4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 9 números
= 72 + 24 + 2
= 98
1103
ab 3 : 103 ; 113 ; 123 203 ; 213 ; 223
Se observa :
II. NUMERACIÓN
1. DEFINICIONES PREVIAS a) NÚMERO.- Es una idea, nos da la idea de cantidad.
(-)
Luego :
b) NUMERAL.- Es la representación simbólica del número. c) CIFRAS.- Son los símbolos que utilizan los numerales. Ejemplo: número
Cifras
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN Es un conjunto de principios fundamentales que rigen en todo sistema de numeración. Dichos principios son:
DEL ORDEN Y LUGAR DE LAS CIFRAS Ejemplo: 5 4 3 2 1 Orden 4
7
2
8
3
Lugar 1
2
3
4
5
Cifra de orden 4 : 7 Cifra de lugar 3 : 2
DE LAS CIFRAS Y LA BASE 12 139
157
NUMERAL CAPICÚA
Es aquel cuyas cifras equidistantes son iguales.
y
= 1 x 42 + 2 x 4 + 3 16 + 8 + 3 = 27
DE BASE “10” A BASE “N”
Método: Divisiones sucesivas 25 Base 8
ANITALAVALATINA ANITALAVALATINA
(-)
DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA A mayor numeral aparente aparente menor base. A menor numeral aparente aparente mayor base.
2345 = 2 X 103 + 3 X 102 + 4 X 10 + 5 = 4 X 52 + 3 X 5 + 2
4325
PRINCIPALES SISTEMA DE NUMERACIÓN
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
SISTEMA Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal Undecimal Duodecimal
CIFRAS QUE UTILIZA 0,1 0,1,2 0,1,2,3 0,1,2,3,4 0,1,2,....5 0,1,2,....6 0,1,2,....7 0,1,2,....8 0,1,2,....9 0,1,2,....(10) 0,1,2,....(11)
Cifra = 10 Cifra = 11 Cifra = 12
REPRESENTACIÓN LITERAL ab : 10; 11; 12; 13; 14; . . . 99
aa : 11; 22; 33; 44; . . . . 99
8
2 4
3 318
127 Base 9
= 117 12 7
12203 = 1 X 32 + 2 X 32 + 2 X 3
9
9
14
9
37
9
1
128 + 48 + 4 + 2 = 182
36
9 + 2 X 9 + 6
1519
5
1
9 + 18 + 6 = 33 DE BASE “n” A BASE “m”
Caso particular: Por bloques: abab
=
ab x 102
+
= 100 ab +
Método: Descomposición polinómica y luego divisiones sucesivas.
ab
ab =
101
ab
BASE n abab5 =
BASE 10
BASE m
ab5 x 52 + ab5
descomposición polinómica
= 25 ab5 + ab5 En adelante : Sistema de base 13, sistema de base 14, etc. Consideraciones :
2 5
1
23124 = 2 X 43 + 3 X 42 + 1 X 4 + 2
divisiones sucesivas
= 26 ab5 ababab3
=
ab3 x 34 + ab3 x 32 + ab3
= 81 ab3 + 9 ab3 +
ab3
= 91 ab3
PROPIEDADES: NUMERAL DE CIFRAS MÁXIMAS 99
= 102 – 1
DE BASE “n” A BASE 10
999
= 103 - 1
Método: Descomposición polinómica
667
=
72 - 1
5556
=
63 - 1
4444445 =
56 - 1
CAMBIOS DE BASE
2315
90 números 206
extremas
383, 3883, 4884, 555, 7777, x y y 8x
(+)
157 = 1103 (+)
BASE
Luego: Numeral = 8
Cifra < Base Base mínima = 2 12 = 139 = 157 = 206 = 1103
1234 6 números
2426
= 2 x 52 + 3 x 5 + 1 = 50 + 15 + 1 = 66 = 2 x 62 + 4 x 6 + 2
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA (n - 1) (n - 1) . . . (n - 1)n = nk – 1 “k” cifras
2) ¿Cuántas cifras tiene un numeral en el que la cifra de sexto orden, ocupa el quinto lugar?
6) Si : aaa5
aaa
5
21 = 2 1 = 21 = 27 31 4
31 4
12 =
(13) cifra quinto lugar
(3m)(m 1)(m 6)8 . Halla “m”
1c
5 b)
107
124 = xy304 124 4 124 31
24
ab5
cd7
72 -
7
cd7
7
cd7
48
3 a) 342(5) d) 324(5)
Solución: 1
a=2 a=3
3).- Convierte el número 73 al sistema de base 5
3 4 1
(a 3) (2a - 3)7
667
4
0 28 7 4
4) Si el numeral está bien escrito, calcuela la suma de los valores que puede tomar “a”.
EXTREMOS DE UN NUMERAL a) 105 ab 5 445
(-)
a>3
Luego: 445 = xy304
Rpta: 1
x
c) 2121(3)
xy30a
a<5
Solución: m = 1 3278
1b
=
b) 2112(3) e) 1122(3)
a = 4
3) Si el numeral está correctamente escrito.
= a +b +c +x
1a
a) 1212(3) d) 2211(3)
(+)
(+)
sexto orden
Rpta: 10 cifras
2 + 3 + 4 + 6 = 15
13 14 6
2).- Convierte el número 50 al sistema de base 3
xy30a . Halla : x + y
(-)
Solución:
BASES SUCESIVAS
Solución :
b) 243(5) e) 432(5)
c) 234(5)
124 = 133044 517 637
x=1
y=3
Pide : x + y
Rpta : 4
Pide suma de valores de a c)
1005 mnp5 4445 52
mnp5 53 - 1
25 mn p5 124
PROBLEMAS RESUELTOS 1) ¿Cuántas cifras tiene un numeral en la cual se cumple que la cifra de cuarto lugar, se encuentra en el tercer orden?
Solución:
5) Calcula “a + b” si los numerales : 12ab
1024a
3b47
están correctamente escritos.
Solución: a
a>4
6 cifras
tercer orden
Pide: a + b
NIVEL I 1).- Pasa a base 10 el numero 101111(2) : a) 48 d) 45
b) 42 e) 47
c) 36
b<7
4 < a < b < 7 5 6
cifra cuarto lugar
Rpta:
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02
Rpta: 2 + 3 = 5
Rpta: 11
4).- Convierte a base 11 el número 2157. a)1691(11) d) 2564(11)
b)1595(11) c)1581(11) e) 1391(11)
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 5).- Convierte el número 201(4) al sistema de base 9 a) 53(9)
b) 35(9)
c) 34(9) d) 43(9) e) 55(9)
6).- Convierte el número 1240(5) al sistema de base 3 a) 165(3) b) 175(3) c) 185(3) d) 195(3) e) 197(3)
7).- Convierte el número 2107(6) al sistema 8 a) 337(8) b) 733(8) c) 373(8) d) 713(8) e) 731(8)
8).- La suma de 537 (8) + 7651(8) es: a) 10410(8) b) 14010( c) 10140(8) d) 10041(8) e) 114010(8)
9).- Convierte 243(8) a base 10 y dar como respuesta las cifras que ocupa el orden de las unidades. a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
b) 6
c) 7
d) 8
3a5 (8) =245
e) 6
12).- ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a 8 veces la suma de sus cifras?
14).- En que sistema de numeración se cumple 23(n) +54(n) = 110(n) a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 10
15).- Si los numerales están correctamente escritos, Halla a + b 4a1 (8) ; 235 (b); 1b2 (a)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a) 13
b) 12
c) 10
d) 9
e) 15
e) 6
10).- si 26 =42 n, el valor de n es: a) 5
11).- Halla “a” para que se c umpla: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
13).- Halla “a” si cumpl e: a) 3 b) 4 c) 5 e) 9
a53 (7) = 1a1a (5)
d) 2
e) 1
16).-Si 33x = 23(x+2), el valor de x es : a) 4
b) 6
c) 7
d) 8
e) 2
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 17).- Si mp (7) es igual al triple de pm (7) calcular (p + m) a) 12 b) 8 c) 15 d) 10 e) 6
18).- Calcular ”n”; si : ab5 (n) = 1n4 (7) a) 8 b) 9 c) 1 d) 6 e) 5
19).- ¿Cuántos números de 2 cifras resultan ser 5 veces la suma de sus cifras? a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) 5
20).- Halla “a” para que se cumpla : 3a5 (8) =245 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
2).- Calcula ”n”; si : ab5 (n) = a) 8 b) 9 c) 1 d) 6
21).- Expresar el numeral 352(6) en base 7
3).- Si los números: 33 (n), nn (m), mm (6); están representados, calcula (m+n). a) 8 b) 9 c) 7 d) 10 e) 11
a) 120(7) d) 310(7)
b) 280(7) e) 260(7)
e) 5
a) 24 b) 23 c) 22 d) 21 e) 20
c) 150(7)
NIVEL II 1).- Si se cumple 2153 n = a+b+c+n a) 10 b) 11 d) 13 e) 14
5).- ¿Cuántos numerales hay desde 34(5) hasta 56(7)?
1n4 (7)
bien
4).- Si los numerales están correctamente 1abc (7)
; halla :
c) 12
escritos. 22p (n) ; n31m (6) ; Halla: m+n+p a) 12 b) 15 c) 8 d) 10
1002 (p) ; 2n1 (m).
e) 11
6).- La diferencia entre 140 (n) y 122(n) es igual a la diferencia entre 23456 y 23440, indicar el valor de n. a) 6
b) 5
c) 8
d) 9
e) 7
7).- ¿Cuántos números enteros hay entre 104(4) y 122(3)? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 8).- Halla a + b +c s i : 81m a) 2
b) 4
9).- Si : abc (5 ) a) 1
b) 2
c) 5
abcm( 9)
d) 7
e) 8
89 , halla el valor de a+b-c
c) 3
d) 4
e) 5
11).- Halla el valor d k s i (k 1)(k 1)(k )
a) 15 b) 14
c) 13
b) 6
c) 7
143
d) 12 e) 11
12).- El valor de : a + b en aaa ( 6) a) 5
d) 8
bba (7) es :
e) 9
14).- Determina la suma de cifras de: 6(b 4)(b a)ab si es capicúa. a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30
15).-Halla (m+n+p) si : 136(n) 33n(p) 13m(n) a) 8
b) 24
c) 12
44p
d) 16
e) 18
17).- Halla el valor de a + b si ab(7) a) 3 b) 4 c) 5
d) 6
ba( 4)
e) 7
122 6 x240 5 y expresarlo como 18).- Calcula 120 5 un número en base 3.
(los subíndices indican las bases) a) 120023 d) 122123
10).- ¿Cuántos números naturales hay desde el 45(7) hasta el 125 (6) a)23 b) 22 c) 21 d) 20 e) 19
13).- Halla cuántos numerales de dos cifras son iguales a 7 veces la suma de sus cifras. a) 4 b) 5 c) 6 d) 3 e) 7
16).- Si ab(a 1)( 6) a) 6
b) 8
142 ; Halla el valor a+ b
c) 10
d) 12 e) 14
b) 210023 e) 120203
c) 102013
19).- Al expresar 242 en base 7 se obtuvo ana (7) calcula la suma de cifras al expresar en base n. b) 9 c) 10
aaaa (5)
a) 8
d) 11 e) 12
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 20).- Si se cumple que: 14641 (n) =1000(8), convertir 62(n) al sistema undecimal a) 44(11) b) 42(11) e) 39(11)
c) 41(11)d) 40
23).-Halla x si : x2x 11xx (7) a)2 b) 4 c) 6 d) 8
e) 9
III. CUATRO OPERACIONES
(11)
Se conoce con el nombre de cuatro operaciones a una parte de la aritmética que comprende el estudio de las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división.
1. ADICIÓN (+): 24).- Halla x si : 421 (x) = 133(9) a) 5
b) 4
c) 6
d) 7
e) 8
Es una operación directa en la cual, para 2 números cualesquiera llamados sumandos, se obtiene un tercer número que es el resultado de reunir las unidades de los números iniciales. A este resultado se le llama suma o suma total.
a
21).- Si abc( 6) 1224 ( x ) , Halla: a+b+c+x
+
b
=
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
2. SUSTRACCIÓN (-) :
NIVEL I 1) e 4) a 7) b 10)b 13)b 16)a 19)c
2) a 5) b 8) a 11)e 14)d 17)e 20)e
3) b 6) d 9) b 12)a 15)a 18)d 21)e
1) e 4) a 7) a 10)c 13)a 16)b 19)b 22)a 25)b
2) d 5) b 8) a 11)d 14)c 17)a 20)d 23)b
3) b 6) d 9) a 12)c 15)b 18)c 21)e 24)a
NIVEL II 22).- Halla el número de tres cifras que sea igual a 12 veces la suma de sus cifras. a) 108 d) 121
b) 198 e)132
suma
e) 14
CLAVES DE RESPUESTAS
c) 194
Es una operación inversa a la adición en el cual para dos números llamados minuendo y sustraendo, se obtiene un tercer número llamado resta o diferencia. M: minuendo
M – S = D
Operación inversa a la multiplicación, en la cual, para dos números llamados dividendo y divisor (este último diferente de cero), se encuentra un tercer número llamado cociente, de modo que el producto del divisor y el cociente sea el dividendo. D dividendo d divisor ( 0) q cociente
D d = q d x q = D
Sabiendo que r d
r e
d
S
Sumandos
4. DIVISIÓN :
S: sustraendo D: diferencia
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (C.A) Llama así, a lo que le falta a un número para ser igual a una unidad de orden inmediato superior a su cifra de mayor orden:
Unidad de orden Número inmediato superior
C.A
24
102 = 100
100 – 24 = 76
327
103 = 1000
1000 - 327 = 673
PROPIEDAD: a).- S + D = M b).- M + S + D = 2M
945
3. MULTIPLICACIÓN : Es una operación directa, que para dos números llamados multiplicando y multiplicador, se obtiene un tercer número llamado producto, el cual es igual a sumar tantas veces el multiplicando como lo indica el multiplicador.
axb = a+a+a+...+a = P b sumandos
a multiplicando b multiplicador p producto
104 = 10000 10000 – 945 = 55
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 03 BLOQUE I 1) Adiciona las siguientes cantidades en las bases indicadas: a). 241(6) + 151(6) + 42(6) b) 3001(8) + 256 (8) + 500(8) c) 4023(5) + 2322(5) + 24(5)
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 4) Calcula el complemento aritmético en la base pedida: a)
C.A.[ 25304 (8) ]=
b)
C.A.[ 130062 (7) ]=
c)
C.A.[ 60430051 (9) ]=
b) 1223(5) x 23(5)
BLOQUE II
c)
1) Calcula: ( a + b + c ). Si:
3047(9) x 51(9)
abc.999
a) 15
b) 18
....518
c) 14
d) 17
e) 12
2) Realiza las siguientes sustracciones en otras bases: a). 5244(6) - 1312(6) b) 7304(8) - 2603(8)
7) Divide: a) 5480 entre 13 (por defecto)
c) 3024(5) - 1230(5) b) 3824 entre 18 (por exceso) 5) Realiza las siguientes multiplicaciones en las bases indicadas: a). 243(6) x 2(6) b) 532(8) x 3(8) c)
2).- Calcula: ( a2 + b2 + c2 ). Si: Sabiendo que abc.999
r d
r e
....377
d
a) 45
b) 49
c) 34
d) 43
e) 51
1274(9) x 5(9)
3) Calcula el c omplemento aritmético de: a)
C.A.( 51972)=
b)
C.A.( 26014)=
c)
C.A.( 2000144)=
d)
C.A.( 899100200)= 6) Realiza las siguientes multiplicaciones en las bases indicadas: a) 5041(8) x 4 2(8)
3).- Si E: 23532 (9) + 88768(9) Halla el valor de E: a) 123411(9) b) 3243(9) c) 53321(9) d) 12345(9) 4).- E = 23 (5) + 43(5) – 24(5)
e) 33333(9)
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 9).- La suma de 1101 (2)+1000(2)+1001(2) es: Halla el valor de E: a) 43(5) d) 12(5)
b) 42(5) e) 14(5)
a) 11110(2) d) 10111(2)
c) 23(5)
b)11101(2) e)11111(2)
c) 11011(2)
12).- La suma de 3332 (4)+2332(4) es: a) 120330(4) b) 123030(4) c) 102330 (4) d) 123030(4) e) 123300(4) 13).- La suma de 44323(5)+2443(5) es:
7).- La suma de 537 (8) + 7651(8) es: a) 10410(8) d) 10041(8)
b) 14010(8) e) 114010(8)
c) 10140(8)
10).- La suma de 11 (3)+121(3)+12(3) es : 5).- Halla el valor de E: a) 122(3) d) 211(3)
E = 12345 (8) – 5342(8) a) 5003(8) c) 401(8)
b) 7113(8) d) 200(8)
b) 212(3) e) 201(3)
c) 221(3)
e) 500(8) a) 102324(5) d) 123204(5)
b) 120324(5) e) 123240(5)
c) 123024(5)
14).- La suma de 43554 (6)+5453(6) es: 8).- La suma de 1110 (2)+110(2) es: a) 10010(2) d) 11000(8)
a) 53451(6) d) 54531(6)
b) 10001(8) c) 10100(8) e) 11010(8)
11).- La suma de 12211 (3)+1012(3) es : a) 20100(3) d) 20001(3)
6).- Si: abc cba xyz Halla el valor de x + y + z
a) 5 d) 27
b) 9 e) 35
c) 18
b) 21000(3) e) 12000(3)
c) 20010(3)
b) 54351(6) c) 53415(6) e) 53415(6)
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA 15).- Si la suma del minuendo el sustraendo y la diferencia es igual a 18 halla el valor del minuendo. a) 5 d) 10
b) 7 e) 8
20).- Si el multiplicador de una multiplicación es igual a 57 y el producto es 1026. Halla el multiplicando.
c) 9 a) 10 d) 20
b) 15 e) 25
c) 18
23).- Calcula: ( a + b + c + d ). Si: 18).- Si la suma del minuendo el sustraendo y la diferencia es igual a 84. Halla el valor del minuendo a) 20 d) 21
b) 24 e) 19
abcd ( 7 ) .6666 ( 7 )
a) 15
c) 42
b) 19
....3024 (7)
c) 10
d) 16
e) 13
16).- Halla el valor de E: 21) .- Calcula: ( m + n + p + q ). Si:
E = 324(6) x 23(6) a) 12340(6) c) 435(6)
mnpq.9999
b) 353(6) d) 123(6) e) 33333(6)
a) 30
b) 32
....1402
c) 27
d) 35
e) 28
24) .- Calcula: ( a.b + c.d ). Si: 19).- Si el multiplicando de una multiplicación es igual a 8 y el producto es igual a 120. Halla el multiplicador.
abcd (8) _ .7777 ( 8)
a) 25 a) 5 d) 20
17).- Halla el valor de E:
b) 10 e) 25
c) 15
22) .- Calcula : ( a + b + c +d ). Si: abcd .999
E = 3214(7) x 52(7) a) 233521(7) c) 12345(7)
b) 2435(7) d) 33325(7)
a) 16 e) 22231(7)
b) 10
....4383
c) 11
d) 15
e) 12
b) 38
c) 40
.... 2153(8)
d) 36
e) 42
4 OPERACIONES
Prof: MARIO CHARA
32).- Halla el dividendo de una división por exceso si el divisor es 76, el cociente la mitad del divisor y el residuo el menor posible.
25).- Multiplica: E = 234(5) x 27(8) a) 1580 d) 1300
b) 1587 e) 450
c) 1840
a) 1457 d) 2887
b) 3714 e) 2328
c) 2788
30).- Halla el dividendo de una división por defecto si el divisor es 47, el cociente 9 y el residuo es lo máximo posible a) 401 d) 471
b) 412 e) 482
c) 469
28).- Calcula: ( a . b + c . d ). Si: abcd .999
a) 52
b) 40
c) 48
....1724
d) 50
e) 56
26).- Multiplica:
CLAVES DE RESPUESTAS
E = 3214(7) x 215(6) a) 94454 d) 2500
b) 54321 e) 1540
c) 1683 31).-Halla el dividendo de una división por exceso si el divisor es 24, el cociente 16 y el residuo 8. a) 304 d) 350 29).- Halla el dividendo de una división por defecto si el divisor es 31, el cociente 12 y el residuo 7 a) 379 d) 351
27).- Calcula: ( a + b + c + d ). Si: abcd .9999
a) 28
b) 29
c) 30
c) 327
c) 353
2) b
3) a
4) b
5) a
6) c
7) a
8) c
9) a
10)c
11)b
12)c
13)a
14)a
15)c
16)a
17)a
18)c
19)c
20)c
21)a
22)a
23)d
24)c
25)b
26)a
27)b
28)d
29)a
30)c
31)b
32)d
33)b
34)a
35)b
36)d
37)a
....2402
d) 31
b) 362 e) 328
b) 376 e) 399
1) c
e) 32
