¿Qué son las matemáticas? Juan Carlos Ponce Campuzano
[email protected] Universidad de Colima
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Intr Introdu oducc cció ión n
¿Qué son las matemáticas? Haga esta pregunta a varias personas elegidas al azar y es probable que reciba la respuesta “Las matemáticas son el estudio de los números”. Si usted insiste preguntando qué tipo de estudio quieren decir, es posible que pueda inducirlos a responder: “Es la ciencia de los números”. Si consulta también el Diccionario de la Lengua Española, Española, puede encontrar encontrar una respuesta similar, aunque más precisa: matemática. (Del lat. math ma them ematˇ atˇ ıca , y este del gr. τ α µαθηµατικα, der. de µαθηµα, conocimiento). 1. f. Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones. `
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Con esto, usted habrá obtenido una descripción de las matemáticas que dejó de ser precisa desde hace unos dos mil quinientos quinientos años atrás. Las matemáticas matemáticas han sido, desde épocas antiguas, una actividad floreciente en todo el mundo que han permeado en un grado considerable en distintos ámbitos de la vida humana y en general de la sociedad. De hecho, la respuesta a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” ha cambiado varias veces durante el curso de la historia. En la antigüedad, hasta el año 500 a. C. (más o menos), las matemáticas eran de hecho el estudio de los números. Este fue el período de las matemáticas matemáticas egipcias y babilónicas. babilónicas. En esas civilizaciones civilizaciones antiguas, la matemática matemática consistía consistía casi exclusivamente de la aritmética práctica. Fue en gran parte utilitaria y se consideraba más como un manual basado en, quizá, una regla básica: Realizar tal y tal cosa a un número y obtendrá la respuesta. El período que comprende alrededor del año 500 a. C. al 300 d. C. se considera como la época de las matemáticas griegas. Los matemáticos de la antigua Grecia se ocuparon principalmente de los números y la geometría. De hecho, consideraron números de forma geométrica, como medidas de longitud de segmentos, pero cuando se descubrió que había segmentos inconmensurables (también llamados magnitudes inconmensurables), terminaron 1
sus estudios acerca del número. Recordemos que dos segmentos son inconmensurables si no existe ningún otro segmento que aplicarse a cada uno de ellos un número entero de veces, o dicho en otras palabras, si el cociente de sus longitudes no puede expresarse por una fracción ordinaria (un cociente de números enteros). Para los griegos, con su énfasis en la geometría, las matemáticas eran básicamente el estudio de los números y la forma. Se debe resaltar que fue a partir de los griegos cuando la matemática surgió como un área de estudio y dejó de ser una colección de técnicas para contabilizar, organizar, medir y contar. El interés de los griegos en matemáticas no sólo era utilitario, sino que consideraron a las matemáticas como una actividad intelectual que tiene elementos estéticos y religiosos. Tales de Mileto (c. 624 a. C. - c. 546 a. C.), por ejemplo, introdujo la idea de que las afirmaciones de las matemáticas expresadas con precisión podían ser demostradas lógicamente por medio de un argumento formal. Esta innovación marcó el nacimiento del teorema, actualmente piedra angular de las matemáticas. Para los griegos, este enfoque culminó con la publicación de los Elementos de Euclides (ca. 325 - ca. 265 a. C.), conocido por ser el libro más difundido de todos los tiempos después de la Biblia. 2.
Matemáticas en Movimiento
No hubo cambios importantes en la naturaleza general de las matemáticas ni avances significativos hasta mediados del siglo XVII, cuando el físico, astrónomo y matemático inglés Sir Isaac Newton (1642-1727) y el abogado, filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) desarrollaron el Cálculo de manera independiente. En esencia, el Cálculo es el estudio del movimiento y el cambio. Las matemáticas, previas al siglo XVII, habían sido en gran parte restringidas a las cuestiones estáticas de conteo, medición y descripción de la forma. Con la introducción de técnicas para manejar el movimiento y el cambio, los matemáticos comenzaron a estudiar el movimiento de los planetas y de los cuerpos que caen sobre la tierra, el funcionamiento de la maquinaria, el flujo de los líquidos, la expansión de los gases, las fuerzas físicas, tales como el magnetismo y la electricidad, el vuelo, el crecimiento de las plantas y los animales, la propagación de epidemias, la fluctuación de variables, entre muchas otras cosas más. Después de Newton y Leibniz, la matemática se convirtió en el estudio del número, la forma, el movimiento, el cambio, y el espacio. La mayor parte del trabajo inicial que implica el Cálculo se ha dedicado al estudio de la física y, de hecho, muchos de los grandes matemáticos de la época también son considerados como físicos. Pero a partir de mediados del siglo XVIII se produjo un creciente interés en la naturaleza de las matemáticas, no sólo sus aplicaciones, muchos matemáticos comenzaron a tratar de comprender lo que había detrás del enorme poder que el Cálculo dio a la humanidad. Aquí la tradición griega de la prueba formal volvió a entrar en ascenso, similar a la matemática pura actualmente desarrollada. A finales del siglo XIX, las matemáticas se habían convertido en el estudio del número, la forma, el movimiento, el cambio y el espacio, y de las herramientas matemáticas que se utilizan en este estudio. 2
La explosión de la actividad matemática que tuvo lugar en el siglo XX fue dramática. En el año 1900, el conocimiento matemático del mundo entero se ha instalado en un número finito de libros (digamos 1000 libros, tal vez). Hoy tal vez se necesitaría un billón de volúmenes para contener todas las matemáticas conocidas. Este extraordinario crecimiento no sólo ha sido un fomento de las matemáticas de la antigüedad, de hecho, han surgido muchas nuevas ramas de las matemáticas. Hasta 1900, la matemática puede considerarse, razonablemente, como un conjunto de doce temas distintos: Aritmética, Álgebra, Geometría, Cálculo, etc. Hoy en día, existen un número enorme de categorías. Algunos temas, como el álgebra y la topología, se han dividido en varios subcampos, mientras que otros, tales como la teoría de categorías o la teoría de sistemas dinámicos, son totalmente nuevas áreas de estudio. 3.
La naturaleza de las matemáticas
Ante este enorme crecimiento en la actividad matemática, por un tiempo parecía que la única respuesta sencilla a la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” fue decir algo como: “Es lo que los matemáticos hacen para ganarse la vida”. Las matemáticas, en particular, se podrían describir no tanto por lo que estudia, sino por la forma en que se estudia, es decir, la metodología utilizada o también su naturaleza. Dentro de la filosofía de las matemáticas han surgido varias corrientes que tratan de explicar la naturaleza de las matemáticas, algunas de las más famosas son: el Logicismo, el Formalismo y el Intuicionismo. A grandes rasgos: El Logicismo es una de las escuelas de pensamiento en la filosofía de la matemática, propone la teoría que la matemática es una extensión de la lógica y, por lo tanto, parte o toda la matemática es reducible reducible a la lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teoría cuyo padre fue Gottlob Frege. El logicismo fue clave en el desarrollo de la filosofía analítica en el siglo XX, El Formalismo es una posición en filosofía de las matemáticas que considera que el lenguaje matemático puede reducirse a operar con signos. Los postulados (o reglas) son arbitrarios, solo están sujetos a una condición esencial, que es la compatiblidad. Es decir, pueden construirse tantas disciplinas matemáticas como sistemas compatibles de postulados. Su autor más importante es David Hilbert, y El Intuicionismo es una aproximación a las matemáticas a partir de una vista mental constructiva humana. Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Por consiguiente, el Intuicionismo es una variedad del Constructivismo matemático, aunque no son el mismo concepto. Desde otro punto de vista, de acuerdo con el matemático inglés Keith J. Devlin (1947), en los últimos treinta años ha surgido una definición de las matemáticas en la que la mayoría de los matemáticos están de acuerdo: La matemática es la ciencia de patrones. De acuerdo con esta idea lo que el matemático hace es examinar patrones numéricos, patrones 3
de formas, patrones de movimiento, patrones de comportamiento, patrones elecciones en una población, los patrones de eventos al azar, entre muchos otros. Estos patrones pueden ser reales o imaginarios, visuales o mentales, estáticos o dinámicos, cualitativos o cuantitativos, puramente utilitarios o simplemente de interés recreativo. Pueden surgir del mundo que nos rodea, desde las profundidades del espacio y el tiempo, o desde el funcionamiento interno de la mente humana. Diferentes tipos de patrones dan lugar a las diferentes ramas de las matemáticas. Por ejemplo: La Aritmética y Teoría de números estudian patrones de números y conteo. La Geometría estudia patrones de forma. El Cálculo nos permite manejar patrones de movimiento. La Lógica estudia patrones de razonamiento. La Teoría de Probabilidad trata con patrones de azar. La Topología estudia de patrones de cercanía y posición. Uno de los aspectos de la matemática moderna, que es obvio hasta para el observador casual, es el uso de la notación abstracta: las expresiones algebraicas, fórmulas complicadas de aspecto y diagramas geométricos. El hecho de que el matemático confié plenamente en la notación abstracta, es un reflejo de la naturaleza abstracta de los modelos que estudia. Diferentes aspectos de la realidad requieren diferentes formas de descripción. Por ejemplo, dibujar un mapa es la forma más adecuada para estudiar la disposición de la tierra o para describir a alguien cómo encontrar su camino en una ciudad extraña. En este caso, el texto es mucho menos apropiado. Análogamente, diagramas de planos son la manera más apropiada para especificar la construcción de un edificio. La notación musical es la manera más adecuada para comunicar la música e incluso de poder tocar una pieza musical completa. En matemáticas, los conceptos, procedimientos y la notación son los medios más apropiados para la descripción y análisis varios tipos de patrones y estructuras abstractas. Por ejemplo, la notación simbólica del álgebra es el medio más adecuado para describir y analizar las propiedades generales de comportamiento de la suma y la multiplicación. 4.
Comentarios finales
No es una tarea simple tratar de contestar la pregunta “¿Qué son las matemáticas?” La razón es porque la respuesta varía dependiendo de la perspectiva desde donde se mire. En lo personal, las matemáticas son el producto de un proceso histórico-social de la mente 4
humana. Quizá en los próximos 100 años se propondrá una nueva perspectiva acerca de la naturaleza de las matemáticas debido al desarrollo de las tecnologías computacionales. De hecho, en las manos de un usuario experto, la computadora puede utilizarse para “realizar” matemática, y el resultado se puede mostrar en una forma visual en la pantalla para que todos lo vean. Aunque sólo una parte relativamente pequeña de la matemática se presta para tales propósitos, ahora es posible comunicar a un gran número de personas al menos algo de la belleza y la armonía que el matemático “observa” y experimenta cuando hace matemáticas. Referencias
[1] Devlin, K. (1994). Mathematics: The science of patterns. New York: Scientific American Library. [2] Devlin, K, (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. 2nd. ed. W. H. Freeman and Company. USA. [3] Hersh, R. (1997). What is mathematics, really? United States of America. Oxford University Press. [4] Real Academia Española. (2001). Matemática. En Diccionario de la lengua española (22.a ed.). Recuperado de http://lema.rae.es/drae/?val=matematicas [5] Toranzos, F. I. (1953). Introducción a la epistemología de la matemática. Argentina: Espasa-Calpe.
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