Índice Capítulo 1 Introductorio.................................................................................................... 4 Capítulo 2 Juegos de ingenio.............................................................................................. 10 Capítulo 3 Orden de información I: Ordenamientos lineales............................................. 17 Capítulo 4 Orden de información II: Cuadro de afirmaciones. Ordenamiento circular..... 24 Capítulo 5 Orden de información III: Principio de suposición. Problemas diversos........... 32 Capítulo 6 Miscelánea........................................................................................................ 40 Capítulo 7 Lógica inferencial............................................................................................. 44 Capítulo 8 Análisis de figuras I........................................................................................... 53 Capítulo 9 Análisis de figuras II.......................................................................................... 60 Capítulo 10 Habilidad operativa.......................................................................................... 67 Capítulo 11 Razonamiento inductivo................................................................................... 73 Capítulo 12 Conteo de figuras.............................................................................................. 79 Capítulo 13 Analogías y distribuciones numéricas............................................................... 86 Capítulo 14 Miscelánea........................................................................................................ 91 Capítulo 15 Sucesiones numéricas y alfabéticas................................................................... 96 Capítulo 16 Sucesiones polinomiales................................................................................... 102 Capítulo 17 Series numéricas. Series notables...................................................................... 108
Razonamiento Matemático Capítulo 18 Series numéricas II. Series especiales................................................................ 115 Capítulo 19 Operaciones combinadas.................................................................................. 119 Capítulo 20 Planteo de ecuaciones ...................................................................................... 124 Capítulo 21 Planteo de ecuaciones. Situaciones diversas..................................................... 129 Capítulo 22 Fracciones......................................................................................................... 134 Capítulo 23 Tanto por ciento............................................................................................... 139 Capítulo 24 Operadores matemáticos.................................................................................. 143 Capítulo 25 Operaciones binarias........................................................................................ 148 Capítulo 26 Cronometría...................................................................................................... 154 Capítulo 27 Suficiencia de datos.......................................................................................... 158 Capítulo 28 Análisis de gráficos estadísticos........................................................................ 164 Capítulo 29 Miscelánea........................................................................................................ 172 Capítulo 30 Análisis de gráficos estadísticos II..................................................................... 176 Capítulo 31 Análisis combinatorio I..................................................................................... 184 Capítulo 32 Análisis combinatorio II.................................................................................... 189 Capítulo 33 Certezas - Máximos y mínimos.......................................................................... 194 Capítulo 34 Miscelánea........................................................................................................ 199
Introducción En los últimos años, los exámenes tomados en la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) incluyen preguntas de Razonamiento Matemático que requieren de un análisis directo para su resolución. En el presente capítulo, los profesores del curso hemos recopilado algunas preguntas de los últimos exámenes tomados en la UNI, dichas preguntas están resueltas y esperamos que sean un aporte para tu preparación.
Problemas resueltos 1. (EX–UNI 2002). Indique la alternativa que debe ocupar el casillero UNI. UNI
4
a) –1 1 d) 2
Resolución:
Un cilindro dividido diagonalmente en dos partes es una figura como la mostrada:
Dicho gráfico no representa a las dos circunferencias indicadas en el problema.
Rpta.: a
12 29 64 135 1 1 b) c) 4 3 e) 1
Resolución:
Analizando los números que aparecen como datos:
UNI 4 12 29 64 135 ×2+4 ×2+5 ×2+6 ×2+7
Luego: UNI × 2 + 3 = 4, de donde se obtiene el valor de UNI: UNI =
1 2
Rpta.: d
2. (EX–UNI 2002). El dibujo adjunto es una vista desde arriba. ¿A cuál de las siguientes figuras geométricas no representa?
3. (EX–UNI 2002). Las dos superficies visibles de la figura adjunta siguen una misma secuencia numérica. ¿Cuáles son los números de la fila interior de la superficie "Z"? Superficie "Z"
3 6 a) A un cilindro dividido diagonalmente en dos partes. b) A un cilindro dividido transversalmente en dos partes. c) A dos esferas. d) A una esfera partida en dos partes iguales. e) A dos cilindros. Ciclo UNI 4
a) 18; 17 y 22 c) 24; 23 y 28 e) 21; 23 y 28
8 5
7
9
10 12
14 11
13 16
b) 22; 23 y 26 d) 21; 26 y 25
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Resolución:
Notamos que P(0) origina P(2) el cual genera P(4), de ese modo se puede generar P(6) y así sucesivamente hasta llegar a P(40). La información I es suficiente.
Analizando II:
Del dato:
P(40) = P(42) – 2, luego
P(42) = P(44) – 2, a continuación tendríamos:
P(44) = P(46) – 2
Notamos que P(40) origina a P(42) el cual genera P(44), de ese modo se puede generar P(46) y así sucesivamente hasta llegar a P(80), el cual, al tomar el valor de 82, nos permitiría hallar P(40).
La información es suficiente.
Rpta.: d
Analizando la figura y abriendo sus caras, se tendría. Superficie no visible 644474448 3 8 7 9 14 13 15 20 19 21 26 25 6 5 10 12 11 16 18 17 22 24 23 28 144424443 Superficie visible • Los casilleros negros contienen números impares. • Los casilleros blancos contienen números pares.
Es así que los casilleros inferiores de la superficie "Z" serán: 24; 23 y 28.
Rpta.: c
4. (EX–UNI 2005 II). Determinar el valor de P(40), si:
P(x) = P(x + 2) – 2
Información brindada: I. P(0) = 2
II. P(80) = 82
Para resolver el problema: a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente. c) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. d) Cada una de las informaciones, por separado, es suficiente. e) La información brindada es insuficiente.
Resolución:
5. (EX–UNI 2005 II). Si la suma de los cuadrados de dos números positivos es a la diferencia de los cuadrados de los mismos números como 29 es a 21, ¿qué porcentaje del mayor es el número menor? a) 40% d) 80%
Del dato y considerando que "a" y "b" son los números positivos en mención, se tendría: a2 + b 2 29 = a2 – b 2 21
Resolviendo, se obtiene:
Analizando I:
Del dato:
P(0) = 2, luego P(0) = P(2) – 2, entonces se halla P(2)
Piden:
P(2) = 4, luego: P(2) = P(4) – 2, entonces se halla P(4)
Central: 619-8100
c) 50%
Resolución:
b) 70% e) 60%
a 5 = b 2
a = 5k b = 2k
2k × 100= 40% 5k
Rpta.: a
www.trilce.edu.pe 5
Problemas para la clase 1. Conviniendo en que ( a ; b ),( c ; d ) representan elementos arbitrarios de R2, definimos las operaciones y como sigue:
(a;b)
M
( c ; d ) = ( a+c ; d-b )
( a ; b ) = ( Mb; Ma ) , M R
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. Existe un ( a; -b ) satisfaciendo la igualdad ( a ; b ) ( 0 ; 0 ) = ( a ; -b ) II. Existe un ( b ; a ) satisfaciendo la igualdad 1 (a; b) = (b; a) III. 2
[ (1 ; 2 )
a) VVF d) VVV
5. ¿Qué es respecto a mí el abuelo materno del mellizo de Manuel, si la madre de Manuel es la hermana de mi hermano gemelo? a) Abuelo d) Hijo
b) Padre e) Yerno
c) Tío
6. Indique cuál de las siguientes afirmaciones es correcta, considerando la información del cuadro de barras adjunto. Cantidad de personas que prefieren usar café instantáneo en el desayuno, según estado civil y sexo ( Setiembre del 2007)
(3;4)]=(4;8) b) VFV e) FFF
c) FVV
2. Determine el número de trayectorias que permiten ir de A hacia B sólo con desplazamientos hacia arriba o la derecha.
B
A a) 96 d) 252
b) 126 e) 210
c) 150
3. Dos conferencias simultáneas tienen igual número de asistentes. Por cada 6 personas que salen de la primera conferencia, de la segunda salen 2 personas para ingresar a la primera y 3 para irse a su casa, además cuando hay 64 asistentes en la primera conferencia, en la segunda existen 24. ¿Cuántos asistentes había inicialmente en cada conferencia? a) 196 d) 315
b) 224 e) 344
c) 256
4. La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo era la mitad de la suma de las edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años. ¿Qué edad tenía cuando las edades de los tres sumaban 70 años?
I. Hay más hombres que mujeres que prefieren usar café instantáneo. II. El 28,06% de las personas que prefieren usar café son casadas. III. Hay más viudas que mujeres divorciadas, que prefieren usar café instantáneo. a) I y II d) II y IV
b) II y III e) III y IV
c) I y III
7. Con 3 colillas se puede hacer un cigarro. Si Pedro tiene 21 colillas. ¿Cuál es el máximo número de cigarrillos que puede fumar? a) 9 d) 11
b) 10 e) 15
c) 30
8. Se tiene una balanza de platillos y 8 bolas de billar aparentemente iguales, pero una de ellas pesa más. ¿Cuál es el menor número de pesadas en que se puede determinar con seguridad la bola que pesa más? a) 5 b) 10 c) 15 d) 18 e) 24 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Ciclo UNI 6
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 9. Si tienen 5 cajas ordenadas del 1 al 5; se sabe que en cada caja hay una bola blanca o una bola negra. Se sabe además que:
• Hay más bolas blancas que negras. • La cajas 1 y 5 tienen bolas de distintos colores. • No pueden haber 3 bolas blancas seguidas.
b) 7 e) 4
Jugar tenis, jugar fútbol e ir al cine. Jugar tenis, jugar fútbol e ir al estadio. Jugar fútbol, ir al teatro e ir al estadio. Jugar tenis, jugar fútbol e ir al teatro. Jugar fútbol, jugar tenis e ir al estadio.
13. Indicar cual o cuales de las siguientes figuras se puede realizar sin levantar el lápiz y sin repetir el mismo trazo.
¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar las bolas? a) 8 d) 5
a) b) c) d) e)
I.
II.
c) 6 III.
10. Determinar el valor de (a+b), si: a
∑ K = bbb k =1
a) 34 d) 46
b) 56 e) 59
a) I y II d) solo II
c) 42
11. Tres amigas sostienen la siguiente conversación: • Andrea: Aprobé Mate 1 • Blanca: Yo no aprobé Mate 1 Si se sabe que solo una de ellas desaprobó Matemática 1 y que solo una de ellas miente. ¿Quién miente y quién desaprobó respectivamente? a) Blanca - Andrea c) Blanca - Carla e) Blanca - Blanca
b) Andrea - Carla d) Andrea - Blanca
12. Juanjo está planificando su fin de semana (viernes, sábado y domingo), él desea realizar seis actividades, ir al cine, ir a una discoteca, ir al teatro, jugar tenis, jugar fútbol e ir al estadio. Para ello tomará en cuenta las siguientes condiciones: • Realizará todas las actividades, dos por día, una en la tarde y otra en la noche. • No irá al teatro el viernes. • Ningún día irá al cine en la tarde. • El sábado por la noche irá a una discoteca. • En un mismo día, luego de jugar tenis irá al estadio
c) I y III
14. Si se sabe que 14 cuadernos cuestan lo mismo que 6 libros, 8 libros cuestan lo mismo que 5 maletines, 3 maletines cuestan 35 soles. ¿Cuántos soles tengo que gastar para adquirir 16 cuadernos?
• Carla: Andrea dice la verdad.
b) II y III e) solo I
a) 40 d) 35
b) 35 e) 60
c) 50
15. Cuando una dama llegó a su casa, encontró un mensaje sobre la mesa dejado por su esposo. Lamentablemente, Gabriel; el menor de sus hijos cortó dicho mensaje en cuatro partes tal como lo muestra la figura: S M T N R
R T E V P
O O S I U
A A E O O
De acuerdo a ésta información, indicar verdadero o falso:
I. A Sara se le pide botar café.
II. La dama se llama Marta.
III. A Rosa se le pide botar vino.
IV. La dama se llama Rosa. a) FVFV d) FFFV
b) FFVF e) VFVV
c) VVFV
¿Cuál de las siguientes podría ser una distribución correcta de las actividades a realizar por Juanjo en las tardes de los días viernes, sábado y domingo respectivamente?
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 7
Tarea domiciliaria 1. ¿Qué número continúa?
6. Si se sabe que:
4; 8; 15; 28; 53; ... a) 100 d) 102
b) 201 e) 107
• M y P se lee: "M es preferido a N". • (M p L) y (N p M) ⇒ (N p L)
c) 142
Además: • • • •
2. Si se sabe que: • Ana no es menor que María. • Karla no es menor que Paola. • Beatriz y Claudia son mayores que Ana, en cambio Paola es menor que esta.
¿Qué afirmación no es verdadera? a) Claudia puede ser mayor que Beatriz. b) María y Paola pueden tener la misma edad. c) Beatriz es mayor que María. d) Paola no es menor que Claudia. e) Karla y Ana pueden tener la misma edad. 3. Matías, un niño de 9 años, dice: "En casa somos solo dos hermanos. ¿Qué parentesco me une con la hermana del mellizo de Luis, si se sabe que su madre es la única nuera de mi madre?" a) Es su hermana c) Es su hija e) Es su tía
b) Es su prima d) Es su sobrina
4. Completar las casillas en blanco con números de un dígito, de tal modo que al sumar los valores de cada fila o columna resulte 34. ¿Cuántas veces aparece el dígito 9 en ambas diagonales? 8 8 8
b) 5 e) 8
c) 6
es a
a)
b)
d)
e)
Ciclo UNI 8
como
c)
b) 3 e) 0
c) 2
7. ¿Qué número continúa en la sucesión mostrada?
73; 71; 67; 61; 59; 53; ... a) 49 d) 41
b) 47 e) 37
c) 43
8. Indicar cuántos triángulos hay en la figura mostrada.
a) 31 d) 22
5. Completar la siguiente analogía:
a) 4 d) 1
b) 25 e) 21
c) 22
9. En una caja se tienen 21 fichas rojas, 20 blancas, 28 verdes, 11 negras, 11 azules y 9 amarillas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se deben extraer para tener la certeza de contar con 15 fichas de un mismo color?
9 a) 4 d) 7
Entonces, de las siguientes alternativas, ¿cuántas son correctas?
a) 23 d) 32
9
8
ApB Xpy Bpy YpC
b) 43 e) 20
c) 74
10. Matías y Gabriel están en orillas opuestas de un lago y comienzan a remar al mismo tiempo, la velocidad de cada uno es constante. Cuando se cruzan están a 60 m de la orilla izquierda, continúan remando, llegan a la costa, se vuelven y reman nuevamente. Esta vez se cruzan a 38 m de la orilla derecha. ¿Qué ancho tiene el lago? a) 120 m d) 124 m
b) 142 m e) 136 m
c) 138 m Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 11. Cada vez que compro 9 manzanas me regalan 2 y cada vez que vendo 10, regalo 1. Si compro y vendo las manzanas al mismo precio, ¿cuántas debo comprar para ganar 44 manzanas? a) 360 d) 400
b) 340 e) 640
c) 450
• • • • • • • • • a) 24 d) 20
• • × 2 7 • • + • • •
b) 32 e) 18
c) 21
13. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente operación?
Q = (4344 + 4243) × 67542 – 4641 – 5140 a) 6 d) 3
b) 7 e) 5
c) 8
Para cualquier valor de "a" y "b", ¿a qué equivale (a + b) • (a – b)? a) 5a – b + 6 b) 5a + 6 d) 5a + b – 6 e) 5a – 11
c) 5a + 11
15. Los alumnos son optimistas y todos los optimistas son estudiosos, luego, se deduce que: a) Ningún alumno es estudioso. b) Todo aquel que sea estudioso es alumno. c) No todo estudioso es alumno. d) Todo aquel que sea alumno es estudioso. e) Todo alumno no es estudioso. 16. (EX UNI 2007 I). En un cajón hay 23 bolas rojas, 25 blancas, 28 amarillas, 8 negras, 11 verdes y 11 azules. ¿Cuál es el menor número de bolas que se deben sacar para tener la seguridad de haber retirado 15 bolas de un mismo color? a) 63 d) 73
Central: 619-8100
b) 71 e) 69
I. n3, es un número de una cifra. II. (n + 1)2 = 9 a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente. c) Es necesario utilizar ambas afirmaciones. d) Cada información, por separado, es suficiente. e) Las informaciones dadas son insuficientes. 18. (EX UNI 2007 I). En una mesa circular están 5 jugadores de póker: Alan, Alejandro, Alberto, Fernando y José. Se sabe que Alan reparte las cartas empezando por el jugador a su derecha, su amigo está a su lado. Se pide determinar la ubicación de cada jugador. Información: I. Fernando está al lado de José. II. Alejandro es el tercero en recibir las cartas y está entre Alberto y José. Para resolver el problema:
14. Se define la operación: (a – 3) • b = 2a + 3b
Información:
Para resolver:
12. Hallar la suma de las cifras del producto, sabiendo que la suma de los productos parciales es 7956. • 4 • • • •
17. (EX–UNI 2007 I). Determinar el valor de "n" si se sabe que "n" es número de una cifra.
a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente. c) Es necesario utilizar ambas afirmaciones. d) Cada información, por separado, es suficiente. e) Las afirmaciones dadas son insuficientes. 19. (EX UNI 2008 I). Determinar la alternativa que pertenece a la sucesión mostrada: 0; 1; 2; 3; 6; 11; 20; 37; 68; ... a) 74 d) 131
b) 125 e) 135
c) 88
20. (EX UNI 2007 II). En la sucesión: 1/1; 2/3; 5/8; 13/21; 34/55; x/y Determinar el valor de: x + y. a) 199 d) 244
b) 233 e) 222
c) 216
c) 65
www.trilce.edu.pe 9
Introducción Considerando que ingenio es: • • • •
Sinónimo de creatividad. Facultad del ser humano para pensar o crear. Talento. Es una capacidad especial que permite, a quien la posee, discurrir e inventar con facilidad.
En este capítulo presentamos situaciones en las que el uso de nuestro ingenio y la aplicación de ciertos criterios, nos permiten obtener los resultados que cumplan con las condiciones propuestas en cada caso. Las diferentes situaciones a analizar las dividiremos en: • • • •
Relación de parentesco. Construcciones numéricas. Recorridos eulerianos (figuras de un solo trazo). Relación de tiempos.
Problemas resueltos Relación de parentesco Son las diferentes situaciones en las que se hace mención a un vínculo familiar, ya sea por consanguinidad o por afinidad.
Ejemplo. Completa el recuadro de tal manera que cada fila, columna y cuadrado de 3 × 2 tenga los números del 1 al 6 sin repetirse. Hallar la suma de x + y + z. x
Ejemplo. Mi tía Julia es la hermana de mi madre, Martha es la hermana de mi tía, pero no es mi tía. ¿Qué parentesco existe entre mi hermano Eduardo y Martha?
3
Resolución:
1
z
Del dato: "Martha es hermana de mi tía pero no es mi tía". Se deduce que Martha es mi madre. Entonces entre mi hermano Eduardo y Martha la relación es: Hijo–Madre.
1 6
5
y
6
5
Ciclo UNI
3 4
6
3
Resolución:
Completando de manera adecuadra:
Rpta.: Hijo – Madre
Llamamos construcciones numéricas a todo arreglo en el cual ciertos números que cumplen determinadas características, deben ser ordenados con el fin de satisfacer algunas condiciones o en otros casos con la finalidad de obtener criterios que se puedan generalizar.
2
1
4
Construcciones numéricas
10
3
Falta el 4 y el 6
2
1
5
3
4
6
6
3
4
1
5
2
3
6
2
4
1
5
5
4
1
2
6
1
5
3
6
2
3 Falta el 4 1 y el 5
4
2
6
5
3
1
Rpta.: 7 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Recorridos eulerianos
Resolución: I
Este tipo de problemas se refieren al hecho de realizar una figura determinada, sin levantar el objeto con que se realiza dicha figura. Para verificar si un gráfico se puede realizar de un solo trazo, se deben aplicar los postulados de Euler.
Nociones básicas: Punto par: si el número de líneas que llegan o salen de un punto es una cantidad par. Punto impar: si el número de líneas que llegan o salen de un punto es una cantidad impar. Punto par
Puntos Solo hay impares puntos I = 2 pares Sí es posible Sí es posible
Solo hay puntos pares Sí es posible
Rpta.: Todas
Punto impar 2
1
1 2
4
I
Ejemplo. ¿Cuál es el tiempo mínimo que emplearía un niño para recorrer todos los lados y las dos diagonales de un parque rectangular de 120 metros de largo y 90 metros de ancho, recorriendo con una rapidez de 90 m/min?
3
1
2
1
2
5
3
Resolución:
3 4
Graficando tenemos que cada diagonal tiene una medida de 150 m. 120 m
Postulados de Euler
90 m
I. Todo gráfico se puede realizar de un solo trazo si todos sus puntos son pares o a lo sumo tiene dos puntos impares. II. Todo gráfico no se puede realizar de un solo trazo si tiene más de dos puntos impares. Si una figura no se puede realizar de un solo trazo es necesario repetir algunas líneas, el mínimo número de líneas repetidas se puede calcular de la siguiente manera: I–2 Número de líneas repetidas = 2
• Hay 4 puntos impares (I), por lo tanto, existen líneas repetidas, recordando: Líneas repetidas =
4–2 I–2 → =1 2 2
Donde: I = número de puntos impares de la figura.
Ejemplo. ¿Cuál o cuáles de las siguientes figuras se puede o pueden realizar de un solo trazo?
• Para que el tiempo sea mínimo se debe repetir un ancho. • Longitud recorrida:
150(2) + 120(2) + 90(2) + 90 = 810 m
• Finalmente el tiempo empleado sería: (I) Central: 619-8100
(II)
(III)
810 = 9 min 90 www.trilce.edu.pe 11
Analizando:
Pasado mañana
Supuesto →
Jueves
←
Ejemplo. Un estudiante piensa, antes de acostarse, del siguiente modo: si hoy hubiese sido como pasado mañana, entonces mañana hubiera dormido hasta tarde por ser domingo. ¿Qué día era?
Domingo ← Mañana
↔ Hoy
Suma
Sábado ←
+2
Mañana
+1
–1
Viernes ←
Cero
–2
Hoy
Resta
Real →
↔
Hoy
• "Si hoy hubiese sido pasado mañana", indica que se va a suponer que hoy es como pasado mañana. Ayer
Antes Hace de Ayer ayer
dentro
Son relaciones que se dan en referencia a los días de la semana. Para enfocar de manera adecuada estos problemas, se recomienda considerar la siguiente tabla: Pasado maanad
Resolución:
Mañana
Relación de tiempos
Luego: "Mañana hubiera dormido hasta tarde por ser domingo", es decir, el supuesto mañana será domingo. Entonces, realmente hoy es jueves
Rpta.: Jueves
Problemas para la clase 1. La hermana del hijo de la hermana del hijo del hermano de mi padre es mi: a) Tía d) Sobrina
b) Prima e) Nieta
c) Hermana
2. Mi nombre es Daniel. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tío del hijo de la única hermana de mi padre? a) Mi padre c) Soy yo
b) Mi hermano d) Mi tío e) Mi primo
3. Matías pregunta: ¿qué relación me une con la nuera de la madre del único tío del vástago de mi esposa? a) Su hermana b) Su tía d) Su suegra e) Su esposa
c) Su hija
4. Todas las siguientes afirmaciones son verdaderas, excepto: a) Pepe es tío de Diana. b) Bruno es cuñado de María. c) Luisa es suegra de Bruno. d) Katia es nieta de Luisa. e) Elvira es nieta de Pepe. 5. Una familia está compuesta por un abuelo, una abuela, dos padres, dos madres, cuatro hijos, tres nietos, un hermano, dos hermanas, dos hijos varones, dos hijas, un suegro, una suegra y una nuera. ¿Cuál es el menor número de personas que tiene la familia? a) 12 b) 15 c) 7 d) 10 e) 5 6. Colocar los números del 1 al 12, tal que la suma de cada lado sea 28. Hallar: (x + y + z) . (x . y . z)
Enunciado Se sabe que Diana es hija de Luisa, quien a su vez es la abuela materna de Katia. Katia es hija de la hermana de María. Elvira es hermana de Katia y Diana no es su madre. Pepe es el único hermano de Luisa y está casado con Ana. Bruno es padre de Katia y Elvira. Ciclo UNI 12
a) 18 d) 3126
b) 36 e) 64
c) 256 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 7. Colocar los dígitos del 1 al 8, uno en cada región. x
y
2
10. La siguiente figura muestra cuatro aros, cada uno de los cuales contiene seis pequeños círculos. Colocar los números del 1 al 12, de tal modo que cada aro sume lo mismo. ¿Cuál es esa suma?
Considerando las siguientes condiciones: • La diferencia de los números vecinos al 6 es 3. • Los números vecinos del 5 suman 6. • El producto entre los números vecinos del 2 es 15. • Los números vecinos al 8 suman 10. Hallar: (x + y)máximo a) 6 d) 7
b) 9 e) 12
16
b) 40 e) 41
c) 39
11. Indicar cuáles de las siguientes figuras se pueden realizar de un solo trazo.
c) 8
8. Colocar un dígito diferente del 1 al 9 dentro de cada uno de los nueve triángulos, de manera que las cantidades alrededor de cada círculo sumen lo indicado. Dar como respuesta el producto de las cantidades correspondientes a los triángulos U.N.I. N
a) 44 d) 38
18 32
I 25
(I)
a) Solo I d) I y II
(II) b) Solo II e) Todas
(III) c) II y III
12. Se requiere realizar la siguiente figura de un solo trazo, indicar si es posible o no. En caso de no ser posible, ¿cuántas líneas como mínimo se deben repetir para realizarla?
U a) 35 d) 112
b) 56 e) 280
c) 70
9. Colocar los números del 1 al 7 en los círculos de la figura, de manera tal que al sumar los vértices de cada triángulo blanco se obtengan tres números consecutivos. ¿Qué número debe ir en el círculo central si se sabe que la suma de dichos números consecutivos es máxima?
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
13. La siguiente figura muestra una estructura en forma de triángulo equilátero hecha de alambre. Una hormiguita va a recorrer toda la estructura de manera que la longitud del camino sea mínima. Calcular dicha longitud. 2m
2m
2m 2m
a) 5 d) 8 Central: 619-8100
b) 5 e) 9
c) 7
2m
a) 18m c) (22 + 6 3) e) (22 – 6 3)
2m b) (18 – 3 3) d) 20 + 4 3
www.trilce.edu.pe 13
14. Si los números en los tramos de la figura corresponden a sus longitudes en centímetros, ¿cuál es la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz sin separarla del papel para realizar la figura geométrica? 4 3
1
2
3
2
1
3
1
a) 31 cm d) 35
b) 32 e) 33
4
1
4
2 c) 30
15. ¿Cuál es la menor longitud que recorre un caracol para pasar por todas las aristas del prisma, si se sabe que cada arista mide 4 cm?
16. Como mínimo, una araña emplea 15 minutos en recorrer las aristas de un cubo construido de un alambre de 60 cm de longitud. ¿Cuántos segundos emplea en recorrer una arista? a) 20 d) 18, 75
b) 60 e) 45
c) 37,5
17. Hoy es jueves; ¿qué día será el mañana del anteayer del mañana del pasado mañana de hace 2 días? a) miércoles b) jueves d) sábado e) martes
c) viernes
18. Si el ayer del anteayer de mañana del pasado mañana del ayer de hace 2 días fue lunes, ¿qué día será el mañana del pasado mañana del ayer del mañana de hace un día? a) sábado d) martes
b) lunes e) viernes
c) domingo
19. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy? a) sábado d) jueves a) 44 cm d) 48
b) 40 e) 52
c) 42
b) viernes e) miércoles
c) domingo
20. Si antes de ayer Matías tuvo un año y el próximo año cumplirá 4 años, entonces, ¿en qué fecha nació Matías? a) 30 de diciembre c) 1 de enero
b) 31 de diciembre d) 2 de enero
Tarea domiciliaria 1. Del siguiente gráfico, podemos afirmar:
2. Si el anteayer del ayer del pasado mañana del anteayer del mañana es sábado, ¿qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana de mañana? a) miércoles b) lunes d) martes e) jueves
c) sábado
3. Indicar qué figura o figuras se pueden realizar de un solo trazo sin repetir ninguna línea. I. Se puede realizar de un solo trazo. II. Tiene cuatro puntos impares. III. Tiene cinco puntos impares. IV. Hay más puntos pares que impares. a) I, II y III d) II, III y IV Ciclo UNI 14
b) I y IV e) I y III
c) I, II y IV
(I) a) I, II y III d) I y III
(II) b) II e) II y III
(III)
c) III Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 4. Ayer tenía 20 años, el próximo año tendré 22 años. Si el día de mañana cumplo años, ¿qué fecha será cuando cumpla años? a) 31 de diciembre c) 1 de diciembre e) 2 de enero
b) 1 de enero d) 31 de enero
5. Como mínimo, una araña emplea 5 minutos en recorrer las aristas de un cubo construido de un alambre de 60 cm de longitud. El tiempo que emplea en recorrer dos aristas es: a) 20 s d) 18,75 s
b) 25 s e) 15 s
c) 40 s
6. Si el anteayer de mañana de pasado mañana es viernes, ¿qué día fue ayer? a) lunes d) jueves
10. ¿Cuál es el recorrido mínimo que realizará la punta de un lápiz para graficar de un solo trazo el dibujo adjunto?
b) martes d) viernes
c) miércoles
3u 3u 3u 4u a) 138 u d) 118
b) Pedro d) El hijo de Pedro
8. Una hormiga recorre todas las líneas de la figura (donde todas son de igual longitud). Si su rapidez es de 5 cm/s, ¿qué tiempo como mínimo emplea para hacer dicho recorrido?
5 cm
a) 14 s d) 11
b) 13 e) 10
c) 12
9. El cubo mostrado está hecho de alambre y su arista mide 10 cm. Una hormiga tarda 5 minutos en recorrer todas las aristas del cubo, caminando con rapidez constante. Calcular la menor rapidez de la hormiga.
b) 130 e) 110
4u c) 128
11. En la figura se muestra cuatro cuadrados congruentes cuyos lados miden 8 u. Si "o" y "O" son centros de los cuadrados, calcular la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz para efectuar dicha figura.
7. El señor Vásquez tiene dos hijos únicamente; estos a su vez son padres de Juan y Pedro, respectivamente. ¿Quién es el único sobrino del padre del primo hermano del hijo del padre de Pedro? a) Juan c) Yo e) El sobrino de Juan
4u
o
O
a) 125 + 12 2 c) 120 + 13 2 e) 125 + 12 3
b) 126 + 12 3 d) 128 + 12 2
12. Si el día de mañana fuese como pasado mañana, entonces, faltarían 2 días a partir de hoy para ser domingo. ¿Qué día de la semana será el mañana del ayer de hoy? a) viernes d) lunes
b) sábado e) martes
c) domingo
13. Colocar los números 2; 3; 4; 5; ...; 9 en las casillas de la figura, sin repetir, de manera que la suma de F(1), F(2), C(1) y C(2) sean iguales. ¿Cuál es la suma mínima? C1
↓ F1 →
← F2 ↑ C2 a) 45 cm/min b) 40 d) 30 e) 25 Central: 619-8100
c) 35
a) 12 d 10
b) 15 e) 11
c) 14
www.trilce.edu.pe 15
14. La figura que se muestra a continuación representa a un cuadrado mágico. Se sabe que en todo cuadrado mágico se cumple que la suma de las columnas, filas y diagonales es la misma. Calcular a + 2b + 3c + 4d
a) 59 d) 62
8
1
c
3
5
d
4
a
b
b) 35 e) 65
c) 58
b) Juan – hijo d) Paco – sobrino
16. Distribuir los números del 1 al 8 en el siguiente arreglo, de modo que no aparezcan dos números consecutivos en dos círculos conectados directamente por una línea. Dar como respuesta el valor de B + C + E + F.
A
a) 16 d) 18
B
C
G
H
F
E
b) 17 e) 15
I. Gina y Enzo son primos. II. José es hijo de Rosa. III. El padre de Gina es cuñado de la madre de Enzo a) I d) I y III
15. El hermano del hijo de Juan tiene un amigo tocayo del padre del hermano suyo. Siendo su amigo tocayo hijo de Paco, hermano político de Juan, ¿cómo se llama el amigo y qué parentesco tiene con Juan? a) Paco – hijo c) Juan – sobrino e) Paco – tío
17. Si Rosa no tiene ninguna hija, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
D
I. Irene y José son primos. II. Enzo y Gina no son primos. III. Enzo y Gina tiene padres distintos. a) I y II d) I y III
b) II e) II y III
c) III
19. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Irene tiene dos primos hermanos. II. Ricardo tiene cuatro sobrinos de sangre. III. Rosa tiene dos hijos. a) I y II d) I y III
b) II y III e) Todas
c) III
20. En el esquema se muestran cuatro cuadrículas de 2 × 2. Escriba en los cuadrados números enteros del 1 al 4, de manera que ninguno se repita en la misma fila, columna o cuadrícula. ¿Cuánto suman "a", "b", "c" y "d"? 1
c) 14
La madre de Rosa tuvo 3 hijos (incluyendo hombres y mujeres); de los cuales solo uno de sus dos hijos varones, Ricardo no está casado ni tiene hijos. Además se sabe que Amanda es la suegra del esposo de Rosa y tiene únicamente cuatro nietos: José, Irene, Enzo y Gina. Irene y Enzo son primos y Gina y José, también
16
c) I, II y III
18. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a
2
3
4
c
b
Enunciado (17 al 19)
Ciclo UNI
b) I y II e) II y III
a) 6 d) 7
b) 5 e) 9
d 4 c) 8
Colegios
TRILCE
INTRODUCCIÓN En este capítulo encontraremos diversas situaciones en las que se requiere de la habilidad de pensar de manera clara y deductiva, considerando las condiciones o restricciones que se proponen. Como característica principal de las situaciones a resolver, se puede observar que estas tienen datos desordenados, los cuales se deben organizar y, de ese modo, obtener conclusiones que nos lleven a la solución de las situaciones propuestas. Para un mejor análisis de los casos, dividiremos el presente capítulo en las siguientes situaciones: • • •
Ordenamientos crecientes o decrecientes. Ordenamientos por posición de datos. Ordenamientos laterales.
Problemas resueltos Ordenamientos crecientes o decrecientes
• El Marañón no es de mayor longitud que el Amazonas, pero sí es más caudaloso. • El Putumayo es de menor longitud que el Napo, pero este no tiene más caudal que él. • El Napo no es de mayor longitud que el Ucayali, pero sí es más caudaloso. • El Marañón es de mayor longitud que el Ucayali pero no tiene menor longitud que el Putumayo.
En este caso se trata de ordenar la información, considerando los diferentes criterios de comparación (mayor, menor). 1. "R" y "G" tienen la misma suma de dinero, pero "R" tiene más dinero que "M", y "N" más dinero que "A". "B" tiene más dinero que "A" pero menos que "R" y no tanto como "M", entonces: a) "R" tiene menos dinero que "M". b) "R" tiene más dinero que "A". c) "A" tiene más dinero que "G". d) "M" tiene menos dinero que "B". e) "B" tiene menos dinero que todos.
Resolución: Considerando:
Ordenando los datos, tendríamos: Nota: "A" mayor que "B": A
R = G M B N
B
A
• Analizando cada alternativa: a) F b) V c) F d) F e) F
Rpta.: b
2. Se tienen 5 ríos: Amazonas, Ucayali, Napo, Putumayo y Marañón. Cada uno con diferente longitud y caudal. Si se sabe que: Central: 619-8100
Gráficamente:
"A" no es mayor que "B" significa que "A" es menor o igual que "B".
Resolución:
¿Qué ríos son de mínima longitud y máximo caudal, respectivamente?
B A
Ordenando los datos: Longitud Amazonas
Caudal Amazonas
Marañón
Marañón
Ucayali
Putumayo
Napo
Napo
Putumayo
Ucayali
Rpta.: Mínima longitud: Putumayo Máximo caudal: Amazonas www.trilce.edu.pe 17
Ordenamiento por posición de datos En este caso se ordena la información de acuerdo con una posición establecida, generalmente las situaciones a analizar se refieren a: • • •
Resolución:
• Paco no está al lado de Paola. • Patricia no está entre Paco y Paola.
Carreras. Edificios. Actividades a realizar durante ciertos días.
3. Cinco amigas: Norma, Jéssica, Marina, Marisol y Karina viven en un edificio de seis pisos, cada una en un piso diferente. Si se sabe que: • El cuarto piso está desocupado. • Marisol vive en un piso adyacente al de Norma y al de Martha. • Karina no vive en el último piso.
10
Marisol
4°
Martha
Ciclo UNI 18
Rpta.: Pamela
I. La 3 se realizará el mismo día que la 7. II. La 10 se realizará antes de la 2. III. La 1 se realizará después de la 4. Resolución:
Considerando la información, se tiene: Lunes 4
Martes Miércoles Jueves 2 7 6 3
Viernes 8 9
Las actividades 1; 5 y 10 pueden ocupar los casilleros sombreados. I. Verdadero. II. No se precisa. III. No se precisa.
Rpta.: Solo I.
4. Patricia, Paco, Paola y Pamela se encuentran sentados en una fila de 4 sillas numeradas del 10 al 13. Pepito, al pasar frente a ellos los mira y dice: "Paco está al lado de Paola"; "Patricia está entre Paco y Paola"; pero sucede que las dos afirmaciones que hizo Pepito son falsas: en realidad Paco está en la silla número 12. ¿Quién ocupa la silla número 11?
Paco Patricia
¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?
3°
I. Verdadero. 2° Marisol Norma o Martha II. No se precisa. III. No se precisa. 1°
13
• La 4 se realizará 4 días antes que la 7. • La 2 se realizará el mismo día que la 6 y dos días antes que la 3. • La 8 se realizará después de la 7. • La 9 se realizará después de la 7.
Resolución:
5° Karina
12
5. Emilia debe realizar diez actividades (identificadas del 1 al 10), desde el lunes hasta el viernes (dos por día).
I. Jéssica no vive en el quinto piso. II. Norma no vive en el tercer piso. III. Martha vive más arriba que Norma.
Datos: Norma
11
Paola Pamela
Podemos afirmar:
6° Jéssica
Se cumple que:
Rpta.: Solo I
Ordenamiento lateral En los casos de ordenamientos laterales se hace mención a la derecha e izquierda; se recomienda que frente a dichas situaciones, se considere nuestra persona como referencia.
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Problemas para la clase 1. Siete submarinos, "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G", se encuentran sumergidos a diferente profundidad. La ubicación de los submarinos cumple las siguientes condiciones: • "D" está a mayor profundidad que "E", pero a menor profundidad que "A". • "C" está a menor profundidad que "D", pero a mayor profundidad que "B". • "G" está a mayor profundidad que "D". • "A" está a mayor profundidad que "F".
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) "G" está a mayor profundidad que "F". b) "A" está a mayor profundidad que "G". c) "E" está a menor profundidad que "F". d) "A" está a mayor profundidad que "B". e) "F" está a mayor profundidad que "C".
2. En un examen, Ana obtuvo menos puntos que Bertha, David menos puntos que Ana y Carlos más puntos que Elena. Si Elena obtuvo más puntos que Bertha, ¿quién obtuvo el puntaje más alto? a) Ana d) David
b) Bertha e) Carlos
c) Elena
3. Pico no es menor que Paco pero es mayor que Poco y menor que Peco. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? a) Paco es el mayor. b) Pico y Paco tienen la misma edad. c) Poco es el menor. d) Pico no es el menor. e) Más de una es verdadera. 4. Siete amigos: "B", "C", "D", "E", "G", "L" y "S", se reúnen para practicar básquet. Si se cumple que: • "E" es el más alto. • "D" es más alto que "L", pero más bajo que "G". • "S" es más alta que "L", pero más baja que "B".
¿Cuál de los siguientes es un posible ordenamiento, del más alto al más bajo? a) E, B, S, C, D, G y L b) E, G, D, C, S, B y L c) E, B, G, D, C, L y S d) E, G, D, S, C, B y L e) E, G, B, D, C, S y L
Central: 619-8100
5. Cinco automóviles: "P", "Q", "R", "S" y "T", son comparados de acuerdo con su costo y tiempo de fabricación. Si se sabe que: • "P" es menos caro que "R" y menos moderno que "Q". • "Q" es más caro que "P" y más moderno que "T". • "R" es más caro que "P" y más moderno que "Q". • "T" es más caro que "Q" y más moderno que "P". ¿Cuáles de los siguientes autos es más caro que "P" y más moderno que "T"? a) Solo "Q" b) "Q" y "R" c) "R" y "S" d) Solo "R" e) Solo "S" 6. Un edificio de cinco pisos, donde en cada piso hay tres departamentos, es ocupado por doce amigos que viven, cada uno, en un departamento diferente. Además se sabe que: • Mario vive a un piso de Leonardo y a dos pisos de Pablo, pero más abajo que Javier y Erick. • Felipe vive más arriba que Pablo, pero en el mismo piso que Gustavo. • Leonardo vive en el mismo piso que Natalia, y Sandra vive en el mismo piso que Pablo. • Henry vive en el primer piso y para ir a la casa de Pablo debe subir tres pisos. • Lidiana debe bajar tres pisos, desde su departamento, para ir al departamento de Carlos. • Leonardo no vive en el primer piso y Carlos tampoco vive allí. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser verdadera? a) Erick y Mario viven en el tercer piso. b) Sandra no vive en el cuarto piso. c) Pablo y Leonardo viven en el tercer piso. d) Natalia vive en el primer piso. e) Javier vive en el cuarto piso. 7. Un edificio tiene seis pisos y en cada uno de ellos funciona una de seis empresas: "A", "B", "C", "D", "E" y "F". Se sabe que: • "A" y "B" están en pisos adyacentes. • "C" funciona dos pisos más arriba que "B" y ésta más arriba que "A". • "F" está en el quinto piso. • "D" no está en el primer piso. ¿En qué piso funciona "D"? a) Cuarto b) Segundo c) Sexto d) Tercero e) Más de una www.trilce.edu.pe 19
dura cinco días, de lunes a viernes, y cada día se juegan dos partidos. Si se sabe que:
8. Siete niños, Andrés, César, Carolina, Daniela, Franco, Gloria y Valeria, participaron en una carrera de bicicletas. El orden en que llegaron cumple las siguientes condiciones:
• Durante el campeonato cada equipo juega con los otros equipos solo una vez. • Ningún equipo juega más de un partido por día. • Cristal juega el martes con Cienciano. • El partido Cienciano – Boys se juega el jueves. • El martes descansa Alianza. • Cienciano juega primero contra la U y luego con Alianza. • En su debut, Cristal juega contra Boys.
• • • •
César llegó antes que Carolina. Daniela llegó antes que Andrés. Franco llegó primero y Valeria llegó última. Gloria llegó en alguna posición entre César y Daniela. • No hubo empates.
Si Andrés llega en tercer lugar, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) César llega en cuarto lugar. b) César llega en quinto lugar. c) Carolina llega en quinto lugar. d) Daniela llega en quinto lugar. e) Gloria llega en quinto lugar.
9. En una carrera entre 7 autos se sabe: • El auto rojo no llegó en tercer lugar. • El auto verde llegó inmediatamente después del azul. • El auto amarillo llegó en cuarto lugar, tres lugares detrás del blanco. • El auto negro no llegó después del amarillo. • El auto beige llegó último. • No hubo empates.
a) Lunes d) Jueves
b) negro e) blanco
c) verde
10. Desde un taller de reparaciones se deben despachar los siguientes equipos: una licuadora, una sartén, un motor, un horno, un DVD y una batidora, no necesariamente en ese orden. Un transportista debe entregar los equipos bajo las siguientes condiciones: • El horno debe ser el último equipo en ser entregado. • Se debe entregar la batidora antes que el motor, pero después que el DVD. • Se debe entregar la sartén después de la licuadora. • La batidora se debe entregar antes que la licuadora.
a) Tania d) Miguel
b) 2 e) Más de 4
c) 3
11. En un torneo de fútbol participan: Boys, Cristal, Universitario, Alianza y Cienciano; el torneo Ciclo UNI 20
c) Miércoles
b) Flor c) Raúl e) No se puede determinar
13. Sofía ordena 5 bloques lógicos tomando en cuenta que: • No puede haber dos bloques del mismo color o forma juntos. • El rombo rojo está adyacente al círculo azul y al cuadrado amarillo. • El círculo rojo está a la izquierda del triángulo azul.
¿Cuál de las siguientes es una afirmación siempre cierta? a) El cuadrado amarillo está en el medio. b) Hay dos círculos a la izquierda del triángulo azul. c) El triángulo azul está junto al cuadrado amarillo. d) Los círculos están a los extremos. e) Más de una es correcta.
¿Cuántos ordenamientos posibles hay? a) 1 d) 4
b) Martes e) Viernes
12. En la misma cuadra viven seis amigos: Tania, Miguel, Flor, Jaime, Raúl, y Claudia. Se sabe que Tania vive a la izquierda de Miguel, que Flor vive a la izquierda de Raúl, que Claudia vive a la derecha de Flor, que Jaime vive adyacente a Claudia y Miguel, y Miguel vive junto y a la derecha de Raúl. ¿Cuál de las personas que aparecen en las alternativas, vive más cerca de la casa de Claudia?
¿Qué auto llegó en quinto lugar? a) rojo d) azul
¿Qué día de la semana se juega el partido Alianza–Cristal?
Enunciado (14–15) Ocho amigos se ubican en una fila de ocho asientos uno al lado del otro, si se sabe que: •
Marco se encuentra a la derecha de Dany y a la izquierda de César. Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático • • • •
Bruno se encuentra entre Carlos y Antonio. Carlos está junto a Dany y Marcos. Antonio está junto a César y a Bruno. Pepe está a la izquierda de Dany y a la derecha de Sebastián.
14. Entonces, el primero de la derecha es: a) Pepe d) César
b) Carlos e) Marco
c) Bruno
16. Cuatro personas van al cine y se acomodan de la siguiente manera: • Úrsula está sentada a la izquierda de Silvia y detrás de Carlos. • Silvia no está a la derecha de Beto, pero sí detrás de Úrsula. • Carlos está a la derecha de Silvia y detrás de Beto.
Enunciado (17–18) Se asume que medio tono es el menor intervalo entre notas y se sabe además que:
• • •
a) Entre "T" y "V" c) Entre "T" y "W" e) Entre "W" y "X"
La nota "T" es medio tono mayor que la nota "V". La nota "W" es medio tono menor que la nota "X". La nota "X" es un tono menor que la nota "T". La nota "Y" es un tono menor que la nota "W".
b) Entre "V" y "X" d) Entre "W" y "Y"
19. Irene decide que su familia debe consumir más vegetales y sirve maíz todos los días, excepto lunes, miércoles y sábado; tomates, todos los días en que no se sirve maíz; brócoli, solo de lunes a viernes; espinacas, cuando sirve tomates y brócoli, y alcachofas cuando ha servido otros 3 vegetales. Si Irene agrega lechuga al menú, y la sirve solo cuando sirve brócoli pero no tomate, ¿cuándo sirve lechuga? a) Lunes, miércoles, jueves y viernes. b) Lunes y miércoles. c) Martes, jueves y viernes. d) Miércoles y viernes. e) Solo viernes.
Podemos afirmar que: a) Carlos está a la derecha de Beto. b) Carlos está a la izquierda de Silvia. c) Beto está detrás de Silvia. d) Úrsula está a la izquierda de Carlos. e) Más de una es correcta.
•
18. Si "Z" es una nota distinta de las anteriores pero no es la menor de ellas, ¿entre cuáles de ellas puede estar?
b) Bruno c) Antonio e) Faltan datos
15. Si contamos de izquierda a derecha, el cuarto lugar lo ocupa: a) Pepe d) Antonio
a) X Y W V T b) Y W X V T c) W V T Y X d) Y W V T X e) Y X W V T
20. Cinco amigos: "A", "B", "C", "D" y "E" viven en la misma calle en cinco casas contiguas. Si se sabe que: • "A" vive a la derecha de "B" y su casa no queda contigua a la de "C" ni en un extremo. • Para ir de la casa de "B" a la casa de "D" hay que pasar frente a otras dos casas.
Para determinar el lugar en que vive cada uno con respecto a los demás es necesario saber que:
I. E vive junto a "D"
II. "A" vive a la izquierda de "C" a) I pero no II c) I y II a la vez e) Faltan datos
17. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el orden relativo de las notas de menor a mayor?
b) II pero no I d) I o II indistintamente
Tarea domiciliaria Enunciado (1 – 3) Siete niños: Andrés, César, Carolina, Daniela, Franco, Gloria y Valeria, participaron en un carrera de bicicletas. El orden en que llegaron cumple con las siguientes condiciones: • • •
César llega antes que Carolina. Daniela llega antes que Andrés. Franco llega primero y Valeria llega última.
Central: 619-8100
• •
Gloria llega en alguna posición entre César y Daniela. No hubo empates.
1. Indicar tres posibles ordenamientos de cómo terminó la carrera. 2. Si Andrés llega en tercer lugar, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? www.trilce.edu.pe 21
a) César llega en cuarto lugar. b) César llega en quinto lugar. c) Carolina llega en quinto lugar. d) Daniela llega en quinto lugar. e) Gloria llega en quinto lugar. 3. Si César llega segundo, ¿en cuáles de las siguientes posiciones pudieron llegar Daniela y Andrés, respectivamente? I. Tercer y cuarto lugar. II. Cuarto y quinto lugar. III. Cuarto y sexto lugar. a) I d) III
b) II y III e) I y III
• "A" y "B" están en pisos adyacentes. • "C" funciona dos pisos más arriba que "B" y esta, dos pisos más arriba que "A". • "F" está en el quinto piso. • "D" no está en el primer piso. ¿En qué piso funciona "B"? b) 5° e) 6°
c) 3°
5. Se tienen seis libros, los cuales son: Razonamiento Matemático, Razonamiento Verbal, Historia, Literatura, Geografía y Lengua. Se sabe que: • El libro de Razonamiento Verbal está siempre junto y a la izquierda del de Historia. • El libro de Razonamiento Verbal está a la derecha del de Razonamiento Matemático y a la izquierda del de Geografía. • El libro de Geografía está siempre junto y a la izquierda del de Lengua • El libro de Razonamiento Matemático está a la izquierda del de Historia. • El libro de Literatura se ubica a la derecha del de Lengua.
El libro que ocupa el quinto lugar a partir del primero de la izquierda, es: a) Historia d) Lengua
b) Geografía c) Literatura e) Razonamiento Verbal
Enunciado (6 – 8) Dado que: • • • •
Jéssica es mayor que Muriel, pero menor que Alba. Hilda es menor que Jéssica y mayor que Fernanda. Pilar es mayor que Jéssica. Alba es mayor que Olga.
Ciclo UNI 22
a) No es cierto que Pilar sea mayor que Fernanda. b) Pilar es mayor que Fernanda. c) Hilda es menor que Muriel. d) Alba es mayor que Fernanda e) Más de una es correcta. 7. De las parejas que aparecen a continuación, ¿quiénes no pueden tener la misma edad? a) Pilar y Alba b) Hilda y Muriel c) Fernanda y Muriel d) Pilar e Hilda e) Olga y Jéssica
c) II
4. Un edificio tiene seis pisos y en cada uno de ellos funciona una de seis empresas: "A", "B", "C", "D", "E" y "F". Se sabe que:
a) 1° d) 2° o 4°
6. Podemos afirmar con certeza que:
8. Si Pilar no es la mayor, ¿quién es la mayor? a) Alba b) Olga c) Jéssica d) Hilda e) No se puede determinar Enunciado (9 – 11) Se asume que medio tono es el menor intervalo entre notas y se sabe además que: • • • •
La nota "T" es medio tono mayor que nota "V". La nota "W" es medio tono menor que la nota "X". La nota "X" es un tono menor que la nota "T". La nota "Y" es un tono menor que la nota "W".
9. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa el orden relativo de las notas de menor a mayor? a) XYWVT d) YWVTX
b) YWXVT e) YXWVT
c) WVTYX
10. Si "Z" es una nota distinta de las anteriores pero no es la menor de ellas, ¿entre cuáles de ellas puede estar? a) Entre "T" y "V" c) Entre "T" y "W" e) Entre "W" y "X"
b) Entre "V" y "X" d) Entre "W" y "Y"
11. Teniendo en cuenta todos los datos anteriores, podemos deducir necesariamente que: a) La nota "T" es dos tonos mayor que la nota "Z". b) La nota "Y" es dos tonos menor que la nota "X". c) La nota "V" es un tono menor que la nota "Z". d) La nota "W" es medio tono menor que la nota "Z". e) Más de una de las anteriores. Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Enunciado (12 – 13) De las siguientes afimaciones: • • • •
El león es más feroz que el oso. El puma no es más feroz que el león. Es falso que el león sea más feroz que el tigre. El gorila es más feroz que el oso.
12. Se deduce que: a) El puma es más feroz que el tigre. b) El oso es más feroz que el puma. c) El tigre es menos feroz que el león. d) El tigre es más feroz que el oso. e) Más de una es correcta.
• •
16. ¿Cuál de las siguientes alternativas es un ordenamiento posible para las seis oficinas? (de la 1 a la 6). a) POKMLN d) NOKLMP
II. Oso – puma IV. Puma – gorila
a) I y II c) I y IV e) Todas
b) III y IV d) II, III y IV
14. En la misma cuadra viven seis amigos: Tania, Miguel, Flor, Jaime, Raúl y Claudia. Se sabe que Tania vive a la izquierda de Miguel, que Flor vive a al izquierda de Raúl, que Claudia vive a la derecha de Flor, que Jaime vive adyacente a Claudia y Miguel, y Miguel vive junto y a la derecha de Raúl. Es necesariamente cierto que: a) Flor vive a la izquierda de los demás. b) Tania vive a la izquierda de los demás. c) Raúl vive entre Tania y Miguel. d) Miguel vive a la derecha de los demás. e) Flor vive entre Tania y Raúl. 15. "A" tiene más habitantes que "D", "D" tiene menos habitantes que "B", pero más que "C". ¿Cuál de las siguientes conclusiones será necesariamente cierta? a) "A" tiene más habitantes que "B". b) "A tiene menos habitantes que "B". c) "A" tiene menos habitantes que "C". d) "A" tiene más habitantes que "C". e) "A" tiene igual número de habitantes que "B". Enunciado (16 – 17) En el corredor principal de un edificio se ubican seis oficinas individuales y alineadas en el mismo lado del corredor. Las oficinas están numeradas de izquierda a derecha del 1 al 6. "K", "L", "M", "N", "O" y "P" son seis ejecutivos que ocupan las oficinas, considerando lo siguiente: •
b) KLOPNM e) PMONKL
c) LONMKP
17. Si "L" y "M" tienen las oficinas 1 y 2, respectivamente, entonces debe ser falso que: a) "O" está en la oficina 3. b) "K" está junto a "O". c) "N" está en una oficina de número par. d) "N" está junto a "K". e) "O" y "P" están separadas exactamente por dos oficinas.
13. ¿Cuáles de las siguientes parejas pueden ser igual de feroces? I. Gorila – león III. Tigre – gorila
La oficina de "K" no debe estar junto a la de "P". Las oficinas de "L" y "O" no deberán estar separadas por más de una oficina.
Enunciado (18 – 19) Las letras "A", "B", "C", "D", "E", "F" y "G" representan, no necesariamente en ese orden, siete números consecutivos entre el 1 y el 10, inclusive. Se sabe que: • • • • •
"A" es mayor que "D" en tres unidades. "B" es el término central. "B" es mayor que "F", y "C" es mayor que "D". "G" es mayor que "F". La diferencia entre "F" y "B" es igual a la diferencia entre "C" y "D".
18. ¿Cuál es el valor de (A – F)? a) 4 d) 1
b) 3 e) F.D.
c) 2
19. Si: B = 6; hallar: F/A a) 2 d) 1/3
b) 1/2 e) F.D.
c) 3
20. Cinco ciclistas A, B, C, D y E al término de una prueba de velocidad, llegan de la siguiente manera: • "A" llega dos puestos antes que "C" • "B" llega dos puestos después que "D" • "E" llega tres puestos antes que "C"
¿Quién ocupó el tercer lugar en la competencia? a) A d) E
b) C e) B
c) D
La oficina de "P" está en uno de los extremos del corredor.
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 23
Problemas resueltos Cuadro de afirmaciones Estos problemas se caracterizan por una relación entre varios personajes y sus respectivas características, tales como: aficiones, gustos, actividades que realizan, lugar de residencia, lugar de estudio, etc. Se construye una tabla de doble entrada en la cual la información se va ordenando hasta cumplir con todas las condiciones que se requieren para cada personaje. No debemos olvidar que cada personaje solo cumple con una de las características descritas en el problema.
• El ingeniero es muy amigo de Lucas y del médico. ¿Quién es el ingeniero? Resolución:
Pedro No ingeniero No contador No médico Abogado
1. Tres amigas se reúnen en un cafetín a tomar el té, sabiendo que: I. Bertha no es García. II. López trabaja como secretaria en una oficina. III. La actriz se llama Carmen. IV. La maestra no es Mendoza. V. Una de las amigas es Alicia.
¿Cuál es el apellido de Carmen y qué ocupación tiene? Resolución:
Del dato "la maestra no es Mendoza" y "López es secretaria", se deduce que la maestra es García, luego: Bertha Apellidos Ocupaciones
Carmen
Alicia
No García Mendoza García López No maestra Secretaria
Actriz
Maestra
Rpta.: Mendoza – Actriz 2. Están en una reunión: un ingeniero, un contador, un abogado y un médico. Los nombres, pero no en el mismo orden, son: Pedro, Dante; Juan y Lucas. • Se sabe que Pedro y el contador no se llevan bien. • Dante es pariente del abogado. Ciclo UNI 24
Los nombres no deben coincidir con las profesiones en el orden indicado. Entonces:
Dante No contador
Juan No abogado No médico
Lucas No médico No ingeniero
Médico
Ingeniero
Contador
Rpta.: Juan
Ordenamiento circular Existen situaciones en las que algunos personajes se ordenan formando una figura cerrada, por ejemplo, personas sentadas alrededor de una mesa o alrededor de una fogata. A este tipo de ordenamientos se les denomina ORDENAMIENTOS CIRCULARES. Se recomienda que al momento de realizar el ordenamiento se considere la posición del personaje del problema. 3. En una mesa de siete sillas se sientan a discutir cuatro profesores y tres administradores. • Ningún administrador se sienta junto a otro administrador. • "B" se sienta junto a "D" pero "Z" no se sienta junto a ellos. • "A", "B", "C" y "D" son profesores. • "X", "Y" y "Z" son administradores. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta? I. Entre "D" y "Z" hay dos asientos. II. "X" se sienta junto a "B". III. "A" se sienta junto a "Y". Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Resolución:
5. Sandra, Blanca, Jorge, Rocío, Víctor y Omar se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además, se sabe que:
Considerando los datos tenemos:
Adm .
of. Pr
f.
Prof.
Pro
D B
m
.
Ad m .
Z
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Rocío se sienta frente a Omar. II. Víctor se sienta junto a Blanca. III. Blanca se sienta adyacente a Rocío y Víctor.
P ro f .
Ad
• Sandra se sienta frente a Blanca. • Rocío no se sienta frente a Jorge ni a Víctor. • Jorge se sienta junto y a la izquierda de Sandra.
• "B" y "D" también pueden cambiar de lugar. • Los dos profesores y los dos administradores que faltan pueden cambiar de lugar.
Resolución:
Considerando los datos:
Luego: I. Verdadero (aunque "D" cambie de lugar). II. No necesariamente. III. No necesariamente.
Jorge Sandra
Rpta.: Solo I 4. En una mesa circular hay seis asientos simétricamente colocados, y se sientan seis amigos a jugar. Si Luis no está sentado al lado de Enrique ni de José, Fernando no está al lado de Gustavo ni de José, Enrique no está al lado de Gustavo ni de Fernando. Pablo está junto y a la derecha de Enrique. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Fernando?
Blanca Víctor
• Si Rocío no se sienta frente a Jorge y Víctor, se deduce que ellos dos se sientan uno frente al otro. • Omar y Rocío pueden ocupar los lugares sombreados. Luego: I. Verdadero. II. Verdadero. III. No necesariamente.
Rpta.: I y II
Resolución:
De los datos: • Pablo está junto y a la derecha de Enrique.
José
Gustavo Fernando
sta Gu
Luis, Fernando
Luis
José
do nan Fer
Gustavo, Enrique Fernando, Luis
vo
No está al lado de:
Pablo
Enrique
Rpta.: Pablo
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 25
Problemas para la clase Enunciado (1 - 2) • Aníbal invita a cenar a sus amigos: Betty, Celinda, • Daniel, Eduardo y Felipe, este último por razones de fuerza mayor no pudo asistir. Se sientan alrededor de • una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: • • Aníbal se sienta junto a Eduardo y Daniel. • • Frente a Eduardo se sienta Betty. • • Junto a un hombre no se encuentra un lugar vacío. 5.
Felipe y Gladis se sientan juntos. Daniel no se sienta junto a Berenice, ni a su izquierda Ana se sienta a la derecha de Berenice y a la izquierda de Eva. Carlos no se sienta junto a Eva ni a Gladis. Héctor llegó un poco retrasado a la reunión Amigos del mismo sexo no se sientan juntos.
1. ¿Entre quiénes se sienta Eduardo?
a) Frente a Daniel. b) Junto a Eva. c) Entre Felipe y Berenice d) Junto a Gladis e) Nada se puede precisar acerca de su posición.
a) Aníbal y Daniel b) Daniel y Betty c) Felipe y Betty d) Aníbal y Celinda e) Más de una es correcta 2. Si Felipe hubiera asistido, ¿frente a quien se hubiera sentado? a) Betty d) Eduardo
b) Celinda e) Daniel
6. Si Héctor no se sienta junto a Eva, entonces es siempre cierto que: a) Berenice está junto a Felipe. b) Carlos está a la derecha de Felipe. c) Carlos está frente a Héctor. d) Eva está frente a Gladis. e) Daniel está frente a Héctor.
c) Aníbal
Enunciado (3 - 4) Seis amigos "A", "B", "C", "D", "E", y "F" se sientan alrededor de una mesa circular, con seis asientos distribuidos simétricamente, y se sabe que:
¿Dónde se sienta Héctor?
•
"A" se sienta junto y a la derecha de "B", y frente a "C".
Enunciado (7 - 8) Seis amigos Abel, Benito, Caín, Dalila, Eva y Francisco, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que:
•
"E" no se sienta junto a "C".
•
Abel se sienta frente a Benito.
•
Caín está junto y a la izquierda de Abel.
•
Dalila no está frente a Caín ni a Eva.
3. Se puede afirmar con certeza que: I. "C" se sienta entre "D" y "F". II. "D" se sienta frente a "B". III. "F" se sienta frente a "E". a) Solo I d) Todas
b) Solo II c) II y III e) Ninguna de las anteriores
7. ¿Cuáles son verdaderas? I. Dalila está frente a Francisco. II. Eva está junto a Benito.
4. Si "F" está a la derecha de "A", es siempre cierto que: a) "B" está a la izquierda de "D" b) "A" está a la derecha de "D" c) "D" está frente a "F" d) "C" está entre "D" y "F" e) Más de una es correcta. Enunciado (5 - 6) Ocho amigos se sientan alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente, se sabe que: Ciclo UNI 26
III. Benito está entre Dalila y Eva. a) Solo I d) II y III
b) Solo II e) Todas
c) I y II
8. Las siguientes afirmaciones podrían ser verdaderas EXCEPTO: a) Benito se sienta al lado de Dalila b) Eva se sienta al lado de Francisco c) Dalila se sienta al lado de Abel d) Caín se sienta al lado de Eva e) Francisco se sienta frente a Dalila Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 9. Él, tú y yo, sentimos hambre, frío, y sed, (no necesariamente en ese orden). Si tú me das de comer, entonces yo te abrigo. Entonces él siente: a) Hambre d) Calor
b) Frío e) Dolor
c) Sed
10. Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blanco, el señor Azul y el señor Negro, uno de ellos llevaba corbata blanca, otro azul y el otro negro. En un corto diálogo, se escucha que el señor de la corbata azul dice: “es curioso, a pesar que nuestros apellidos coinciden con los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente”. El señor Blanco le responde “tiene usted razón”. ¿De qué color es la corbata del señor Negro? a) Blanco d) Verde
b) Negro c) Azul e) Ninguna de las anteriores
11. En una calculadora las teclas: (+), (-), (x) y (:), no indican las operaciones correspondientes. Si se sabe que: • La operación adición no es la tecla (x). • La tecla (:) no es la operación multiplicación. • Al presionar 5(+)1 el resultado es 4. ¿Qué valor se obtiene al presionar: 5 (-) 4? a) 9 d) 5
b) 20 e) 4
c) 0,125
12. María, Lucía e Irene viven en tres ciudades diferentes: Lima, Cuzco y Tacna; estudian una carrera diferente: Educación, Derecho y Arquitectura, no necesariamente en ese orden. Se sabe que: • María no vive en Cuzco • Lucía no vive en Tacna. • La que vive en Cuzco no estudia Derecho. • Quien vive en Tacna estudia Arquitectura. • Lucia no estudia Educación. ¿Dónde vive Irene y qué estudia? a) Cuzco – Arquitectura b) Lima – Educación c) Cuzco – Educación d) Tacna – Derecho e) Lima – Derecho 13. Jorge, Enrique y Marco son tres profesionales, uno de ellos es médico, otro ingeniero y otro es abogado. Los tres tienen sus oficinas en un mismo edificio, cada uno en un piso diferente. Sus secretarias se llaman: Martha, Julia y Ana, aunCentral: 619-8100
que no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: • El abogado tiene su oficina en la planta baja. • Por dar la contra a la costumbre que indica que las secretarias se enamoran de sus patrones, Julia fue conquistada por Marco con quien almuerza todos los días. • Todas las mañanas, Martha sube a desayunar con la secretaria de Enrique. • Jorge en un momento de enojo, hizo descender a su secretaria hasta la oficina del médico. ¿Quién es el médico? a) Jorge d) Luis
b) Enrique c) Marco e) Jorge o Marco
14. Se reúnen cuatro amigos, cada uno de ellos de distinta profesión (médico, dentista, ingeniero y profesor), cada uno de ellos de diferente nacionalidad, (danés, francés, inglés y alemán) y cuando tienen sed toman diferentes marcas de gaseosas (Coca Cola, Inca Kola, Fanta y Pepsi) si se conoce lo siguiente: José toma Coca Cola, el que toma Pepsi es inglés, el danés es profesor, Carlos no es médico, Guillermo es francés, el dentista toma Fanta, Manuel no es inglés y el alemán toma Inca Kola. Determine las características de Manuel. a) Inca Kola – alemán – profesor b) Coca Cola – alemán – profesor c) Fanta – francés – médico d) Coca cola – danés – dentista e) Inca Kola – alemán – médico 15. Cinco personas: Leonardo, Christopher, Lizzeth, Santiago y Layna, trabajan en una fábrica. Dado su turno, una persona puede ser asignada para uno de cinco trabajos: mecánico, chofer, empacador, pesador o despachador, si se sabe que: • Leonardo puede laborar como mecánico, empacador o pesador. • Christopher puede laborar como empacador o pesador. • Lizzeth puede laborar como mecánico, chofer o despachador. • Santiago puede laborar como chofer o despachador. • Los cinco trabajadores pueden realizar solo estos trabajos y solo estos cinco trabajadores pueden realizar estos trabajos. www.trilce.edu.pe 27
Si Leonardo es asignado para laborar como mecánico, ¿cuál de las siguientes deben ser verdaderas?
I. II. III. IV.
Christopher es asignado como empacador. Layna es asignada como pescador. Lizzeth es asignada como chofer. Santiago es asignado como despachador.
a) I y II c) II y IV e) Todas
b) I y III d) I, II y IV
16. Elena, Gabriela y Teresa hablan un idioma diferente cada una: francés, ruso y griego, y viven en países diferentes: Perú, Ecuador y Colombia. Si se sabe que: • La que habla ruso no conoce Colombia. • La que habla griego es amiga de Gabriela y prima de Teresa y además no conoce el Perú. • Gabriela conoce Colombia. ¿Dónde vive y qué idioma habla Teresa? a) Perú – griego c) Perú – francés e) Perú – ruso
b) Ecuador – ruso d) Ecuador – griego
17. Cinco amigas: Ana, Pilar, Carla, Diana y Elena, estudian cada una un idioma diferente entre ingles, portugués, francés, ruso y alemán. Ana quisiera estudiar inglés en lugar de francés. Pilar le ha pedido a Carla el teléfono de su profesor de ruso. Diana no estudia alemán y se ha disgustado con la que estudia portugués. Marcar la relación imposible: a) Pilar – alemán b) Pilar – portugués c) Elena – alemán d) Elena – portugués e) Pilar – ruso
Ciclo UNI 28
Enunciado (18 - 19) Un grupo de personas "A", "B", "C" y "D" tiene como profesiones: "I", "J", "K" y "L"; viven en las ciudades "E", "F", "G" y "H". Sabiendo que: • • • • • •
"C" no vive ni en "E" ni en "F" "J" vive en "E" "D" no reside en "G" "D" es "K" "I" vive en "G" "A" vive en "H"
Se pegunta: 18. ¿Qué profesión tiene "A"? a) I d) L
b) J e) J o K
c) K
19. El que tiene la profesión "K", vive en: a) H d) F
b) E e) H o E
c) G
20. Gabriela, Mónica y Carolina tienen diferentes aficiones y gustos en deportes (vóley, aeróbicos y tenis), Literatura (novela, poesía y drama), Licores (vino, pisco y cerveza) y colecciones (llaveros, cerámicas y libros). Se sabe que: • • • • •
A Mónica no le agrada el vóley. A la que le agrada el tenis gusta del pisco. La que colecciona llaveros lee dramas. La que le gusta del vóley toma cerveza. Gabriela disfruta cuando juega tenis o lee poesía • Carolina colecciona libros.
¿Cuál de las siguientes alternativas, muestra una asociación incorrecta? a) Mónica – cerámica b) Mónica – vino c) Mónica – drama d) Carolina – novela e) Carolina – drama
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Tarea domiciliaria 1. Julio invita a cenar a sus amigos: Violeta, Mónica, César, Freddy y Alberto; este último no pudo asistir. Los asistentes se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distruibuidos simétricamente. • Julio se sienta junto a Freddy y César. • Frente a Freddy se sienta Violeta. • Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío. ¿Adyacente a quiénes se sienta Freddy? a) Julio y Violeta c) Mónica y César e) Violeta y César
b) Mónica y Alberto d) Julio y Mónica
Enunciado (4 – 5) Seis amigos: Paco, Estela, Hernán, Fiona, Aldo y Edú, se sientan alrededor de una mesa circular con seis banquillos distribuidos uniformemente y numerados en sentido antihorario, del uno al seis, La distribución de los amigos alrededor de la mesa debe cumplir las siguientes condiciones. • • • •
4. Si Edú se sienta junto a Aldo, entonces, ¿cuáles de los siguientes amigos se podrían sentar junto a Paco?
2. En un restaurante, cinco personas se sientan alrededor de una mesa circular de cinco sillas y piden una gaseosa para cada uno; tres Concordias y dos Pepsi Cola. Si se sabe que: • Los que piden Pepsi Cola no se sientan juntos. • Betty no se sienta junto a Olga, pero ambas piden Concordia. • Óscar no pide Pepsi Cola y se sienta junto a Betty pero no junto a Manuel. • Mientras los otros conversan, César terminaba su gaseosa. Podemos afirmar que: a) Óscar se sienta junto a Olga. b) No es cierto que Olga no se sienta junto a Miguel. c) No es cierto que Betty no se sienta junto a César. d) No es cierto que Manuel se sienta junto a Betty. e) Más de una afirmación es correcta. 3. Se invita a un programa de TV a tres representantes de la barra Oriente del equipo "TNT": Hugo, Paco y Luis, y a 3 representantes del equipo "MC2", barra Occidente: Einstein, Newton y Pitágoras, para conversar sobre la ignorancia de las barras bravas. Los seis ocupan una mesa circular con seis sillas distribuidas simétricamente. Si: • Ninguno se sentará junto a otro miembro de su propia barra. • Einstein no se sienta junto a Hugo. • Paco no se sienta junto a Pitágoras. ¿Frente a quién se sienta Paco? a) Einstein d) Pitágoras Central: 619-8100
b) Newton e) Hugo
c) Luis
Fiona se sentará en el banquillo número tres. Hernán se sienta junto a Fiona. Aldo se sienta frenta a Paco. Estela se sienta a la izquierda de Paco.
I. Hernán
II. Estela
III. Fiona
a) I d) II, III
b) II e) Todas
c) III
5. Para determinar el número del banquillo en el que se sentará Edú, basta saber que: I. Fiona se sienta a la derecha de Estela. II. Edu no se sienta junto a Paco a) I d) I ó II
b) II e) E.D.
c) I y II
Enunciado (6 – 7) Renato, Javier, Antonio y Santiago, son escritor, historiador, periodista y filósofo, aunque no necesariamente en ese orden. Todos ellos fuman, excepto uno, y sus marcas de cigarrillos preferidas son Hamilton, Winston y Premier. • • • •
El que prefiere Hamilton es vecino del filósofo, y no es periodista. Antonio estudió con el historiador en el colegio y siempre ha preferido fumar Winston. Al escritor no le gustan los Hamilton, porque prefiere cigrarrillos más fuertes como Premier. El escritor es Renato, y es más joven que el que fuma Hamilton.
6. ¿Quién es el historiador? a) Renato d) Santiago
b) Javier c) Antonio e) No se puede determinar
7. Marcar lo verdadero: a) Javier es filósofo y fuma, pero no Premier. b) Renato es historiador y fuma Premier. c) Santiago puede ser periodista y no fuma. d) Antonio es periodista y no fuma. e) Renato es escritor y fuma Hamilton. www.trilce.edu.pe 29
8. La asociación correcta es:
12. ¿Quién es la pintora?
a) Santiago – Premier b) Renato – Winston c) Renato – Hamilton d) Santiago – Hamilton e) Ninguna de las anteriores 9. Cinco personas entran a una tienda, cada una dispuesta a adquirir un artículo determinado. Sus nombres son: Ana, José, María, Daniel y Miguel. Los artículos son: pantalón, chompa, blusa, zapato y cartera (no respectivamente). Se sabe que:
a) Fátima d) Verónica
13. ¿Quién es la reportera? a) Fátima d) Verónica
¿Qué compraron María y Miguel, en ese orden? a) Cartera – chompa b) Camisa – zapatos c) Zapatos – chompa d) Blusa – zapatos e) Blusa – chompa
Enunciado (10 – 11) Andrés, Flavio y Raúl tienen una mascota diferente cada uno: conejo, gato y canario. Además, ellos tienen edades diferentes y viven en distritos diferentes: Lima, La Molina y Pueblo Libre. Se sabe que Andrés no es el menor y tiene como mascota un gato. Raúl no es el mayor y no vive en Lima. El que tiene el canario vive en Lima y el que tiene al conejo vive en La Molina.
• • •
La pintora no es boliviana. Fátima es uruguaya y es amiga de la decoradora. Claudia es chilena y es prima de la pintora. Eda es enfermera pero no conoce a la boliviana. La reportera es argentina y está casada con el hermano de Sofía.
Ciclo UNI 30
III. Sofía
a) I y II d) Todas
b) II y III e) Ninguna
c) I y III
16. Para determinar qué actividad realiza cada una, es necesario saber que: I. Claudia no es vecina de Fátima. II. Sofía es boliviana. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.
11. Si Raúl no es el menor, entonces es falso que:
• •
II. Verónica
a) Claudia es decoradora y es amiga de Fátima. b) La enfermera es prima de Fátima. c) Verónica es pintora pero no es uruguaya d) Sofía es azafata y es amiga de la peruana. e) Verónica está casada con el hermano de Sofía.
a) Andrés – La Molina b) Flavio – Lima c) Raúl – canario d) Raúl – menor e) Flavio – menor
Enunciado (12 – 16) Claudia, Eda, Fátima, Sofía y Verónica son azafata, decoradora, reportera, enferemera y pintora, pero no necesariamente en ese orden. Además, todas ellas tienen una nacionalidad diferente: argentina, boliviana, peruana, uruguaya y chilena. Se sabe que:
I. Claudia
15. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
10. La asociación correcta es:
a) El mayor tiene el gato. b) El menor tiene el canario. c) Flavio es el mayor. d) El mayor vive en Pueblo Libre. e) El menor vive en Lima.
b) Claudia c) Sofía e) No se puede determinar
14. ¿Quiénes de la siguientes podría ser la azafata?
• Ni José ni María compraron la chompa. • Ana no encontró zapatos que hagan juego con la cartera que le regalaron en su cumpleaños. • Daniel se compró un par de zapatos.
b) Claudia c) Sofía e) No se puede determinar
Enunciado (17–20) Jorge, Carlos, Eduardo, Franco, Sergio y Víctor practican deportes distintos: fútbol, básquet, vóley, tenis, frontón y natación, pero no necesariamente en ese orden. Además, todos ellos tienen edades diferentes: 17; 18; 19; 21; 21 y 22 años. • • • • • •
El que practica natación no tiene 19 años, pero Sergio sí. Franco, quien tiene 21 años, y el que practica vóley fueron a las últimas olimpíadas. Carlos tiene 22 años y fue compañero de promoción del colegio del nadador. Eduardo practica el frontón y recibirá en el aeropuerto al deportista de 19 años. El que practica tenis tiene 18 años y es instructor del hermano de Sergio. El futbolista tiene 17 años. Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 17. ¿Cuál de los siguientes personajes tiene 20 años? a) Jorge d) Víctor
b) Eduardo c) Sergio e) No se puede precisar
18. ¿Cuál de estos personajes practica natación? a) Jorge d) Víctor
b) Carlos c) Franco e) No se puede precisar
20. Si Jorge practica fútbol, entonces es imposible que: I. Víctor tenga 18. II. Sergio practique básquet. III. Carlos practique básquet. a) Solo I d) I y III
b) I y II e) Ninguna
c) II y III
19. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) Carlos practica vóley y fue a las últimas olimpíadas con Franco. b) Víctor no es instructor del hermano de Sergio. c) Jorge no practica vóley ni básquet. d) Víctor practica natación, pero no tiene 21 años. e) Sergio practica básquet y es amigo del que tiene 20 años.
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 31
Problemas resueltos Principio de suposición El hecho de SUPONER implica aceptar una cosa por otra, es dar por sentado que una situación en particular está ocurriendo aunque no fuese así. Este principio es muy útil para analizar las respuestas dadas por ciertos personajes sobre una situación, dichas afirmaciones guardan una relación entre sí y el objetivo en muchos casos es encontrar al culpable o a los culpables, para ello se evalúan si las respuestas son ciertas o falsas y se recomienda buscar CONTRADICCIONES con el fin de hacer un análisis más directo.
2. Si se sabe que solo una de ellas contestó todas las preguntas correctamente y que las otras tres contestaron por lo menos una pregunta correctamente, ¿quién contesto solo dos preguntas? a) Mónica d) Sol Resolución:
Enunciado (1 – 2) Cuatro alumnas: Mónica, Lucero, Estrella y Sol, responden un examen de tres preguntas de la siguiente manera: Alumna
Preg.
Mónica Lucero Estrella
Sol
Mónica Lucero 1 V 3 2 F 5 3 F 3
Estrella 5 3 5
Sol 5 5 3
Mónica Lucero 1 5 5 2 3 5 3 3 3
Estrella 3 5 5
Sol F V F
V
V
F
F
2
V
F
V
F
Según esto, quien acierta dos preguntas en ambos casos es Mónica.
3
F
F
V
F
Rpta.: a
a) Mónica d) Sol
b) Lucero c) Estrella e) Faltan datos
Resolución:
Luego de analizar la información, tenemos: Mónica Lucero
Estrella
Sol
1
V
3
5
5
2
V
5
5
3
3
F
3
5
3
Falló Falló Falló en una en todas en una Estrella falló en todas. Rpta.: c Ciclo UNI 32
Analizando la información, existen dos casos:
1
1. Si se sabe que una de ellas contestó todas las preguntas correctamente, que otra falló en todas y que las otras dos fallaron solo en una pregunta cada una, ¿quién falló en todas las preguntas?
b) Lucero c) Estrella e) Faltan datos
3. Al llegar a la casa de Cenicienta, el Príncipe se dio cuenta de que había olvidado el zapatito de cristal, por lo que decidió interrogar a las tres hermanas, sabiendo que solo la verdadera Cenicienta diría la verdad. ¿Quién es Cenicienta?, preguntó el príncipe?
Jennifer: "Yo soy Cenicienta". Dora: "Jennifer miente". María: "Es cierto, Jennifer miente".
¿Cuál de ellas es Cenicienta?
Resolución:
Analizando, se determina que Dora y Jennifer se contradicen, es decir, si una dice la verdad (V), la otra miente (F). • Entonces, María siempre miente, pues una de las dos anteriores dice la verdad y solo la verdadera Cenicienta dice la verdad. Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático • Finalmente: Jennifer Dora María
Confirmando Opción 1 V F F
Opción 2 F V F
Confirmando:
Opción 1: La Cenicienta es Jennifer.
Opción 2: Existe una incohrencia en lo que dice María.
Rpta.: Jennifer
4. Cuatro sospechosas de haber atropellado con un auto a un peatón, hicieron las siguientes afirmaciones cuando fueron interrogadas por la policía: • • • •
María: Lucía: Irene: Leticia:
"Fue Lucía" "Fue Leticia" "Yo no fui" "Lucía miente"
Opción 1: Existen dos culpables
Opción 2: Lucía es culpable
Rpta.: Lucía
5. Cuatro niños tienen, cada uno: 4, 6, 8 y 10 canicas. Se sabe que cada uno dijo:
Andrés: "Tengo 4 canicas". Benito: "Tengo 10 canicas". Carlos: "Andrés tiene 8 canicas". Daniel: "Tengo 8 canicas".
Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuántas canicas tienen juntos Andrés y Daniel? Resolución:
Si solo una de ellas miente, ¿quién atropelló al peatón?
Andrés Benito Carlos Daniel
Resolución:
Analizando, notamos que Lucía y Leticia se contradicen, y como solo una miente, entonces María e Irene dicen la verdad. Entonces: María Lucía Irene Leticia
Opción 1 Opción 2 V F V V F V F V
Notamos que Andrés y Carlos se contradicen y, como solo uno miente, entonces Benito y Daniel dicen la verdad. Luego: Opción 1 Opción 2 V F V V F V V V
Confirmando: Opción 1 Andrés = 4 Benito = 10 Carlos = 6 Daniel = 8
Opción 2 Andrés y Daniel tendrían 8 canicas.
Andrés y Daniel tendrían; 4 + 8 = 12 canicas.
Problemas para la clase 1. Hay un solo anillo y tres cajas de diferente color, rotuladas con los siguientes enunciados: • Caja ploma: "El anillo no está aquí". • Caja negra: "El anillo no está en la caja marrón". • Caja marrón: " El anillo está aquí".
Si solo uno de los enunciados es verdadero, entonces es cierto que: a) En ninguna de las cajas está el anillo. b) El anillo no está en la caja ploma. c) El anillo está en la caja marrón. d) El anillo está en la caja ploma. e) El anillo está en la caja negra.
Central: 619-8100
Enunciado (2 – 3) Cuatro hermanas son interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso. Ellas afirman: • • • •
Carla: "Verónica fue". Verónica: "María fue". María: "Verónica miente al decir que fui yo". Patricia: "Yo no fui".
2. Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad?. a) Carla d) Patricia
b) Verónica c) María e) No se precisa www.trilce.edu.pe 33
• Sandra: "Fueron tres de nosotros". • Daysi: "Fueron cuatro de nosotros". • Marielena: "Fuimos cinco de nosotros".
3. Si solo una de ellas miente, ¿quién se comió el chocolate? a) Carla d) Patricia
b) Verónica c) María e) No se precisa
Enunciado (4-5) Cuatro alumnas comentan los resultados de una evaluación: • • • •
Amelia: "Carolina miente". Blanca: "Cecilia no miente". Cecilia: "Obtuve el más alto puntaje". Carolina: "Yo no obtuve el más alto puntaje".
4. Si se sabe que solo una de ellas dice la verdad y solo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) Carolina dice la verdad. b) Amelia dice la verdad. c) Carolina obtuvo el más alto puntaje. d) Cecilia obtuvo el más alto puntaje. e) Más de una es correcta. 5. Si se sabe que una de ellas miente y que solo una de ellas obtuvo el más alto puntaje, ¿quién es la que miente? a) Amelia d) Carolina
b) Blanca c) Cecilia e) No se puede determinar
6. Jorge realizó tres preguntas a sus amigos: Julio, Carlos y José; y obtuvo las siguientes respuestas:
Pregunta
Julio
Carlos
José
¿Eres profesional?
Sí
Sí
No
¿Tienes auto?
No
No
Sí
¿Te gusta viajar?
No
Sí
No
Jorge recordó que de los tres, uno siempre miente; otro solo miente una vez y el último siempre dice la verdad. Además, si todos hubiesen dicho la verdad, todos tendrían la misma respuesta. ¿Quién miente siempre? a) Julio d) Jorge
b) Carlos d) Gabriel
c) José
7. Después de desaparecido un pastel que la señora Juana había dejado en el horno, pregunta a cada uno de sus cinco hijos: "¿Quién se comió el pastel?", y obtiene las siguientes respuestas: • Freddy: "Fue solo uno de nosotros". • Evelyn: "Fueron dos de nosotros". Ciclo UNI 34
Además, se sabe que los culpables están mintiendo y el(los) inocente(s) está(n) diciendo la verdad. ¿Quién o quiénes no probaron pastel? a) Freddy c) Marielena e) Evelyn y Sandra
b) Sandra y Freddy d) Daysi
Enunciado (8 - 10) Andrea interrogó a sus tres hijos acerca de la torta de fresas que desapareció, ella sabe que solo uno de ellos se comió la torta y respondieron así: • • •
Carlos: "Yo me comí la torta". Jorge: "Claro que sí, Carlos se la comió". Juan: "Yo no fui".
8. Si se sabe que solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién se comió la torta y quién dice la verdad, respectivamente? a) Jorge – Carlos c) Carlos – Juan e) Carlos – Carlos
b) Jorge – Juan d) Juan – Jorge
9. Si Juan miente, entonces es necesariamente cierto que: I. Juan se comió la torta. II. Carlos miente también. III. Jorge dice la verdad. a) I d) I y II
b) II e) Ninguna
c) III
10. Si Carlos se comió la torta de fresas, es verdad que: I. Carlos dice la verdad. II. Jorge dice la verdad. III. Juan dice la verdad. a) I d) I y II
b) II e) Todas
c) III
Enunciado (11 - 12) Yuri vendió todo lo que poseía y se fue en busca del tesoro escondido de un pirata famoso. Luego de varios meses de búsqueda encontró cuatro cofres y la siguiente inscripción: "Cada uno de los cofres puede contener una de las siguientes cosas: mucho oro, un virus mortal de la época o simplemente nada. Al pie de cada cofre encontrará un símbolo y tres afirmaciones. Aquellos que tengan las tres afirmaciones verdaderas contendrán mucho oro, por el contrario, aquellos que tengan todas las afirmaciones falsas, serán de temer, pues en ellos encontrarás el virus mortal, y aquellos que presenten alternadamente Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático afirmaciones falsas con verdaderas, o viceversa, no tendrán importancia, pues estarán vacíos". A continuación se presentan los símbolos de cada cofre y sus respectivas afirmaciones: Símbolo
14. Todas las siguientes afirmaciones son imposibles, EXCEPTO: a) Tomás y Víctor ocupan sillas adyacentes. b) Úrsula y Víctor ocupan sillas adyacentes. c) Úrsula y Xavier ocupan sillas adyacentes. d) William y Zacarías ocupan sillas adyacentes. e) Xavier y Zacarías ocupan sillas adyacentes.
Afirmación • El cofre con la carita feliz tiene mucho oro. • Este cofre tiene mucho más oro que el cofre de la carita feliz. • El cofre con la calaverita está vacío
15. En una playa de estacionamiento entran cuatro autos, se sabe que: • El auto del gringo tiene tres ocupantes. • En uno de los autos va un mulato. • El Toyota permanece cuatro horas en la playa de estacionamiento. • El auto que llega primero permanece tres horas. • El auto con solo un ocupante es del chino. • El auto que llega inmediatamente después del Datsun es el que permanece cuatro horas en la playa de estacionamiento. • El auto del negro llega inmediatamente después del que permanece una hora, y permanece dos horas en la playa de estacionamiento. • El auto con dos ocupantes llega inmediatamente después del Ford. • El auto con cuatro ocupantes no es Volkswagen y llega último a la playa de estacionamiento. • El auto del gringo llega inmediatamente antes del auto con dos ocupantes.
• Este cofre tiene mucho más oro. • Solo uno de los cofres contiene oro. • La tercera afirmación del cofre con la carita triste es verdadera. • Este cofre no contiene el virus mortal. • Este cofre contiene el virus mortal. • La carita sin expresión no contiene oro. • Este cofre no contiene el virus mortal. • La carita feliz contiene virus mortal. • La carita triste contiene virus mortal. 11. ¿Cuántos cofres contienen oro? a) 0 d) 3
b) 1 c) 2 e) Indeterminado
12. ¿Qué contiene el cofre de la carita sin expresión y el cofre de la carita triste, respectivamente? a) Vacío – virus c) Oro – virus e) Oro – vacío
b) Virus – vacío d) Virus – oro
Enunciado (13 - 14) Ocho personas, Sara, Tomás, Úrsula, Víctor, William, Xavier, Yolanda y Zacarías, se sientan alrededor de una mesa circular con ocho sillas distribuidas uniformemente. La ubicación de las personas alrededor de la mesa cumple las siguientes condiciones: • • •
William y Xavier ocupan sillas adyacentes. Zacarías y Úrsula ocupan sillas adyacentes. Yolanda está sentada frente a Sara.
13. Todas las siguientes personas podrían estar sentadas junto a Úrsula, EXCEPTO: a) Sara d) Xavier Central: 619-8100
b) Tomás e) Yolanda
c) Víctor
Permaneció una hora en la playa de estacionamiento : a) El que tenía dos ocupantes. b) El auto del mulato. c) El auto del chino. d) El Datsun. e) El que tenía tres ocupantes.
Enunciado (16 - 17) Si se sabe que Javier es mayor que Elena y que Pedro, pero este último es mayor que Joaquín y que Manuel. 16. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es verdadera? a) Manuel es menor que Pedro. b) Joaquín es menor que Javier. c) Javier es mayor que Manuel. d) Elena es menor que Javier. e) Pedro es menor que Elena. www.trilce.edu.pe 35
• Elisa está en el extremo derecho. • Pedro está entre Lalo y Alejandra. • Ricardo está a la izquierda de Lalo, quien está sentado junto a Elisa.
17. Para saber quién es el menor de todos, es suficiente saber que: I. Elena es mayor que Pedro. II. Joaquín es menor que Manuel. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos. 18. Siete cadetes están preparándose para un desfile militar y deben marchar obedeciendo las siguientes condiciones:
a) Ricardo d) Alejandra
c) Lalo
• El perro de Saúl no tiene el mismo nombre que el dueño de “Saúl”. • El dueño de “Tomás” es Saúl o Pablo. • El perro de Pablo no tiene el mismo nombre que el dueño de “Tomás”.
Si "F" marcha tercero, es imposible que:
• Roberto no es dueño de “Saúl”
I. "C" marche primero. II. "B" marche primero. III. "A" marche quinto. IV. "E" marche quinto. V. "D" marche sexto. b) Solo III e) Solo II
b) Pedro e) Está vacía
20. Cuatro amigos: Saúl, Roberto Tomás y Pablo se van de cacería llevando a sus perros de caza respectivos, estos tienen los mismos nombres mencionados pero cada perro no lleva el nombre de su dueño. Se sabe que:
• "A" debe marchar inmediatamente delante de "E". • "D" no puede marchar delante de"A". • "G" debe marchar cuarto y delante de "E". • "F"no puede marchar primero ni quinto.
a) I y III d) I, II y III
¿Quién ocupa la quinta posición desde la izquierda?
¿Cuál de las alternativas es correcta? a) Saúl es dueño de “Roberto” y Pablo de “Saúl”. b) Tomás es dueño de “Saúl” y Pablo de “Ro berto”. c) Saúl es dueño de “Tomás” y Tomás de “Ro berto”. d) Saúl es dueño de “Roberto” y “Pablo” de “Tomás”. e) Saúl es dueño de “Tomás” y Roberto de “Pablo”.
c) IV y V
19. Cinco amigos van al cine y ocupan una fila de siete asientos. Se sientan juntos, siempre que no sean del mismo sexo, en ese caso se deja un lugar vacío. Si se observa que:
Tarea domiciliaria • • • •
1. Cuatro amigas sostienen la siguiente conversación: • Andrea: "Aprobé el examen de inglés". • Blanca: "Yo aprobé dicho examen". • Diana: "Carla dice la verdad".
Si solo una de ellas dice la verdad, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Andrea miente. b) Blanca dice la verdad. c) Carla dice la verdad. d) Carla ha aprobado el examen de inglés. e) Andrea ha aprobado el examen de inglés.
2. Cinco amigos viven en cinco casas contiguas, si se sabe que: Ciclo UNI 36
Alfonso vive a la izquierda de Alberto. Alfredo no vive a la derecha de Álvaro. Alberto vive en el centro de todos. Alonso no vive junto a Alberto.
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas I. Álvaro vive a la derecha de Alberto. II. Si Alfredo no vive junto a Alberto, entonces vive a la derecha de los demás. III. Alonso vive a la derecha de los demás. a) Solo II d) Solo I
b) Solo III e) II y III
c) I y II
Enunciado (3 – 5) Andrés, Flavio y Raúl tienen una mascota diferente cada uno: conejo, gato y canario. Además, ellos tieColegios
TRILCE
Razonamiento Matemático nen edades diferentes y viven en distritos diferentes: Lima, La Molina y Pueblo Libre. Se sabe que Andrés no es el menor y tiene como mascota un gato. Raúl no es el mayor y no vive en Lima. El que tiene el canario vive en Lima y el que tiene al conejo vive en La Molina. 3. La asociación correcta es:
• •
7. Si Ariana comienza a jugar y se saca una bola azul y luego una roja, ¿de cuántas maneras puede ganar un punto? a) 2 d) 6
a) Andrés – La Molina b) Flavio – Lima c) Raúl – canario d) Raúl – menor e) Flavio – menor 4. Si Raúl no es menor, entonces es falso que: a) El mayor tiene el gato b) El menor tiene el canario c) Flavio es el mayor d) El mayor vive en Pueblo Libre e) El menor vive en Lima 5. Para determinar quién es el menor, basta saber que:
6. Cuatro acusadas de haber roto los cristales de una ventana son interrogadas y responden de la siguiente manera: • • • •
Grecia: "Zarina participó". Mariela: "Grecia participó" Zarina: "Grecia miente". Sabrina: "Yo no participé".
Además, se sabe que solo una de ellas es inocente, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) Todos los enunciados pueden ser falsos. b) Todos los enunciados pueden ser verdaderos. c) A lo más, un enunciado es falso. d) Al menos, un enunciado es falso. e) A lo más, un enunciado es verdadero.
Enunciado (7 – 8) Un juego consiste en extraer de una urna, bolas de colores. En dicha urna hay bolas rojas, azules y verdes. Se sabe que: Central: 619-8100
b) 3 e) Más de 6
c) 4
8. Si Ariana comienza a jugar y saca una bola roja, ¿de cuántas maneras puede ganar un punto? a) 3 d) 6
b) 4 e) 7
c) 5
9. Cuatro hermanas fueron interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso. Gina: "Verónica fue". Verónica: "Karen fue". Karen: "Verónica miente". Patricia: "Yo no fui".
I. Flavio es mayor que el que vive en La Molina. II. Andrés es mayor que Raúl. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos.
Para ganar un punto se deben extraer consecutivamente dos bolas del mismo color, como máximo, en cuatro jugadas. Las bolas se extraen una por una y al azar.
Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad? a) Gina d) Patricia
b) Verónica c) Karen e) No se puede determinar
10. Fátima tiene cuatro admiradores: Alejandro, Daniel, Santiago y Rodrigo; y uno de ellos le ha enviado un ramo de rosas de manera anónima. Fátima los reunió y les preguntó quién había sido, y ellos le contestaron de la siguiente manera: • • • •
Alejandro dijo: "Uno de nosotros fue". Daniel dijo: "Yo no fui. Santiago dijo: "Alejandro no fue". Rodrigo dijo: "Fue Santiago".
¿Quién le ha enviado el ramo de rosas, si solo uno de ellos ha mentido? a) Alejandro b) Daniel c) Santiago d) Rodrigo e) No se puede precisar
11. Como en todos los ámbitos, también entre los acertijeros hay gente mala. Es el caso de tres personas que debieron ser expulsadas del último torneo de juegos de ingenio de Moldavia. Les cuento: • Quien tenía una minicomputadora escondida, fue descubierto mientras resolvía un crucigrama. • Juan fue expulsado el primer día, pero no durante la resolución del problema geométrico. www.trilce.edu.pe 37
• Quien recibía ayudas por un teléfono celular no fue descubierto durante el segundo día. • Luan fue sorprendido copiando descaradamente una respuesta de su vecino. • Kuan no fue expulsada el tercer día. • Uno de ellos fue descubierto mientras hacía trampas resolviendo un Sudoku.
Descubran qué trampa hacía cada uno, qué día fue descubierto y qué acertijo estaba resolviendo.
cada uno en un piso diferente. Sus secretarias se llaman: Rosa, Patricia y Yolanda, aunque no necesariamente en ese orden. Además, se conoce la siguiente información. • •
•
Rpta.: Juan: 1er día – sudoku – celular Luan: 3er día – prob geométrico – copiaba Kuan: 2do día – crucigrama – mini comp
•
Enunciado (12 – 14) Ocho personas: Sara, Tomás, Úrsula, Víctor, William, Yolanda, Xavier y Zacarías, se sientan alrededor de una mesa circular con ocho sillas distribuidas uniformemente. La ubicación de las personas alrededor de la mesa cumple las siguientes condiciones.
15. ¿Quién es el arquitecto?
• • •
a) Julio c) Manuel e) Manuel o Julio
a) Sara d) Xavier
b) Tomás e) Yolanda
c) Víctor
13. Todas las siguientes afirmaciones son imposibles, excepto: a) Tomás y Víctor ocupan sillas adyacentes. b) Úrsula y Víctor ocupan sillas adyacentes. c) Úrsula y Xavier ocupan sillas adyacentes. d) William y Zacarías ocupan sillas adyacentes. e) Xavier y Zacarías ocupan sillas adyacentes. 14. Si Sara se sienta junto a Zacarías, todas las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas, excepto:
a) Rosa b) Patricia c) Patricia o Yolanda d) Rosa o Patricia e) Giselle 17. Tadeo, Pedro y Carlos asisten a una actuación escolar con sus parejas: Teresa, Susana y Luisa. Cada una de las parejas tiene un(a) hijo(a). Se llaman Ruth, María y Ricardo. Teresa me dijo que si hija representaba a Anita en el teatro de la escuela. Pedro comentó que su hija representaba a Ofelia, y Tadeo afirmó que su hija no era María y que la mujer de Carlos no era Susana. ¿Quién está casada con Carlos y quién es la madre de Ricardo? a) Teresa – Luisa c) Teresa – Teresa e) Luisa – Teresa
Ciclo UNI
b) Luisa – Susana d) Luisa – Luisa
18. Se tienen 5 equipos, cada uno con un número diferente de integrantes. Se sabe que: • El equipo "A" tiene 4 integrantes más que el equipo "R". • El equipo "V" tiene 3 integrantes más que "R". • El equipo "N" tiene 2 integrantes menos que "V". • El equipo "M" tiene 4 integrantes menos que "V".
a) Sara está sentada junto a Xavier. b) Úrsula está sentada junto a Tomás. c) Úrsula está sentada junto a Yolanda. d) William está sentado junto a Yolanda. e) Yolanda está sentada junto a Xavier. Enunciado (15 – 16) Julio, Eduardo y Manuel son profesionales, uno de ellos es arquitecto, otro ingeniero y el otro es notario, aunque no necesariamente en ese orden. Los tres tienen sus oficinas en un mismo edificio,
b) Eduardo d) Julio o Eduardo
16. ¿Quién es la secretaria de Julio?
William y Xavier ocupan sillas adyacentes. Zacarías y Úrsula ocupan sillas adyacentes. Yolanda está sentada frente a Sara.
12. Todas las siguientes personas podrían estar sentadas junto a Úrsula, excepto:
38
El notario tiene su oficina en la planta baja. Por llevar la contra a la costumbre que indica que las secretarias se enamoran de sua patrones, Patricia fue flechada por Manuel, con quien desayunaba todos los días. Todas las mañanas, Rosa sube a desayunar con la secretaria de Eduardo. Julio, en un arranque de furia, ordenó a su secretaria que baje hasta la oficina del arquitecto a traerle un café.
Si se integra otro equipo, ¿en qué lugar entre los demás podría ubicarse, si también tiene un número diferente de integrantes que los demás? Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático a) Entre "M" y "R" c) Entre "V" y "A" e) Entre "M" y "N"
b) Entre "V" y "N" d) Entre "R" y "N"
19. Tres representantes, un presidente, un vicepresidente y un tesorero, deben ser designados para el consejo estudiantil. Solo cinco personas son elegibles (dos mujeres: Vera y Janet, y tres varones: Dan, Mark y William). • Vera no puede ser presidente. • Dan y Janet no pueden servir juntos. • Los tres representantes no pueden ser del mismo sexo.
Si Janet es elegida presidente, ¿cuántas personas podrían ser designadas como vicepresidente? a) 1 d) 4
Central: 619-8100
b) 2 e) 0
c) 3
20. Se quiere formar una comisión de cuatro personas, donde al menos estén presentes dos hombres; las mujeres candidatas son: "R", "S", "T" y "Q". Los hombres candidatos son "M", "N" y "P". Además, se deben respetar las siguientes condiciones: • "S" no estará con "P". • "N" no estará con "R". • "Q" no estará con "M". Si "S" es elegida, ¿quiénes la acompañarán? a) RNP d) MPT
b) MNP e) MNQ
c) MNT
www.trilce.edu.pe 39
Problemas para la clase 1. Se necesita trasladar los discos de madera de la 4. El número de esta tarjeta de crédito tiene 14 primera y de la segunda varilla a la cuarta, con dígitos y la suma de tres dígitos consecutivos los siguientes requerimientos: cualesquiera da siempre 20. • No trasladar más de un disco por vez. • El disco quitado deberá colocarse en una varilla libre o sobre un disco de mayor o igual radio. • En ninguna varilla se permite poner un disco mayor encima de otro menor.
x
7
¿Cuánto vale "x"? a) 5 d) 7
b) 4 e) 9
c) 6
¿Cuántos movimientos de los discos se deberán 5. Si Manuel es hijo de la esposa del único vástago realizar como mínimo para lograrlo? de mi madre, entonces Manuel es mi:
1° 2° 3° 4° a) 9 d) 11
b) 8 e) 14
c) 10
a) Sobrino d) Hijo
Si "F" marcha tercero, es imposible que:
b) Hermano c) Primo e) Nieto
6. En cierto mes hubo cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Cuántos días en total trae dicho mes?
2. Siete cadetes están preparándose para un desfile militar y deben marchar obedeciendo las siguientes condiciones: 7. • "A" debe marchar inmediatamente delante de "E". • "D" no puede marchar delante de"A". • "G" debe marchar cuarto y delante de "E". • "F"no puede marchar primero ni quinto.
9
a) 28 d) 31
b) 29 e) 28 o 29
c) 30
Si el anteayer del ayer del pasado mañana del anteayer del mañana es sábado, ¿qué día será el anteayer del mañana del pasado mañana de mañana? a) Miércoles b) Lunes d) Martes e) Jueves
c) Sábado
I. "C" marche primero. II. "B" marche primero. 8. Ubicar los dígitos del 1 al 8 en la siguiente fiIII. "A" marche quinto. IV. "E" marche quinto. gura, de modo que no haya 2 números conseV. "D" marche sexto. cutivos en 2 cuadraditos vecinos (con un lado a) I y III b) Solo III c) IV y V o vértice común). Calcular la suma de los núd) I, II y III e) Solo II meros que ocupan los cuadraditos sombreados. 3. Iván, José y Cristian postulan a una universidad. Dos de ellos eligen Medicina y el restante, Filosofía o Literatura. Si José y Cristian no escogieron la misma especialidad, ¿cuál de las siguientes alternativas de elección deberá inferirse con total certeza como conclusión? a) José a Literatura b) José a Medicina c) Cristian a Filosofía d) Iván a Filosofía e) Iván a Medicina Ciclo UNI 40
a) 17 d) 20
b) 19 e) 24
c) 18
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 9. Horacio es cuñado de Miguel, Miguel es cuñado de Elena y Elena es hermana de la esposa de Miguel. ¿Qué parentesco hay entre Horacio y Elena?
c) Concuñados
a) Cuñados b) Esposos d) Hermanos e) Primos
10. Digna y Favio se casaron y solo tuvieron tres hijos: Jorge, Carmen y Sonia. Digna y Favio son padres de la madre de Andrés, quien es hijo de la hermana de Carmen. Laura es hermana de Andrés y su bisabuelo materno se llama Nicanor, quien solo tuvo un hijo. Del texto anterior, se deduce con certeza que: I. Jorge es soltero. II. Digna es abuela de Laura. III. Carmen es tía de sangre de Laura. a) I y II d) Todas
b) I y III e) Ninguna
4 1
2
3
2
1
3
1
a) 31 cm d) 35
b) 32 e) 33
4
1
4
2
c) 30
Andrés: "Tengo 4 canicas". Benito: "Tengo 10 canicas". Carlos: "Andrés tiene 8 canicas". Daniel: "Tengo 8 canicas". Si solo uno de ellos miente y los otros dicen la verdad, ¿cuántas canicas tienen juntos Andrés y Daniel? a) 10 d) 16
B 6 cm
c) 14
• Hay solo dos cursos de Humanidades: "A" y "B", y cuatro cursos de informática: "C", "D", "E" y "F". • Si lleva "C" no puede llevar "A". • Debe llevar por lo menos dos cursos de informática. • Si lleva "D" debe llevar "F" y viceversa.
¿De cuántas maneras puede elegir tres cursos para matricularse? a) 4 d) 8
b) 7 e) 6
c) 5
15. ¿Cuántos de los números de la figura deben ser cambiados de ubicación, por lo menos, para que la suma de los tres números contenidos en círculos unidos por una línea recta sea la misma y, además, la máxima posible?
12. En la figura, ABC es un triángulo equilátero cuyo lado mide 18 cm y está circunscrito a la circunferencia. Calcular la longitud mínima que debe recorrerse con la punta de un lápiz para realizar la figura, sin separar el lápiz del papel. A 2 cm
b) 12 e) 18
14. Manuel debe elegir tres cursos para matricularse en el presente semestre. Se sabe que:
c) II y III
11. Si los números en los tramos de la figura corresponden a sus longitudes en centímetros, ¿cuál es la menor longitud que debe recorrer la punta de un lápiz sin separarla del papel para realizar la figura geométrica? 3
13. Cuatro niños tienen cada uno: 4; 6; 8 y 10 canicas. Se sabe que cada uno dijo:
a) 3 d) 5
3
4
2
1
5
8
7
9
6
b) 4 e) 6
c) 2
4 cm C
.
a) 3(p 3 + 16) cm c) 36 3 e) 42 Central: 619-8100
b) 48 d) 6(p 3 + 12)
www.trilce.edu.pe 41
Tarea domiciliaria 1. ¿Qué parentesco tiene conmigo, la hija de la nuera de la mamá de mi padre, si mi padre es hijo único? a) Mi hermana b) Mi tía d) Mi abuela e) Mi prima
c) Mi mamá
2. ¿Cuántos segmentos tendría en total la siguiente figura?
a) 102 d) 78
b) 40 e) 59
c) 56
3. En el interior de una caja grande, hay 20 cajas medianas y en cada una de estas medianas, o bien hay 10 cajas pequeñas o no hay ninguna. Si 13 cajas están llenas, ¿cuántas cajas vacías hay? a) 7 d) 96
b) 8 e) 128
c) 56
6. Es verdad que: I. "C" debe usar el polo amarillo. II. "G" debe usar el polo verde. III. "D" debe estar sentado junto a "G". a) I y II d) Solo II
b) II y III e) Ninguna
c) I y III
7. Si la persona que usa polo amarillo está sentada junto a la persona que usa polo rojo, entonces, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) "B" debe usar un polo blanco. b) "D" debe usar un polo azul. c) "A" no se sienta junto a "D". d) "G" se sienta junto a "B". e) "B" se sienta junto a "C". 8. La lista completa de las personas que pueden usar el polo azul es: a) "G" y "B" d) "D" y "C"
b) "B" y "D" c) "D" y "G" e) "B", "C" y "D"
4. ¿Qué fracción completa mejor la secuencia 9. Si la persona que usa polo verde no está junto a la persona que usa polo azul, es imposible que: mostrada? 10 4 6 5 1 I. "G" y "C" deban sentarse juntos. ; ; ; ; ; ... 3 9 7 8 12 II. "A" y "B" deban sentarse juntos. III. "D" y "G" deban sentarse juntos. 4 7 8 a) b) c) 5 4 9 a) I y II b) II y III c) Solo III 3 2 d) I y III e) Solo II d) e) 5 11 5. A una fiesta asistieron 399 personas. El número de hombres es 4 veces más que el número de mujeres y el de mujeres es 3 veces el de los niños. ¿Cuántos hombres hay? a) 375 d) 331
b) 315 e) 332
c) 330
Enunciado (6 – 10) "A", "B", "C", "D" y "G" se desean sentar alrededor de una mesa circular con cinco sillas espaciadas, bajo las siguientes condiciones. • • • • •
"A" se debe sentar junto y a la derecha de "G". "B" se debe sentar junto a "D". Cada uno debe usar un polo de diferente color: rojo, azul, blanco, amarillo y verde. El que tiene polo blanco debe sentarse adyacente a "C" y al que tiene polo azul. "A" debe usar un polo rojo pero "C" no debe usar polo verde.
Ciclo UNI 42
10. Para determinar quiénes se sientan adyacentes a "C", basta saber que: I. "B" se sienta junto a la persona que usa polo rojo. II. "D" debe usar polo blanco. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario usar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos por separado es suficiente. e) Se necesitan más datos. 11. (EX UNI 2007–II). De un grupo de 40 niños y niñas, la sexta parte de los niños y la séptima parte de las niñas tienen bicicletas. ¿Cuántos no tienen bicicletas? a) 24 d) 34
b) 27 e) 36
c) 30 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
• La que trabaja en San Isidro no tiene carro rojo. • Cuando María del Rocío subió a su auto azul para ir a Pueblo Libre, se dio cuenta de que era domingo. • A Karen le gustaría trabajar en San Isidro. Podemos afirmar: a) Michelle tiene auto rojo. b) Michelle tiene auto blanco y trabaja en San Isidro. c) Michelle prefiere San Isidro, pero trabaja en San Miguel. d) Karen tiene auto blanco. e) Nada se precisa. Enunciado (14 – 15) Cuatro amigos, cada uno con una afición a un juego (ludo, ajedrez, dominó y damas); a tener una mascota (mono, gallo, perro y conejo) y a fumar (puros, Kimbara, Fortuna y Montana). • • • • • • • •
Pío fuma puros. El que juega ludo tiene el mono. Lucho no tiene el conejo. El que fuma Kimbara juega ajedrez. Alejandro juega dominó. El que fuma Fortuna tiene al perro. Jaime no juega ajedrez. El que juega damas fuma Fortuna.
14. ¿Quién fuma Fortuna? a) Alejandro b) Jaime d) Cualquiera e) Pío
7
a) 2 d) 6
a) 4 d) 9
Central: 619-8100
c) 4
b) 6 e) 10
c) 8
18. Una hormiga tarda 10 minutos en recorrer las aristas de una caja cúbica. Si cada arista mide 40 cm, ¿cuál es la menor rapidez en cm/min de la hormiga? a) 48 b) 52 c) 56 d) 60 e) 64 19. Se requiere determinar el número de asistentes a una reunión de padres de familia. Información brindada: I. El 60% de los asistentes son mujeres. II. El número de mujeres que asistieron excede en 10 al número de hombres. Para resolver el problema, debemos considerar: a) Solo I b) Solo II c) I y II d) I o II d) Falta información 20. El cuadro tiene una distribución numérica, de tal forma, que las filas, columnas y diagonales suman 15. Los dígitos son del 1 al 5 y no se repiten en una fila o columna. Determine qué números ocupan los casilleros UNI. 5
c) Lucho
c) Gallo
b) 3 e) 7
17. Indique cuántos triángulos contienen por lo menos un asterisco.
15. ¿Qué mascota tiene Jaime? a) Perro b) Mono d) No se sabe e) Conejo
3
13. Tres amigas: Michele, María del Rocío y Karen, trabajan en zonas diferentes: San Isidro, San Miguel y Pueblo Libre; tienen cada una un auto de diferente color; azul, blanco y rojo. Si se sabe que:
2
a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario usar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos por separado es suficiente. e) Se necesitan más datos.
6
Para responder a la pregunta:
5
I. La suma de las edades de Toñito y Pepe es 70 años. II. Cuando Toñito tenga la mitad de la edad que tiene Mateo, Pepe tendrá 40 años.
16. Un conejo salta en el sentido que indica la flecha, con las siguientes condiciones: • Si se encuentra en un casillero impar salta un tramo. • Si se encuentra en un casillero par salta dos tramos. Si comienza en el casillero 7, ¿en qué casillero se encuentra después de dar 1995 saltos? Nota: Un tramo es la distancia entre un casillero y el siguiente. 1
4
12. (EX UNI 2008 – I). Si Mateo es dos veces tan viejo como Toñito lo será cuando Pepe sea tan viejo como Mateo es ahora, ¿qué edad tiene Mateo?
a) 3; 4; 2 d) 4; 3; 5
4 UN I 1 UN I 2 5 3 b) 3; 5; 2 c) 3; 5; 4 e) 4; 5; 3 www.trilce.edu.pe 43
Concepto En este tema se analiza la estructura interna de las proposiciones y la relación que existe entre el sujeto y el predicado.
Nociones previas
Proposición
Es aquel enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o falso pero no puede ser verdadero y falso a la vez. Ejemplos:
p: cinco más ocho es igual a 13 q: Lima es capital de Bolivia r: El número seis pertenece al conjunto de los números enteros
(v) (F) (V)
Proposición categórica
Es aquel enunciado o proposición que afirma o niega la relación de dos conjuntos o clases. Ejemplos:
1. Todas las mujeres son hermosas.
Indica que todos los elementos del conjunto o clase "Mujeres" están considerados totalmente en el conjunto o clase "Hermosas".
2. Ningún animal es un ser que razona.
Indica que no existen elementos del conjunto o clase "animal" considerados en el conjunto o clase "ser que razona".
3. Algunos estudiantes son puntuales.
Indica que algunos elementos del conjunto o clase "estudiantes" son considerados en el conjunto o clase "puntuales".
4. Algunas botellas no son de vidrio. Indica que existen algunos elementos o al menos un elemento del conjunto "botella" que no se considera en la clase "vidrio".
Analizando los ejemplos anteriores, observamos la relación que existe entre las clases o conjuntos en una proposición categórica. Algunas relaciones pueden ser de inclusión o exclusión, totales o parciales, ello lo notamos por el uso de las palabras: todos, ningún, algunos, no todos.
Dichas palabras son conocidas con el nombre de cuantificadores.
Cuantificadores
Son expresiones lógicas que indican la relación entre los conjuntos o clases de una proposición categórica.
Ciclo UNI 44
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Los cuantificadores pueden ser clasificados de la siguiente manera: Cuantificadores
Afirmativos
Negativos
Universales
Todos... Cada uno... Los...
Ningún... Ninguno... No existe...
Particulares
Algunos... Al menos uno... Ciertos... Muchos...
Algunos... no No todos...
Inferencia
Es el análisis lógico que, partiendo de una o más proposiciones (premisas), obtiene una nueva proposición llamada conclusión. Ejemplos:
a) Todos los estudiantes de Trilce son responsables.
Si Carlos, Luis y Claudia, son estudiantes de Trilce, se deduce o se infiere que: algunos estudiantes de Trilce son responsables.
b) Todos los ingenieros dominan matemática.
Se deduce o se infiere que algunos ingenieros dominan matemática.
c) Si:
•
Todos los limeños son bohemios.
•
Todos los bohemios son felices.
Se infiere: Todos los limeños son felices.
d) Si:
•
Todos los adolescentes son responsables.
•
Ningún responsable es inmaduro.
Entonces: Ningún adolescente es inmaduro.
Nota: las inferencias que tengan dos premisas (como por ejemplo, "c" y "d") se llaman silogismos.
Para un mejor análisis de los problemas, consideraremos los siguientes aspectos: Caso 1: Cuando las proposiciones se refieran solo a cuantificadores universales. Caso 2: Cuando las proposiciones se refieran a cuantificadores universales y particulares. Caso 3: Negación de proposiciones.
Problemas resueltos 1. Si se sabe que:
Gráfica de proposiciones Caso 1 S
P
P
S
Todos los "S" son "P"
Podemos concluir que:
Ningún "S" es "P"
Esta representación es muy útil si en la proposiciones solo aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES. Central: 619-8100
• Todos los mamíferos son vivíparos. • Ningún batracio es vivíparo. • Todos los sapos son batracios. a) Algunos sapos son vivíparos. b) Algunos mamíferos son batracios. c) Todos los batracios son sapos. d) Ningún sapo es mamífero. e) Todos los mamíferos son batracios.
www.trilce.edu.pe 45
Resolución:
2. Si:
vivíparos
batracios
mamíferos
sapos
• Algunos "W" que son "Z" no son "T". • Todos los "Z" son "W". • Ningún "W" es "T".
Se observa que solo hay cuantificadores universales, graficando:
Entonces: I. Ningún "Z" es "T". II. Todos los "W" son "Z". III. Algunos "T" no son "W".
Respecto a estas afirmaciones, las correctas son:
Resolución:
Se infiere: ningún sapo es mamífero.
Rpta.: a
Graficando los cuantificadores universales: Z W
Caso 2 Considerando las siguientes representaciones T
Clase vacía
Finalmente, considerando el cuantificador particular: Z W
Clase no vacía
T Entonces: I. Verdadero II. Falso
Clase indeterminada
Por lo tanto, utilizando diagramas de Venn Euler, tendremos: S
P
Todos los "S son "P" S
S
P
Algún "S" es "P"
P
Rpta.: c
3. Si todos los ingenieros son ingeniosos, y algunos preocupados no son ingeniosos, se infiere lógicamente que: a) Algunos preocupados no son ingenieros. b) Algunos preocupados son ingenieros. c) Ningún preocupado es ingeniero. d) Algunos ingenieros no son preocupados. e) Algunos preocupados son ingeniosos.
Ningún "S" es "P" S
P
Resolución:
Graficando primero los cuantificadores universales y luego los particulares, tendríamos: Ingenieros Ingeniosos
Preocupados
Se infiere: algunos preocupados no son ingenieros.
Algún "S" no es "P"
•
Esta representación es recomendable si en las proposiciones aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES Y PARTICULARES.
•
Para graficar más de una proposición, primero se grafican aquellas que tengan cuantificador universal para luego continuar con las que tengan cuantificador particular.
Ciclo UNI 46
III. Falso
Rpta.: a Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Caso 3 Negación de proposiciones categóricas Una forma práctica para realizar la negación de una proposición categórica es usar los diagramas de Venn Euler. Para ello, primero se presenta graficamente la proposición, luego se niega la zona representada y finalmente se interpreta el gráfico obtenido. Ejemplos:
Proposición
Todos los niños son traviesos
Representación gráfica de la negación
Representación gráfica
Niños
Traviesos
Niños
Traviesos Algunos niños no son traviesos
Zona a negar
Peruano
Irresponsable
Peruano
Ningún peruano es irresponsable Zona a
Irresponsable Algunos peruanos son irresponsables
negar
Poetas Muchos poetas son fantasiosos
Fantasiosos
Poetas
Negación de la proposición
Fantasiosos Ningún poeta es fantasioso
Zona a negar
Observamos que la negación de un cuantificador universal es un cuanificador particular y viceversa. 4. La negación de "todos los rectángulos son paralelogramos", es: a) Todos los rectángulos no son paralelogramos. b) Todos los no rectángulos no son paralelogramos. c) Algunos rectángulos no son paralelogramos. d) Algunos rectángulos son paralelogramos. e) Todos los no rectángulos son paralelogramos. Resolución:
Graficando la premisa: "Todos los rectángulos son paralelogramos". Rectángulo Paralelogramos Rectángulo Paralelogramos
Un "no existe" se niega con un "existe al menos uno".
Central: 619-8100
Finalmente, el gráfico de la negación es: Rectángulo
Paralelogramos
Algunos rectángulos no son paralelogramos.
Rpta.: c
5. A partir de las siguientes premisas: • Todos los artistas son sensibles. • No es cierto que todos los poetas sean sensibles. Se infiere válidamente: a) Todos los poetas son artistas. b) Ningún artista es poeta. c) Algunos poetas no son artistas. d) Todos los artistas son poetas. e) Algunos sensibles no son poetas.
www.trilce.edu.pe 47
Resolución:
Finalmente: Artistas Sensibles
Analizando y graficando: Poetas
Sensibles
Poetas
Sensibles
Esto no es cierto, entonces, lo válido sería la negación.
Poetas Se infiere: algunos poetas no son artistas. Rpta.: c
Problemas para la clase 1. Si:
5. Si se sabe que:
• Los infantes son preescolares. • Cada bebé es un infante.
• Todos los estudiantes se preparan para los exámenes. • Todos los que se preparan para los exámenes obtienen buenos resultados.
Entonces: a) Ningún bebé es preescolar. b) No existe preescolar que sea bebé. c) Los bebés son preescolares. d) Algún escolar es bebé. e) Algún bebé es escolar. 2. Si: • Todo hombre es racional. • Ningún animal es un ser que razona. Entonces: a) Algún animal es hombre. b) Algún no animal no es hombre. c) Ningún animal es hombre. d) Todo animal es siempre animal. e) Cierto no hombre no es hombre. 3. Si todos los biólogos son científicos y todos los científicos son racionales, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es necesariamente verdadera? a) Todos los racionales son científicos. b) Todos los científicos son biólogos. c) Algunos biólogos no son racionales. d) Todos los biólogos son racionales. e) Algunos biólogos son racionales. 4. Si se sabe que: "Ningún reptil es mamífero y ningún mamífero es asexuado", ¿cuál es la conclusión correcta? a) Ningún reptil es asexuado. b) Ningún asexuado es reptil. c) Algunos mamíferos no son reptiles. d) Más de una es correcta. e) Ninguna es correcta. Ciclo UNI 48
Se puede concluir que: a) Todos los que obtienen buenos resultados se preparan para los exámenes. b) Todos lo que se preparan para los exámenes son estudiantes. c) Todos los que obtienen buenos resultados son estudiantes. d) Todos los estudiantes obtienen buenos resultados. e) Algunos de los que se preparan para los exámenes no obtienen buenos resultados.
6. De la siguiente proposición: "Todos los cachimbos son inteligentes", se infiere: a) Algunos cachimbos son inteligentes. b) Algunos no inteligentes son cachimbos. c) Todos los inteligentes son cachimbos. d) Ningún inteligente es cachimbo. e) Algunos no inteligentes son cachimbos. 7. Si afirmamos que: "TODO MATEMÁTICO ES CIENTÍFICO", una expresión equivalente a dicha afirmación es: a) Ningún matemático no es científico. b) No todo matemático es científico. c) Hay matemáticos que son analíticos. d) No es cierto que todo científico sea no matemático. e) Muchos matemáticos son científicos. Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 8. Si afirmamos que: "TODAS LAS FRUTAS SON NUTRITIVAS ", podemos concluir que: a) Algunas frutas no son nutritivas. b) No es el caso que algunas frutas sean nutritivas. c) No es el caso que algunas frutas no sean nutritivas. d) Algunas frutas son amargas. e) Ninguna fruta es nutritiva. 9. Dadas las siguientes afirmaciones: • Algunas historias de ficción son reales. • Ningún cuento de terror es real.
Se infiere necesariamente que: a) Algunas historias de ficción no son cuentos de terror. b) Algunos cuentos de terror no son historias de ficción. c) Algunos cuentos de terror son reales. d) Todas las historias de ficción son cuentos de terror. e) Todos los cuentos de terror son historias de ficción.
10. Dadas las siguientes premisas: • Algunas enfermedades contagiosas no son peligrosas. • Todas las enfermedades contagiosas se propagan con facilidad.
De ellas se concluye necesariamente que: a) Algunas cosas que se propagan con facilidad no son peligrosas. b) Algunas cosas peligrosas se propagan con facilidad. c) Algunas cosas peligrosas no se propagan con facilidad. d) Nada que sea peligroso se propaga con facilidad. e) No todo lo peligroso se propaga con facilidad.
11. Si afirmamos que: "Algunos poetas son fantasiosos, todo fantasioso no es realista", entonces: a) Todos los poetas son realistas. b) No es cierto que muchos poetas no sean realistas. c) Muchos poetas no son escritores. d) Muchos poetas no son realistas. e) Ningún poeta es realista.
Central: 619-8100
12. Si afirmamos: • Ningún vietnamita es americano. • Muchos valientes son vietnamitas. Entonces: a) Todo valiente es no americano. b) Ningún americano es valiente. c) Muchos valientes mueren. d) Todo americano no es valiente. e) Muchos valientes no son americanos. 13. Si se sabe que: • Algunos estudiosos van a fiestas. • Todos los que van a fiestas pierden tiempo. Entonces: a) Los que van a fiestas no son estudiosos. b) Los que van a fiestas son estudiosos. c) Algunos estudiosos pierden tiempo. d) Todos los estudiosos aprovechan el tiempo. e) No todos los que van a fiestas aprovechan el tiempo. 14. Si: • Los médicos son profesionales. • Algunas personas no son profesionales. Entonces: a) Toda persona es médico. b) Ningún médico es persona. c) Es falso que los médicos sean personas. d) Ciertas personas no son médicos. e) Ninguna no persona es no médico. 15. Si: • Algunos mamíferos son rumiantes. • Todo mamífero es vertebrado. Entonces: a) Algunos rumiantes son invertebrados. b) Todo rumiante es vertebrado. c) Algunos vertebrados son rumiantes. d) Algunos vertebrados son mamíferos. e) Algunos rumiantes son mamíferos. 16. Si se sabe que algunos caníbales son religiosos y todos los religiosos son filántropos, ¿cuál de las siguientes relaciones se concluye necesariamente? a) Algunos filántropos son caníbales. b) Algunos caníbales son filántropos. c) Algunos filántropos no son caníbales. d) Algunos caníbales no son filántropos. e) Más de una es correcta. www.trilce.edu.pe 49
• Ningún escolar es tímido:
17. Si se sabe que:
___________________________________
• Ningún niño es obediente. • Algunos niños son precoces.
• Algunos futbolistas son millonarios:
¿Cuál es la afirmación correcta?
___________________________________
a) Algunos precoces no son obedientes. b) Algunos obedientes no son precoces. c) Ningún precoz es obediente. d) Algunos obedientes son precoces. e) Algunos precoces son obedientes.
• Algunos peluches no son costosos: ___________________________________ • Los gatos son nocturnos: ___________________________________
18. Señale el silogismo correcto: a) No todos los perros ladran. Juan no ladra. Luego, Juan no es perro. b) Los astronautas son saludables. José es saludable. Luego, José es astronauta. c) Los tuertos son avaros. Mario es tuerto. Luego, Mario es avaro. d) No todos los matrimonios son siempre felices. Luis y Luisa constituyen un matrimonio. Luego, Luis y Luisa no son siempre felices. e) Todas las gorditas son algo coquetas. Martha es algo coqueta. Luego, Martha es gordita.
• No hay mujer mentirosa: ___________________________________ • Al menos un día es lluvioso: ___________________________________ • Al menos un oso no es de anteojos: ___________________________________ 20. A partir de las siguientes premisas: Todos los artistas son sensibles. No es cierto que todos los poetas sean sensibles. Se infiere válidamente que: a) Todos los poetas son artistas. b) Ningún artista es poeta. c) Algunos poetas no son artistas. d) Todos los artistas son poetas. e) Algunos sensibles no son poetas.
19. Negar las siguientes proposiciones: • Todos los aviones son veloces: ____________________________________
Tarea domiciliaria Graficar las premisas indicadas.
4. Atletas
1. Muchas personas no son honestas. 2. Al menos un estudiante es distraído. ¿Qué interpretación se obtiene de los gráficos indicados (preguntas 3 y 4)? 3. Peruanos
Inmigrantes
Futbolistas
Graficar la negación de las premisas indicadas. 5. a) No existen detergentes que sean blanqueadores.
Ciclo UNI 50
b) No todos los alumnos de TRILCE son irresponsables.
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Completar el cuadro, según el ejemplo propuesto: Proposición categórica Todo responsable es maduro
Clase
Representación gráfica
Representación gráfica de la negación
Proposición negada
Resp.
Resp.
Algunos responsables no son maduros
Mad.
Universal afirmativo
Mad.
Existe al menos una mujer hermosa
6.
A
B
7.
8.
No todos los peruanos son felices
9. Si algunos reptiles son lentos y los cocodrilos son reptiles, entonces, se deduce que:
b) No es el caso que algunas frutas sean nutritivas. c) No es el caso que algunas frutas no sean nutritivas. d) Algunas frutas son amargas. e) Ninguna fruta es nutritiva.
a) Ningún cocodrilo es lento. b) Todos los cocodrilos son no lentos. c) Ningún cocodrilo es no lento. d) No todos los cocodrilos son reptiles. e) No se puede afirmar que los cocodrilos son 13. Si se sabe que: "Los alumnos son optimistas y no lentos. todos los optimistas son estudiosos", entonces, se infiere: 10. La negacion de: "Todas las chicas miran a Sala) Ningún alumno es estudioso. vador", es: b) Todo aquel que sea estudioso es alumno. a) Algunas chicas miran a Salvador. c) No todo estudioso es alumno. b) Algunas chicas no miran a Salvador. d) Todo aquel que sea alumno es estudioso. c) Ninguna mira a Salvador. e) Todo alumno no es estudioso. d) Ninguna no mira a Salvador. e) Todas las chicas miran a Salvador. 14. Si : 11. La negación de: "Ningún estudioso es flojo", es: a) Todos los estudiosos son flojos. b) Todos los no flojos son no estudiosos. c) Ningún no estudioso no es flojo. d) Algunos estudiosos son flojos. e) Algunos flojos son no estudiosos. 12. Si afirmamos que: "Todas las frutas son nutritivas". a) Algunas frutas no son nutritivas. Central: 619-8100
• Todas las hormigas tienen cuatro patas. • Todos los seres de cuatro patas no tienen antenas. Entonces: a) Todos los seres de cuatro patas son hormigas. b) Algunas hormigas tienen antenas. c) Todas las hormigas no tienen antenas. d) Todas las hormigas tienen antenas. e) Ningún ser de cuatro patas es hormiga.
www.trilce.edu.pe 51
18. Dadas las siguientes proposiciones:
15. Si se sabe que : • No todos los perezosos tienen suerte. • Ningún universitario es perezoso.
• Todos los cantantes famosos son millonarios. • Ningún millonario invierte mal su fortuna.
Se deduce que.
a) Algunos universitarios tienen suerte. b) Todos los que tienen suerte son universitarios. c) Algunos perezosos son universitarios. d) Algunos perezosos no son universitarios. e) Ninguna de las anteriores.
a) Ningún millonario es un cantante famoso. b) Ningún cantante famoso invierte mal su fortuna. c) Todos los que invierten mal su fortuna son millonarios. d) Todos los cantantes famosos invierten mal su fortuna. e) Algunos millonarios son cantantes famosos.
16. Luego de negar las siguientes proposiciones: • Algunos sabios son descuidados. • Ningún alumno es descuidado. Se infiere : a) Muchos sabios son maestros. b) Algunos alumnos no son estudiosos. c) Muchos alumnos no son sabios. d) Todos los alumnos son sabios. e) Existe al menos un sabio que es alumno. 17. Si se sabe que la afirmación: "Toda la familia de María vive en Lima", es falsa, entonces, es necesariamente cierto que: I. Toda la familia de María vive fuera de Lima. II. Al menos un familiar de María vive fuera de Lima. III. Al menos un familiar de María vive en Lima. a) Solo I d) I y II
Ciclo UNI 52
b) Solo II c) II y III
c) Solo III
Se deduce necesariamente que:
19. Si afirmamos que: • Cada cosa que brilla es oro. • No existe cosa barata de oro. Se infiere que: a) No hay cosas de oro baratas. b) Muchas cosas baratas no brillan. c) Ninguna cosa barata brilla. d) No existe cosa que brille y que sea barata. e) Más de una es correcta. 20. Si afirmamos que: "Muchos de los que ofrecen la vida son valientes y los valientes van a la gloria", entonces: a) Nadie que ofrenda la vida va a la gloria. b) Todo aquel que ofrece la vida va a la gloria. c) Ninguna persona que ofrece la vida va a la gloria. d) Muchos de los que ofrecen la vida van a la gloria. e) Todos los valientes van a la gloria.
Colegios
TRILCE
Introducción El análisis de una o varias figuras conlleva a realizar una observación al detalle sobre las características de las mismas, tomando en cuenta: formas, tamaños, colores, sentidos de giro y todo tipo de relaciones que podamos descubrir entre ellas. Este análisis es conocido también como PSICOTÉCNICO y mide en cierta forma el grado de razonamiento abstracto que podemos alcanzar. El tema ha sido dividido en dos capítulos a fin de abarcar los diferentes casos que se presentan tales como: figuras que continúan, figuras discordantes, distribución de figuras en filas y columnas, análisis de sólidos, figuras que ocupan un lugar enésimo en un ordenamiento.
Problemas resueltos 1. Identifique la alternativa con la figura que completa la secuencia:
Resolución: Analizando: •
;
;
;
...
a) b) c) d) e)
Cantidad de lados de la figura externa: • Cantidad de segmentos de la figura terna: Rpta.: d
3; 4; 5;
6
4; 3; 2;
1
3. Indique la alternativa con la figura que debe ocupar la posición 9. ...
Resolución:
Considerando la cantidad de segmentos que se emplean en cada figura.
; ; ; 1 segm. 3 segm. 5 segm. 7 segm 144444424444443 Números impares
posición 1 posición 2 posición 3 posición 4 posición 5
a) b) c) d) e) Resolución:
Rpta.: d
Notamos que hasta la posición 9 hay 8 giros en sentido antihorario:
Luego; Giro 1 Giro 2 Giro 3 ... Giro 8
2. ¿Qué figura continúa?
90° + 180° + 270° + ...
↓
90(1) + 90(2) + 90(3) + ... + 90(8)
;
;
;
...
a) b) c) d) e) Central: 619-8100
90°[1+2+3+...+8] = 90 × 36 = 9 × (360°)
Es decir, la figura inicial gira 8 vueltas completas con lo que se deduce que en la posición 9 se tiene la misma figura de la posición 1.
Rpta.: c www.trilce.edu.pe 53
4. Indique la alternativa que debe ocupar la posición 7. ... (1)
(2)
(3)
Resolución:
⇒ se desplaza en sentido horario, 2 casillas.
⇒ se desplaza en sentido horario, 2; 3; 4; 5;
(4)
a) b) c) d) e)
Analizando se tiene:
... casillas.
⇒ se desplaza hacia arriba de casilla en casilla y luego vuelve a iniciar desde abajo.
Luego, en la posición 7 se tendrá la alternativa "e".
Rpta.: e
Problemas para la clase Todas las secuencias de figuras están ordenadas mediante una relación determinada. Halle y marque con una equis (X). ¿Cuál de las figuras propuestas como alternativa debe ocupar el lugar de la interrogación? 1.
4.
?
?
a)
b)
c)
d)
5. a)
b)
c)
d)
2.
e)
?
e)
?
a)
b)
c)
d)
e)
Analice las fichas del dominó, establezca la ley y luego complete la ficha que falta. a)
b)
c)
d)
e) 6.
3.
?
a) Ciclo UNI 54
b)
c)
d)
e) Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 7.
11.
8. Observe la relación que existe entre "A" y "B". ¿Cuál de las figuras numeradas guarda una relación análoga a la "C"? A
B
**
***
C
a)
b)
c)
d)
e)
12. 13. 14. 15. 9.
16. 17. 18.
19. ¿Cuál es la figura que falta?
10.
a) Central: 619-8100
b)
c)
d)
e)
www.trilce.edu.pe 55
20. ¿Qué figura corresponde a este desarrollo en un solo plano?
24. Indicar la figura que debe ocupar el casillero TRILCE:
a)
d)
b)
c)
e)
Trilce
21. ¿Qué figura completa el arreglo?
a)
b)
d)
e)
c)
? a)
d)
b)
c)
e)
22. ¿Cuál es el sólido que se forma al doblar las caras mostradas?
a)
d)
b)
c)
e)
uni
d)
Ciclo UNI 56
a)
b)
c)
d)
26. ¿Qué figura falta?
23. ¿Cuál de las figuras no corresponde al desarrollo del cubo mostrado?
a)
25. Los cubos "A", "B" y "C" en diferentes posiciones tienen en sus lados figuras iguales. Por deducción lógica, ¿cuál deberá ocupar el espacio en blanco del cubo "D"?
b)
e)
c)
?
a)
b) c)
d)
e)
27. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?
a)
b) c)
d)
e) Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 28. ¿Qué figura continúa la secuencia?
32. ¿Qué figura debe ir en el casillero?
...
?
a) b) c) d) e) 29. ¿Qué cuadrado reemplaza al signo de interrogación? % %
%
33. ¿Qué figura continúa?
% % %
a) b) c) d) e)
?
34. ¿Qué figura continúa?
b) c) %
* e)
30. Completar la analogía:
es a
d)
?
a) b) c) d) e) como
b)
a)
?
a) b) c) d) e) % %
d)
%
%
a)
es a:
c)
35. ¿Qué figura ocupará el casillero con signo de interrogación?
?
e)
a)
b) c)
d)
e)
31. ¿Qué figura continúa?
a)
b)
d)
e)
Central: 619-8100
c)
?
www.trilce.edu.pe 57
Tarea domiciliaria 7. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
1. ¿Cuál figura no corresponde a la serie?
a) b) c) d) e) a) 13 d) 16
2. ¿Cuál figura no corresponde a la serie?
a) b) c) d) e)
1
2
a) 6 d) 10
a) b) c) d) e)
c) 15
8. Hallar "k" sabiendo que en la siguiente figura hay 52 segmentos en total cuyos extremos son los puntos indicados.
3. Indique la alternativa que continúa coherentemente la siguiente secuencia gráfica.
b) 14 e) 17
k
b) 7 e) 11
es a
9.
3
c) 8
como
es a:
4. ¿Qué figura continúa en la serie?
?
10. ¿Qué figura continúa la serie?
a) b) c) d) e)
?
a) b) c) d) e) 6. Una hoja de papel es doblada dos veces tal como se muestra en la figura y sufre dos perforaciones. ¿Cómo quedaría dicha hoja de papel al ser desdoblada?
→
→
a) b) c) d) e) Ciclo UNI 58
a) b) c) d) e)
5. ¿Qué figura continúa la serie?
a) b) c) d) e)
11. ¿Qué figura continúa la serie?
a) b) c) d) e) 12. ¿Qué figura continúa la serie?
a) b) c) d) e) Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 17. Del gráfico anterior, ¿qué figura se formará si intersectamos la figura de la posición 23 con la de la posición 52?
13. ¿Qué figura continúa?
a)
b)
d)
c)
a) b) c) d) e)
18. Indique la alternativa que no guarda relación con las demás.
e)
14. ¿Qué figura continúa la serie? a) b) c) d) e)
a)
b)
c)
19. Indique la alternativa que cumple con la analogía mostrada.
d)
como
es a ...
e) a) b) c) d) e)
15. ¿Cuántas bolas hay en la última figura, si en total hay 364 bolas entre todas las figuras?
... ...
...
es a
Fig. 1 Fig. 2
a) 72 d) 8I0
Fig. 3
b) 78 e) 96
20. Indique el cubo que corresponde al siguiente desarrollo.
Fig. n
c) 84
16. ¿Qué figura ocupará la posición 7?
... (1) (2) (3) (4)
a) b) c) d) e)
a) Igual a la de la posición 2. b) Igual a la de la posición 4. c) Igual a la de la posición 1. d) Igual a la de la posición 3. e) Ninguna
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 59
Problemas para la clase 1. Al arrojar dos dados, obtenemos la suma de 11 puntos. Indique que par de caras laterales no podrían observarse simultáneamente.
4. ¿Qué figura ocupará la posición 25?
Fig. 1
Fig. 2
Fig. 3
Fig.4
Fig. 5
Fig. 6
M
M
M
a) b) c) d) e) 2. ¿Qué figura debe colocarse en el círculo blanco?
?
5. La figura adjunta se encuentra ubicada frente a un espejo. ¿Qué imagen se representará en dicho espejo?
a) b) c) d) e) 3. ¿Qué figura debe colocarse en el espacio en blanco? U N U
N
I N
I
U
N
U
I
I U I
N
? U I N
U N
I N
I N U I a) b) c) d) e)
Ciclo UNI 60
a)
b)
d)
e)
c)
6. ¿Qué figura continúa la secuencia?
U
a)
b)
c)
d)
e) Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 7. Indique la alternativa que debe ocupar el casillero UNI.
UNI
11. ¿Qué figura le corresponde a F11? F1 F2
F4 F5
a) b) c) d) e)
F8 a) b)
8. Se tienen las tres vistas de un cubo:
c) d)
e)
¿Cuál es el símbolo que se opone al círculo negro?
12. Indique la alternativa que completa la analogía:
a) b) c) d) e)
es a
9. ¿Qué figura le corresponde al casillero con el signo de interrogación? Como
?
es a:
a)
b)
c)
d)
e) a) b) c) d) e) 10. ¿Qué figura falta?
13. En la siguiente distribución, ¿qué figura falta?
?
a) b) c) d) e) 14. ¿Qué figura completa coherentemente el siguiente arreglo?
a)
b)
c)
d)
e)
? a) b) c) d) e)
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 61
15. ¿Qué figura ocupará la posición 12?
18. ¿Cuál es el desarrollo del sólido mostrado? ...
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
a)
b) c)
d)
e)
16. Si para cada figura le corresponde un número, ¿qué número le corresponde a la figura "M"?
↓ 11 a) 10 d) 13
↓
↓
12
7 b) 11 e) 14
↓ Figura "M"
a)
b)
d)
e)
c)
19. Dado el siguiente arreglo:
c) 12
C1
C2
C3
17. ¿Qué figura va en lugar de la incógnita? F1
M
F2
?
M M
F3
M a)
b)
d)
e)
t c)
¿Qué figura aparecerá en la intersección de C2 y F 4?
a)
Ciclo UNI 62
M M
b)
c)
d)
e)
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 20. Indique la alternativa que mejor completa el cuadro.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
Tarea domiciliaria 1. c)
d)
e)
d)
e)
4. ¿Cuál es la figura que falta?
a)
b)
d)
e)
c)
?
2. ¿Qué figura falta?
? a)
b)
c)
5. ¿Cuál es la figura que falta?
a) b) c) d) e) 3.
? ? a)
Central: 619-8100
b)
c)
d)
e)
www.trilce.edu.pe 63
6. ¿Qué figura completa el conjunto?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
d)
e)
c)
7. ¿Qué figura sigue?
?
a)
b)
c)
d)
10. Señale cuál de las figuras se debe ubicar en lugar de la incógnita.
e)
? 8. ¿Qué figura debe completar el casillero en blanco?
?
a)
b)
c)
d)
11.
e)
9. ¿Qué figura completa la siguiente distribución?
a)
b) c)
d)
e)
es a:
es a
a)
b)
d)
e)
como
c)
12. Indique la alternativa que continúa:
Ciclo UNI 64
a)
b)
d)
e)
c)
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 13. ¿Qué figura continúa en el casillero de la incógnita?
16. Indique la alternativa que completa el cuadro.
? a)
b)
d)
e)
c)
a)
b)
c)
d)
e)
17. ¿Cuál de las alternativas debe reemplazar a "x"? X
14. ¿Qué figura continúa en el casillero de la incógnita? a)
b) c)
d)
e)
18. Determine el desarrollo que corresponde a la figura adjunta:
? a)
b) c)
d)
e)
15. ¿Qué figura continúa en el casillero de la incógnita? % %
%
a)
b)
c)
d)
% % %
%
?
%
% % a)
b) c)
* % e) d)
Central: 619-8100
e)
www.trilce.edu.pe 65
19. Indique la figura que corresponde al espacio vacío:
20. ¿Qué figura falta?
a) a)
b)
d)
e)
Ciclo UNI 66
c)
b) c)
e) d)
Colegios
TRILCE
Introducción Existen ciertos problemas matemáticos que al ser presentados nos dan la idea de que es necesario realizar operaciones muy elaboradas o muy complicadas. Pero el conocimiento de criterios teóricos o técnicas de solución, y la destreza para realizar determinados arreglos, nos permiten encontrar una solución más directa a los mismos. En este tema repasaremos dichas técnicas con el objetivo de desarrollar nuestra destreza en los cálculos.
Multiplicación por 5 Para multiplicar por 5, se le agrega un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2. •
354 × 5 =
• 231 × 5 =
• 419 971 × 5 =
Multiplicación por 25 Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4. •
62 × 25 =
• 798 × 25 =
• 4797 × 25 =
División entre 5 Para dividir entre 5, al número se le multiplica por 2 y el resultado se divide entre 10. 585 32 140 4318 = • = • = • 5 5 5
Multiplicación por 11 Se multiplica la cifra de las unidades por 1, luego se suma de dos en dos las cifras restantes, considerando siempre si es que llevamos algo. Finalmente, se multiplica la última cifra por 1, adicionando lo anteriormente mencionado, si es que existe. •
46 × 11 =
• 357 × 11 =
• 98 534 123 × 11 =
Multiplicación por 9; 99; 999; 9 999; ... Para multiplicar un número natural N por otro que está formado íntegramente por cifras 9, hay que agregar tantos ceros como nueves existan y restamos el mismo número N. •
87 × 9 =
• 123 × 99 =
• 4287 × 999 =
Multiplicación de dos números de dos cifras cada uno Deducimos el procedimiento del ejemplo siguiente: 1 2 1 2 6 ← 2 7
3 × 1 3
Producto de Producto de 3 → las cifras de las cifras de las unidades las decenas ↓ 64444744448 Suma de (1 × 1) y (2 × 3) Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 67
Complemento aritmético A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual se resta de 10 y las demás cifras se restan de nueve. •
CA(236781) =
• CA(23156789321456) =
• CA(12340003420000) =
Multiplicación de factores cercanos a una potencia 10 Calculamos los CA y los multiplicamos. Al resultado le completamos ceros hasta que tengan la misma cifra de los factores. Como segundo paso restamos de uno de los factores el CA del otro factor y lo agregamos en el sector izquierdo del número prev iamente obtenido: •
992 × 991 =
• 99 992 × 99 998 =
Cuadrado de un número de dos cifras Utilizamos el criterio de binomio al cuadrado, aplicándolo de derecha a izquierda: •
(32)2 =
• (76)2 =
Cuadrado de un número que termina en la cifra 5 Un número que termina en 5, al elevarse al cuadrado termina en 25, y las cifras restantes del resultado se obtendrán de multiplicar el número (sin tomar en cuenta la cifra 5) por su consecutivo superior. •
(25)2 =
• (785)2 =
• (9985)2 =
CIFRAS TERMINALES Para números que terminan en 0; 1; 5 y 6 (… 0)n = … 0 (… 1)n = … 1 (… 5)n = … 5 (… 6)n = … 6 Para todo número natural "n". Para números que terminan en 4 y 9 (… 4)IMPAR = … 4
(… 9)IMPAR = … 9
(… 4)PAR = … 6
(… 9)PAR = … 1
Para números que terminan en 2; 3; 7 y 8 °
(... 7)4 = ... 1
(... 2)4 + 1 = ... 2
(... 7)4+1 = ... 7
(... 2)4 + 2 = ... 4
(... 7)4 + 2 = ... 9
(... 2)4 + 3 = ... 8
(... 7)4 + 3 = ... 3
° ° °
°
(... 3)4 = ... 1 °
° °
°
(... 8)4 = ... 6 °
(... 8)4 + 1 = ... 8
(... 3)4 + 2 = ... 9
(... 8)4 + 2 = ... 4
(... 3)4 + 3 = ... 7
(... 8)4 + 3 = ... 2
°
68
°
(... 3)4 + 1 = ... 3 °
Ciclo UNI
°
(... 2)4 = ... 6
° °
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Problemas resueltos 1. Calcular la última cifra par del resultado de:
4. Si: abcd × 9 999 = ... 2 185
E = (1 × 3 × 5 × 7 ...)1357 + (2 × 4 × 6 × 8 × ...)2468
Resolución:
Analizando cada término:
a)
(1 × 3 × 5 × 7 ...)1357 ⇒
Resolución: 5 × impar = ....5 5n = ... 5 Existe un 10, es decir, termina en cero
b) (2 × 4 × 6 × 8 ...)2468 ⇒ Finalmente:
Hallar: ab – cd
6
2. Hallar la suma de cifras del resultado de: – 1 234
5672
Resolución:
Aplicando diferencia de cuadrados:
M = 2 569 133 × 99 999
Luego:
M = 2 569 133 × (100 000 – 1)
M = 256 913 300 000 – 2 569 133
M = 256 910 730 867
Finalmente, la suma de las cifras del resultado es 54.
4
3
1
8
5
abcd – 1= 6814 abcd = 6815
\ ab = 68 y cd= 15 Rpta.: 53
5. Hallar la suma de las dos últimas cifras del resultado de: M = 252 + 1252 + 2252 + 3252 + ... + 9252
Resolución:
Analizando se observa que hay 10 sumandos:
Recordemos: (ab5) = ...25
Entonces: ... 25 + ... 25 ... 25 10 sumandos M ... 25 ... 50
Rpta.: 54 3. Si: a2 + a + 1 = 0 Calcular: a2001
1
Todas las parejas suman 9.
Rpta.: 5
M = 1 334
8
Luego:
E = ... 5 + ... 0 = .... 5
5662
Aplicando el caso práctico, pues ambos factores tienen la misma cantidad de cifras, se tendría:
Rpta.: 5
Resolución:
Multiplicando por (a – 1)
(a2 + a + 1)(a – 1) = 0(a – 1) Luego: (a3 – 1) = 0 ⇒ a3 = 1
Piden: a2001 = (a3)667 = 1667 = 1 Rpta.: 1
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 69
Problemas para la clase 1. Si: x + y + z = 0; hallar: P=
8. Hallar: p + p + p + p + ... + p 14444244443 (p + q + r) sumandos
x y z + + y+z x+z x+y
a) 2 d) –3
b) –2 e) 4
si: 1p + 2p + 3p + ... + 9p = qr1 c) 3
2. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente expresión? S = (4344 + 4243) × 67542 – 4641 – 5140 a) 5 d) 8
b) 6 e) 2
c) 7
m = (999 999)666666 × (666 666)999999 b) 6 e) 3
c) 0
5. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente expresión? A = (22 222)(44444) a) 3 d) 1
Trilce
b) 5 e) 4
c) 6
3
b) 100 e) 200
b) xx e) x2
a) x d) 0
c) 1
224 × 226 × 50 626 + 1 94 × 5 8
A=
a) 1 d) 225
M=
b) 2 e) 22
c) 15
3x – y + 3z – w
3x – 3y + z – 3w
1 1 b) c) 2 3 1 1 d) e) 4 5
a) 1
12. Si: ... 3 518 ÷ 9 999 = abcd Calcule: 5(abcd) E= a+b+c+d a) 89 d) 26
2
3 99 × 100 × 101 + 10 9 × 10 × 11 + 10
a) 80 d) 110
S = (x – a)(x – b)(x – c) … (x – z)?
b) 86 e) 16
c) 96
13. Halle el valor de:
6. Calcular: E=
9. ¿Cuál es el resultado de:
11. Si: (x + y + z + w)2 = 4(x + z)(y + w); calcule:
47 4 747 474 747 + ... (795 sumandos) + + R= 53 5 353 535 353 b) 3 e) 5
c) 96
c) 9
4. Calcular el producto de las cifras del resultado de operar:
a) 1 d) 2
b) 153 e) 110
10. Hallar el valor de:
3. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente operación?
a) 0 d) 4
a) 315 d) 536
c) 70
(7 000)3 – (6 999)3 – (6 999)2 – 7(6 999)(10)3
a) 7 d) 7 000
b) 70 e) 777
c) 77
14. Si: x = 0,12 + (0,2)(0,9) + 0,81 Además: xy = 5
7. ¿Cuál es la última cifra del producto? S= (13 + 1)(23 + 1)(33 + 1)(43 + 1) ... (203 + 1) a) 0 d) 3 Ciclo UNI 70
b) 1 e) 6
c) 2
Hallar: (x + y)/y 4 5 6 a) b) c) 5 6 5 3 3 d) e) 4 3 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 15. Halle: x + 30, si: 0,00 ... 91 = 91 × 10x – 10 14243 23 cifras a) 12 d) 18
b) 14 e) 20
A = 7 777 777 × 999 999 999 b) 68 e) 100
c) 81
17. Si: 2x + y + z = 0; calcule el valor de "A": A=
x+y+z2 × 1999xy × 2 2x + 3y
x+y x+z
520 × 377 × 218 × 79? a) 12 d) 22
c) 16
16. Halle la suma de cifras del resultado de: a) 67 d) 90
18. ¿En cuántos ceros termina el desarrollo de: b) 16 e) 26
19. Halle "x", sabiendo que: 2 0,ab ... x = 11797 a) 2 d) 6
b) 3 e) 9
b) 2 e) –2
c) 4
20. Calcular: x (x+y); si se sabe que: 7×9×11×13×.... = 4 ...xy
1 4444 2 4444 3 20 factores
a) 1 d) –1
c) 18
c) 0
a) 35 d) 14
b) 28 e) 30
c) 18
Tarea domiciliaria 6. Calcular "R":
1. Hallar las tres últimas cifras de: 1 + 17 + 171 + 1 717 + ... 1717...17 14243 20 cifras a) 090 d) 095 2. Si:
51
+
b) 080 e) 015 52
+
53
+
54
+ ... +
R=
a) 1 745 d) 1 722
c) 010
515
= ...abc
E=
b) 14 e) 16
R=
c) 13
b) 1 e) 3
b) 5 e) 8
c) 1
GLORIAIROLG
9. ¿En qué cifras terminan las siguientes expresiones?
c) 6
F = (7 + 1)(72 + 1)(73 + 1) ... (7 800 + 1) + 8 E = (3 – 1)(32 – 1)(33 – 1) ... (3 400 – 1) – 7 D = (10 + 1)(102 + 3)(103 + 5) ... (10 500 + 999) – 1 a) 8 – 5 – 4 d) 9 – 5 – 6
b) 9 – 6 – 4 e) 8 – 4 – 3
c) 8 – 3 – 4
10. Si: 2 + 23 + 232 + 2 323 + ...= ...abc 1444442444443
5. Calcular: M + I + R + A
100 sumandos
Si: O ≠ cero
MARIO × 99 999 = ... 75 317
Central: 619-8100
b) 3 e) 8
Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 25 b) 36 c) 49 d) 81 e) 10
c) 4
N = (21998 + 1) (21997 + 1) (21996 + 1) ... (23 + 1) (22 + 1)
a) 18 d) 20
(3×5×17×257× ... 1 995 factores) + 1
Hallar:
4. Hallar la última cifra de "N": a) 4 d) 7
c) 1 723
8. Si: Gloria × 999 999 = ... 876 544
2 3 4 (2 + 1)(22 + 1)(22 + 1)(22 + 1)(22 + 1) + 1
a) 2 d) 5
21995
a) 2 d) 4
3. Calcular: 25
b) 1 748 e) 1 721
7. Calcular el valor de "E":
Calcular: "a + b + c" a) 15 d) 18
40 × 41 × 42 × 43 + 1
b) 16 e) 24
c) 17
Hallar: a + b + c a) 3 d) 4
b) 6 e) 7
c) 5
www.trilce.edu.pe 71
11. Hallar el resultado de: E=
16
17. Al resolver: G =
8×10×82×(38 + 1)(316 + 1)(332 + 1) + 1
a) 8 d) 9
b) 7 e) 10
Se obtiene como resultado: I. Un número cuya suma de cifras es 23. II. Un número primo. III. Un número múltiplo de 41. IV. Un número cuya cifra de decenas le lleva en 4 a su cifra de unidades.
c) 6
12. Si se sabe que: 2 + 9952 + 9 9952 + ... = ...TRILCE 95 1444442444443 95 sumandos
Son falsas: a) I y III d) Solo III
Hallar: T + R + I + L + C + E a) 19 d) 17
b) 21 e) 16
c) 18
13. Si: ABCDE = ...64 753 ÷ 99 999 A+B C Además: x + y = + D 2
y+z=E–3 b) 7 e) 10
c) 5
a) 5 d) 8
b) 6 e) 7
ab×a(b + 2)×a(b + 1)×a(b + 3) + 1 = 1 891 a2 + b 2 Calcular: a+b a) 3 d) 9
a) 5 d) 8
c) 9
c) 7
123 454 321 b) 18 e) 19
Son ciertas: a) Solo II d) Solo I
c) 16
72
c) Solo III
Sabiendo que en el último factor existen 2n+1 cifras. Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 2n d) 2 n-1
Ciclo UNI
b) I y II e) I y III
20. Hallar al valor de: 11x101x10001x100000001x….x(100…01)
M = 111 110 888 889 a) 20 d) 15
Sabiendo que cada término de ambas fracciones tiene la misma cantidad de cifras y que dicha cantidad es múltiplo de 16, entonces: I. El resultado es una fracción impropia. II. La suma de los términos del resultado es un número primo. III. Si en el resultado, el numerador fuera 5 unidades más, sería el doble que el denominador.
16. Calcular el valor de "M" en cada caso y dar como respuesta la suma de sus cifras. M=
c) 2
2525 ... 2525 3939 ... 3939 + 4949 ... 4949 4949 ... 4949
TRILCE
b) 6 e) 9
b) 5 e) 3
19. Calcular:
15. ¿Cuál es la cifra de las unidades del resultado de la siguiente operación? R = (22 222)(44444)
c) II y III
Además:
14. ¿En qué cifra termina el resultado de la siguiente operación? Q = (4344 + 4243) × 67542 – 4641 – 5140
b) I y IV e) I y II
18. Si: a – b = 2
Calcular: M = x2 + y2 + y2 + z2 a) 8 d) 9
24 × 26 × 25 × 23 + 1
b) 2 n+1 e) 2 2n+1
c) 22n
Colegios
TRILCE
Introducción Es un razonamiento en el que a partir de la observación de casos particulares, nos conducen al descubrimiento de leyes generales con la particularidad de que la validez de las últimas se deducen de la validez de las primeras. Así tenemos:
Caso 1
⇒
Caso 2
⇒
⇒ ... ⇒
Caso 3
Caso general
14444444244444443 Casos particulares 144444444424444444443 Razonamiento inductivo
Problemas resueltos 1. Hallar la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión:
Luego:
M = (100 ... 005) 2 14243 105 cifras Resolución: Analizando:
<>
1×1
6
<>
2×3
15
<>
3×5
28
<>
4×7
M
Inducción
Resultado
Scifras
1052
9
10 0052
→ = 1 010 025 → = 100 100 025 →
M
M
M
1 0052
1
=
11 025
M
Finalmente: F(n) <> n(2n – 1) x = 41 × 81 = 3321
Rpta.: 3321
9 9
Se observa que la suma de las cifras del resultado siempre es 9.
Rpta.: 9
3. ¿Cuántos puntos de intersección, como máximo, se generan al intersectarse 30 circunferencias? Resolución:
Analizando tendríamos:
2. En la siguiente secuencia, halle el número total de cuadriláteros en la figura 41. ; ; Fig. 1 Fig. 2
; Fig. 3
; ... Fig. 4
2 circunferencias
Resolución:
Analizando se tiene: Figura Cuadriláteros
Central: 619-8100
1 1
2 6
3 15
...
4 28
... ...
41 x
3 circunferencias
4 circunferencias
Circunferencias
2
3
4
...
30
Puntos de intersección
2
6
12
...
x
www.trilce.edu.pe 73
Luego:
5. De cuántas maneras diferentes se puede ir de "A" hacia "B" siempre avanzando.
2 <> 2 × 1 6 <> 3 × 2 12 <> 4 × 3 M M F(n) <> n(n – 1) Rpta.: 870
A Finalmente: x = 30 × 29 = 870
4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar la palabra CORAZÓN?
C
O
R
A
R
A
R
A
Resolución:
Z Z Z
O O
N
R1
O1
R2
O1
R1
Rpta.: 20
A1 A3 A3 A1
La condición es siempre avanzar, es decir, solo se seguirá las siguientes direcciones: ( ); ( ), ( ). Luego, analizaremos de cuántas maneras se llega a un punto determinado con dichas direcciones. A 1
Resolución: Considerando que cada letra depende de la anterior tendríamos:
C1
O
A
B
Z4 Z6 Z4
O10 O10
1 1 1
1
1
2 3 6
1 1
Al punto "B" se llega de:
1 2
6 8 3 1 6 12 2
8
8 + 12 + 8 = 28 maneras.
B
Rpta.: 28
N20
Problemas para la clase 1. Calcular la suma de las cifras del resultado de: A = (333 ... 333)2 14243 21 cifras a) 170 d) 190
+
(999 ... 999)2 14243 21 cifras
b) 179 e) 195
a) 25 d) 21 Ciclo UNI
b) 20 e) 22
a) 900 d) 908
b) 901 e) 907
c) 905
4. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de "M" a "N" sin pasar por "P", utilizando el camino más corto siempre? M
M
M M
74
M
A = (999 ... 995)2 14243 101 cifras
c) 189
2. La figura muestra un triángulo formado por circunferencias iguales, contándose en total 570 puntos de contacto. Hallar el número de filas del arreglo.
M
3. Calcular la suma de cifras del resultado de "A".
c) 19
P a) 168 d) 170
b) 170 e) 167
N c) 165 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 5. Una persona tiene que pasar todos los discos del poste (1) al poste (3), sabiendo que un disco grande no puede estar sobre un disco pequeño y que en cada movimiento solo se puede llevar un disco. ¿Cuántos movimientos como mínimo tendrá que realizar? 1 3 2
a) 64 d) 127
b) 31 e) 65
c) 63
b) 12 167; n3;
(m + n + 2).(m + 1).(n + 1) 2
c) 12 167; n2;
(m + n + 2) . m . (n + 1) 2
d) 12 167; n3;
(m + n + 2) . (m + 1) . n 2
e) 12 167; n3;
(m + n + 1) . (m + 1) . (n + 1) 2
9. En la siguiente secuencia, calcular la suma de los números impares de la figura 53.
6. ¿Cuántas líneas tendrá el perfil del pedestal que ocupa F(100)?
3 1 2
1
4 5 1 2 3
10 8 9 5 6 7 1 2 3 4
Fig. 3
Fig. 4
6
Fig.1 Fig. 2
F(1)
F(2)
a) 399 d) 400
b) 388 e) 389
F(3)
...
a) 512 456 c) 512 345 e) Ninguna
10. ¿De cuántas maneras distintas se puede ir de "A" hacia "B" utilizando siempre el camino más corto? A 1
• Cada peruano es socio de exactamente dos clubes. • Cada dos clubes tienen exactamente un socio en común. b) 565 e) 485
c) 435
B (m + n)! m! . n
b)
(m + n)! m! . n!
e)
d)
F(3)
...
Hallar el total de triángulos que hay en: I. F(23) II. F (n) III. ¿Cuál sería la cantidad de triángulos que se podrían contar, si por el vértice inferior izquierdo se trazan "m" líneas y por el vértice inferior derecho "n" líneas? a) 12 167;
n 2;
Central: 619-8100
... n – 1 n
M m–1
a)
F(2)
3
m
8. De la figura:
F(1)
2
2
¿Cuántos peruanos hay en la lista? a) 345 d) 465
b) 512 454 d) 512 656
c) 499
7. En un país extranjero donde hay un grupo de inmigrantes peruanos funcionan 30 clubes. Observando la lista de socios se verifica que:
...
(m + n + 2) . m . n 2
(m – n)! m! . n!
c)
(m + n)! m.n
m + n! m! . n
11. ¿Cuál es el máximo número de puntos de intersección de 25 triángulos que tienen un vértice en común? a) 900 d) 906
b) 905 e) 901
c) 904
12. Sobre una circunferencia se ubican "m" puntos distintos. ¿Cuál es la cantidad de arcos que se pueden formar con dichos puntos? a) m . (m –1) c) m2 . (m + 1)
b) m.(m + 1) d) m3 . (m – 1) www.trilce.edu.pe 75
13. En el planeta FORXAT, las ciudades tienen forma hexagonal con módulos habitacionales (para cada habitante) que tienen la forma de triángulos equiláteros de 10 m de lado, tal como se muestra en la figura.
17. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "TORRE"? E
R
E
R
E
Si una ciudad tiene 1000 habitantes y ningún módulo ocupado comparte un lado con otro, ¿cuánto mide el lado de la ciudad más pequeña que cumple con esta condición? a) 180 m d) 160
b) 190 e) 170
Fig. 1
a) 470 d) 580
A
c) 24
X M
E A E
X M
E
a) 115 d) 116
C C C a) 250 d) 280 Ciclo UNI 76
A A A
R R R R
E
... Fig. 3
...
c) 480
O O O
C C C
O b) 245 e) 290
M
O O
S M
O O
S M S c) 119
20. Una superficie cuadrada se debe cubrir con mosaicos cuadrados de colores claros y oscuros, de tal forma que se obtenga el siguiente diseño:
A •
E E
R R R
• •
I I
A
c) 240
• •
16. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "CARROCERÍA"? C
E c) 68
S S S b) 118 e) 120
N N E E E E S S S S S S S b) 254 c) 256 e) 260
a) 252 d) 258
E
R
E
b) 540 e) 560
S
15. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "EXÁMENES"? E
O
R
E
19. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra: "SOMOS"?
b) 21 e) 25
X
O
R
Fig. 2
O
E
R
E
;
Hallar: R(20) a) 20 d) 22
T
;
14. Si se cumple que:
O
R
18. ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura 20?
c) 150
R(1) = 2 + 1 – 1 R(2) = 6 – 3 × 2 R(3) = 12 × 6 ÷ 3 R(4) = 20 ÷ 10 + 4 R(5) = 30 + 15 – 5 M = M M M
O
E E b) 65 e) 72
a) 60 d) 64
R
E
• •
•
•
• • •
Determine la verdad o falsedad de las proposiciones e indique la alternativa correcta. I. Si se utilizan "x" mosaicos claros, entonces se deben utilizar (2 x + 1) mosaicos oscuros. II. Si se utilizan 19 mosaicos oscuros, entonces se deben utilizar 81 mosaicos claros. III. Si se utilizan 23 mosaicos oscuros, entonces se deben utilizar 144 mosaicos en total. Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Tarea domiciliaria 1. Calcular la suma de cifras del resultado "A":
7. ¿Cuántas esferas se contarán en la F(2m)?
A = 555 ... 555 × 999 ... 999 14243 14243 100 cifras 100 cifras a) 1400 d) 90
b) 1000 e) 900
Fig. 1
2. Hallar la suma de las cifras del resultado de: R = (333 ... 333) 2 14243 20 cifras a) 200 d) 210
;
c) 9000
b) 180 e) 175
c) 150
;
;
Fig. 2
...
Fig. 3
Fig. 4
a) m(m – 1) b) m(2m – 1) c) m(2m + 1) d) m(m + 1) e) m(3m – 1) 8. En la secuencia de figuras, ¿cuántos cuadriláteros que posean exactamente dos vértices que sean centros de círculos sombreados hay en total en la figura 90?
3. Hallar la suma de las cifras del resultado de: S = (222 ... 222) × 123 14243 40 cifras a) 120 d) 130
b) 123 e) 131
;
c) 129
4. Hallar la suma de las cifras del resultado de: (1010101 ... 101) × 27 1442443 21 cifras a) 78 d) 107
b) 99 e) 100
c) 101
5. Calcular la suma de cifras del resultado de "M": M=
Fig. 1
b) 3n e) 2n
a) 3240 d) 4095
6. Calcular la suma de los términos de la fila 50. Fila 1
1
Fila 2
3
Fila 3
7
b) 4186 e) 4895
Fila 4
13
S
N
a) 9750 d) 75 200 Central: 619-8100
M b) 12 500 e) 125 000
O
M
O O
S M S
O c) 74
11. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra carrocerIa? C C
19
C
O c) 25 000
S
S b) 56 e) 85
a) 48 d) 80
11 17
c) 4005
10. ¿De cuántas maneras se puede leer "SOMOS"?
5
15
...
9. ¿Cuántos apretones de mano se dieron los 120 representantes reunidos en la última reunión del ALC-UE, si todos se saludaron con los demás asistentes? a) 7140 b) 7450 c) 7410 d) 7240 e) 7420
C
9
Fig. 3
O
c) 6n
...
Fig. 2
111 ... 111 – 222 ... 222 14243 14243 "2n" cifras "n" cifras
a) n d) n2
M
;
a) 250 d) 280
A A A
R R R R
O O O
C C
C O b) 245 e) 290
E E
R R R
I I
A
c) 240 www.trilce.edu.pe 77
12. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra TORRE? E R E E
R O
T O
R a) 60 d) 64
E
R O
R
E
E
E R
O R
E
E R
E
b) 65 e) 72
;
E c) 68
13. Calcular el valor de "M":
a) 245 d) 246
n+2 n+3 n+5 b) c) n+1 n+1 n+3 n+3 n+3 e) d) n+4 n+2
14. ¿De cuántas maneras se puede ir de "A" a "B"? Solamente puede desplazarse hacia la derecha y hacia abajo. A
a) 5500 d) 5253
E = ( 999….994)2
Si se sabe que “E” tiene 20 cifras. a) 90 d) 810
P
B
78
b) 270 e) 187
c) 40
c) 360
19. ¿Cuántos palitos son necesarios para formar la figura de la posición 10, siguiendo la secuencia mostrada?
Fig. 1
; Fig. 2
a) 220 d) 320
A
c) 5050
;
15. ¿De cuántas maneras se puede ir de "A" hacia "B", sin pasar por "P"? (Se debe seguir el sentido de las flecha o en diagonal).
Ciclo UNI
b) 5000 e) 5250
18. Hallar la suma de las cifras del resultado :
B c) 40
.
1 2
a)
b) 27 e) 7
...................... ......................
1 1+
... ...
M 2 2+
a) 17 d) 10
c) 243
n n–1
n+
b) 28 e) 45
b) 241 e) 240
...
17. ¿Cuántos triángulos se pueden contar, como máximo, en la siguiente figura?
(n + 2) n+1 (n + 1) +
a) 30 d) 35
... Fig. 3
... .
(n + 2) +
; Fig. 2
...
M=
Fig. 1
.......
E
16. Hallar el número total de cuadrados de la figura 60.
b) 245 e) 450
... Fig. 3
...
c) 340
20. Si se cumple que: R(1) = 2 + 1 – 1 R(2) = 6 – 3 × 2 R(3) = 12 × 6 ÷ 3 R(4) = 20 ÷ 10 + 4 R(5) = 30 + 15 – 5 M M M M Hallar: R(30) a) 13 020 d) –13 020
b) –14 050 e) 14 050
c) –24 025 Colegios
TRILCE
Introducción En un principio las nociones primitivas del número se pueden haber relacionado mas bien con diferencias que con semejanzas, tal es el caso de comparar un lobo con muchos lobos. En la actualidad, es común referirnos a la idea de cantidad de manera singular (un solo elemento) o de manera plural (muchos elementos). La idea de contar no es otra cosa que enumerar elementos, esta idea la tenemos en forma elemental desde nuestra niñez, ello lo demuestra el uso de nuestros dedos. Para poder lograr nuestro objetivo, en este tema haremos uso de dos criterios que nos permitan encontrar la cantidad de elementos pedidos: * CONTEO SIMPLE. * CONTEO MEDIANTE UN RAZONAMIENTO INDUCTIVO.
Problemas resueltos 1. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
Resolución: 1 2 3 4 5 6 2 3 4
Resolución:
2
1
3
a 8
b 7
6
4 5
De 1 → 8 + De 2 → 4 De 3 → 6 De 4 → 4 ––– Total: 22
Considerando el total de cuadriláteros: Total =
4×5 6×7 = 210 × 2 2
Finalmente, por cada cuadrilátero hay dos diagonales:
Total de diagonales = 210 × 2 = 420
Rpta.: 420
Rpta.: 22 2. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en la siguiente figura?
3. ¿Cuántos cuadriláteros, que por lo menos tengan un asterisco en su interior, hay en la figura? * * * *
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 79
Resolución:
1
Analizando se deduce que:
Total de Cuadriláteros Cuadriláteros = + cuadriláteros con asteriscos sin asteriscos 4×5 4×5 = x + 28 × 2 2 100 = x + 28 → 72 = x
2 3
Rpta.: 72
4. ¿Cuántos cuadradados hay en total? 1 2
Cuadrados = 23
4
Luego:
7 <> 8 (1) – 1
15 <> 8(2) – 1
23 <> 8(3) – 1
Total de cuadrados = 8(19) – 1 = 151
Rpta.: 151
3 4
O
5. Calcular el número total de puntos de corte en la figura mostrada. 18
... 19 1
20
2
3
4
5
99 100
Resolución:
Resolución:
Cuadrados = 7
1 3
Ciclo UNI
Puntos de corte
Luego:
3
4
5
... 100
6 14 22 30 ...
x
6 = 8(1) – 2
14 = 8(2) – 2
22 = 8(3) – 2
M =
x = 8(99) – 2 = 790
2
80
Número de rombos 2
Aplicando el razonamiento inductivo se tiene: 1 2
Analizando se deduce:
M
Rpta.: 790
Cuadrados = 15
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Problemas para la clase 1. ¿Cuántos segmentos tendrá en total la siguiente figura?
5. En la figura, ¿cuántos triángulos se podrán contar? 20 19
3
3 2
a) 50 d) 58
b) 56 e) 60
c) 54
1 3
2
a) 890 d) 895
b) 892 e) 899
a) 220 d) 225
a) 49 d) 51
b) 57 e) 60
c) 59
4. Hallar el máximo número de triángulos que tienen como sus vértices solamente los puntos ubicados en los lados del cuadrado. C
a) 9 d) 12
E
A
F
Central: 619-8100
b) 10 e) 15
*
*
*
b) 240 e) 222
*
*
*
c) 245
, , ..., Fig. 2 Fig. 3 Fig. n
Si la suma total de triángulos que hay en las "n" figuras es: 550 + 2n, hallar la suma de las cifras del número de triángulos que hay en la enésima figura. a) 5 d) 10
b) 7 e) 6
c) 8
8. Si la siguiente figura está formada por cuadrados iguales, ¿cuántos cuadrados se contarán en total?
D
B
H
c) 3080
7. En la siguiente secuencia:
, Fig. 1
b) 2080 e) 5090
*
c) 893
3. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura, siendo ABCD un rectángulo?
1
6. En la siguiente figura, ¿cuántos cuadriláteros tienen por lo menos un asterisco?
17 19
18 20
2 1
a) 3090 d) 4560
2. ¿Cuántos segmentos tendrá la siguiente figura?
20 19
G
c) 11
a) 38 d) 41
b) 39 e) 42
c) 40
www.trilce.edu.pe 81
9. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar como máximo en la siguiente figura?
14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
a) 45 d) 42
Rpta.:.............. 10. Calcular el número total de puntos de corte, en:
1 a) 890 d) 897
2
3
...
b) 893 e) 899
b) 47 e) 46
c) 56
15. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
99 100 c) 895
a) 60 d) 69
11. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?
b) 63 e) 72
c) 66
16. ¿Cuántos cuadriláteros que no contengan al asterisco se contarán en total?
*
a) 130 d) 156
b) 146 e) 120
c) 137
12. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura?
a) 30 d) 32
a) 285 d) 250
b) 267 e) 278
c) 35
17. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total?
1
b) 40 e) 36
a) 190 d) 193
c) 278
2
3
...
b) 191 e) 195
10
c) 192
18. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? 13. En la siguiente figura hay "a" triángulos y "b" cuadriláteros. Hallar: (b – a)
1 2
M
3 10
a) 0 d) 3 Ciclo UNI 82
b) 1 e) 4
c) 2
a) 197 d) 194
b) 196 e) 190
c) 195 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 19. ¿Cuántos cuadrados hay en la figura adjunta? 1
2
20. ¿Cuántos cubitos faltan como mínimo para formar un cubo sólido compacto?
3
O
9
10
a) 75 d) 100
b) 85 e) 98
c) 95
a) 24 d) 28
b) 20 e) 19
c) 25
Tarea domiciliaria 1. En la siguiente figura el máximo número de triángulos es 160. Hallar "n". n
1
a) 5 d) 9
b) 7 e) 12
2
3
4. En la figura adjunta, determinar la diferencia entre el número de triángulos y el número de cuadriláteros.
N
c) 10
a) 12 d) 4
b) 6 e) 10
c) 5
5. Hallar el número total de puntos de corte en: 2. Hallar el número total de cuadriláteros en la siguiente figura: 1
... 1
a) 40 d) 39
2
3
19 20
b) 41 e) 36
... a) 150 d) 156
2
3
4
b) 154 e) 160
2
20
c) 152
c) 38 6. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
3. ¿Cuántos triángulos como máximo hay en la figura mostrada? 1
19
3
101 4
49 50
3
...
2 1
a) 100 d) 101 Central: 619-8100
b) 99 e) 97
c) 98
a) 294 d) 303
b) 297 e) 306
c) 300
www.trilce.edu.pe 83
7. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada?
1
4
a) 891 d) 892
7
55
b) 890 e) 893
12. ¿Cuántos triángulos hay en la figura dada?
58
c) 889 a) 37 d) 40
8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada?
b) 38 e) 41
c) 39
13. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 1 2 100 99
a) 400 d) 397
5
4
3
b) 399 e) 396
2
1
3
c) 398 9
9. ¿Cuántos triángulos, que por lo menos tengan un (*) en su interior, hay en la figura?
*
* a) 52 d) 55
b) 53 e) 56
a) 252 d) 255
b) 253 e) 256
c) 254
14. ¿Cuántos hexágonos hay en la figura mostrada?
*
100 99 98
c) 54
4 3 2 1
10. ¿Cuántos segmentos hay en la figura mostrada? a) 5050 d) 5000
b) 4900 e) 4950
c) 4850
15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? a) 80 d) 100
b) 30 e) 200
c) 130
11. Hallar el número total de puntos de corte en: 1
a) 114 d) 113 Ciclo UNI 84
2
3
4
b) 110 e) 112
15
c) 108
20 19
a) 77 d) 96
7
6
b) 87 e) 107
5
4
3
2
1
c) 97
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 16. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
19. ¿Cuántos cuadrados hay en total en la figura? 1 2 3 4
a) 25 d) 20
b) 38 e) 41
c) 39
17. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
a) 60 d) 70
b) 55 e) 71
n–1 n
c) 65
a) 4n + 2 d) 4(n – 1)
b) 4n – 2 e) 4(n – 3)
20. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? 25 24 23 22 21
18. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en la siguiente figura?
4 3 2
a) 70 d) 65
a) 17 d) 14
Central: 619-8100
b) 18 e) 10
c) 4n – 5
b) 69 e) 80
1 c) 68
c) 20
www.trilce.edu.pe 85
Analogías numéricas Es un arreglo de números dispuestos en filas y columnas de donde se deduce una ley de formación y se aplica en la fila que contiene a la incógnita. La relación, generalmente, se haya en forma horizontal y de extremos a medios. Otra característica de las ANALOGÍAS es que el término central lleva paréntesis.
Distribuciónes numéricas Es un arreglo cuyos elementos se pueden disponer en filas y columnas o en otros casos mediante gráficos en los que, generalmente, participan figuras geométricas. La idea es encontrar una ley de formación y aplicarla en cada caso. Es posible que dicha ley se encuentre de manera horizontal o vertical.
Problemas resueltos Resolución:
1. Determine el valor de: x + y. x y
4 7 13 8
11 5
Resolución: Separando por bloques tendríamos: 4 + 7 = 11 x+y=?
11 5 13 8
4 7
x y
• 2 ; 3 ; 5 ; 9 ; 17 → y = 9 123 123 123 123 1 2 4 8 123 123 123 × 2 × 2 × 2 Entonces: (x – y)2 = z 64 = z
2. Considere las siguientes distribuciones y halle: E = z – x – 3y.
2
Ciclo UNI 86
3
5 16
36
z 11
Para "x".
Para "y"
Rpta.: 26
5
→ 32 = 9 → 42 = 16 → 62 = 36 → n2 = z → 82 = 64
13 + 8 = 21
Es decir: x + y = 26
7
5 – 2 = 3 7 – 3 = 4 11 – 5 = 6 x – y = n 25 – 17 = 8
• 5 ; 7 ; 11 ; 17 ; 25 → x = 17 123 123 123 123 2 4 6 8
11 + 5 = 16
Luego: 11 ; 16 ; 21 ; 26 14243 14243 14243 + 5 + 5 +5
9
Analizando, tenemos:
x
25 y
17
Finalmente: 64
E = 64 – 17 – 27 ⇒ E = 20
Rpta.: 20 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 3. Indicar el número que corresponde al signo de interrogación: 402 222 67
?
4. Determine el valor de "z" 4 9 20
851 86
6
13
14
303
49
5063
Dar como respuesta la suma de sus cifras.
8 5 14 10 3 Resolución:
Resolución: a
b c
⇒ SCifras(a) = SCifras(b) = SCifras(d) = c
d
Luego, la suma de las cifras del número que falta es 13
Rpta.: 13
z
Analizando, obtendríamos que: 4 • + 9 × 2 = 20 2 •
8 + 5 × 2 = 14 2
•
10 + 3 × 2 = z ⇒ z = 11 2
Rpta.: 11 5. Determine el valor de "w" 8
9
7
2
36 5
4
1 12
9
3 w
3
7
10
Resolución:
Analizando, obtendríamos que: a
b x
c
⇒ [(a + d) – (c + b)]2 = x Luego:
d
W = [(10 + 4) – (7 + 3)]2 = 42 = 16
Rpta.: 16
Problemas para la clase 1. Hallar el número que corresponde al espacio en blanco:
a) 1818 d) 612
23
(106)
52
41
(327)
87
69
(
33
)
b) 927 e) 827
c) 1827
Central: 619-8100
a) 22 d) 28
3
(13)
7
4
(16)
8
7
(a)
9
b) 23 e) 27
c) 25
4. Hallar el valor de "x":
2. Hallar "x+y", en:
a) 13 d) 14
3. Hallar el valor de "a":
48
(12)
12
13
24
22
35
(9)
8
17
50
198
24
(x)
y
14
69
x
b) 11 e) 10
c) 12
a) 255 d) 950
b) 350 e) 550
c) 450
www.trilce.edu.pe 87
5. Hallar "b" en el arreglo:
11. Hallar: x + y
20
(8)
52
23
(25)
64
11
(b)
83
a) 16 d) 64
b) 32 e) 9
0 a) 291 d) 279
7
2
9
5
10
3
8
6
4
a
x
b
3
10
5
9
c
d
b) 4 e) 5
8
2
a) 7 d) 9
5
7
9
6
?
6
5
185
3 63
2
32
9
a) 3 d) 6 Ciclo UNI
23
55
47
82
x
21 c) 30
b) 4 e) 7
2
p
4
m
12
16
32
48
64
n
192
b) 128 e) 131
3 4
c) 136
5 5
7
6 4 b) 13 e) 12
43
5
8
2
33
c) 5
8 c) 11
?
17
b) 12 e) 17
5 9 c) 11
16. Hallar: (B – A). 81 40 12 24
x 22
18
7 ?
15. Indicar la suma de las cifras del número que falta.
a) 15 d) 13
5 51
1
65
c) 20
7
1
34
88
4
32
a) 10 d) 14
10. Hallar "x" en:
3
15
?
216
b) 16 e) 22
6
c) 281
12
a) 129 d) 139
c) 9
64 22
8
38
hallar: (m + n + p)
22
b) 12 e) 7
a) 14 d) 18
51
27
14. Indicar el número que falta en:
8
9. Hallar la suma de las cifras del número que falta en la figura adjunta:
Y
b) 20 e) 50
4
c) 6
K
13
124
18
b) 562 e) 215
a) 10 d) 40
8. Hallar la suma de cifras del valor de "k".
27
11
13. Dado el siguiente arreglo:
b) 8 e) 5
a) 10 d) 8
63
12. Calcular el valor de "x" en:
c) 7
7. ¿Qué número falta? 5 5
x
c) 27
6. Si: "a", "b", "c", "d" y "x" representan cifras en la distribución y ambas tienen el mismo criterio de orden, hallar el valor de "x".
a) 8 d) 6
26
7
11
a) 1 d) 3
b) 2 e) 6
6
A AB 7 c) 4 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 17. Hallar la suma de cifras de: x + y
19. Hallar el número que falta:
5
18 20
19 32
10
8
10
16
x
26
a) 8 d) 5
b) 10 e) 6
y
4
3
8
30 51 39
6
4
11
51 17
12
5
?
1
c) 12
a) 10 d) 20
18. Hallar el número que falta en el siguiente arreglo: 4
25
3
9
26
1 a) 82 d) 60
7
10
5
?
c) 16
20. Hallar el número que falta:
8
2
b) 40 e) 50
b) 14 e) 24
c) 80
a) 171 d) 95
1
20
23
3
26
37
3
40
47
15
76
x
b) 109 e) 108
c) 94
Tarea domiciliaria Hallar el valor de "x" en cada analogía: 1.
a) 6 d) 2
5.
3
5
(22)
3
3
(18)
3
6
(x)
7
2
(x)
1
b) 8 e) 10
7 16
3.
a) 29 d) 28
c) 4
(4)
49
14
b) 7 e) 9
a) 22 d) 25
c) 5
7.
26 (210) 80 10
4.
(10)
7
(23) –2
Central: 619-8100
(x)
b) 10 e) 12
a) 19 d) 17
c) 210
4
21
8.
2 –3 c) 18
a) 17 d) 14
(x)
36
b) 23 e) 26
c) 24
5
(27)
8
(68) 12
4
95
b) 304 e) 220
5 a) 16 d) 10
(x)
(7)
c) 34
37 (13) 30
(5,6) 21 (x)
b) 23 e) 26
13
15
25 (108) 30
a) 206 d) 208
2
(24)
5
a) 6 d) 8
(7)
4
6. 2.
3
(x)
6 3
b) 13 e) 18
c) 16
15 (36)
2
–4 (13)
7
1/2
4
(x)
b) 16 e) 13
c) 15
www.trilce.edu.pe 89
9.
7
15.
(11) 16
–6 (–7) –4 8 a) 13 d) 12
(x)
20
b) 14 e) 17
10.
12
a) 10 d) 9
c) 16
(8)
16.
28
3
24 (14) 46 37 a) 24 d) 20
(x)
b) 34 e) 26
11.
a) 1 d) 5
c) 30
8
6
8
6
4
7
4
4
x
b) 2 e) 7
12. 4 6 a) 12 d) 89
6
10
12
8
14
x
8
13
4 c) 14
3
9
6
6
a) 23 d) 37
x c) 9
9
8
4
6
6
9
x
10
4
b) 8 e) 7
18.
12 6
9
b) 7 e) 10
a) 6 d) 9
c) 84
9
5
17.
12 10 30 28 2 x
b) 87 e) 80
4
a) 6 d) 8
c) 4
7
b) 12 e) 11
3
63
8
c) 4
2
3
5
7
11
13
17
19
x
b) 29 e) 41
c) 31
19. 13.
3
5
3
2
4 8
a) 25 d) 22
5
a) 25 d) 22
Ciclo UNI 90
x
2
2
b) 24 e) 20 3 3 2
7
2
15
14.
10
2
4
4 17
3
4
6
1 5 3
11 5 5
4 X 8
2
9
7
4
c) 23
3
b) 24 e) 20
13
8
4
5 2 x
2
c) 23
a) 8 d) 11 20.
b) 9 e) 12
c) 10
2
3
4
36
4
x
3 a) 121 d) 144
4
6 b) 64 e) 169
1
8
6
c) 72
Colegios
TRILCE
Problemas para la clase 1. Halle el valor de: M = 222 ... 2 111 ... 1 – 111 ... 1 222 ... 2 123 123 123 123 100 cifras 100 cifras
100 cifras 100 cifras
?
Dar como respuesta la suma de las cifras de M a) 150 d) 121
b) 180 e) 300
c) 100
2. Si: • Todos los cerdos vuelan. • Ningún cerdo tiene cola.
5. ¿Qué alternativa debe ocupar el lugar de la incógnita?
¿Cuáles de las siguientes conclusiones son verdaderas? I. No todos los cerdos tienen cola. II. Ningún animal que vuela tiene cola. III. Existen animales sin cola que vuelan. a) Solo I d) II y III
b) Solo II e) I y III
a)
b)
d)
e)
6. Los números que se presentan a continuación han sido ordenados, coherentemente. Hallar (f + h)
c) Solo III
3. ¿Qué figura continúa?
a)
b)
d)
e)
c)
c)
1
21 34
b
i
1
13 55
c
h
2
8
89
d
g
3
5
a
e
f
a) 10946 d) 9349
b) 10496 e) 7931
c) 8949
7. Halle el valor de: 1 000 0014 – 999 9994 M= 8(1012 + 1)
4. Se tienen los siguientes cubos. ¿Cuál es la menor cantidad de cubos que se tendrán que agregar para poder conformar un hexaedro regular?
a) 4 × 106 d) 11 111
b) 2 × 106 e) 1 111
c) 106
8. Calcular la suma de cifras del número total de puntos de corte en:
a) 19 d) 21 Central: 619-8100
b) 55 e) 64
c) 18
1 a) 640 d) 10
2
3
4
b) 790 e) 810
99 100 c) 16 www.trilce.edu.pe 91
9. Si afirmamos que:
12. ¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabra "FERROSO"?
• Ningún "A" es "B" • Cada uno de los "C" es "B"
F
Entonces, se deduce:
F E
E
R
a) Todo "A" es "C". b) Ningún "C" es "A". c) Todo "C" es "A". d) Ningún "A" es "C". e) Más de una es correcta.
F E
R O
R O S O
• Todos los estudiosos se amanecen. • Muchos de los trabajadores son estudiosos.
a) 50 d) 90
R O
S
10. Luego de negar las siguientes proposiciones:
F
O S
O
b) 60 e) 100
c) 80
13. ¿Qué figura falta?
Se infiere: a) Ciertos trabajadores se amanecen. b) Muchos que se amanecen son trabajadores. c) Algunos que se amanecen no son trabajadores. d) No todos los trabajadores se amanecen. e) No es cierto que ningún estudioso es trabajador. 11. Hallar (x + y) en: y
2
98
12
108
18
b) 242 e) 253
a)
b)
d)
e)
c)
14. Hallar la suma de las cifras del resultado de:
x 48 a) 232 d) 238
?
S = 222 ... 222 × 123 14243 40 cifras
c) 245 a) 120 d) 130
b) 123 e) 131
c) 129
15. Indique la alternativa que completa la serie mostrada:
?
Ciclo UNI 92
a)
b)
d)
e)
c)
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Tarea domiciliaria 1. Si se sabe que: • Todos los mamíferos son vivíparos. • Ningún batracio es vivíparo. • Todos los sapos son batracios.
distribuidas uniformemente. La ubicación de las personas alrededor de la mesa cumple las siguientes condiciones: • William y Xavier ocupan sillas adyacentes. • Zacarías y Úrsula ocupan sillas adyacentes. • Yolanda está sentada frente a Sara.
Podemos concluir que: a) Algunos sapos son vivíparos. b) Algunos mamíferos son batracios. c) Todos los batracios son sapos. d) Ningún sapo es mamífero. e) Todos los mamíferos son batracios.
5. Todas las siguientes personas podrían estar sentadas junto a Úrsula, EXCEPTO: a) Sara d) Xavier
b) Tomás e) Yolanda
c) Víctor
Enunciado (2 - 4) Andrés, Flavio y Raúl tienen una mascota diferente cada uno: conejo, gato y canario. Además, ellos tienen edades diferentes y viven en distritos diferentes: Lima, La Molina y Pueblo Libre. Se sabe que Andrés no es el menor y tiene como mascota un gato. Raúl no es el mayor y no vive en Lima. El que tiene el canario vive en Lima y el que tiene al conejo vive en La Molina. 2. La asociación correcta es: a) Andrés – La Molina b) Flavio – Lima c) Raúl – canario d) Raúl – menor e) Flavio – menor
6. Todas las siguientes afirmaciones son imposibles, EXCEPTO: a) Tomás y Víctor ocupan sillas adyacentes. b) Úrsula y Víctor ocupan sillas adyacentes. c) Úrsula y Xavier ocupan sillas adyacentes. d) William y Zacarías ocupan sillas adyacentes. e) Xavier y Zacarías ocupan sillas adyacentes. 7. Si Sara se sienta junto a Zacarías, todas las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas, EXCEPTO. a) Sara está sentada junto a Xavier. b) Úrsula está sentada junto a Tomás. c) Úrsula está sentada junto a Yolanda. d) William está sentado junto a Yolanda e) Yolanda está sentada junto a Xavier.
3. Si Raúl no es menor, entonces es falso que: a) El mayor tiene el gato b) El menor tiene el canario c) Flavio es el mayor d) El mayor vive en Pueblo Libre e) El menor vive en Lima
8. Sabiendo que: "TODO RESPONSABLE ES MADURO", entonces: a) Ningún responsable es maduro. b) Algún inmaduro es responsable. c) Todo maduro es responsable. d) Algún responsable no es maduro. e) Ningún inmaduro es responsable.
4. Para determinar quien es el menor, basta saber que: I. Flavio es mayor que el que vive en La Molina. II. Andrés es mayor que Raúl. a) El dato I es suficiente y el dato II no lo es. b) El dato II es suficiente y el dato I no lo es. c) Es necesario utilizar I y II conjuntamente. d) Cada uno de los datos, por separado, es suficiente. e) Se necesitan más datos. Enunciado (5 - 7) Ocho personas: Sara, Tomás, Úrsula, Víctor, William, Xavier, Yolanda y Zacarías, se sientan alrededor de una mesa circular con ocho sillas Central: 619-8100
9. Cuatro hermanas fueron interrogadas por su madre, pues una de ellas se comió un chocolate sin permiso.
Gina: Verónica fue Verónica: Karen fue Karen: Verónica miente Patricia: Yo no fui
Si tres de ellas mienten, ¿quién dice la verdad? a) Gina d) Patricia
b) Verónica c) Karen e) No se puede www.trilce.edu.pe 93
10. ¿Qué figura no guarda relación con las demás? a)
b) 2
4
c) 3
d)
14. ¿Qué figura completa el casillero?
6
5 10
e) 8 16
11 22
UNI 11. Se tiene la gráfica de dos proposiciones: I.
Silban
a)
b)
d)
e)
c)
Cantantes
15. ¿Cuántos triángulos hay en la figura? II. Cantantes
Bohemios X
Luego de negarlas, se concluye que: a) Todos los que cantan son bohemios. b) Ningún bohemio silba. c) Algunos bohemios que silban no cantan. d) Algunos cantantes no son bohemios e) Algunos que silban no son bohemios 12. Si todos los ingenieros son ingeniosos, y algunos preocupados no son ingeniosos, se infiere lógicamente que: a) Algunos preocupados no son ingenieros. b) Algunos preocupados son ingenieros. c) Ningún preocupado es ingeniero. d) Algunos ingenieros no son preocupados. e) Algunos preocupados son ingeniosos. 13. ¿Qué número falta?
a) 12 d) 9
Ciclo UNI 94
52
42
32
27
22
x
72
65
53
b) 11 e) 8
c) 10
a) 25 d) 29
b) 28 e) 30
c) 26
16. A Emilio le dieron un número secreto de su nueva tarjeta de crédito, y observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además, el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
17. Tadeo, Pedro y Carlos asisten a una actuación escolar con sus parejas: Teresa, Susana y Luisa. Cada una de las parejas tiene un hijo(a). Se llaman Ruth, María y Ricardo. Teresa me dijo que su hija representaba a Anita en el teatro de la escuela. Pedro comentó que su hija representaba a Ofelia y Tadeo afirmó que su hija no era María y que la mujer de Carlos no era Susana. ¿Quién está casada con Carlos y quién es la madre de Ricardo? a) Teresa – Luisa c) Teresa – Teresa e) Luisa – Teresa
b) Luisa – Susana d) Luisa – Luisa
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 18. ¿Qué figura va en lugar de la incógnita?
20. Cinco amigos "A", "B", "C", "D" y "E" van al hipódromo y apuestan en seis carreras. En cada una de ellas participan los caballos numerados del 1 al 6. Al ser consultados sobre sus candidatos a ganador respondieron en orden: 1° 2° 3° 4° 5° 6° A 6 2 4 5 1 3
? a)
b)
d)
e)
B 5 4 2 6 3 1 C 5 4 2 6 3 1
c)
D 6 1 2 5 3 4 E
19. Se muestra la figura de un cuadrilátero colocado sobre el plano de una mesa; hay articulaciones en los vértices de tal manera que los lados puedan moverse en cualquier dirección.
5 4 6 2 1 3
Si en total se dieron 14 aciertos, de los cuales cinco fueron para la primera y segunda carrera; además, se sabe que cada caballo ganó solo una vez. ¿Cuáles fueron los caballos ganadores en cada carrera? a) 6; 4; 2; 5; 3 y 1 c) 5; 4; 6; 2; 1 y 3 e) 6; 4; 2; 5; 1 y 3
b) 4; 6; 2; 5; 1 y 3 d) 5; 4; 2; 6; 3 y 1
Vista de arriba, ¿cuál de las siguientes figuras es posible obtener?
I
II
IV III a) I y III d) Todas
Central: 619-8100
b) I, II y III e) Ninguna
c) II y III
www.trilce.edu.pe 95
Noción de sucesión Es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras o combinación de las anteriores) denominados términos, en los cuales se presenta una ley de formación, criterios o fórmulas de recurrencia. En este conjunto ordenado puede distinguirse un primer término, un segundo término, etc. Ejemplos: 2; 3; 5; 7; ...
Sucesión numérica
A; C; F; J; ...
Sucesión literal
;
;
;
; ...
Sucesión gráfica
En este capítulo analizaremos dos tipos de sucesiones: •
SUCESIONES NUMÉRICAS
•
SUCESIONES LITERALES
SUCESIONES NUMÉRICAS DEFINICIÓN: Una sucesión numérica en los " ", es una función f: + → definida en el conjunto de los números naturales positivos: + = {1; 2; 3; 4; …} a los cuales les corresponde un único número real del conjunto " ". f N 1 2 3 M n M
R t1 t2 t3 M tn M
De acuerdo a la definición dada se deduce que existe una correspondencia de uno a uno entre los " los términos de la sucesión.
+"
y
Ejemplos: 1. La sucesión cuyo tn =
n2
2 +1
2 1 2 Tendrá por términos: 1; ; ; ; … 5 5 17
Pues: cuando n = 1; 2; 3; 4, … se obtendrán dichos valores para la sucesión.
2. La sucesión cuyo: tn = 2n3+1
Tendrá por términos: 3; 17; 55; ...
Pues: cuando n = 1; 2; 3; 4, ... se obtendrán dichos valores para la sucesión.
Ciclo UNI 96
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Problemas resueltos 1. Hallar el número que continúa: 3; 5; 8; 12; 18; 27; 41; 63; ... Resolución:
Analizando por medio de sumas. 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; 18 ; 27 ; 41 ; 63 ; 98
123 123 123 123 123 123 123 123
1er nivel → +2 +3 +4 +6 +9 +14 +22 +35
123 123 123 123 123 123 123
2do nivel → 1 1 2 3 5 8 13
144444444424444444443
Sucesión de Fibonacci Rpta.: 98
2; 5; 3; 7; 5; 12; 7; 20; 11; 31; 13; a; m; h; b; ... Hallar: a + b
Considerando dos sucesiones de manera alternada. • 2; 3; 5; 7; 11; 13; m; b (Sucesión de números primos)
\ m = 17; b = 19
•
2do nivel → +3 +3 +3 +3
123 123 123 123
Finalmente, se pide hallar:
89; 83; 79; 73; 71; 67; 61; ... Resolución:
Analizando cada uno de los términos observados que son números primos ordenados de manera decreciente, entonces el número que completa la sucesión es 59.
Rpta.: 59
123 123 123 123 123
1er nivel → +2 +5 +8 +11 +14
a + b <> 45 + 19 = 64
5. Identifique la alternativa que completa correctamente la sucesión: 1; ______; 25; 57; 121; 249
Rpta.: 64
3. ¿Qué término no cumple con la secuencia indicada?
Resolución:
Resolución: Separando las letras y los números se obtienen dos sucesiones:
• B ; E ; G ; K ; L ; Ñ 123 123 123 123 123 C F H M D I N J 144424443 Se observa que no hay secuencia con la letra "K" Central: 619-8100
Analizando los datos mediante sumas: 1 ; 9 ; 25 ; 57 ; 121 ; 249 123 123 123 123 123 8 16 32 64 128 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 23 24 25 26 27
B2; E3; G8; K29; L112; Ñ565
Rpta.: K29
4. ¿Qué número completa la sucesión?
5 ; 7 ; 12 ; 20 ; 31 ; a
⇒ Ordenando
• 2 ; 3 ; 8 ; 27 ; 112 ; 565 123 123 123 123 123 ×1 ×2 ×3 ×4 ×5 +1 +2 +3 +4 +5
Resolución:
⇒ Ordenando
B ; E ; G ; J ; L ; Ñ 123 123 123 123 123 C F H K M D I N • 2 ; 3 ; 8 ; 29 ; 112 ; 565 123 123 123 123 123 ×1 ×2 ×3 ×4 ×5 +1 +2 +5 –4 +5 144424443 Se observa que no hay secuencia con el número 29
2. Dada la siguiente sucesión:
Rpta.: 9
www.trilce.edu.pe 97
Analizaremos a continuación algunos prácticos de sucesiones numéricas:
casos
D) 25; 26; 24; 30; 0; 210; ...
IV. Sucesiones alternadas
I. Por sumas o restas
En cada caso, hallar el término que continúa:
A) 5; 8; 8; 6; 3; 0; ...
B) 2; 3; 5; 10; 21; 42; ...
C) 4; 5; 9; 18; 36; 69; 125; ...
D) 1; 2; 5; 15; 37; ...
II. Por multiplicación o división:
En cada caso, hallar el término que continúa:
En cada caso, hallar el término que continúa:
A) 7; 5; 10; 8; 16; 28, 26;..........
B) 4; 5; 6; 6; 8; 8; 10; 11;..............
C) 1; 10; 16; 23; 27; 32;..............
D) 7; 6; 5; 7; 9; 9; 9; 12; 15;.........
Sucesiones literales
A) 3; 3; 6; 36; 864; ...
Para la resolución de problemas en los que se tiene una SUCESIÓN ALFABÉTICA se recomienda: • Completar el abecedario.
B) 1; 1; 1; 3; 45; ...
• Asignar a cada letra un valor equivalente a su posición dentro del abecedario.
C) 288; 24; 4; 2; 5; 175/2; ... D) 1; 1; 1; 1; 2; 12; 360; ...
III. Por operaciones combinadas
En cada caso, hallar el término que continúa:
A) 37; 40; 36; 180; 30; ...
B) 2; 2; 6; 54; 70; ...
C) 15; 44; 21; 40; 23; 36; ...
Ejemplos: Hallar la letra que continúa en cada caso.
A) B; F; I; M; O; ...
B) A; A; B; E; D; I; G; O; ...
C) Z; V; R; Ñ; K; ...
D) A; B; E; D; I; F; O; ...
Problemas para la clase 1. Indica el término que debe continuar en:
D, I, E, G, F, E, G, ... a) B d) N
b) D e) C
c) M
5. Coloque la fracción que falta: 10 4 6 8 ; ; ; ; ... 3 9 7 5 4 7 8 a) b) c) 5 4 9 3 2 d) e) 5 11
2. Hallar "y" en:
0; 4; 5; 6; 10; 74; y a) 4 096 d) 5 040
b) 4 170 e) N.A.
c) 4 640 6. ¿Cuál es el término que continúa?
3. ¿Qué número deberá continuar?
a) 120 d) 125
3 ; 2; 3; 8; 63; ... a) 3869 d) 3698
c) 3968
b) 135 e) 132
c) 128
4. ¿Qué letra completa la secuencia?
7. Hallar el término que continúa en la siguiente sucesión:
P, Q, N, T, K, W, H, ... a) X d) Q
Ciclo UNI 98
b) 3868 e) Ninguna
5; 20; 45; 80; ...
b) V e) Y
c) Z
2; 7; 19; 39; 71;124; … a) 120 d) 136
b) 224 e) 138
c) 214 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 8. ¿Cuál es el término que continúa?
1; 2; 12; 36; 80; 151; x. a) 254 d) 259
b) 250 e) 253
c) 257
9. Calcular (x + y) en: 3; 4; 5; 7; 10; 15; 23; 36; x; y. a) 76 d) 112
b) 148 e) 172
c) 115
15. En la sucesión mostrada, determine la suma de los dígitos de "m" y "n".
a) 11 d) 17
2-3-4 a) 338 d) 342
114; 57; 54; 27; 24; 12; ... a) 7 d) 12
b) 8 e) 20
c) 9
11. Hallar el término que continúa en la siguiente sucesión: A, D, H, M, ... a) P d) S
b) Q e) T
A/B; C/C; E/E; G/G; I/K; M/K; ...
¿Qué palabra se podría formar? a) TALA d) RAZA
b) SANA e) MAPA
c) NAPA
13. ¿Qué alternativa está en discordancia con las demás? a) 491 322 d) 831 114
b) 891 726 e) 751 217
se deduce que (x + y – z) es:
Central: 619-8100
b) 8 e) 5
3-5-4
8-11-9 27-31-38
b) 339 e) 356
UNI
c) 340
–1 003; –994; –985,... a) 5 d) 2
b) 4 e) 8
c) 3
18. Hallar el décimo término de la siguiente sucesión:
1; 2; 9; 64; 625; ... a) 910 d) 94
b) 10 e) 106
c) 1 004
19. En un examen las respuestas a las 5 primeras preguntas son: A, B, C, D, E; para las 10 siguientes son: A, A, B, B, C, C, D, D, E, E; las 15 siguientes son: A, A, A, B, B, B, C, C, C, ..., etc. La respuesta de la pregunta 90 es: a) A d) D
b) B e) E
c) C
20. En la sucesión: 1 1 2 1 2 7 1 2 3 4 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... 1 2 1 3 2 4 4 3 2 1
22, 34, 56, 710, 11x, yz, ... a) 9 d) 6
c) 191 029
14. De la siguiente sucesión:
c) 15
17. Encontrar el primer término positivo de la sucesión:
c) R
12. Considerando la vocal "A" y las dos consonantes del término que continúa en la siguiente sucesión:
b) 19 e) 23
16. Determine la suma de los números del grupo que ocupa el casillero UNI:
10. ¿Cuál es el término que continúa?
(3; 2); (7; 5); (18; 11); (47; 17); (m; n)
c) 7
¿Qué lugar ocupará a) 85 d) 90
4 ? 11
b) 105 e) 100
c) 95
www.trilce.edu.pe 99
Tarea domiciliaria 1. Calcular el término general de la siguiente sucesión 2 7 12 ; ; ; ... 8 13 18
9. ¿Qué número completa la sucesión?
1 a) 2 b) 1 c) 2 2 2 d) e) 5 3
y dar como respuesta la suma del denominador y el numerador. a) 10n d) 10n + 6
b) 10n – 3 e) 8n
c) 6n
10. ¿Qué número continúa?
2. Hallar el valor de (x – y)
b) 130 e) 65
c) 68
3. Hallar el término que sigue:
b) –32 e) –16
12 18 6 b) c) 13 19 13 12 9 d) e) 11 10
c) –42
B; C; F; K; ……………… a) Q d) S
b) P e) T
c) R
12. Indicar el término que continúa en la siguiente sucesión: 1 38 6 18 ; ; ; ; ... 51 3 27 10 15 15 7 b) c) 11 7 11 11 15 d) e) 15 9 a)
5. ¿Qué número continúa?
1; 2; 5; 15; 37; ….. a) 78 d) 77
b) 79 e) 72
c) 76
13. Hallar el número que sigue:
6. Hallar el término que sigue
b) 215 e) 224
c) 245
1; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 96; …
Dar la suma de las cifras del resultado. b) 35 e) 36
c) 32
8. Hallar el término que sigue:
7; 9; 21; 67; … a) 273 d) 277
Ciclo UNI 100
b) 26 e) 32
c) 30
14. Hallar el número que sigue:
7. ¿Qué número continúa?
a) 34 d) 37
14; 22; 16; 24; 18; ... a) 28 d) 22
4; 5; 9; 18; 36; 69; 125; … a) 234 d) 214
c) 533
a)
4. Hallar la letra que sigue en:
b) 412 e) 707
11. ¿Qué número continúa? 3 9 6 15 ; ; ; ; ... 4 11 7 17
3; –2; –1; –1; –6; –17; … a) –24 d) –39
4; 5; 11; 34; 137; ... a) 275 d) 686
• 6; 22; 48; 84; x • 4; 12; 26; 46; y a) 72 d) 58
2 310; 210; 30; 6; 2; ...
52; 63; 90; 103; 132; 147; ... a) 167 d) 195
b) 178 e) 184
c) 201
15. Hallar "x" en la siguiente sucesión: 1 3 5 9 ; ; ; ;x 2 8 16 32 13 18 19 b) c) 24 35 37 17 15 d) e) 64 49
a) b) 243 e) 278
c) 276
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 18. ¿Qué letra sigue?
16. En la sucesión: 1 2 3 4 ; ; ; ; ... 2 3 4 5
a) S d) Q
la diferencia entre 1 y el término enésimo es: a) 1 d) 1 – n
b) n
1 e) n+1
c) n + 1
b) KVZ e) LVZ
c) LWZ
b) O/K e) O/I
c) P/M
20. ¿Qué número completa coherentemente la sucesión?
124; 816; 326; … ; 825 a) 512 d) 576
Central: 619-8100
c) P
A/B ; C/B; D/E; G/H; … a) P/I d) R/K
CTT; FUV; IVX; … a) KWZ d) LVW
b) X e) T
19. ¿Qué término continúa?
17. Señale el grupo de letras que continúa:
B; F; I; M; O; …..
b) 412 e) 484
c) 624
www.trilce.edu.pe 101
Sucesiones polinomiales Se llaman sucesiones polinomiales a todas aquellas sucesiones que en su fórmula general o en su ley de formación tienen la forma de polinomio de grado "n". Es decir, las sucesiones polinomiales pueden ser de forma lineal, cuadrática, cúbica, etc. En general, una sucesión polinomial tiene la forma: tn= Ank+Bnk – 1+Cnk – 2+…+Yn1+ Z; donde k ∈
+
Analicemos algunas sucesiones polinómicas 1. Sucesión lineal o de primer grado:
El término enésimo de dicha sucesión es de la forma: tn = t1 + (n – 1)r * Hallar el término 24 en: –4; –1; 2; 5; ...
2. Sucesión cuadrática o de segundo grado:
El término enésimo de dicha sucesión es de la forma: tn = an2 + bn + c * Hallar el 20avo. término: 0; 4; 14; 30; ...
Método práctico
Dada una sucesión aritmética de cualquier orden o grado.
T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; ... "n" términos 1442443 1442443 1442443 1442443 +a +b +c +d ... 1442443 1442443 1442443 +m +n +p ... 1442443 1442443 +r +r ... Entonces: Tn = T 1 +
(n – 1)a (n – 1)(n – 2)m (n – 1)(n – 2)(n – 3)r + + + ... 1! 2! 3!
* Hallar el término enésimo en: 5; 11; 19; 29; 41; ...
* Hallar el término de lugar 22 en: 2; 4; 6; 20; 58; 132; ...
Ciclo UNI 102
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 3. Sucesión potencial:
El término enésimo de dicha sucesión es de la forma: tn = a n + k + b * Hallar el término siguiente: 3; 12; 102; ...
4. Sucesión geométrica:
Llamada también progresión geométrica, se caracteriza porque cada término que continúa a partir del segundo término, se obtiene al multiplicar el inmediato anterior por un mismo número, llamado razón geométrica (q).
T1 ; T2 ; T3 ; T4 ; 1442443 1442443 1442443 ×q ×q ×q ...
... "n" términos
tn = t 1 × q n – 1 * Hallar el vigésimo segundo término en: 4; 12; 36; 108; ...
Problemas resueltos 1. En la siguiente sucesión:
Luego:
5; 9; 15; 23; 33; ...
Numerador:
Hallar el término 40
Usando la fórmula: 4(n – 1) 2(n – 1)(n – 2) tn = 5 + + 1! 2!
t40 = 5 + 4 × 39 + 39 × 38 ⇒ t40 = 1 643
Rpta.: 1643
Resolución:
Considerando fracciones equivalentes tendríamos: 4 7 10 13 16 19 ; ; ; ; ; ; ... 4 10 16 22 28 34
Central: 619-8100
3 3 3
123 123 123
6 6 6 3n + 1 Finalmente: tn = 6n – 2
Rpta.: tn =
3n + 1 6n – 2
3. Hallar el primer término negativo de la siguiente sucesión:
145; 137; 129; 121; ...
Resolución:
2. Hallar el término enésimo de la siguiente sucesión: 7 5 13 4 19 1; ; ; ; ; ; ... 10 8 22 7 34
123 123 123
Hallando la razón aritmética:
5 ; 9 ; 15 ; 23 ; 33 ; ... 123 123 123 123 +4 +6 +8 +10 123 123 123 +2 +2 +2
4 ; 7 ; 10 ; 13 ; ... ; (3n + 1)
Denominador: 4 ; 10 ; 16 ; 22 ; ... ; (6n – 2)
Resolución:
Analizando, se tiene:
145 ; 137 ; 129 ; 121 ; ... 123 123 123 123 – 8 – 8 – 8 tn = – 8n + 153
Para hallar el primer término negativo se debe cumplir:
8n > 153 n > 19,...
n = {20; 21; 22; ...} www.trilce.edu.pe 103
Luego: n = 20
Finalmente: (–8)(20) + 153 = – 7
Rpta.: –7
5. Dada la sucesión: 12; 15; 18; 21; ...; 159
4. Hallar "t80" de la sucesión indicada. 4; 6; 10; 19; 36; 64; ...
Resolución:
Resolución: 4 ; 6 ; 10 ; 19 ; 36 ; 64 ; ... 123 123 123 123 +2 +4 +9 +17 +28 123 123 123 123 +2 +5 +8 +11 123 123 123 +3 +3 +3
Usando la fórmula: 2(n – 1) 2(n – 1)(n – 2) 3(n – 1)(n – 2)(n – 3) tn = 4 + + + 1! 2! 3! 79 × 78 × 77 t80 = 4 + 2 × 79 + 79 × 78 + 2
¿Cuántos de sus términos resultan ser cuadrados perfectos, luego de aumentarle 4 unidades a cada uno de ellos?
Al aumentarle 4 unidades a cada término se tiene:
16 ; 19 ; 22 ; 25 ; ... ; 163 123 123 123 +3 +3 +3 tn = 3n + 13 <> ° 3 + 1 <> k2 16 ≤ k2 ≤ 163 (pero: k2 <> ° 3 + 1) k2 = {16; 25; 49; 64; 100; 121}
Hay 6 términos que cumplen con la condición.
Rpta.: 6
⇒ t80 = 243 561 Rpta.: 243 561
Problemas para la clase 1. Dar la suma de "t100" y "t200" en:
5. En la sucesión:
a7 + 8; a12 + 15; a17 + 22; ...; ax + y
–1; 3; 7; 11; ... a) 2246 d) 1211
b) 1156 e) 1190
c) 3467
Se cumple que: x + y = 303.
¿Cuántos términos tiene la sucesión? a) 18 d) 24
2. En la siguiente sucesión dar como respuesta el término de lugar 20:
b) 1230 e) 1530
c) 1600
3. Hallar el término de lugar 8 en:
b) 954 e) 972
Ciclo UNI 104
b) 10 002 e) 9005
el número de términos entre 3 y 30 es el mismo que está entre 30 y "x". Si la suma de los términos es 570, halla el número de términos. b) 17 e) 23
c) 19
7. Si en una sucesión aritmética lineal se cumple que la suma de los "n" primeros términos es S = n(3n + 1), para todo "n" natural positivo, halla el primer término y la razón, respectivamente:
3; 12; 102; ... a) 10 001 d) 20 000
3; ...; 30; ...; x;
c) 1013
4. Hallar el término de lugar 5 en:
a) 15 d) 21
1; 11; 43; 109; 221; ... a) 953 d) 1000
c) 23
6. En la siguiente sucesión aritmética lineal:
5; 18; 39; 68; ... a) 1229 d) 1620
b) 20 e) 25
c) 9002
a) 3,5 d) 5,8
b) 4,6 e) 5,9
c) 4,7 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 8. Dada la sucesión aritmética lineal:
4; A; B; C; 36; ...
¿Qué lugar ocupa el término cuyo valor es 244? a) 29 d) 32
b) 30 e) 33
x – 3; x; 2x; ...
halla el término de lugar 7. a) 192 d) 512
b) 384 e) 343
b) – 3 e) – 13
2n n+1 2n b) c) 2 +3 n+3 n +1 3n – 1 6n + 1 d) e) n+4 n+5 n2
12. Se quiere tomar "2n" términos de la siguiente sucesión de números:
–9; 5; –6; 11; –3; 17; ...;
de tal manera que sumen 365. Entonces "n" es igual a: a) 10 d) 15
b) 5 e) 30
(a + 3); (a + 7)3; (a + 11)5; ...; (a + 118 – n)n a) 12 d) 45
b) 34 e) 22
c) 39
14. En la siguiente sucesión: 8; 15; 22; 29; … ¿Cuántos de sus términos de tres cifras terminan en 5? a) 11 d) 14
Central: 619-8100
b) 12 e) 15
a) 20 d) 10
c) 13
b) 11 e) 41
c) 12
17. Hallar "a8", si: an + 1 = an + 2 + an; n ≥ 1 y a11 = –11. a) 8 d) –1
b) –8 e) 64
c) 11
18. ¿Cuántos términos de la sucesión:
13; 16; 19; ...; 613; resultan tener raíz cuadrada exacta al sumarle 2 unidades? a) 1 d) 10
b) 7 e) 53
c) 11
19. Ana Cecilia se propone leer una novela diariamente; el primer día lee 3 páginas, el segundo día lee 8 páginas, el tercer día 15 páginas, el cuarto 24 páginas y así sucesivamente hasta que cierto día se da cuenta que el número de páginas que ha leído ese día es 14 veces el número de días que ha estado leyendo. Hallar el número de páginas leídas en dicho día. a) 126 d) 204
c) 20
13. Hallar el valor de "n" en la siguiente sucesión:
S1 = 5; 8; 11; 14; ...; 122
c) – 6
11. Hallar el término general de la siguiente sucesión: 4 3 8 1; ; ; ; ... 5 5 17 a)
c) 5
16. Dadas las sucesiones "S1" y "S2", hallar cuántos términos comunes tienen ambas sucesiones:
c) 96
64; 57; 50; 43; … a) – 1 d) – 8
b) 10 e) 45
S2 = 3; 7; 11; 15; ...; 159
10. Hallar el primer término negativo en la siguiente sucesión:
a) 4 d) 15
c) 31
9. Si los siguientes números están en sucesión geométrica lineal:
15. Indicar el menor de cuatro términos de una sucesión geométrica lineal creciente, sabiendo que la suma de sus extremos es 140 y la suma de sus términos centrales es 60.
b) 128 e) 192
c) 168
20. Se escriben de corrido los siguientes números naturales:
12345678910111213……585960. Se decide anular cien cifras escritas, de tal manera que juntando las cifras que quedan (sin alterar el orden) se forma un número, el mayor posible. ¿Cuál es el número? Dar como respuesta la suma de sus cifras. a) 20 d) 80
b) 40 e) 100
c) 70
www.trilce.edu.pe 105
Tarea domiciliaria 1. En cada caso, hallar el término pedido e indicar la suma de los mismos.
• 5; 8; 11; 14; ...; t20 • 2; 9; 16; 23; ...; t100 a) 765 d) 789
6. Hallar el segundo término negativo de dos cifras de la siguiente sucesión:
b) 756 e) 769
318; 311; 304; 297;...... a) –4 d) –25
c) 757
b) –11 e) –15
c) –18
7. En la siguiente sucesión: 10; 5; 5; 12; 28; ... 2. Calcular la suma de los tres términos que tiene la figura 55, considerando la secuencia indicada. 3
7
5
1 f(1) a) 687 d) 652
11 13 9
9
5 f(2) b) 657 e) 670
a) 75 d) 150
... ...
f(3) c) 675
3. Calcular el total de cuadriláteros que contengan como máximo dos regiones simples hasta la fila 25.
→ F(4)
a) 450 d) 375
c) 1450
Ciclo UNI 106
c) 20
b) 470 e) 325
c) 405
10. ¿Cuántas esferas se podrán contar en el arreglo número 50?
; f(1)
; f(2)
a) 2344 d) 2450
b) 2n2 + n + 2 d) n2 – n + 1
5. Luis comienza a comer fresas de una huerta de la siguiente manera: el primer día come 4 fresas, el segundo día come 7 fresas, 11 el tercer día, 16 el cuarto día y así sucesivamente, hasta que cierto día se da cuenta que el número de fresas que comió ese día era 10 menos que el triple de las que comió el décimo día. ¿Cuántos días han transcurrido hasta ese cierto día? b) 19 e) 16
c) 11
• 4; 7; 12; 19; 28; ...; t10 • 1; 3; 8; 16; 27, ...; t15
4. Los términos de la sucesión definidos por: tn = 8n2 – 6n + 3 ocupan los lugares impares de una nueva sucesión, y los términos de la sucesión definidos por tn= 8n2 + 2n + 2 ocupan los lugares pares de la misma nueva sucesión. ¿Cuál es el término enésimo de la nueva sucesión formada?
a) 18 d) 24
b) 13 e) 14
9. En cada caso, hallar el término pedido e indicar la suma de los mismos.
→ F(1)
a) 2n2 – n + 2 c) n2 – n + 3 e) 2n2 + 2n + 1
c) 222
¿Cuántos de sus términos de tres cifras terminan en 6? a) 12 d) 10
→ F(2) b) 1225 e) 97
b) 186 e) 200
8. En la siguiente sucesión : 2; 9; 16; 23; ...
→ F(3)
a) 1230 d) 1200
Hallar la semisuma de los dos primeros números que resulten mayores que 100.
... f(3)
f(4)
b) 2550 e) 2346
f(5)
...
c) 2354
11. Dadas las sucesiones: 11 9 27 • S1: 3; 3; ; ; ; ... 3 2 5 3 4 5 6 • S2 : ; ; ; ; ... 2 3 4 5
Hallar la diferencia de los términos enésimos de las mismas. n3 + 2 n3 n3 + 1 c) b) a) n(n +1) n +1 n +2 n3 – 2 n3 + 2 e) d) n(n +1) n(n +1) Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 12. Un poeta bastante especial escribe un poema de 30 párrafos bajo las siguientes condiciones: en el título usa dos palabras, en el primer párrafo emplea tres palabras, en el segundo párrafo seis palabras, catorce palabras usó en el tercer párrafo, treinta en el cuarto párrafo y así sucesivamente. ¿Cuántas palabras escribe en el párrafo 18? a) 2774 d) 2890
b) 2345 e) 3456
c) 2567
13. En un laboratorio se estudian dos tipos de bacterias por separado. Las del tipo Axis, el primer día son 3, el segundo aumentan a 6, el tercer día son 11, el cuarto son 18 y así sucesivamente. Las del tipo Pexim, el primer día son 10, el segundo son 11, el tercer día son 13, el cuarto son 16 y así sucesivamente. ¿En qué día las bacterias del tipo Axis son el doble de las del tipo Pexim? a) 11 d) 23
b) 15 e) 18
c) 13
b) 1450 e) 1550
c) 1520
15. Dadas las siguientes sucesiones: • S1: 11; 18; 25; 32; ...; 844 • S2: 4; 13; 22; 31; ...; 1 165
1; 6; 40 ; 277; 1 935; ... a) 13 545 d) 13 530
b) 13 540 e) 13 525
c) 13 535
17. ¿Qué número continúa?
11; 12; 26; 81; 328; .... a) 1312 d) 1454
b) 1645 e) 984
c) 1640
18. Hallar los tres términos que continúan en la siguiente sucesión:
4; 5; F; 8; 10; J; 13; 15; Ñ; 19; 20; .... a) S; 24; 25 d) T; 26; 25
b) S; 24; 26 e) T; 25; 27
c) T; 24; 26
19. ¿Qué número completa coherentemente la siguiente secuencia?
14. Calcule la suma de cifras del vigésimo término de la sucesión de números tetraédricos que aparecen en el Triángulo de Pascal. a) 1420 d) 1540
16. ¿Qué número continúa en la siguiente secuencia?
1; 11; 21; 1 211; 111 221; 312 211; ... a) 312 213 d) 132 231
b) 133 122 c) 13 112 221 e) 13 111 221
20. Calcular: 4 × 22 + 8 × 32 + 12 × 42 + ... (2002 sumandos) 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ... + (2002 sumandos) a) 2002 d) 1
b) 4004 e) 8
c) 6011
¿Cuántos términos son comunes a ambas? a) 12 d) 14
Central: 619-8100
b) 13 e) 10
c) 16
www.trilce.edu.pe 107
Serie numérica Se denomina serie numérica a la adición indicada de los términos de una sucesión numérica. Al resultado de la adición si es que este existe se le llama suma o valor de la serie. Ejemplo: Si tenemos la sucesión: 4; 7; 10; 13; 16; ...; (3n + 1); ... La serie asociada a ella será: 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + ... + (3n + 1) + ... Puede observarse que el término enésimo de la sucesión dada es: tn = 3n + 1 Entonces, recordemos que podemos escribir la serie dada de forma abreviada empleando la notación sigma que denota "sumatoria". Así:
S = S (3n + 1) = 4 + 7 + 10 +13 + ... (3n + 1) n
n
tn n=1
n=1
En general: • •
Los límites: Se les asigna valores que pertenecen a los naturales. El límite superior es mayor o igual que 1: n ≥ 1.
Para un mejor análisis de los distintos casos que se presentan, hemos dividido el tema en dos capítulos: Series numéricas I: Series notables Series numéricas II: Series especiales
Principales series notables n
S
1.
n=1
n
S
2.
3.
4.
Ciclo UNI 108
n=1
n
S
n=1
n
S
n=1
k ⇒ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =
n(n + 1) 2
(2k – 1) ⇒ 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2
k2 ⇒ 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 =
k3 ⇒ 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 =
n(n + 1)(2n + 1) 6
n(n + 1)2 2 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 5. Serie de los números triangulares:
... 1
3
6
10
...
↓
↓
↓
1
1+2
1+2+3
1+2+3+4
...
1×2 2
2×3 2
3×4 2
4×5 2
...
↓
↓
Sn =
↓
↓
↓
↓
1×2 2×3 3×4 4×5 n(n + 1) n(n + 1)(n + 2) + + + + ... + = 2 2 2 2 2 6
Series especiales •
Serie geométrica decreciente de infinitos términos: a = primer término
a So = 1–r
r = razón geométrica 0
•
Suma de términos de una sucesión recurrente:
Dada la siguiente sucesión polinómica: a1
;
a2
;
a3
;
a4
;
a5
;
b1
;
b2
;
b3
;
b4
;
...
c1
;
c2
;
c3
;
...
d1
;
d2
;
r
;
...
...
;
an
...
Entonces, la suma de los términos de dicha sucesión se obtiene a partir de: n
n
n
n
n
Sn = a1C1 + b1C2 + c1C3 + d1C4 + rC5 Donde: n = Número de términos
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 109
Problemas resueltos 1. Calcular el valor de "S":
4. Si:
S = 1 + (1 + 4) + (1 +4 + 7) + (1 + 4 + 7 + 10) + ... (30 términos)
1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 =
Resolución:
Entonces, el valor de (n + 10a – 3b) es:
Resolviendo:
30
30
30
tn = 7n – 6
Para hallar el total de términos:
S = 1 × C1 + 4 × C 2 + 3 × C 3
7n – 6 = 78
S = 13 950 Rpta.: 13 950
n = 12
Luego: 12
2. Calcular la suma de todos los números desde la figura 1 hasta la figura 20. 3 1 5
9 5 7
11 9 13
(1)
(2)
(3)
...
Resolución: Sumando los números en cada caso: S = 9 + 21 + 33 + ... (20 términos) 123 123 + 12 + 12 20
20
S = 9 × C1 + 12 × C2
S = 2460
Rpta.: 2460
3. Calcular: 1 2 3 4 S= + + + + ... (20 sumandos) 2 × 3 3 × 5 5 × 8 8 × 12 Resolución: Descomponiendo cada fracción: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S = – + – + – + – ... + – 2 3 3 5 5 8 8 192 212 Simplificando: 1 1 105 = S= – 2 212 212
Ciclo UNI 110
S (7n – 6) =
n=1
n
S
n=1
(ax + b)
Igualando:
n = 12; a = 7; b = -6
Finalmente, reemplazando:
n + 10a – 3b <> 100
Rpta.: 100
5. Calcular el valor de "P": 7 17 43 P= + + + 12 72 432 ... Resolución:
105 212
(ax + b)
1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 123 123 123 +7 +7 +7
Rpta.:
x=1
Resolución:
S = 1 + 5 + 12 + 22 + ... (30 términos) 123 123 123 + 4 + 7 +10 123 123 + 3 +3 Luego:
n
S
Descomponiendo cada fracción: 1 1 1 1 1 1 1 P= + + + + + + + ... + 3 4 9 8 27 16 8 Luego: ordenando las fracciones 1 1 1 1 1 1 + ... + + + + ... + P= + + 3 9 27 4 8 16
Resolviendo: 1 1 1 1 3 4 P= + = + =1 1 1 2 2 1– 1– 3 2
Rpta.: 1
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Problemas para la clase 1. Hallar el valor de "S"
7. Hallar el valor de la siguiente suma:
S = 1 . 0 + 2 . 2 + 3 . 6 + 4 . 12 + … + 20 380
S = S1 + S2 + S3 + S4 + ….. + S40
a) 41 230 d) 2 870
Donde: Sk = 80 + 78 + 76 + 74 + …….
Posee "k" sumandos.
b) 44 100 e) 42 680
c) 41 320
a) 44 800 d) 44 280
2. A los términos de la serie:
S = 2 + 5 + 8 + 11 + …
Se les agrega: 1; 2; 3; 4; …; respectivamente, de tal manera que la suma de los términos de la nueva serie sea igual a 1830. ¿Cuántos términos tiene la serie original? a) 20 d) 30
b) 24 e) 35
c) 28
c) 44 880
8. A lo largo de un camino habían "n" piedras separadas una distancia "d" una de otra. Una persona empezó por un extremo a llevar una por una todas las piedras al lugar donde se encontraba la última, llevando en cada viaje una sola piedra. Al terminar había recorrido 20 veces la distancia entre las piedras extremas. ¿Cuál era el número de piedras?
3. ¿Cuántos cuadrados se contarán en total hasta la figura 25?
...
b) 44 300 e) 44 780
a) 19 d) 22
b) 20 e) 23
c) 21
9. Hallar la suma de las seis primeras filas del siguiente arreglo triangular: 1
(1)
(2)
a) 1235 d) 1425
(3)
b) 1225 e) 1255
b) 385 e) 390
c) 1325
c) 380
5. Calcular el valor de "M":
10. En una canasta hay 60 duraznos. Matías los va colocando de la siguiente manera: 1 en la primera fila; 2 en la segunda fila; 3 en la tercera fila y así sucesivamente. ¿Cuántos duraznos sobrarán en la canasta? a) 7 d) 8
M = 9 + 12 + 17 + 24 + …… + 177 a) 983 d) 756
b) 923 e) 955
c) 477
2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 M
O
¿Cuál es la suma de los términos de la fila 17? a) 1089 d) 1409
Central: 619-8100
b) 1890 e) 1500
c) 5
Hallar: S = S1 + S2 + S3 + … + S20 a) 1440 d) 1640
1
M
b) 9 e) 12
11. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n
6. En el siguiente arreglo
25 49 81 121 169 225 289 361 N M O a) 12 341 b) 13 451 c) 12 357 d) 12 457 e) 13 552
...
4. De una hoja cuadriculada se corta un cuadrado de 10 × 10. ¿Cuántos cuadrados en total se pueden contar en dicho cuadrado? a) 375 d) 395
9
c) 1099
b) 1550 e) 1340
c) 1540
12. Un comerciante vende el jueves 9 naranjas, el viernes 20 naranjas, el sábado 31 naranjas y así sucesivamente; mientras que otro comerciante vende el jueves 4 naranjas, el viernes 16, 28 el sábado y así sucesivamente. ¿A los cuántos días venderán ambos la misma cantidad de naranjas? a) 10 d) 11
b) 12 e) 16
c) 14 www.trilce.edu.pe 111
13. Se tienen "n" cuadrados concéntricos; el lado de cada cuadrado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Si la suma de las diferencias de los lados de los cuadrados 3 y 1; 4 y 2; 5 y 3; 6 y 4; … es 396, calcular la suma de las áreas de los "n" cuadrados. Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado. a) 27 d) 30
b) 28 e) 31
c) 29
17. Calcular el valor de la siguiente suma: 1 4 9 16 S = + 2 + 3 + 4 + ... 7 7 7 7 14 14 9 b) c) 9 5 14 14 5 d) e) 13 14 a)
18. Si:
n
S
14. Calcular el valor de "P":
P = 1 – 4 + 9 – 16 + 25 – 36 + …
Si se sabe que tiene (2n + 1) términos. a) n(2n+1) b) 2n(2n+1) c) n2+3n+1 d) (n+1)(2n+1) e) (n+1)(2n–1)
5 13 35 + + + ... 6 36 216
a) 3,8 d) 2,5
b) 4,5 e) 2,6
S
x=1
n
S
x=2
x2
n
–
S
x = 11
19
S
x=1
b) 8030 e) 8270
a) 10660 d) 9149
n
S
x=2
b) 8(m – 1) e) 8(m + 1)
c) 3,5
x2 c) 9m
(2x – 1)2
b) 9139 e) 10109
c) 7770
20. Hallar el valor de:
5; 12; 25; 44; 69; …; 1 164 a) 8230 d) 8130
n
19. Calcular:
16. Calcule la suma de los términos de la siguiente sucesión:
x2 = m
Calcular
a) 9(m – 1) d) 9(m + 1)
15. Calcular: S=2+
x=1
c) 8400
12
S
n=2
a) 720 d) 728
n
S
m=1
(2m) b) 650 e) 736
c) 726
Tarea domiciliaria 1. Hallar al suma de los "n" primeros números pares mayores que 13. a) n2 – 13 c) 13n2 – n e) n2 – 13n
b) n2 + 13 d) n2 + 13n
2. La suma de los (n + 1) primeros números naturales mayores que 15 es: a) n2 + 17n + 18 c) n2 – 16 e) n2 + 1
Ciclo UNI 112
b) n2 + 17n – 16 d) n2 + 17n + 16
3. Entre dos números cuadrados consecutivos hay 42 números enteros. Determinar el mayor de dichos números. a) 432 d) 483
b) 421 e) 485
c) 521
4. Si: 1 + 8 + 15 + 22 + ... + 78 =
n
S
x=1
(ax + b)
Entonces el valor de (n + 10a – 3b) es: a) 88 d) 82
b) 100 e) 112
c) 30
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 5. Hallar la suma de las áreas de los infinitos círculos formados, tomando como diámetro el radio de la circunferencia anterior.
11. Hallar la suma total del siguiente arreglo numérico: 1 3 + 5 5 + 7 7 + 9 * * * * * * * * * 19 + 21 a) 1 065 d) 1 095
12 .....
a) 46 d) 48
b) 45 e) 51
c) 47
6. Un abuelo tiene 30 nietos y repartió cierta cantidad de caramelos de la siguiente forma: al primero le dio 10, al segundo 12, al tercero 14 y así sucesivamente. ¿Cuántas bolsas de caramelo ha tenido que comprar el abuelo, si cada bolsa trae 25 caramelos? a) 46 d) 48
b) 45 e) 51
b) 492 e) 486
c) 494
8. Hallar el valor de "S", si se sabe que: S = 2 + 7 + 28 + 63 + 126 + ... Posee 25 sumandos: b) 105 646 e) 106 756
c) 105 626
9. Sabiendo que: Sx = 202 + 192 + 182 + 172 + ... 1444442444443 "x" sumandos Calcular: S = S1 + S2 + S3 + S4 + ... + S20 a) 2 d) 8
Calcular: S1 + S2 + S3 + ... + S20 a) 1540 d) 400
b) 4 e) 12
c) 6
c) 2000
13. Hallar "S" en: S = 2 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + ... + 20 + 20 + ... + 20 1442443 10 sumandos a) 700 d) 750
b) 710 e) 770
c) 730
S = 1 + 1 + 3 + 7 + 13 + ... 14444244443 20 sumandos a) 2500 d) 2300
b) 2570 e) 2270
c) 2350
15. Calcular el valor de "E": 1 1 1 1 1– 2 1– 2 1– 2 1– 2 2 3 4 ... n E= [1 + 2 + 3 + 4 + ... + n] 1 a) 2n b) n2 c) 2 n d) n3 e) n3 – 1 16. Se conoce que: Mk = 0,5 × (10k + 1 + 8). Hallar la suma de cifras de: S = M1 + M2 + M3 + ... + M20 a) 80 d) 99
b) 86 e) 607
c) 89
17. Calcular:
10. Calcular: 12 + 52 + 92 + 132 + ... 14444244443 10 sumandos
a) 7320 d) 5930
a) 5736 d) 5830
Central: 619-8100
b) 1620 e) 210
14. Calcular:
3 + 6 + 11 + 18 + 27 + ... + n = 3 839
a) 105 636 d) 106 546
13 * * * * * * * * * 25 + ... + 37 c) 1 035
12. Si: Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n
c) 47
7. Hallar "n": a) 491 d) 476
+ 9 + 11 + * * * * * * * * * + 23 + b) 1 045 e) 1 075
b) 4810 e) 4930
c) 4910
3 + 9 + 19 + 33 + ... 14444244443 20 sumandos b) 5840 e) 5760
c) 5710
www.trilce.edu.pe 113
18. Hallar el valor de la siguiente serie: E = 1 × 5 + 2 × 6 + 3 × 7 + ... + 10 × 14 a) 610 d) 606
b) 609 e) 607
c) 605
a) 2,85 d) 4,99
Ciclo UNI 114
1 1 1 + + + ... + ∞ 8 16 32 b) 2,25 e) 3,25
29 30 33 b) c) 30 33 10 10 33 e) d) 99 18
a)
19. Calcular: K=2+
20. Hallar el valor de "S": 1 1 1 1 + + S= + ... + 3 × 6 6 × 9 9 × 12 30 × 33
c) 2,65
Colegios
TRILCE
Problemas para la clase 1. Resolver: S = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + 39 × 40 a) 21 320 d) 21 520
b) 21 420 e) 21 450
c) 23 420
2. Hallar la suma de los primeros (2n + 5) números triangulares. (2n + 3)(n – 3)(2n + 7) a) 3 (2n + 3)(n + 3)(2n + 7) b) 3 (2n + 5)(n – 3)(2n + 7) c) 3 (2n + 3)(n + 3)(2n – 7) d) 3 (2n – 3)(n – 3)(2n + 7) e) 3 3. Resolver: S=1×2×3+2×3×4+3×4×5+ ... + 45 × 46 × 47
7. Matías ingresa a trabajar en una tienda con la condición de que se le pagará por cada artículo que vende S/. 8 más que la cantidad de artículos vendidos. Si el primer día vendió un artículo y cada día vende un artículo más que el día anterior, ¿cuántos soles cobrará por los 32 días que trabajó? a) 15 664 d) 15 670
b) 26 e) 29
9. Hallar el valor de la siguiente suma: 7 7 7 + + + (15 términos) S= 2×5 5×8 8 × 11 106 103 105 b) c) 95 95 94 107 e) Ninguna d) 97
a)
c) 27
10. Calcular:
4. Resolver:
30
M = 1 × 25 + 2 × 24 + 3 × 23 + ... + 25 × 1 a) 2455 d) 2355
b) 2345 e) 2835
H=4
c) 2925
c) 9765
6. Hallar el valor de "M": 1 (1.199+2.198+3.197+... + 50.150) M= 17.499 a) 20 d) 35 Central: 619-8100
b) 25 e) 40
k=4
[k(k + 1)]–1
26 23 26 b) c) 31 31 37 28 27 d) e) 31 31
P = 3 × 17 + 4 × 18 + 5 × 19 + ... + 24 × 38 b) 9890 e) 9895
S
a)
5. Resolver: a) 9067 d) 9053
c) 15 660
8. Hallar la suma de las inversas de los primeros 35 números triangulares. 34 34 35 a) b) c) 19 13 18 23 35 d) e) 13 23
Dar como respuesta la suma de cifras del resultado. a) 25 d) 28
b) 15 667 e) 15 650
c) 30
11. Si: a n = 2n3 – 3n2 + 2n Hallar:
S = a1 + a2 + a3 +.......+ a20 a) 80 010 d) 81 010
b) 90 010 e) 82 010
c) 85 010
www.trilce.edu.pe 115
12. Hallar el valor de "E": 2 3 4 5 + + + ... E=1+ + 5 25 125 625
16. ¿Cuántos palitos se usarán hasta la figura 40?
25 25 24 b) c) 19 16 17 28 23 d) e) 19 19
a)
...
13. Calcular el valor de: 1 1 1 + ... + S= + 1×6×9 2×9×12 10×33×36 65 64 65 b) c) 2 317 2 376 2 376 68 65 e) d) 2 379 2 380
a)
14. ¿Cuál es la suma de la serie? 1 1 1 S= + + + ... + 2×4×6 4×6×8 6×8×10 1 40×42×44 115 112 15 b) c) 3 872 3 579 3 579 112 120 d) e) 3 872 2 380
a)
15. Hallar el valor de la serie: N = 3 + 33 + 333 + 3 333 + ... + 3333 ... 3333
F(1) a) 67 090 d) 65 080
a)
c)
e)
a) 20 090 d) 20 980
b) 20 955 e) 20 850
c) 20 890
19. Calcular: H=
99
S
k=1
k+1 – k k2 + k
2 4 2 c) a) b) 7 9 9 9 7 d) e) 10 9 20. En una huerta hay 30 caballones, cada uno de ellos tiene 16 m de largo y 2,5 m de ancho. Durante el riego, el hortelano lleva los cubos de agua desde el pozo situado a 14 m del extremo de la huerta y da la vuelta el caballón por el surco, el agua que carga cada vez le sirve para regar un solo caballón. ¿Cuál es la longitud de camino que recorre el hortelano para regar toda la huerta? Nota: El camino comienza y termina junto al pozo. a) 4225 d) 4125
116
c) 68 080
18. Una pelota cae desde una altura de "H" metros y en cada rebote se eleva los 2/3 de la altura de la cual cae. Calcular qué altura alcanza en el rebote número 10 y el recorrido total hasta que se detiene. 2 2 2 a) 10H; 3H b) 10H; 4H c) 9H; 3H 3 3 3 29 2 10 H; 4H e) H; 5H d) 3 3
Ciclo UNI
b) 67 080 e) 69 090
P=1 × 3 × 5 + 2 × 5 × 8 + 3 × 7 × 11 + 4 × 9 × 14 + ... (10 términos)
10n + 1
– 9n – 10 + 9n – 10 b) 27 27 n + 1 n + 1 10 – 9n + 10 10 + 9n + 10 d) 27 27 n + 1 10 – 9n – 10 25
F(3)
17. Hallar el valor de:
Sabiendo que la misma tiene "n" sumandos. 10n + 1
F(2)
b) 4555 e) 4560
c) 4565
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Tarea domiciliaria 1. Hallar la siguiente suma (dar la suma de cifras del resultado). 2 + 3 + 10 + 15 + 26 + ... + 1 295 a) 12 d) 15
b) 14 e) 18
c) 16
2. Hallar la suma de: R = (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + (x + 7) + ... 1444445542445544443 "n" sumandos
7. Calcular la suma de las áreas de los infinitos rectángulos así formados (tomando como lados la mitad de los lados del rectángulo anterior). Considerar el rectángulo mayor.
O''
Para: x = (n – 2) a) n(n + 1) d) 2n(n – 1)
b) n2 + 2n e) n(n – 1)
c) n2
3. Hallar la suma total: 1 2 3 4 S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... 4 4 4 4 4 5 7 c) a) b) 9 11 13 8 3 d) e) 17 19
O
8m O'
12 m a) 100 m2 d) 112
b) 128 e) 110
c) 108
8. ¿Cuántos hexágonos regulares se formarán al unir los centros de las circunferencias, tal que en el interior de cada hexágono haya solamente una circunferencia?
4. Calcular el valor de "E", si: 144424443 1 1 1 1 1– 2 1– 2 1– 2 1– 2 21 circunferencias 2 3 4 ... n a) 160 b) 171 c) 183 E= [1 + 2 + 3 + 4 + ... + n] d) 195 e) 177 1 1 a) b) c) n n n2 9. Hallar la suma total en el siguiente arreglo trian1 1 gular: d) 4 e) 5 n n 1 F 5. Hallar la suma total si hay 15 filas: 1 1 1 1 1 M
+ + + +
a) 1920 d) 980
2 2 + 3 2 + 3 + 4 2 + 3 + 4 + 5 b) 743 e) 1240
O c) 680
3
1
2
F2 5 1 4 F3 7 2 3 6 F4 9 4 5 6 8 F5 F N O 20 a) 14 836 b) 15 311 c) 15 920 d) 16 745 e) 15 486 10. ¿Cuántos cuadrados se contarán en la figura 30?
6. Hallar el valor de "S" en: 1 3 5 7 + + + ... S= + 9 27 81 243 3 2 1 b) c) 10 3 3 1 1 d) e) 6 9
a)
Central: 619-8100
... (1) a) 115 d) 126
(2) b) 123 e) 121
(3)
...
c) 118
www.trilce.edu.pe 117
11. En la siguiente distribución triangular, hallar la suma de todos los términos de la vigésima fila. 1 2 7
5 8
N a) 4030 d) 4000
6 9
10 O
b) 4010 e) 4040
c) 4020
12. Calcular la diferencia de bolitas blancas y negras que habrán en la figura 30.
F(1) a) 434 d) 435
F(2)
F(3)
b) 430 e) 432
F(4) c) 428
13. Un camionero lleva ladrillos de un depósito a su casa, lleva en la primera 28 pero se le caen 7, entonces decide aumentar 16 ladrillos por viaje con respecto a cada viaje anterior, pero las caídas aumentan de viaje en viaje 4 ladrillos. Si desea llevar 750 ladrillos, ¿cuántos viajes debe hacer? a) 10 d) 11
b) 9 e) 12
c) 8
14. La suma de 20 números pares consecutivos es 580. Hallar la suma de los 19 números impares comprendidos entre estos 20 números pares. a) 530 d) 541
b) 560 e) 513
69 + 67 + 65 + 63 + ... + x = 1 000 a) 33 d) 43
3
4
16. Hallar el valor de "x"; b) 35 e) 31
c) 21
17. ¿Cuántas campanadas da un reloj en un día dando en cada hora tantas campanadas como la hora marca en ese instante y cada media hora que marca da una campanada? a) 324 d) 180
b) 300 e) 310
c) 24
18. Sumar: 1 5 19 65 S= + + + + ... 6 36 216 1 296 5 3 2 a) b) c) 6 4 3 1 1 d) e) 2 6 19. Calcular la siguiente expresión: N=
33
7 S 13 + k=8
a) 9 d) 6
25
21 3 + S S 4 k = 6 10 k = 11
b) 8 e) 5
c) 7
20. Determinar la suma de las áreas de los infinitos triángulos rectángulos formados como muestra la figura, (los vértices son puntos medios del lado del triángulo anterior).
d) 551
15. En la siguiente figura se han contado en total 975 puntos de contacto. Hallar el número de esferas colocadas en la base.
6a
4a a) 24 d) 43
Ciclo UNI 118
b) 25 e) 31
c) 26
a) 14a2 d) 20a2
b) 18a2 e) 15a2
c) 16a2
Colegios
TRILCE
Introducción En la vida diaria es común hacer un planeamiento sobre las actividades que vamos a realizar, sin embargo, existen casos en los que las situaciones imprevistas se presentan, cambiando toda nuestra manera de enfocar una situación en particular. En el presente tema se hace un análisis sobre aquellas situaciones imprevistas, relacionándolas con el uso de las operaciones matemáticas básicas. Dichos imprevistos conllevan a que no se pueda plantear una ecuación de manera directa (característica más notoria de este tema) pues es importante tomar en cuenta los cambios ocurridos. Muchas de las situaciones abordadas en este tema se refieren a situaciones comerciales.
Problemas resueltos 1. Una persona deja una herencia tocándole a cada hijo S/. 840. Habiendo fallecido uno de ellos, a cada uno de los restantes se les da S/. 1120. ¿Cuál es el número de hijos? Resolución:
Como al final cada hijo recibe S/. 1120 más de lo que recibía al inicio, ello se debe a que los S/. 840 del que falleció se reparten entre sus hermanos. Luego:
840 ÷ 280 = 3
Finalmente, son 4 hijos
Rpta.: 4
2. Se compraron 65 vasos a S/. 150 cada uno. Después de vender 17 con una ganancia de S/. 30 por vaso, se rompieron 5. ¿A cómo debo vender cada uno de los restantes para obtener una ganancia total de S/. 2 125? Resolución: • Gasto total: 65 × 150 = S/. 9750 • Para la primera venta se recauda:
17 × (150 + 30) = S/. 3060
Resolución: • Si por cada docena se lleva 13 libros, entonces al llevarse 780 libros compró 720 libros. • Si regala 30 libros de los 780 le quedan 750 libros. Finalmente: 750 × precio = 720 × S/. 50 + 6000 → Precio = S/. 56 Rpta.: 56 4. Silvia persigue a Emilio que lleva 130 pasos de adelanto. Silvia da 9 pasos mientras Emilio da 8 y 5 pasos de Emilio equivalen a 4 de Silvia. ¿Cuántos pasos dará Silvia para alcanzar a Emilio? Resolución: Considerando la información:
• Aún quedan por vender 43 vasos y falta recaudar:
Silvia
Emilio
9 pasos
8 pasos
36 pasos 32 pasos
4 pasos
5 pasos
36 pasos 45 pasos
9750 – 3060 = 6690 soles para recuperar el gasto.
Finalmente: 43 × precio = 6690 + 2125 → Precio = S/. 205
3. Un comerciante compra libros a S/. 0,50 cada uno. Por cada docena le obsequian un libro, obteniendo en total 780 libros. Si decide regalar 30 libros, ¿a qué precio debe vender cada libro para ganar S/. 6000?
Rpta.: 205
Central: 619-8100
(igualando los pasos de Silvia)
Silvia
Emilio
Se deduce que cada 36 pasos se acerca: 45 – 32 = 13 pasos a Emilio www.trilce.edu.pe 119
Resolución:
Finalmente: 36 pasos
→
Se acerca 13
?
→
Se acerca 130
? = 360 pasos
De los datos:
Recaudación Pasaje + Viajaron Llegaron seguro
228
Rpta.: 360
5. En un bus Lima–Ancón el pasaje único es 5 soles y por cada persona que baja suben tres. Si llegó a Ancón con 28 pasajeros y además se recaudó 228 soles, ¿cuántos pasajeros salieron del paradero de Lima, si además del pasaje cada pasajero debe abonar un sol por el seguro?
6
38
Bajaron Subieron (trayecto)
28
10
30
Viajaron 38 personas pero en el trayecto suben 30, es decir, del paradero inicial salieron 8.
Rpta.: 8
Problemas para la clase 1. A un matrimonio masivo asisten 300 personas entre contrayentes y testigos (4 por pareja). Si de los testigos, 70 eran mujeres. ¿Cuántos hombres participaron en dicha reunión? a) 120 d) 180
b) 300 e) N.A
b) 37 e) 73
c) 83
3. Una frutería debería vender 300 naranjas a razón de 5 por un dólar y otras 300 naranjas a razón de 3 por un dólar. Pero si las vendió todas a 4 por un dólar, ¿cuánto ganó o perdió? a) Ganó 10 dólares b) Perdió 10 dólares c) No gana ni pierde d) Faltan datos e) Ninguna de las anteriores. 4. Lidia compra 6 docenas de globos a S/. 70 c/u, pero recibe 13 globos por docena, en la factura le hacen además un descuento de S/. 1300. Si vende c/u a S/. 75, ¿cuánto ganará vendiéndolos todos? a) 1960 d) 2220
b) 1690 e) 2130
c) 2110
5. Ocho amigos tienen un presupuesto bimensual de S/. 6400 en Cuzco. Si 6 de ellos viajan de vacaciones a Aruba por 10 meses y gastan 1/3 de lo que gastaban en Cuzco, ¿cuánto gastaron en los 10 meses? a) 16 000 d) 8000 Ciclo UNI 120
b) 8400 e) 7000
a) 20% d) 140%
c) 400
2. A una reunión bailable asistieron 120 personas. Si todos bailan a excepción de 26 mujeres, ¿cuántas mujeres hay en total? a) 26 d) 91
6. Una señora compra 2750 huevos por 1000 soles. Pero se le rompen 350 y vende los restantes a 7 soles la docena. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia?
c) 16 400
b) 40% e) 150%
c) 120%
7. Para ganar S/. 2000 en la rifa de una grabadora, se imprimieron 640 boletos. Sin embargo, solo se vendieron 210 boletos, originándose una pérdida de S/. 150. Hallar el valor de la grabadora. a) 1000 d) 3600
b) 1500 e) 1200
c) 2000
8. Tres equipos de fútbol: "U", Alianza (Al) y Cristal (SC) después de 3 partidos en los cuales cada uno jugó con los otros dos, tienen anotados los siguientes goles a favor (GF) y goles en contra (GC).
G.F.
G.C.
U
6
3
Al
3
6
SC
4
4
¿Cuál fue el resultado del partido "U" con "SC"? a) 2 – 1 d) 1 – 1
b) 1 – 0 e) 3 – 1
c) 3 – 2
9. Un auto recorre 8000 km permutando sus llantas (inclusive la de repuesto). ¿Qué distancia recorre cada llanta para que todas tengan igual desgaste? a) 8 000 d) 5 600
b) 2 790 e) 6 870
c) 6 400 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 10. Se tiene un montón de 84 monedas de 10 g cada una y otro de 54 monedas de 25 g cada una. Halle el número de monedas que debe intercambiarse, para que ambos montones adquieran el mismo peso a) 14 d) 17
b) 15 e) 18
c) 16
11. Un vendedor compró algunos radios por 5300 dólares y luego queriendo tener una ganancia de 50 dólares en cada radio los vendió todos por 5700 dólares. ¿Cuántos radios compró? a) 6 d) 18
b) 8 e) 20
c) 15
12. Un extranjero se aloja en un hotel pagando $ 24 diarios por la habitación y $ 60 por habitación y comida. Al cabo de 36 días el extranjero se retira del hotel pagando $ 1 890; suma en la que se incluye $ 192 por gastos extras efectuados durante su estadía. Si el administrador le hizo una rebaja de $ 1 por cada $ 10. ¿Cuántos días comió el extranjero en el hotel? a) 29 d) 40
b) 30 e) 25
c) 35
13. El tiempo en el país de los soñolientos se mide de la siguiente manera: • Cada hora equivale a 1000 minutos normales • Cada día tiene 10 horas
El número de días que hay en un mes normal está entre: a) 2 y 3 d) 5 y 6
b) 3 y 4 e) 6 y 7
c) 4 y 5
14. Un biólogo observó el comportamiento de ciertos bichos y llegó a las siguientes conclusiones: * Existen dos tipos de bichos: LOS CARAPOCHOS y los MUTILONES. * Cada hora cada CARAPOCHO se comía 3 MUTILONES, seguidamente cada MUTILÓN se dividía en 4 nuevos MUTILONES.
Si en un cultivo empezamos con "x" CARAPOCHOS e "y" MUTILONES, ¿cuántos bichos habrán al cabo de 2 horas, si se cumplen las reglas dadas? a) 16y – 50x b) 16y – 70x c) 16y – 59x d) 4y – 15x e) 4y – 12x
15. Un cañón hace 35 disparos por hora y otro hace 24; sabiendo que entre los dos han hecho 518 disparos y cuando empezó a disparar el segundo, el primero llevaba disparando 3 horas, hallar cuántos disparos hizo el segundo. a) 413 d) 105
c) 168
16. Al comprar 10 manzanas me regalan 2 y al vender 15 regalo 1. ¿Cuántas debo comprar para ganar 24 manzanas? a) 120 d) 200
b) 150 e) 240
c) 180
17. Compré cierto número de ovejas por S/. 5600. Vendí 34 de ellas por S/. 2040 perdiendo S/. 10 en cada una. ¿A cuántos soles debo vender cada una de las restantes para ganar en total S/. 1960? a) S/. 100 d) 120
b) 140 e) 90
c) 125
18. Un comerciante compra 2200 botellas a S/. 27 el ciento y paga S/. 10,40 por el transporte de cada millar. ¿A cómo deberá vender el ciento para obtener una ganancia total de S/. 118,12; si por cada 100 botellas que vende regala 4, y 16 se rompieron en el camino? a) S/. 25 d) 45
b) 35 e) 55
c) 40
19. Un ganadero vendió 60 cabezas de ganado entre vacas y terneros, recibiendo S/. 216 000. Pero como necesitaba S/. 250 000 tuvo que hacer una venta complementaria a los mismos compradores. Y razona que si vende 8 vacas, le sobran S/. 2000, pero si vende 20 terneros le faltarían S/. 4000. ¿Cuántas vacas y cuántos terneros vendió al principio? a) 28 y 32 d) 36 y 24
b) 18 y 42 e) 36 y 44
c) 17 y 43
20. Un microbús hace el trayecto Lima-Callao. En cierto viaje recaudó S/. 33 000 por los pasajeros adultos y S/. 17 500 por los niños. En el trayecto se observó que por cada adulto que bajó subieron 3 niños y por cada niño que bajó subieron 2 adultos. Si al paradero final llegó con 20 adultos y 26 niños, ¿con cuántos adultos y niños salió del paradero inicial, si el pasaje de cada niño es S/. 500 y el de cada adulto es S/. 1100? a) 11y 6 d) 12 y 6
Central: 619-8100
b) 186 e) Ninguno
b) 10 y 7 e) 11 y 5
c) 12 y 5
www.trilce.edu.pe 121
Tarea domiciliaria 1. Manuel compró 40 ovejas por el valor de S/. 6000. Ha vendido algunas de ellas por el valor de S/. 1800, a S/. 120 cada oveja, perdiendo en cada una S/. 30. ¿A cómo debe vender cada una de las restantes para resultar ganando S/. 600 sobre lo pagado en la compra de todas? a) S/. 175 d) 170
b) 190 e) 180
c) 192
2. Para una instalación, un electricista proyecta cobrar $ 14 por cada lámpara, incluyendo el material y la mano de obra, pensando ganar $ 67,20; pero hizo una rebaja de $ 1,40 por cada lámpara y solo ganó $ 44,80. ¿Cuánto le costó el material y la mano de obra? a) S/. 156,8 d) 155,7
b) 183,2 e) 191,5
c) 175,6
3. Cuando compro, me regalan un cuaderno por cada docena y cuando vendo regalo 4 cuadernos por cada ciento. ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 1000? a) 720 d) 950
b) 960 e) 980
c) 970
4. Dos cirios de igual calidad y diámetro difieren en 12 cm de longitud. Se encienden al mismo tiempo y se observa que en un momento la longitud de uno es 4 veces la del otro y media hora después se terminó el más pequeño. Si el mayor dura 5 horas, ¿cuál era la longitud del más pequeño? a) 26 d) 27
b) 28 e) 35
c) 30
5. Un comerciante compró 500 vasos a S/. 2 cada uno y luego 6 docenas de vasos a S/. 60 cada una. Si vende todo por S/. 1932, ¿cuánto ganará en cada vaso? a) S/. 1 d) 2
b) 3 e) 1,5
c) 2,5
6. Un ómnibus de Lima a Chimbote cobra como pasaje único S/. 88. Se observa que cada vez que baja un pasajero, suben tres. El ómnibus llega a Chimbote con 49 pasajeros y con una recaudación de S/. 5607, incluido el seguro del pasajero que es de un sol por cada uno. ¿Cuántos pasajeros partieron de Lima? a) 20 d) 22 Ciclo UNI 122
b) 25 e) 28
c) 21
7. Dos depósitos contienen 2 587 y 1 850 litros de agua. Con una bomba se traslada del primero al segundo 4 litros de agua por minuto. ¿Después de cuánto tiempo uno contendrá el doble de litros que el otro? a) 278 d) 279
b) 277 e) 276
c) 275
8. Un comerciante compró 40 jarrones a S/. 70 cada uno. Después de haber vendido 12 con una ganancia de S/. 20 por jarrón se le rompieron 5. ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones, sabiendo que la utilidad fue de S/. 810? a) S/. 70 d) 72
b) 65 e) 110
c) 42
9. Se tienen 36 bolas del mismo tamaño y de un mismo peso a excepción de una bola que pesa más. Empleando una balanza de dos platillos, ¿cuántas pesadas como mínimo se deben de hacer para determinar la más pesada? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
10. Un comerciante compró artículos a 3 por S/. 35 y los vende a 5 por S/. 70. Si los 50 artículos que le quedan representan su ganancia, ¿cuántos artículos en total compró? a) 300 d) 350
b) 400 e) 450
c) 250
11. El automóvil de Julio recorre 36 km por galón de gasolina. Al malograrse su coche va de su casa a la fábrica en el auto de su compañero que lo recoge en la mañana y lo regresa en la tarde. Julio calcula que de lunes a jueves, ahorra en gasolina S/. 18. Si el galón de gasolina cuesta S/. 9, determinar la distancia de la fábrica a la casa. a) 8 km d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
12. Una liebre lleva una ventaja inicial de 60 saltos a un perro. La liebre da 4 saltos mientras el perro da 3, pero el perro en 5 saltos avanza tanto como la liebre en 8. ¿Cuántos saltos debe dar el perro para alcanzar a la liebre? a) 75 d) 900
b) 225 e) 800
c) 300
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 13. Un microbio por cada minuto que pasa se quintuplica. Si colocamos un microbio en un vaso, este lo llenaría en 45 minutos. ¿Cuántos minutos se demoran en llenar un vaso que tiene el quíntuple del volumen del anterior y además tiene 5 microbios en su interior? a) 46 min d) 48
b) 44 e) 49
c) 45
14. Se tiene un grupo de 54 fichas de 25 g cada una y otro de 84 fichas de 10 g cada una. ¿Cuántas fichas deben intercambiarse para que ambos grupos tengan el mismo peso? a) 12 d) 16
b) 17 e) 14
c) 15
15. Un comerciante compró cierto número de trajes por S/. 130 cada una y por cada 12 trajes que compró le regalaron 1. Vendió 60 trajes ganando S/. 50 en cada uno; 30 trajes, perdiendo S/. 50 en cada uno; se le echaron a perder 6 trajes y el resto lo vendió perdiendo S/. 30 en cada uno. ¿Ganó o perdió en total y cuánto? a) Perdió, S/. 2400 c) Ganó, S/. 1000 e) Ganó, S/. 3200
b) Ganó, S/. 1200 d) Perdió, S/. 2600
16. Un comerciante compró 2500 jarrones a $ 200 el ciento. En el camino se le quebraron 190 jarrones y después regala 5 por cada 100 que vendía. Determinar a cómo vendió el ciento, si al final ganó $ 1160. a) $ 250 d) 275
Central: 619-8100
b) 280 e) 290
c) 270
17. Jéssica compró limones a 4 por S/. 3 y los vende a 5 por S/. 7. ¿Cuántos limones debe vender para ganar S/. 130? a) 220 d) 280
b) 250 e) 190
c) 200
18. Un almacenista compró a un fabricante cierto número de objetos iguales a razón de S/.72 la docena y los vendió después a un comeciante a razón de S/. 70 la decena. El comerciante vendió los objetos al público a S/. 22 el par y resulta que ganó S/. 1260 más que el almacenista. ¿Cuánto cobró el fabricante? a) S/. 2300 d) 2520
b) 2540 e) 9760
c) 2620
19. Se quiere ceder un terreno de forma cuadrada cuya área es de 93 025 m2 con una cerca de 4 hileras de alambre. ¿Cuánto costará toda la obra, si el metro de alambre cuesta S/. 2 y la mano de obra total S/. 1000? a) S/. 17 600 b) 10760 d) 9640 e) 9760
c) 100760
20. Si "A" tuviera $ 17 menos, tendría $ 18. Si "B" tuviera $ 15 más tendría $ 38. Si "C" tuviera $ 5 menos, tendría $ 10 más que "A" y "B" juntos. Si "D" tuviera $ 18 menos, tendría $ 9 más que la diferencia entre la suma de lo que tienen "B" y "C" y lo que tiene "A". ¿Cuánto tienen entre los cuatro? a) $ 229 d) 129
b) 219 e) 249
c) 239
www.trilce.edu.pe 123
Introducción Plantear una ecuacion es una de las habilidades más importantes en la resolución de problemas. Consiste en la destreza para traducir el enunciado de un problema de un lenguaje escrito a un lenguaje matemático, estableciendo para ello una o más ecuaciones. Podemos concluir entonces, que plantear una ecuación es: Enunciado (Escrito)
Lenguaje matemático (Simbólico)
Para poder plantear una ecuación se debe tener en cuenta lo siguiente: • • •
Leer y comprender el enunciado del problema. Enfocar el problema relacionándolo con la realidad. Establecer la ecuación para luego resolver.
Problemas resueltos 1. Con 12 960 soles en billetes de 10 soles se pueden hacer tantos fajos de igual cantidad de billetes como billetes tiene cada fajo. ¿Cuál es el valor de cada fajo?
3. En un salón hay tantas alumnas por cada alumno, como alumnos hay. En total hay 420 personas. Hallar el número de alumnos.
Resolución:
Alumnos: b
Alumnas: b2
Cantidad de billetes por fajo Cantidad de fajos
Luego: 10n2 = 12 960
n n
Finalmente, cada fajo tiene 36 billetes de S/. 10
2. Un grupo de aves se aproxima a un grupo de postes; si en cada poste se posa una sola ave, faltaría un poste, en cambio si en cada poste se posan dos aves resultaría un poste de más. Hallar el producto de la cantidad de postes y la cantidad de aves. Resolución: Número de postes: a
Del dato: Luego:
Rpta.: 12
Ciclo UNI 124
Luego:
Aves = a + 1 Aves = 2(a – 1) a + 1 = 2(a – 1) a=3 Postes = 3 Aves = 4
b2 + b = 420 b = 20
Rpta.: 20
n = 36
Rpta.: 360
Resolución:
4. Un ganadero compró 30 caballos más que vacas, y tantos cerdos como vacas y caballos juntos, pagando por las vacas el doble que por los caballos; además, por 2 vacas pagó tanto como por 7 cerdos y gastó lo mismo en vacas como en cerdos. ¿Cuántos animales compró? Resolución: Caballos Vacas Cerdos Total Cantidad n + 30 n 2n + 30 4n + 60
Del dato:
Precio vaca = 7k 2 Precio = 7 Precio → Precio cerdo = 2k vaca cerdo Gastó lo mismo en vacas y cerdos:
n . 7k = (2n + 30) . 2k n = 20
Piden: 4n + 60 <> 140
Rpta.: 140 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 5. Pedro piensa: Si compro "x" cigarrillos me sobrarían "S" soles, pero si compro "S" cigarrillos necesito "B" soles más. ¿Qué cantidad de dinero tiene Pedro?
Resolución:
Sea: "n" el precio de un cigarrillo
Luego: "D" su dinero
xn = D – S
Sn = D + B
Resolviendo: D = Rpta.:
xB + S2 S–x
xB + S2 S–x
Problemas para la clase 1. Darío tenía 90 pelotitas y regaló 8 veces tantas pelotitas como las que no regaló. Calcular la quinta parte de las pelotitas que quedan. a) 10 d) 15
b) 2 e) 5
c) 16
2. Un matrimonio dispone una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/. 8 le faltaría S/.12 y si adquiere de S/. 5 le sobraría S/.15. ¿Cuántos hijos tiene el matrimonio? a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
3. En el aula, los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada uno. Si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitarán 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay presentes? a) 25 d) 42
b) 36 e) 49
c) 35
4. Del dinero que tengo, gasto la mitad de lo que no gasto y luego pierdo el doble de lo que no pierdo. Si sumara lo que gasto y pierdo obtendría 1 400. ¿Cuánto más perdí que gasté? a) S/. 800 d) 400
b) 600 e) 1800
c) 200
5. ¿Cuál es el número que es mayor que (2x–1) en la misma medida de que es menor respecto a (3 – 4x)? a) 2 – x d) 2 Central: 619-8100
b) 1 – x e) 1
c) x
6. Si compro "x" naranjas me faltarían "a" soles; pero si compro "y" naranjas (y < x) me sobran "b" soles. El dinero que tengo es: bx – ay bx + ay bx + ay a) c) b) x+y x–y x–y bx – ay bx – ay e) d) x+y x+y 7. La lavandería cobra "x" soles por lavar una camisa o "y" soles por un saco. Si en total gasté "z" soles y mandé "t" camisas, ¿cuántos sacos mandé? z–t z–t z – tx a) b) c) x + y x – y y tx e) Más de una d) z – y 8. Una prueba consta de 70 preguntas. Cada respuesta correcta vale 4 puntos, cada respuesta equivocada es un punto en contra y cada respuesta en blanco vale cero puntos. Un estudiante que ha rendido dicha prueba, ha obtenido 95 puntos, habiéndose comprobado que las respuestas buenas fueron el doble de las que dejó en blanco. ¿Cuántas equivocaciones cometió? a) 30 d) 25
b) 15 e) 10
c) 45
9. Un cubo que tiene "y" m de arista se sumerge en brea y luego se divide en cubitos de 9 m de arista. Si al final se obtuvieron 84 cubitos con las 2 caras pintadas, ¿cuál será el valor de "y"? a) 63 d) 90
b) 72 e) Ninguno
c) 81
www.trilce.edu.pe 125
10. Se ha comprado cierta cantidad de libros, unos a "m" soles cada uno y otros a "n" soles cada uno (m > n). El precio total de los libros más baratos es a/b partes del precio total de los libros más caros (a > b). Si por todo se ha pagado "Q" soles, ¿cuántos se comprarán de los más caros? Qb Qa Qbn b) c) a+b n(a + b) a + b Qb e) N.A. d) m(a + b)
a)
11. Con S/. 195 se compraron libros de 7; 8 y 13 soles, respectivamente. ¿Cuántos libros se compraron, si en total se adquirió el máximo número de libros y por lo menos se compró uno de cada precio? a) 23 d) 26
b) 30 e) 25
c) 24
12. Un poste de "a" metros de longitud está pintado de rojo y blanco. Si se pintan "b" metros más de blanco, la mitad del poste estaría pintado de rojo. ¿Cuántos metros de poste están pintados de blanco? a – 2b ab a–b b) c) 2 2 2 a a e) d) 2+b 2–b
a)
13. Sabiendo que por la compra de "a" camisas y 4 polos se pagó 119 soles, y que además la diferencia de precios entre 5 camisas y "a" polos es 34 soles, hallar el valor que debe tener "a" para que una camisa cueste lo mismo que un polo. a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
14. Un anciano deja al morir una herencia de "2mn" soles a un cierto número de parientes. Sin embargo, "m" de estos renuncian a su parte y entonces cada uno de los restantes se beneficia en "n" soles más. ¿Cuántos son los parientes? a) n d) 2m
b) m e) m+n
c) 2n
16. Una persona quiere comprar 450 pelotas o por el mismo monto 50 polos y 50 shorts. Si al final compró el mismo número de objetos de cada clase, hallar el número de shorts y polos comprados al final. a) 80 d) 90
b) 60 e) 120
c) 100
17. Del dinero que tengo, gasté la cuarta parte de lo que no gasté; de lo que no gasté, perdí la tercera parte de lo que no perdí; y del dinero que me queda, pagué la mitad de lo que no pagué. ¿Cuánto tenía, si lo que no gasté excede en S/. 30 a lo que debía? a) S/. 100 d) S/. 60
b) S/. 80 e) S/. 50
c) S/. 70
18. Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy y me quedaría sin dinero; pero en cambio, si ayer hubiera gastado la mitad de lo que gasté, hoy tendría para gastar S/. 10 más de lo que gasté realmente ayer. ¿Cuánto gasté ayer? a) S/. 10 d) S/. 9
b) S/. 5 e) S/. 8
c) S/. 7
19. Si te doy lo que a ti te falta para tener lo que yo tengo y tú me das todo lo que te pido, que es lo que me falta para tener el doble de lo que tienes, resulta que lo mío y lo tuyo estarían en la relación de 5 a 4. ¿En qué relación se encontraban nuestras cantidades iniciales? ta) 11:2 d) 11:7
b) 2:5 e) 6:4
c) 3:2
20. Luego de gastar exactamente la mitad de su dinero, Rafaela observa que tiene tantos centavos como soles tenía al entrar a la tienda, y tantos soles como la mitad de los centavos que había tenido. ¿Cuánto dinero (en centavos) tendría finalmente, si lograse ganar tantos centavos como soles tiene y tantos soles como centavos tiene, sabiendo que la cantidad que tenía al inicio es lo mínimo posible? a) 12 356 d) 14 233
b) 12 444 e) 14 498
c) 14 948
15. El doble de lo que me faltaría para tener lo que tú tendrías, si es que yo te diese S/. 5 sería igual a 6 veces más de lo que tengo. ¿Cuánto tengo, si tú tienes 3 veces más de lo que yo tengo? a) S/. 10 d) S/. 5
Ciclo UNI 126
b) S/. 20 e) S/. 50
c) S/. 40
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Tarea domiciliaria 1. César dice: "Yo tengo tantas hermanas como hermanos, pero mi hermana tiene el doble de hermanos que de hermanas. ¿Cuántos somos? a) 3 d) 6
b) 4 e) 5
c) 7
2. En una fiesta de cumpleaños hay tantas parejas bailando como hombres parados que están conversando y 30 mujeres no bailan. Las personas que no bailan son el triple de las mujeres que bailan y además hay 10 hombres más bailando que sentados. ¿Cuántos hombres bailan? a) 10 d) 15
b) 20 e) 30
c) 25
3. En una reunión la cuarta parte de los asistentes bailan, otros juegan y otros conversan. Si cuatro dejan de jugar y se van a bailar y dos de los que están bailando se van a conversar y uno de los que conversan se va a jugar, quedando los que juegan, bailan y conversan con igual cantidad de personas. ¿Cuántas personas hay en la reunión? a) 20 d) 40
b) 32 e) 24
c) 36
4. En dos salones hay igual número de personas por cada 5 personas que salen del primero; del segundo salón salen 3 para entrar al primero y uno se retira a su casa. Cuando hay 50 personas en el primero, resulta que en el segundo hay 20. ¿Cuántos había inicialmente en cada salón? a) 40 d) 90
b) 60 e) 100
c) 80
5. Al vender un artículo pensé ganar la mitad de lo que me costó, pero al momento de vender tuve que rebajar la mitad de lo que pensé ganar, por lo que gané 6 soles menos de lo que me costó ¿Cuántos soles me costó dicho artículo? a) 6 d) 8
Central: 619-8100
b) 9 e) 12
c) 10
6. A un anciano le preguntan por la edad de su hijo y responde: "Tiene tantas semanas, como mi nieto días". Luego le preguntan por la edad de su nieto, y responde: "Tiene tantos meses, como yo años"; y al preguntarle por su edad responde: "Los tres juntos sumamos exactamente 100 años". ¿En cuánto se diferencian las edades del hijo y el nieto? a) 60 d) 25
b) 30 e) 5
c) 35
7. Aún tengo tanto como la mitad de lo que he perdido. De no haber perdido, me hubiera sobrado tanto como el triple de lo que me falta hoy para comprar una casaca de S/. 50. ¿Cuántos soles tenía inicialmente? a) 80 d) 150
b) 75 e) 100
c) 110
8. Un caballero da a un mendigo tantas veces 15 centavos como soles llevaba en el bolsillo. Si aún le quedan S/. 170, ¿cuántos soles llevaba en el bolsillo? a) 180 d) 380
b) 200 e) 320
c) 250
9. Un cilindro de 1,8 de altura pesa vacío 15 kg y lleno de petróleo 95 kg. ¿A qué altura deberá llenarse para que su peso sea exactamente igual a su altura a nivel del agua expresada en centímetros? a) 25 cm d) 28 cm
b) 26 cm e) 29 cm
c) 27cm
10. Se tienen dos barriles con vino de diferente calidad. El primero contiene 20 litros y el otro 30 litros. Se saca de cada barril la misma cantidad y se echa en el primero lo que se sacó del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un barril a otro, si el contenido de ambos resultó de la misma calidad? a) 10 d) 15
b) 12 e) 9
c) 16
11. El costo de almacenaje diario en una aduana es 1/10 del valor de la mercadería. Un comerciante retira al final de cada día 1/5 de la mercadería almacenada inicialmente. ¿Cuál es el valor total del almacenaje si la mercadería cuesta S/. 200? a) S/. 70 d) S/. 90
b) S/. 60 e) S/. 50
c) S/. 80 www.trilce.edu.pe 127
12. Un camión normal emplea además de sus seis llantas normales, sus dos llantas de repuesto para recorrer una distancia de 2 800 km. ¿Cuál es el recorrido promedio de cada llanta en km? a) 350 d) 1500
b) 2100 e) 2300
c) 750
13. Son más de las dos sin ser las tres de esta madrugada, pero dentro de 40 minutos faltarán para las cuatro el mismo tiempo que transcurrió desde la una hasta hace 40 minutos. ¿Qué hora es? a) 2:20 am d) 4:15 am
b) 2:30 am e) 6:12 am
c) 2:10 am
14. Dos cajones al estar vacíos pesan igual. Uno de ellos se llena con 58 objetos de 10 kg cada uno y el otro con 44 objetos de 15 kg cada uno. ¿Cuántos objetos se deben intercambiar a fin de que ambos cajones pesen lo mismo? a) 15 d) 10
b) 12 e) 8
c) 20
15. Tres niños se reparten "a" canicas, del modo siguiente: el primero toma la mitad más una, el segundo la tercera parte de las restantes, el tercero se da cuenta que le quedaron el doble de las que tomó el segundo. Hallar el mínimo valor de "a" a) 8 d) 10
b) 6 e) 12
c) 4
16. Un kilogramo de monedas de 50 céntimos tiene un valor que es el doble que el de un kilogramo de monedas de 20 céntimos. Si una moneda de 20 céntimos pesa 8 gramos. ¿Cuántos gramos pesará una moneda de 50 céntimos? a) 10 d) 24
Ciclo UNI 128
b) 20 e) 12
17. Si el precio de un artículo se elevara en dos veces más, con cada 108 soles se compraría una docena y media menos. ¿Cuánto cuesta en soles, media docena de dicho producto? a) 27 d) 16
b) 24 e) 12
c) 36
18. Una persona gasta 1/n de su dinero, luego gasta 1/(n – 1) de lo que le queda, luego 1/(n – 2) del resto, luego 1/(n – 3) del nuevo resto y así sucesivamente hasta que por último gastó una cantidad "a" que viene a ser la mitad del último resto. ¿Cuánto tenía dicha persona inicialmente? a) na d) 3na
b) 2na e) 3na/2
c) na/2
19. Se llaman NÚMEROS TRÁNSICOS a aquellos que consecutivamente se van diferenciando uno del otro en (2x – 3a) unidades. Si se suman cinco de estos números que son consecutivos se obtendrá (35x – 5a). ¿Cuál es el menor de los sumandos? a) 5x+3a d) 3x – 5a
b) 3x+5a e) 5x – 3a
c) 5a+3x
20. Las edades de tres hermanos (niños) están representados por números enteros positivos, tal que si a cien veces la edad del primero se le suma 10 veces la edad que tenía el segundo hace 4 años y luego se le añade la edad que tendrá el tercero dentro de 7 años, se obtendrá 953. Hallar la edad que tendrá el menor, cuando el mayor tenga tantas veces su edad como el mediano aventaja al menor. a) 17 d) 16
b) 13 e) 19
c) 15
c) 15
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Vilma le dice a Julia: "Yo tengo nueve veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 44 años". ¿Cuál es la diferencia entre las edades de estas dos mujeres? Resolución
• Si duerme un promedio de 8 horas al día, entonces lo que duerme es 1/3 de lo que vive un día.
Duerme= Vida 3 Despierto= 2 Vida 3
• Si asumimos que tiene "n" años, se obtiene:
Usando un cuadro tenemos: Pasado
Presente
Futuro
5n n
9n 5n
13n 9n
n - 27 = 1 2 (n + 27) → n=63 E ; 5 3 3
Duerme: 1 ×63=21 3
Vilma Julia
Del dato: 13n+9n=44 n=2 Piden: 4n Rpta.: 8 2. Dos autos separados a una distancia de 810 km, salen a encontrarse con velocidades de 45 km/h y 54 km/h. Si el primero sale a las 5:30 h, ¿a qué hora tiene que salir el otro, para llegar al lugar del que salió el primero a la misma hora en que el primero llegue al segundo lugar?
Resolución
Rpta.: 21 años 4. Un camino de "A" a "B" consta de una subida y una bajada; un peatón que se dirige de "A" a "B" recorre todo el camino en 13 horas y en el camino de regreso demora una hora menos. Si a la subida va a 2 km/h y a la bajada, a 3 km/h, ¿cuál es la longitud del camino?
Resolución
Graficando el camino de "A" hacia "B"
Resolución • Al que viaja a 45 km/h le toma 810÷45=18 horas llegar a su destino. • En cambio, al otro solo le toma 810÷54=15 horas.
Es decir, el segundo debe salir tres horas después.
Rpta.: 8:30 h
3. Si Lucas tuviese 27 años menos, el tiempo que habría permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido despierto si es que tuviese 27 años más. Si en el transcurso de su vida duerme un promedio de 8 horas diarias, ¿cuántos años lleva durmiendo?
Central: 619-8100
6A km
A
Longitud : 6(A+B) total
6B km
B
De los datos: • Para ir de "A" → 6A + 6B = 13 → 3A+2B=13 2 3 hacia "B" • Para volver → 6A + 6B = 12 → 2A+3B=12 3 2 Resolviendo: A+B=5
Finalmente: 6(A+B)<>30
Rpta.: 30 km
www.trilce.edu.pe 129
5. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista a 90 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km a favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h?
Resolución
Sea: VR: velocidad del remero
Del dato: 5=(VR+VC)×t
3=(VR - VC)×t
Luego:
VR=4VC
90 + 90 = 24 → V =2 C VR - VC VC + VrR
Rpta.: 2 km/h
VC: velocidad de la corriente del río
Problemas para la clase 1. Jennifer tuvo su primer hijo a los 17 años y cuatro años después tuvo su segundo hijo. Si en 1996 las edades de los tres sumaban 49 años, ¿en qué año nació Jennifer? a) 1970 b) 1969 c) 1968 d) 1967 e) 1966 2. La edad de Cecilia es el triple de la edad de Marco. Si hace tres años la edad de ella era (a+3b), 7. ¿dentro de cuántos años la edad de Cecilia será el doble de la edad de Marco? a) a+3b-3 d) a-3b-3
b) a-3b+3 c) a+3b+3 + + a 3 b 3 e) 3
nació, tendría 28 años más; esto quiere decir que mi papá tiene...". a) b) c) d) e)
34 años más que tú 34 años más que yo 22 años más que tú 17 años más que yo 15 años más que tú
Una persona nacida en la segunda mitad del siglo XX tendrá "n" años en el año "n2". Dicha persona nació en: a) 1999 d) 1975
b) 1991 e) 1990
c) 1980
3. Una persona nació en el año 19ab y en 1980 tuvo 8. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste cuan(a+b) años. ¿En qué año tendrá (5a+3b) años? do yo tuve la dieciseisava parte de la edad que a) 2005 b) 2030 c) 2015 tú tienes. Si dentro de 10 años nuestras edades d) 2018 e) 2028 sumarán 175, ¿dentro de cuántos años cumpliré 90 años? 4. Patricia le dice a Alexandra: tengo cuatro veces la edad que tú tenías cuando yo tenía el doble a) 15 b) 10 c) 18 de la edad que tú tienes. Cuando tengas las 3/4 d) 20 e) 22 partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años. ¿Qué edad tiene Patricia? 9. Karen le dice a Rosa: "La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad a) 36 b) 28 c) 32 que tenías cuando yo tenía el triple de la edad d) 30 e) N.A que tuviste cuando yo nací". ¿Dentro de cuántos años la edad de Karen será el doble de la 5. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía edad que tiene Rosa? cuando él tenía la octava parte de lo que tendré. Cuando tú tengas lo que yo tengo, él tendrá seis a) 18 b) 26 c) 24 años más de lo que tuve. Si lo que tuve es seis d) 20 e) 25 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste, ¿qué edad tengo? 10. Pedro le dice a Calín: "Cuando tú tengas lo que yo tengo, es decir, el triple de lo que tenías a) 24 b) 30 c) 36 cuando yo tenía cuatro años menos de los años d) 40 e) 32 que tienes, nuestras edades sumarán 68 años". Calín a su vez, le dice a Pepe: "Cuando tengas 6. José le dice a su hermano mayor: "Si tú hubielo que yo tengo, yo tendré cinco veces lo que ras nacido cuando yo nací, tendrías seis años tenías cuando yo tenía lo que tú tienes". ¿Cuánmenos, y si yo hubiera nacido cuando mi papá Ciclo UNI 130
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático ra encuentra malogrado al otro a las 14 horas. ¿A qué hora se malogró el ómnibus que sale de Lima?
tos años tendrá Pepe cuando Pedro tenga el triple de lo que tiene actualmente? a) 44 d) 74
b) 85 e) 72
c) 58
11. Un motociclista, viajando a 100 km/h, llegaría a su destino a las 19 horas; en cambio, si viaja a 150 km/h llegaría a las 17 horas. Si desea llegar a las 18 horas, ¿a qué velocidad debe ir? a) 90 km/h d) 120
b) 100 e) 130
c) 110
12. Un tren emplea seis segundos en pasar delante de un observador y 26 segundos en recorrer un puente de 400 m. Hallar la longitud del tren. a) 100 m d) 150
b) 120 e) 200
c) 140
13. Fulano y Mengano se encuentran de espaldas el uno al otro al momento de comenzar el duelo. Al darse la señal, empiezan a alejarse el uno del otro en sentidos opuestos. Fulano camina a una velocidad de 3 m/s, mientras que Mengano camina a una velocidad de 4m/s. Al cabo de 10 segundos ambos se dan vuelta y disparan el uno en dirección del otro. La velocidad de cada una de las balas es 140 m/s (se supone que la velocidad de las balas es fija). ¿Después de cuántos segundos llegarán ambas balas a su destino? a) 3/4 d) 1/2
b) 2 e) 4
c) 3
14. Un estudiante aborda todos los días un microbús para llegar a su clase a las 15:00 horas. Pero hoy perdió el microbús. Si esperó el siguiente y este pasó 15 minutos después y arribó en los 4/3 del tiempo normal, llegando a las 15:25, ¿a qué hora abordó el microbús? a) 14:30 d) 14:25
b) 14:45 e) 14:28
c) 14:20
15. Dos móviles separados 100 m parten simultáneamente al encuentro con velocidades de 3 m/s y 2 m/s. Hallar el tiempo en que estarán separados 50 m por segunda vez. a) 20 s d) 35
b) 25 e) 40
c) 30
16. Todos los días sale de Piura un ómnibus con dirección a Lima, a una velocidad de 100 km/h. Este se cruza diariamente a las 12 horas con un ómnibus que viene de Lima con velocidad de 50 km/h. Cierto día el ómnibus que sale de PiuCentral: 619-8100
a) 6:00 h d) 9:00
b) 7:00 e) 10:00
c) 8:00
17. Un muchacho escapó de su casa, contigua a una carretera. Luego de dos horas sale el padre en su busca, y cinco horas después sale la madre al encuentro de los dos. Padre, madre e hijo caminaron a razón de 6, 6 y 4 km/h, respectivamente. En el momento en que el padre alcanzó al hijo, vuelve con él a su casa andando a razón de 4 km/h. ¿A qué distancia de su casa encontraron a la madre? a) 4 km b) 3 c) 12 d) 10 e) N.A. 18. Dos coches partieron al mismo tiempo: uno de "A" en dirección de "B", y el otro, de "B" en dirección de "A". Cuando se encontraron, el primero había recorrido 36 km más que el segundo. A partir de este momento (en que se encontraron), el primero tardó una hora en llegar a "B", y el segundo cuatro horas en llegar a "A". Hallar la distancia entre "A" y "B". a) 98 km d) 107
b) 106 e) 100
c) 108
19. En un corral rectangular de 30 m x 20 m se encuentran un vaquero (V) y un caballo (C) como indica la figura: S
V 20m
C 30m
En el mismo instante ambos comienzan a correr hacia la salida (S); el caballo recorre 4 m por cada 3 m que recorre el vaquero. ¿Cuál es la mínima longitud en metros que ha de tener el lazo del vaquero para enlazar al caballo? a) 12 d) 14
b) 15 e) 9
c) 10
20. Por debajo de un poste, cuyo foco está a una altura "H", pasa caminando un hombre de estatura "h", con rapidez "V": Si el hombre camina por un llano, ¿cuál es la rapidez de su sombra? a) Vh/(H+h) c) HV/(H-h) e) HV/(2H-h)
b) Vh/(HV+h) d) (H+V)/(H-V)
www.trilce.edu.pe 131
Tarea domiciliaria 1. Augusto nació en el año 19xy y en 1993 tuvo (x+y) años. ¿En qué año tendrá (3x+y) años? a) 2012 d) 2010
b) 2007 e) 2014
c) 2003
2. Un tren demora en pasar delante de un observador 20 s y en cruzar un túnel, 30 s. ¿En cuánto tiempo cruzará el tren un puente que tiene el cuádruple de la longitud del túnel? a) 40 s d) 49
b) 60 e) 35
b) 2 e) 3
c) 2,5
4. Una persona, en el mes de agosto, suma a los meses que ha vivido los años que tiene y obtiene 270. ¿En qué mes nació dicha persona? a) Octubre d) Junio
b) 18 e) 19
c) 15
6. La velocidad de Juan es 10 km/h mayor que la de Beto. Si Juan en 16 horas recorre lo mismo que Beto en 20 horas, ¿en cúanto tiempo se encontrarían, si salieran en sentidos contrarios desde dos ciudades distantes 450 km? a) 3 h d) 5
b) 9 e) 7
c) 4
7. ¿A qué hora alcanza Jan a Nena, si estando separados por 40 km, Jan la busca con una rapidez de 90 km/h, después de cinco horas que Nena emprendió viaje a la velocidad de 20 km/h? (Se sabe que Jan partió a las 11:07 a.m.). a) 2:05 p.m. d) 7:49 p.m. Ciclo UNI 132
b) 1:56 p.m. e) 1:35 p.m.
c) 1:07 p.m.
b) 12 e) 13
c) 10
9. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 63 años. ¿Cuántos años tengo? a) 21 d) 28
b) 24 e) 30
c) 27
10. La suma de las edades de Cristina y Alonso es 68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le dice: "Cuando tú naciste, yo tenía seis años, pero cuando Alonso nació, tenías cuatro años". ¿Cuál es la edad de Lorena? a) 21 años b) 33 c) 24 d) 20 e) 29
b) Setiembre c) Noviembre e) Julio
5. Un microbús debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era novato, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de cuatro horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente? a) 12 h d) 16
a) 8 km d) 11
c) 50
3. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista 135 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h? a) 1,8 d) 1,5
8. Un tren sale de una estación con una velocidad de 36 km/h. A los cinco minutos de marcha, obedeciendo a una señal de precaución, disminuye su velocidad a 20 km/h, recorriendo con esta 2 km y volviendo a marchar con la velocidad primitiva hasta la estación inmediata, a la que llega a los 21 minutos de haber partido. ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones?
11. Los móviles mostrados se mueven con velocidades constantes. ¿Después de qué tiempo "1" distará de "B" lo mismo que "2" dista de "A"? 36 km/h 1 A
a) 96 s d) 60
54 km/h 2 1200 m
b) 100 e) 120
B c) 240
12. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas 4/3 de la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 72 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 12 años? a) 36 d) 30
b) 24 e) 32
c) 28
13. Una liebre y una tortuga parten simultáneamente en un mismo punto. La tortuga recorre en cada minuto 10 m y la liebre, 100 m. Ambas se dirigen hacia un mismo punto, y la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Pared
la meta y así, sucesivamente, hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorrió 1 km, ¿cuánto recorrió la liebre? a) 10 km d) 1
b) 100 c) 1000 e) 120
14. Ana María tuvo en el año 1988, tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de la edad que tenía en el año 1980? a) 6 d) 7
b) 4 e) 8
20 m a) 2 cm/s d) 5
b) 3 e) 6
30 m c) 4
c) 5
18. Cuando yo tenía la edad que él tiene, tú tenías la tercera parte de la edad que tienes ahora, y cuando yo tenga la edad que tú tienes él tendrá 15. Dos móviles parten de un mismo punto en senla tercera parte de lo que tú tienes y tú tendrás 4 tidos opuestos, dirigiéndose respectivamente a años más de lo que yo tengo. Entonces, la suma "P" y a "Q". Luego de llegar a su destino emde las edades de los tres es: prenden el retorno. ¿A qué distancia de "Q" se a) 15 b) 16 c) 19 vuelven a encontrar? d) 18 e) 24 3 m/s 2 m/s P Q 19. Conversando, Rosa y María, esta le decía a aquella: "Dentro de 10 años la suma de nuestras 60 m 140 m edades será de 57 años", a lo que Rosa respon de: "Así es, aunque hace tres años la diferencia a) 20 m b) 30 c) 15 de nuestras edades era de tres años". ¿Cuántos d) 10 e) 25 años tiene actualmente Rosa, si ella es la mayor? 16. Rosario le dice a Beatriz: "Yo tengo el doble de a) 12 b) 15 c) 17 la edad que tú tenías cuando yo tenía la quinta d) 20 e) 24 parte de la edad que tienes; y cuando tú tengas el doble de mi edad, en ese entonces la suma de nuestras edades será de 90 años. ¿Cuál es la 20. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tuviste cuando yo tuve edad actual de Beatriz? la novena parte de la edad que tengo ahora. Si a) 25 b) 30 c) 35 nuestras edades suman 57 años, ¿cuántos años d) 40 e) 45 tengo? 17. Si en el instante mostrado se enciende la vela, ¿qué rapidez posee el extremo de la sombra en la pared si la vela se consume a razón constante de 2 cm/s?
Central: 619-8100
a) 27 d) 30
b) 28 e) 31
c) 29
www.trilce.edu.pe 133
Problemas resueltos 1. Un quinto de la población de cierto pueblo vive del cultivo de flores; 1 del resto vive del 4 cultivo de árboles frutales y los restantes 2100 habitantes trabajan fuera del pueblo. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo en mención?
Resolución Sea: Total de la población: 20 k <> 3500
•
Cultivo de flores: 4k • Cultivo de árboles: 1 (16k)=4k 4 • El resto: 12 k=2100 4k=700 Rpta.: 3500 2. Un granjero vendió primero los 5 de las aves de su 6 granja; más tarde, una parte igual a 1 de lo anterior 8 y le quedan nueve aves. ¿Cuántas aves tuvo?
Sea: Total de aves: 48 k <> 144 • Primera venta: 5 (48k)=40k 6 • Segunda venta: 1 (40k)=5k 8 Finalmente: 3k=9 → k=3 Rpta.: 144
Resolución Analizando los datos:
•
•
Dejé: 16k
Ciclo UNI 134
14243
3. De un recipiente que inicialmente estaba lleno, saqué los 5/16 de lo que dejé y luego devolví la cuarta parte de lo que no devolví. ¿Qué fracción de lo que hay debería sacar para dejar una cantidad igual a los 3/4 de lo que quedó luego de mi primera extracción?
Saqué:5k
Resolución
Devolvi: k No devolvi:4k
Luego de devolver, en el depósito quedan 17k
21= 2 ×C1 → C1= 105 5 2 2 147 63 21= ×C1 → C1= 7 2 21 105 Pero: C3=2(C1+C2)→C3= c + 147 m .2=252 2 2 Piden: De los 252 litros que tiene el tercer depósito solo se llenarán 21 litros. Es decir: 21 <> 1 252 12 Rpta.: 1 12
5. Federico puede hacer una obra en 12 días y Américo puede hacer la misma obra en 10 días. Federico empieza la obra durante cuatro días, luego recibe la ayuda de Américo, terminando juntos la obra. ¿En qué tiempo terminaron la parte que faltaba de la obra? Resolución Obra total=60k Federico=5k En 1 Américo=6k día Luego: 60 K La parte que falta = 40k = 40 = 3 7 20 K 40 K 11 11 la harán 5k + 6k Federico juntos en por 4 días 123
Resolución
4. Se distribuyeron 63 litros de agua en tres depósitos por partes iguales. El primero se llena hasta sus 2/5 partes y el segundo, hasta sus 2/7 partes. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es el doble de la suma de las capacidades de los dos primeros?
• Debo dejar una cantidad que es 3 de 16k 4 <> 12k • Entonces, de 17k debo sacar 5k<>5/17 Rpta.: 5/17
Rpta.: 3 7 11 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Problemas para la clase 1. Si a una fracción propia la convertimos en impropia invirtiendo sus términos, y sumamos estas fracciones, resultaría el producto de estas dos fracciones, más el resultado de la suma del numerador al cubo y el denominador al cubo de esta fracción. Hallar el producto de la suma de los términos de la fracción con el producto de estos mismos términos. a) 1 d) -1
b) 2 e) -2
c) 3
2. A cada término de una fracción propia, que son consecutivos, se le añaden dos unidades. Esta nueva fracción excede en 1/12 a la original. Hallar la fracción original. a) 2/3 d) 3/4
b) 1/3 e) 5/6
c) 2/5
3. Se tiene un recipiente que contiene una mezcla de leche, alcohol y agua en la relación de 3, 4 y 5, respectivamente. Se extraen de la mezcla 2/5; 1/3; 5/7 y 5/12 de lo que iba quedando, resultando el volumen final de leche igual a dos litros. Hallar el volumen inicial de agua. a) 50 l d) 56
b) 23 e) 70
c) 24
4. Se tiene un recipiente lleno de vino, del cual se extraen 2/5 de su contenido para luego ser reemplazados por agua: De la mezcla resultante se extraen 2/3 para ser reemplazados por agua. Por último se extrae 1/7 de la nueva mezcla. ¿Qué parte del volumen inicial quedará con agua? a) 12/23 d) 24/35
b) 23/34 e) 17/18
c) 22/31
5. Un tanque puede ser llenado por un primer caño en 3 h, por un segundo caño en 4 h y un desagüe puede desalojar todo su contenido en 12 h. ¿En cuántas horas se llenaría el tanque, si funcionan a la vez los dos caños y se abre el desagüe? a) 3 d) 1,5
b) 1 e) 3,5
c) 2
6. Se tiene un tonel lleno de 324 l de vino puro. Se saca 1/3 del contenido y se completa con agua. ¿Cuántas veces más se debe repetir esta operación para que al final queden 260 l de agua? a) 4 d) 6 Central: 619-8100
b) 3 e) 7
c) 5
7. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 12 días. Después de haber trabajado juntos durante seis días, se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta de la obra en 10 días. ¿En cuántos días puede hacer el ayudante toda la obra trabajando solo? a) 25 d) 30
b) 45 e) 32
c) 20
8. Del dinero que tenía, gasté 1/2 de lo que no gasté, luego perdí 1/3 de lo que no perdí, en seguida regalé 1/4 de lo que no regalé. ¿Qué parte del total aún me queda? a) 1/8 d) 2/5
b) 1/4 e) 2/7
c) 1/3
9. "A", "B" y "C" pueden hacer una obra en 4 días, "A" y "B" trabajando juntos, pueden hacerla en 12 días, "B" y "C", en 4 1/2 días. ¿En qué tiempo la haría "A" trabajando solo? a) 28 días d) 32
b) 36 e) 24
c) 30
10. Pamela hace una obra en ocho días y Marlene hace la misma obra en 10 días. Pamela empieza la obra y dos días después recibe la ayuda de Marlene, terminando juntas la obra. ¿En cuántos días hicieron toda la obra? a) 5 1/3 d) 6 8/13
b) 5 2/3 e) 5 11/17
c) 4 7/9
11. Un depósito tiene dos dispositivos de desagüe, uno ubicado al fondo que deja vacío el depósito en seis horas, mientras que el otro dispositivo se ubica a la mitad de la altura y desocupa lo que le corresponde en cinco horas. Si estando lleno el depósito se abren ambos dispositivos, ¿en cuántas horas quedará vacío el depósito? a) 4 6/7 d) 5 4/7
b) 3 4/5 e) 6 7/9
c) 4 7/8
12. Tengo un vaso lleno de alcohol. Bebo la sexta parte, luego bebo 1/4 de lo que queda. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que aún sobren los 3/8 del vaso? a) 2/3 d) 1/3
b) 2/5 e) 1/5
c) 1/6
13. Manolo tiene cierta suma de dinero que gasta de la siguiente manera: en cinco chocolates, 5/8 de lo que tiene; en tres refrescos; 1/3 de lo que www.trilce.edu.pe 135
queda; y en cuatro galletas 4/9 del resto. Si aún le quedan 10 soles, entonces: I. Por un chocolate, un refresco y una galleta pagó 14 soles. II. Gastó en total 62 soles. III. No es cierto que después de comprar refrescos le quedan 18 soles. Son ciertas: a) Solo I d) II y III
b) Solo III e) Solo II
c) I y II
14. Si te pago lo que te debo, me sobraría tanto como me faltaría. Si quisiera pagarle a él lo que le debo, ¿qué fracción del total de mi deuda es lo que yo tengo? a) 1/3 d) 1/4
b) 2/3 e) 2/7
c) 1/2
15. Se sacaron nueve litros de un barril que estaba lleno de vino, reemplazándolos por agua. Se sacaron nueve litros de la mezcla que fueron sustituidos por agua. La cantidad de vino que quedó en el barril y la de agua están en la relación de 16 a 9. Calcular la capacidad del barril. a) 50 litros d) 35
b) 45 e) 30
c) 40
16. Una persona demora 80 segundos en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera estuviera en movimiento y la persona detenida demorara 48 segundos, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la escalera en movimiento? a) 15 s d) 30
b) 45 e) 10
c) 20
17. De un depósito que contiene vino se vende su contenido de la siguiente manera: se venden los 2/5, luego los 3/7 de lo que quedaba y por último, se venden los 2/3 de lo que quedaba. Si todavía quedan 60 litros. ¿Cuántos litros se vendieron? a) 215 d) 345
b) 350 e) 465
c) 245
18. Giselle gasta su dinero del modo siguiente: 2/5 de su dinero más tres soles en un pantalón, 3/8 de lo que queda más siete soles en una blusa, y la mitad del resto más un sol en un par de zapatos. ¿Cuánto gastó en la blusa, si al final se quedó con tres soles? a) S/. 45 d) 32
b) 16 e) 19
c) 18
19. En un depósito se mezclan 30 litros de agua y 50 litros de leche, luego se extraen 16 litros de la mezcla y se la reemplaza por la misma cantidad de agua. Si de la nueva mezcla se vuelven a extraer 48 litros, ¿cuántos litros de leche salen de esta última extracción? a) 32 d) 24
b) 28 e) 30
c) 25
20. ¿Cuántos litros de vino hay que agregar a un barril donde hay cinco litros de vino por cada cuatro litros de agua para que resulte una mezcla de 180 litros, en la que, por cada nueve litros de mezcla haya siete litros de vino? a) 60 d) 80
b) 100 e) 90
c) 70
Tarea domiciliaria 1. Yo poseo los 3 de una hacienda llamada 5 "Paraíso". Si vendo 5 de mi parte, ¿cuáles son 8 correctas? I. Me quedan 9 de la hacienda. 40 II. Me quedan los 5 de mi parte. 8 III. Vendí menos de 1 del total de la hacienda. 4 a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III 2. Se distribuyeron 300 l de gasolina entre tres depósitos, en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3 y el segundo hasta los 3 . ¿Qué 5 4 Ciclo UNI 136
fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? a) 1 3 d) 11 15
b) 2 5 e) 1 4
c) 27 20
3. Se tiene un barril lleno de vino. Se sacan nueve litros y se reemplazan por agua, luego se sacan nueve litros de la nueva mezcla y también se reemplazan por agua. Si finalmente la relación entre la cantidad de vino y agua es como cuatro es a cinco, hallar la capacidad del barril. a) 21 l d) 30
b) 24 e) 27
c) 18 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 4. Si un depósito que está lleno 1 de lo que no 3 está lleno, se vacía 1 de lo que no se vacía, 8 ¿qué parte del volumen del depósito quedará con líquido? a) 2 7 d) 3 8
b) 2 9 e) 8 27
c) 1 7
5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 250 existen, tal que su numerador sea de tres cifras? a) 60 d) 30
b) 45 e) 70
c) 10
6. Un tranvía parte con cierto número de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera parte; en el segundo, suben 65 pasajeros; en el tercero, bajan los 3 de lo que lleva; en el cuarto, 5 suben 50 pasajeros, y en el trayecto al quinto paradero deja los 3 de los que lleva, llegando a 8 este con 80 pasajeros. Determinar, con cuántos pasajeros partió. a) 200 d) 190
b) 195 e) 320
c) 300
7. Tres tuberías "A", "B" y "C" funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan solo "A" y "B", pueden llenar todo el estanque en 10 horas; y si funcionan "B" y "C", lo llenan en 15 horas. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del tanque la tubería "B", si funciona sola? a) 12 horas d) 9
b) 8 e) 3
c) 6
8. Se tienen dos cajas de fósforos: se usan de la primera, 3 del total y de la segunda, 2 del total. 8 7 Los fósforos usados en la primera son 13 más
que en la segunda, y quedan en la segunda caja 4 de los fósforos que quedan en la primera. 7 ¿Cuántos fósforos tiene cada caja? a) 56 y 28 d) 14 y 19
b) 19 y 14 e) 30 y 12
c) 28 y 56
9. De un recipiente, se sabe que están vacíos los 2 de lo que no está vacío. Luego se extraen 2 3 5 de lo que no se extrae y finalmente no se elimina 1 de lo que se elimina. Si luego de esto 4 Central: 619-8100
quedaron 15 litros de agua, ¿qué capacidad del recipiente estuvo vacía al comienzo? a) 35 l d) 175
b) 70 e) 75
c) 10
10. Un obrero puede hacer una obra en nueve días; luego de cuatro días recibe un ayudante, terminando la obra en dos días. El ayudante, trabajando solo, ¿cuántos días emplearía en hacer la obra? a) 5 d) 12
b) 6 e) 18
c) 8
11. Una persona demora 90 s en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera estuviera en movimiento y la persona detenida demorara 60 s, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la escalera en movimiento? a) 75 s d) 30
b) 45 e) 36
c) 20
12. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días; pero trabajando por separado, uno tardaría nueve días más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otro? a) 36 días d) 48
b) 40 e) 54
c) 45
13. Un galón de pintura rinde para 30 m2. Si con los 2 de los 3 de ocho galones se han pintado 5 4 los 2 de los 4 de una pared, ¿cuál es la super3 5 ficie de dicha pared? a) 720 m2 d) 13,5
b) 270 e) 15,5
c) 135
14. En un corral, la relación entre el número de pollos y el número de gallinas es como tres es a cinco respectivamente. Si se muere 1 del nú3 mero de aves, del cual 2 son pollos y el resto 3 gallinas, ¿cuál sería la nueva relación entre el número de pollos y gallinas? a) 19 b) 29 29 19
c) 13 21
d) 3 e) 11 13 37 15. He gastado los 5/8 de mi dinero. Si en lugar de gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi dinero, tendría ahora S/. 72 más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 100 d) 125
b) 10 e) 130
c) 120
www.trilce.edu.pe 137
16. El caño “A” llena un depósito en 6 horas y el desagüe “B” ubicado a la mitad de la altura del depósito saca la parte que le corresponde en 8 horas. ¿En cuántas horas quedará lleno dicho depósito si se abren ambos caños a la vez? a) 4 d) 3,4
b) 5,2 e) 7,8
c) 2
17. Si sabemos que “A” y “B” pueden hacer una obra en 20 días, “B” y “C” pueden hacer la misma obra en 15 días y además “A” y “C” hacen la misma obra en 12 días. ¿en cuántos días harán la obra “A”, “B” y “C” juntos? a) 5 d) 16
b) 10 e) 20
c) 14
18. Beatriz hace un trabajo en 20 días y Manuel hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante cinco días se retira Beatriz. ¿En cuántos días terminará Manuel la parte que le falta? a) 40 d) 30
Ciclo UNI 138
b) 20 e) 25
c) 15
19. De un recipiente que contiene alcohol puro, se extrae 3/8 y se reemplaza por agua, luego se extrae 4/5 y también se reemplaza por agua, finalmente se extrae 1/4 de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final el alcohol y el agua? a) 3/29 d) 5/29
b) 4/11 e) 13/27
c) 3/17
20. De un frasco lleno de alcohol se extrae un cuarto de su contenido y se reemplaza con agua. Luego se extrae 3/4 de la mezcla y se llena con agua pero sólo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿En qué relación se encuentran el alcohol y el agua al final? a) 9/25 d) 9/23
b) 8/23 e) 14/31
c) 13/23
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. En una granja, el 30% de patos es el 20% del número de pavos. ¿Cuánto por ciento del 80% del total es el número de patos? Resolución 3 patos=2 pavos Pato=2k Pavo=3k Rpta.: 50%
Piden: x.80%(5k)=2k x=50%
2. Si el área de una esfera aumenta 21%, ¿en qué porcentaje varía su volumen?
Resolución
Sin considerar las constantes, se tendría
4. De la mesa de un laboratorio se toma un recipiente que contiene 40 litros de alcohol al 10% y se vierte todo el contenido en un segundo recipiente que contenía 10 l de alcohol al 20%. Si luego se agregaron 38 litros de alcohol puro, ¿cuánto tanto por ciento de la mezcla final no es alcohol puro?
Resolución
•
VF=133,1%RI3 VF=+33,1%VI
Rpta.: Se incrementa 33,1%
3. Si "S" es el 150% de "T", ¿cuánto por ciento de "T" es (S+T)?
Resolución Del dato: S= 3 T 2
10 litros de alcohol al 20%
Agua → Alcohol →
8 litros 2 litros
Mezcla final
RF2=121%RI2 → Se demuestra que el radio final (RF) se incrementa en 10% respecto al radio inicial (RI).
•
Agua → 36 litros Alcohol → 4 litros
Agua: 36+8=44 Alcohol:4+2+38=44
AF=121%AI
VF=(110%RI)3
40 litros de alcohol al 10%
Piden:X×T=(S+T) → X= c S + T m ×100% T → X=250%
Se observa que el agua y el alcohol tienen la misma cantidad de litros.
Rpta.: 50%
5. Si yo tuviera 20% más de lo que tengo, lo que tendría y lo que tú tienes estarían en la relación de seis a dos. ¿Cuánto por ciento más de lo que tienes es lo que yo tengo? Resolución
Yo: 5k → si tuviera, 20% más=6k Tú: 2k
2k → 100% 5k → ? ?=250%
Yo tengo 150% más que tú.
Rpta.: 150%
Rpta.: 250
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 139
Problemas para la clase llinas se deben retirar para que el porcentaje de gallinas resultante sea el que antes correspondía a los gallos?
1. Si de 80 alumnos, 20 son hombres, ¿qué porcentaje de las mujeres representan estos? ! a) 16% b) 75% c) 33,3% ! d) 19% e) 66,6 %
a) 20 d) 40
b) 30 e) 50
c) 10
9. En una asamblea se discuten dos propuestas "A" y "B". El 40% de los asistentes está en favor de "A" y a) 20%↓ b) 16%↑ el resto en favor de "B". Si el 25% de "A" abandoc) 18%↑ d) 19%↓ nan la asamblea y el 25% de los que apoyan a "B" e) 17%↓ deciden cambiar de opinión, calcular, del nuevo total, el porcentaje que favorece a "A". 3. El largo de un rectángulo "A" es 10% mayor que a) 45% b) 90% c) 50% el lado del cuadrado "B". El ancho del rectánd) 75% e) 65% gulo es 10% menor que el lado del cuadrado. Entonces, la razón A/B de las áreas es : 10. ¿A qué aumento o descuento único equivalen 2. ¿Cuánto por ciento menos es 100 de 125?
a) 1 d) 17/19
b) 5 e) 99/100
tres descuentos sucesivos del 50%, 40% y 50%, seguidos de dos aumentos también sucesivos del 120% y 150%?
c) 2/5
4. Al aumentar el precio de la entrada a un espectáculo en 10%, la asistencia disminuyó en 10%. ¿Qué sucedió con la recaudación? a) 10% ↑ ! d) 17,6 % ↓
b) 1%↑
c) 1%↓
e) 2%↑
5. El 10% de la suma de las edades de dos compañeros equivale al 70% de la diferencia de dichas edades. ¿Qué porcentaje de la edad del mayor es la edad del menor? a) 30% d) 75%
b) 31% e) 76%
b) 44% e) 1%
c) 57%
7. Pedro es un futbolista que ha disparado 17 penales, acertando todos ellos. ¿Cuántos más debe ejecutar (fallando todos ellos), para tener una eficiencia del 85%? a) 3 d) 7
b) 4 e) 10
c) 5
8. En una jaula hay 12 gallos que representan el 40% del total, el resto son gallinas. ¿Cuántas gaCiclo UNI 140
b) 17,5% ↓ e) 19,78%↑
c) 79,4%↓
11. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? a) 10% d) 69%
b) 15% e) 90%
c) 30%
12. Si el largo de un rectángulo aumenta en 50% y su ancho disminuye en 50%, ¿en cuánto por ciento varía su área?
c) 70%
6. En las elecciones municipales se observó que el 54% de los varones votaron por el partido "A" y el 78% de las mujeres no votaron por dicho partido. Si acudieron a votar tantos hombres como mujeres, ¿qué porcentaje de la votación alcanzó el partido "A"? a) 38% d) 99%
a) 19,3% ↓ d) 16%↑
a) 16%↑ d) 25%↓
b) 16%↓ e) 17%↑
c) 25%↑
13. Dada la expresión:
2 E = A B ≠3KM 10R ¿Cuál sería su variación porcentual si "A" aumentase en 10% y "B" disminuye en 19%?
a) 8,9%↑ d) 20%↑
b) 10,2%↑ e) 21%↑
c) 11%↑
14. Una secretaria quiere comprar un equipo de sonido que cuesta S/. 950. El vendedor le comunica que se le harán tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%. Como su sueldo no le alcanzaba en ese momento, solicitó un aumento al jefe, el cual le fue otorgado. Se le hicieron tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, pero aun así le faltaron S/. 18 para la compra. ¿Cuál era el sueldo de la secretaria antes del aumento? a) S/. 300 d) 250
b) 513 e) 750
c) 650 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 15. De un recipiente retiro el 25% de lo que no retiro, y de lo que he retirado devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, quedando ahora 84 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros no devolví? a) 26 l d) 56
b) 18 e) 54
c) 16
16. El precio de un artículo aumenta en p%. Después, el nuevo precio disminuye en p%. Si el último precio era de S/. 1, el precio original era de: 1 - p2 1000 1 - p2 c) 10000 - p2 e) 100 p2 - 1
a)
b)
1 - p2 1000
d)
10000 10000 - p2
17. "A" encarga vender un objeto a "B" y este a su vez, a "C", quien hace la venta y se queda con un 20 por mil; "B" recibe el resto, pero retiene el 10 por 200 de lo que le dio "C" y entrega el saldo de 1862 soles a "A". ¿En cuánto se vendió el objeto? a) S/.1900 d) 2000
b) 2200 e) 2020
c) 1980
18. Al escribir en una pizarra se consume el 80% de cada tiza y con lo que queda se vuelve a fabricar tizas. En este proceso se pierde el 5% de la materia prima. Hallar el número de tizas que se pueden fabricar con los residuos de una caja de 13 000 tizas. a) 1357 d) 4512
b) 2470 e) 2782
c) 2333
19. Si el volumen inicial de un cubo aumentó en 72,8%, ¿en qué porcentaje aumentó su área total? a) 72% d) 44%
b) 40% e) 45%
c) 48%
20. A inicios de 1985, una población tenía 10 000 habitantes; el consumo de agua por persona por hora, era de 10 litros. La población crecía a un ritmo de 20% anual. Determinar el lado de la base cuadrada de un reservorio de 4 m de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la población al inicio de 1989. a) 7 d) 35
b) 8 e) 36
c) 25
a) 55% d) 48%
b) 52% e) 15%
c) 50%
Tarea domiciliaria 1. El peso de un ladrillo es 20 gramos, ¿cuánto pesará otro ladrillo del mismo material, pero con sus dimensiones aumentadas en 50%? a) 72,5 g d) 58,7
b) 62,5 e) 67,5
c) 89,5
2. Si el área del triángulo equilátero AED aumenta en 96%, entonces el lado del cuadrado ABCD aumenta en: B C E
A
a) 20% d) 96%
b) 40% e) 4%
D c) 70%
3. En un recipiente se tienen 80 litros de una mezcla al 40% de alcohol. Se extrae el 25% de ella y se añade sobre otra mezcla de 30 litros al 60% de alcohol. ¿Cuál es la concentración de la mezcla final? Central: 619-8100
4. En la expresión: M=x2y, si "x" disminuyera en un 20% e "y" aumentara en un 30%, ¿en qué porcentaje aproximadamente variaría la expresión "M"? a) 17% d) 27%
b) 20% e) 15%
c) 30%
5. Janet vendió dos televisores en S/. 1500 cada uno. En el primero ganó el 25% y en el segundo perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió y cuánto? a) No gana ni pierde b) Perdió S/. 200 c) Ganó S/. 200 d) Ganó S/. 300 e) Perdió S/. 300 6. Si el lado de un cuadrado se reduce a la mitad, ¿en qué porcentaje disminuye su área? a) 25% d) 5%
b) 75% e) 30%
c) 80%
www.trilce.edu.pe 141
7. Un autobús tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70% están sentados. De las mujeres, están sentadas el 80% y de los hombres, están sentados únicamente el 10%. ¿Cuántos hombres viajan en el autobús? a) 10 d) 25
b) 15 e) 12
c) 20
8. El área de una superficie esférica disminuye en 19%. ¿En qué porcentaje disminuirá su volumen? a) 27% d) 27,3%
b) 27,1% e) 28,3%
c) 27,2%
9. En la Universidad de San Marcos hay 10 500 alumnos, de los cuales el 30% son mujeres y el resto, hombres. Si el número de mujeres aumenta en 20% y el número de hombres aumenta en 40%, ¿en qué porcentaje aumentara el total de alumnos? a) 44% d) 27,3%
b) 30% e) 34%
c) 24%
10. Una persona consigue en la compra de una tela, un primer descuento del 20% y sobre el precio rebajado, otro descuento del 30%. Si al final pagó S/. 3360, ¿cuál era el precio original? a) S/. 5040 d) 6720
b) 6000 e) 8000
c) 5000
11. Un litro de mezcla formado por 25% de agua y 75% de alcohol pesa 900 g. Sabiendo que el litro de agua pesa 1 kg, averiguar el peso de un litro de mezcla de 25% de alcohol y el resto, agua. ! ! ! a) 694,4 g b) 964,6 c) 966,6 ! ! e) 969,6 d) 968,6 12. ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 25% y su radio aumenta en 20%? a) 6% d) 12%
b) 16% e) 18%
c) 8%
13. Si la base de un triángulo disminuye 20%, ¿en qué porcentaje debe aumentar la altura para que el área no varíe? a) 20% d) 25%
b) 30% e) 35%
c) 40%
14. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sido fabricados por la Ciclo UNI 142
máquina "A" y el resto, por la máquina "B". Si se sabe que el 5% de lo fabricado por A y el 4% por "B" son productos defectuosos, ¿cuántos de estos hay en los 1000 productos? a) 48 d) 46
b) 50 e) 34
c) 12
15. Un depósito cilíndrico se desea cambiar por otro de la misma forma, pero con una base cuya circunferencia es 50% mayor en longitud. ¿En cuánto tanto por ciento se incrementará el volumen del nuevo cilindro respecto al primero? a) 125% d) 225%
b) 175% e) 50%
c) 150%
16. Una industria redujo en 5% el precio de venta de los artículos que produce. ¿En qué porcentaje debieron aumentar sus ingresos, si esta política produjo un incremento en las ventas del 20%? a) 11% d) 14%
b) 12% e) 15%
c) 13%
17. ¿Cuál debe ser la pureza del alcohol que debe añadirse a 80 litros de alcohol al 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 80% de pureza? a) 12% d) 10%
b) 20% e) 26%
c) 16%
18. En la venta de un reloj gané tanto como rebajé, que es el 20% de lo que me costó. ¿Cuánto pensaba ganar sin rebajar, si me costó 60 soles más de lo que gané? a) S/.30 d) 25
b) 42 e) 36
c) 35
19. Un químico tiene "m" onzas de agua salada al m% de sal. ¿Cuántas onzas de sal deben agregarse para obtener una solución que tenga 2m% de sal? a)
2 m2 b) m2 c) 2m 2m + 100 2m - 100 100 - m
d)
2m2 e) m2 100 - 2m 100 - 2m
20. Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular, ¿cuál sería el porcentaje en que hay que aumentar el radio de la piscina para que su volumen aumente en 150%? a) 28% d) 25%
b) 24% e) 27%
c) 26% Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Si: P(x2+1)=x4+1, hallar el equivalente reducido de: Q=P(x3 - 1) - P(x3+2).
Entonces • x -1 =3x + 2
Resolución 2 Analizando: x2+1 -1;( ) ;+1 Aplicando:
P(x3
-
1)=(x3
-1-
1)2+1=x6
-
Considerando la información: 3%5=m → m= -4 m%(-5)=p → (-4)%(-5)=p → p=-9 se cumple: m%p= -13/5
=9x ;
x -1
Calcular:
Resolución
Analizando: 2
- 2 t +7 t 5
8
- 2 t +7 t 5
8
E=3+4(1) - 2(1)+7(0)
E=3+4 - 2=5
Rpta.: 5
a 9 b=ab+1 Si: → x, w ∈ Z+ Además: x 9 w=16 ¿Cuál es el valor o valores que podría tener "w"?
x +2 =3x
Resolución
3
Resolución •
2
5. Para a,b ∈ Z+ se define la operación:
Rpta.: C
3. Si:
0 ; t
Determinar para t∈[5,7] el valor de:
E=3+4 t
Resolución
t
E=3+4 t
c) m%p= -13/5
4. Se define en IR la siguiente operación: 321
b) mp= -45 e) m/p=5/4
=14
3
Rpta.: 14
2. Se define: a%b= a + b a-b Si: 3%5=m; y además, se cumple que: m%(-5)=p; entonces:
x3;+5
=
3 4x3+5
Rpta.: -6x3+3
a) m - p=9 d) m+p=1
x3;-6
x4+1
P(x3 +2)=(x3 +2 - 1)2+1=x6+2x3+2 Finalmente: Q= -6x3+3
• •
x3; +5
Luego:
x +2 =3x x3 ; -6
Central: 619-8100
x 9 w=16
Aplicando x3 - 6
Del dato:
=9x
xw+1=16
xw+1=42 → w=1 xw+1=24 → w=3
Rpta.: 1 y 3
3 x -1 -6=9x www.trilce.edu.pe 143
Problemas para la clase 1. Si : r1 = 3 y además:
rn+1=rn+ 3n ; n ε N. 10 Hallar: r10 - r8.
a) 0,0000003 c) 0,000003 e) 0,00000003
= 55
b) 2/5 e) 2/4
3. Se define una operación matemática mediante el operador matemático * como el doble del producto de sus términos, multiplicado por el inverso multiplicativo de la suma de estos. Hallar “A”. A= ; 1 * 1 E * ;1 * 1 E 3 2 3 b) 3/2 e) 2/7
x2 - 6
Además:
a) 26 d) 18
b) 38 e) 28
Hallar “x”, además:
a) 3 d) –3
c) 9/4
2x+5
Calcular: 16 * 2 a) 8 d) 2
A4 + A8 +1
Donde:
10. Si:
Ak= 1 + 2 + 3 + 4 + ... 1 4444 2 4444 3 "k" sumandos
6. Si: Ciclo UNI
a (b * a) b) 9 e) 3
c) 10
P M =N↔ MN=P
Calcular el valor de “x” en: c) 801
3x-1 y = a ; 3x+1 y = 2a a) 2 d) 1
(b * a) 2 5. Si: a*b = 5 Calcular: 2 * 3. b) 3 e) 6
c) –2
9. Se define:
a) 2 d) 5
+1 = 108
b) 2 e) 0
x2 +1 =3x+x2 ; x∈ ZZ+
b) 108 e) 100
" como :
a - 2 =a2 - 2a
a*b=
a) 180 d) 901
c) 44
8. Se define el operador "
Hallar:
= 66
Calcular: 2x
4. Dada la expresión:
c) 1/3
∀ N∈ZZ+
7. Si: N =2N+6 ;
a) 5x+5y-m+6 b) 5x+11 c) 5m-11 d) 5x+5y+6 e) 5x+5y+m-6
144
3x+2
a) 3/2 d) 2/3
b) 0,00000033 d) 0,000000033
2. Se define la operación: (x+y - 3)*m=2(x+y)+3m, para cualquier valor de "x", "m" e "y". ¿A qué equivale: (x + y + m)*(x + y - m)?
a) 2/3 d) 4/9
Calcular "x" en:
c) 4
b) 4 e) Cero
c) 3
11. Dado: P(2a + b, a - 2b) = a2 + b2 Calcular el valor de: P( 5 + 3 , 5 - 3 )
a-1
=
a (a - 1) 2
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
12. Dado: %(n+2) = n x %(n) Además: %2 = 2 Calcular: %2002 a) 21001 x 1001! c) 22002 x 1001! e) 21001 x 1000!
b) 22002 x 2002! d) 2200!
b) 7 e) 1
c) 3
14. Para un entero “x”, x > 0 se define: x =2x+5 ; x =x2+2 Hallar el valor de “a” en: a =a a) 1 d) –1
b) 2 e) 1/2
c) 3
15. Si: fn= (-1)n + 1 An = f1 + f2 + f3 + …….+ fn Calcular: M = A100 – A99 a) -1 d) 2
b) 0 e) 4
c) 1
a*b = 5a; a*b>0; a+2 =
c) 10
=a+b
n+1 = 3n. Calcular: 4 * 4. b) 66 e) 23
c) 21
18. Si: f(x2 - 3x + 2) = x2 + 3x + 2; donde: x > 0; calcular “x” en: f(f(f(x + 22))) = 420 a) 106 d) 112
b) 108 e) 114
c) 110
19. Si se sabe que: 24 * 15 = 3 49 * 26 = 24 18 * 23 = 2
a5*3b=8
Calcular : bb * ab ; si: a≠b. ba * aa a) 6/7 b) 4/7 d) 9/7 e) 1/7
c) 2/7
20. Si: f(n) = n – n + n – n + n – ... Calcular: f(2)
16. Si:
b) 9 e) 29
a) 16 d) 24
Calcular: 3 + 2 a) 4 d) 2
17. Si: a2* 3 b
x =x(x+2)
a) 8 d) 13
13. Sabiendo que: x =x2 - 1
Calcular: 13 * 29
a) 0 d) 3
a2+1
b) 2 e) Absurdo
c) 1
Tarea domiciliaria 1. Si sabemos que: m@n=n(n@m) - m Calcular: E=6@5 a) 30 d) 29/31
3. Se sabe que: (m*n)º=4m; m*n>0, además: (m+1)º=m2+4 Calcular: E=10*80
b) 29 e) 31
c) 31/29
a =a × a - 1
Hallar: A=
a
a -1 × a -1 × a -1
a) 1 d) a Central: 619-8100
b) 6 e) 9
c) 7
4. Si se sabe que f(x+4)=2x2+6 Calcular: f(3x+2)
2. Si:
a) 5 d) 8
b) a2 e) (a - 1)!
c) a!
a) 18x2 - 24x+14 c) 18x2+24x+14 e) 18x2+24x - 8
b) 18x2 - 24x+8 d) 18x2+24x+8
5. Si: (2x2 - 5x)=2x+x3; ∀"x"∈ Z Hallar: M ((-3)) a) 24 d) 40
b) 35 e) 45
c) 37 www.trilce.edu.pe 145
a) 7 d) -32/23
6. Si x*y=x - y+2(y*x), hallar: 12*3 a) 2 d) 6
b) 3 e) 9
c) 4
b) 23/30 e) 23/32
14. Sabiendo que:
7. Si: [ xb ]=b.xb-1 f(x+1)=[x2]+3[x3]+f(x); además: f(4)=2 Calcular: f(2) a) -85 d) -40
b) -105 e) -125
c) -120
8. Se define la operación: (a - 3)*b=2a+3b Para cualquier valor de "a" y "b". ¿A qué equivale (a+b)*(a - b)? a) 5a - b+6 d) 5a+b - 6
b) 5a+6 e) 5a - 11
c) 5a+11
Calcular el valor de: a) 601/750 d) 576/601
4
24 2 4 4
b) 501/576 e) 576/567
c) 601/576
10. Si definimos:
Hallar: f(x)
a) 250 d) 354
b) 12x-3 e) 4(4x-3)
2x+3
Calcular:
=
x-1
3
12. Si:
x
1
=2
c) 35
2x+1 =2 x+2 +x+1
Ciclo UNI 146
b) 1 e) 3
x+1
c) 2
=x(x - 1); x∈N x2- 5
=20
Calcular: 2x -1 b) 12 e) 13
c) 18
17. Se sabe que: *(1)=11, Además: *(t+1)=*(t)+2t+3, siendo t ∈ Z Hallar: *(0)+*(3) b) 38 e) 31
c) 29
θ (n) = )(n 3) si: n $ 100 θ (θ (n + 5)); si: n 1 100 a) 1 d) 4
19. Si:
b) 2 e) 6 ax + b ax - b
c) 3
= ax b
Calcular: Q= 2 × 4 × 6 × ... × 2n
3x-1 =3 x3 +x2+1 3x+2 =4 4x-1 -x+5
7
Hallar: θ(87)÷θ(83)
13. Se definen las siguientes operaciones:
1
18. El operador "θ" es definido en el conjunto "z":
= 2 x-2 +1, además:
b) 55 e) 50
6
c) 20
Calcular: M= 7 + 9 a) 70 d) 60
2
a) 4 d) 7
a) 25 d) 30
b) 21 e) 40
5
Calcular: R=(7*3)*1
a) 19 d) 15 +x2 - 2x+7
4
3
3*6=6*3=1
Ademas:
c) 4(3x-1)
c) 281
1*4=4*1=6
Sabiendo que: -5 =3 a) 10 d) 34
b) 271 e) 324
15. Se cumplen las siguientes condiciones, según el gráfico adjunto:
11. Si:
Hallar: B=84 5100
16. Si:
2 f c 2x + 3 m =6x2+5 4
a) 3x-4 d) 3x-5
2 4 6 4 8 12 7 11 15 10 14 18
2*5=5*2=7
9. Se define: ax a=x2+1
5 3 6 9
c) -30/31
Hallar: 7
a) 2n2 - 1 d) 2n+1
b) n2 - 1 e) 2n
c) 2n - 1 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 20. Conviniendo en que ( a ; b ),( c ; d ) representan elementos arbitrarios de R2, definimos las operaciones y como sigue:
(a;b)
M
( c ; d ) = ( a+c ; d-b )
( a ; b ) = ( Mb; Ma ) , M R
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones I. Existe un ( a; -b ) satisfaciendo la igualdad ( a ; b ) ( 0 ; 0 ) = ( a ; -b ) II. Existe un ( b ; a ) satisfaciendo la igualdad 1
(a;b)=(b;a)
III. 2
[ (1 ; 2 )
a) V V F d) V V V
(3;4)]=(4;8) b) V F V e) F F F
c) F V V
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 147
PRINCIPALES PROPIEDADES OPERACIÓN MATEMÁTICA:
DE
UNA
II. CONMUTATIVA ∀a ∧ b ∈ A → a*b=b*a
Se define en el conjunto "A" una operación representada mediante el operador *. Estudiaremos las siguientes propiedades:
I. CLAUSURA
Ejemplo:
∀a ∧ b ∈ A → a*b ∈ A
Se toma un par de elementos del conjunto "A" y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto "A", entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto "A".
¿Cumple con la propiedad de clausura?
En tablas: a) Se define en el conjunto:
A = {a,b,c,d}
* a b c d a d a b c b a b c d c b c d a d c d a b
¿Cumple con la propiedad de clausura? b) Se define en el conjunto: A = {a,b,c,d} * a b c d a d b c d b b c d e c c d a b d e a b c
¿Cumple con la propiedad de clausura?
Ciclo UNI 148
5+8=8+5
La adición es conmutativa en "N".
En "R" se define: a * b = a + b – ab
¿Es conmutativa? ................................
En tablas: a) ¿La siguiente operación en tablas es conmutativa? ............................
Se define en "N" la siguiente operación: a * b = 2 a + b2
En "N" se define la adición:
Ejemplo:
El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.
* a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c
b) Se define en el conjunto M={1; 3; 5; 7} la siguiente tabla: * 1 3 5 7 3 7 1 3 5 7 3 5 7 1 1 5 7 1 3 5 1 3 5 7
¿Es conmutativa la operación?
Resolución:
Ordenando la tabla: *
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático IV. Elemento inverso (a-1)
III. Elemento neutro (e) ∃! e ∈ A / ∀a ∈ A → a*e=e*a=a
• En la adición, el elemento neutro es el cero (0): a+0=0+a=a
• En la multiplicación, el elemento neutro es el (uno): a×1 = 1×a = a
Ejemplos:
1. Se define en "R": a*b = 3 a x b 4 Hallar el elemento neutro.
Solución:
.................................................................... ....................................................................
2. Se define en "R": a * b = a + b + 3
Hallar el elemento neutro.
Observación: "a-1" se lee "elemento inverso de "a". Ejemplo : - Se define en "R": a * b = a + b – 2 Calcular: 3–1 ; 4–1; 6–1 Importante: 1. Se verifica que la operación sea conmutativa. 2. Se busca el elemento neutro "e". 3. Aplicamos teoría de elemento inverso. En tablas En la siguiente tabla : * 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7 1 3 5 7
Solución: .................................................................... ....................................................................
En tablas:
Definimos en: A = {1;2;3;4} la siguiente tabla. Hallar el elemento neutro:
Dado: ∀a∈A, ∃ a-1∈A/a*a-1=a-1*a=e
Hallar: E = ( 3 * 5–1 ) * ( 1–1 * 7)–1
Resolución: .................................................................... ....................................................................
* 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1 → e = .................
Problemas para la clase 1. La operación * está definida mediante la tabla adjunta; el resultado de efectuar la operación: (a * b) es: * a b c
a a b c
b b a c
2. En la siguiente tabla se define el operador *. * 1 3 5 7 2 3 1 -1 -3
c c c a
4 7 5 3 1 6 11 9 7 5 8 15 13 11 9
a) a d) d
b) b e) a * c
c) c
Calcular: a) 6 d) 5
Central: 619-8100
6(12 * 11) + 1@ * 13 4*3
b) 4 e) 8
c) 3
www.trilce.edu.pe 149
3. Con los dígitos: 1; 2; 3; 4 se define la operación (*), como: a*b = a + b 2 Obteniéndose el cuadrado adjunto, que debe completarse. Se afirma, entonces, que los números de las líneas horizontales deben colocarse en los espacios vacíos. * 1 2 3 4 1 1 2 2,5 2 2 3 3 2 3 3,5 4 3 4
I. Primera línea: 0,5 II. Segunda línea: 1,5 y 2,5 III. Tercera línea: 1,5 IV. Cuarta línea: 2,5 y 3,5 De estas afirmaciones, son verdaderas: a) I y IV d) I y III
4. Si:
b) Solo II e) Ninguna
Son ciertas:
I. 16 * 1 = 5 I. El elemento neutro es cero. II. El operador * no es asociativo. III. El operador * es conmutativo. a) Solo I d) Solo IV
8. Si: a * b = a – b + 5 Calcular: (3 –1 * 5 –1) * 6 –1 298 c) 299 a) 299 b) 28 31 31 299 298 d) e) 30 29 9. Definida la operación: m * n = m – 3 + n, en el conjunto de los números reales "R", calcular: L = (1-1 * 2) * 3-1 (a–1 : elemento inverso de "a")
Hallar “x”: (1*x) * (3*0)=(2*2)*1 a) 1 d) 0
b) 2 e) 3 ó 2
c) 3
5. Se define el operador # en el conjunto: A ={m,n,r,s} de acuerdo con la tabla adjunta: # m n r s m r s m n n s m n r r m n r s s n r s m
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3
10. Dada la operación: a # b = a + b + 6, en el conjunto "R", hallar el elemento inverso de 4. a) -8 d) -10
b) -12 e) 9
c) -16
11. En el conjunto de los números racionales "Q", se define: a @ b= 3ab. El elemento neutro de @ es: a) 1 d) 1/4
b) 1/2 e) 1/5
c) 1/3
I. El operador # representa a una operación que cumple con una ley de composición interna. II. El operador # representa a una operación que cumple con la propiedad conmutativa. III. El elemento neutro respecto a # es (s). IV. El inverso de (s) es m.
12. Se define la operación (*) en el conjunto: A = {m,n,p} * m n p m m n p n n p m p p m n
Son ciertas:
a) Solo I d) Solo IV
b) I, III e) Todas
c) I, II
6. En el conjunto de los números reales "R", se define * mediante: a * b= a + b + 1. Ciclo UNI 150
c) II, III
7. En el conjunto de los números reales "R", se define el operador # según: a # b = 0. ¿Qué propiedad verifica #? a) La operación # no es asociativa. b) La operación # no es conmutativa. c) Existe elemento neutro. d) No existe elemento neutro. e) Para cada elemento existe su inverso.
c) II y IV
* 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 3 0 2 2 2 0 3 1 3 3 2 1 0
b) III, IV e) Todas
Calcular "x" en:
(m –1 * p –1 ) * ( n –1 * x )=m –1
Siendo m-1 = elemento inverso de "m" a) p d) "p" o "m"
b) n e) "m" o "n"
c) m
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 13. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} se define la operación representada por "*" mediante la siguiente tabla: * 3 1 4 2 4 3 1 4 2 1 2 4 1 3 2 1 3 2 4 3 4 2 3 1 • Calcular: "x" [3 * (x * 4)] *1 = (4*2) * (3* 1) • Determinar si la operación es cerrada. • Determinar si la operación es conmutativa. • Hallar, si es que existen, el elemento neutro. y el elemento inverso de cada elemento. • Calcular: A =
15. Se definen las operaciones “∆”, “∇” en el conjunto "Z". ∆ 5 6 7
5 23 28 33
1 0 7 26 63
6 28 34 40
2 -1 6 25 62
7 33 40 47
3 -2 5 24 61
4 -3 4 23 60
Calcular: (10∆3)(10∇250) a) 20 000 d) 20 100
b) 21 000 e) 2 100
c) 21 100
16. El operador * está definido mediante la siguiente tabla: * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 1 2 3
Central: 619-8100
b) 4 e) 1 o 2
c) 2
17. Se define en: A = {1; 2; 3; 4}. * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Calcular "x" en: [(2-1*3)-1*x-1]*[(4-1*2)*4]-1=2 Siendo: x-1 elemento inverso de “x”
4–1*1–1
Indicar la afirmación falsa: a) Existe un elemento neutro para cada operación. b) La operación es conmutativa. c) Todo elemento de "A" tiene un inverso respecto de "%". d) Si (4 % 1) % x = 3, entonces: x = 2 e) (2 % 3) % (3 % (4 % 1)) = 4
∇ 1 2 3 4
a) 3 d) 1
3–1*2–1
14. En: A = {1; 2; 3; 4} se define la operación "%" mediante la tabla adjunta: % 1 2 3 4 1 4 3 2 1 2 3 4 1 2 3 2 1 4 3 4 1 2 3 4
Hallar el valor de "x" en: [(2-1 # 3)-1 # x] # [(4-1 #2) # 3]-1 = 3 Siendo: x-1 elemento inverso de "x"
a) 1 d) 4
b) 2 e) Cero
c) 3
18. Definimos la operación (*) mediante: Nota: a-1. elemento inverso de “a”. * p n m p m p n n p n m m n m p
Calcular : E=6(m * p - 1) * (n * m - 1) - 1@
a) m d) "m" y "n"
b) n e) "p" y "n"
c) p
19. En el conjunto: B={0; 1; 2; 3; 4}, se define el operador "*" mediante la tabla adjunta: * 0 1 2 3 0 0 p 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 q r 3
Sabiendo que *representa a una operación conmutativa, es conmutativo, calcular: L = p-1 + 1-1 + q-1 Siendo: p-1 elemento inverso de "p" a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 6
20. En "R", se define la operación: m & n = 2mn. Entonces: I. La operación es cerrada. II. La operación es conmutativa. III. El elemento neutro es 1. Son ciertas : a) Solo I b) Solo II c) I, II d) II,III e) Todas www.trilce.edu.pe 151
Tarea domiciliaria 1. En el conjunto de los números reales "R", se define el operador # según: a#b=0. ¿Qué propiedad no verifica #?
a) b) c) d) e)
La operación # es asociativa. La operación # es conmutativa. Existe elemento neutro. No existe elemento neutro. Para cada elemento no existe su inverso.
6. Dada la siguiente tabla:
2. En el conjunto Q={1; 3; 5; 7} se define la operación "∇" según la siguiente tabla: ∇ 5 7 3 1 7 7 1 5 3 3 3 5 1 7 1 1 3 7 5 5 5 7 3 1
Luego, sea x-1 el inverso de x∈Q. Según la operación ∇, hallar: -1 -1 E= 3 - 1 + 5 - 1 7 +1
a) 1/3 d) 5/3
b) 3/5 e) 3
a) 2 d) 0
b) 1 e) 4
c) 3
4. Se define en el conjunto "Q", una operación simbolizada por #, de la siguiente manera: # 1 2 3 4 1 5 7 9 11 2 8 10 12 14 3 11 13 15 17 4 14 16 18 20 Calcular: (8#3) + (7#5) A= 4#8 a) 23/12 d) 61/28
b) 45/44 e) 61/29
c) 23/22
5. Se define: a*b=a+b+ab. Hallar: (3-1*2-1)-1 donde: a-1 es el elemento inverso de "a". a) 11 d) 3/4
Ciclo UNI 152
b) 23/35 e) -12/5
c) 33/35
Indicar verdadero o falso: I. La tabla muestra una operación conmutativa. II. El operador "*" representa a una operación que cumple con la propiedad asociativa. III. El elemento neutro es 3. IV. Considerando que a-1 es el elemento inverso de "a", entonces: (2-1*3-1)=1/25. a) VVFF b) VVFV c) VVVV d) FVFV e) FFVV
7. Se define: m#n=5mn/2 Donde: m-1 es el elemento inverso de "m". Calcular: -1 -1 -1 E=;c 1 m # c 1 m E # c 4 m 50 25 25 a) 120 d) 180
c) 1
3. Se define: a$b=a+b - 4 Hallar: M=(2-1$4)-1 $(6-1$8)-1 Donde a-1 es elemento inverso de "a"
* 4 8 12 16 5 4 8 12 16 15 12 24 36 48 25 20 40 60 80
b) 200 e) 10
c) 12
8. Se define en "R": a%b=a+b-4/3 a-1=elemento inverso de "a"; siendo 2-1 para dicha operación de la forma n/m; donde n/m es una fracción irreductible. Entonces "nm" es igual a: a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 0 9. Para la operación definida en el conjunto A={1; 2; 3; 5} mediante la siguiente tabla:
∇ 1 2 3 5 5 1 2 3 5 3 2 1 0 3 2 3 0 1 2 1 5 3 2 1
Se afirma: I. Es cerrada en el conjunto "A". II. Es conmutativa. III. Posee elemento neutro. Son ciertas: a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todas
10. En los Reales se define la operación: a%b=a+b+4ab, a ≠ -1/4. Hallar 4-1; donde: a-1 es el elemento inverso de "a". a) -4/17 b) -4/7 c) -4/15 d) 4/15 e) 1/4 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 11. Se define la operación binaria "" en el conjunto M={2; 3; 4; 5; 6; 7} mediante la siguiente tabla: 2 3 5 7 2 5 a p 3 7 q r a d 3 7 2 q m 5 2 q 5 c Si dicha operación es commutativa, además: c c=2; entonces podemos afirmar que: I. La operación tiene elemento neutro. II. q-1 (c - 5)-1=3 III. Si (m-1 7)-1 =(d-1 x)-1; entonces: x=5 a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) II y III
a) VFV d) FVF
Calcular "x", si:
c) 2
13. Se define el operador (*) en el conjunto Q={0; 1; 2; 3} mediante la siguiente tabla: * 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 3 0 2 2 2 0 3 1 3 3 2 1 0
Entonces, es falso: I. La operación es cerrada. II. El elemento neutro es 4. III. 0-1=0 ; 1-1=2 ; 2-1=1 ; 3-1=3 IV. 3-1*2-1=0 a) I y II d) I, II, III
b) II y III e) Todas
a) -33/28 d) 28/33 Central: 619-8100
b) 9/28 e) 29/38
c) -28/9
Calcular: M=[(2-1∆ 6-1)-1∆(6 ∆ 8-1)-1]∆ 4-1 b) 7 e) 6
c) 2
17. Dado: 1-1=1; 4-1=4; 2-1=3; 3-1=2. Además el elemento neutro toma su máximo valor en esta operación cerrada. Calcular: A=[(3&2)-1 & (4&1-1)]-1 a) 1 d) 4 18. Si:
b) 2 e) 1 o 2 x
Además: Calcular:
c) 3
= 4x - 5 a*b = 4(a+b)+3
P=(3-1*4-1)-1 * ( 3
-1*
2
-1)-1
Se sabe que b-1 es el elemento inverso de "b". a) 16 d) 10
b) 14 e) 22
c) 23
19. Definimos el operador (*) en el conjunto de los números reales mediante la siguiente operación:
c) II y IV
14. Se define en los la operación matemática: m*n=m+n+(4/3)mn ¿Qué número no tendría inverso? ¿El inverso de qué número es la unidad? Dar como respuesta la suma de ambos resultados.
c) FVV
∆ 0 2 4 6 8 0 4 6 8 0 2 8 2 4 6 8 0 6 0 2 4 6 8 4 8 0 2 4 6 2 6 8 0 2 4
a) 4 d) 1
[(2-1 * 3)-1 * x] * [(4-1 * 2) * 3]-1=1, siendo a-1 elemento inverso de "a". b) 1 e) 4
b) VVF e) VVV
16. Se define:
* 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1
a) 0 d) 3
Indicar (V) o (F) I. (32)2=122 II. La operación es conmutativa. III. La operación tiene elemento neutro.
c) Solo III
12. Definimos en el conjunto: A={1; 2; 3; 4}
15. Se define: ab=3ab+2 , ∀ a,b ∈ R
a*b= 2a + b 2 Hallar el elemento neutro respecto al operador (*): a) 0 d) -1
b) 1 e) No existe
20. Definida la operación en
c) 2
:
a#b=a+b+8
¿Cuál es el elemento inverso de -26? a) 8 d) 10
b) -12 e) 9
c) -16
www.trilce.edu.pe 153
Problemas resueltos
Resolución
• Primero hallaremos qué día de la semana será el 15 de febrero de 2014. • Años transcurridos = 75 • Años bisiestos 2012 - 1940 + 1 = 19 4 º Luego: 75+19=94= 7 S +3 + S Lun
3
Jueves Entonces: 15/02/2014 → Jueves 12/04/2014 → ? Hallando los días transcurridos.
•
Febrero
Del: 15 Al : 28
123
13
• Marzo : 31 • Abril : 12 º 13+31+12=56<>7
Rpta.: Jueves
2. Cierto reloj se adelanta cuatro minutos cada cinco horas. ¿Qué hora será en realidad cuando el reloj marque las 11:00 h, si hace 20 horas que empezó a adelantarse?
Resolución Pasan
4 minutos
20 h
x
5x=20(4) x=16 minutos • Dicho reloj tiene 16 minutos de adelanto; es decir, está marcando 16 minutos más • Luego: Hora=11:00 - 16 minutos=10:44 real
Ciclo UNI 154
Se adelanta
5h
Rpta.: 10:44
3. La campana de una iglesia suena (n2+2) veces en "m" minutos. ¿Cuántas veces sonará dicha campana en (m+3) minutos? Resolución: • Recordemos que se deben considerar los intervalos de tiempo. Intervalos Tiempo Campanadas
n2+2
-1
n2+1
m
x
-1
x-1
m+3
Rpta.: x=
(n2 + 1) (m + 3) + m m
4. Un reloj se empieza a atrasar cinco minutos por cada hora que pasa. ¿Cuánto tiempo como mínimo debe pasar para que este reloj vuelva a marcar la misma hora que el reloj normal? Resolución Observación: Cuando un reloj se empieza a atrasar o adelantar, para que este reloj vuelva a marcar la misma hora se tiene que atrasar o adelantar 12 horas (720 minutos). Se adelanta Pasan 1h x
5x=720 x=144 h
5 minutos 720 minutos
Rpta.: Tienen que pasar 144 h o 6 días
5. ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 19 horas, 20 minutos, 15 segundos?
Resolución
α=± 11 M 30H 2 Usaremos la fórmula Debemos convertir el dato para poder aplicar la fórmula: 19 h 20 min 15 seg <>07:20 1 p.m. 4 Luego: α= 11 ⋅(20 1 )+30(7) 2 4 α =98,7º
Rpta.: 98,7º
±
1. Si se sabe que el 15 de febrero del año 1939 fue lunes, ¿qué día de la semana será el 12 de abril del año 2014?
Nota: el horario lleva el signo (+) pues está más cerca de las 12 (en sentido horario). Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Problemas para la clase 1. El campanario de una iglesia toca siete campanadas en 12 segundos. ¿Cuántos segundos demora en dar 10 campanadas? a) 16 d) 17
b) 15 e) 18
c) 12
2. Un reloj demora (m + 2) segundos en tocar (m2 + 2m + 1) campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en un minuto? a) 30 m d) 60 m+1
b) m+1 e) 60 m - 1
c) m
3. La campana de una iglesia emplea 12 segundos en tocar tantas campanadas como segundos transcurren entre campanada y campanada. ¿Cuántas campanadas tocará en 20 segundos? a) 7 d) 5
b) 6 e) 8
c) 4
4. El campanario de una iglesia indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las “n” horas tarda “m” segundos, ¿cuántas horas habrán transcurrido, desde el instante en que empleó “n” segundos para indicar dicha hora hasta el instante en que utilizó “4n” segundos para indicar la hora correspondiente? a) (3n+1) / (n-1) c) 3n(n-1) / m e) (mn+1)/ (mn-1)
b) 3n(n-1) / n d) m/ n
5. Si el 7 de febrero de 1984 fue viernes, entonces el 10 de abril de 1984 fue: a) Lunes d) Domingo
b) Viernes e) Martes
c) Sábado
6. Si el 10 de febrero de 1972 fue martes, ¿qué día fue el 29 de diciembre de ese mismo año? a) Martes d) Viernes
b) Miércoles c) Jueves e) Lunes
7. Si el 6 de marzo de 1950 fue sábado, ¿qué día fue el 6 de marzo de 1973? a) Sábado d) Viernes
b) Lunes e) Domingo
c) Martes
8. Si el 28 de julio de 1948 fue lunes, ¿qué día será el 5 de agosto del año 2018? a) Lunes d) Domingo Central: 619-8100
b) Martes e) Viernes
c) Miércoles
9. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día de la semana será el 24 del mes que le sigue al mes en mención si todavía faltan más de dos meses para celebrar fiestas patrias? a) Martes d) Lunes
b) Miércoles c) Viernes e) Domingo
Observación: Número de días de la semana que más aparecen o se repiten (cinco veces)
Indica que el mes tiene:
1 día
29 días
2 días
30 días
3 días
31 días
10. Carlos pregunta: "¿Qué hora es?" y le responden: "Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además, dentro de 13 minutos faltará para las 13 la misma cantidad de minutos que habrán pasado desde las 11 hasta hace 7 minutos". ¿Qué hora es? a) 11:57 d) 11:56
b) 11:54 e) 11:55
c) 11:58
11. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj forman un ángulo de 130° por segunda vez? a) 2h 52 8/11min c) 2h 49 3/11 min e) 2 h 47 3/10 min
b) 2h 50 min d) 2 h 51 min
12. En una mañana de sol, un árbol de 8 3 m de altura arroja una sombra de 8 m de longitud. ¿Qué ángulo forman las agujas en ese momento? a) 60° d) 340°
b) 70° e) 80°
c) 260°
13. ¿A qué hora, entre las 15 horas y 16 horas, las agujas de un reloj están superpuestas? a) 15h 17 min b) 15h 19 min c) 15h 19 7/11 min d) 15h 16 4/11 min e) 15h 17 7/11 min 14. Fabiana empieza una tarea cuando las agujas del reloj forman un ángulo recto entre las 2 y las 3, y termina cuando las agujas del reloj están superpuestas entre las 3 y las 4. ¿Qué tiempo duró la tarea? a) 45 min d) 78 min
b) 34 6/7 min c) 49 1/11 min e) 49 min www.trilce.edu.pe 155
18. Un reloj se adelanta ocho minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará dicho reloj cuando en realidad sean las 7:54 h, si hace cinco horas que viene funcionando con este desperfecto?
15. ¿Qué hora indica el gráfico?
a) 10:44 h d) 10:24 h
a) 2:57 1/7 d) 2:57 7/11
b) 2:53 1/7 e) 2:57 1/11
c) 2:55 7/8
16. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?
a) 1:37 7/13 b) 1:38 4/9 d) 1:38 4/7 e) 1:38 9/11
19. Un reloj se atrasa seis minutos cada 20 minutos. ¿Qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 14:48 h, si hace 3 h 20 min que viene funcionando con este desperfecto? a) 13:48 h d) 13:28 h
b) 14:28 h e) 14:40 h
b) 13:38 h e) 15:48 h
c) 13:40 h
a) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que ambos relojes marquen la misma hora?
c) 1:39 5/9
17. ¿A qué hora inmediatamente después de las 14:00 h, el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12? a) 14:32 h d) 14:24 h
c) 10:25 h
20. Dos relojes se sincronizan a la misma hora, a partir de cuyo instante uno de ellos se adelanta dos minutos por hora y el otro se atrasa tres minutos, también por hora.
b) 10:34 h e) 10:14 h
b) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que ambos relojes marquen la hora correcta?
c) 14:35 h
Tarea domiciliaria 1. Un reloj da ocho campanadas en 16 s. ¿Cuántas campanadas dará en 80 s?
5. Si el 19 de agosto de 1994 fue martes, ¿qué día será el 15 de agosto del año 2007?
Rpta.: ....................................
2. Un reloj indica la hora tocando tantas campanadas como la hora indica en ese momento y además, toca tres campanadas cada media hora. ¿Cuántas campanadas se oirán en un día?
Rpta.: ....................................
4. Si el 17 de febrero de 1986 fue domingo, ¿qué día será el 28 de diciembre de ese mismo año?
6. En un determinado mes existen cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles. ¿Qué día caerá el 18 del siguiente mes?
Rpta.: ....................................
7. Tránsito nació cuatro años exactos antes que Eucalipta. Tránsito nació el 28 de diciembre. Si la Navidad cae sábado, ¿qué día de la semana cae el cumpleaños de Tránsito?
Ciclo UNI
Rpta.: ....................................
8. Si el 31 de julio del próximo año será martes, ¿qué día habría sido el 1 de agosto del año pasado que fue bisiesto?
156
Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
3. Un boxeador da 10 golpes en 4 s. ¿Cuánto tiempo demorará en dar 28 golpes?
Rpta.: ....................................
Rpta.: .................................... Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 9. ¿Cuántos años bisiestos ha habido desde 1920 hasta 1986, inclusive?
Rpta.: ....................................
16. Dentro de dos días faltarán para terminar el mes de febrero tantos días como la mitad de los días transcurridos hasta hace seis días desde el inicio de dicho mes. ¿Qué día es, si febrero se encuentra en un año bisiesto?
10. Si el primer día de 1934 fue sábado, ¿en qué día empezará el año 1981?
17. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en dos a los 3/8 del número de hojas que quedan?
Rpta.: ....................................
11. Si un mes empieza y termina en domingo, ¿qué día será el último día del siguiente mes?
Rpta.: ....................................
12. Si el 15 de abril de 1980 fue sábado, ¿qué día habrá sido el 14 de julio de 1982?
Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
14. Un reloj da (a+1) campanadas en a2 segundos, entonces, ¿cuántas campanadas dará en 3a segundos?
Rpta.: ....................................
15. En una casa encantada hay un fantasma bastante especial: aparece cuando el reloj comienza a dar la medianoche y desaparece con la última campanada. El reloj tarda seis segundos en dar seis campanadas. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma?
Rpta.: ....................................
18. ¿En qué día y hora del mes de abril del año 2000 se verificará que la fracción transcurrida de ese mes sea igual a la fracción transcurrida de ese año?
13. Durante cierto mes se pueden contar más lunes y martes que los demás días de la semana. ¿Qué día fue el último día del siguiente mes?
Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
19. Si el 13 de marzo de 1972 fue jueves, ¿qué día habrá sido el 18 de agosto de 1990?
Rpta.: ....................................
20. Un reloj indica las horas con tantas campanadas como el número de horas transcurridas. Si para indicar las 8:00 h tardó 14 segundos en dar las campanadas, ¿qué hora indicó cuando tardó 22 segundos?
Rpta.: ....................................
Rpta.: ....................................
Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 157
Problemas resueltos 1. Se requiere determinar el número de asistentes a una reunión de padres de familia. Información brindada: I. El 60% de los asistentes son mujeres. II. El número de mujeres que asistieron excede en 10 al número de hombres. Para resolver el problema: a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente. c) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. d) Cada una de las informaciones, por separado, es suficiente. e) La información brindada es insuficiente.
Mujeres: 60%T Hombres: 40%T • Dato II: Mujeres: n+10 Hombres: n
H =2 M 3
Se determina la relación de la cantidad de hombres y mujeres pero no el total (insuficiente)
No se conoce el total
→ T=50
Rpta.: c
2. La pregunta que a continuación se propone está acompañada de las informaciones I y II. Analizar e identificar la información suficiente para responder: la figura ABCD ¿es un cuadrado? Información: D C α I. α=45º II. Medida del ángulo ADC es 90º a) b) c) d) e)
Solo la información I A B Solo la información II Ambas informaciones a la vez. Cada una de las informaciones por separada. La información brindada es insuficiente.
Ciclo UNI 158
•
Dato I: α=45º D
C
45º
A
B
No necesariamente es un cuadrado (insuficiente)
• Dato II: \ADC=90º D
A
• Si ambos datos son n =2 insuficientes, se 3 n + 10 pueden juntar
Resolución
Resolución • Dato I:
C
B
(insuficiente)
• Datos: I y II D
45º
C
A
B
(insuficiente)
Rpta.: e
3. Una bolsa contiene bolas verdes, amarillas y blancas. Si en total existen nueve bolas, se desea saber de cuántas maneras distintas se pueden ordenar dichas bolas. Información brindada: I. Existen tres bolas verdes y cuatro blancas. II. Dentro de la bolsa existen, además, dos bolas amarillas. La pregunta se puede resolver, considerando:
a) b) c) d) e)
Solo la información I Solo la información II Ambas informaciones a la vez. Cada una de las informaciones por separado. La información brindada es insuficiente.
Resolución En total, la bolsa contiene nueve bolas:
Dato I: Verdes=3 Blancas=4 ∴ Amarillas=2 Al conocer la cantidad de cada color, es posible calcular de cuántas maneras se pueden ordenar (suficiente)
Dato II: No se puede conocer la cantidad de bolas verdes y blancas (insuficiente) Rpta.: a Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Nota: Luego de analizar de manera independiente cada dato y determinar que uno de ellos es suficiente, no son necesarios ambos datos.
4. ¿Cuál es el valor de x? Información brindada: II. x<2 I. x2 - 2x=8 Para resolver este problema se requiere utilizar:
5. Determinar el valor de "n". Se sabe que n3 es un número de tres cifras. Información brindada: I. (n+3)3 es un número de cuatro cifras. II. n2 es múltiplo de 2.
a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente.
a) I solamente b) II solamente c) I y II conjuntamente d) I o II, cada una por separado e) Información adicional
Resolución
Dato I:
Dato II:
x2 - 2x=8
x<2
Se determina: x=4 x=-2 No se precisa el valor de "x" (insuficiente)
Existen infinitos valores (insuficiente)
Para resolver:
c) Es necesario utilizar ambas informaciones. d) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente. e) Las informaciones dadas son insuficientes.
Resolución
De la información: n3=abc se deduce que n={5; 6; 7; 8; 9} Dato I:
Dato II:
(n+3)3=xyzw se cumple para n={7;8;9} (insuficiente)
n2=2 Se cumple para n={6;8} (insuficiente)
Datos I y II:
-2
Datos I y II: 2
Se cumple para n=8
4
x=-2
º
Rpta.: c
Rpta.: c
Problemas para la clase 1.
Calcular el valor de: E = (x2 + 2y)(x4 - 2x2y + 4y2) – (x2 - 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) I. x = 2 II. y = 1 a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
2. ¿Cuál es el radio del círculo de centro O? I. El área del círculo es 25π. I. El área del círculo dividido entre el diámetro del círculo es igual a π veces la mitad del radio del círculo. a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
3. Si: y > 0, ¿cuál es el valor de x/y? I. x = 1/4 y II. y = 400% de "x" a) I d) I o II Central: 619-8100
b) II e) F.D.
c) I y II
4. Hallar: E=m3 + 13 , m>0 m I. m2+ 12 =4 m II. m+ 1 = 6 m a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
5. Si: P(x+3) – P(x) = 2x+1, hallar: P(4). I. P(0) = 2 II. P(1) = 3 a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
b) II e) F.D.
c) I y II
6. ¿Es x > y? I. x/y = 5/4 II. x2 > y2 a) I d) I o II
www.trilce.edu.pe 159
7. ¿Cuántas frutas tiene un árbol, si dicho número está entre 80 y 90? I. Si se cuentan de cuatro en cuatro, sobra una. II. Si se cuentan de seis en seis, sobra una. a) I d) I o II
b) II e) F.D.
b) II e) F.D.
c) I y II
9. Resolver la ecuación, hallando un único valor numérico para "x": p(2x – 1) + 3 = 4 – (p + 1) + q + x I. p = 2 II. q = 0; p≠1/2 a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
10. Determinar si: x(3x + 5) es par. I. "x" es par. II. "x" es impar. a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
11. Si: a + b = b ; "a", "b" y "c" son enteros. c b+c Entonces, para hallar "b" se necesita: I. a + c = 20 II. ac = 64 a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
12. Hallar el valor de "x", entero positivo: I. 5x < 7 x + 1 es un entero positivo. II. x a) I b) II c) I y II d) I o II e) F.D. 13. Determinar A + B, si: A + B = Cx + D x-2 x+5 x2 + 3x - 10 I. C = 3 II. D = 29 a) I d) I o II Ciclo UNI 160
b) II e) F.D.
a) I d) I o II
c) I y II
8. ¿Cuánto gasté, si tenía S/. 240 para hacer compras? I. Gasté los 3/5 de lo que no gasté. II. Lo que no gasté excede en S/.60 a lo que gasté. a) I d) I o II
14. En un triángulo ABC, AB = 7 m y AC = 2 m. Determinar el perímetro de dicho triángulo I. La longitud de BC es un número entero. II. El
c) I y II
b) II e) F.D.
c) I y II
15. Hallar: 2 * 4.
I. a * b =
II. a * b =
ab b*a 3
ab
a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
16. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 3x + a < 5x + b – 2x I. a – b < 0 II. b < a a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
17. Si "A" y "B" son números reales y positivos, hallar:
M=
AB A+B
I. A + B = 6 4 AB II. (A+B)2= 4AB a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
18. El signo de la expresión: xyz I. x2y2z< 0 II. x < 0 a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
19. Se tiene un mantel formado por paños rectangulares, de los cuales se conocen su superficie y el número de estos que conforman el mantel. ¿Con cuáles de los siguientes datos se pueden hallar las dimensiones del mantel si los paños están uno a continuación del otro? I. El perímetro del mantel II. Las dimensiones de los paños a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II
20. Hallar la distancia entre la ciudad de “Anco” y “Cañaverales”. I. La distancia de “Anco” a “Puquero” es 40 km. II. La distancia de “Puquero” a “Cañaverales” es 30 km. a) I d) I o II
b) II e) F.D.
c) I y II Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Tarea domiciliaria 1. Sean "p" y "q" dos números enteros. Entonces, para determinar cuál de ellos es siempre el mayor se requiere conocer además, la información dada: p (1) =3 q
(2) p q>0
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero 5. Una persona parte de una ciudad "P" y pasa por las ciudades "A", "B" y "C" sucesivamente. Se la "(1)" sola no lo es. puede calcular la distancia de "P" a "B", si se c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, sabe que: pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. (1) "S" es la distancia de "P" a "A". e) Si la información dada no es suficiente. (2) "Q" es la distancia de "P" a "C". 2. En un taller de reparación hay ocho vehículos entre motos y autos. Determinar la información necesaria para responder a la siguiente pregunta: ¿Cuántos autos y motos hay en el taller?
(1) Se encontraron 28 ruedas. (2) La cantidad de autos excede en 4 unidades a la de motos.
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero 6. Entre Pablo, Sebastián, Nicolás y Ricardo se la "(2)" sola no lo es. comieron una torta. De la información dada en b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero (1) y (2), ¿cuál es la necesaria para determinar la "(1)" sola no lo es. quién fue el que más comió? c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. (1) Sebastián comió el doble que Pablo y el trid) Si cualquier afirmación sola es suficiente. ple que Ricardo. e) Si la información dada no es suficien(2) Nicolás ha comido más que Pablo y más que te. Ricardo. 3. Un comerciante se plantea obtener una ganancia de S/.1000, vendiendo 30 relojes de pulsera. Para determinar esta ganancia debe conocer:
(1) El precio total de la compra (2) El precio unitario de la venta
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, 7. "P", "Q" y "R" representan a tres personas: el abuelo, el padre y el hijo. Si las relaciones que pero ninguna sola. a continuación se señalan se refieren a la edad, d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. entonces para determinar quién es el abuelo, el e) Si la información dada no es suficiente. padre y el hijo, respectivamente, se debe conocer que: 4. En un salón de clases hay cierto número de alumnos. Para determinar cuántos alumnos hay (1) Q>P en el salón, se debe conocer que: (2) P+Q
(1) El 20% del total están desaprobados (2) El 30% del total son mujeres.
Central: 619-8100
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. www.trilce.edu.pe 161
b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
11. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero circunscrito?
R b
8. Para saber qué porcentaje de 16 es "m", se debe conocer que:
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
(1) "m" es el 5% de 10 (2) 400% de "m" es 2 a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
a
(1) R=4 (2) a=10 - b c
12. En un cuarto de círculo, hallar el perímetro de A. A
9. Sea x+y=z, para determinar si el número "z" es impar se debe conocer que:
(1) "x" e "y" son números consecutivos. (2) "x" e "y" son números mayores que 34.
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
B
(1) BP=2 A (2) MB=BN= 2 M
x C
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
Ciclo UNI 162
(1) Perímetro de "B" (2) Perímetro del cuarto del círculo
13. Si: AB=BC, hallar el área del triángulo ABC.
D A
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
10. Hallar la medida del \x: (1) "D" es el incentro. (2) El \B mide la tercera parte de un ángulo llano.
B
B
P
N
C
a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 14. ¿Cuántas cartas pueden escribir dos mecanógrafas en un día de trabajo? (1) Un día de trabajo tiene una duración de seis horas y 30 minutos. (2) Cuatro mecanógrafas pueden escribir 600 cartas en tres días de trabajo. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. 15. ¿Qué número de personas no votan en un país? (1) Solo pueden votar los mayores de 20 años. (2) Este país tiene una población total de 5 362 486 personas. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. 16. ¿Cuánto mide la circunferencia de un círculo?
(1) El radio es 4. (2) La superficie es 16π. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
17. ¿Cuánto pesa Miguel? (1) Si Miguel midiera 5 cm más, pesaría 12 kg más. (2) Si Miguel midiera 5 cm más, su peso se incrementaría en un 10%. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola.
Central: 619-8100
d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. 18. ¿Cuántas bolas rojas hay en una caja? (1) Elevando al cuadrado el número de bolas rojas se obtendría el mismo resultado que multiplicando por tres dicho número. (2) Hay diez bolas en la caja. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. 19. Un colegio tiene un auditorio con 25 filas de asientos. Cada fila tiene de 30 a 35 asientos. Si el auditorio está lleno, qué porcentaje del colegio tiene cabida? (1) El colegio tiene 2000 alumnos y 70 profesores. (2) La media de asientos por fila es de 32. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. 20. Se cayó un canasto con 90 huevos, de los cuales 60 eran blancos. ¿Cuántos huevos de color se quebraron? (1) Los huevos blancos que no se quebraron son 53. (2) Se quebró una docena de huevos. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.
www.trilce.edu.pe 163
Problemas resueltos Gráfico (1-2) Los gráficos adjuntos representan el resultado de un estudio realizado sobre los ingresantes a una universidad nacional durante los años 2005 y 2006. Ingresantes
2. Si el 10% de los ingresantes de los colegios religiosos en el año 2005 está representado por mujeres, de las cuales el 50% pertenecieron al tercio superior de sus respectivos colegios, ¿qué cantidad es esa?
3000 2900 2800 2700 2600 2500 2400 2300 2200
Resolución
• Los ingresantes de cole- gios religiosos en 2005 10%×5800=580 son el 10% del total • El 10% de 580 son 10%×580=58 mujeres
2005 I
2005 II
2006 I
•
2006 II
Ingresantes de diversos colegios 2005
15%
Producción de lápices en millones
50% 40%
Rpta.: 29
3. Respecto a la información brindada en el diagrama de barras mostrado
2006
10%
El 50% perteneció 50%×58=29 al tercio superior
12
60%
9
25%
6 3
Nacionales
Particulares
Religiosos
1. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de alumnos que ingresaron de colegios nacionales en 2006 y los de colegios particulares de 2005? Resolución
Analizando: • Ingresantes 2005 5800 • Ingresantes 2006 5400
Gráficos de barras
• Ingresantes colegios nacionales 2006 → 60%×5400=3240
• Ingresantes colegios particulares 2005 → 40%×5800=2320
Piden: 3240 - 2320 = 920
Ciclo UNI 164
123
Rpta.: 920
2002 2003 2004 2005 2006
años
Es correcto afirmar: a) El promedio de producción de los últimos tres años supera al promedio del total de años. b) El promedio de producción de los cuatro primeros años supera al promedio del total de años. c) El promedio de producción del segundo, tercer y cuarto año supera al promedio de producción de los últimos tres años. d) El promedio de producción del segundo y cuarto año es mayor al promedio de producción de los primeros cuatro años. e) El promedio de producción del primer y tercer año es igual al promedio de producción del segundo y cuarto año. Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Resolución
Analizando cada alternativa:
5
(falso)
30º ↑ k
12 + 9 + 3 + 6 < 12 + 9 + 3 + 6 + 9 (falso) b) 4 5
3 + 6 + 9 = 12 + 9 + 3 + 6 + 9 (falso) c) 3 5 9 + 6 = 12 + 9 + 3 + 6 d) (falso) 2 4 12 + 3 = 9 + 6 e) (verdadero) 2 2
8
I
7 6
M
5
Luego:
60º I
5k<>1500
Ingeniería
8000
2k<>600
Medicina Ciencias Sociales Arte
6000
k<>300
5000
3k<>900
6000
k<>300
(V)
(V)
II. De la tabla
C.S. Postulantes = 5000 = 50 Ingresantes 900 9
(V)
Rpta.: e
Gráfico I
Total de ingresantes: 3600
I. A Medicina, de cada 20 postulantes ingresó uno. II. A Derecho ingresaron 1500 postulantes. III. La relación postulantes / ingresantes es mayor en Ingeniería que en Ciencias Sociales. c) Solo III
Resolución
Del gráfico circular obtenemos la cantidad de ingresantes a cada especialidad.
Gráfico II
S/.
Indicar las afirmaciones correctas:
b) Solo II e) Todas
7000
5. El gráfico I muestra lo que gana por hora un operario, y el gráfico II, la cantidad de horas que labora por cada día.
D
a) Solo I d) I y II
Derecho
I. Postulantes = 6000 = 20 Ingresantes 300 1
C.S.
M
Ingresantes
III. Ingeniería Postulantes = 8000 = 40 Ingresantes 600 3 Especialidades
A
Postulantes
C S
D
4
A
30º ↑ k
M
150º ↑ 5k
4. El gráfico de barras muestra el número de postulantes en cada especialidad y el gráfico circular indica el porcentaje de ingresantes por especialidad. A. Arte D. Derecho I. Ingeniería M. Medicina C.S. Ciencias Sociales
C.S
A D
Rpta.: e
Miles
90º ← 3k I
3 + 6 + 9 < 12 + 9 + 3 + 6 + 9 a) 3
2k → 60º
40
10
30
8
20
6
10 L M M J V S D
Horas
días
4 L M M J V S D
días
Indicar la alternativa correcta: a) El día jueves gana el 42% de lo que percibe el día martes. b) El día viernes gana el 50% de lo que percibe el día domingo. c) Lo que gana los días sábado y domingo supera a lo que percibe los días martes y viernes.
12k=3600 → k=300 Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 165
d) Los días lunes, miércoles y viernes gana más que los días martes, jueves y sábado. e) El ingreso que percibe trabajando los días miércoles, jueves y domingo es menor al que percibe trabajando los días martes, sábado y lunes.
Resolución
Analizando, se halla lo que gana día a día: Lunes = 10×S/.10=S/.100 Martes = 8×S/.40=S/.320
Miércoles = 8×S/.30=S/.240 Jueves = 6×S/.20=S/.120 Viernes = 8×S/.20=S/.160 Sábado = 8×S/.30=S/.240 Domingo = 6×S/.40=S/.240
Evaluando cada alternativa se deduce que la única correcta es la "e".
Rpta.: e
Problemas para la clase Enunciado (1-2) Una discoteca del centro de Lima muestra en el gráfico adjunto las cantidades promedio de hombres y mujeres que acuden a su local cada uno de los días de la semana: Personas 400 350 300 250 200 150 100 50
IV. Las cantidades mínimas entre ambos sexos se dio en diferentes días. a) V V F V b) V F V V c) V F F F d) F V F V e) V V V V Enunciado (3-7) La comercializadora "El pollón" se dedica a la venta de alimento balanceado para pollos. El siguiente gráfico muestra el precio de venta en función de la cantidad de kilogramos deseados: Precio (S/.)
L Hombres
M
M
J
V
S
DÍA
Mujeres
120 90 50
Además, se sabe que el precio de las entradas es de: • Lunes a jueves: S/. 20 • Viernes y sábado. S/. 40 • PROMOCIÓN: los miércoles las chicas no pagan. 1. ¿Qué porcentaje del total de personas que acuden los jueves son hombres? a) 32,5% d) 40%
b) 37,5% e) 35%
c) 42,9%
2. Considerando la cantidad mínima y la cantidad máxima de hombres y mujeres que asistieron en cualquier día, indicar verdadero o falso: I. En ambos casos, la suma del número de hombres y el número de mujeres es la misma. II. La cantidad máxima del número de hombres es el 700% más que la cantidad mínima de mujeres. III. Las cantidades máximas entre ambos sexos se dio en diferentes días. Ciclo UNI 166
10
20
30
Peso (kg)
3. ¿Cuánto se debería pagar si se desean adquirir 7 kg del alimento balanceado? a) S/. 28 d) 38
b) 32 e) 42
c) 35
4. Si se pagaron S/. 78, ¿cuántos kilos se adquirieron? a) 16 kg d) 19
b) 17 e) 16,5
c) 18
5. Si se compraron 40 kg, ¿cuánto se pagó? a) S/. 135 d) 160
b) 142 e) 150
c) 145
6. Si se pagan S/. 77,04 por kilogramo de alimento balanceado para pollos, ¿cuántos kilogramos se adquirieron? a) 15 kg d) 16,5
b) 15,5 e) 16,76
c) 16 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 7. Si el 1 de enero se compraron 25 kg y el 15 de enero, 15 kg, ¿cuánto se habría ahorrado si el 1 de enero se compraban los 40 kg?
I. Con el aumento de actos delictivos, disminuye el flujo de entrada de extranjeros.
c) 22
II. Hay temporadas altas de entrada de extranjeros, al margen del número de actos delictivos.
8. Gráfico: Presión - Velocidad - Temperatura
III. Los actos delictivos aumentan más rápidamente con la entrada de extranjeros.
a) S/. 15 d) 25
b) 20 e) 30
escala
c b a tiempo I
a) Solo I d) Solo II
Presión Temperatura Velocidad
II
III
IV
Gráfico II Gráfico I
150 90
B
B
30 25 20 15 10 5
C
enero
a) $ 34 500 d) 37 500
A
junio
b) 32 600 e) 38 500
diciembre
c) 35 500
Tipo de voto
Número de congresistas
A favor
a
180
En contra
b
150
Abstención
c
120
Total
120
90 E F M A M J J A S ON D
Meses
Movimiento de entrada de extranjeros Números de actos delictivos
Del análisis de la información brindada, se puede afirmar:
Central: 619-8100
30 25 20 15 10 5
11. Para la aprobación del TLC con China, se reunieron los 120 congresistas del Parlamento Nacional y emitieron su voto. Los resultados se muestran en la tabla adjunta.
Miles
120
C
c) V V F F
9. El gráfico muestra el movimiento de entrada de extranjeros (ME) y el número de actos delictivos (ND) en el año 2006.
$/acción
A
I. La temperatura tiene una tendencia creciente en el tiempo. II. La presión y la temperatura tienen la misma tendencia. III. La presión y la velocidad tienen la misma tendencia. IV. La presión y la velocidad tienen tendencias opuestas. b) F V V F e) F F F V
c) II y III
10. En enero de 2006, un inversionista compró acciones de la empresa "A", "B" y "C", por un monto de 36 000 dólares en las proporciones indicadas en el gráfico I. En el gráfico II se muestra la variación de los precios de cada acción de enero a diciembre. Determinar el monto de las acciones en total en el mes de diciembre.
De la información brindada por el gráfico, indicar las alternativas verdaderas o falsas.
a) F V V V d) F F V F
b) I y II e) Solo III
Se pudo observar que el número de votos favorables superó en 20 a los desfavorables y en 40 a las abstenciones. Si la mitad de quienes se abstuvieron pertenecen al partido PEM, calcular la cantidad de congresistas de ese partido político. a) 5 d) 12
b) 8 e) 14
c) 10
www.trilce.edu.pe 167
Enunciado (12-13) Para las próximas elecciones se ha realizado una encuesta para saber la opción de voto de las personas, de las cuales, las que votan por "B" se dividen en tres clases socioeconómicas. D 40%
A 5%
Enunciado 15 - 16 Un restaurante se dedica a la venta exclusiva de caldo de gallina (S/. 7 el plato). El gráfico siguiente muestra los volúmenes de venta por día de la semana: Cantidad de platos vendidos
40
B 30%
30 20 10 L
C 25%
Nº de personas
36
a) 180 d) 150
DÍAS
24
MEDIA
BAJA
Clase socioeconómica
12. ¿Qué porcentaje del total representan los que votaron por "B" en clase media? a) 3% d) 40%
b) 6% e) 30%
c) 20%
13. Si el 50% no votaría por ningún candidato, estos representan, en cantidad de personas: a) 200 d) 600
b) 400 e) N.A.
c) 800
LUN
S
DÍA
D
c) 300
AÑO
PRECIO (S/.)
CANTIDAD
2000
25
170
2001
30
200
2002
40
350
¿Cuál es la variación porcentual entre lo que recaudó la compañía en el año 2002 con respecto al año 2000? a) 119,4% d) 229,4%
b) 129,4% e) 19,4%
c) 219,4%
MAR
MIER
JUE
VIER
SAB
DOM
-40%
+50%
0%
-30%
+60%
0%
Entonces: a) ¿Cuántos nuevos soles más se hubieran recaudado? b) ¿Cuál fue la variación porcentual en la cantidad de platos vendidos? a) S/.70 y 5% b) S/.75 y 15% c) S/.75 y 5% d) S/.70 y 10% e) S/.100 y 5% Enunciado (17-20) El gráfico muestra la producción de dos tipos de fideos en una fábrica de pastas (en miles de kilogramos): Fideo envasado 210
2002
14. El siguiente cuadro muestra los precios unitarios y las cantidades vendidas de un artículo por una compañía, en tres años diferentes:
168
V
b) 200 e) 275
VARIACIÓN +10%
ALTA
Ciclo UNI
J
16. Si asumimos que algunos días de la semana hubo una variación en la cantidad de platos vendidos, tal como lo indica la tabla:
60
Mi
15. ¿Cuál es el ingreso promedio diario por la venta de caldo de gallina? (En nuevos soles).
SOLO VOTARON POR EL CANDIDATO "B"
M
80 200
2001
2000
1999
1998
Fideo a granel
75 140 55 150 60 160 70
17. Respecto de los fideos envasados, ¿en cuáles de los siguientes años se tiene una producción mayor al promedio de la producción de este tipo de fideos en los cinco años? I. 1998 II. 2001 III. 2002 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) II y III
c) Solo III
18. Respecto de los fideos a granel, ¿cual de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) La producción en el año 2000 sufrió una caída de 10% con respecto al año anterior. b) La producción en el año 2001 se incrementó en un 35% con respecto al año anterior. c) El promedio de producción por año es de 65 mil kilogramos con respecto a los años dados. d) La producción en el año 2002 se incrementó en más de 5% con respecto al año anterior. e) La producción en el año 2003 se habría de
incrementar por lo menos 3% con respecto al año anterior. 19. Respecto de los fideos envasados, ¿en qué año la producción fue el 75% del año anterior? a) 1998 d) 2001
b) 1999 c) 2000 e) En ningún año
20. ¿En qué periodo el incremento porcentual de los fideos envasados fue mayor al incremento porcentual de los fideos a granel? a) 1998-1999 c) 2000-2001 e) 1998-2000
b) 1999-2000 d) 2001-2002
Tarea domiciliaria Gráfico (1-5) El siguiente gráfico muestra los ingresos de 250 empleados del colegio Trilce durante el mes de enero de 2007.
6. El gráfico muestra las inversiones en cuatro rubros de una cuenta de S/. 37 810: B 9%
C
Número de trabajadores
80
D 60
50
A
34%
30 20
10
400 600 800 1000 1200 1400 1600
Si la suma de las inversiones en los rubros "B" y "C" es de S/. 9830,6, ¿cuántos nuevos soles se invirtieron en el rubro "A"? a) 6427,7 d) 15 124
Sueldo (S/.)
b) 12 558 e) 15 142,7
c) 12 855,4
1. ¿Cuántos trabajadores ganan más de S/.700 y 7. La gráfica circular muestra la distribución del menos de S/.1300? presupuesto de una familia a) 170 b) 165 c) 175 d) 155 e) 180 otras 5% Comida
2. Si el K% de los trabajadores ganan entre S/.600 y S/.1025, determinar el K% de "K". a) 16 d) 9
b) 25 e) 12
Eduación
c) 36 Casa
3. El ingreso medio es: a) S/. 924 d) 932
b) 918 e) 916
Diversión
c) 926
4. ¿Cuántos trabajadores ganan menos del ingreso medio? (Aproximadamente) a) 125 d) 115
b) 120 e) 112
c) 118
5. ¿Qué fracción del total gana menos de S/.1150? 2 c) 4 a) 3 b) 5 5 5 9 d) 7 e) 10 10 Central: 619-8100
Salud
Si el ingreso familiar es de 3600 soles, indicar las afirmaciones correctas. I. El presupuesto para gastos de educación es de S/.720. II. Si usaran la tercera parte del presupuesto de diversión en el rubro salud, podrían gastar hasta S/.480 en salud. III. En casa y educación gastan S/.1440. a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) Todas
c) Solo III
www.trilce.edu.pe 169
Gráfico (8-9) El gráfico adjunto representa las ventas de una empresa de vehículos durante un mes y medio. Se sabe que en la primera semana se vendieron 23 camionetas menos que el total de motos y autos; y que en la segunda semana se vende 1/3 menos de camionetas que las vendidas en la primera semana.
11. ¿Qué valor tiene el auto después de tres años de comprado? a) $ 14 400 d) 12 600
a) 8 años d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
13. Suponiendo que la tendencia del gráfico continúe luego de los 15 años, ¿a los cuántos años el auto no tendría valor?
20 15 10 5 0
c) 12 800
12. ¿Qué antigüedad tiene un auto cuyo precio es $ 4800?
VEHÍCULOS VENDIDOS 35 30 25
b) 23 400 e) 11 800
a) 20 d) 22 SEMANA SEMANA SEMANA SEMANA SEMANA SEMANA 1 2 3 4 5 6 Autos
Camionetas
Motos
b) 21 e) 25
c) 18
Gráfico (14-16) El gráfico muestra las preferencias de 500 personas entrevistadas acerca de los siguientes productos: Otros
Otros C
8. ¿Cuál de los vehículos vendidos tiene la mayor variación porcentual y en qué periodo se produjo dicha variación?
a) b) c) d) e)
Motos; de: semana 4 a: semana 5 Autos; de: semana 4 a: semana 5 Camionetas; de: semana 4 a: semana 5 Motos; de: semana 5 a: semana 6 Autos, de: semana 3 a: semana 4
9. ¿En qué semana se vende el 50% de los vehículos vendidos en la tercera y quinta semana? a) Semana 1 d) Semana 6
b) Semana 2 e) Semana 5
c) Semana 3
Gráfico (10-13) El siguiente gráfico muestra cómo se deprecia el valor de un auto a través del tiempo: Valor($)
35% A
E
5%
20%
45% 20%
45% B
D
30% F
14. ¿Cuántos prefieren el producto "B"? a) 45 d) 200
b) 100 e) 225
c) 175
15. ¿Qué porcentaje del total prefiere "E"? a) 6% d) 45%
b) 9% e) 90%
c) 11,25%
16. ¿Qué porcentaje representan los que prefieren "E" con respecto a los que prefieren "B"? a) 10% d) 60%
b) 20% e) 100%
c) 40%
El siguiente gráfico muestra el total de bosques del Perú (% de participación):
18000 9000 3000 5
15
años
Bosques productivos 66%
Bosques no productivos 34%
10. Un auto con más de cinco años de antigüedad, ¿cuántos dólares por año disminuye su valor? a) 500 d) 1000
Ciclo UNI 170
b) 600 e) 800
c) 400
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Ayacucho 9%
Cusco 5%
Puno 2% San Martín 35%
Junín 14% Pasco 14%
Huánuco 21% BOSQUES PRODUCTIVOS
18. ¿Cuál es la relación entre la producción de San Martín y el total de bosques productivos? a) 1/4 d) 35
b) 11/20 e) 7/20
c) 119/340
19. Si la diferencia entre la producción de Huánuco y Pasco es de 14 mil toneladas, ¿cuál es la diferencia, en miles de toneladas, entre San Martín y Puno? a) 60 d) 74
b) 70 e) 132
c) 66
17. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son cier20. ¿Qué porcentaje del total de bosques del Perú tas? representa la producción de Puno? I. El ángulo central que corresponde a la para) 2% b) 33% c) 17% ticipación de Ayacucho en los bosques prod) 1,32% e) 0,68% ductivos mide 34,2º. II. El ángulo central que corresponde a la participación de Junín en los bosques productivos mide 50,4º. III. El ángulo central que corresponde a la participación del Cusco en los bosques productivos es mayor en 10,8º al que le corresponde a Puno. a) I y II c) II y III e) Ninguna
Central: 619-8100
b) I y III d) Todas
www.trilce.edu.pe 171
Problemas para la clase 1. En el último día del año 1995 fue el cumpleaños de Valentina. Estando reunida con sus amigas, sumaron los años de nacimiento de cada una de ellas; luego sumaron sus respectivas edades para finalmente juntar las sumas, obteniendo 29 925. ¿Cuántas amigas asistieron al cumpleaños de Valentina? a) 24 d) 14
b) 19 e) 18
c) 16
luego "B" se encuentra con "C" y cuatro minutos después se encuentra con "D". ¿Qué distancia en km, separa a "A" y "B" a las 9:00 horas? a) 15 d) 16,5
b) 32 e) 26
c) 20
3. Paul le dice a Yuri: "Cuando tengas lo que yo tengo, es decir, el triple de lo que tenías cuando yo tenía cuatro años menos de los años que tienes, nuestras edades sumarán 68 años". Yuri a su vez, le dice a Calichi: "Cuando tengas lo que yo tengo, yo tendré cinco veces lo que tenías cuando yo tenía lo que tú tienes". ¿Qué edad tendrá Calichi cuando Paul tenga el triple de lo que tiene actualmente? a) 44 años d) 74
b) 85 e) 66
c) 58
4. Dos móviles m1 y m2, separados 4000 m van al encuentro uno del otro con velocidades de 30 m/s y 20 m/s, respectivamente. Una paloma sale del móvil m1 con una velocidad de 70 m/s y se dirige hasta tocar el móvil "m2 ", luego regresa a " m1 " y así, sucesivamente, hasta que se encuentran los móviles. ¿Qué espacio recorrió la paloma hasta el momento en que se encontraron los dos móviles? a) 4000 m d) 5600
b) 3200 e) N.A.
c) 6400
5. A las 8:00 horas salen de “M” dos ciclistas "A" y "B" al encuentro de otros dos ciclistas "C" y "D" que vienen de "N" a una velocidad de 600 m/min, pero que salieron con cinco minutos de diferencia entre ellos. A las 8:15 horas se encuentran "A" con "C" y tres minutos después con "D", Ciclo UNI 172
c) 14,5
6. En un negocio, Deborah pierde m/n partes de su capital; si aún le quedan "x" soles, ¿cuánto tenía al empezar el negocio? x (m - 1) b) xn c) xn m 1-n 1-m nx mx d) e) (1 - n) n-m
2. Si al año en que cumplí los 12 años se le suma el año en que cumplí los 16 y se le resta la suma del año en que nací con el actual, se obtendrá seis. ¿Qué edad tengo? a) 22 d) 24
b) 13,5 e) 15,5
a)
7. Un caño vierte "x" l en "y" horas y un desagüe arroja "w" l en "z" horas. Estando vacío un depósito y actuando los dos juntos, lo llenan en “T” horas. Calcular la capacidad del depósito. xyz - w (xz - yw) m b) T xy yz xy - zw xy - z c) T c m d) T c m yz yz yz - xw e) T c m yz a) T c
8. Si de una lata saco el 20% de lo que no saco y de lo que saco devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, resulta que hay 208 litros en la lata. ¿Cuántos litros no devolví? a) 23 l d) 21
b) 24 e) 35
c) 32
9. La base de un rectángulo aumenta sucesivamente en 20% y 20%, y su altura disminuye en 20% y 20%, sucesivamente. ¿En cuánto por ciento varió el área? a) 4,53% d) 7,84%
b) 2,34% e) 9,1%
c) 5,56%
64x --63 10. Dado: x = 64x 63
-2 Calcular : -2
a) -2 d) -11
b) 8 e) 11
c) -10 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático VENTAS DE FANTASTIC BURGUER
11. Si: aa * b = b(b-a) Calcular: (2003*2002) x (2002*2003) a) 111 b) 11 c) 1 d) -1 e) -2001
Cantidad (miles)
VENTAS DE FANTASTIC BURGER
12. Si: f(x3+1) = 14x calcular "a" en: f(f(2a+1)) = 42 a) 4 d) 5
b) 3 e) 9
c) 2
Calcular: S=[(3-1*4-1)-1*( 3 -1* 2 -1)-1]*1 Siendo a-1 el elemento inverso de "a". b) 14 e) 26
Gráfico I Una empresa se dedica a la producción de panetones en caja. El gráfico siguiente muestra todos los costos en función del volumen de producción:
I CF 200
Nº de panetones
b) 600 e) 1200
15 Precio (s/.)
10 8 5
1999
6
6
2000
2001
AÑO
Central: 619-8100
b) 14 400 e) 13 500
c) 16 000
b) 13 e) 10
c) 12
Región Centro 36%
Región Norte 20%
Región Sur 25%
Recaudación en la Región Sur
c) 1,0
12
Año 2001
Región Oriente 19%
Tacna 10% Moquegua 9% Cusco Cuzco 16%
Arequipa 53%
Puno 12%
PRECIOS DE FANTASTIC FANTASTICBURGUER BURGER
Precio de costo
Año 2000
Recaudación por región
Gráfico II “Parrillas & Chicken” nos muestra los precios de compra y de venta de su producto premium: “Fantastic Burger”, durante el periodo 1998 – 2001
1998
Año 1999
c) 400
b) 1,4 e) 1,2
4
0
Gráfico III Se está haciendo un estudio sobre la creación de regiones en el país. Para ello se ha agrupado a los departamentos en cuatro regiones. Los gráficos muestran la distribución de la recaudación anual entre las regiones, así como la distribución Recaudación por región en la región sur.
15. ¿Cuánto se gana en cada panetón si se han producido 1500 panetones que han sido vendidos a S/. 11 cada uno? a) S/. 1,6 d) 1,5
5
a) S/. 14 d) 11
14. Si se desea vender los panetones a S/.12 y se quiere ganar S/. 2 por panetón, ¿cuántos panetones se deberán producir? a) 500 d) 800
8
17. Si en el año 2001, por cada sol menos de ganancia se pueden vender 1000 unidades más, ¿cuál debió haber sido el precio de venta para ganar en dicho año 66 000 soles?
CT = S + I + CF S
12
10
a) 15 500 d) 13 800
Costo (s/.)
100
14
16. Para el 2002, el costo pronosticado es de 7 soles y se desea fijar un precio mayor en 0,75 soles que el promedio de los precios de venta para el periodo 1998 – 2001. ¿Cuántas hamburguesas deberán venderse para ganar igual que en el año 2001?
c) 23
600
15
15
Año 1998
13. Si: x = 4x - 5 ; además: a * b = 4(a + b) + 3
a) 16 d) 10
20
18. Si Tacna recauda anualmente 120 millones de soles, ¿cuánto recauda anualmente la Región Centro?
a) b) c) d) e)
960 millones de soles 1200 millones de soles 833,3 millones de soles 1728 millones de soles 912 millones de soles
Precio de venta
www.trilce.edu.pe 173
19. Sin considerar la Región Centro, ¿qué porcentaje del país corresponde a la recaudación del Cusco? a) 7,25%
b) 6,25%
c) 4%
d) 5,75%
e) 3,50%
Gráfico IV La tabla muestra los costos de envío de encomienda de Lima a otros departamentos de acuerdo con el tipo de servicio y al peso de la encomienda: 2 kg Paquetes de hasta 2kg.
Recargo por kilogramo adicional o fracción (para los primeros 8 kilogramos adicionales) Recargo por kilogramo adicional o fracción (más allá de los 8 kilogramos adicionales)
Envío terrestre Terrestre
Envío aéreo
Envío expreso
S/. 1,5
S/. 2,5
S/. 4,5
S/. 0,4
S/. 0,6
S/. 1,2
S/. 0,2
S/. 0,4
S/. 0,8
20. ¿Cuál es el costo de enviar un paquete de 14,3 kilogramos de peso, si se elige el sistema de envío aéreo? a) S/. 3,5
b) S/. 5,7
c) S/. 11,8
d) S/. 8,9
e) S/. 9,3
Tarea domiciliaria Enunciado (1-2) Seis amigos "A", "B", "C", "D", "E" y "F", se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Y se sabe que: • "A" se sienta junto y a la derecha de "B", y frente a "C". • "E" no se sienta junto a "C". 1.
Se puede afirmar con certeza que: I. "C" se sienta entre "D" y "F". II. "D" se sienta frente a "B". III. "F" se sienta frente a "E". a) Solo I d) Todas
b) Solo II e) N.A.
c) II y III
2. Si "D" no se sienta junto a "B", ¿dónde se sienta "F"? a) Entre "C" y "E" b) Frente a "D" c) Entre "B" y "C" d) Frente a "B" e) N.A. 3. Un barril lleno de vino cuesta S/. 900. Si se extraen 80 litros de vino costaría solamente S/. 180. Hallar la capacidad del barril (en litros) si se sabe que el barril vacío cuesta tanto como 10 litros de vino. a) 100 d) 82
b) 92 e) 90
a) 9 d) 15
=6555 ;
b) 11 e) 18
b
=105
c) 12
5. Sabemos que: • Algunos "A" que son "B" no son "C". Ciclo UNI 174
b) Solo II e) II y III
c) Solo III
6. Se desea hallar el número abba(7), sabiendo que es múltiplo de 6. Información brindada: I. "a" y "b" son cifras impares. II. a - b=4 Para resolver el problema es necesario: a) Solo I d) I o II
b) Solo II e) F.D
c) I y II
7. Si se sabe que cada figura le corresponde un número, entonces, ¿qué número le corresponde a la figura "M"?
11
n = n (n - 1) 2 Determinar el valor de a+b. (a ∈ IN), si: 4a2 + 75 a
a) Solo I d) I y II
c) 72
4. Se define para Z+
• Todos los "B" son "A". • Ningún "A" es "C". Entonces: I. Ningún "B" es "C". II. Todos los "A" son "B". III. Algunos "C" no son "A". Son ciertas:
a) 19 d) 20
17
b) 18 e) 15
13
12
Figura "M"
c) 17
8. Se encienden simultáneamente dos velas de igual longitud y después de una hora se observa que una se ha consumido en su tercera parte y la otra, en su quinta parte. ¿Cuántas horas más tienen que transcurrir para que una de ellas tenga el triple de longitud que la otra? a) 0,5 d) 2,5
b) 1,5 e) 2
c) 1 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 9. Hallar la suma de cifras de: E=(333... 333) 2 1 44 4244 43
a) 449 m d) 451
200 cifras
a) 900 d) 2700
b) 1200 e) 8784
c) 1800
10. Hallar: P=53+63+73+.... +123 a) 4785 d) 6103
b) 5984 e) 8784
c) 6984
400 30%
300
12. Entre cuatro hermanos tienen S/. 64. Si al dinero del mayor se le añaden S/. 3, al segundo se le quitan S/. 3, se triplica el dinero del tercero y se divide entre tres el dinero del cuarto, resultará que todos tendrían la misma cantidad. Entonces, el que menos tiene es el: b) Tercero e) Quinto
c) Primero
c) Viernes
b) 35 e) 60
c) 50
16. Se organiza una función de teatro en nuestro colegio. Si el Sr. Fernández paga S/. 6 por cada entrada le sobrarían S/. 16, y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró? a) 11 d) 7
b) 8 e) 6
c) 13
17. En la figura se muestran 300 estacas colocadas alternadamente cada 2 m y 1 m. Hallar la distancia "d" entre la primera y la última estaca.
2
Central: 619-8100
1
2
1 d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
frecuencia
calificaciones
b) 15,38% e) 27,07%
c) 16,66%
19. ¿Qué máquina fotocopiadora, "X" o "Y", hace las copias a la proporción más rápida? (1) La máquina "X" hace 90 copias por minuto. (2) En tres minutos, "X" hace 15 copias más que "Y". a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. •
Dado el siguiente gráfico: Cantidad de alumnos
15. Si 14 cuadernos cuestan lo mismo que seis libros, ocho libros cuestan lo mismo que cinco maletines, tres maletines cuestan S/. 35, ¿cuántos soles tengo que gastar para adquirir 16 cuadernos? a) S/. 40 d) 45
10%
a) 10,00% d) 18,18%
c) Esposo
b) Martes e) Sábado
15%
0
14. Cotita nació en el mes de mayo de 1980 un día domingo. ¿Qué día de la semana fue el cumpleaños de Cotita en 1990? a) Lunes d) Jueves
20%
200
5%
13. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? b) Sobrino e) Hermano
25%
100
a) 7:10 horas b) 7:05 horas c) 7:00 horas d) 6:45 horas e) 6:30
a) Tío d) Abuelo
c) 452
18. El gráfico de barras muestra las notas obtenidas por un grupo de alumnos y sus frecuencias. Indicar qué porcentaje de los alumnos obtuvo una nota entre 9 y 10.
11. Todos los días una persona sale de su casa a la misma hora, y llega a su trabajo a las 8 horas 30 minutos. Cierto día triplicó su velocidad y llegó a las 7 horas 30 minutos. ¿A qué hora sale normalmente de su casa?
a) Segundo d) Cuarto
b) 450 e) 448
1
2
800 600 500 300
0
16
18
20
22
Edad (años)
20. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. La edad promedio de los alumnos está entre 18 y 19 años. II. El número de alumnos que tienen 16 ó 22 años es igual al número de alumnos que tienen 18 ó 20 años. III. El número de alumnos que superan la edad promedio del grupo es 1100. a) I y III d) Todas
b) I y II e) Ninguna
c) II y III www.trilce.edu.pe 175
Problemas para la clase 1. Pedro, a inicios del año 2010, compró 10 000 dóla- res y 10 000 euros. Al término del cuarto trimestre del 2010, cambia nuevamente sus ahorros a nuevos soles. ¿Qué porcentaje de su capital inicial en nuevos soles perdió durante el año 2010, si el comportamiento del tipo de cambio en las monedas mencionadas es el mostrado en las figuras adjuntas? nuevos soles/dólar 3,5
De las afirmaciones: I. En invierno estudia 3,6 horas menos que en verano. II. En verano duerme 2,4 horas más que en invierno. III. En verano emplea más horas en alimentarse y dormir que en estudiar. Son ciertas: a) Solo I d) II y III
3,0 2,8 I
II
III
IV
trimestres 2010
dólar/euro
% de viviendas construidas 63
1,45
a)
1,3 I
II
a) 1,87% d) 20,00%
III
IV
b) 9,56% e) 21,70%
trimestres 2010
c) 18,75%
2. Un alumno universitario reparte (porcentualmente) su tiempo diario, tanto en invierno como en verano, en las siguientes actividades: asistir a clase (A), estudiar (B), tomar sus alimentos (C), dormir (D) y recrearse (E), según el gráfico que sigue:
70
Ciclo UNI 176
83
b) 27
d)
1980 B 10%
actividad
A
B
C
D
10
Enunciado (4-5) Una distribuidora se dedica a la comercialización de cuatro marcas de bebida. El consumo total en el año 1980 fue de 40 000 unidades; y en el año 2000, de 100 000 unidades. Además, los niveles de consumo de las cuatro marcas está mostrado en los gráficos adjuntos.
invierno
verano
c)
e)
% del día 40 35 30 25 20 15 10 5
c) I y II
3. Un plan constante de construcción de viviendas para 10 años, se inició en enero de 2006. ¿Cuáles de las siguientes figuras representaría el avance de tres años en los cuales se retrasa la décima parte de lo planificado?
1,6
b) Solo II e) Todas
2000 C 25%
A 25%
A 25% D 40%
B 25%
D 25%
C 25%
E Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático II. El Grupo Pik representa aproximadamente el 19,3% de la facturación del año 2003. III. El ingreso de los últimos tres años se incrementó a un ritmo constante de 20%
4. Señalar la afirmación correcta. a) El consumo de "D" en 1980 es igual al consumo de "D" en el año 2000. b) En dicho periodo el consumo de "D" aumentó en 20 000 unidades. c) En dicho periodo el consumo de "A" aumentó en 10 000 unidades. d) El porcentaje de consumidores de "B" en 1980 se cuadruplica en 2000. e) La cantidad de consumidores de "A" en 1980 aumentó en 15 000 en el año 2000.
a) I, II d) Solo I
c) I y III
7. Si los porcentajes de facturación del año 2002 son los mismos del año 2003, entonces, ¿cuál fue el ingreso por facturación de la División de Educación para el año 2002, en millones de dólares?
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) En 1980, el consumo de "A" fue de 10 000 unidades. b) En el año 2000, el consumo de "D" fue de 40 000 unidades. c) En el año 2000, el consumo de "A" fue de 10 000 unidades. d) El consumo de "B" en el año 1980 fue igual al consumo de "B" en el año 2000. e) El consumo de "C" en 1980 fue igual consumo de "C" en el año 2000.
b) II y III e) Todas
a) 2575 d) 3075
b) 257,5 e) 2753
c) 307,5
8. ¿Cuánto por ciento más factura la División de Educación respecto del Grupo Pik? (Aproximadamente). a) 220% d) 300%
b) 218% e) 318%
c) 222%
9. A continuación se muestran dos gráficos que reflejan el número de turistas que llegan cada año a una ciudad y el dinero que gastan durante su visita:
Enunciado (6-8) El siguiente gráfico muestra el ingreso de una corporación:
número de turistas (en millones) 10,1
Ingreso (en miles de millones de dólares)
7,2
6 5
5
5,0 4,7
4,5 3,5
4
año
0
98
99
00 01 Años
02
2005
2006
2007
2008
gastos (en miles de millones de dólares)
03
15,1
Facturación del año 2003 por sectores (millones de dólares)
13,5 12,1
Otros 1030 Grupo TF 120 División de Educación 3690
Grupo PIK 1160
6. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. El grupo TF representa el 2% del ingreso del año 2003.
Central: 619-8100
año
0
2005
2006
2007
2008
Marcar la alternativa que haga la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. En promedio, en el año 2007 un turista gastó más que otro turista en el año 2006. II. La variación porcentual en el número de turistas en el año 2007 respecto del 2006 es ! 30,5%. www.trilce.edu.pe 177
III. El promedio de gastos por turista en el periodo 2005 a 2008 es 3000 dólares. a) VVV d) VFF
b) VVF e) FFF
I. Hay más hombres que mujeres que prefieren tomar café instantáneo. II. El 28,17% de las personas que prefieren tomar café son casadas. III. Hay más viudas que mujeres divorciadas, que prefieren tomar café instantáneo. IV. El porcentaje de mujeres solteras que prefiere tomar café instantáneo es mayor al porcentaje de viudos.
c) FVV
10. Los gráficos muestran la producción de los productos "A" y "B", el precio de cada componente y la proporción de los componentes en cada producto. Producción(+)
Componentes
a) I y II d) II y IV
w
120
x
100
z
20%
A
0
5 10 15 20
Producto
Precio en soles
x
x
w
B
y
w
y
z
z
A
B
1998
I. El costo del producto "A" es mayor al del producto "B". II. Para la producción mensual de los productos "A" y "B" se consumen 110 t de los componentes (x+w). III. En el producto "B" se gasta menos que en el producto "A", considerando solo el componente "Z". a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III 11. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta, considerando la información del cuadro de barras adjunto. Cantidad de personas que prefieren tomar café instantáneo en el desayuno, según estado civil y sexo (septiembre de 2007).
Estado civil
431
Viudo/a
210
Casado/a
200
1999
A 50%
C 35%
B 10%
A 45%
B 20%
12. En 1999, ¿en cuánto varió "B" respecto al año anterior?
a) b) c) d) e)
"B" aumenta en 140% "B" aumenta en 240% "B" disminuye en 10% "B" aumenta en 340% "B" aumenta en 10%
13. En 1999, ¿en cuánto varió "A" con respecto al año anterior?
a) b) c) d) e)
"A" aumenta en 108% "A" aumenta en 8% "A" disminuye en 108% "A" disminuye en 8% "A" aumenta en 54%
14. En 1999, ¿en cuánto varió "C" respecto al año anterior?
a) b) c) d) e)
"C" aumenta en 105% "C" disminuye en 5% "C" disminuye en 105% "C" aumenta en 5% "C" aumenta en 25%
142
364 0
178
318 633
Soltero/a
Ciclo UNI
Mujeres Varones
132
C 40%
60º
Indicar la afirmación correcta.
Divorciado/a
c) I y III
Enunciado (12-14) Las ventas totales de un empresa en el año 1998 fueron de S/. 1 000 000 y en el año 1999 aumentaron 20%.
y
0
b) II y III e) III y IV
521 400
600
800
1000 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Enunciado (15-17) En la siguiente tabla se muestran las unidades vendidas de tres productos -"A", "B" y "C"- en tres tiendas -T1, T2 y T3- en el mes de agosto. Tienda Producto A B C
T1
T2
T3
135 225 100
240 320 100
200 200 200
Enunciado (18-20) El siguiente gráfico muestra la cantidad de libros vendidos por las librerías Alfa, Beta, Delta y Gamma, en tres meses: Enero Febrero Marzo
Librerías DELTA GAMMA
15. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
BETA
Cantidad de libros
ALFA
I. En el mes de agosto, T2 vendió en total 200 unidades más que T1.
0
70 80 100 130 140 180 190 200
240
II. En el mes de agosto, se vendieron en total 170 unidades más de "B" que de "A".
18. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
III. En el mes de agosto, T3 vendió en total menos que el total vendido por cualquiera de las otras dos tiendas.
I. La librería Gamma vendió 50 libros en marzo. II. La librería Beta vendió 60 libros en marzo. III. La librería Alfa vendió 10 libros menos en marzo que en febrero.
a) Solo I d) I y II
b) Solo II e) I y III
c) Solo III
16. En el mes de agosto, ¿qué porcentaje fueron las ventas que T2 realizó de "A" con respecto a las que realizó de "B"? a) 65% d) 75%
b) 70% e) 78%
c) 72%
17. Si el precio de venta unitario del producto "C" es 20% mayor que el de "B", el del producto "B" es 5% mayor que el de "A" y el precio de venta unitario de "A" es $100, ¿cuál fue el ingreso total de la tienda T3 en agosto? a) $66 200 d) $65 400
b) $70 200 e) $68 300
a) I y II d) Todas
b) I y III e) Ninguna
c) II y III
19. En enero, ¿qué porcentaje de los libros fueron vendidos por la librería Beta, aproximadamente? a) 20% d) 26%
b) 22% e) 28%
c) 24%
20. De enero a febrero, la venta de libros en ___ decayó en 37,5%. a) la librería Alfa c) la librería Beta e) ninguna librería
c) $62 600
b) la librería Gamma d) la librería Delta
Tarea domiciliaria
Pesca 108º
COSTO DE CADA ACCIÓN EN $
1. Un empresario decide invertir S/. 300 000 en tres actividades económicas, tal como se muestra en el gráfico adjunto: Textil 72º
Minería
Las acciones de cada sector variaron mes a mes, tal como se indica en el siguiente gráfico:
ENERO
FEBRERO TEXTIL
Central: 619-8100
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
MARZO
ABRIL
MINERÍA
MAYO
JUNIO
PESCA
Si compró y vendió sus acciones en los meses más convenientes, ¿en qué actividad gana más www.trilce.edu.pe 179
a) VFV d) VFF
dinero? ¿En qué meses hizo su mejor negocio? ¿Cuánto gana en la actividad que le resulta más rentable?
a) b) c) d) e)
b) VVF e) FVF
c) FFV
4. Si el 50% de los empleados que pertenecen a la minoría logran una beca de estudios para todos sus hijos, entonces, ¿cuánto ahorraría dicho grupo?
Pesca: febrero y junio; S/. 150 000 Pesca, enero y mayo; S/. 130 000 Minería; febrero y abril; S/. 120 000 Textil; febrero y junio; S/. 150 000 Textil, febrero y mayo; S/. 130 000
Gráfico (2 - 4) Se realizó una encuesta a 60 empleados de una empresa privada; los resultados de dicha encuesta se muestran en el gráfico I y el gráfico II.
a) S/. 500 d) S/. 600
b) S/. 400 e) S/. 550
c) S/. 700
5. Gráfico 25 20 PRECIO ($)
20%
GRÁFICO I 10% con 1 hijo con 2 hijos con 3 hijos con 4 hijos
15%
15 10 5 0
55% con 1 hijo con 2 hijos con 3 hijos con 4 hijos
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º 10º
aCCIONES DE "a" aCCIONES DE "b"
: 10% : 55% : 15% : 20%
GRÁFICO II INVERSIÓN MENSUAL POR HIJO
Si el segundo y tercer día, Luis compra 20 acciones "A" y 35 acciones "B", y las vende el último y séptimo día, respectivamente, ¿qué ocurre con su inversión? a) Gana $100 c) Gana $150 e) Gana $200
VESTIDO
b) Pierde $200 d) Pierde $150
MOVILIDAD
Gráfico 6. El gráfico muestra las exportaciones del Perú en los dos últimos meses del año.
SALUD COLEGIO
EN MILLONES ($) 0
50
100
150
200
250
50
NUEVOS SOLES (S/.)
40
2. ¿Cuántos soles invierte en total un empleado que pertenece al grupo mayoritario de empleados con hijos? a) S/. 2000 d) 2200
b) 1800 e) 1500
30 20
c) 1200
10 0
3. Indicar verdadero (V) o falso (F)
NOVIEMBRE
I. Hay nueve empleados que tienen tres hijos. II. Si durante el mes anterior, ninguno de los hijos de un empleado que pertenece al segundo grupo mayoritario se ha enfermado, Entonces, dicho empleado ahorró S/. 500. III. La máxima inversión realizada en un hijo es 100% mayor que la mínima inversión. Ciclo UNI 180
DICIEMBRE
TEXTILERÍA
AGRICULTURA
PESCA
MINERÍA
¿En qué porcentaje se incrementaron las exportaciones de nuestro país? a) 33,33% d) 33%
b) 32% e) 35,25%
c) 35%
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Gráfico (7-9) A continuación se muestra la distribución de notas del curso de Cálculo en la UNI.
11. ¿Qué porcentaje de las personas casadas representan los hombres solteros con hijos? a) 12,9% d) 13,4%
Número de alumnos 32
18 10 8
12
16
20
300
Nota
250 200
7. Si se aprueba con "m" puntos, ¿cuál es ese valor si se sabe que los aprobados fueron 56 alumnos? a) 7 d) 20
b) 8 e) 11
100 50 año
b) 32,03 e) 31,04
c) 34,04
9. Si para mejorar el promedio se decide aumentar dos puntos a todos los que obtuvieron 8 o menos, y un punto a los que obtuvieron más de 8, el nuevo promedio estaría entre: a) 10,5 y 11 c) 11,5 y 12 e) 12,5 y 13
150
c) 9
8. Hallar la suma de la mediana, la media y la moda, aproximadamente: a) 34,01 d) 30,89
b) 11 y 11,5 d) 12 y 12,5
CANTIDAD DE PERSONAS
15
2003
2004
Determinar el porcentaje que representa la cantidad de matriculados en las universidades privadas en los cuatro años, respecto al total de matriculados en el sistema universitario nacional. b) 42,10% e) 53,00%
18
c) 50,00%
gráfico I Equipos de audio-video $500 000
Equipos de computo
90º 60º Lavadoras cocinas
25
25 12 13
2002
13. Las ventas de una tienda en el año 2009, se muestran por rubros en el gráfico I. En el gráfico II, se muestra el rubro "equipos de cómputo" por tipo. Determinar el monto aproximado de ventas de laptops en miles de dólares.
32
30
30
15
2001
hombres casados Mujeres casadas
35
20
0
a) 40,00% d) 52,38%
Gráfico (10-11) El gráfico representa los resultados de una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su estado civil y si tienen o no hijos. hombres solteros Mujeres solteras
Univ. pública Univ. privada
miles de matriculados
6 4
c) 12,8%
12. El gráfico muestra la evolución de la matrícula en el sistema universitario del Perú, del año 2001 a 2004.
24
0
b) 13,8% e) 12,6%
20%
gráfico II
20
Equipos de frio
15% Calculadoras y accesorios
Laptos
10 5 0
150º
CON HIJOS SIN HIJOS CONDICIÓN
10. ¿Qué porcentaje representan las mujeres sin hijos? a) 34,56% d) 35,54% Central: 619-8100
b) 34,67% e) 36,54%
c) 34,54%
PC de escritorio
a) 319,44 d) 434,44
b) 332,22 e) 766,66
c) 333,33
www.trilce.edu.pe 181
14. Los gráficos muestran las ventas de una tienda de artefactos eléctricos.
a) Solo I d) I y II
Ventas miles de dólares 80
56 45 años
0
2005
2006
2007
Año 2007
¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas? b) Solo II e) I y III
16. El gráfico adjunto muestra cómo comparten el mercado de computadoras las empresas "A", "B", "C" y "D". Si la empresa "A" se retira del mercado, la empresa "B" desea mantener la misma proporción del mercado, comparado con "C" y "D" antes de que se retire "A". Determinar qué porcentaje del mercado total debe tener "B" para cumplir su deseo. %MERCADO
35
PC Otros
30
120º
25 10
100º
Equipos de sonido
TV
Indicar las afirmaciones que son verdaderas. I. Las ventas se han incrementado en más del 70%, de 2005 a 2007. II. En 2007, la venta en equipos de sonido fue de 20 mil dólares. III. Las ventas en otros artículos, para 2007, fue menos de 10 000 dólares. a) I b) II c) I y II d) I y III e) II y III
a) 36,10 d) 40,01
D
60%
60% 50%
año
A
B
C
D
c) 39,12
f d c b a
70%
A
b) 38,88 e) 41,31
50 80%
C
17. El siguiente histograma muestra la distribución de las masas en kilogramos de un grupo de personas.
%
0
B
15. Del gráfico Tasa de aprobación de un grupo de estudiantes en los cursos "A", "B", "C", "D" y "E".
c) Solo III
90
masa (kg)
El ancho de clase es constante. Si "a", "b", "c" y "d" son entre sí como 2; 3; 4 y 5; respectivamente ¿qué porcentaje de las personas tiene una masa comprendida entre 65 y 80 kilogramos? (Redondear al centésimo). a) 42,31 d) 48,31
b) 45,31 e) 50,51
c) 47,51
E
Se afirma: I. El porcentaje promedio de desaprobación por curso es 36%. II. El porcentaje de aprobación del curso "D" es el 60% del porcentaje de aprobación del curso "B". III. La tasa de desaprobación del curso "E" es el 60% de la tasa de aprobación del curso "C".
Ciclo UNI 182
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Gráfico (18-20) Una empresa de golosinas saca al mercado su nuevo producto, el cual es vendido en los sectores "A", "B", "C" y "D" de la gran Lima y provincias. Los resultados son: GRAN LIMA D 5%
PROVINCIAS
A 30%
D 20%
C 40% B 25%
C 30%
19. ¿Cuál es el porcentaje de chocolates que se vendieron en el sector "C" de Lima respecto al sector "C" de provincias? a) 23% d) 600%
b) 300% e) 350%
c) 400%
20. Si sumaran Lima y provincias, ¿qué ángulo central le correspondería al sector "A"?
A 10%
a) 60º d) 90º B 40%
b) 75º c) 85º e) 100º
En Lima hubo el triple de ventas que en Provincias. 18. ¿Qué porcentaje de las ventas totales (Lima y provincias) se realizan en el sector "B"? a) 27,5% d) 28,75%
Central: 619-8100
b) 28,5% e) 29,25%
c) 28,25%
www.trilce.edu.pe 183
Problemas resueltos 1. Encontrar el valor de "A".
Resolución 2do 1er Alumno Alumno
A= 0! + 1! + 2! + ... + 18! 2! 3! 4! 20!
Resolución
Simplificando, se tiene: 1 A= 1 + 1 + 1 + ... + 1×2 2×3 3×4 19×20 A=1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 2 2 3 3 4 19 20
9 carpetas
8 carpetas
3er Alumno
4to Alumno
7 carpetas
6 carpetas
Finalmente:
A=1- 1 = 19 20 20
Total de formas: = 9×8×7×6=3024
Rpta.: 3024
4. ¿Cuántas palabras diferentes (no necesariamente pronunciables) se pueden formar con las letras de la palabra "PERÚ"?
Rpta.: 19/20 2. ¿En cuántos ceros termina el resultado de la siguiente expresión?
Resolución 1a Letra
2a Letra
3a Letra
4a Letra
4 casos
3 casos
2 casos
1 casos
M=(11!×22!×33!)3
Resolución
En forma práctica buscamos los múltiplos de 5 contenidos en cada caso.
Finalmente: Total de palabras = 4×3×2×1=24
• 11 5 2 2 ceros
• 22 5 4 4 ceros
Luego:
• 33 5 6
5 1
6+1=7 ceros
M= ( 11! × 22! × 33! )3 ? ? ? M=( ...×102 ×...×10 4 ×...×107 )3
M=(...1013)3=...1039 Rpta.: Termina en 39 ceros 3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar en un salón de clase cuatro alumnos en nueve carpetas unipersonales?
Rpta.: 24
5. ¿De cuántas maneras diferentes puede una persona ir de "A" hacia "D" si en ningún caso va a retroceder?
Resolución
A
B
C
D
A →B→ C→ D 2×4×2=16 o A → C→ D 1×2=2 o A →B→ D 2×1=2 Finalmente: Total=16+2+2=20 Rpta.: 20
Ciclo UNI 184
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Problemas para la clase (a - 2) ! + (a - 1) ! =1 a! 3 (a + 1) ! Calcular: (a - 2) !
8. Encontrar la suma: S = 0! + 1! + 2! + 3! + ... "n" sumandos 2! 2! 4! 5!
1. Si:
a) 24 d) 120
b) 48 e) 144
c) 60
a) 2 d) 7
b) 3 e) 6
c) 4
a) n/(n+1) d) (n+1)/n
9. 2. Si: (x+3)! + (x+1)!(x+2)(x+3) = 240. Calcular el valor de: (x + 1) ! E= x!
3. Hallar "n" en:
n! + 6 = 1 n! (n! + 1) 20 a) 2 d) 8
b) 4 e) 10
c) 6
4. Calcular "a" en:
a! + (a + 1) ! + (a + 2) ! a + a (a + 1) ! = a! a a) 3 d) 8
b) 4 e) 9
c) 5
5. Calcular:
((3!) !) ! + 719! 359 + 721! (3!) !
a) 1/3 d) 1/2
b) 2 e) 1/5
a) 231 d) 238
b) 72 e) 2
c) 4
m + 2 (m - n) ! n Q = n m ! + (m + n) ! n n a) 1 d) n/m
Central: 619-8100
b) mn e) m
c) m/n
c) 216
b) 45 e) 62
c) 34
11. ¿De cuántas maneras se puede llegar de "A" a "B" en el siguiente circuito?
A
B
a) 20 d) 31
7. Simplificar:
b) 211 e) 120
10. En una fiesta se encuentran Juan, Paty, dos varones y cuatro mujeres más. ¿Cuántas parejas se pueden formar? ¿Cuántas, si Juan solo quiere estar con Paty? ¿Cuántas, si Paty solo quiere estar con Juan? ¿Cuántas, si Paty solo quiere con Juan y viceversa? ¿Cuántas, si ambos no desean estar juntos? Dar la suma de los resultados.
6. Señalar el valor entero y positivo de “n” para el cual se cumple que: (n+1)! x (n-1)! = 36n + (n!)2 a) 13 d) 6
c) (n2 - 1)/n
Dos varones y tres mujeres van al cine y se sientan en una fila de cinco asientos. ¿De cuántas maneras pueden sentarse? ¿De cuántas maneras, si las mujeres deben estar juntas? ¿De cuántas maneras, si los hombres deben estar juntos? ¿De cuántas maneras, si las mujeres no pueden estar juntas? Dar la suma de los resultados.
a) 60 d) 79 c) 4
b) n(n+1) e) n
b) 21 e) 30
c) 22
12. Un ladrón quiere abrir la caja fuerte y sabe que la combinación consta de tres dígitos y que los dígitos posibles son 2; 4 y 6. ¿Cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podría intentar? a) 21 d) 26
b) 24 e) 27
c) 25
www.trilce.edu.pe 185
13. La placa de un automóvil esta conformada por cinco símbolos, siendo las dos primeras, vocales, y los tres últimos dígitos. ¿Cuántas placas se pueden hacer? ¿Cuántas, si las vocales son diferentes? ¿Cuántas, si los dígitos son diferentes? ¿Cuántas, si vocales y dígitos son diferentes? Dar la suma de los resultados. a) 67 700 d) 77 300
b) 77 400 e) 77 895
c) 66 890
20. Se dispone de cinco colores diferentes para pintar la siguiente figura:
14. Orlando solo sabe contar hasta el 30 y observa los siguientes números: 2; 5; 4; 3; 1. ¿De cuántas maneras podrá identificar lo siguiente: 3 2 4 5 1 3? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
15. ¿De cuántas maneras podrá vestirse Leo si tiene tres pares de zapatillas, cuatro pantalones (dos iguales), seis polos (tres iguales) y siete shorts (cuatro iguales)? a) 504 d) 84
b) 144 e) 70
a) 64 d) 8
b) 40 e) 12
b) 84 e) 200
b) 234 900 e) 450 800
Ciclo UNI 186
b) 23 e) 30
c) 120
b) 120 e) 2600
c) 360
22. Si cinco niños, cuatro hombres y tres mujeres van a sentarse en una fila de 12 asientos, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán ubicar para que los niños permanezcan juntos entre sí, lo mismo que los hombres y las mujeres? a) 120 001 d) 103 280
b) 23 1000 e) 103 680
c) 103 456
23. Hallar "x" en:
1! 22+2!32+3!42+… 20!212 = ×! – 2! a) 12 d) 25
b) 13 e) 22
c) 24
24. Si: 120.(120) 24! = (5!) (4!)! . (5+x)!
c) 231 890
19. ¿En cuántos ceros termina 100!? a) 12 d) 25
a) 2400 d) 5760
c) 56
18. ¿De cuántas maneras distintas pueden cinco niños y cinco niñas sentarse en cinco bancas, cada una con capacidad para dos de ellos, de modo que en cada banca se sienten un niño y una niña? a) 456 000 d) 460 800
b) 60 e) 360
21. Un bote va a ser tripulado por ocho hombres, de los cuales Manuel y Pedro reman en el lado derecho y Juan, en el lado izquierdo. ¿De cuántas maneras puede ordenarse la tripulación, si en cada lado se ubican cuatro hombres?
c) 24
17. ¿Cuántos números pares de tres cifras pueden formarse con los dígitos: 1; 2; 5; 6; 7; 8 y 9? Además, la cifra de las decenas es impar. a) 90 d) 88
a) 24 d) 180
c) 200
16. Con cuatro banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes se pueden mandar si no es obligatorio usar todas las banderas?
En la cual debe verificarse que cuadrados vecinos tengan colores distintos. ¿De cuántas maneras puede cumplirse dicho objetivo, si el número de colores utilizados en cada caso es mínimo?
c) 24
Calcular: (x+2)! a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
25. ¿Cuántos números capicúas de cinco cifras significativas existen, tales que el producto de estas sea un cuadrado perfecto? a) 234 d) 121
b) 243 e) 456
c) 122
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático Tarea domiciliaria 1. Juanito tiene cuatro pantalones y dos pares de zapatos, todos de diferente color. ¿De cuántas formas puede vestirse alternando estas prendas? a) 12 d) 16
b) 24 e) 20
c) 8
(n + 1) ! + (n + 2) ! + (n + 3) ! 2. Simplificar: (n + 1) ! + (n + 2) ! a) n d) n+2
b) n+3 e) n+1
c) n - 2
8. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar con las letras de la palabra "CAPACIDAD"? a) 30 240 d) 6832
b) 15 120 e) 3415
c) 7560
9. Con cuatro oficiales y ocho soldados, calcular el número de grupos de seis miembros que pueden formarse, de manera que en cada grupo haya un solo oficial. a) 220 d) 320
b) 224 e) 248
c) 315
3. Simplificar: P=
(8!) 8! + 1×7!9! × (9!) 8! ×8!8! (9!×7!9 × (8!) 2) 8!
a) 1 d) 9
b) 8 e) 9!
c) 8!
4. Una persona puede viajar de "A" a "B" por vía terrestre o por vía aérea y tiene a su disposición dos líneas aéreas y cinco líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? a) 7 d) 8
b) 5 e) 10
c) 6
b) 20 e) 24
c) 21
6. Con todas las letras de la palabra "PERUANO", ¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, si todas deben empezar con la letra "P", terminan en "O" y llevan siempre consigo la sílaba "RU"? a) 60 d) 24
b) 120 e) 12
c) 48
7. ¿De cuántas maneras diferentes, cuatro parejas de enamorados pueden ubicarse alrededor de una fogata? Se debe cumplir que: I. Los hombres y mujeres se sienten alternados. II. Cada pareja debe estar siempre junta. Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos en ambos casos. a) 36 d) 132 Central: 619-8100
b) 96 e) 142
11! c) 12! a) 11! b) 8 6 5 10! d) 10! e) 8 5 11. Si se tienen cuatro consonantes diferentes y tres vocales diferentes, ¿cuántos arreglos de cuatro letras se pueden formar donde intervengan dos vocales diferentes y dos consonantes diferentes? a) 36 d) 24
5. Juan Carlos tiene cinco pantalones y seis camisas, todos de distintos colores. ¿De cuántas maneras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa? a) 30 d) 36
10. ¿Cuántos ordenamientos diferentes pueden obtenerse con las letras de la palabra "BLANQUIAZUL"?
b) 432 e) 720
c) 144
12. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en total en un campeonato que se disputa a dos ruedas? Supongamos que participan 20 equipos. a) 190 d) 890
b) 380 e) 910
c) 830
13. De un grupo de ocho hombres y siete mujeres, ¿cuántos grupos mixtos de siete personas se puede formar, sabiendo que en cada grupo hay cuatro varones y el resto son damas? a) 2480 d) 4250
b) 4520 e) 5240
c) 2450
14. Si disponemos de las fichas de ajedrez (solo las blancas) y queremos ordenarlas en una fila, ¿de cuántas maneras se puede realizar este ordenamiento? a) 2 c 15! m 7!
b) 2 c 15! m 8!
d) 16!
e) 15!
c) 23!
c) 122 www.trilce.edu.pe 187
15. Con un grupo de 10 personas, ¿cuántos cuartetos diferentes se podrán formar? a) 10! d) 24
b) 5040 e) 40
c) 210
16. Se tienen ocho frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar con tres de ellas? a) 336 d) 24
b) 56 e) 6
c) 8!
17. En un torneo futbolístico participan siete equipos. ¿Cuántos partidos diferentes se realizarán, si juegan todos contra todos? a) 21 d) 2520
Ciclo UNI 188
b) 5040 e) 49
c) 42
18. Un club desea formar una bandera representativa, de tres franjas verticales, una a continuación de la otra. Si se proponen siete colores diferentes, ¿cuántas banderas tricolores diferentes se podrán formar? a) 35 d) 21
b) 210 e) 20
c) 5040
19. Se tiene ocho puntos en un plano, de los cuales tres o más no pueden estar en línea recta. ¿Cuántos triángulos diferentes se podrán formar? a) 56 d) 336
b) 28 e) 168
c) 81
20. ¿En cuántos ceros termina el resultado de 30!? a) 6 d) 9
b) 7 c) 8 e) 10
Colegios
TRILCE
Problemas resueltos 1. Con las frutas: fresa, papaya, mango y plátano, ¿cuántos jugos de diferente sabor se pueden hacer?
Resolución Considerando que los jugos se pueden preparar de diferentes maneras, es decir:
Con 2 frutas:
Con 3 frutas:
Con 4 frutas:
4 C2 =6 4 C3 =4 4 C 4 =1
Total de casos=4!×2!×3!×3!=1728 Hay tres nacionalidades
Total de jugos: 4+6+4+1=15
Nota: Al preparar los jugos no interesa el orden de la frutas Rpta.: 15
2. En la familia Muñoz hay seis hermanos y cada hermano tiene tres sobrinos (de primer grado). ¿Cuántas fotos diferentes se les puede tomar, si en cada foto debe haber tres hermanos y dos sobrinos? Resolución Analizando: Lo primero es seleccionar quiénes se van a fotografiar y luego, en cada foto, se deben ordenar a las personas; tenemos: Hermanos=6 Sobrinos=3 6 3 En las fotos : C3 × C2 ×5!=7200 se escogen se escogen 3 de 6 2 de 3
• Solo argentinos=3! • También es necesario ordenarlos por nacionalidad, finalmente:
4
Con 1 fruta: C1 =4
Rpta.: 7200
3. En una reunión hay: cuatro peruanos, dos colombianos y tres argentinos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en una fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? Resolviendo Analizando: • Solo peruanos=4! • Solo colombianos=2! Central: 619-8100
Rpta.: 1728
4. Se tienen seis telas de colores distintos. ¿Cuántas banderas de tres costuras verticales se pueden formar?
Resolviendo
Analizando, se tiene: color color color color 1 2 3 4 cuatro colores a usar por
bandera Finalmente: Color Color Color Color 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 6 × 5 × 4 × 3 =360
Rpta.: 360
5. Se tienen cinco números positivos y siete números negativos, se eligen cuatro números arbitrariamente, sin sustitución, y se multiplican. ¿De cuántas formas se puede obtener un producto positivo?
Resolución • Para obtener un producto positivo se tienen los siguientes casos: 5
• 4 positivos → C 4 =5
• 4 negativos → C 4 =35
• 2 positivos y 2 negativos → C2 ×C2=10×21
7
5
7
Finalmente: Total=5+35+210=250 Rpta.: 250 www.trilce.edu.pe 189
Problemas para la clase 1. En un torneo pugilístico participan siete boxeadores. Si pelean todos contra todos, ¿cuántas luchas se realizarán? a) 71 d) 42
b) 504 e) 6
c) 21
2. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes pueden formarse con todos los dígitos significativos? a) 15 120 d) 9!
b) 720 e) 60
c) 153
3. ¿Cuántos grupos de cinco letras se pueden formar con las letras "a", "b", "n", "o", "e", "q" y "r"? a) 7 d) 35
b) 12 e) 60
c) 21
4. ¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden hacer con los números: 1; 3; 5; 7; 11 y 26? a) 10 d) 13
b) 12 e) 15
c) 14
5. Con un grupo de 10 personas, ¿cuántos cuartetos diferentes se podrán formar? a) 10! d) 24
b) 5040 e) 40
c) 210
6. Se tienen ocho frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar con tres de ellas? a) 336 d) 24
b) 56 e) 6
c) 8!
7. Entre ocho candidatos, se desea elegir a un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar? a) 336 d) 6
b) 56 e) 24
c) 81
8. Un marinero tiene siete banderolas del mismo tamaño, pero de colores diferentes; si iza cinco de ellas en un mástil una a continuación de la otra, siendo la primera blanca y la última amarilla, ¿cuántas señales diferentes podrá hacer? a) 60 d) 210
b) 10 e) 20
c) 120
9. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar cinco parejas de esposos alrededor de una fogata, siempre que cada matrimonio permanezca junto? Ciclo UNI 190
a) 362 d) 768
b) 1444 e) 760
c) 1236
10. ¿De cuántas maneras podemos sentar a seis niños alrededor de una mesa circular, de modo que dos de ellos ("P" y "Q"), previamente determinados, no estén juntos? a) 18 d) 72
b) 42 e) 120
c) 70
11. Un alumno quiere responder 10 de 12 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras puede hacerlo? a) 25 d) 66
b) 24 e) 32
c) 12
12. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir siete canicas blancas idénticas en cuatro recipientes diferentes? a) 84 d) 240
b) 72 e) 120
c) 36
13. ¿De cuántas maneras diferentes, dos peruanos, tres argentinos y cuatro colombianos pueden sentarse en fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? a) 864 d) 892
b) 1728 e) 1700
c) 688
14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de seis asientos, si cuatro están en espera? a) 2520 d) 10!
b) 1200 e) 1800
c) 25 200
15. De una baraja de 52 cartas, se extraen al azar cinco de ellas. ¿De cuántas formas se pueden obtener tres corazones y dos espadas? a) 12 345 d) 22 308
b) 12 222 e) 22 480
c) 12 113
16. Un grupo de inversionistas está conformado por siete mujeres y cuatro hombres. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una expedición de seis personas en la cual debe haber por lo menos dos hombres? a) 320 d) 371
b) 125 e) 900
c) 729
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 17. De un grupo formado por siete hombres y cuatro mujeres hay que escoger seis personas de forma que entre ellas haya no menos de dos mujeres. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la elección? a) 72 d) 371
b) 181 e) 901
c) 192
18. Con las frutas: plátano, melón, piña, papaya y mamey, ¿cuántos jugos de diferentes sabores se pueden hacer? a) 13 d) 32
b) 10 e) 31
c) 25
19. Un examen consta de 12 preguntas, de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las seis primeras preguntas debe contestar por lo menos cinco, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante? a) 15 d) 21
b) 36 e) 27
c) 51
20. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales, incluyendo la "e", y seis consonantes, incluyendo la "s", de manera que empiecen con "e" y contengan la "s"? a) 21 600 d) 10 800
b) 3600 e) 9600
c) 7200
21. Si disponemos de las fichas de ajedrez y queremos ordenarlas en una fila, ¿de cuántas maneras se puede realizar este ordenamiento? a) 32! 8! 32 d) ! 16!
b) 312! 8! e) 31! 2 2. (8!)
c) 32!
22. ¿Cuál será el número de letras de una palabra, sabiendo que el número de combinaciones tomadas de dos a dos, es igual al de combinaciones tomadas de tres a tres, como tres es a cinco? a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
23. ¿Cuántos partidos de fútbol se juega en un campeonato a dos ruedas, si existen 30 equipos? a) 435 d) 890
b) 900 e) 910
c) 870
24. El número de permutaciones de "x" objetos tomados de seis en seis es 720 veces el número de combinaciones de esos mismos objetos agrupados de cuatro en cuatro. Hallar el valor de "x". a) 10 d) 40
b) 20 e) 50
c) 30
25. ¿Cuántos números enteros y desiguales, mayores de 10 y menores de 100, se pueden formar con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 y 8? a) 72 d) 50
b) 58 e) 35
c) 64
Tarea domiciliaria 1. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra PISCO? a) 24 d) 72
b) 60 e) 48
c) 120
2. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra CALABAZA? a) 1680 d) 5040
b) 40 320 e) 3360
c) 2460
3. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ordenar a seis personas en una fila? a) 120 d) 360 Central: 619-8100
b) 240 e) 1 440
4. Se tiene cinco puntos coplanares donde no existen tres o más puntos colineales. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden trazar si se usan los puntos como vértices? a) 20 d) 15
d) 10 e) 60
c) 12
5. A un trabajo se presentan cuatro hombres y seis mujeres. Si hay plazas disponibles para dos mujeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá realizar la selección? a) 36 d) 60
b) 48 e) 90
c) 120
c) 720
www.trilce.edu.pe 191
6. Alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente se van a sentar ocho amigos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ocupar los asientos? a) 40320 d) 10320
b) 5040 e) 720
c) 10240
12. Se desea contratar tres arquitectos y cuatro abogados. Si se presentan ocho arquitectos y seis abogados, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá realizar la elección de los puestos? a) 720 d) 840
b) 720 e) 1680
c) 1 160
7. Se dispone de siete frutas. ¿Cuántos jugos surti- 13. En una mesa de póker hay seis asientos distribuidos simétricamente. Si existen ocho persodos de tres frutas diferentes se podrá preparar? nas paradas que desean participar del juego, a) 35 b) 28 c) 210 ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar d) 120 e) 70 seis de ellas sabiendo que las restantes deberán hacer una cola para que cuando haya un elimi8. En una carrera de 100 metros planos participan nado pasen a sentarse en la mesa? 8 atletas. ¿De cuántas maneras fueron ocupados a) 6720 b) 3360 c) 1440 los cuatro primeros lugares, si Usain Bolt ganó d) 2960 e) 10080 la carrera? a) 840 d) 210
b) 640 e) 336
c) 70
9. Un profesor debe elegir a un delegado, un tesorero y un asistente de aula. Si cuenta con 24 alumnos, ¿de cuántas maneras diferentes podrá realizar la elección? Dar por respuesta la suma de las cifras del número. a) 12 d) 13
b) 14 e) 11
c) 15
14. Se han producido doce chocotejas y cuatro de ellas no tienen relleno. Si una persona recibe una chocoteja sin relleno entonces se le entregará otra gratis. Mariana compró una chocoteja y al final comió tres por el precio de una, ¿de cuántas maneras diferentes pudo haber hecho la selección para que ocurra ello? a) 48 d) 124
b) 96 e) 66
c) 72
15. Se desea contratar a cinco alumnos (más muje10. La Tinka es un juego que consiste en que cada res que hombres) para participar de un proyecconcursante elige 6 números de 48 posibles. to escolar. Si se presentan seis mujeres y cinco El día domingo, el conductor del espacio saca hombres, ¿de cuántas maneras diferentes se poseis bolos de un ánfora y si ellos coinciden con drá realizar la elección? los bolos que eligió algún concursante, gana un a) 234 b) 264 c) 196 premio de varios millones de soles. ¿Cuántos d) 281 e) 296 boletos debo jugar para estar seguro de que ganaré el premio? Dar por respuesta la suma de 16. En una bolsa hay dos bolas blancas, tres bolas las cifras del número. verdes y cuatro bolas azules. ¿De cuántas maa) 18 b) 19 c) 21 neras diferentes podré extraer una bola de cada d) 22 e) 20 color, sin importar el orden? 11. Según el enunciado de la pregunta anterior, si el premio es de 5 millones de soles y el costo de cada boleto es de 3 soles, ¿cuánto se perderá, en soles, si se compra todos los boletos que sean necesarios para asegurar que se ganará el premio?
a) b) c) d) e)
Más de 30 millones Entre 25 y 30 millones Entre 20 y 25 millones Menos de 20 millones 25 millones
Ciclo UNI 192
a) 24 d) 36
b) 12 e) 48
c) 18
17. Una fábrica produce lotes de 20 televisores. Se elige una muestra de 6 televisores y se acepta el lote si máximo hay dos defectuosos, caso contrario se envía el lote a reparaciones. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá devolver el lote a reparaciones si este tiene 4 defectuosos? a) 1840 d) 7860
b) 25480 e) 4720
c) 2360
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 18. Responda lo mismo que en la pregunta anterior pero considere que el lote tiene 30 televisores, que se aceptará el lote si no hay ningún defectuoso en la muestra tomada, y que en el lote hay 5 defectuosos. El tamaño de la muestra será el mismo. a) 236 435 d) 342 240
b) 345 234 e) 526 920
c) 416 675
20. Una licorería produce diferentes tragos en base a vodka, ron, gin, tequila, whisky, pisco, vino, aguardiente y brandy. Si los licores tienen al menos dos de los ingredientes indicados, ¿cuántos tragos diferentes podrá preparar la licorería? a) 511 d) 502
b) 246 e) 512
c) 1 014
19. Se dispone de doce números diferentes, seis positivos y seis negativos. Se escoge cuatro de los números y se multiplican. ¿De cuántas maneras se podrá obtener un producto positivo? a) 195 d) 45
Central: 619-8100
b) 255 e) 240
c) 315
www.trilce.edu.pe 193
Problemas resueltos
Resolución
•
Para Irene
Analizando, se deduce: Rojos Negros Pares impares
•
12 14
12 14
Considerando el peor de los casos, se tiene: Cartas = 28 + 12 + 1 = 41 extraídas
Impares Pares negros
Rpta.: 41 2. Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 17 blancas; la menor cantidad que debe sacarse para obtener al menos una de cada color es: Resolución • Lo peor que podría ocurrir es que se extraiga un color por completo, entonces tendríamos:
Bolas extraídas=18 + 17 + 1 = 36 negras blancas
Rpta.: 36
3. Un kilogramo de duraznos contiene desde ocho hasta 12 duraznos. El precio de los más grandes varía desde 2 hasta 3,5 soles cada kilo, y el de los más pequeños, entre 1 y 1,5 soles el kilo. Si Lucía compra cuatro docenas pagando lo máximo posible e Irene, la misma cantidad con el mínimo posible de dinero, ¿cuál es la diferencia entre los pagado por ambas? Resolución • Para que Lucía pague lo máximo posible debe comprar muchos kilogramos a un precio mayor, en cambio, Irene debe comprar Ciclo UNI 194
48÷12=4 kilogramos Gasta a S/.1 el kilogramo S/. 4
123
pocos kilogramos a menor precio, entonces: 48÷8=6 kilogramos Gasta Para Lucía a S/.3,5 el kilogramo S/.21 123
1. Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo). ¿Cuántas cartas hay que sacar como mínimo para estar seguros de haber obtenido una carta con numeración par y de color rojo?
Piden la diferencia: 21 - 4=S/. 17
Rpta.: S/. 17
4. En una caja hay 18 pares de guantes de color marrón y 13 pares de color negro. ¿Cuántos guantes se deben sacar como mínimo para conseguir necesariamente un par de guantes del mismo color?
Resolución
Analizando, tenemos que de cada color hay: Marrones=36 Negros=26 Considerando lo peor que puede ocurrir, se deduce: Guantes = 1 + 1 + 1 = 3 extraídos marrón negro
Rpta.: 3
5. Una bolsa contiene caramelos: "n" de limón, (n - 1) de naranja, (n - 2) de piña y (n - 3) de mango. ¿Cuántos caramelos como mínimo hay que extraer al azar para tener la seguridad de haber extraído por lo menos, tres de cada sabor? (n>6).
Resolución • Considerando lo peor que puede ocurrir, se tiene: Caramelos = n+(n - 1)+(n - 2)+3=3n extraídos Rpta.: 3n
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático
Problemas para la clase Dar la suma de dichos resultados. 1. En una caja se tienen 21 fichas rojas, 20 blan- cas, 28 verdes, 11 negras, 11 azules y 9 amaria) 115 b) 110 c) 112 llas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que d) 118 e) 120 se deben extraer para tener necesariamente 15 fichas de un mismo color? 10. Se tienen dos cajas: en una de ellas hay seis daa) 31 b) 43 c) 74 dos blancos y seis dados negros, y en la otra hay d) 22 e) 20 seis fichas blancas y seis fichas negras. ¿Cuál es el mínimo número de objetos que se deben sacar Enunciado (2 - 7) para tener necesariamente entre ellos un par de Dentro de una bolsa oscura hay un mazo de cartas dados y un par de fichas, todos del mismo color? (52 cartas, 13 de cada palo). ¿Cuántas hay que sacar a) 11 b) 7 c) 6 como mínimo para estar seguro de haber obtenido: d) 4 e) 2 2. Un as: a) 3 d) 50
b) 48 e) 13
c) 49
3. Una carta de color negro: a) 27 d) 26
b) 28 e) 30
c) 14
b) 40 e) 43
c) 41
4. Dos corazones: a) 39 d) 42
5. Una carta con numeración prima: a) 28 d) 31
b) 29 e) 32
c) 30
6. Dos cartas que sumadas resulten 10: a) 34 d) 25
b) 26 e) 27
b) 46 e) 45
b) 25 e) 28
b) PR+1 e) PQR-1
c) P+1
12. Pepe tiene en su establo: 20 caballos blancos, 25 caballos negros, 12 yeguas blancas y 10 yeguas negras. ¿Cuántos animales se deben sacar al azar y cómo mínimo para tener la certeza de tener una pareja mixta del mismo color? a) 26 d) 27
b) 46 e) 39
c) 12
13. Dentro de una urna depositamos 120 esferas numeradas del 1 al 120. Señalar cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de haber obtenido:
c) 47
I. Una esfera con numeración que termine en cero. II. Dos esferas cuya numeración esté comprendida entre 50 y 70. III. Tres esferas comprendidas entre 80 y 110 que sean impares.
8. De un juego de ajedrez, cuántas fichas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido tres peones (uno blanco y dos negros). a) 24 d) 27
a) PR-Q d) Q+1
c) 24
7. Dos cartas múltiplos de 5: a) 44 d) 42
11. Una caja contiene “P” bolas rojas, “Q” blancas y “R” azules. Si se extraen al azar, ¿cuál es el mínimo número de bolas que deben sacarse para tener la certeza de que haya cuando menos dos bolas de colores diferentes? (P>R>Q).
c) 26
a) 110-109-108 c) 109-103-108 e) 103-108-109
b) 109-110-108 d) 110-103-109
9. De un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada 14. Tres cajas idénticas contienen, cada una, dos palo), ¿cuántos hay que extraer al azar y como pelotas. Una contiene dos pelotas negras, otra mínimo para tener la seguridad de haber obtecontiene dos pelotas blancas y la tercera, una nido lo siguiente?: pelota negra y una pelota blanca. Cierta vez las cajas estuvieron correctamente etiquetadas, I. Una carta de color rojo pero debido a una confusión las etiquetas se II. Dos corazones y un diamante mezclaron y ninguna caja quedó correctamen III. Tres naipes impares múltiplos de 3 Central: 619-8100
www.trilce.edu.pe 195
te etiquetada. Las etiquetas están marcadas con las siguientes abreviaturas: B.B.: Blanca-Blanca; N.N.: Negra-Negra; B.N.: Blanca-Negra. ¿Cuál de los siguientes pasos, por sí solo es suficiente para determinar el contenido de las tres cajas? I. Extraer una pelota de la caja etiquetada N.N. II. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.B. III. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.N. a) Solo I d) II o III
b) Solo III e) Solo II
c) I o II
15. Pedro tiene en una caja 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la seguridad de haber sacado tres fichas numeradas consecutivamente? a) 3 d) 8
b) 4 e) 7
c) 6
16. Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y dos bolas negras; otra contiene tres bolas blancas y seis bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segunda bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sacando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color? a) 4 d) 8
b) 3 e) 7
c) 6
17. En una reunión se encuentran 390 personas. ¿Cuántas personas como máximo deberán retirarse para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas que compartan el mismo onomástico? a) 21 d) 24
b) 22 e) 35
c) 23
18. Una caja contiene (n3 - 1) bolas amarillas, (n2+1) bolas rojas, (3n+1) bolas verdes, (2n-4) bolas azules y (3n2+5) bolas negras. Si el mínimo número de bolas que deben extraerse al azar para tener la certeza de contar con dos bolas amarillas, tres rojas, cinco negras es (n3+354), ¿cuál es el valor de "n"? (n>3). a) 11 d) 8
b) 9 e) 7
c) 10
19. Se tienen en una caja 15 pares de guantes negros y 15 pares de guantes blancos. ¿Cuántos guantes como mínimo se deben extraer de la caja, sin mirarlos, para estar seguro de tener un par de guantes blancos que sirvan para usarse? a) 32 d) 46 Ciclo UNI 196
b) 31 e) 45
20. Una bolsa contiene seis bolas blancas y tres bolas negras; otra contiene cuatro bolas blancas y siete bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segunda bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sacando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color? a) 4 d) 8
b) 9 e) 11
c) 10
MÁXIMOS Y MÍNIMOS 21. Si “x” tiene un valor entre 4 y 5; y “z” tiene un valor entre 20 y 40, ¿entre qué valores estará z/x? a) 4 y 8 d) 10 y 20
b) 5 y 8 e) N. A.
c) 4 y 10
22. Un kilo de duraznos contiene entre 8 y 12 duraznos. El precio de los más grandes varía entre 2 y 3,5 soles por kilo, y el de los más pequeños, entre 1 y 1,5 soles por kilo. Si Rosario compra cuatro docenas pagando lo máximo posible y Erica, la misma cantidad pagando lo menos posible, ¿cuál es la suma de lo pagado por ambas? a) S/. 21 d) S/. 14
b) S/. 17 e) N. A.
c) S/. 25
23. Una caja contiene entre 20 y 25 unidades. Si el precio de compra varía entre 10 y 15 soles por caja, y el precio de venta, entre 20 y 25 soles por caja, ¿cuál sería la máxima ganancia a obtener por la venta de 100 naranjas? a) S/. 50 d) S/. 80
b) S/. 60 e) S/. 85
c) S/. 75
24. Si 10 manzanas pesan entre “p” y “q” kg (p
b) q/100 e) N.A.
c) 100/p
25. A un herrero le dan cinco pedazos de cadena de tres eslabones cada uno, y luego le encargan que los una formando una cadena continua. El herrero cobra S/. 1 por abrir un eslabón y S/. 2 por cerrarlo. ¿Cuántos soles como mínimo debe pagársele? a) 6 d) 9
b) 7 e) N.A.
c) 8
c) 60 Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático 26. Francesca quiere abrir el maletín de su novio, cuya clave consta de tres dígitos. Si ella solo sabe que los dígitos posibles son 3, 4 y 5, ¿cuál es el menor número de combinaciones erradas que podría intentar? a) 5 d) 30
b) 27 e) N.A.
c) 26
27. Una librería tiene 11 tiendas en una ciudad. Si en total cuenta con 100 empleados y ninguna tienda tiene menos de siete ni más de 12, ¿cuál es el menor número de empleados que puede haber en tres tiendas? a) 19 d) 28
b) 20 e) N.A.
c) 21
28. ¿Cuál es el máximo valor de la siguiente expresión? 2 Q= 1 + (x - 1) 2 (x + 3) 2
a) 1 d) 1/2
b) 2 e) N.A.
c) 2/3
29. Un grupo de 456 alumnos de la Universidad Católica va a elegir a su representante estudiantil. Si se presentan cinco candidatos, ¿cuál es el menor número de votos que puede obtener uno de ellos para tener así, más que cualquiera de los otros cuatro? a) 90 d) 93
b) 91 e) N.A.
c) 92
30. Se tienen 3n perlas, todas del mismo color y tamaño, pero una de ellas más pesada que las demás. ¿En cuántas pesadas como mínimo se puede determinar cuál es la más pesada con seguridad, si se dispone de una balanza de dos platillos? a) 2n d) n+1
b) nn e) n+2
c) 2n - 1
Tarea domiciliaria 1. Dentro de una bolsa oscura depositamos 10 esferas rojas, ocho negras y 12 blancas. ¿Cuántas hay que sacar al azar y como mínimo para tener la certeza de haber extraído cuatro esferas de uno de los colores? a) 9 d) 8
b) 10 e) 26
c) 5
2. ¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para tener la seguridad de obtener tres veces el mismo puntaje? a) 12 d) 14
b) 15 e) 3
c) 13
3. Se tienen fichas de "m" clases diferentes y la cantidad suficiente de cada grupo. ¿Cuántas como mínimo se deben extraer para tener la certeza de haber sacado (m+1) de una de las clases? a) m2 - 1 d) m+3
b) m2+m e) 1 - m
c) m2+1
4. Depositamos dentro de una urna, seis pares de guantes negros utilizables y seis pares de guantes blancos utilizables. ¿Cuántos guantes se deben sacar al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber extraído un par de guantes utilizables y del mismo color? a) 12 d) 3 Central: 619-8100
b) 13 e) 15
c) 18
5. Sarita tiene en una urna 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la seguridad de haber sacado, cuatro fichas numeradas consecutivamente? a) 5 d) 4
b) 8 e) 10
c) 9
6. En una urna se tienen (a- b) fichas negras y (a+b) fichas blancas. ¿Cuántas fichas se deben sacar para tener la certeza de haber extraído "a" fichas de uno de los colores? a) 2b - a d) 2b+a
b) a+b e) 2a - b
c) a - b
7. Depositamos 20 esferas blancas, 18 azules y 12 cremas, todas del mismo tamaño. ¿Cuántas se deben extraer como mínimo para tener la seguridad de haber obtenido 15 de uno de los colores? a) 44 d) 41
b) 43 e) 40
c) 42
8. Depositamos en un ánfora 80 bolas numeradas del 1 al 80. ¿Cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la seguridad de haber obtenido una esfera con numeración par? a) 44 d) 41
b) 58 e) 50
c) 46
www.trilce.edu.pe 197
9. En un camal hay 10 toros negros y 10 toros blancos. En otro camal hay 10 vacas negras y 10 blancas. ¿Cuántos animales se deben extraer en total y al azar para tener la seguridad de haber obtenido una pareja mixta del mismo color? a) 11 d) 10
b) 3 e) 21
c) 12
10. De un juego de cartas (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuántas hay que extraer al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber extraído dos cartas que sumadas resulten 11? a) 32 d) 34
b) 31 e) 35
16. ¿Cuál es el mínimo número de colores a emplear, de modo que no se tengan dos rectángulos pintados del mismo color juntos?
c) 33
a) 2 d) 3
b) 4 e) 8/3
c) 5
12. 13 naranjas pesan entre 3 y 4,8 kg. ¿Cuál es el máximo número de naranjas que puede haber en 12 kg? a) Menos de 40 c) Entre 50 y 60 e) Más de 70
a) S/. 320 d) 530
a) 30 d) 40
b) 35 e) 45
c) 25
14. Dos kilos de huevos contienen entre 20 y 35 huevos. ¿Cuál es el mínimo peso de 140 huevos? a) 4 kg d) 6
b) 8 e) 2
c) 5
15. Se tiene una balanza de dos platillos y 17 bolas de billar, aparentemente iguales, pero una de ellas pesa más. ¿Cuál es el menor número de pesadas a realizar para determinar la que pesa más? a) 2 d) 4
Ciclo UNI 198
b) 1 e) 5
c) 3
b) 640 e) 840
c) 140
18. Una vela misionera se consume aproximadamente 1 mm por minuto. En un hogar se acostumbra prender la vela por espacio de 30 a 60 minutos al día. Si una vela tiene una longitud de 10 centímetros, ¿durante cuántos días se podrá contar con dicha vela como máximo?
b) Entre 40 y 50 d) Entre 60 y 70
13. Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si compra solo naranjas, ¿cuál es el máximo número que podría comprar?
c) 6
17. El costo de fabricación de un par de zapatos oscila entre 24 y 32 soles, y el precio de venta, entre 40 y 52 soles. ¿Cuál es la mínima ganancia que se puede obtener en 80 pares de zapatos?
11. Para cualquier número real "x", ¿cuál es el máximo valor de: F=8x - 3x2 ? a) 0 d) 16/3
b) 4 e) 6
a) 10 días b) 3 días d) 3 días y 10 minutos e) 3 días y 20 minutos
c) 4 días
19. ¿Cuántos días dura como máximo una caja de tizas, si cada seis horas se consume el equivalente a una tiza, y si se sabe que un profesor trabaja 10 horas diarias y que siempre en cada clase utiliza tres colores diferentes en forma equitativa?
Nota: las cajas traen 10 tizas. a) 20 días d) 18
b) 17 e) 21
c) 19
20. Un tanque de agua de 8 m3 de volumen alimenta a todo un edificio de 20 departamentos, en cada uno de ellos se consume de 50 a 100 litros de agua diariamente. Suponiendo que el tanque está medio lleno y que el edificio está medio vacío, ¿cuál será la máxima cantidad de días que dure el contenido del tanque? a) 16 días d) 8
b) 32 e) 4
c) 48
Colegios
TRILCE
Problemas para la clase BLOQUE I
a) 7 b) 6 d) Menos de 9 e) Más de 9
c) 5
1. Un recipiente "A" contiene 8 litros de vino puro y cuatro litros de agua. Un segundo recipiente "B" contiene nueve litros de vino puro y seis 5. Cada vez que compro nueve manzanas me regalan 2 y cada vez que vendo 10 regalo una. Si litros de agua. Se sacan tres litros de las mezclas compro y vendo las manzanas al mismo precio, de cada recipiente y se hace el intercambio res¿cuántas debo comprar para ganar 44 manzanas? pectivo. ¿Cuántos litros más de vino hay en un a) 360 b) 340 C) 450 recipiente con relación al otro? d) 400 e) 460 a) 2,4 b) 1,8 c) 1,4 d) Igual e) Ninguna 6. Hallar el valor de la siguiente serie:
E=1×5+2×6+3×7+...+10×14 2. Se define el operador matemático no convena) 610 b) 609 c) 605 cional "*" como: P*=P(P+1) - P(P - 1). d) 606 e) 607 Calcular: 7. En la competencia de natación de damas, Carla, E= 1 *+ 2 *+ 3 *+ ... + 40 * 20 *+ 19 *+ 18 *+ ... + 1 * Carmen y Diana ocuparon los tres primeros lugares, aunque no necesariamente en ese orden. a) 83/20 b) 45/76 c) 82/21 Al ser cuestionadas acerca del resultado de la d) 44/23 e) 33/25 competencia, ellas contestaron: • Carla : "Yo gané la competencia". 3. María tiene cierta suma de dinero que gasta de • Carmen : "Yo no gané la competencia". • Diana : "Yo terminé mejor ubicada la siguiente manera: en gaseosas, la mitad de que Carmen". su dinero, más dos soles; en galletas la tercera Si Carmen terminó en segundo lugar, ¿cuáles de parte del resto, más cuatro soles, y en cigarrillos las siguientes afirmaciones son verdaderas? las 3/4 partes del dinero que le queda más tres I. Al menos una de ellas miente. soles. Si aún le quedan dos soles, entonces po II. Diana ganó la competencia. demos afirmar como verdadero: III. Diana dice la verdad. I. Gastó en total 76 soles. II. Si cada galleta costó un sol, entonces coma) Solo I b) Solo II c) Solo III pró 16 galletas. d) I y II e) I y III III. Gasta en cigarrillos 22 soles menos que en gaseosas. 8. ¿Qué figura completa coherentemente el siguiente arreglo? a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III
e) Solo III
4. Se tienen cinco números enteros positivos a los que llamaremos "A", "B", "C", "D" y "E". Si se sabe que: • "A" no es mayor que "D" ni "C". • "E" es mayor que "C". • "B" es mayor que "A". Entonces, ¿cuántos posibles ordenamientos existen? Central: 619-8100
? a) d)
b) c) e) www.trilce.edu.pe 199
9. ¿Cuántos apretones de manos se dieron los 120 representantes reunidos en la última reunión del ALC-UE? a) 7140 d) 7240
b) 7450 e) 7420
c) 7410
10. En la siguiente sucesión: 10; 5; 5; 12; 28; ... Hallar la semisuma de los dos primeros números que resulten mayores que 100. a) 75 d) 150
a)
b) 186 e) 200
c) 222
b) c)
d)
e)
15. La facultad de Economía de una universidad está realizando un estudio sobre los cursos desaprobados por sus estudiantes. Los datos obtenidos de 50 estudiantes que desaprobaron al menos un curso se muestran en la figura: Alumnos 24
11. En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros se formarán, en total, al unirse los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas? Observación: de la forma indicada. 2 0
1
2
3
4
5
1
a) 201 d) 441
2
3
b) 210 e) 360
19
20
21
c) 400
12. Dadas las siguientes sucesiones: S1: 11; 18; 25; 32; ...; 844 S2: 4; 13; 22; 31; ...; 1165 ¿Cuántos términos son comunes a ambas? a) 12 d) 14
b) 13 e) 10
c) 16
13. Un tablero de ajedrez no convencional tiene 10 cuadrados chicos por lado. ¿Cuántos triángulos se formarán en total si se traza una diagonal al tablero? a) 107 d) 109
b) 110 c) 108 e) Más de 110
14. ¿Qué figura completa coherentemente la siguiente distribución?
Se sabe que la cantidad de alumnos que desaprobaron dos cursos supera en cuatro a los alumnos que desaprobaron tres cursos; y que la cantidad de alumnos que desaprobaron cuatro cursos es el doble de los alumnos que desaprobaron cinco cursos. Calcular la cantidad de alumnos que desaprobaron dos cursos, de los 50 considerados. a) 6 d) 12
c) 10
1 1 2 3 4 2 2 1 1 1 3 3 1 1 4 4 4 2 3 4
I. Si: [3*(x*4)]*1=(4*2)*(3*1), entonces x=3 II. La operación es cerrada. III.Operación conmutativa. IV.Existe el elemento neutro y un elemento inverso para cada elemento de "A". Son ciertas: a) Solo II d) III y IV
200
b) 8 e) 14
16. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} se define la operación representada por (*) mediante la siguiente tabla: * 1 2 3 4
Ciclo UNI
cursos desaprobados
b) Solo I e) II, III y IV
c) I, II y IV
Colegios
TRILCE
Razonamiento Matemático nas próximas se dirigirá. En la próxima esquina volverá a hacer lo mismo. Si tira la moneda tres veces, ¿cuál de los recorridos mostrados no es posible?
17. El gráfico indica el costo de tres tipos de semillas "A", "B" y "C" por cada 50 kg. Con el costo de 150 kg de semilla "B", ¿cuántos kg de semilla "C" se pueden comprar? Costo por 50 kilos
B
C
A
D
A B
C
10 20 30 40 50 60 70
a) 75 d) 150
b) 100 e) 300
a) ABCD d) ADAB
Miles de soles
c) 125
6. Si: A = 999...99 14243
1. Un empresario razonaba de la siguiente mane- ra: "Si pago S/. 15 a cada uno de mis empleados, me faltarían S/. 400; pero si les pago S/. 8 me sobrarían S/. 160. ¿Cuántos empleados hay en la empresa? b) 72 e) 60
c) 85
3.
50 cifras
b) 120 e) 60
Además: (A - B)2= CAR...MEN ; A=M 1 44 2 44 3 100 cifras
Calcular: C+A+R+M+E+N a) 18 d) 21
b) 28 e) 32
c) 162
Si asumimos como cierto que: • Cada una de las mujeres es romántica. • Ninguna celosa es romántica. Entonces, podemos concluir: a) Muchas románticas son celosas. b) Todas las mujeres son celosas. c) Muchas celosas gustan de los hombres. d) Ninguna mujer es celosa. e) Todas las celosas son atractivas.
Además: x*y =(x+y)(x - y) Si se cumple: a * b = 31 Hallar: a2+b2 a) 6 d) 8
b) 9 e) 1
c) 3
8. Se sabe que para colocar los códigos de los postulantes a una universidad se emplean las cifras y la letra que van apareciendo en la siguiente secuencia: 3 - B; 4 - D; 7 - G; 13 - L;
¿Cuál podría ser el código de un postulante, si aquel se formará con el término que sigue en la secuencia? a) 2233R d) R3232
b) 4568P c) S7506 e) Hay más de una respuesta.
4. Un corredor de bienes raíces recarga el precio de una casa en 25% de su valor. Si al venderla 9. Sabiendo que: hace un descuento del 12%, ¿cuál ha sido su porcentaje de utilidad? A = 1 + 3 3 + 5 5 + ... 10 10 10 a) 15% b) 13% c) 12% 2 4 B = 2 + 4 + 6 6 + ... d) 10% e) 11% 10 10 10 Calcular: A÷B 5. Una persona está parada en el punto "A" del a) 1,01 b) 1,02 cuadrado que se observa en la figura y decide, d) 5,05 e) 0,12 tirando una moneda, hacia cuál de las esquiCentral: 619-8100
c) 19
1 2 7. Se define en R: a = (a + 1) 2
2. Un club de vóley tiene en total 10 jugadoras, de las cuales, en cada partido solo pueden jugar seis. ¿Cuántos equipos diferentes podrían formarse en este club, sabiendo que en todos ellos siempre tiene que estar como capitana la misma jugadora cuyo nombre es María Luisa? a) 42 d) 126
c) ADCB
B = 444...44 14 243
50 cifras
BLOQUE II
a) 80 d) 75
b) ABAD e) ADCA
c) 0,1
www.trilce.edu.pe 201
10. Un automóvil parte de "A" con 10 galones de gasolina, y un agujero en el tanque por el cual pierde 1/2 galón por hora. Si su velocidad es 80 km/h, ¿a qué distancia de "A" se encontrará el automóvil cuando se le acabe la gasolina, si su rendimiento es de 40 km/galón? a) 300 km d) 350 km
b) 240 km e) 360 km
c) 320 km
11. En el calendario de un año no bisiesto se observó que desde el jueves primero de enero hasta el onomástico de una persona se emplearon 264 cifras para numerar los días transcurridos. ¿Qué día y mes nació dicha persona? a) Martes 7 - 06 c) Sábado 8 - 06 e) Domingo 7 - 06
b) Domingo 8 - 06 d) Sábado 7 - 06
12. En cantidades iguales el peso del vino es 1/50 menos que el agua. Se tiene una mezcla de 500 l de vino y agua que con el recipiente pesa 523 kg. Si el recipiente vacío pesa 32 kg, ¿qué cantidad de vino y de agua hay en el recipiente? a) 450 y 80 d) 500 y 20
b) 300 y 50 e) N.A.
c) 450 y 50
13. José y Luis salieron de cacería y trajeron patos y conejos. José mató el doble de patos que conejos; Luis mató tantos conejos como José. Ambos trajeron en total, 21 cabezas y 54 patas. ¿Cuántos patos mató Luis? a) 6 d) 8
b) 3 e) 9
c) 12
14. Tres trenes parten del mismo punto y siguen igual vía en la misma dirección. El primero parte a las 6:00 horas, el segundo, a las 7:00 horas; y el tercero, a las 9:00 horas; siendo sus velocidades de 25, 30 y 40 km/h, respectivamente. ¿A qué hora el tercer tren estará en el punto medio de la distancia que separa al primero y al segundo? a) 22:00 h d) 19:00
b) 16:00 e) N.A.
c) 14:24
16. Un profesor nació en el año 19ab; su hijo, en el año 19ba, y en el año 1992 sus edades estaban en la relación de cuatro a uno. Determinar la edad del profesor. (Año actual: 2011). a) 36 d) 43
b) 24 e) N.A
c) 63
17. En un corral hay tantas patas de patas como cabezas de patos; pero hay tantas patas de patos y patas como cabezas de patas y patos aumentadas en 30. ¿Cuántos animales se contará en total, luego de que cada pata tenga tres crías de patitos? a) 60 d) 80
b) 70 e) N.A.
c) 75
18. En una reunión de la academia había 100 personas entre profesores, alumnos y empleados. El número de profesores que tenían anteojos era igual a la raíz cuadrada del número de alumnos. Entre los asistentes había un número de empleados igual a la raíz cúbica de el número de alumnos. ¿Cuántos profesores tenían anteojos? a) 18 d) 26
b) 20 e) 28
c) 24
19. Verónica gasta su dinero del modo siguiente: en 25 chocolates, 3/5 de su dinero más tres soles; en 62 refrescos, 2/3 del dinero que le queda más un sol y en 40 galletas gasta 3/7 del resto más cuatro soles, quedándose al final únicamente con cuatro soles. ¿Cuánto gasta en 10 chocolates, seis refrescos y ocho galletas? (En soles). a) 35 d) 33,5
b) 44 e) N.A
c) 39
20. "La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella", dice ella: "Es igual a la tercera parte de lo que ya me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda". ¿Qué fracción de toda la gaseosa se habrá tomado? a) 3/10 d) 7/10
b) 3/7 e) N.A.
c) 2/3
15. Hallar el producto de las cifras del resultado de: 3 * * × 2 * * * 3 * 6 2 * * * * a) 105 d) 0
Ciclo UNI 202
b) 108 e) 126
c) 124
Colegios
TRILCE
