STRUKTUR ALJABAR II
POLINOMIAL REDUCIBLE DAN IRREDUCIBLE
Disusun oleh Kelompok 2
140110140014 Tiar Ferdiana Nurpratama 140110140036 Hani Siti Hanifah 140110140074 Yulian Zifar Ayustira 140110140084 Guskenoly Fauziyah
UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA JATINANGOR 2017
DAFTAR ISI
Polinomial Tereduksi Dan Tak Tereduksi ............................................... ....................................................................... .................................. ..........3 Teorema 1 (Uji ketereduksian untuk derajat 2 dan 3).............................................. ................................................................ ..................4 Konten dari Polinomial dan Polinomial Primitif ............................................ .................................................................... ........................... ... 7 Lemma Gauss........................... Gauss................................................... ................................................ ................................................ ............................................... .......................... ... 8 Teorema Gauss................................................. Gauss......................................................................... ................................................ ............................................... .......................... ...8 Teorema 2 (Ketereduksian atas
maka ketereduksian atas ).............................................. ................................................. ...9
Teorema 3 Eisenstein’s Criterion (1850) ............................................. ..................................................................... .................................... ............12 ...................................................13 Cyclotomic Polynomial) ................................................... Teorema 4 ( ideal maksimal di [] jika dan hanya jika {} irreducible) ....................14 Corollary 2 ( / adalah lapangan) .................................. ......................................................... ............................................... .......................... 16 Corollary 3 ( | , maka |a(x) atau p(x)|) ............................................... ........................................................... ............16 Corollary 1 (Irreducibility of
Konstruksi Lapangan Hingga .............................................. ...................................................................... ................................................ ............................ .... 17 DAFTAR PUSTAKA .............................................. ...................................................................... ............................................... ........................................ .................23
2
Polinomial Tereduksi Dan Tak Tereduksi
Definisi (Joseph A. Gallian)
daerah integral. Suatu polinomial ∈ [] dengan ≠ 0 atau bukan unit di [] dikatakan polinomial tek tereduksi (irreducible) atas (irreducible) atas jika dinyatakan sebagai hasil kali ℎ dengan ,ℎ ∈ [], maka atau ℎ adalah unit di []. Elemen tak nol atau elemen bukan unit dari [] yang tidak irreducible atas disebut polinomial tereduksi (reducible) atas . Misal
Definisi (Thomas W. Judson)
∈ [] [] dikatakan irreducible atas lapangan tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial dan ℎ di jika [], dimana derajat dari dan ℎ lebih kecil dari derajat . Polinomial tak konstan
Definisi (Vijay K. Khanna)
daerah integral dengan satuan. Polinomial ∈ [] [ ] berderajat positif (derajat ≥ 1 ) dikatakan irreducible atas jika tidak dapat Misalkan
dinyatakan dalam perkalian dua polinomial berderajat positif. Dengan kata lain, jika
ℎ maka deg( deg() 0 atau
deg(ℎ deg(ℎ) 0.
Polinomial berderajat positif yang tidak irreducible dikatakan reducible atas .
3
Contoh 1 :
1 ∈ [ []] irreducible atas , karena 1 tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial di []. Polinomial 1 ∈ [] [] reducible atas karena 1 dimana dan ∈ [] dan derajat dan ℎ lebih kecil dari derajat . dari 2. Polinomial 2 ∈ [ []] irreducible atas , karena 2 tidak dapat dinyatakan dalam perkalian dua polinomial di []. [[]] reducible atas karena Polinomial 2 ∈ 2 √ 2 2 √ 2 2 dimana ( √ 2) 2) dan ( √ 2) 2) ∈ [] dan 2 dan ℎ √ 2 2 lebih kecil dari derajat derajat dari √ 2 . 1. Polinomial
Teorema 1 (Uji ketereduksian untuk derajat 2 dan 3) (Joseph A. Gallian)
lapangan dan menyatakan derajat dari . Jika ∈ [] dan ( ) 2 atau ( ) 3, maka reducible atas jika mempunyai pembuat nol di . dan hanya jika Misalkan
Bukti :
[⇒]
reducible atas F Adt : mempunyai pembuat nol di F
Dik :
Bukti :
4
reducible di maka ℎ , dimana , ℎ ∈ [] (),(ℎ ),(ℎ) < ( (). dan ( ( ) ( ()(ℎ )(ℎ) dan ( ( ) 2 atau Karena ( ( ( ) 3 maka pastilah ( ( ) 1 atau (ℎ (ℎ) 1 ( ) 1 Misal ( maka ; ; , ∈ pilih − pembuat nol di ℎ − −ℎ− − − ℎ− − − ℎ− − ( )ℎ− − 0 ∙ ℎ− − 0 ∴ − pembuat nol di di ∴ mempunyai pembuat nol di [⟸] Dik : mempunyai pembuat nol di Adt : reducible atas Ambil ∈ pembuat nol di 0 Maka merupakan faktor dari . Berdasarkan teorema faktor maka
5
ℎ untuk ℎ ∈ [] ( ) 2 atau ( ( ) 3 maka reducible atas . Karena ( reducible atas . Jadi,
Sehingga dapat ditulis
Contoh 2 :
1. Buktikan
p 2 irreducible atas [] dan reducible atas
[]! Jawab : Dik Adb
: 2 : irreducible di []
Bukti :
{ {00 , 1 , 2} maka didapat :
0 0 0 2 2 ≠ 0 1 1 1 2 1 ≠ 0 2 2 2 2 1 ≠ 0 Karena tidak memiliki pembuat nol maka irreducible di [ ]. ∴ 2 irreducible atas []. Dik Adb
: 2 : reducible di []
Bukti :
{ {00 , 1 , 2, 3 }
6
Maka didapat
0 0 0 2 2 ≠ 0 1 1 1 2 0 2 2 2 2 2 ≠ 0 3 3 3 2 3 ≠ 0 Karena memiliki pembuat nol maka reducible di [ ]. ∴ 2 reducible atas []. Konten dari Polinomial dan Polinomial Primitif Definisi Konten (Herstein, 1996:159)
⋯ , dimana ∈ Z adalah gcd dari bilangan bulat , , , … . Konten dari polinomial
Definisi Polinomial Primitif (Herstein, 1996:159)
⋯ , dimana , , ,…, ∈ dikatakan primitif jika gcd dari , , , … adalah 1. Polinomial
Definisi (Joseph A. Gallian)
−− ⋯ dengan ∈ , , −,…,. Suatu polinomial primitif adalah
Konten dari suatu polinomial
0,1,2,…, adalah gcd dari polinomial pada [] dengan konten 1.
Jadi dapat disimpulkan bahwa suatu polinomial primitif adalah polinomial pada
[] dengan konten 1.
7
Lemma Gauss Hasil kali dua polinomial primitif adalah polinomial primitif. (Herstein, 1996:159). Bukti :
(Dengan menggunakan bukti kontradiksi)
dan masing-masing adalah polinomial primitif. Andaikan bukan polinomial primitif. , dan misalkan ̅, ̅ dan Misalkan p adalah konten prima dari adalah polinomial yang diperoleh dari , dengan mereduksi koefisien-koefisiennya ke modulo p. Maka dan ̅ adalah elemen-elemen 0 elemen nol pada [ ]. Akibatnya dari [] dan ̅ ̅ 0 atau ̅ 0 . Hal ini berarti bahwa p membagi semua koefisien dari atau p membagi setiap koefisien dari . Dengan demikian, baik dan maupun bukan polinomial primitif. Hal ini kontradiksi dengan Misalkan
masing-masing adalah polinomial primitif. Kontradiksi ini disebabkan karena kesalahan pengandaian, jadi haruslah
adalah polinomial primitif.
Teorema Gauss Jika polinomial primitif
dapat
difaktorkan sebagai perkalian dari dua
polinomial yang mempunyai koefisien rasional, polinomial tersebut dapat difaktorkan sebagai perkalian dua polinomial yang mempunyai koefisien bilangan bulat. (Herstein, 1996:160).
8
Contoh 3 :
11 21 5x 2x 13 ℎ 5 7 2 1 . Konten dari 11, 11, 21, 5, 2, 13 1 maka polinomial primitif. 5,7,2,1 1 1 maka ℎ polinomial primitif. Konten dari ℎ 5,7,2, 6x 9 . g 3 12 15 6x Konten dari 3, 3, 12, 15, 6, 9 3 maka g bukan polinomial primitif. . ℎ 11 21 5x 2x 135 7 2 1. Jawab
. ℎ 55 77 22 11 10 105 5 147 42 21 25 35 10 5 10 14 4 2 65 91 26 1 13. . ℎ 55 18 182 2 16 169 9 78 66 10 74 95 28 1 13. Konten dari ℎ gcd 55,182,169,78,66,10,74,95,28,13 1. ℎ adalah polinomial primitif. maka
Teorema 2 (Ketereduksian atas
ℚ maka ketereduksian atas ℤ) 9
Misal
∈ ℤ[]. Jika redusibel terhadap ℚ maka redusibel terhadap
ℤ. (Gallian, 2010). Bukti :
. ℎ, dimana dan ℎ ∈ ℚ[]. adalah primitif. Karena dan keduanya dapat dibagi oleh Asumsikan . Misalkan adalah faktor persekutaan terkecil (lcm) dari konten pada koefisien . Dan adalah faktor persekutuan terkecil dari koefisien ℎ . ∙ ℎ ℎ dimana dan ℎ ∈ ℤ[ ℤ [ ]. Maka misalkan konten dari dan konten dari ℎ. maka dan ℎ ℎ . ℎ. keduanya dan ℎ adalah primitif dan primitif maka konten dari adalah . karena Misalkan
Dan karena hasil kali dua primitif adalah primitif, maka konten dari
ℎ adalah . maka dan ℎ , dimana dan ℎ ∈ [ ] dan , ℎ ℎ. Contoh 4 :
Adt : jika reducible atas ℚ maka reducible atas ℤ Adt : reducible atas ℚ. 6 2 Diketahui :
10
3 2 2 . ℎ ∴ reducible atas ℚ. Adt : reducible atas ℤ. 6 2 3 2 2 Sehingga didapat
1,2 2, 1,3 3 23 2 3 6 6 3 3 → 3 ℎ 32 ℎ 3 2 6 6 4 4 → 2 Maka
′ − 2 1 ℎ + 3 2 Sehingga
3 6 2 22 2 13 3 2 ℎ′ 223 332 Atau dapat ditulis 6 2 2 13 2 .ℎ′ ∴ reducible atas ℤ.
11
Teorema 3 Eisenstein’s Criterion (1850)
−− ⋯ ∈ ℤ[] Jika terdapat bilangan prima sedemikian sehingga ∤ , , |− ,… ,| dan ∤ maka irreducible atas ℚ (Gallian, 2010).
Misal
Bukti :
Diketahui
Adt
−− ⋯ ∈ ℤ[] ∃ prima ∋ ∤ , , |− ,… ,| dan ∤ : irreducible atas ℚ. :
(Dengan menggunakan bukti kontradiksi)
reducible atas ℚ. Menurut teorema 2 maka reducible atas ℤ. Sehingga ∃ , ℎ ∈ ℤ[] ∋ ℎ dan ( ) ≥ 1 , 1 ≤ (ℎ) < dengan −− ⋯ dan ℎ − − ⋯ karena | dan ∤ dengan maka membagi salah satu dari dan , tetapi tidak membagi keduanya. Misalkan | tetapi ∤ Selanjutnya, karena ∤ dimana maka ∤ dan ∤ Akibatnya terdapat suatu bilangan bulat positif < sehingga ∤ Perhatikan bahwa − ⋯ Karena < maka | dan ∤ ∀ < Akibatnya | , kontradiksi dengan ∤ dan ∤ irreducible atas ℚ. Sehingga haruslah Andaikan
12
Contoh 5 :
Periksa apakah
3 15 20 10 2 20 irreducible atas ℚ ?
Jawab :
∃ 5 ∋ 5 ∤ 3 , 5|15 , 5|20 ,5|1 , 5|100 ,5|2 , 5|200 tetapi 5 ∤ 20 Berdasarkan Kriteria Eisenstein maka irreducible atas ℚ
Karena
Corollary 1 (Irreducibility of
Cyclotomic Polynomial)
Untuk sembarang bilangan prima , polinomial siklotomik ke
− Φ − − − ⋯ 1 adalah irreducible atas ℚ. Bukti :
Φ irreducible jika dan hanya jika Φ 1 irreducible Φ 1 1− 1− ⋯ 1 1 − (−) (−) ⋯ (−−) −− Φ 1 ∑ ∑= − ) −() −− Φ 1 ∑= Φ 1 − ()− ()− ⋯ () Karena membagi semua koefisien dari Φ 1 kecuali − dan ∤ () , berdasarkan Kriteria Eisenstein maka Φ 1 irreducible atas ℚ. Akibatnya Φ irreducible atas ℚ.
13
〈〉
Teorema 4 ( ideal maksimal di irreducible)
{}
[] jika dan hanya jika
∈ []. 〈〉 〉 merupakan ideal maksimal di [] Jika dan hanya jika {} irreducible atas (Gallian, 2010).
Misal lapangan dan
Bukti :
[ ⇒]
Diketahui
[ ⇐]
Diketahui
∈ [] 〈〉 ideal maksimal di [] Adt : irreducible atas 〈〉 merupakan ideal maksimal dari [] , maka 〈〉 ≠ [] 〉 ideal maksimal maka 〈〉 〉 ideal prima Karena 〈〉 Sehingga ℎ akibatnya ∈ [] atau ℎ ∈ [] Maka, konstan atau ℎ konstan Sehingga irreducible atas : lapangan dan
suatu polinom irreducible Adt : 〈〉 ideal maksimal Misal 〈 〉 adalah ideal dan ideal lain dari [] Karena , ideal dari [] maka ⊆ ⊆ artinya atau [] Karena lapangan maka ideal utama, sehingga 〈 〉 ; untuk suatu ∈ [] Karena ∈ ⊆ maka ℎ , ℎ ∈ [] :
14
irreducible maka konstan atau ℎ konstan Jika ℎ konstan maka ℎ untuk suatu ∈ Sehingga . atau . − berarti ∈ berakibat ⊆ Karena ⊆ dan ⊆ maka Jika konstan maka , untuk suatu ∈ sehingga . . − 1 ∈ Oleh karena itu, untuk setiap ∈ (karena ideal dari [] maka [] Sehingga dapat disimpulkan bahwa 〈 〉 adalah ideal maksimal dari []. Karena
Contoh 6 :
5 5 di ℤ[] Adt : 〈 5 5〉 ideal maksimal dari ℤ [] Artinya hdt bahwa irreducible di ℤ 0 ⟶ 0 0 5.0 5 2 1 → 1 1 5.1 5 2 2 → 2 2 5.2 5 2 tidak mempunyai pembuat nol di ℤ , maka irreducible atas Karena ℤ[]. Menurut teorema 4 maka 〈 5 5〉 ideal maksimal dari ℤ [] Diketahui
:
15
Corollary 2 ( Misal
[]/〈〉 adalah lapangan)
lapangan dan polinomial irreducible atas , maka []/〈〉
adalah lapangan. Bukti :
Diketahui :
F lapangan
polinomial irreducible atas F Adt : [ ]/〈〉 lapangan Karena polinomial polinomial irreducible atas F menurut teorema maka 〈〉 ideal maksimal karena 〈〉 ideal maksimal, menurut teorema maka [ ]/〈〉 lapangan Corollary 3 (
| , maka |a(x) atau p(x)|)
lapangan dan , , ∈ []. Jika irreducible atas dan | , maka |a(x) atau p(x)|.
Misal
Bukti :
lapangan , , ∈ []. irreducible atas | Adt : | atau | Karena irreducible, maka [ ]/〈〉 lapangan. 〉 lapangan maka []/〈〉 〉 daerah integral. Karena []/〈〉 Berdasarkan teorema maka 〈〉 ideal prima.
Diketahui :
16
|, didapat ∈ 〈〉. ∈ 〈 〉〉 atau b ∈ 〈 ∈ 〈 〉〉. Jadi, ∈ 〈 Artinya | atau | . Karena
Konstruksi Lapangan Hingga
elemen adalah ℤ, Langkah-langkah kontruksi lapangan hingga dengan elemen dengan bilangan prima dan > 1 sebagai berikut. 1. Ambil lapangan hingga ℤ 2. Cari polinomial irreducibel di ℤ [] dengan deg > { < > | | ∈ 3. Bentuk lapangan hingga ℤ [ ]/< ℤ[]}. ℤ [] Lapangan hingga ⟨ ⟩ ⟩ mempunyai elemen. Jika adalah bilangan prima, suatu lapangan hingga dengan
Contoh 7 :
Akan dikonstruksikan lapangan dengan 8 elemen. Jawab:
8 2 maka 2 dan 3. 1. Ambil lapangan hingga ℤ {[ 0], [1]}. 2. Cari semua polinomial di ℤ [] dengan deg() 3. 1) 0 9) 2) 1 10) 1 3) 11) 4) 1 12) 1 5) 13)
17
1 7) 8) 1 6)
1 15) 16) 1 14)
di ℤ[] dengan deg() 3. Ambil 1 irreducible di ℤ [] dan tidak mempunyai akar di ℤ . Bentuk lapangan hingga ℤ [ ] / 〈 1〉 { 〈 〉| ∈ ℤ } 0 〈〉 1 〈〉 1 〈〉 〈〉 〈〉 1 〈〉 1 〈〉 〉 〈〉 〉 〈〉 〉 1 〈〉 〉 1 〈〉 〉 〈〉 〉 〈〉 〉 1 〈〉 〉 1 〈〉 〉 〈〉 〉
Cari polinomial irreducible
3.
Sehingga:
〉, 1 〈〉, 〉, 〈〉, 〉, 1 ℤ[] / 〈 1〉 {0 {0 〈〉, 〈〉, 〉, 〈〉, 〉, 1 〈〉, 〉, 〈〉, 〉, 1 〈〉} 〉}. Selanjutnya akan dibuktikan ℤ[]/〈 1 〉 adalah lapangan pada Contoh 8 berikut.
Contoh 8 :
ℤ[]⁄〈 1〉 { 〈 1〉|, ∈ ℤ} 1 polinom irrducible di ℤ 〈 1 〉 ideal maksimal Adt : ℤ [ ]/〈 1 〉 lapangan Dik :
18
Cari semua polinom di 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
ℤ[]
1 , 1 1 1 0
Jumlahkan masing-masing polinom di atas dengan
〈 1 〉
1 〈 1 〉 〈 1 〉 1 〈 1 〉 〈 1 〉 ( 1 〈 1 〉 〈 1 〉 1 〈 1 〉 0 〈 1 〉
Sehingga
19
ℤ[]/〈 1 〉 { 0 〈 1 〉, 1 〈 1 〉, 〈 1 〉, 1 〈 1 〉, 〈 1 〉, 〈 1 〉, 1 〈 1 〉, 1 〈 1 〉}. Tabel Cayley 1
0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 Dari tabel di atas terlihat bahwa : 1. 2. 3.
4. 5.
ℤ[]/〈 1 〉 tertutup terhadap penjumlahan. ℤ[]/〈 1 〉 asosiatif terhadap penjumlahan. ℤ[]/〈 1 〉 memiliki unsur satuan terhadap penjumlahan yaitu 0 〈 1 〉 . Setiap unsur di ℤ [ ]/〈 1 〉 memiliki invers terhadap penjumlahan. ℤ[]/〈 1 〉 komutatif terhadap penjumlahan.
Perhitungan
20
Hint :
1 〈 1 〉 0 〈 1 〉
Sehingga
〈 1 〉 0 〈 1 〉 1 〈 1 〉 2 1 〈 1 〉 1 〈 1 〉 dengan cara yang sama maka diperoleh tabel cayley berikut. Tabel Cayley 2 Dari tabel tersebut, terlihat bahwa :
× 0 1 1 1 1
0
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. 2. 3.
4.
ℤ[]/〈 1 〉 tertutup terhadap perkalian. ℤ[]/〈 1 〉 asosiatif terhadap perkalian. ℤ[]/〈 1 〉 memiliki unsur satuan terhadap perkalian yaitu 1 〈 1 〉. Setiap unsur di ℤ [ ]/〈 1 〉 memiliki invers terhadap perkalian. 21
5. 6.
ℤ[]/〈 1 〉 komutatif terhadap perkalian. ℤ[]/〈 1 〉 distributif kiri dan kanan.
Dari 1-6, maka dapat disimpulkan disi mpulkan bahwa
ℤ[]/〈 1 〉 adalah lapangan.
22
DAFTAR PUSTAKA D. S. Malik, John N. Mordeson, M.K. Sen. Introduction to Abstract Algebra. Creighton University, Calcutta University. 2007.
Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra. University of Minnesota Duluth. 2010.
Herstein, I.N . Abstract Algebra. University of Chicago.1995.
Herstein, I.N. Topics in Algebra 2 nd Edition. University of Chicago. 1996. Khanna, Vijay K. A course in Abstract Algebra. University of Delfi. 1993.
23
