RdP-Proprietes

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MSC : Propriétés des RdP

Modélisation des Systèmes Complexes Propriétés des Réseaux de Petri

Alexandre Pauchet INSA Rouen - Département ASI BO.B.RC.18, [email protected]

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Plan 1

Graphe des marquages accessibles

2

Conflit et parallélisme

3

Propriétés des séquences de franchissements

4

Vivacité

5

Blocage

6

Monotonie des propriétés

7

Conclusion

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Rappels

Séquence de franchissements Une séquence de franchissements de M0 à Mn est un mot t0 ...tn−1 tel qu’il existe des marquages M1 , ..., Mn vérifiant t

tn−1

0 M0 −→ M1 ...Mn−1 −→ Mn

Accessibilité d’un marquage Un marquage M 0 est dit marquage accessible (successeur de M) ssi il s existe une suite de transitions s ∈ T ∗ tel que M → M 0 .

Ensemble des marquages accessibles L’ensemble des marquages accessibles d’un réseau de Petri R depuis M0 s est noté A(R, M0 ) : A(R, M0 ) = {Mi , ∃s t.q. M0 → Mi }

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Graphes des marquages accessibles

Définition Lorsque A(R, M0 ) est fini, il peut être représenté sous la forme d’un graphe noté GA(R, M0 ). Ce graphe a pour sommets A(R, M0 ) Un arc orienté relie 2 sommets Mi et Mj s’il existe une transition t franchissable permettant de passer d’un marquage à un autre : t

Mi → Mj Les arcs sont étiquetés par les transitions correspondantes. ⇒ Automate à états équivalent au RdP

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Définition formelle

Définition Le graphe des marquages accessibles (ou graphe d’accessibilité) d’un réseau marqué (R, M0 ) est un système de transitions < A(R, M0 ), ∆, λ, M0 > tel que : A(R, M0 ) est l’ensemble des marquages accessibles dans R à partir s de M0 : A(R, M0 ) = {M/M ∈ Nm et ∃s ∈ T ∗ t.q. M0 → M}

∆ est l’ensemble des arcs reliant 2 marquages accessibles dans R à t partir de M0 : {(q1 , q2 ) ∈ QxQ/t ∈ T , q1 → q2 } λ est la fonction qui étiquette l’ensemble des arcs du graphe par le nom de la transition de R qui a été franchie M0 est le marquage initial

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Construction du graphe des marquages accessibles

Algorithme nouveaux_états <- { Mo } graphe <- < { Mo } ,ø , id , Mo > Tant que nouveaux_états != ø faire état_en_cours <- un élément de nouveaux_états nouveaux_états <- nouveaux_états \ état_en_cours Pour toute transition t de T faire : Si état_en_cours [t > alors état_futur <- ( état_en_cours [t > état_futur ) Si état_futur est nouveau alors créer le noeud état_futur et l ’ ajouter à l ’ ensemble des noeuds du graphe ajouter état_futur à l ’ ensemble nouveaux_états FinSi ajouter au graphe état_en_cours -> état_futur FinSi FinPour Fin Tant que Retourner graphe

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Exemples de construction du Graphe des Marquages Accessibles

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Graphe des marquages accessibles Exemple

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Propriétés

Remarques Le graphe des marquages accessibles dépend de R et de M0 Un graphe fini peut contenir des séquences infinies Le graphe des marquages accessibles peut être infini

Exemple p1 • t1 2 p3 t3

2

p2

t2

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Etat d’accueil

Définition Un réseau marqué (R, M0 ) admet un état d’accueil Ma si, pour tout marquage M appartenant à GMA(R, M0 ), il existe une séquence s telle s que M → Ma .

Exemple

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Réseau de Petri pur

Définition Un réseau de Petri R est dit pur ssi ∀p ∈ P et ∀t ∈ T : Entree(p, t).Sortie(p, t) = 0

Explication : Le graphe ne comprend aucune boucle élémentaire, c’est-à-dire qu’aucune transition n’a de place en entrée et en sortie.

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Conflit et parallélisme Exemples

Réseau de Petri pur

Réseau de Petri non pur


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Conflit

Conflit structurel 2 transitions t1 et t2 sont en conflit structurel ssi elles ont au moins une place d’entrée en commun : ∃p tel que Entree(p, t1 ).Entree(p, t2 ) 6= 0

Conflit effectif 2 transitions t1 et t2 sont en conflit effectif pour un marquage M ssi elless ont en conflit structurell et que : M ≥ Entree(., t1 ) M ≥ Entree(., t2 )

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Exemples

Exemple

les transitions a et c sont en conflit structurel : Entree(p2, a).Entree(p2, c) = 3   0 a et c sont en conflit effectif pour le marquage M = 3 0

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Parallélisme

Parallélisme structurel 2 transitions t1 et t2 sont parallèles structurellement ssi : Entree(., t1 )t xEntree(., t2 ) = 0 Elles n’ont donc aucune place d’entrée commune (le produit scalaire de leur vecteur d’entrée est nul)

Parallélisme effectif 2 transitions t1 et t2 sont parallèles pour un marquage M ssi elles sont parallèles structurellement et que : M ≥ Entree(., t1 ) M ≥ Entree(., t2 )

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Exemples

Exemple

les transitions b et d sont en structurellement parallèle : Entree(., b)t xEntree(., d ) = 0   1 b et d sont effectivement parallèle pour le marquage M 0 = 0 1 ⇒ elles peuvent être franchies indépendamment l’une de l’autre

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Existence et monotomie

Existence d’un marquage Pour toute séquence de transitions s, il existe toujours un marquage M tel que celle-ci soit franchissable : s

∀s ∈ T ∗ , ∃M ∈ Nm tel que M →

Monotonie L’augmentation des jetons dans les places d’un marquage préserve la possibilité de franchissement d’une séquence de transition : s

s

Si M1 → et M1 ⊆ M2 alors M2 → Remarque : Ma ⊆ Mb ssi ∀p ∈ P, Ma (p) ≤ Mb (p)

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Séquences répétitives/infinies

Séquence répétitive/infinie 1

Une séquence de transitions s est dite répétitive ssi s

s∗

∀M t.q. M → alors M → 2

(R, M0 ) admet une séquence infinie s, où s est un mot infini sur T , ssi pour tout s 0 préfixe fini de s, s 0 est une séquence de franchissements de (R, M0 )

Exemple • a

p

b

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Propriétés liées aux séquences répétitives

Théorème 0

∀M, M ∈ N

m

s

M → M0 ⇔ s est répétitive M ⊆ M0

Caractère borné Le nombre de jetons circulant dans le réseau reste-t-il borné ?

Activité Est-ce qu’une partie ou l’ensemble d’un réseau peut toujours évoluer ?

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Caractère borné

RdP k-bornée Soit un réseau de Petri R et un marquage M0 . Une place p de (R, M0 ) est k-bornée si pour tout marquage M accessible depuis M0 , M(p) ≤ k. p est k-bornée ⇔ ∀M ∈ A(R, M0 ), M(p) ≤ k R est alors k-borné avec k = Max(M(p))

Place non bornée Une place p de (R, M0 ) est non bornée ssi ∀n ∈ N, ∃M ∈ A(R, M0 ) tel que M(p) > n

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Réseau borné

Définition Un réseau de Petri est dit borné si toutes ses places sont bornées. Les réseaux 1-bornés sont appelés réseaux saufs.

Exemple

Réseau non borné

Réseau structurellement borné Un réseau est dit structurellement borné si il est borné quel que soit le marquage initial.

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Séquence répétitive croissante

Théorème Un réseau (R, M0 ) est structurellement borné si (pas d’équivalence) ∀p ∈ P, ∀t ∈ T , E (p, t) − S(p, t) ≥ 0

Définition Une séquence répétitive s est dite croissante pour une place p ssi s

∀M, M 0 ∈ A(R, M0 ) tels que M → M 0 alors M 0 (p) ≥ M(p)

Théorème Un réseau (R, M0 ) est non bornée ssi il existe une séquence répétitive croissante s pour une place p et un marquage accessible M depuis M0 tels s que M →

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Vivacité


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(1/8)

Pseudo-vivacité

Définition Un réseau marqué (R, M0 ) est pseudo-vivant ssi t

∀M ∈ GA(R, M0 ), ∃t ∈ T telle que M −→ Un réseau marqué sera donc pseudo-vivant s’il ne contient pas de marquage puit (i.e. sans blocage).

Exemple

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Vivacité

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(2/8)

Quasi-vivacité

Définition Une transition est quasi-vivante si elle peut être franchie au moins t une fois : ∃M ∈ GA(R, M0 ), tel que M −→ Un réseau marqué (R, M0 ) est quasi-vivant ssi

t

∀t ∈ T , ∃M ∈ GA(R, M0 ), tel que M −→

Exemple

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Vivacité


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(3/8)

Monotonie de la quasi-vivacité

Rappel : Monotonie L’augmentation des jetons dans les places d’un marquage préserve la possibilité de franchissement d’une séquence de transitions : s

s

Si M → et M ⊆ M 0 alors M 0 →

Propriété Une transition quasi-vivante de (R, M) est aussi quasi-vivante pour (R, M 0 ) si M ⊆ M 0

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Vivacité

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(4/8)

Vivacité

Définition Une transition est vivante si quelle que soit l’évolution du réseau, elle peut être toujours être franchie à terme : ∀M ∈ GA(R, M0 ), t est quasi-vivante pour (R, M) Un réseau marqué (R, M0 ) est vivant ssi

∀M ∈ GA(R, M0 ), (R, M) est quasi-vivant Remarque : La vivacité n’est pas monotone, i.e. la vivacité d’une transition n’est pas forcément conservée par une augmentation du nombre des jetons dans les places.

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Vivacité Vivacité

Exemple


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Vivacité Vivacité

Exemple


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Vivacité

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(7/8)

Séquence répétitive complète

Définition Une séquence est dite répétitive complète si elle contient au moins une occurence de chaque transition

Théorème Un réseau marqué (R, M0 ) est vivant ssi pour tout marquage accessible M, il existe un marquage M 0 accessible à partir de M et une séquence s répétitive complète s tels que M 0 →. (R, M0 ) est vivant ⇐⇒

s

∀M ∈ A(R, M0 ), ∃M 0 ∈ A(R, M), ∃s complète, tels que M 0 →

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Vivacité


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(8/8)

Réseau réversible

Définition Un réseau marqué est dit réversible (réinitialisable/propre) ssi son graphe des marquages accessibles est fortement connexe : s

∀M ∈ A(R, M0 ), ∃s, M → M0 Un RdP est réversible pour un M0 ssi M0 est un état d’accueil.

Exemple

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Blocage

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Marquage puit

Définition Un marquage puit est un marquage à partir duquel aucune transition n’est franchissable. Le réseau n’a alors plus la possibilité d’évoluer.

Définition Un réseau marqué est dit sans blocage si aucun de ses marquage accessibles n’est un marquage puit. Remarques : L’absence de blocage est une propriété plus faible que la vivacité ; elle implique seulement que le réseau a toujours la possibilité d’évoluer. Vivacité et sans blocage sont 2 notions distinctes. Un réseau peut être sans blocage sans que toutes ses transitions ne soient vivantes.

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Blocage

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Marquage puit

Exemple

Le premier réseau est sans blocage Le second réseau possède un marquage puit

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Blocage

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Vivacité et marquage puit

Exemple

Il n’y a pas de marquage puit Le réseau est sans blocage t1 , t2 , t3 et t4 sont quasi-vivantes mais non vivantes t3 est vivante pour M0 =t (1, 0, 0)

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Blocage


(4/6)

Vivacité structurelle

Définition Un réseau est dit structurellement vivant ssi il existe un marquage initial tel que le réseau soit vivant

Exemple

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Blocage


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(5/6)

Interblocage

On parle d’interblocage dans un réseau non sans blocage (contenant au moins un marquage puit) lorsque 2 sous-parties distinctes du réseau s’empêchent mutuellement de sortir du marquage puit.

Exemple

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Blocage


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(6/6)

Famine

On parle de famine dans un réseau quand une transition d’une sous-partie d’un réseau est en attente du franchissement d’une transition d’une autre sous-partie du réseau pour voir ses pré-conditions d’entrée vérifiées.

Exemple

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(1/3)

Monotonie

Définition Soit Π une propriété d’un RdP non marqué R. Π est dite monotone ssi ∀(R, M0 ), Π(R, M0 ) =⇒ ∀M00 ≥ M0 , Π(R, M00 )

Lemme de monotonie s

s

M1 → M2 et M1 ≤ M10 =⇒ ∃M20 , M20 ≥ M2 et M10 → M20

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Propriétés monotones (R, M0 ) admet une séquence infinie (R, M0 ) est quasi-vivant (R, M0 ) est non borné

Propriétés non monotones (R, M0 ) est pseudo-vivant (R, M0 ) est vivant (R, M0 ) admet un état d’accueil (R, M0 ) est borné

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(3/3)

Relation entre propriétés

Vivacité/bornes/état d’accueil Si (R, M0 ) est pseudo-vivant ou non-borné, alors (R, M0 ) admet une séquence infinie. Si (R, M0 ) est vivant, alors (R, M0 ) est quasi-vivant et pseudo-vivant. Si (R, M0 ) est quasi-vivant et admet M0 comme état d’accueil, alors (R, M0 ) est vivant.

Utilisation du lemme de monotonie s

Si M1 → M2 et M2 > M1

s est aussi franchissable à partir de M2 On a une séquence infinie qui augmente le marquage : Le réseau est non borné, le graphe des marquages accessibles est infini, mais on peut construire une représentation d’un sous-ensemble des marquages accessibles

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Conclusion

(1/2)

Résumé

Notions abordées RdP pur Conflit et parallélisme dans les RdP (structurel et effectif) Graphe des marquages accessibles Etat d’accueil Séquence répétitive Caractère borné d’un réseau (structurellement effectivement) Séquence répétitive croissante Vivacité (Pseudo-vivacité, Quasi-vivacité, Vivacité, Séquences répétitives complètes, Réversibilité)

Blocage (Marquage puit, Lien avec la vivacité, Interblocage, Famine, Monotonie)

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Conclusion

(2/2)

Sources

Articles/Livres “Réseaux de Petri et systèmes parallèles”, Guy Vidal Naquet et Annie Choquet Geniet, Editions Armand Colin, 1992.

Liens http://www.laas.fr/~robert/enseignement.d/index.html https://www-master.ufr-info-p6.jussieu.fr/2007/Ajouts/Master_ esj20_2007_2008/IMG/pdf/rdp_ordinaire.pdf

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