Unidad 3.Relaciones de Recurrencia.
3.1Introduccion. (Conceptos Básicos) 3.2 Relaciones de Recurrencia. 3.3 Soluciones de las Relaciones de Recurrencia. 3.4 Aplicaciones (Algoritmos de Ordenamiento).
3.2 Relación de recurrencia Es una ecuación que define una secuencia recursiva; cada término de la secuencia es definido como una función de términos anteriores. Éstas suelen ser, por lo general, ecuaciones de tercer o cuarto grado. Una ecuación recurrente, es un tipo específico de relación de recurrencia. Una relación de recurrencia para la sucesión es una ecuación que relaciona con alguno de sus predecesores . Las condiciones iniciales para la sucesión son valores dados en forma explícita para un número finito de términos de la sucesión. Resolver una relación de recurrencia consiste en determinar una fórmula explícita (cerrada) para el término general , es decir una función no recursiva de n. Un ejemplo de una relación de recurrencia es el siguiente:
3.3 SOLUCION DE RELACIONES DE RECURRENCIA Lo haremos resolviendo una relación de recurrencia asociada a la sucesión que consiste en determinar una fórmula explícita para el término general. Existen dos métodos para resolver relaciones de recurrencia: la iteración y un método especial que se aplica a las relaciones de recurrencia lineales homogéneas con coeficientes constantes, aunque existen otros métodos más poderosos, como aquellos que utilizan funciones generatrices. Para resolver una relación de recurrencia asociada a la sucesión . por iteración , utilizamos la relación de recurrencia para escribir el n-ésimo término a n en términos de algunos de sus predecesores Continuamos hasta obtener una fórmula explícita. Emplearemos el método iterativo para resolver la relación de recurrencia. *EJEMPLO Podemos resolver la relación de recurrencia (3.3.1)
sujeta a la condición inicial
por iteración. Al reemplazar n con n – 1 en la ecuación(3.3.1), obtendremos
entonces si sustituimos esta expresión para obtendremos
en la ecuación (3.3.1),
Al reemplazar n con n – 2 en la ecuación 3.3.1, obtenemos
por lo tanto si sustituimos esta expresión para obtendremos
en la ecuación (3.3.2),
En general , tenemos
Si hacemos k = n – 1 es está última expresión, tendremos
Como
, ahora obtenemos la fórmula explícita para la sucesión de a.
EJEMPLO. (Crecimiento de Poblaciones ) Suponga que la población de venados en Rustic Country es de 1000 en el instante n = 0 y que el incremento desde el instante n – 1 hasta el instante n es 10% del tamaño en el instante n – 1. Escriba una relación de recurrencia y una condición inicial que defina la población de venados en el instante n, y luego resuelva la relación de recurrencia.
Sea
la población de venados en el instante n.
Como condición inicial tenemos
El incremento del instante n – 1 al instante n es . Como este incremento es igual a 10% del tamaño en el instante n – 1 , obtenemos la relación de recurrencia
que también se puede escribir como .
Entonces resolviendo la relación de recurrencia por medio del método de iteración resulta:
3.4 Aplicaciones (Algoritmos de Ordenamiento) La conexión con el análisis de algoritmos estriba en que la forma que se ha adoptado para medir las complejidades, utiliza funciones cuyo dominio son los números naturales, o en otras palabras, sucesiones. Si el algoritmo es recurrente, es de esperarse que las complejidades, como funciones que estiman la demanda de recursos a lo largo de la ejecución, sean sucesiones que satisfacen ciertas ecuaciones de recurrencia. En un algoritmo recursivo, la función t(n) que establece su complejidad viene dada por una ecuación de recurrencia. Una ecuación de recurrencia nos permiten indicar el tiempo de ejecución para los distintos casos del algoritmo recursivo (casos base y recursivo). Ejemplo : Cálculo del factorial int Fact(int n){ if(n<=1) return 1; else return n*Fact(n-1);
}
Considerando el producto como operación básica, podemos construir la ecuación recurrente para calcular la complejidad del algoritmo como sigue: Como se ve en el código el caso base es para n<=1, para estos valores de n el número de multiplicaciones que se realiza es 0. Y en otro caso es 1 más las necesarias para calcular el factorial de n-1. Así construimos la función recurrente:
Ahora si resolvemos la ecuación recurrente sabremos la complejidad de este algoritmo en función de n. Procedemos a resolver esta ecuación recurrente no lineal:
resolvemos la homogénea:
resolvamos ahora la particular:
como la particular' coincide con la r, debemos aumentar el grado multiplicando por n
por lo que la solución de la ecuación recurrente queda como sigue:
Ahora calculamos c utilizando el caso base, t(1) = 0
ya tenemos la solución: t(n) = n - 1 La ecuación que nos ha quedado es de grado 1 por lo que la complejidad es del orden exacto de n -> θ(n) Por ejemplo para calcular el factorial de 3 necesitaremos t(3) productos lo que es igual a
Como vemos son 2 productos como nos ha devuelto la ecuación.
CENTRO UNIVERSITARIO DE LA COSTA AMPARO GARCIA GARCIA MATEMATICAS DISCRETAS
Pto. Vallarta Jalisco, 27 de Mayo del 2011
