Escuela Superior Politécnica De Chimborazo Facultad de Mecánica Escuela de Ingeniería Industrial
Algebra Superior
Tema: Funciones y graficas Autor: Cristian Pérez Bryan Fiallos Paul Herrera Denis Solís Luis Rivadeneira
Nombre del docente: ING. Paul Vega Fecha de entrega: 2016-06-14
Tarea Nº 1
RELACIONES Y FUNCIONES RELACION
Una relación de A en B, es un subconjunto del producto cartesiano AxB, que indica una correspondencia entre los elementos del conjunto A llamado dominio con los elementos del conjunto B llamado recorrido o rango, tal que a cada elemento del dominio le corresponde uno o mas elementos en el recorrido. Ejemplo:
Sea A=0,1,16,25 y B=0,-1,1,-4,4,-5,5 Una relación de A en B esta dada por:
(0,0),(1,-1),(1,1),(16,-4),(16,4),(25,-5),(25,5)
A
r
B
0
r Notación A
1
B r denota relación
0
-1
X
±X
1
4
A
B=
16
-4
25
5
(0,0),(1,-1),(1,1),(16,-4),(16,4),(25,-5),(25,5)
-5
Una relación se puede representar fácilmente mediante un diagrama y establecer un apariamiento natural entre los elementos de los conjuntos A y B.
FUNCION
Una función es una relación, con la restricción de que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del recorrido. El conjunto A se denomina conjunto de salida de f o dominio de f, se denota como dominio (f). El conjunto B se denomina conjunto de llegada de f o recorrido, se nota Rec(f). cion es gafr i cas - “Editorial – solu cione Galecio Salinas pag 87” Galecio
Si (X,Y) es un elemento de f. Se dice que Y es la imagen de X por f y se escribe Y=f(X) lo cual se lee “Y es igual a f de X”.
f: A
B
O
A B
X
Y
O
X f(X)
El recorrido o rango de la función se puede definir como, el conjunto constituido por todos los elementos de B que están asociados con los de A. Rec(f)=Y B/Y=f(x), X A La variable de X recibe el nombre de variable independiente. La variable Y recibe el nombre de variable dependiente. En general una variable se a definido como un símbolo que puede ser sustituido por cualquier elemento del conjunto universal. Ejemplo:
Sean A=a,e,i y B=1,3,5,7 Una función f de A en B esta dad por: f=(a,1),(e,3),(i,7)
A
f
B Haciendo uso de la definición de una
función 1
Escribimos :
A
1=f(a) 1 es la imagen de a por f 3 E
3=f(e) 3 es la imagen de e por f 5 I 7 7 es la imagen de i por f 7=f(i)
Dom(f)= a,e,iy Rec(f)=1,3,7-5
Dada una función f:x
y
→
“Editorial – solu ciones gafr icas - Galecio Salinas pag 87”
Dominio
Se llama dominio al conjunto de valores que toma la variable independiente( x). Se indica como Dom f(x).
El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente (y). Se representa como rec f(x)
Fig.1: Propiedad de las funciones Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivassobreyectivas-biyectivas/
La f u nción constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje abscisas .
de
Fig. 2: Grafica de función constante
Fuente: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_constante.html
La f u nción identidad es del tipo:
f(x) = x
Su gráfica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Por tanto la recta forma con la parte positiva del eje de abscisas un ángulo de 45º y tiene de pendiente: m = 1.
Fig.3: Grafica de función identidad Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_identidad La función lineal es del tipo:
y = mx
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. y = 2x
Fig.4: Grafica de función lineal Fuente: http://matefacil01.blogspot.com/2011/05/funcion-lineal.html
Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas es de segundo grado. f(x) = ax² + bx +c
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Representación gráfica
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
Vértice
Por este punto pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es:
Puntos de corte con el eje OX.
En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² - 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² - 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² - 4ac < 0 Punto de corte con el eje OY.
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a· 0² + b· 0 +c = c
(0,c)
Representar la función f(x) = x² - 4x + 3 1. Vértice
x v = - (-4) / 2 = 2
y v = 2² - 4· 2 + 3 = -1
V(2, -1) 2. Puntos de corte con el eje OX. x² - 4x + 3 = 0
(3, 0)
(1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY. (0, 3)
Fig.5: Grafica de una parábola
Fuente: http://www.profesorenlinea.cl/matematica/funcion_cuadratica
FUNCIÓN PARTE ENTERA
La función parte entera de x hace corresponder a cada número real el número entero inmediatamente inferior.
f(x) = E (x)
Fig.6: Grafica de una función parte entera. Fuente: http://www.ditutor.com/funciones/parte_entera.html
f(x) = x - E (x)
Fig.7: Grafico de una función parte entera Fuente: http://www.ditutor.com/funciones/parte_entera.html
f(x) = 2x − E(x)
Fig.8: Función parte entera grafico Fuente: http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Funci%C3%B3nes_parte_entera_y_parte_decimal _(1%C2%BABach)
FUNCIONES RACIONALES
Las funciones racionales son del tipo:
El dominio de una función racional de lo forman todos los números reales menos los valores de x que anulan el denominador. Ejemplo
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
.
Fig.9: Grafico de una Función racional
Fuente: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones
Fig.10: Grafica de función 11cuadrática
Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_racional
La fu nci ón exp one nci al es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a x se llama función exponencial de bas e a y exponente x.
Fig.11: Grafica de funcion exponencial Fuente: http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Fig.12: Grafica de función logarítmica Fuente: http://www.lemat.unican.es/lemat/proyecto_lemat/funciones/nivel1/teoria/funciones18.htm
La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x. f(x) = sen x La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x. f(x) = cosen x
Fig.13: Grafica función coseno Fuente: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_coseno.html La función tangente asocia a cada número real, x, el valor de la tangente del ángulo cuya medida en radianes es x. f(x) = tg x
Fig.14: Grafica función tangente Fuente: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_tangente.html
La función cotangente asocia a cada número real, x, el valor de la cotangente del ángulo cuya medida en radianes es x. f(x) = cotg x
Fig.15: Grafica de la función cotangente. Fuente: http://prepa8.unam.mx/academia/colegios/mate/Matematicas_VI/Applets_Geogebra/derivad afuncioncotangente.html
La función secante asocia a cada número real, x, el valor de la secante del ángulo cuya medida en radianes es x.
f(x) = sec x
Fig.16: Grafica función secante Fuente: http://www.ditutor.com/funciones/funcion_secante.html Función inyectaba La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que tenga la misma imagen y .
Fig.17: Ejemplo de función inyectaba y no inyectaba Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivassobreyectivas-biyectivas/
En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:
Ejemplo de función inyectaba La función f ( x) = 2 x+1 es inyectiva.
Fig.18: Grafica de función intectiva Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivassobreyectivas-biyectivas/
Función sobreyectiva
Una función f es sobreyectiva si todo elemento del conjunto final Y tiene al menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.
Fig.19: Ejemplo de función sobreyectiva y no sobreyectiva Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-sobreyectiva/
Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y . En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:
Ejemplo de función sobreyectiva
La función en los números reales definida por f ( x) = x+1 es sobreyectiva.
Fig.20: Grafica de función sobreyectiva Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-sobreyectiva/
Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la función son todos los números reales.
El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y , por lo que la f es sobreyectiva.
Función biyectiva
Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).
Fig.21: Ejemplo de función biyectiva y no biyectiva Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-biyectiva/ Teóricamente, una función f es biyectiva si:
Ejemplo de función biyectiva
La función f ( x ) = 2 x definida en los números reales es biyectiva.
Fig.22: Grafica de función biyectiva Fuente: http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-biyectiva/
Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad:
Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales.
TI CS Para grafi car fu nciones
graficar funciones matemáticas. Nombre el eje vertical Y, y el eje horizontal X. Dependiendo de la ecuación, es posible que necesite utilizar una escala diferente. Las gráficas de la mayoría de las ecuaciones muestran la forma general de la gráfica y puntos de interés entre [-5, 5] y [-10, 10] para ambos ejes. Etiquete la intersección "0"
ráfico T para los valores en la ecuación. Un gráfico T fijará los valores de X y los valores correspondientes de Y. No pierda de vista los valores, cuando X = 0, y / o Y = 0. Por ejemplo, si la ecuación es: Y=2x + 1X | Y----------- -2 | -3-1 | -10 | 11 | 32 | 53 | 7 ----------- -2 | -3-1 | 10 | 11 | 32 | 53 | 7Se generan las siguientes coordenadas dando valores cercanos en la "X" cercanos a 0: (-2, -3), (-1, -1), (0,1), (1,3), (2,5) y (3,7).
Fig.23: Grafico de una función Fuente: http://educacion.uncomo.com/articulo/como-graficar-las-funcionesmatematicas-basicas-1320.html#ixzz4BcOowMQu - Dibuje puntos en el diagrama de ejes que coincidan con sus pares de coordenadas. Empiece con los puntos que tienen un cero en cualquiera de los componentes (cer o significa que están directamente encima del eje). En el ejemplo, vamos a comenzar con (0,1) y seguir dibujando los puntos en cualquier orden.
-Revise los patrones en el gráfico. Si el patrón no está claro, repita los pasos 2, 3 y 4 hasta que pueda ver un patrón. El número de coordenadas puede variar dependiendo de la complejidad de su gráfico. -Utilice el lápiz para dibujar una curva que conecta todos los puntos. Asegúrese de que su curva sigue el esquema de eje. Trate de hacer la curva lo más suave posible. -Escriba la fórmula de la ecuación en la esquina superior derecha de su diagrama. En el ejemplo, la ecuación será y = 2x + 1, también se puede escribir F (x) = 2x + 1. Bibliografía: Funciones Inyectivas, sobreyectivas y biyectivas (2015, 17 de Junio). Universo Formulas desde http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-inyectivas-sobreyectivas biyectivas/ Funciones (2016,13 de enero). Recursostic desde http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones1/quincena8_conte nidos_1c.htm Graficas de funciones (2015, 1 de febrero) http://www.ditutor.com/funciones/graficas_funciones.html
Salinas Galecio (2011) Algebra http://es.slideshare.net/FrnsDvd/galecio-salinas.
Superior
Ditutor
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