Racionalización de radicales De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a navegación navegación,, búsqueda La racionalización de radicales es un proceso donde se tiene que eliminar el radical o los radicales, que están en el denominador denominador de de la fracción.. fracción
Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raíces en el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que al operar desaparezca la raíz del denominador. Contenido
[ocultar]
•
1 Racionalización de un monomio de índice 2
•
2 Racionalización de binomio de índice 2
•
3 Racionalización de monomios con índices mayores que 2
•
4 Racionalización de binomios con índices mayores que 2
•
5 Véase también
•
6 Bibliografía
Racionalización de un monomio de índice 2 [editar ]
Para racionalizar un monomio de este tipo se debe multiplicar el numerador numerador y y el denominador de la fracción por el denominador de la misma. Ejemplo:
•
En este caso hay que m ultiplicar numerador y denominador denominador por
=
·
Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 2 elevada al c uadrado puede eliminar o despejar la raíz cuadrada: cuadrada :
=
El resultado del ejercicio es éste, aunque se puede simplificar el número entero del numerador entre el del denominador, así:
= Racionalización de binomio de índice 2 [editar ]
Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar multiplicar el numerador y denominador de la fracción por el denominador de la misma. Ejemplo:
•
En este caso hay que multiplicar el numerador y el denominador por los binomios conjugados.
·
•
; este resultado es el que da el producto notable de
=
Ahora, se procede al despeje de las raíces cuadradas del denominador:
=
=
=
Racionalización de monomios con índices mayores que 2 [editar ]
Ejemplo:
•
Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.
•
=
Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.
Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.
=
En este ejemplo, es , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz. Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:
·
=
Ahora, se procede al despeje de las raíces, en el ejemplo de índice 5:
= Ahora, se procede a la simplificación, que sería el último paso de la operación:
= Racionalización de binomios con índices mayores que 2 [editar ]
Cuando se tienen binomios con radical de índice 3, es preciso utilizar productos utilizar productos notables , en este caso la adición y sustracción de cubos, según sea el caso.
Adición de cubos:
Sustracción de cubos:
Ejemplo:
•
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el resultado que dé el producto notable del denominador.
=
•
... para este caso se aplica sustración de cubos como se
muestra arriba.
Este es el resultado del producto notable, que irá en el denominador, que multiplicará tanto al numerador como al denominador:
•
=
·
Ahora, se resuelven las potencias que están fuera del paréntesis:
Ahora, el denominador se transforma el resultado a producto notable:
=
Ya que los exponentes de las ca ntidades subradicales del denominador son iguales o múltiplos múltiplos de 3, puede procederse al despeje del radical del denominador, que es el último paso de la racionalización:
=
La radicación es la operación inversa de la potenciación. Supongamos Supongamos que nos dan un número a y nos piden calcular otro, tal que, multiplicado por si mismo un número b de veces nos da el numero a. Por ejemplo: calcular qué número multiplicado por si mismo 2 veces da 196. Ese número es 14.
El número que esta dentro de la raíz se llama
radicando,
el grado de la raíz se llama
índice del radical , el resultado se llama raíz .
Podemos considerar la radicación como un caso particular de la potenciación. En efecto, la raíz cuadrada de un numero (por ejemplo a) es igual que a 1/2, del mismo modo la raíz cúbica de a es a 1/3 y en general, la raíz enésima de un numero a es a 1/n. La mejor forma de resolver los ejercicios de operaciones con raíces es convertir las raíces a potencias y operar teniendo en cuenta las propiedades dadas para la operación de potenciación. Raíz cuadrada
1- Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el numero en grupos de dos cifras, empezando por la derecha Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64
2- A continuación continuación se calcula un numero entero que elevado al cuadrado sea igual (o lo mas próximo al numero del primer grupo, empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer numero es 5 y el numero entero que elevado al cuadrado se acerca mas a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al c uadrado esta cifra y se resta del numero del primer grupo En nuestro ejemplo 2 2 = 4 y restándolo del numero del primer grupo que es 5, sale 5 -4 = 1
4- A continuación continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo En nuestro ejemplo nos quedaría 156
5- después multiplicamos por 2 el numero que hemos calculado hasta el momento de la raíz. En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4
6- A continuación continuación tenemos que buscar un numero que multiplicado por el numero que resulta de multiplicar por 10 el numero anterior y sumarle el numero que estamos buscando se acerque l o mas posible al numero que tenemos como resto. Ese numero será el siguiente numero de la raíz. En nuestro ejemplo el numero seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el numero que se aproxima mas a 156 y la raíz seria 23...
7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el numero obtenido del que queríamos obtener realmente. En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27
8- A continuación continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo En nuestro ejemplo: 2701
9- A continuación continuación repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46
10- después repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el numero seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el numero que se aproxima mas a 2701 y la raíz seria 235...
11- después repetimos el paso 7
En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376
12- A continuación continuación repetimos el paso 8 En nuestro ejemplo: 37664
13 A continuación continuación repetimos el paso 5 En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 470
14- A continuación continuación repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo el numero seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el numero que se aproxima mas a 37664 y la raíz seria 2358
15- A continuación continuación repetimos el paso 7 En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el resto es cero.
Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas
Este método se debe a Newton Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula: ai = 1/2(a i-1 + A/ai-1) Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la aproximación 2, entonces: a1 = 2 a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250 a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236
Raíz cúbica
1- Para calcular la raíz cúbica de un número se comienza separando el numero en grupos de tres cifras, empezando por la derecha Por ejemplo: 16387064 lo separaríamos 16'387'064
2- A continuación continuación se calcula un numero entero que elevado al cubo se aproxime lo mas posible al numero del primer grupo (empezando por la izquierda). En nuestro ejemplo el primer numero es 16 y el numero entero que elevado al cubo se acerca mas a 16 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.
3- después se eleva al c ubo esta cifra y se resta del numero del primer grupo En nuestro ejemplo 2 3 = 8 y restándolo del numero del primer grupo que es 16, sale 16 - 8 = 8
4- A continuación continuación ponemos al lado del resto anterior el numero del siguiente grupo. En nuestro ejemplo nos quedaría 8387
5- después tenemos que calcular un numero a que haciendo las operaciones siguientes: 3 * (raíz obtenida hasta el momento) 2 * a * 100 + 3 * (raíz obtenida hasta el momento) * a 2 * 10 + a 3
se aproxime lo mas posible al numero obtenido en el punto 4. El número a, es el siguiente dígito de la raíz. En nuestro ejemplo seria ese número sería 5, porque 3 * 2 2 * 5 * 100 + 3 * 2 * 5 2 *10 + 53 = 7625
6- A continuación continuación restamos este numero al numero obtenido en el paso 4. En nuestro ejemplo: 8387 - 7625 = 762.
7- Repetimos el paso 4 En nuestro ejemplo: 762064
8- Repetimos el paso 5 y el numero obtenido seria el siguiente numero de la raíz. En el ejemplo sería el 4 porque 3 * 25 2 * 4 * 100 + 3 * 25 * 4 2 * 10 + 43 = 762064
9 Repetimos el paso 6 En nuestro ejemplo 762064 - 762064 = 0
Radicación de números complejos
La forma más fácil es la polar, y es la que se utiliza habitualmente.
La fórmula es la misma que para la potencia sustituyendo n por 1/n.
Un radical es una expresión de la forma ; con tal que cuando
a
sea negativo,
n
, en la que n
ha de ser impar.
Expresión de un radical en forma de potencia
y a
Simplificación de radicales
Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical equivalente.
Reducción de radicales a índice común
1 H a l la la m o s e l
m í ni n i m o c om o m ú n m ú lt l t i pl p l o d e l o s í n di d i c es es,
q ue ue
s er er á e l
común índice
2 D i vi v i d im i m os o s e l c o mú m ú n í n di d i c e p or o r c a da d a u n o d e l o s í n di d i c es e s y c a da da resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.
Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores. Si:
U n e x p on on e n t e e s m e n o r q u e e l
í n d ic ic e , e l
f a c t or o r c o r r es e s p o nd n d i e n te te s e
d e j a e n e l r a d i c a n d o. o.
Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.
U n e x p o n e n t e e s m a y o r q u e e l í n d i ce ce , s e d i v i d e d i c h o e x p o n e n t e p o r el
í n di d i c e. e.
El
cociente
o b te t e n id id o
es
el
e xp x p o ne n e n te te
del
f a ct c t or or
f u er er a
del
radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.
Introducción de factores dentro del signo radical
S e i n t r od o d u c e l o s f a c to t o r e s e l e v a d o s a l í n d i ce c e c o r r e sp s p o n di di e n t e d e l radical.
Suma de radicales
Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.
P r o p i e d a de de s d e l o s r a d i c a l e s
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
P ar ar a
m u lt l t i pl p l i ca ca r
r ad a d i ca c a l es es
con
el
m i sm sm o
í nd n d i ce ce
se
m u lt l t i pl p l i ca ca n
los
r a d i c a n d o s y s e d e j a e l m i s m o í n d i c e. e.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
Raíz de un radical
La raíz de un
r a di d i c al a l e s o t ro r o r a di d i c al a l d e i gu g u a l r a d ic i c a nd nd o y
c u yo yo
índice es el producto de los dos índices.
Racionalizar radicales
C o n si si s t e e n
q u i t ar a r l o s r a d ic i c a l e s d e l d e n om o m i n a do d o r, r, l o q u e p e r m i t e
facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por
.
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por
.
3Del tipo , y e n g e ne n e r a l c u a nd n d o e l d e no n o m i na na d o r s e a u n b i n o m i o c o n a l menos un radical.
S e m u l t ip i p l i ca c a e l n u m er e r a d or o r y d e n om o m i n ad a d o r p o r e l c o n ju j u g a do do d e l denominador.
