteza. Além disso, deve-se considerar outros tipos de influências como a de paralaxe, sendo esta acrescentada ao valor final. Um exemplo de incerteza foi quando se mediu o Δx da mola com a escala da trilho que estava dividida em centímetros, sendo que esta possui a menor divisão de 0,1cm, então uma incerteza de 0,05cm.
Várias medidas
Para obter o valor da medida, é necessário fazer a média aritmética dos valores You're Reading a Preview encontrados, utilizando-se a seguinte equação: Unlock full access with a free trial.
⋯
1 Download + With+Free+Trial = = ( 15)
Na qual x é a grandeza medida e N é o número de medidas efetuadas. Sign up to vote on this title
Com o valor médio determinado, o desvio padrão é dado pela seguinte equação:
1
(
)
Useful
(16)
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São resultados determinados com o auxílio de equações, como multiplicações ou divisões, cujas variáveis já existentes, foram obtidos por meio de medidas diretas. Quando é necessário utilizar essas equações para obter a grandeza desejada, aplica-se o logaritmo neperiano na equação, para assim obter a incerteza associada a grandeza.
ln
=
( 17)
Para calcular o Peso, utiliza-se a seguinte equação: =
( 18)
E aplicando o logaritmo na equação, lembrando que g possui um valor exato, e então seu desvio é zero, obtemos a seguinte equação: =
Desvio percentual
( 19)
Ao final do experimento, chegamos a um resultado obtido através de equações que a Preview envolvem as medidas encontradasYou're duranteReading a execução. Este é o resultado experimental. Porém, existe a teoria já desenvolvida, que informa os resultados teóricos do experimento, ou seja, os Unlock full access with a free trial. resultados ideais. Então, para verificar se a diferença entre os resultados esta dentro do esperado, e assim poder analizar os fatores que provocaram a dicrepância, calcula-se o desvio Download With Free Trial percentual através da seguinte equação:
− %
=
|
|
100%
( 20)
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4. Procedimentos Instrumentos: Trilho da Pasco Roldana Fio inextensível Clips 1 mola de comprimento 0,02m 1 mola de comprimento 0,04m 1 mola de comprimento 0,06m Régua (±0,05cm) Paquímetro (±0,05cm) Balança (±0,01g) Massas Cronômetro
4.1. Montagem do sistema Para possibilitar a execução experimental, foi montado um sistema constituído de um trilho da Pasco, que possui um suporte lateral acoplado a si, responsável por fixar a extremidade de uma mola helicoidal no sistema. A outra extremidade da mola foi presa a um fio inextensível. Este passa por um roldana localizada na extremidade oposta ao suporte lateral do trilho, e tem como finalidade suspender diferentes massas com valores controlados, para evitar que esses ultrapassem 150g, pois assim pode ocorrer deformação da mola por excesso de massa. Reading a Preview As massas são inicialmente presasYou're com um laço a um pequeno pedaço de fio, e para suspender essas no fio inextensível que estáUnlock ligadofull a mola, é utilizado um clips. access with a free trial.
4.2. Etapa 1 - Parte elástica: nesta etapa, o objetivo era obter as constantes elásticas Download With Free Trial das molas Após a montagem do sistema, colocou-se uma pequena massa de valor indeterminado, presa ao fio por um clips, de maneira que a mola fique em equilíbrio, ou seja, sem “barriga” e assim paralela ao trilho. Esta posição é determinada com o auxílio de uma régua, colocando esta perpendicular à extremidade da mola ligada ao fio, e assim demarcando o valor determinado pela escala dada em centímetros existente no trilho. Esta é considerada a Sign up to vote on this title posição inicial(x0). Em seguida, outra massa com valor aferido em uma balança(±0,01g), foi Usefulfinal useful suspensa junto ao fio. Observou-se um deslocamento e aposição mola teve seu valor daNot verificado novamente na escala do trilho e anotado para assim obter a deformação ( Δx). Mais três massas de valores determinados, sempre menores do que 150g, foram suspensas, uma por
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realizar cinco oscilações completas. O tempo foi medido mais duas vezes. Dividindo o valor médio dos tempos pelo número de oscilações, obteve-se o período(T). O processo repetiu-se para mais 3 massas diferentes, que também tiveram seus valores determinados em uma balança e limitados para não deformar a mola por excesso de massa.
Etapa 2.b - Comprimento da mola variável e massa suspensa fixa Nesta etapa foram utilizadas as três molas de diferentes constantes elástica, já determinadas na Etapa1 e escolheu uma das 4 massas já utilizadas para permanecer constante no sistema. A massa de valor 142,03g, que tem a finalidade de provocar deslocamento na posição inicial da mola, foi escolhida para permanecer suspensa. Em seguida, puxou-se o fio junto à massa, até um determinado deslocamento, fazendo com que o sistema abandonasse a condição de equilíbrio. Liberou-se o sistema, que começou a oscilar. Com o auxílio de um cronômetro, foi determinado três vezes o tempo total de cinco oscilações. O valor médio dos tempos foi dividido pelo número de oscilações para obter o período(T). O processo foi realizado três vezes, variando em cada vez o comprimento da mola em análise e permanecendo constante a massa suspensa.
5. RESULTADOS E INTERPRETAÇÃO DOS RESULTADOS Nessa parte do relatório será demonstrado as grandezas obtidas experimentalmente e através dessas grandezas chegar ao que se espera teoricamente sobre o movimento.
5.1 – Parte Estática
You're Reading a Preview
5.1. a – Resultados medidos Experimentalmente:
Unlock full access with a free trial.
A tabela a seguir contem os valores experimentais obtidos para a massa, variação da posição da mola. Download With Free Trial
Tabela 01 – valores dos comprimentos das molas, massa e variação do deslocamento com seus respectivos desvios. L = (2,00±0,05) cm ms(g) ∆x(cm) 50,82±0,01 (4,50±0,05) 101,47±0,01 (9,40±0,05) 121,79±0,01 (11,40±0,05) 142,03±0,01 (13,40±0,05)
L = (4,00±0,05) cm L = (6,00±0,05) cm ms(g) ms(g) ∆x(cm) ∆x(cm) Sign up to vote on this title (16,10±0,0 50,82±0,01 (9,00±0,05) 50,82±0,01 Not useful 101,47±0,01 (19,00±0,05) 101,47±0,01 (31,90±0,0 Useful 121,79±0,01 (23,00±0,05) 121,79±0,01 (38,10±0,0 142,03±0,01 (27,40±0,05) 142,03±0,01 (43,40±0,0
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(9951±1).10 (11944±1).10 (13928±1).10
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(9,40±0,05) (11,40±0,05) (13,40±0,05)
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(9951±1).10 (19,00±0,05) (11944±1).10 (23,00±0,05) (13928±1).10 (27,40±0,05) g = 980,665 cm/s2
(9951±1).10 (11944±1).10 (13928±1).10
(31,90±0,0 (38,10±0,0 (43,40±0,0
A partir dos dados da tabela 02 será confeccionado um gráfico para as três molas:
Mola 2cm Reta Ajustada Mola 2cm Mola 4cm Reta Ajustada Mola 4cm Mola 6cm Reta Ajustada Mola 6cm
160000
Y =4710,57106+10057,42211 X 140000
Y =6248,82876+4886,0868 X 120000
Y =-3037,55314+3244,90141 X
) s a 100000 n i d ( o s e 80000 P
60000
40000 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
x(cm) a Preview You're Reading
Unlock full access with a free trial.
Figura 01 – Gráfico ajustado da Força peso(dinas) pela variação do espaço ∆x(cm). Download With Free Trial
Como os gráficos são lineares logo a equação é do tipo: P = C ∆x Como a Força peso é dada em dinas e a variação dovote deslocamento Sign up to on this title é dado em centímetros a constante de proporcionalidade C tem unidade igual a dinas/centímetros, e no Useful Not useful sistema representa a constante elástica da mola utilizada em cada caso.
De acordo com as equações das retas ajustadas os valores das constantes
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Tabela 03 – Valores normalizados da constante elástica e do comprimento da mola utilizada. Constante Elástica (K) (Dinas/cm) 1 2,05 3,1
Comprimento da mola (L) (cm) 1 2 3
Através dos valores das constantes obtidas e da tabela normalizada pode-se concluir que a constante elástica varia linearmente em relação ao comprimento da mola, onde quanto maior o comprimento da mola menor o valor da constante elástica. Kα
5.2 – Parte Dinâmica 5.2.1 – Relação entre a massa e o período 5.2.1. a – Resultados medidos experimentalmente: A tabela a seguir mostra osReading valores obtidos experimentalmente para a massa e o You're a Preview tempo de 5 oscilações: Unlock full access with a free trial.
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Tabela 04 - Dados Experimentais. ms massa do sistema, tm tempo médio (5 oscilações). ms(g) 50,82±0,01 101,47±0,01 121,79±0,01 142,03±0,01
t1(s) 2,15 3,18 3,47 3,59
L = (2,00±0,05) cm t2(s) t3(s) tm(s) 2,09 2,13 2,12±0,03 vote on this title 3,10 Sign up to3,12 3,13±0,04 3,41 Useful 3,47 3,45±0,04 Not useful 3,66 3,59 3,61±0,04
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A partir da Tabela 04 foi feito um gráfico onde o logaritmo da massa esta localizada no eixo das ordenadas e o logaritmo do período nas abscissas. Pontos Experimentais Reta Ajustada
2,2
Y =2,39728+1,86474 X
2,1
2,0 M g 1,9 o L
1,8
1,7
-0,40
-0,35
-0,30
-0,25
-0,20
-0,15
-0,10
Log T
Figura 02 – Gráfico do log ms(gramas) pelo log Tm(segundos) para mola de L igual a 2 cm.
You're Reading a Preview Unlock full access with a free trial.
O gráfico obtido segue um polinômio como o demonstrado a seguir onde n é o grau With Free Trial do polinômio e C1 uma constante Download de proporcionalidade. m =C1Tn
(20)
Aplicando a função logarítmica na equação 20 tem-se que: Log m = Log C1 + n.Log T
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Utilizando da equação da reta ajustada na figura 02 para encontrar o valor de n que Useful Not useful é o coeficiente angular da reta tem se que n = 1,865 ≈ 2.
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7º Relatório de Fisica
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Relatorio de Fisica
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Tabela 06 – Dados experimentais, valor fico da massa suspensa (ms ), comprimento da mola L variável e t o tempo de cada oscilação. L (cm) 2,00±0,05 4,00±0,05 6,00±0,05
t1(s) 3,75 5,47 6,70
ms = 142,03±0,01 g t2(s) 3,87 5,50 6,65
t3(s) 3,75 5,44 6,72
tm(s) 3,79±0,07 5,47±0,03 6,69±0,04
5.2.2. b – Interpretação dos resultados:
Com os dados obtidos na tabela 06, foram obtidos os valores para os períodos através da equação 5 e seu desvio através da equação 5.
Tabela 07 – Dados Experimentais. L o comprimento da mola, K constante elástica obtida na parte I (estática), T m é o período médio. L (cm) 2,00±0,05 4,00±0,05 6,00±0,05
ms = 142,03±0,01 g K(dinas/cm) 10057,41±38,25 4886,08±9,27 You're Reading a Preview 3244,90±3,97
Tm(s) 0,758±0,014 1,094±0,006 1,338±0,008
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Com os dados da Tabela 07 foi confeccionado um gráfico onde o Log K(constante Download With Freenas Trial elástica) esta no eixo das ordenadas e o Log T(período) abscissas:
Pontos Experimentais Reta Ajustada
Y =3,76421-1,98296 X 4,0
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A partir da Figura 03 foi possível determinar a relação entre as grandezas que segue o seguinte polinômio: K = C2Tn
(21)
Utilizando a função logarítmica tem-se que: Log K = Log C2 + n.Log T Como na equação da reta ajustada o coeficiente angular é o valor de n, tem-se então que n= -1,983 ≈ -2. Com o valor de n a equação (21) acima pode ser escrita como: Kα
5.3 – União entre as partes 4.2 e 4.1
As relações obtidas anteriormente para massa e período e também para constante elástica e o período podem formar uma única relação envolvendo as três grandezas: Como m α T2 e K α
juntando as duas relações tem-se que: You're Reading a Preview
(22)
α a free trial. Unlock full accessTwith
Pode ser escrita como: Download With Free Trial T =C
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A unidade da constante de proporcionalidade entre T e demonstrada abaixo:
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é adimensional como
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Pontos Experimentais Reta ajustada 1,4
Y =-0,00876+6,44546 X 1,3
1,2
1,1 ) s ( T 1,0
0,9
0,8
0,7 0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
1/2
(m/k) (s)
Figura 06 – Gráfico do período(segundos) pela raiz quadrada da razão massa/constante elástica(segundos). Utilizando a figura 06 para obter o valor da constante de proporcionalidade C, You're Reading a Preview temos que o valor de C é o coeficiente angular que pela equação da reta ajustada vale 6,45. with(22), a free trial. Substituindo o valorUnlock de Cfull naaccess equação tem-se a equação final para o caso
dinâmico:
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T = 6,45
Que pode ser escrita como:
= 6,45
(23)
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5.4 – Comparação das equações obtidas com as teóricas:
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Como teoricamente a constante da equação (23) deveria ser igual a 2π, como é demonstrado na equação (14) na parte teórica, o qual tem um valor aproximadamente de 6,28, tem que o desvio percentual da constante de proporcionalidade C é dado por: D%C=
| ,
,
,
|
.100% = 2,7%
Testando essa equação para os valores de massa e período da tabela 04, obtemos os seguintes valores das constantes elásticas que diferem muito pouco dos obtidos na parte 4.1 como podemos ver nos desvios percentuais:
Tabela 08 – Valores das constantes elásticas obtidos pela equação teórica comparado com os valores obtidos experimentalmente para a mola de 2 cm. m(g) 50,82 101,47 121,79 142,03
T(s) 0,424 0,626 0,690 0,722
6. Análise de Resultados
Kdin 11760,40 10772,29 10642,23 11335,09
Kest 11074,98 10585,97 10476,77 10394,32
D% 5,8% 1,7% 1,5% 8,3%
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Durante a parte estática do experimento onde foram encontradas as constantes elásticas das molas, ocorreram algumas discrepâncias na medição do deslocamento realizado Download With Freeficar Trial pela mola devido a utilização de uma régua que deveria perpendicular a marcação no trilho e algumas outras imprecisões em relação a massa. Na etapa dinâmica do experimento, que foi dividida em três partes, sendo a primeira parte onde deveria encontrar a relação entre a massa e o período, durante as oscilações ocorreram algumas discrepâncias em relação ao tempo que em que as 5 oscilações terminaram, up to vote on this title alem desse pois foi utilizado um cronometro manual que é difícil de Sign marcar o momento exato, useful encontrado problema a massa suspensa oscilava um pouco fazendo com queoNot período Useful experimentalmente se alterasse, esses erros levaram a um desvio percentual de 6,75% no valor de “n”. Na segunda parte da etapa dinâmica onde se deveria encontrar a relação entre constante
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7. Conclusão O experimento realizado teve como objetivo a determinação da constante elástica de três molas de comprimentos diferentes, sendo elas de 2cm, 4cm e 6cm, e determinar experimentalmente a equação da constante elástica no caso dinâmico. Como resultado, obtevese, relacionando o valor de deslocamento da mola com o valor da massa suspensa obtidos no caso estático através da construção do gráfico de Peso(dinas) X Δx(deslocamento) da mola), a relação de proporcionalidade entre a constante elástica e o comprimento da mola, que são relacionadas inversamente, ou seja, conforme aumenta o comprimento, menor a constante. Assim, podemos concluir que quando se compara molas de mesmo material a constante elástica depende do comprimento. Com relação a parte dinâmica, encontramos experimentalmente a equação para a constante elástica relacionando os valores obtidos de período de oscilação, massa suspensa e constante da mola. A relação entre essas grandezas foi obtida através da construção dos gráficos de log Ms(g) X log T(s) e de log K(dinas/cm)X log T(s) e assim obtemos que o quadrado do período depende diretamente da massa, inversamente da constante elástica da mola e também diretamente de uma constante de proporcionalidade, a qual é adimensional, comparando essa equação obtida (23) com a equação teórica (14) para a constante elástica de uma mola em oscilação é encontrado um desvio de apenas 2,7% próximo ao resultado teórico.
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8. Referências Bibliográficas
1) TIPLER, Paulo A. Física: Mecânica, oscilações e ondas, termodinâmica. São Paulo: LTC, vol 1. 5ª edição. 2) YOUNG & FREEDMAN, SEARS & ZEMANSKY, Física II: Termodinâmica e Ondas. São Paulo: Addison Wesley, vol 2. 12ª Edição, 2008. 3) H. MUKAI e P.R.G. FERNANDES, Apostila de Laboratório de Física I – capítulo 10 e apêndice E, 2008. 4) http://en.wikipedia.org/wiki/Wave acessado em 29/09/2010; 5) http://en.wikipedia.org/wiki/Hooke's_law acessado em 29/09/2010.
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