rcv_2016_x_01

Repaso UNI • Aptitud Académica • Humanidades • Matemática • Ciencias Naturales

                

Álgebra Números complejos y Ecuaciones 5.

NIVEL BÁSICO

Luego de resolver la ecuación fraccionaria 1

x 2 − 1 1.

 1 +

M = 



3i 4

12

   1 + i   +  −   2  

A) 0 D) 2.

B) −

1

12

+i  4 

3

C)

24

1

E)

6

2

5

+

2 2 i

5

1

A)

13

D) 5 13 3.

1 −

+

a+ b

A) {2 b} D) {3 b} 4.

=

a+ b

+

B) {3a}

NIVEL INTERMEDIO

6

C)

13

E)

5

a−b

C) {2a} E) {4a}

Determine el valor de m para que la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x2+( m – 2) x – ( m+3)=0 sea la mínima posible. A) – 2 D) 1

B) –1

C) 0 E) – i

2

Si a ≠ b; a ≠ – b, determine el conjunto solución de la ecuación cuya variable es x. x + a x − a x + b 2 ( x − b ) a−b

B) 1

3

Si z1 y z2 son dos números complejos z1

25π 25π   = 4 cos − i s en   180 180 

z2

7π 7π   = 2  i sen − cos  18 18  

1+ i

B) 1

−

2

entonces el | Z | es 13

x

=

6.

2

)

1

−

( 2 + 3 i )3 5 1 − i

(

x +1

=

A) 2 D) i

Si Z ∈ C, tal que Z =

2

se obtiene como CS={ x1; x2}. x x Determine E x2 1 x1 1.

Determine 12

+

C) 0 E) 2

halle el complejo A) – 2(1+ i)

z2

B)

D) – 2(1– i) 7.

z1

.

2 (1 − i )

2 (1 +

C) − E)

2 2

i)

(1 + i )

Si z1 y z2 son números complejos, determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F). I. Si | z1|=| z2|, entonces z1= z2. II. Si z1= z1, entonces z1 es un complejo real. III. Si z1 · z2 es real, entonces z1 y z2 son complejos reales. A) VVF B) FVF C) VVV D) FVV E) FFV

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados reser vados D. LEG N.º 822 2

Álgebra 8.

Sea el conjunto M

{

=

13.

z ∈ C / ( z − 5 ) ( z − 5 )

=

25 25 ∧ 0 < arg( z) <

π

2

}

Sea la gráfica del polinomio cuadrático mónico P( x). Y

Si z ∈ M , simplifique arg ( z ) + arg ( z − 5 z ) + arg ( z − 5 ) M =  5  arg  1 −   z  A) 2 D) 5 9.

B) 3

P( x)

1 2

C) 4 E) 6

Determine la suma de raíces reales de la siguiente ecuación. ( x4 –1)[ P( x) –10]=0

Si z=a+ bi; a<0, b>0 es una raíz de la ecuación compleja z4 – iz3 – z+ i13=0 b entonces el valor de es

A) 4 D) 2

a

A) 3 D) – 2 3 10.

B) – 2

C) – 3 E) – 4

14.

2

+

bx

−

a

=

P( x)

0

4

presenta raíces x1, x2, determine =(2ax1+ b)4+(2ax2+ b)4 E =(2 A) 50 a4 D) 100 b2 11.

B) 504+2a2

X

C) 25 b4 E) 50 b4 Determine el resto de dividir

Si x1, x2, x3, x4 son raíces de la ecuación mx4+2014 x2+ n=0, tal que ( x2 · x4)–1+( x1· x3)–1=2, x1=– x3; determine n.

A) 48 D) 54 15.

A) 2013 D) 1007 12.

C) 3 E) 6

Y

2

ax

B) 5

Sea P( x) un polinomio cúbico y mónico cuya suma de raíces es 3 y la gráfica es de la forma

Si la ecuación cuadrática b

X

B) 1006

C) 2012 E) 2014

Determine la variación de k si la ecuación raí ces reales. x4+(1– k) x2+2( k k – 3)=0 tiene solo 2 raíces A) 〈– ∞; 3〉 B) 〈– ∞; 6〉 C) 〈6; +∞〉 D) 〈1; 4〉 E) 〈3; +∞〉

x

−

5

.

C) 56 E) 45

Sea la ecuación bicuadradada x4 – x2+a=0 donde se cumple que 1   1 x16 + x26 = −4  2 + 2   x1 x2  donde x1, x2 son dos raíces no simétricas. Determine a, a ∉ Z. A) D)

2 3

5 3

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados reser vados D. LEG N.º 822 3

B) 62

P( x )

B)

4 3

C) E)

1 3 1 6

Álgebra 16.

Si la ecuación polinomial x

A) VVF B) FVV C) FFF D) VFV E) FVF

3 −

3

2 x

2

+

px + q

=

0

admite una raíz real de multiplicidad 3, determine E = p+ q. A) D) 17.

1

B)

3

3

E)

3

B) 4

3

NIVEL AVANZADO

7 3

21.

x 2 + 15 x

+ 15 =

x ( x − 2 )

B) 5

Sea z= x+ yi un complejo no nulo, tal que =

1

Im ( z4 )

lm ( z )

Re( z)

2

=

3

i π    Halle el arg  z + 0, 5 e 2 

A)

C) 9 E) 36

Determine la suma de soluciones en la ecuación

A) 6 D) 3

D) 22.

π

B)

4

3π

C) p

4

5π

E)

4

7π 5

Sea A un conjunto definido por A={ z ∈ C / |Re( z)|<1 ∧ | z| ≤ 4} Entonces la figura que mejor representa A es A)

B)

Im

C) 4 E) – 5

Im

Re

Re

La siguiente ecuación se reduce a una lineal determine p+x0 donde x0 es solución

( p − 3 ) x x

−

2

+

2 px − 1 x

A) –12

+

=

2

2 p + 1;

B) –15

D) – 8 20.

4

Sean las ecuaciones bicuadradas x4 – 5 x2+a=0 x4 – 13 x2+9a=0 donde a ≠ 0. Si se sabe que estas ecuaciones tienen únicamente dos raíces comunes, determine el producto de las raíces no comunes de ambas ecuaciones.

( x − 5 ) ⋅

19.

C)

5

A) 1 D) 12 18.

2

p ∈R

C)

Im

C) 11

Re

E) – 9

Respecto a la ecuación 4

16 − x

4

= π

x

+π

−

D)

x

E)

Im

indique verdadero (V) o falso (F). I. Hay al menos una solución negativa. II. Su conjunto solución es unitario. III. Hay dos soluciones opuestas.

Re

Im

Re

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N.º 822 4

Álgebra 23.

Si z ∈ C, tal que z15= i, determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Tres raíces están en el segundo cuadrante. II. Si z1, z2, ..., z15 son las raíces, entonces z1+ z2, ..., z15=0. III. Si z1, z2, ..., z15 son las raíces entonces | z1|+| z2|+...+| z15|=10. A) VVV D) FFF

24.

B) FVF

C) VVF E) FVV

Sea P( x)=– 2 x3+ax2+ bx+c, donde el producto de las raíces de P( x)=0 es igual a la suma de ellas. Determine E =a+ b+c.

II. Si f ( x)=0, las soluciones son positivos. III. ∃ a; b; c ∈ R+ / f ( x)=0 presenta solución única. A) VVV B) FVF C) VFV D) VFF E) FFV

27.

Sea la ecuación x4+ax3+2014 x2+ax+1=0 donde dos de sus raíces son a y b.  1   1  Determine  α +   β + .

α  



A) 2012 D) 2016

β 

B) 2014

C) 2010 E) 1

Y

28. P( x)

3

3/2 X

A) 3 D) 6 25.

C) 5 E) 7

A) 2 D) – 6 29.

Si la ecuación cuadrática (a – 3) x2+(a – 2) x+1=0 presenta raíces enteras diferentes, determine la suma de cubos de sus raíces. A) – 2 D) 10

26.

B) 4

B) –10

C) 0 E) 9

Sea f ( x)=ax2+(2a2+ab+ac) x+abc donde a; b; c ∈ R+. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Su gráfica tendrá la forma Y

X

Determine el valor de a si las ecuaciones tienen una raíz común  x 3 − ( a + 1) x 2 + 4 = 0  2  x − 4 x + 2a = 0

2 − 4 x

A) D)

8x

+

+

7

3

=

B)

9

2

9

C)

4

4

E)

7

9 8 13 32

Según la ecuación en x 1

1 +

x − π

1 +

x − 2π

=

0

x − 4π

indique verdadero (V) o falso (F). I. Es incompatible. II. Presenta una solución entre p y 2p. III. Hay una solución en 〈0; p〉 A) FFF B) VFF C) FVF D) VVF E) FFV


C) 6 E) 3

Determine la suma de soluciones luego de resolver 3

30.

B) – 2

Álgebra Desigualdades e Inecuaciones 5.

NIVEL BÁSICO

1.

Sean a; b; c y d números reales, entonces I. (a – b)(a+ b)=0 ↔ |a|=| b| II. si a< b y c ≥ 0 ↔ ac < bc. III. si ab>0 ∧

c

<

a

d b

Dado el trinomio P( x)= nx2+( n –1) x+ n, si ∀ x ∈ R: P( x) ≥ 0, calcule el menor valor de n. A)

D)

→ bc ≤ da.

1

B)

3

1 2

3

C) 1

E) 2

2

¿Cuáles de estas afirmaciones son correctas? NIVEL INTERMEDIO

A) solo I D) solo II

B) I y II

C) I y III E) solo III 6.

2.

Se define la expresión f ( x; y)= xy – 2 x+2 y+9 ∀ x ∈ 〈–1; 3] y ∀ y ∈ 〈– 2; 1〉 Determine el mayor valor entero que puede tomar f . A) 7 D) 10

3.

B) 8

A) [0; n – m] B) [ n – m; 0] C) [ m – n; 0] D) 〈– ∞; 0] ∪ [ n – m; +∞〉 E) 〈– ∞; m – n] ∪ [0; +∞〉

C) 9 E) 11

Dado el conjunto

7.

  x2 − x + 1 S = ( x; y ) / y = ; x > 1   x − 1 indique el valor de x que haga que y sea mínimo. A)

5

B)

4

3

D) 2 4.

E) 2 2

Resuelva la inecuación lineal ax

+

2b

b

bx −

+

2a

a

<

1

b

−

8.

1

A)

D)

;

−∞

a+ b

1 a+ b

;

+ ∞

B) 〈0; +∞〉

Resuelva la inecuación x

a

2

considere b>a>0. 1

Determine el menor valor entero de a, tal que (a –1) x2+2 x+2a > 0; ∀ x ∈R A) 5 B) 4 C) 1 D) 3 E) 2

C) 2

2

Si m<0< n, determine el conjunto solución de la inecuación cuadrática. mx2+ m2 x – mnx ≤ 0

C) 〈a+ b; +∞〉

E)

1 a+ b

; a+ b

≤

3

x − 5

A) 〈–1; 5〉 B) 〈6; +∞〉 C) [–1; 5〉 ∪ [6; +∞〉 D) 〈– ∞; 5〉 ∪ [6; +∞〉 E) 〈– ∞; –1] ∪ 〈5; 6]


Álgebra 9.

Sean a; b ∈ R; b>0, tales que | x – a|<2 b. Entonces los números b x − a + 3 b

m; n

∈

13.

4 x − 5

D)

B) 5

C)

5

E)

6

6

p

D)

4

5 1

14.

E)

2;

3

+

4

Dada la inecuación fraccionaria 2

+

bx

>

c

+

0

Si A es el conjunto solución de la inecuación || x|–1| ≤ 1–| x|, entonces determine A ∩ 〈0; 2〉.

si el conjunto solución es R – {1; 2}, calcule el mayor valor de a+ b+c.

A) 〈1; 2] B) [0; 1〉 C) 〈0; 1] D) 〈1; 2〉 E) 〈1; 3〉

A) –1 D) 3 15.

B) – 3

A es un conjunto determinado por A={ x ∈ R / 3 x – 2 < | x – 2|+ x < | x|+1 halle el conjunto A.

B)

−∞

C)

−∞

D)

−∞

;

−

;1

;

4

1

1;

∪

4

∪

3 ∪

3

;

16.

∞

+ 3 − 4x

)

5−

⋅

(5 x − c )

c a <

;

−∞

3

∪

5

1;

3 2

0

.

B) 7

C) 9 E) 12

Determine cuál de los siguientes conjuntos es acotado.

≤0

x

17.

entonces el número de elementos enteros de A es A) 1 D) 7

14 +

c

  1 A) A =  x ∈R / < 1 x   B) B={ x ∈ R / x ≠ | x|} C) C ={ x ∈ R / x+| x|=0} D) D={ x ∈ R / | x+1|<| x+2|} E) E ={ x ∈ R / x2 – 3| x|<– 2

Si A es el conjunto solución de la inecuación

( x

(3 x − b)

A) 5 D) 11

E) 〈– ∞; –1〉 ∪ 〈1; 3〉

2

⋅

b

Determine el valor de a+2 b+c.

3

)

16 +

se obtuvo como CS =

4

−2

a b

{a; b; c} ⊂ Z+

2; 3

( x 2 + 2 x + 3) ( x

C) 0 E) – 4

Al resolver la inecuación polinomial 36 +

A) 〈– ∞; 3〉 ∪ 〈3; +∞〉

12.

C) 〈1,6; 5〉

; 4

3

; 3

( x − 1) ( x + a)

5

1

B)

(2 x − a) 11.

x −1

A) 〈2; p〉

x 10.

>

e indique un intervalo solución.

.

Determine m+ n. A) 1

Resuelva la inecuación

B) 2

C) 4 E) 3

Resuelva x − 3

−

4−

x − 2 +

A) [1; 2 〉 D) [2; 7〉


x

x −1

<

x − 1 − x − 4

B) [2; 9〉

+

x−2 3−

x

C) [2; 3〉 E) [2; 4〉

Álgebra 18.

Dada la expresión f( x )

19.

9 + 6 x + x2

=

x

4 − 4 x + x2

−

2

+

4 x

2

 x 2 ( x − 2)  − 12 x + 9 < 3  +  2 x − 2 

halle la suma de los elementos enteros del conjunto S.

A) R – 〈– 3; 2〉 D) [– 3; 2〉

A) 30 D) 42

B) 〈– 3; 2〉

C) [– 3; 2] E) 〈– 3; 2]

Determine el valor de a para que la ecuación x2+4 x – 2| x – a|+2 – a=0 presente solución única B) – 2

C) –1 E) 0

Se tiene lo siguiente: I. El mayor valor de a ∈ R–, tal que si | x|< 3, entonces | x+4|+|5 – x| ≤ |a| II. Si x ∈ [1000; +∞〉, halle x sabiendo que | x –1|+|1– x|+| x – 2|+|2 – x|+... +| x –103|+|103 – x|=106 Indique el valor de (2 x –1+100a). A) 1000 D) 1

B) 1100

C) 990 E) 1200

NIVEL AVANZADO

21.

Si S es el conjunto solución a la inecuación

determine la variación de x para que dicha expresión sea independiente de x.

A) – 7/3 D) – 3 20.

22.

23.

(a +

2

b + c)

+

24.

III. ∀ n ∈ N

∧

IV. n a

b

<

m

n >1 →

n

abc <

27 + a + b + c

25.

+ R abc

→

a+ b+ c

n +1

>

n

2 a

<

n+ m

ab

m

Sea M el conjunto solución de la ecuación 3| x+1|– 2| x – 2|=2 x –1 Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F). I. ∃ x1; x2 ∈ M / 4 x1+ x2=0 II. ∀ x ∈ M ; x3 ≥ 0 III. M ⊂ { x ∈ R / x2+2 x=0}

b

B) FFV

C) VFV E) VVF

Sean {a; b; c} ⊂ R, tales que cumplen que 0
n!

<

Sea M el conjunto solución de la inecuación 2| x – 3| ≤ 3 x+|| x –1|+1| determine el valor de verdad (V) o falsedad (F). I. M ∩ 〈– 4; 3〉=[–1; 3〉 II. 〈2; 8〉 ⊂ M III. ∃ x ∈ M / x( x –1)=0

A) VVV D) VFF

I. Si x>2 → x+4 x –1>4.

C) 39 E) 52

A) FVF B) VVV C) FVV D) VVF E) FFV

Indique verdadero (V) o falso (F).

II. Si {a; b; c} ⊂

B) 33

b +

c

2

;

+ ∞

B) 〈 b; +∞〉 C) 〈a; b〉

A) FVFF D) VFVF

B) VFFF

C) FFFF E) FFVV

D) 〈0; a〉 E) 〈– ∞; a〉


Álgebra 26.

Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las proposiciones. I. A={ x ∈ R / || x2+4|–| x2+9||=5} entonces A=〈– ∞; +∞〉. II. q: ∀ x, y ∈ R: || x|–| y|| ≤ | x – y| III. r : El conjunto A={ x ∈ R / | x – 2|> – 4 ∧ | x – 3| ≤ 0} es unitario. A) VVV D) VFF

27.

B) VVF

28.

Considere que  x es el máximo entero de x. A) 〈–1; 0〉 ∪ 〈3; 5〉 ∪ 〈7; 9〉 B) 〈1; 3〉 ∪ 〈5; 7〉 ∪ 〈9; +∞〉 C) 〈–1; 1〉 D) f E) 〈– ∞; 0〉 ∪ [1; +∞〉

C) FVF E) FFV

Luego de resolver la inecuación 2

2 x − 8 x + 8 ≤

2−

x

29.

x + 3

se obtiene como CS=A y se proponen las siguientes proposiciones:

Si y=| x –1|+| x – 2|+| x – 3|+...+| x –100|, ¿cuál es el mínimo de y? A) 250 D) 1600

5

I. A − −3; −  = {3} 2 II. A ⊂ 〈– 4; 3]

Resuelva el sistema de inecuación  x − 1 <  x ≤ x   x ≥0    x  ( x − 1)( x − 2 − 1)( x − 3 − 2)( x − 4 − 3)( x − 5 − 4) < 0

30.

III. A ∩ 〈– 2; 2〉 =〈– 2; 0〉 ¿cuáles son correctas?

B) 270

C) 2500 E) 900

Sea a; b; c; x ∈ R+.

(

A = x ∈R / a x

3/2

1/2 −x

2

)

(

)

2 + b x − x + c x ≥ cx

 x−2  x ∈ A  x − 2 + 1  determine A – BC .

B = 

A) solo I B) solo II C) solo III D) I y II E) II y III

A) 〈2; +∞〉 D) [0; 1〉


B) 〈– ∞; 2〉

C) 〈1; 2〉 E) [2; +∞〉

Álgebra Funciones 5.

NIVEL BÁSICO

1.

Si el conjunto de pares ordenados f ={(1; 0); (3; a2+2); (4; 0); (3; a+ b); (4; b – 2} es una función, calcule la suma de elementos del dominio más el valor mínimo del rango. A) 9 D) 7

2.

B) 5

C) 6 E) 8

A) VVV D) FVV

=

1 + x + x2 + x3

+

x−

C) VVF E) FFV

NIVEL INTERMEDIO

1 x

6.

A) [–1; + B) [–1; 1] – {0} C) {–1; 1} D) [–1; +∞〉 – [0; 1] E) [–1; +∞〉 – [0; 1〉

Sea la función f ( x)=2 x – 3 x2 con x ∈ 〈0; 1〉 Halle el ran( f ). 1 A) −2; −  2 3 1 B) − ;  4 2  1 3 C)  − ;  2 4

Sea f una función definida por

2 − x ; x ∈ −3; 1 = x ; x ∈ [1; 9  Halle el Ran( f ).

f ( x )

D) 〈– 2; 0〉 E)

A) 〈– ∞; 3〉 B) 〈–1; +∞〉 C) 〈0; 3〉 D) 〈–1; 1〉 E) 〈–1; 3〉 4.

B) VFF

Indique el dominio de la función f( x )

3.

Sea x={a; b; c} y las funciones de x en R f ={(a; 1); ( b; – 2); ( c; – 3)} g={(a; – 2); ( b; 0); (c; 1)} Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Ran( f +2 g)={– 3; –1; – 2} II. ( f · g – 2 f )( b)={4} III. Ran f 2={1; 4; 9}

7.

B) 716

C) 742 E) 745

−

3

∪

4

0; 2

De las funciones f( x )

Dadas las funciones f ={(– 2; 4); (0; 3); (1; 1); (3; 5); (6; 9)} g={(1; – 2); (3; 2); (8; 0); (9; 4); (16; 1); (20; 3)} determine la suma de los valores del rango de h( x)= f [ g( x)]+ x2 A) 702 D) 734

2;

−

1(

=

2

g( x )

=

h( x )

=

s(

x

x

a

+

−x

a

1 + x + x2 3

( x + 1)2

−

) −

3

1 − x + x2

( x − 1)2

 1 + x  = log   ) 1 − x 

log ( x + 1 + x 2 ) ¿cuántos son pares?

M( x )

=

A) 1 D) 4

B) 2

C) 3 E) 5


Álgebra 8.

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. f ( x)=2 x+1– 4 x+3 con x ∈ R. Entonces el máximo valor de f es 2. II. Si log2 x=30, entonces log4 x=15. x x 2 con x ∈ R – {0}, entonces el III. Si f ( x ) −

=

x

A) g( x ) =

13.

9.

f ( x )

10.

11.

x

2 x + 3

3

D) − ; − 1

4

−

x

2

; g( x )

=

C) {0; –1} E) {1; 2}

x +1

1

4 

B) [–1; +∞〉

D) 〈– ∞; 1] Dada la función f ( x )

 1 C)  − ; + ∞  4 E) 〈0; +∞〉

=

1 1 + x

1

x + 1 x − 1

; g( x )

4 + 3 x − x2

=

;

−∞

−

[ 1;

∪ −

2

+∞

E) f 14.

15.

determine el rango de f o g. A) −∞;

−

2

Dadas las funciones =

x

3

Dadas las funciones f ={( x; y) ∈ Z2 / y=2 x+1} g={(0; 3); (3; 4); (2; 0); (1; 2)} determine Ran f o g ∩ Dom g o f .

x2

1

−

C) [–1; 4]

C) FVF E) VFV

B) {2; 4}

−

1 2 x =

A) 〈–1; 4]

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. f es inyectiva en 〈1; +∞〉. II. El par ordenado (– 2; 4) ∈ f . III. f (〈1; 2〉) ⊂ {–1; 0; 2}

f ( x )

12.

=

B)

A) {1} D) {3; 2}

x

C) g( x )

determine el dominio de f (2 x)+5 g( x).

C) FFV E) FVF

B) FFF

−

E) g( x ) =

Sea f una función definida por  x 2 ; x < 0  f ( x ) = 0; x ∈[ 0; 2  − x + 2; x ≥ 2

A) FVV D) FFV

2 x 1 =

Dadas las funciones

⋅

B) VVV

x + 1

B) g( x )

D) g( x)= x

Ran f =〈–1; 1〉 – {0} A) FVV D) VVF

2 x + 1

,

halle una función g, tal que g o f o f ( x)= x.

Determine la función inversa de f : [1; 4] → R definida por f ( x)= x2 – 2 x – 6| x –1|+9 A) f(* x )

=

1−

x + 1; x

B) f(* x )

=

4+

x

C) f(* x )

=

D) f(* x )

= −

E) f(* x )

=

[0; 9] [ 1; 8]

+

1;

6x −

x

+

1;

x

∈

4+

x

+

1;

x

∈ −

4−

x

∈ −

[0; 9]

[ 1; 8]

x + 1; x ∈[ −1;

8]

Sean las funciones f : R → R g: R → R h: R → R donde f ( x)=3 x – 3; si x ∈ [– 5; 5] g( x)=2 x –1; x ∈ [– 4; 4] h( x)= x+4; x ∈ [– 2; 2] Determine el campo de definición de ( h o g o f )–1. 5 3 A)  ;  6 2 D) [2; 6]


∈

B) [0; 2]

C) [0; 6]  3 E) 1;   2

Álgebra 16.

Sea una función f : R → R cuya gráfica es

18.

Y f

–2

–1

Y

A)

3

–3

Dada la función f, tal que f ( x)= x3 – 3 x2+3 x –1. Halle la gráfica de g( x)=|1– f (1+ x)|.

X

X

C)

B)

Y

X Y

–2

X

–1

19.

Determine la gráfica de g( x)=| f (–| x|)| si la gráfica de f es

Y

Y

2

1 –1

X

–1

1

E)

Y

X

–3 –2 –1

B)

Y

–1

1 X

C)

C) VFF E) FFF

–1

1 X

Y

–2

D)

–1

1

2 X

E)

Y

1

–1

B) VVF

Y

X

Sean f : A → B; g: B → C Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si f y g son sobreyectivas, entonces g o f es sobreyectiva. II. Si f y g son inyectivas, entonces g o f es sobreyectiva. III. Si f y g son inyectivas, f + g es inyectiva A) VVV D) FVF

X

3

A)

17.

2

–1

Y

3

–1

X

X

1 X

D)

Y

E)

2

1

C)

D)

Y

3

X

Y

Determine la gráfica de g: R → R.  f( x ) ; x < − 1 g( x ) =   f( x +1); x ≥ −1 A)

Y

B)

Y

–1 X

1 X

1


Álgebra 20.

Determine la gráfica de la función f( x )

=

 a1 a12 − 4 a2 a0  I.  − es su vértice. ; 2a1  2a2 

2

2 − 9 − ( x + 2)

A)

II. Si a2<0 ∧ a12<4a · a2, la función I nunca toma valores positivos.

Y

III. Si a2 X

B)

a0

A) VVF D) FFF 23.

X

<

4 a2 , f ( x) solo

Y

B) VVV

=

{( x; y )

2

∈R

/ y = sen x

 2 g = ( x; y ) ∈ R / 

X

24.

Y

X

NIVEL AVANZADO

Determine el dominio de la función f cuya regla de correspondencia es  16 − x 2  f ( x ) = log x + 5  + 4  + log x + 5 (3 x + 1)   16 1

3

1  D) − ; 3 3  22.

1  B) − ; 4  3

x

4

 1 C)  − ;  3

4

 

 1 E)  − ;  3

3

 

Sea la función cuadrática f ( x)=a2 x2+a1 x+a0 de coeficientes reales. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

f( x )

=

1 2

x

2

+

3 x + 2 corta al eje x en 2 puntos.

1( 2 x + 3 x + a) ; a ≠ 0 2 ∃ x0 ∈ R / g( x0)=0 ↔ 9 < 4a III. h( x)= x2+(a+1) x+a; a ≠ 1 corta el eje x en dos puntos diferentes

II.

g( x )

= −

siempre. A) VVF D) FFF 25.

B) VFF

C) FVV E) VVV

Dadas las funciones f ( x)= x2 – x; x>0 x − 2 g( x ) = ; 0 ≤ x < 2 x + 2 determine el rango de la función g o f . A) [–1; + ∞〉 D) [–1; 0〉


C) 〈–1; 0〉 E) [– 2; 2]–{0}

Dadas las funciones f ; g y h con dominio R, indique si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F). I.

A) − ; 4

}

  y = 0 ,1 + 3 0, 02 + 4 4 − 4  

A) [– 3; 3]–{0} B) 〈0; 1〉 D) [–1; 1]–{0}

21.

C) FVF E) VFV

 g3  entonces el dominio de  2  es  f 

Y

E)

toma valores

Dadas las funciones f

X

D)

0∧

positivos.

Y

C)

>

a12

B) R+

C) R – 〈–1; 0] E) 〈0; 1]

Álgebra 26.

Sea la función f :  2; + ∞ → R f( x )

=

x

A) f (* x ) B) f (* x ) C) f (* x ) D) f (* x ) E) 27.

* f ( x )

+

2 x x

=

=

=

=

=

x

−

2

−

8

−

x

x

+

2

−8

2

−

8

2 x

+

x

2

−8

2 x

+

x

; x ∈ 2 2;

1 X

+ ∞

E)

2 x

Y

. Determine la función inversa f *.

2 x

D)

2

−8

4

Y

1

; x ∈  2 2; + ∞

X

; x ∈ 2 2;

+ ∞

28.

Dada la gráfica de la función f

; x ∈  2 2; + ∞

Y f

1

; x ∈  2 2; + ∞

–1 2

X

–1

Se sabe que f es una función cuya gráfica se muestra en la figura

¿Cuál es la gráfica que mejor representa a la función g( x)= f (|2 –| x||+1)?

Y 2 y=( x)

A) Y

1

g

1

–1 1

2

3

1

X

1

B)

3

X

Y

determine la gráfica de g( x)=|1– f (| x|)|.

1

0

3

–1

A)

X

Y

C) X

B)

Y

1

–2 –1

X

D)

X

C)

Y

Y

–3

E)

Y

–1

1

3 X

Y

2

1

1 0

X

–3

–1

X


Álgebra 29.

Sean f ; g: R → R. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Sea (( f + g)o h)( x)=( f o h)( x)+( g o h)( x) II. Sea ( f o ( g – h))( x)=( f o g)( x) – ( f o h)( x) III. Sea ( f o g o h)( x)=( f o g)( h( x)) A) VVV D) VFF

B) VFV

podemos afirmar que I. ( f o g)( x) es creciente ∀ x ∈ 〈–1; 1〉. II. ( g o f )( x) es decreciente ∀ x ∈ R – 〈–1; 1〉. III. ( f o f )( x) es creciente ∀ x ∈ Dom f . IV. La gráfica de ( g o f o f )( x) siempre será creciente.

C) FVF E) FFV

Determine la cantidad de proposiciones correctas.

30.

Dadas las gráficas Y

Y

g( x)

2

X

B) 1

1

–2 1

A) 0

f ( x)

–1 –1

C) 2 1

X

D) 3 E) 4


Álgebra Sucesiones y Series NIVEL BÁSICO

1.

A) 0 D)

Si se sabe que L1

lím

=

x → 4

L2

=

lím

x →2

x

x

−

−

−

4

x

−

2

x

2

+

D) 2.

B)

L1 L2

3

16

3 2

Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes proposiciones. 3 n − 1 I. La sucesión es creciente.

}

n

B) FFV

6.

Sea la sucesión {a } n ∈ N / a n

n

2 n =

2

n

I. El término a10 ∈

−1

−

3 2

;

29 10

2

7.

n

n

=

5

x − 1

B) 4

C) 5 E) 10

Calcule lím

a

x → a

ax − x

a−

2

ax

Considere que a>0.

. A) 1

B) a

D) 3a C) FFF E) FFV

Sea la sucesión

} n ∈ N / a

= n

.

III. El término a7>1,95. B) VVF

x − 1

A) 3 D) 6

II. La sucesión converge a 2.

a

k

¿Para qué valor de n ( n ∈ N) se cumple lo siguiente? x →1

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F).

4.

Calcule la suma

lím

C) FFF E) VFF 2

A) FVF D) VVV

E) 1

3

NIVEL INTERMEDIO

II. Si {a n+ b n} n ∈ N es convergente, entonces {a n} n ∈ N y { b n} n ∈ N son convergentes.  3 n  III. La sucesión  2  es acotada.  n + 1

3.

2

A) log 242 B) log26 C) log213 D) log224 E) log62

C) 1

4

E)

A) VVV D) VFV

1

.

3

{

C)

−  1    S = ∑ log 1    12   k =1  2

2

determine el valor de A) 3

6

2

∞

−

1

2 5.

x

B)

8.

3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2 n + 1)

(2 n + 1) ( n + 2)

entonces el valor de convergencia es

C)

3a 2

E) a a

Sea {a n} n ∈ N una sucesión que cumple a n+2=2a n+1 – 3a n; a1=3 y a2=33 Determine a10. A) 3 10+6 D) 311+6

B) 311 – 6

C) 311 E) 310


Álgebra 9.

Determine el valor de

13.

2 n + 3 n

1

 n2 + 3 n + 2  S = lím   2 n→∞  n + 3 n + 1  A) 1 D) 3 e

B) e

A) D) 11.

5

B)

C)

2

E)

3

4

9

1 +

8

2 −

27

1

B) – e – 2

e

1

E) 2 e

Sea la sucesión en

a

95 441

= a

n

+

1

; n ∈ N.

a

n

Determine 2013

∑

3

k=1

2

1 a k

A) 0 D) 3 16.

B) 4

1

1

−

x

x

n

= n;

( n ≥ 2)

1

n−

∞

donde x1=1. Halle

17.

C) 1 E) 2014

Dado que

A) 0 D) 2

∑ x

n

.

=1

B) –1

C) 3 E) ∞

Indique cuáles de las siguientes series convergen. ∞

n 2 n + 3   I. ∑   2 n  n =1

2 4 6 8 2 2 2 2     S = 1  + 2   + 3   + 4   + ...  5   5   5   5 

D)

1

n +

a2014 − a1

2

Determine la siguiente suma.

441

C) e

D) e –1

A) VVV B) FVF C) VFV D) VFF E) FFV

10

C) 2 E) 4

Determine el punto de convergencia.

A)

Dadas las sucesiones x n= n2+3 n; y n= x n+1– x n indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. p: los términos de y n están en PA de razón 2. q: los términos de y n están en PG de razón 4. r : ∀ n ∈ Z+ ÷ y n+2= y n+1+2

A)

...

B) 1

n

12.

+

n2 − 5 n + 2 ∑ n! n=2

15.

4

2 −

∞

Halle el término a3. 1

3

1 +

A) 0 D) 3

C) 2 e E) e2

En la sucesión (a n) n ∈ N / a n+1=a n · q; q ∈ 〈0; 1〉 se cumple que  a1 + a2 = 5  ∞   a j = 3 ∑ ak k= j +1 

1

2 −

2

14. 10.

Determine el valor de la siguiente serie.

B)

25 441

C) E)

75 441 100 441

∞

II.

III.

∑

n 2

n n n =1 4 − 3 n ∞

∑=1 n n+ 1 

n

A) I y II D) solo II


B) II y III

C) solo I E) solo III

Álgebra n

18.

2

∑

Si S n =

k

, calcule

k =1

A) D) 19.

1

B)

2

n

1

C)

4

E)

5 f( x )

=

donde S1=1. Calcule

D)

lím n→∞

. 3

1

Se sabe que

A)

III. Si { b n} n ∈ N ⊂ {a n} n ∈ N; si a n diverge, entonces b n converge.

S n

1

1 4

A) VFV D) VFF

3

lím Sn si

6

23.

C)

2

E)

3

n

3

10−

lím  n→∞ 

2 4 3

k

k= 0

Si

lím Sn

16 =

9

n→∞

A) D)

1

24.

, determine x. B)

2

1

C)

4

1

E)

5

x n

( n + 1)

1

n

n !

 − n 

n

+1

C) +∞ E) 0

n

n

n

II. Si {a n} es una sucesión de términos positivos convergente, entonces {(–1) a n} también es convergente.

2 3

a n

 1  conIII. Si {a n} → 0, entonces lím 1 +  →∞  a 

NIVEL AVANZADO

n

verge.

21.

−1

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si {a n} es una sucesión creciente de términos a − a  positivos  +1 , entonces es creciente. − a a  −1  n

3

n

2 n+ 3

B) e2

A) e D) 1

∑ ( k + 1) x

Sea S n =

2

4 n + 1 = log + log   + ... + log   2 3 n  3

determine el valor de

n

20.

C) FVV E) FFF

Dada la sucesión { x n} n ≥ 1 definida por x

existe.

n→∞

B) VVV

1

(2 x + 3) y S n+1= f ( S n),

B) 2

2

1

Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

A) VVV D) FVF

∞

I. Si ∑ a es convergente, entonces lím a n=0.

B) VFV

n

C) FVV E) FFF

n

n

=1

∞

II. Si lím a n ≠ 0, entonces

∑a

n

n

∞

III. La serie A) VFF D) VVV 22.

∑

( n − 1)!

2 n=1 n ⋅ n!

diverge.

=1

es convergente.

B) VVF

C) FVV E) FFF

Dada la sucesión {a n} n ∈ N indique valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si {a n} es acotada, entonces es convergente. II. Si {a n} es monótona creciente, entonces es acotada superiormente.

25.

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. En una sucesión aritmética {a n} n ∈ N se cumple la relación. a n –1+a n+2=a n+a n+1; ∀ n ≥ 2 II. La sucesión {a n}, tal que a1=2 y 1

a

n +1

=

2

(6 + a ); ∀ n ≥ 1 es convergente. n

III. Si b1; b2; b3; ...; b n es una progresión geométrica de términos positivos, entonces ln( b1); ln( b2); ...; ln( b n) es una progresión aritmética. A) VVF D) VFV

B) FVV

C) VVV E) VFF


Álgebra 26.

Determine

28.

2  1 2  2 2 ( n − 1)      a +  +  a +  + ... +  a +  lím  n     →∞ n   n  n

1

n

A) a2 2

D) 27.

a

B) +

a

a ( a + 1) 2

C)

Sean P=1+a+a2+a3+a4+...; |a|<1 Q=1+ b2+ b4+ b6+ b8+...; | b2|<1 tal que a2+ b2=1 Halle Q en función de P. A) Q = B) Q = C) Q

D) Q = E) Q =

t

∑ e i

2

n = 0

1

P 2

−

2P

+

2P

P 2

−

2P

C)

A) +1

30.

1 2

1 −

3

5 +

36

1

19 +

216

B)

3

65 +

211

1296

+

7776

1

1

C) 2

2

E)

4

5 +

36

7 +

144

9 +

400

11 +

900

+

+

2P

A) 2

+1

P2 P 2

+

D)

P +1

1 2


1 6

...

P2 P 2

+

Determine la siguiente suma. 3

−

e −

E) e

D) 1 −1

e

Calcule la suma E =

P2 P 2

B) e –1

D) e n+1 29.

1

n +

n

A) 2 en

3

P2

P2 =

n

a −1

E) a2 + a +

2

2

Si  e t x + y = e t x ⋅ e t y  t  e a = e t b ⋅ ea − b determine

B) 1

C) E)

3 2 4 3

...

−

1

1

Álgebra Matrices y Determinantes NIVEL BÁSICO

1.

A)

Dadas las matrices

D)

 −2 0  A =   4 −2 

E = A+2 A+3 A+...+ nA; n ∈ N

27

B)

4

a

3 3

C)

2

3 2

E)

3

4

3

NIVEL INTERMEDIO

calcule la suma de elementos de la matriz E . A) 0

B) 1

D) 2 n( n+1) 2.

C) n( n+1) E)

n 2

6.

1

( n + 1)

Sea x=[ x ij ]2×2, tal que satisface la ecuación matricial  1 −1 T x − 2 x =   2 3  halle la traza de x.

Determine n2 – n+1 si se cumple que 2

3

4

2 +

4

3 5

A) 1057 D) 993 7.

3.

B) – 3

C) – 2 E) 5

Dada la matriz

1 M =  2  0

0 1 2

8.

calcule la suma de los elementos de su inversa. A) – 3 D) 3

−

m

1) !

(n

−

1) !

B) – 2

C) 0 E) 4

n+1

n + 2

n+ 3

C) 1025 E) 949

=

3 m!

B) 6

C) 12 E) 8

Dadas las matrices 1 0 2   a     A = 0 2 −2 y x =  b ;  0 −1 1   c 

abc

si Ax=3 x, calcule el valor de 4.

= −64

determine m · n. A) 9 D) 4

 2  1  1

n

Si m y n son consecutivos, además ( m

... +

B) 824

n

A) – 4 D) 3

+

≠0

a+ c

.

c

Halle n si la matriz −1  2 A =    n − 1 −2

A) –1 D) 0

B) 2

C) 1 E) 3

es nilpotente de orden 2. 9.

A) 2 D) 4 5.

B) 3

Sea A=(a ij )3 x3, tal que 3 − a ij ; i ≠ j a ij =   − a ij ; i = j Determine

4

t

A

A.

C) 5 E) 6

Dada la matriz  cos θ − sen θ  A =  sen θ cos θ  0 0

0

  1 

0

indique lo correcto. A) A2= I D) A+ A2=0

B) A2= A

C) A · AT = I E) A2 – A= I


Álgebra 10.

Sean A y B dos matrices de R2×2. Se define el operador 〈 ; 〉 de la siguiente manera 〈 A; B〉=traz( A t B) Calcule el valor de A; A A

 a =  11  a21

15.

Sea

 1 1 1 1 0 1 1 1  A =  0 0 1 1   0 0 0 1 y B= A n=[ b ij ]4×4; n ∈ Z Determine b14 ÷ b13.

  a22  a12

A) 2 B) 1

A)

C) 0 2 2 + a D) a11 22

E) 11.

2 + 11

a

a

16.

B) 128

C) 256 E) 512

B) 0

B) – I

17.

18.

C) x2 E) ( x+1)3

C) A E) – A

halle el valor de 2a23+3| A|.

C) 4 E) 2

2

C) E)

3

n + 3 2

n − 1 2

Sea A una matriz triangular superior y B una matriz involutiva, tal que AB= A+ B. Determine la traz ( A) si traz ( B)=–10. B) 5

C) 10 E) –10

Si A2= A, B · BT = I , entonces la matriz ( BT AB – ( BT AB)2)2 es igual a B) ( A+ B)2

C) 0 E) ( A – I )2

Sea A una matriz de orden n que cumple Av=l v; v ∈ R n×1, l ∈ R si P( x)=det( A – Ix), indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. P(a) ≠ 0 II. P(a)=0 III. P(– A)=0 IV. Si ∃ P ∈ R n× n; B= P–1· A · P → P( B)=0.

Si A n=∅ ∧ A ≠ ∅ ∧ A ∈ R n× n (∅: matriz nula) calcule I + A+ A2+...+ A n –1. A) I + A D) I – A


n + 1

A) FVFF B) VFFF C) FVFV D) VFFV E) FVVF 19.

B) – 2

B)

n − 1

A) 0 D) – 5

Sea la matriz A=[a ij ]3×3, tal que satisface  3 0 0 4 0 0 12 12 12  0 6 0 ⋅ A ⋅ 0 4 0 = 24 24 24        0 0 9 0 0 4 36 36 36

A) – 4 D) 8

3

A) ( A – B)2 D) ( AB – BA)2

Se sabe que A es una matriz de orden 2, tal que traz(– A)=| A|=1. Halle A48. A) I D) A2

14.

a

2 22

Determine | A| si  1 1 1 1   −1 x 1 1   A =   −1 −1 x 1   −1 −1 −1 x  A) –1 D) 1

13.

a

2 + 21

Sean A=[a ij ]3×3 y B=[ b ij ]3×3 tal que | A|=2cosp además N = A10 · AT y M = A|4 A–1| Calcule det( MN )+| B18| si se sabe que B es nilpotente de orden 17. A) 64 D) 16

12.

2 + 12

D)

n + 2

B) ( I + A) n

C) ( I – A)–1 E) ( I – A) n

Álgebra 20.

Calcule  1 z  det  z z   z 1

24.

z



1



z

π

si z = cis . 3

A) 2 D) 4

B) 0

C) – 2 E) – 4

A) VVV D) FVV

NIVEL AVANZADO 25. 21.

Dada la ecuación P( x)=ax3+ bx2+cx+ d =0 a+ b+c+ d =1 Si la matriz  1 −1 0    A =  0 1 −1  1 0 1  satisface dicha ecuación, halle a+ b+c – d . A) –1 D) 3

22.

B) – 2

a1

a2

x

0

…

0

x

…

0

1

…

0

…

0

1

−

0

1

−

0

0

n

 0

0

0

26.

a



−

1

=

D)

B)

a1 a0

C) −

a1 a0

E) 1

n

0

Si a ≠ b; b ≠ c; a ≠ c; abc ≠ 0, reduzca 1

1

a

b

c

3

a

3

b

c

C) VVF E) FVV

Sea A una matriz cuadrada de orden n, tal que ( I – A)–1= I + A+ A2+...+ A k –1; I : matriz Identidad de orden n. Halle traz( A k). B) 3

C) 5 E) – 2

Sea la matriz A=(a ij ) n× n, tal que  λ; i > j  a ij = 2; i = j 0; i < j  si se verifica que a A+b A t= A · B · A · A–1· B–1· A–1 donde B es una matriz cuadrada de orden n, halle a+b.

3

A) 1

( b − c ) ( c − a) ( a − b)

A) a+ b – c D) a – b – c

B) VFF

x

a

1

Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si M es una matriz no singular, tal que N 2 M = MN , entonces traz( N 2)=traz( N ). II. Sea A una matriz involutiva, entonces | A|=1. III. Sean A y B dos matrices conmutables y no singulares, entonces B–1 A3 B= A3= B · A3 B–1

A) 2 D) 0

a

23.

C) VFV E) FFF

0

27.

A) 0

B) VVF

A) VVV D) VFV

C) 2 E) – 3

Halle la suma de raíces de la ecuación a0

Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda. I. Si A es una matriz antisimétrica, entones su cuadrado es una matriz simétrica. II. Si A es una matriz idempotente, entonces | A2 n – A|=0 III. Si A es una matriz no singular, tal que A3= I , entonces tr( A2)=tr( A–1).

B) a+ b+c

C) a – b+c E) b – c – a

D)

B) −

1

1 2

C) E)

4

1 2

1 6


Álgebra 28.

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. La determinante de toda matriz antisimétrica es nula. II. Si A2 es una matriz singular, entonces det( A – A2)=0. III. Si se cumple que |l A|| A|=l| A|3; l ∈ R*, entonces orden ( A)=2; R*=R – {0}. A) VVF D) FVV

29.

B) FFV

A) VVV B) VFV C) FVV D) FFF E) FVF 30.

C) VVV E) FVF

Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si A=(a ij ) n× n es tal que A2=9 I , donde I es la matriz identidad, entonces ( A – 2 I )2= I . II. Si AB= BA, entonces A n B= BA n. III. Si A es involutiva entonces ( ABA)2= AB2 A.

Dada la matriz  λ1 0  0  0 λ  0  2  ; λ ⋅ λ ⋅ λ ...λ ≠ 0 D =  n 1 2 3       λ n   y sea A= PDP–1 halle P –1 · e A · P si 2

A

e

=

I

+

A+

2!

A +

3!

+

A) I B) el n D) el1+l2+...+l n


3

A

...

C) e E) e D

Álgebra Programación lineal 4.

NIVEL BÁSICO

1.

Al resolver el sistema 2 x − y + z = 1  x + y = 4   x − y − z = 1 

A)

calcule el valor del producto xyz.

B)

A) – 6 D) 6 2.

Represente en R2 el conjunto A={( x; y) / x+ y ≤ 1; y ≥ x2}

B) – 4

Y

X Y

C) 4 E) 0

X

C)

Si el sistema

Y

( p − 2) x + 12 y + 3q = 0  8 x + 7 = 4 y q es indeterminado, indique el valor de .

X

p

A) B) C) D) E) 3.

D)

3

Y

5 2

X

5

E)

7

Y

22 4

X

3 23

5.

27

Luego de resolver el sistema inicial  cx + az = b   ay + bx = c  bz + cy = a  el valor de 2 bcx es A) a2 – b2+c2 B) a2 – b2 – c2 C) a2+ b2 – c2 D) b2 – a2+c2 E) b2 – a2 – c2

En una urbanización popular se construirán casas de 2 tipos: A y B. La empresa constructora dispone para ello de un máximo de S/.1 800 000, y el costo de cada tipo de casa es de S/.30 000 y S/.20 000, respectivamente. El ayuntamiento exige que el número total de casas no sea superior a 80. Además se sabe que el beneficio obtenido por la venta de una casa de tipo A es S/.4000 y de tipo B es S/.3000. ¿Cuántas casas se deben construir de cada tipo para obtener el máximo beneficio? A) 20 y 60 D) 50 y 40

B) 20 y 50

C) 30 y 50 E) 40 y 45


Álgebra 8.

NIVEL INTERMEDIO

6.

Represente gráficamente el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones.

 y + 2 x ≥ 4 + x   y − 2 ≤ x + 2

A) −

2

9.

10.

Y

Y

X

E)

1 3

Sea A un conjunto determinado por

B) 10

Y

Dado el sistema lineal A n× n · x n×1= b n×1 indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones. I. Si | A|=0, entonces el sistema tiene infinitas soluciones. II. Si | A| ≠ 0; b=[0; 0; ...; 0] t, entonces el sistema tiene solución no trivial. III. Si el sistema no tiene solución, entonces | A|=0.

11.

Determine el valor de

Se sabe que x; y ∈ N. Determine x+ y+z si se tiene el siguiente sistema.  2 x + y = 11  3 x − 2 y = 5 3 x ≥ z ≥ 4 y 

x+ y+ z=36

A) 13 D) 16

A) 10 D) 2

B) 15

C) 11 E) 13

A) FFV B) VFV C) FVF D) VFF E) FVV

X

7.

C) 0

3

E)

A) 9 D) 12

X

D)

3

2

Y

X

C)

B)

A={( x; y) ∈ Z×Z / | x+ y| ≤ 2 ∧ x2+ y2 ≤ 4 ∧ –1 ≤ x < 2} El número de elementos del conjunto A es

X

B)

1

D) 1

Y

A)

Dado el sistema 4 e2 x ⋅ e y + e x ⋅ e− y = 5e  2 x y x −y  e ⋅ e + e ⋅ e = 2e

C) 17 E) 19

K

z + 3y + 5x

=

si se cumple que 3 x

−

3y

y

9

=


−

11

3z

z =

−

x

16

B) 8

C) 4 E) 6

Álgebra 12.

Se dispone de tres marcas de fertilizantes que proporcionan nitrógeno, fósforo y potasio. Una bolsa de cada marca proporciona las siguientes unidades de cada nutriente, como se muestra en el cuadro adjunto.

14.

Fósforo

Potasio

A

1

3

2

B

2

1

0

C

3

2

1

B 1

A 1

C) 3 E) 5

Un fabricante desea maximizar la ganancia en la venta de 2 productos. El primer producto genera una ganancia de S/.1,5 por unidad y el segundo una ganancia de S/.2 por unidad. El estudio de mercado y los recursos disponibles establecen las siguientes restricciones: I. El nivel de producción combinado no debe exceder de 1200 unidades mensuales. II. La demanda del segundo producto es menor o igual que la mitad de la demanda del primer producto. III. El nivel de producción del primer producto es menor o igual que 600 unidades más tres veces el nivel de producción del segundo artículo. ¿A cuánto asciende en soles la máxima ganancia? A) 900 D) 2000

B) 1000

C) 1875 E) 2275

3

4

Podemos afirmar que I. Su máximo lo alcanza en D y su mínimo lo alcanza en A. II. Es posible trazar una diagonal del polígono ABCDEF , tal que su máximo sea en el punto F . III. Si la función objetivo fuese Z =ax – by, su máximo lo alcanza en A.

Para un crecimiento ideal del espárrago en la ciudad de Ica, el ingeniero agrónomo estima que se necesitan 18 unidades de nitrógeno, 23 unidades de fósforo y 13 unidades de potasio por hectárea. ¿Cuántas bolsas del fertilizante de la marca A deben usarse por hectárea para lograr un crecimiento ideal?

13.

E

C

Nitrógeno

B) 2

D

5

Nutrientes

Marca

A) 1 D) 4

Dado el problema de programación lineal Opt. Z =ax+ by; 3 b>a> b>0 sujeto a la región convexa

A) FFV D) VVV 15.

B) VFV

C) FVF E) FFF

La siguiente figura da la idea de tres planos según la recta L . ¿Cuáles de los sistemas de ecuaciones dados representa a la figura dada?

 2 x + 3 y − z = 1  I. − x + 5 y + 2 z = 4  x + 8 y + z = 5 

 x − y + 3 z = −2  II. −2 x + 2 y − 6 z = −4  − x + y − 3 z = 2 

 2 x − y + z = 3  III. − x + 3 y − z = 1  x − 2 y + 2 z = 2  A) solo I D) solo III

B) I, II y III

C) I y III E) solo II


Álgebra 18.

NIVEL AVANZADO

16.

Sea {( x0; y0)} el punto de intersección de las rectas L1 y L2 como se indica. Y

Determine la figura que mejor representa la gráfica del conjunto. x  A = ( x; y ) ∈ R × R / xy ≤  y  

L1 :5 x – 2 y=m y0

A)

Y

B)

1

Y

1

x0

–1

–1

Si x0 excede en 7 a y0, entonces del valor de m se puede afirmar que

Y

A) m ∈ 〈59; 66〉 B) m ∈ 〈54; 59〉 C) m ∈ 〈48; 54〉 D) m ∈ 〈44; 48〉 E) m ∈ 〈38; 44〉

X

D)

E)

Y

Y

X

17.

–1

X

19.

Represente el conjunto A={( x; y) / | x – y| ≤ x} A)

B)

Y

X

X

Y

Y=2 x

X

D)

20.

B) 1

Luego de resolver el sistema a  x + y =  x − y b − c    x + c = a + b  y + b a + c el valor de xy+( b – c)2 es

E)

Y

Al resolver el sistema  x 2 + x + y 2 − 3 y + 2 = 0  2  y − y =0  x + 1 +  x determine el valor de 5 x+7 y2. A) 0 D) 3

Y Y=2 x

C)

X

X

X

C)

L2 : x+9 y=m

Y

X

X

A) 2 a2 B) a2 C) bc D) a2+2 bc E) a2 – 2 bc


C) 2 E) 5

Álgebra 21.

El sistema homogéneo (1 − k) x + y − z = 0   2 x − ky − 2 z = 0  x − y − ( k + 1) z = 0  es indeterminada, calcule la suma de valores de k. A) –1 D) 3

22.

B) 0

25.

C) 2 E) 5

Determine los valores de m para que el sistema ( m + 2) x + my = 1   mx − ( m − 2) y = − 1, m ≠ 0 tenga solución única de componentes negativos.

 x − y + z = 2  A) 2 x − 2 y + 2z = 4  x + y + z = 3 

A) 〈– 2; –1〉 B)

;

−∞

−

1

−

{

−

Indique cuál de los sistemas representa mejor al gráfico.

2}

C) − 2; − 1 D)

1;

−

+ ∞

−

 x + y + z = 3  B) 2 x − 2 y + 3z = 4  3 x − y + 4 z = 7 

{ 2}

E) −2; − 2 23.

Dado el sistema de ecuaciones en R. ( x − 2)2 + ( y − 2)2 = 1   y = mx determine los valores de m, de tal manera que el sistema tenga más de una solución. A) m ∈ B) m ∈

4− 7 3 4− 7 2

;

;

 x + y − z = 0  C) 2 x + y + z = 12  x − y + z = 7   2 x + y + 5 z = 1  D)  x − y + z = 6 6 x + 3 y + 15 = 3 

4+ 7 3 4+ 7 2

C) m ∈ R

x − y + z = 3   E)  2 x + 3 y − z = 1 − x − 4 z + 2 z = 2 

D) m ∈ f E) m ∈ 4 − 7; 4 + 7 24.

Resuelva el sistema para valores enteros y positivos 2 y < x  4 y > 7 z  x − 4 < 2 z  Luego halle el producto de ellos. A) 2 D) 15

B) 5

C) 12 E) 10

26.

Calcule el valor mínimo de Z = x+2 y sujeto a las restricciones 2 x + y ≥ 7  2 y − x ≥ − 1 2 x − y ≥ − 3  A) 2 D) 5

B) 3

C) 4 E) 7


Álgebra 27.

Un fabricante de raquetas de tenis obtiene una utilidad de S/.15 por cada raqueta de tamaño extra y S/.8 por una de tamaño estándar. Para satisfacer la demanda de los distribuidores, la producción diaria del modelo extra debe estar entre 10 y 30, y entre 30 y 80 la del modelo estándar. A fin de conservar la máxima calidad, el total de raquetas producidas no debe ser mayor de 80 diarias. ¿Cuántas de cada tipo deben fabricarse cada día para obtener la máxima utilidad? Dé como respuesta el número óptimo de raquetas de tamaño estándar.

29.

Determine el conjunto solución del sistema x1 + x2 = 1   x + x + x = 4 3  1 2  x2 + x3 + x4 = −3  x + x + x = 2 4 5  3 x4 + x5 = −1 

A) {6; – 5; 3; –1; 0} B) {7; – 6; 3; 0; –1} C)

A) 28 D) 46 28.

B) 30

C) 38 E) 50

( x0; y0) es el conjunto natural que verifica el sistema  y + 8 > x 2 + 3 x  2 y − x < y forma la cuadrática f ( x)=0, cuyas raíces sean

{ x02

+

y0 ;

x0

+

2 y0

}.

A) x2 – 4 x+4=0 B) x2+3 x+1=0 C) x2 – 4 x – 4=0 D) x2 – 4 x+1=0 E) x2+4 x –1=0

{

11 9 3 1 ; − ; 3; − ; 2 2 2 2

}

D) {6 – t; – 5+ t; 3; –1– t; t} / t ∈ R E) f 30.

Resuelva el sistema de ecuaciones

 x1 + 2 x2 + 3 x3 = 2  x − x + x = 0  1 2 3   x1 + 3 x2 − x3 = −2  x1 + 4 x2 + ax3 = 0 e indique el valor de a para que el sistema sea determinado. A) 2 D) – 2


B) 1

C) 3 E) 4

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