Radicación.pdf

Unidad 2 2: R Radicación

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA (UNEFA) VICERRECTORADO ACADÉMICO DIRECCIÓN DE TECNOLOGÍA EDUCATIVA

E L PRESENTE MATERIAL SE ENCUENTRA EN PROCESO DE EVALUACIÓN FORMATIVA , AGRADECEMOS ENVIAR COMENTARIOS U OBSERVACIONES QUE PERMITAN LA OPTIMIZACIÓN DEL MISMO

Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao. Código Postal 1061 Caracas, Venezuela [email protected]

UNEFA – CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA – CINU - MATEMÁTICA

Página 2

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL BOLIVARIANA (UNEFA) VICERRECTORADO ACADÉMICO DIRECCIÓN DE TECNOLOGÍA EDUCATIVA

E L PRESENTE MATERIAL SE ENCUENTRA EN PROCESO DE EVALUACIÓN FORMATIVA , AGRADECEMOS ENVIAR COMENTARIOS U OBSERVACIONES QUE PERMITAN LA OPTIMIZACIÓN DEL MISMO

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Página 2

2.- RADICACIÓN

Aplicar las propiedades de radicación en la resolución de ejercicios y problemas. 2.1 Radicación: Definición, Propiedades y Operaciones con radicales.

2

2.2 Extracción de factores de un radical.

18

2.3 Expresiones Conjugadas y Racionalización .

21


Página 3

Programa de Apoyo Didáctico Matemáticas

RADICACIÓN MOTIVACIÓN

La visión del universo que tenían el sabio Pitágoras de Samos y sus discípulos, estaba dominada por sus ideas filosóficas acerca del nmero! "ecían que# “el número natural y las proporciones entre números naturales gobernaban todo cuanto existía”

$n descubrimiento %ec%o por los mismos pitagóricos, a trav&s del 'eorema de Pitágoras, demostró que esta afirmación era falsa, ya que ellos mismos se dieron cuenta de la e(istencia de un nmero que no era natu) ral y tampoco se podía e(presar como fracción alguna! *l triángulo cuyos catetos son ambos de medida 1, fue el que originó el derrumbe de dic%a teoría filosófica!


Página 4

*l triángulo en cuestión es el siguiente#

c

1 Teorema de Pitágoras

donde :

c 2 = 1 2 + 12 = 2

c=

1

2

El cuadrado de la hipote- nusa de un triángulo rec-

*s decir, el nmero que representa la longitud de la %ipotenusa

tángulo viene dado por la suma de los cuadrados de los catetos.

c

, de un triángulo rectángulo isósceles

con lados de medida

1, se representa como

lee raíz cuadrada de

2-

2 , se

y nos indica aquel nmero

que elevado al cuadrado es igual 2! .omo ya sabemos

2 no es un nmero entero ni un nmero racional, este nmero es considerado dentro de los nmeros reales como un irracional! *n la radicación tambi&n se presentan los siguientes casos# a/.uando multiplicamos

2 × 2 = 22 = 4

decimos

entonces que 2 es la raí0 cuadrada de 4 y se indica

2= 4! b/.uando

multiplicamos

5×5× 5 = 53 =125

decimos entonces que + es la raí0 cbica de se indica

125 y

5 = 3 125 !

Resolver problemas como estos: c/1as a construir una cerca alrededor del ardín cuyo terreno es cuadrado! Se sabe que el ardín tiene 2

m

2

! *l problema es determinar cuantos metros

de cerca tienes que comprar para cercar todo el ardín! Si l es la longitud del lado del cuadrado, entonces, la ecuación que nos queda resolver es UNEFA – CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA – CINU - MATEMÁTICA

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l 2 = 12 !

*n base a esto, podemos decir, que encontrar la raí0

n − &sima de un nmero h , es encontrar un nmero

r , tales que r n = h y a esta operación se le llama

radicación, la cual trataremos en esta unidad! .on el dominio de las propiedades de la radicación, podemos manear eficientemente las relaciones entre elementos de un problema, donde est&n involucrados e(presiones radicales!

Tener en cuenta:

Objetivo

)

contenidos previos que debes

conocer, antes de iniciar el estudio de este

Aplicar correctamente las

módulo!

propiedades de radicación en la resolución de ejercicios

Leer los

)

*n la columna i0quierda encontrarás algunas ayudas y comentarios que te serán de

y problemas

utilidad, a medida que vayas leyendo el material!

Para el logro de este obetivo se

)

contemplan los siguientes temas#

Contenido

5esuelve nuevamente cada eemplo por tu cuenta y compara los resultados!

)

6 medida que est&s resolviendo los eemplos, anali0a el procedimiento aplicado en cada paso!

Radicación: .onocimientos Previos Definición, Propiedades y Ejemplos. Extracción e introducción de factores en un radical !

)

Sigue los procedimientos sugeridos en los eemplos presentados!

)

7ntercambia

ideas,

procedimientos

y

soluciones con otros compa8eros!

Expresiones conjugadas , Racionali zación.


Página 

CONOCIMIENTOS PREVIOS Pre requisitos

Comprobación

Números Racionales

/

:peraciones con nmeros

i!

fraccionarios# -

Para resolver las siguientes e(presiones #







una potencia, que consiste en multiplicar los e(ponen)

6dición y sustracción

! " # y colocarlo como un nico e(ponente, es

tes #

con igual o diferente denominador, -

;ultiplicación división

de

decir

y un

ii!

nmero entero por un

&

3

5

 



  = 3



$ 

⋅ % = (& ⋅ % ) 5

3

5

, aplicamos la ley de potencia)

ción# el producto de las bases con un mismo e(ponen)

nmero fraccionado!

Potenciación:

aplicamos la ley de potenciación # Potencia de

te!

& ⋅& <& 3

iii!

7

5

7

3 5 + 7 7 <

&

8 7

, en este caso, en el producto

Leyes de la Potenciación# .on nmeros positivos y negativos# -

Potencia de un pro) ducto!

-

Potencia de un cocien)

de potencias de igual base, se suman los e(ponentes! iv! Para el caso de la división de potencias de igual base, los e(ponentes se restan# 7

& 5 75 3 =& &2

−

3 2

< &

−

1 10

=

1 1 & 10

te! -

Potencia de una po) tencia!

!presiones "l#ebraicas: -

'&rminos semeantes

-

6grupación de t&rmi) nos semeantes, para sumar y restar!


Página 9

DESARROLLO RADICACIÓN: Si se desea encontrar los valores de equis facen la igualdad

( ) que satis)

x 2 = 4 , estos son los nmeros 2

y

)2! Para comprobar este %ec%o, elevamos al cuadrado cual) quiera de los valores dados y da como resultado 4! 6 los valores de una incógnita, en este caso

( x) , que sa)

tisfacen una igualdad se les denominan ra$ces, entonces en el caso particular que se trató se puede decir que, equis

x / es igual a la raí0 cuadrada de 4, y se denota así#

>

x2 = 4 ⇒ Se utili0a el símbolo La e(presión

n

=±

4!

para indicar un radical!

x m se lee #

( )

ra$% n&'sima (n) de equis x a la eme (m ) y sus partes son# es el signo radical

x m

es la cantidad sub)radical

(n) es el índice del radical!

*ste debe ser un nmero

entero positivo mayor que uno! Las raíces surgen como una forma alterna de e(presar y resolver potencias, tal como se mostró en el eemplo ante) rior!


Página =

$na potencia de e!ponente fraccionario se puede m

escribir como raí0, es decir, si tenemos igual a

n

x m

x n , esto es

!

"e aquí se puede generali0ar que la e(presión sub)radical consta de una base y un e(ponente! Para convertirlo en potencia con e(ponente fraccionario consideramos# • La base de la potencia es la base de la e(presión sub)

radical > x /! • *l numerador del e(ponente fraccionario es el e()

ponente de la base en la cantidad sub)radical y su denominador es el índice del radical (as ra$ces m)s utili%adas son las que se leen como# 5aí0 cuadrada >

Se considera el caso particular cuando

(m )

(n )

m = 1,

podemos

definir la siguiente equivalencia#

/, cuan)

do en el índice no se escribe ningn valor, se sobreentien)

n

& = r sí y solo si & = r

n

+, -

de que es dos>2/

5aí0 cbica 5aí0 cuarta 5aí0 quinta

3

n &'sima

4 5

@ así sucesivamente, ob) serve que la lectura de la raí0 depende del nmero que se encuentre en el ín) dice!

Criterio de e!istencia de la ra$% de un número* n x : >a/ Si el índice ces

n es par y

es positivo, e(isten dos raí)

n )&simas reales de x , una positiva y otra negati)

& sólo está referida a la posi) n & y tiva! *s decir, las dos raíces n )&simas de son ) n & ! Sin embargo, los números reales negativa! Pero la e(presión

n


Página ?

vos no tienen una raíz real cuando el índice es par. Por ejemplo, •

81

tiene dos ra$ces cuadradas ,

pues •

9 y

−9

,

9 2 = 81 y (− 9 )2 = 81 !

23 tiene dos ra$ces cuartas 4 23 y − 4 23 !

Sin embargo, •

− 36 no tiene ra$% cuadrada porque ningn n) mero real elevado al cuadrado da − 36 , es decir

− 36 no e!iste* no es un nmero real, Por lo mismo,

− 23 no tiene ra$% cuarta !

n es impar, cualquiera sea el nmero real, & , positivo o negativo, tiene una nica raí0 n )

>b/ Si el índice

&sima! Por eemplo, la raí0 cbica de = es 2,



' ( <2,

y la raí0 cbica de − 27 es − 3 ,



' )*+  ),


Página A

Propiedades de los Radicales: *l producto de las raíces con igual índice es la raí0 del producto! *sta propiedad nos indica que resolver el producto de dos o más raíces con igual índice es igual a la raí0 del producto de las cantidades sub)radicales con el mismo índice, en t&rminos generales# n

jemplo -: 5

a ⋅n b = n a ⋅b

*scriba el siguiente producto de raíces

2& ⋅5 3% como la raí0 de un producto!

.omo es un producto de radicales con igual índice, se es) cribe la raí0 una sola ve0, manteniendo el mismo índice y se e(presan las cantidades sub)radicales como un produc) to! 5

Respuesta:

2 x ⋅ 5 3 y 5

= 5 2 x.3 y <

5

6 xy

2 x ⋅ 5 3 y < 5 6 xy

*l cociente de las raíces con igual índice es la raí0 del cociente! *sta propiedad nos indica que resolver el cociente de dos o más raíces con igual índice, es igual a la raí0 del cociente de las cantidades sub)radicales con el mismo índice, en t&rminos generales# n n

a -

=

n

a -


Página 

jemplo .: 5 5

*scriba el siguiente cociente de raíces

6& como una la raí0 de un cociente! 3%

.omo es un cociente de radicales con igual índice, se es) cribe la raí0 una sola ve0 manteniendo el mismo índice, y se e(presan las cantidades sub)radicales como un cocien) te!

6& 3%

5 5

6& 2& 5 < 5 < 2 &% % 3%

6& 5 < 2 &% 3%

5

Respuesta:

=5

5

−1

−1

Potencia de una raí0# *scribir una raí0 elevada a una e(presión, es igual a escri) bir bao el signo radical la cantidad sub)radical elevada a esa misma e(presión, es decir# .uando %ablamos de po)

a) = n m

(n

tencia de radicales sim)

a

m

plemente nos referimos a potencias que tienen como

jemplo /:

( & )

base un radical! *stas po)

2

3

5esolver

( & ) < (& 2

3

tencias cumplen con todas

3

3

3

2

)3

<

3

&6

las propiedades de la po) tenciación!

Respuesta:

( & )< & 3

2

3

3

6

1amos a e(plicar el procedimiento para el caso donde la base es un producto de factores, con el siguiente eemplo#


Página 2

jemplo 0:

5esolver

( % &)

5

3

4

(% & ) ( % &) < Respuesta: ( % & ) < % & 4

5

3

3

4

5

3

4

15

4

5

<

4

% 15 & 5

5

5aí0 de una raí0# 5esolver esto es muy fácil, sólo se deben multiplicar los *sta propiedad se refiere a que bao un signo radical puede e(istir otro signo radical, como por eemplo 7

5

% o 4

índices de los radicales y escribir un nuevo radical con este resultado como índice y se conservan las cantidades sub)radicales! *sta regla o propiedad se enuncia de la siguiente forma#

varios como

n m

2 ! jemplo 1:

5esolver

Para la e(presión

3

a

3

= n⋅m a a 5-3

a 5 -3

, multiplicamos los índices de

los radicales dados >3!2</ y este será el nuevo índice del radical resultante y la cantidad sub)radical se conserva!

Respuesta:

3

a 5 -3

=6

a 5 -3


Página 3

NOT": Bo e(iste ninguna propiedad que distribuya la suma o la resta en un radical!

rrores

a 2 / -*  a 2 + - 2

como

&/% = & + % *

o

son comnmente vistos en la

resolución de eercicios en matemáticas y preocupan a los profesores, y continan despistando a los estudiantes! .onsidero que para enfrentar este problema acad&mico se tiene que prevenir que se cometa el error e implica preguntarse en qu& momento se enfrenta el estudiante por primera ve0 con e(presiones similares! *ntre ellas están# •

las relaciones entre los conceptos matemáticos nuevos y los conceptos trabajados previamente,

•

las diferencias entre la dimensión cuadrada (área) y la dimensión lineal (longitud). Dado que la raí no se puede distribuir, entonces

a / -* ≠ a

-

&/% ≠ & + % . * ! para resolver estas e"presiones# a / - o & / % , 2

2

+

2

o

2

tenemos primero que resolver lo que $ay dentro de la raí.


Página 4

Operaciones con radicales %ara sumar y restar radicales se debe tener en cuenta que los radicales $an de ser semejantes.

Definición: Dos o más radicales son semejantes cuando poseen el mismo índice y la misma cantidad sub-radical.

%or ejemplo#

2on radicales semejantes: ya que

34 x

en ambos el índice de la raí0 es 4 y la

y

cantidad sub)radical es

,

−7 4 x No son radicales semejantes: por)

53 x

que los índices de los radicales son

y

distintos, aunque la cantidad sub)

26 x

radical es la misma!

27 x

No son radicales semejantes: por) que las cantidades sub)radicales son

y

distintas, aunque los índices de los

27 y 12

4 ⋅ 3x

radicales son iguales!

2

2on radicales semejantes: observe que los coeficientes pueden ser dife)

y

rentes, pero la cantidad sub)radical y

5 ⋅ 12 3 x 2

el índice de cada una de las raíces son iguales!


Página +

Adición y Sustracción de Radicales: *na ve que $ayas aprendido los conceptos de radicales seme jantes, puedes seguir los pasos para sumar o restar radicales# Paso 1: Verifica que los radicales sean semejantes . +i a simple

vista no lo son, trata de e"traer factores o realiar algunas operaciones indicadas $asta comprobarlo, si es posible. Paso : !onserva i"ual la parte radical de las e#presiones a sumar $o restar%& uego suma (o resta) los coeficientes, al $a-

cer esto sólo estás factoriando la e"presión por factor comn. 'jemplo (:

&n estos ejercicios, podrás aplicar el proceso de factoriación ob-

Respuesta:

viando su escritura, y sumar los coeficientes

directamente,

5 3 & + 7 3 & '12 3 & .

nos tienen en comn el radical

comn

%#

3 Factor &común 3 x & '12

5 3 & + 7 3 & '12 3 & . esuelve

98 49 % ' % 60 30 6 2 4 49 %− %+ % ' % 4 3 5 30

 90 − 40 + 48  %  60  

, por lo tanto son trminos ' 

semejantes

' (5 + 7 ) 3

6 2 4 %− %+ % 4 3 5 6 2 4 6 2 4   %− %+ %' − +  % 4 3 5  4 3 5 

es 'jemplo ):

Observamos que los tres trmi-

%

5 3 & + 7 3 &

5 3 & + 7 3 &

Nota#

decir#

esolver

y sacamos factor Respuesta:

'jemplo *:

esuelve

'

10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2


Página 

10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2 +dentificamos cuales son trmi-

nos semejantes y luego los agrupamos.

' (10 5

&"traemos el factor comn de

'(

y − 4 5 y ) + (6 3 2 − 2 3 2 )

10 − 4) 5 % + (6 − 2) 3 2 ' 6 5 % + 4 3 2

cada agrupación y sumamos ( o restamos) los coeficientes. Respuesta:

10 5 y + 6 3 2 − 4 5 y − 2 3 2 ' 6 5 y + 4 3 2

,ultiplicación y división de radicales con -ndices i"ua. les uando los índices de los radicales son iguales , procedemos a utiliar la propiedad#

&l producto (el cociente) de raíces con igual índice es la raí del producto o cociente . &sta propiedad nos indica que resolver el producto ( o el cociente) de dos o más raíces con igual índice es igual a la raí del producto ( o el cociente) de las cantidades sub-radicales con el mismo índice# n

n

n

n

a ⋅ b = a ⋅b

n

a b

=

n

a b

,ultiplicación y división de radicales con -ndices dife. rentes UNEFA – CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA – CINU - MATEMÁTICA

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uando los índices de los radicales son diferentes, procedemos a realiar los siguientes pasos# Paso 1: +e calcula el mínimo comn mltiplo entre los índices,

llamado mínimo comn índice (m.c.i.), el cual va ser el nuevo índice de cada raí. Paso : +e divide el m.c.i. entre los índices de cada raí y luego

el resultado es el e"ponente de la e"presión sub-radical de cada raí. Paso /: /sí obtenemos un producto (o división) de raíces de

igual índice y terminamos de resolver el ejercicio.

'jemplo 0:

esuelva

3&% .5 7& 2 % 3

%ara resolver el siguiente ejemplo, seguimos las instrucciones# Paso 1: +e calcula el mínimo comn índice, m.c.i (0,1)' 23. &ste

es el nuevo índice de ambas raíces, por lo tanto los radicales quedan así

10 .10

Paso : +e divide el m.c.i entre los índices iniciales de cada raí y

luego el resultado es el e"ponente de cada cantidad sub-radical.

. (7 & 2 % 3 )10 0 5 5 2 3 2 ' 10 (3&% ) .10 (7 & % )

' 10

(3&% )

10 0 2 10

Paso /: /$ora tenemos una multiplicación de raíces de igual

índice, terminamos de resolver el ejercicio.

. (7 & 2 % 3 )2 ' 10 35 & 5 % 5 .10 7 2 & 4 % 6 5 2 9 11 ' 10 3 7 & % 5 2 9 9 ' % 10 3 7 & % ' % 10 243 × 49 & % ' 10

(3&% )

5 10


Página =

% 10 11.907& 9 % 3&% . 5 7 & 2 % 3 ' % 10 11907& 9 % Respuesta: 3 9 6 'jemplo 1: esuelva 12 3% '

%ara simplificar la e"presión, podemos e"traer trminos de la raí, en este caso

&n la división se utilia el mismo procedimiento que en la multiplicación.

%11

9 6 12 (9 6 ) ' 12 3% 12 3%

4

3

38  24 ' 12 3%

12

=

9 4  24 9 4  24 ' el12m.c.i.(3,12) = 12 12 3% 3%

37  24 2 37 2 2.187 ' 12 '  ⋅ 12 '  ⋅ 12 % % %

+acamos el mínimo comn índice m.c.i.(4,20)'20 y convertimos la

9 6 12 3%

3

e"presión en un solo radical y

Respuesta:

resolvemos.

0

+e descompone 5' 4 y se aplica la propiedad de potencia de una potencia# 6

0 6

7

5 '(4 ) '4

06

+e e"trae el factor  sale como 

06820

'

'

2 ⋅ 12

2.187 %

2 2 ⋅ 4 &% .3  2 13 3 2 2 ⋅ 4 &% .3  2 13 ' 2 3 (4 &% )3 . (3  2 ) ' 23  2 (4 &% )3 ' 8 2 4 (&% )3 ' 8 2 ⋅ 4 & 3 % 3 2 3 2 3 3 3 Respuesta: 2 2 ⋅ 4 &% .  1 ' 8 4 & % 'jemplo 11:

esolver

de la raí y

0


Página ?

E XTRACCIÓN DE F ACTORES DE UN R ADICAL !traer factores de un radical si#nifica sacarlos de la ra$%, Para que sea posible e(traer factores de un radical, es necesa) rio que la cantidad sub)radical sea e(presada como factores en forma de potencia y que los e(ponentes de los factores sean iguales o mayores que el índice del radical!

*l proceso para e(traer factores de una raí0 es el si) guiente# Paso -# se descomponen en factores primos la cantidad sub) radical! Paso .: se toman aquellos factores cuyo e(ponente es mayor o igual al índice de la raí0 y se divide el e(ponente de cada uno de esos factores entre el índice de la raí0! *l cociente de la di) visión representa el e(ponente de la base que se e(trae y el residuo es e(ponente de la base que queda dentro de la raí0! 1eamos a continuación un eemplo#

jemplo -.: *(traiga del radical posibles#

3

4 7 los factores que sean

Paso -# .omo e(iste un solo factor, se divide el e(ponente de la cantidad sub)radical entre el índice de la raí0#

7 ÷ 3 = 2 & e% es!"#$ es 1

Paso .# *sto nos indica que el factor 4 se e(trae de la raí0 con e(ponente 2 y queda dentro con e(ponente 

42 ⋅ 3 4


Página 2A

Respuesta:

3

47

=

42 ⋅ 3 4

OTR" 3OR4" 5 6TR"R 3"CTOR2 5 7N R"58C"( Para resolver este tipo de eercicios de manera alterna, de) bemos conocer las propiedades de los radicales!

jemplo -/: *(traiga del radical

3

78125 x 3 los factores que

sean posibles! Se descompone 9=2+ en sus factores primos y se e(presa como potencia# 9=2+< +9 3

La raí0 de un producto es el producto de las raíces

78125 x 3

=

3

57 x 3

.omo 9C3, se e(presa +9 como multiplicación de potencias de igual base, tal que por lo menos uno de los e(ponentes sea igual al índice de la raí0! 3

5 353 5 x 3 3 3

3 3

= 1 3

3

= 5 ⋅5 ⋅5 ⋅ =

1

3

⋅

3 x3

1 3

5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ x 1

Respuesta:

1

53

78125 x 3

3

53

⋅3

5 ⋅ 3 x3

y simplificamos los e(ponentes. =

52 ⋅ x ⋅ 5

=

25 ⋅ x ⋅ 5 3 x 2 y 6 los factores que sean

Ejemplo 14: Extraiga del radical posibles.

Observe en este ejercicio, el factor “3” no se puede descomponer en factores primos (ya que es un número primo), mientras que para los otros factores, el exponente de la variable x es 2 y el de la variable y es 6, ambos exponentes pueden ser divididos de forma exacta entre el índice de la raíz, 2.

3 x 2 y 6 = xy 3 ⋅ 3

Ejemplo 15: Extraiga del radical sean posibles.

3

8 x 3 y 4 los factores que


Página 2

3

Respuesta: .uando la cantidad sub&radical es una suma al#ebraica no se puede e(traer facto) res, pues no están e() presados como facto) res sino como suman) dos! *n caso de ser posible, aplicamos al) gunas reglas algebrai) cas para e(presarlo como factores o poten) cias!

3

8 x 3 y 4

8 x 3 y 4

=

3

2 3 x 3 y 4

= 2 xy

3

y

Ejemplo 16: Extraiga del radical que sean posibles.

= 2 xy

3

y

a 2 + 4ab + 4b 2 los factores

a 2 + 4ab + 4b 2

:bservamos que en la cantidad sub)radical se tiene una suma algebraica y no un producto! Pero podemos factori0ar la e() presión sub)radical y nos queda#

a 2 + 4ab + 4b 2 =

(a + 2b )2

(a + 2b) 2

=

= a + 2b

Respuesta: a 2 + 4ab + 4b 2 = a + 2b

Introducción de factores en un radical: 7ntroducir un

radical

factores a significa

meterlos dentro de la raí0!

Para introducir un factor en un radical: Se escribe este factor dentro de la raíz elevado al índice del radical, manteniendo en el resultado el mismo índice. Ejemplo 17: Dada la expresión 2a ⋅ 5 ab , introduzca el factor en la raíz.

!

2a ⋅ 5 ab

Se introduce el factor dentro del radical: Se resuelven las potencias:

5

32a 5 ab

=

5

=5

(2a )5 ab

32a 6 b

Respuesta: 2a ⋅ 5 ab = 5 32a 6b

8mportante: Sólo se puede introducir factores en una raí0, no sumandos, es decir si tenemos

5

4 x 3 + 2 x 2 y 6 , 4x3 no es


Página 22

un factor, es un sumando >un t&rmino/, por lo tanto no se puede introducir dentro del radical

2 x 2 y 6

!


Página 23

Expresiones E xpresiones Conjugadas C onjugadas y E C Raiona!i"ai#n Expresiones Conjugadas La conugada de una e(presión con presencia de radicales es aquella que permite e(traer los t&rminos de una raí0, la misma va a depender de si la e(presión es un monomio o un binomio, veamos a continuación cada uno de estos casos#

Caso ", (a conju#ada de un monomio# La conugada de una e(presión radical monómica es un radical con el mismo índice y los mismos factores de la e(presión sub)radical, de tal manera que los e(ponentes de estos factores son# i! La diferencia entre el e(ponente del factor y el índice en caso de ser este ltimo mayorD o ii! La diferencia entre el mltiplo del índice que sea inmediatamente mayor al e(ponente del factor y este ltimo, en caso de ser el índice menor! 6clararemos esto con algunos eemplos#

jemplo -: 9allar la conju#ada de 4 x3 y 2 :bserva que en la e(presión 4 x3 y 2 los e(ponentes de  x - y  y - son 3 y 2 respectivamente >menores que el índice de la raí0/ y en la conugada se eligen como e(ponentes de  x - y

 y - a  y 2 respecti)

vamente, es decir el e(ponente de  x - es igual a 4 E 3 <  y el e(ponente de  y - es igual a 4 E 2 < 2!


Página 24

Luego la conugada de

4 & 3 % 2 es 4 &% * , ya que

al multiplicar las dos e(presiones se elimina la raí0#

4 x3 y 2 .4 xy 2 *(presión conugada *(presión original < 4 x 4 y 4 < xy

;ultiplicación de radicales

Respuesta: La e(presión conugada de 4 x3 y 2 es *(tracción de factores de un ra)

4 xy 2 jemplo .: 9allar la conju#ada de 6 x 5 y 7

dical

El exponente de x es 5, menor ue el índice de la raíz, ue es !.

6plicamos el caso >i/, en la conugada para el pri) mer factor  x - , que tendrá un e(ponente igual a la diferencia del índice de la raí0 y el e(ponente de x , es decir,  ) + < !

El factor, " y #, tiene un exponente

*l e(ponente del segundo factor  - caso >ii/ en la

igual a $, mayor ue el índice de la

e(presión conugada, será la diferencia de un ml)

raíz, ue es !.

tiplo de  >inmediatamente mayor a 9/ y el e(po) nente del factor  y -, es decir, 2 ) 9 < +!

Respuesta: Luego la e(presión conugada de

6 x 5 y 7 es 6 xy 5 . *n el ejemplo /, se presenta una alternativa para %allar la conu)

jemplo /: 9allar la e!presión conju#ada para

gada de un monomio, cuando el

3 x 4 y 13

e(ponente de uno de los factores

Primero e(traemos los factores de la raí0 3 x 4 y13

es mayor que el índice de la raí0,

3 x 4 y13 = 3 x 3 x y 12 y = x ⋅ y 4 3 x y ;

será e(traer de la raí0 los factores posibles y luego aplicar el caso >i/ para %allar la

e(presión conu)

gada del radical resultante!

a%ora %allamos la conugada de 3 x y , que es

3 x 2 y 2 Respuesta: La conugada del monomio 3 x 4 y 13 es


Página 2+

3 x 2 y 2 jemplo 0: 9allar la conju#ada de la e!presión :bserva que sólo la cantidad sub) radical es un binomio, la e(pre)

5 ( x − 5)2 .

2 sión como tal 5 ( x − 5) es un

2 3 La conugada de la e(presión 5 ( x − 5) es 5 ( x − 5)

monomio!

jemplo 1: 9allar la conju#ada de la e!presión

4 t + 4

.omo estamos ante un monomio >aunque la canti)

NOT": *n general, cuando tene)

dad sub)radical es un binomio/ para %allar la conu)

mos un solo radical, la conugada

gada tomamos la cantidad sub)radical como un solo

de dic%a e(presión se trata como

elemento, que en este caso es t + 4 con e(ponente

un monomio, independiente de la

, por lo tanto su conugada sería# 4 (t + 4 )3

característica de la cantidad sub)

Respuesta: La conugada de 4 (t + 4 ) es 4 (t + 4 )3

radical!

%uando el índice de la raíz es & y es la raíz cuadrada de una expresión 'monómica, (inómica o polinómica), su conjugada es ella misma.

Para *allar la conjugada de

5 (x + 1+ h)2 o(ser+amos ue te-

jemplo : 9allar la conju#ada de la e!presión x 2 + h

La conugada de x 2 + h es ella misma! Por lo tan) to#

Respuesta: la conugada de x 2 + h es x 2 + h .

jemplo ;: 9allar la conju#ada de la e!presión

5 (x + 1+ h)2 La conugada será#

nemos como cantidad su(-radical, un trinomio con exponente &, por lo tanto la conjugada ser la raíz uinta del trinomio ele+ado al exponente resultante de la resta

5 (x +1+ h)5−2 = 5 (x + 1+ h)3 Respuesta: La conugada de 5 (x + 1+ h) 2 es

5 (x + 1+ h)3 jemplo <: 9allar la conju#ada de la e!presión

del índice de la raíz y el exponente

6 (x − h)2 − z

del trinomio

.omo sólo aparece un radical, atenderemos a la nota del *emplo 4! Para %allar la conugada de


Página 2

6 (x − h)2 − z observamos que tenemos como can) 2 tidad sub)radical un binomio, dos t&rminos (x − h)

,y z y el e(ponente del binomio es , es decir, ((x − h)2 − z )1 . Por lo tanto la conugada será la raí0 se(ta del binomio elevado al e(ponente resultante de la resta del índice de la raí0 y el e(ponente del binomio#

6 ((x − h)2 − z)6−1 = 6 ((x − h)2 − z)5 Respuesta: La conugada de 6 (x − h) 2 − z es

6 ((x − h)2 − z)5

Caso =, (a conju#ada de un binomio: *n los siguientes casos, tendremos al menos un ra) dical como parte de un binomio en la e(presión! Para estos casos, aplicaremos el producto nota(le de la suma por la diferencia para o(tener la diferencia de los cuadrados de los trminos

(( x − y ) ⋅ ( x + y) = x

2

− y

2

)

Para e!presiones binómicas con radica& les de $ndice dos >.?* tales como a + b y a − b , i.

La conugada de

a + b es

a − b ya

que al multiplicar las dos e(presiones, ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = ( a ) 2 − ( b ) 2 = a − b

y así

eliminar las raíces.

ii.

6sí mismo la conugada de

a − b es

a + b , al multiplicarlos# ( a − b ) ⋅ ( a + b ) = ( a ) 2 − ( b ) 2 = a − b

Nota: :bserva que para las e(presiones binómicas con

Ejemplo : !allar la expresión conjugada de

2' + 3 y comprobar su respuesta" 2 x + 3 es 2 x − 3

radicales de índice 2, su

La e(presión conugada de

conugada contiene los mismos

1eamos a%ora el producto entre ellas#

t&rminos pero, cambiando el

( 2' + 3 ) ( 2' − 3 ) =

signo de la operación entre ellos!


Página 29

= ( 2' )⋅ ( 2' ) − ( 2' )⋅ ( 3 )+ ( 3 )⋅ ( 2' ) − ( 3 )⋅ ( 3 ) 2

2

= ( 2' ) − ( 2' )⋅ ( 3 )+ ( 3 )⋅ ( 2' ) − ( 3 ) 2

2

= ( 2' ) − ( 3 ) = 2' − 3 Respuesta: La conugada de

2' − 3

2' + 3

es

y el producto de ellas #

( 2' + 3 ) ( 2' − 3 ) = 2' − 3 !

Ejemplo 1%: !allar la expresión conjugada de

7 − 5 y comprobar su respuesta" 7 − 5

La e(presión conugada de

es

7+ 5

1eamos a%ora el producto entre ellas#

( 7 − 5 ) ( 7 + 5 ) = 2

2

= ( 7 ) − ( 5 ) = 7 − 5 = 2 Ejemplo 11: !allar la expresión conjugada de xy + 3 y multiplicarlas entre sí"

La conugada de xy + 3 es xy − 3 . 1eamos a%ora el producto entre ellas#

#bser$a ue uno de los trminos

( xy + 3 ) ( xy − 3 )

del (inomio es un radical, mientras ue el otro trmino no tiene

2

= ( xy ) − (3) 2 = xy − 9 2

radical


Página 2=

Para e!presiones binómicas con radica& les de $ndice tres >/?* tales como 3 a − 3 b y Para estos casos, aplicamos los siguientes productos notables#

(x − y) ⋅ (x 2 + xy + y 2 ) = x 3 − y 3 y

3 a +3 b i. La conugada de 3 a − 3 b es

3 a2 + 3 a ⋅ b + 3 b2 ,

(x + y) ⋅ (x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + y 3 Pues al multiplicar las dos e(presiones, se eliminan las raíces de la e(presión, es decir #

3

3

( 3 a − 3 b ) ⋅ ( a 2 + 3 a ⋅ b + b 2 ) =

Simplificamos los t&rminos seme) antes!

( 3 a )3 − ( 3 b )3 = a − b

ii. 6sí mismo la conugada de 3 a + 3 b es

3 a2

3

− 3 a ⋅b + b

2

y al multiplicarlos#

( 3 a + 3 b ) ( 3 a 2 − 3 a ⋅ b + 3 b 2 ) = Simplificamos los t&rminos seme) antes!

( 3 a )3 + ( 3 b )3 = a + b

Ejemplo 12: !allar la expresión conjugada de

3 5' − 3 2 y multiplicarlas entre sí"

La conugada de 3 5' − 3 2

es

3 ( 5' ) 2 + 3 ( 5' ) ⋅ ( 2 ) + 3 ( 2 ) 2 . 1eamos a%ora el producto entre ellas#

( 3 5' − 3 2 ) ( 3 ( 5' )2 + 3 ( 5' ) ⋅ ( 2 ) + 3 ( 2 ) 2 )

6plicamos la propiedad distributiva del producto y UNEFA – CURSO INTEGRAL DE NIVELACIÓN UNIVERSITARIA – CINU - MATEMÁTICA

Página 2?

nos queda#

3 ( 5' )3 + 3 ( 5' )2 ⋅ ( 2 ) + 3 ( 5' ) ⋅ ( 2 )2 − 3 ( 5' ) ⋅ ( 2 ) − 3 ( 2 ) 2

− 3 ( 5' ) ⋅ ( 2 ) 2

3

= 3 ( 5' )3 − 3 ( 2 )3 = 5' − 2

Ejemplo 1&: !allar la expresión conjugada de

3 x + a − 3 x

La conugada de 3 x + a − 3 x es

3 (x + a) 2 + 3 (x + a) ⋅ (x) + 3 (x)2 . @ el producto de una e(presión por su conugada es igual a#

( 3 x + a − 3 x ) ( 3 (x + a)2 + 3 (x + a) ⋅ (x) + 3 (x)2 ) = (x + a) − x = a

Para e!presiones binómicas con radica& les de $ndice cuatro >0?* tales como 4 a − 4 b y Para estos casos, aplicamos los siguiente productos notables#

(x − y) ⋅ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) = x 4 − y 4

y (x + y) ⋅ (x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 ) = x 4 − y 4

4 a +4b i. La conugada de 4 a − 4 b es

4 a 3 + 4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b 2 + 4 b 3 , pues al multiplicar las dos e(presiones, se eliminan las raíces de la e(presión, es decir

4 a − 4 b ⋅( 4 a 3 + 4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b 2 + 4 b 3 ) = ( 4 a ) 4 − ( 4 b ) 4 = a − b


Página 3A

ii. 6sí mismo la conugada de 4 a + 4 b es

4 a3

−

4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b2

4

− b

3

y al multiplicarlos#

( 4 a + 4 b ) ⋅( 4 a 3 − 4 a 2 ⋅ b + 4 a ⋅ b 2 − 4 b 3 )= = ( 4 a )4 − ( 4 b )4 = a − b Ejemplo 1': !allar la expresión conjugada de

4 3' + 1 − 4 3' .

La conugada de 4 3' +1 − 4 3' es

4 ( 3' + 1 )3 + 4 ( 3' + 1 ) 2 ( 3' ) + 4 ( 3' + 1 )( 3' ) 2 + 4 ( 3' )3 @ el producto de una e(presión por su conugada es igual a# 3 2 2  4 4  4 4 3' +1 − 4 3' ⋅  ( 3' +1 ) + ( 3' +1 ) ( 3' ) + ( 3' +1 )( 3' )   4  + ( 3' ) 3

(

)





= ( 3' +1 ) − 3' = 1


Página 3

(acionali)ación 5acionali0ar significa eliminar la presencia de radi) cales bien sea en el numerador o en el denomina) dor, utili0ando procesos matemáticos! *ste proceso >racionali0ación/ en principio requiere que la e() presión a racionali0ar sea multiplicada y dividida por la conugada del numerador o denominador >depende de cuál de estas partes se quiera raciona) li0ar/! 1eamos el siguiente eemplo#

Ejemplo 1*: (acionali)a el denominador de

1 e multiplica y di+ide por la con-

3 2 ab

y simpli+ica el resultado de ser posible"

1

jugada del denominador.

3 2 ab ;ultiplicación de fracciones!

=

1

3 2 2 a 2b 2

. 3 2ab 3 22 a 2b 2

1.3 2 2 a 2 b 2 = 3 2ab .3 2 2 a 2 b 2

;ultiplicación de radicales de igual índice en el denominador! =

*(tracción de factores en el de) nominador!

3 2 2 a 2b 2 3 2 3 a 3b 3

3 4 2 b 2 2ab Respuesta:

1 3 2ab

=

3 4 2 b 2 2ab


Página 32

Para racionali0ar la e(presión

3'

2

4 1 − 2' 2

tenemos que dividir y

Ejemplo 1,: (acionali)a el denominador de

3' 2 4 1 − 2' 2

y simpli+ica el resultado de ser posible"

multiplicar por la conugada del denominador,

que

es

un

monomio!

3' 2 4 1 − 2' 2

=

3' 2

.

4 (1 − 2' 2 )3

4 1 − 2' 2 4 (1 − 2' 2 )3

3 3 3' 2 4 (1 − 2' 2 ) 3' 2 4 (1 − 2' 2 ) = = 1 − 2' 2 4 (1 − 2' 2 )4

3' 2 4 (1 − 2' 2 ) Respuesta: = 4 1 − 2' 2 1 − 2' 2

3

3' 2

Ejemplo 1-: (acionali)a el denominador de

2' 2 xy y simpli+ica el resultado de ser posible" 2 6 5 4 x y Se multiplica y se divide por la conugada del denominador!

*(tracción de factores

2' 2 xy 5 x 3 y 4 = . 2 6 5 3 4 5 4 x y x y 2' 2 ⋅ 10 x 5 y 5 x 6 y 8 2' 2 ⋅ 10 x 11 y 13 = = = 2 5 10 5 4 xy 4 ⋅ x y 2' 2 xy ⋅ 10 xy 3 4 xy 2

Respuesta:

=

2 3 2' 3 y ⋅ 10 xy 3 x 10 xy = 2& 4 xy 2

2' 2 xy x 2 ⋅ 10 xy 3 = 2 6 5 2& 4 x y


Página 33

Ejemplo 18: (acionali)a el denominador

2 3− 2

y simpli+ica si es posible"

2

Se multiplica y se divide por la conugada del denominador!

2

3+ 2 3 − 2 3 − 2 3+ 2 =

=

.

2(3 + 2 ) 6+ 2 2 6+ 2 2 6+ 2 2 = 2 = ⇒ 9−2 7 (3 − 2 )(3 + 2 ) 3 − 2 2

Respuesta:

2 3− 2

=

6+ 2 7

Ejemplo 1: (acionali)a el denominador

3−33 , 3 2+ 3

simpli+ica si es posible"

Primero convertimos el denominador como un binomio de raíces con el mismo índice: Por ser 3 8 = 2

2 + 3 3 = 3 8 + 3 3 , entonces nos queda:

;ultiplicamos y dividimos por la conugada del denominador!

3−3 3 3−33 = 3 2+ 3 3 8 +3 3

3 − 3 3 ( 3 8 2 = . 3 8 + 3 3 ( 3 8 2 Se aplica la propiedad distributiva en el numerador y se resuelve el denominador!

=

=

− 38⋅3 +

3 3 2 )

− 38⋅3 +

3 3 2 )

( 3 − 3 3 ) ⋅ ( 3 8 2 − 3 8 ⋅ 3 + 3 3 2 )

3

3

( 3 8 + 3 3 ) ⋅ ( 8 2 − 3 8 ⋅ 3 + 3 2 )

( 3 ⋅ 3 64 − 3 ⋅ 3 24 + 3 ⋅ 3 9 − 3 3 ⋅ 3 64 + 3 3 ⋅ 3 24 − 3 3 ⋅ 3 9 ) ( 3 8 ) 3 + ( 3 3 ) 3


Página 34

;ultiplicación de radicales y e(tracción de factores#

3 64 = 3 43 = 4

y

3 24 = 3 8 ⋅ 3 = 3 2 3 ⋅ 3 = 3 2 3 ⋅ 3 3 = 2 ⋅ 3 3 Se agrupan semeantes

los

t&rminos =

( 3 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 9 − 3 3 ⋅ 4 + 3 3 ⋅ 24 − 3 3 ⋅ 9 )

8+3

=

( 12 − 6 ⋅ 3 3 + 3 ⋅ 3 9 − 4 ⋅ 3 3 + 2 ⋅ 3 9 − 3 )

11 =

( 9 − 10 ⋅ 3 3 + 5 ⋅ 3 9 )

11

Ejemplo 2%: (acionali)a el numerador de x + 3 − 3

, simpli+ica si es posible"

;ultiplicamos y dividimos por la conugada del numerador!

:bserva que este es el signo que cambia, no el signo que está bao el radical

=

x + 3 − 3 x + 3 + 3 x + 3 + 3

( x + 3) 2 − 3 2 ( x + 3 − 3)( x + 3 + 3) = = x ( x + 3 + 3) x x + 3 + 3' =

Respuesta:

x + 3 − 9 x x + 3 + 3' x + 3 − 3 x

=

=

x − 6 x x + 3 + 3'

x − 6 x x + 3 + 3'


Página 3+

Ejemplo

21:

( x + h)2 + 1 −

(acionali)a x 2 + 1

h

el

numerador

, simpli+ica si es posible"

;ultiplicamos y dividimos la e(presión

( x + h)2 + 1 −

x 2 + 1

h

, por la conugada del

numerador!

( x + h)2 + 1 −

x 2 + 1

h

( x + h)2 + 1 −

"esarrollamos el producto 2

h

notable (x + h) en el numerador Factori0amos y simplificamos

x 2 + 1

( (x + h)

2

+1

) − ( x 2

2

+1

)

.

h  ( x + h ) + 1 + x 2 + 1  2



x 2 + 2 xh + h 2 + 1 − x 2 − 1 h  ( x + h ) + 1 + x 2 + 1  2

=



h (2' + h ) h  ( x + h ) + 1 + x + 1  2

2



x 2 + 1

( x + h)2 + 1 +

x 2 + 1



( x + h )2 + 1 − (x 2 + 1 ) 2 h  ( x + h ) + 1 + x + 1  2





( x + h)2 + 1 +

2

=

=



=



2 xh + h 2 h  ( x + h ) + 1 + x 2 + 1  2



=



2' + h

( x + h)2 + 1 +

2 2 Respuesta: ( x + h) + 1 − x + 1 =

h

x 2 +1

2' + h

( x + h)2 +1 + x 2 +1

Ejemplo 22: (acionali)a el numerador de *s conveniente comen0ar por descomponer en factores primos, la cantidad sub)radical, 29 < 33!

4 27 12

,

simpli+ica si es posible"

4 27 4 3 3 = 12 12


Página 3

Se multiplica y se divide por la conugada del numerador y se reali0an las operaciones sobre los radicales!

4 33 4 3 4 34 3 1 = . = = = 12 4 3 44 3 12 4 3 12 4 3 Respuesta:

4 27 12

=

1 44 3

Ejemplo 2&: (acionali)a el numerador de

4 x + 5 − 4 3 x + 2

. simpli+ica si es posible"

4

( 4 x + 5 − 4 3 ) ⋅ ( 4 (x + 5 )3 + 4 (x + 5 )2 ⋅ 3 + 4 (x + 5 ) ⋅ 3 2 + 33 )

4 (x + 2 )( 4 (x + 5 )3 + 4 (x + 5 ) 2 ⋅ 3 + 4 (x + 5 ) ⋅ 32 + 33 )

;ultiplicamos y dividimos por la conugada del numerador de la e(presión!

( 4 (x + 5 ) 4 − 4 3 4 ) (x + 2 )( 4 (x + 5 ) 3 + 4 (x + 5 ) 2 ⋅ 3 + 4 (x + 5 ) ⋅ 3 2 + 4 33 )

Se resuelve el numerador#

=

(x + 5 ) − 3 (x + 2 )( 4 (x + 5 )3 + 4 3 ⋅ (x + 5 ) 2 + 4 9 ⋅ (x + 5 ) + 4 27 )

=

(x + 2 ) (x + 2 )( 4 (x + 5 )3 + 4 3(x + 5 ) 2 + 4 9(x + 5 ) + 4 27 )

Simplificamos

=

1 ( 4 (x + 5 ) + 4 3(x + 5 ) + 4 9(x + 5 ) + 4 27 ) 3

2


Página 39

Radicación.pdf

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