Charles Ponzi Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : navigation, rechercher Pour les articles homonymes, voir Ponzi (homonymie). Charles Ponzi Escroc
Ponzi pris en photo vers 1920.
Information
Nom de naissance
Carlo Pietro Giovanni Guglielmo Tebaldo Ponzi
Naissance
3 mars 1882 Lugo (Italie)
Décès
18 janvier 1949 (à 66 ans) Rio de Janeiro (Brésil)
Patrie
Italie Escroquerie
Affaires
Système de Ponzi
Pays
États-Unis
Charles Ponzi (né le 3 mars 1882 à Lugo, dans la province de Ravenne, en Émilie-Romagne, en Italie et mort le 18 janvier 1949 à Rio de Janeiro, au Brésil) est un escroc italien, concepteur d'un mode d'escroquerie élaboré sur une chaîne d'emprunt. Cette technique d'escroquerie, punie depuis longtemps comme délit, maintenant appelée « chaîne de Ponzi » (ou « pyramide de Ponzi ») repose sur un système relativement simple : les intérêts versés aux épargnants sont prélevés sur les sommes placées par les souscripteurs suivants. Pour que les recettes continuent à couvrir les engagements, il faut une croissance des souscriptions. Dès que celle-ci se ralentit, la cessation de paiement fait découvrir le système de cavalerie.
Sommaire
1 Biographie o 1.1 L'arrivée à Boston o
1
1.2 L'installation à Montréal
o
1.3 La grande fraude de 1919
o
1.4 La fin
2 Voir aussi o
2.1 Bibliographie
o
2.2 Références
3 Liens externes
Biographie Carlo Pietro Giovanni Guglielmo Tebaldo Ponzi est né à Lugo en 1882 dans une famille originaire de Parme. Il aurait travaillé comme postier avant d'étudier quatre ans à l'université de Rome « La Sapienza ».
L'arrivée à Boston Ponzi arrive à Boston le 15 novembre 1903 à bord du S.S. Vancouver. Selon ses propos à un journaliste du The New York Times, il n’avait que 2,50 $ en poche, ayant perdu toutes ses économies au jeu pendant la traversée. Notons que beaucoup de détails de la vie de Ponzi proviennent de ses déclarations, ce qui les rend sujets à caution, compte tenu de son sens de l’affabulation. À Boston, il occupe plusieurs emplois, dont celui de garçon dans un restaurant d’où il sera congédié au motif de vol.
L'installation à Montréal Il apprend qu’un de ses compatriotes, Luigi Zarossi, s’est installé à Montréal et y a prospéré grâce au commerce de cigares. Charles Ponzi quitte Boston pour Montréal en juillet 1907 avec un dollar en poche. Zarossi a toujours sa boutique de cigares, rue Saint-Jacques; il a également mis sur pied une institution financière, la Banca Zarossi qui vise à encaisser les économies des immigrants italiens. Pour attirer les déposants, Zarossi offre 6 % d’intérêt, alors que les autres banques n’offrent que 2 %. Ponzi y obtient un emploi en se faisant passer pour Charles Bianchi, un parent de la riche famille Bianchi (famille totalement fictive) en Italie. Il entre comme caissier avant d’y assumer des fonctions plus importantes. Il constate rapidement que Zarossi ne peut offrir un taux aussi élevé qu’en puisant à même l’argent des nouveaux déposants, et que si tous les déposants réclamaient leur argent, ce serait la faillite. Quand en 1908, les déposants commencent à avoir des doutes, Zarossi s’enfuit au Mexique avec la caisse, laissant femme et enfants à Montréal. Bien que Ponzi ait pu jouer un rôle dans la fraude de Zarossi, aucune accusation ne sera portée contre lui et c’est la modique somme de 423,58 $ qui lui vaudra la prison : il se présente un jour chez un ancien client de Zarossi, Canadian Warehousing, subtilise un chéquier et se fait à lui-même un chèque de 423,58 $ en contrefaisant la signature du directeur de l’agence, Damien Fournier. Démasqué, il est condamné à trois ans d’incarcération à la prison de St-Vincent-de-Paul. Après vingt mois, il est relâché, mais dans les mois qui suivent, il est à nouveau arrêté pour avoir tenté de faire entrer illégalement des ouvriers italiens aux États-Unis. Il purgera une peine de deux ans dans une prison d’Atlanta.
La grande fraude de 1919 2
À sa sortie de prison, Ponzi retourne à Boston où il organise alors la grande fraude qui porte son nom, le système de Ponzi, un système pyramidal dont l’envergure dépassera largement celle de la Banca Zarossi. Il promettait à l’investisseur un intérêt de 50 % en 45 jours et de 100 % en 90 jours. Les profits étaient censés provenir d'une spéculation sur les International postal reply coupons (coupon-réponse international). La rapidité de la croissance de la bulle ainsi produite n’aura d’égale que la déconfiture des investisseurs lorsque celle-ci éclatera en août 1920. Environ 40 000 personnes avaient investi 15 millions de dollars, dont seulement un tiers leur fut redistribué1. Dénoncé dans le Boston Post, sous le coup de plusieurs investigations fédérales et de l'état, il se rend aux autorités le 12 août 1920. Dans le procès fédéral qui s'ensuit, Ponzi plaide coupable et sera condamné à 5 ans de prison. Libéré après 3 ans et demi, il devra alors faire face à des charges au niveau de l'état du Massachusetts2. Le procès va jusqu'en cour suprême des États-Unis et il est à nouveau condamné pour une autre partie de la même affaire à une peine de 7 à 9 ans de prison. Entre temps il se rend en Floride où il reprend ses arnaques et est condamné à un an de prison en 19263.
La fin Quand il est libéré en 1934, le gouvernement donne l’ordre de l'expulser en Italie où il organise plusieurs arnaques, sans grand succès. Benito Mussolini lui offre un poste à la section financière du gouvernement, mais son comportement sans scrupule le force à fuir vers le Brésil non sans avoir subtilisé un montant non divulgué au Trésor italien. Pour le reste de sa vie, il vit d’expédients, faisant à l’occasion de la traduction. Il publie également dans les années 1930 son autobiographie : The Rise of Mr Ponzi. Après plusieurs accidents de santé qui le laissèrent pratiquement aveugle, il meurt, complètement ruiné dans un hôpital public de Rio de Janeiro, le 18 janvier 1949. Sur les autres projets Wikimedia : Charles Ponzi, sur Wikimedia Commons Charles Ponzi, sur Wikidata
Bibliographie Notices d'autorité : Fichier d'autorité international virtuel • International Standard Name Identifier • Bibliothèque du Congrès • Gemeinsame Normdatei • WorldCat Charles Ponzi, The Rise of Mr Ponzi (Texte dans le domaine public), 1936 (lire en ligne) John Kalbfleisch, Ponzi scheme: the Montreal link., Montréal, The Gazette, 5 juillet 2009 (en) Donald Dunn, Ponzi: The Incredible True Story of the King of Financial Cons (Library of Larceny) (Paperback), New York, Broadway, 2004, 1e éd. (ISBN 978-0-7679-1499-4, LCCN 2004266761)
Zuckoff, Mitchell. Ponzi's Scheme: The True Story of a Financial Legend. Random House: New York, 2005. (ISBN 1-4000-6039-7) The History Channel. "In Search of History: Mr Ponzi and His Scheme". February 9, 2000. (AAE-42325, ISBN 0767016726) (en) Robert Sobel, The Great Bull Market: Wall Street in the 1920's, New York, Norton, 1968 David Lescot, Le Système de Ponzi, Acte Sud, 2012, (ISBN 978-2-330-00184-1)
Références ↑Présentation du Ponzi scheme par l'US [archive] Securities and Exchange Commission 1. ↑ (en) « CNN Money : What Madoff could learn from Ponzi » [archive] 2. ↑ (en) « The Florida Times-Union » [archive]
3
Système de Ponzi Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : navigation, rechercher Un système de Ponzi est un montage financier frauduleux qui consiste à rémunérer les investissements des clients essentiellement par les fonds procurés par les nouveaux entrants. Si l'escroquerie n'est pas découverte, elle apparaît au grand jour au moment où elle s'écroule, c'est-à-dire quand les sommes procurées par les nouveaux entrants ne suffisent plus à couvrir les rémunérations des clients1. Elle tient son nom de Charles Ponzi qui est devenu célèbre après avoir mis en place une opération basée sur ce principe à Boston dans les années 1920.
Sommaire
1 Descriptif o 1.1 Modèle mathématique o
1.2 Mise en situation
2 Historique
3 Cas célèbres
4 Dans la fiction
5 Notes et références
o
5.1 Notes
o
5.2 Références
6 Voir aussi o
6.1 Articles connexes
o
6.2 Liens externes
Descriptif Modèle mathématique Le mathématicien Marc Artzrouni modélise les systèmes de Ponzi en utilisant des équations différentielles linéaires du premier ordre2. Soit un fond avec un dépôt initial
au temps
, un flux de capitaux entrant de
, un taux de rendement promis et un taux de rendement effectif . Si alors le fonds est légal et possède un taux de profit de . Si par contre , alors le fonds promet plus d'argent qu'il ne peut en obtenir. Dans ce cas, est appelé le taux de Ponzi.
4
Il faut aussi modéliser les retraits faits par les investisseurs. Pour ce faire, nous définissons un taux de retrait constant , appliqué à tout temps sur le capital accumulé promis. Le retrait au temps vaut donc
. Il faut aussi ajouter les retraits des investisseurs qui
sont arrivés entre le temps et le temps , à savoir ceux qui ont investi
au temps . Le
retrait pour ces investisseurs est donc de . En intégrant ces retraits entre et et en ajoutant les retraits des investisseurs initiaux, nous obtenons:
Si
est la valeur du fonds au temps , alors
l'intérêt nominal retraits
est obtenu en ajoutant à
, le flux de capitaux entrant
et en soustrayant les
. Nous obtenons donc , ce qui conduit à l'équation
différentielle linéaire
Mise en situation Imaginons que quelqu'un propose un investissement à 100 % d'intérêts : vous lui donnez 10 euros, il vous en rend 20 en utilisant l'argent déposé par les clients suivants (il lui suffit d'ailleurs de proposer un rendement double des rendements connus du marché pour s'attirer de la clientèle et pour durer). Le système est viable tant que la clientèle afflue, attirée en masse par les promesses financières (et d'autant plus tentantes que les premiers investisseurs sont satisfaits et font une formidable publicité au placement). Les premiers clients, trop heureux de ce placement mirifique, replacent leur argent eux aussi, s'ajoutant à tous ceux qu'ils ont réussi à convaincre. Le phénomène fait alors boule de neige, entretenu tant que l'argent rentre et permet de payer à 100 % les nouveaux investisseurs. L'organisateur prend une commission, bien compréhensible lorsque l'on voit les promesses qu'il fait, et qu'il tient. Le système peut durer tant que la demande suit la croissance exponentielle imposée par ce système, les clients arrivant par 2, 4, 8, 16, 32, etc. Lorsque les nouveaux arrivants se font rares, la chaîne se coupe, la bulle éclate : tous les derniers investisseurs sont spoliés. Les gagnants sont ceux qui ont quitté le navire à temps.
Historique
Photographie de Charles Ponzi en 1920
5
Charles Ponzi utilisa ce système en 1919 à Boston, ce qui fit de lui, personne anonyme, un millionnaire en six mois. Les profits étaient censés provenir d'une spéculation sur les International postal reply coupons (coupons-réponse internationaux), avec un rendement de 40 % en 90 jours. Environ 40 000 personnes investirent 15 millions de dollars, dont seulement un tiers leur fut redistribué3. L'Union postale universelle (UPU) qui regroupe les administrations postales du monde depuis 1878, avait répondu à la demande de l'émission d'un timbre-poste universel par la création des coupons-réponse internationaux le 1er octobre 1907. Un particulier achetait dans son pays un Coupon-réponse international au prix de 0,28 Franc (ou son équivalent) et l'envoyait à son correspondant, partout dans le monde. Ce destinataire se rendait dans un quelconque bureau de poste où, contre la remise de ce coupon, il recevait un ou plusieurs timbres-poste de son pays, d'une valeur correspondant à l'affranchissement d'une lettre en service international (0,25 Franc ou son équivalent). La différence de 0,03 Franc servait à couvrir les frais de compensation entre les administrations postales, l'une ayant reçu la totalité de l'argent du coupon, l'autre ayant vendu un timbre-poste sans perception d'argent. Comme il y avait à cette époque une bonne stabilité de la parité de change des monnaies, le système pouvait fonctionner sans problème. La sortie de la Première Guerre mondiale et ses conséquences financières dans l'économie mondiale ont totalement ébranlé le système par les dévaluations fréquentes constatées et l'augmentation des tarifs postaux qui s'ensuivirent. Des administrations postales devenaient déficitaires dans ces échanges et durent prendre des mesures restrictives à l'utilisation de ce service.
Cas célèbres L'Affaire Hanau en France en 1928.
6
L'Affaire Stavisky en France en 1934.
L'homme d'affaires américain Bernard Madoff, président-fondateur d'une société d'investissements et très actif dans le NASD et le NASDAQ, a créé un système de Ponzi qui a fonctionné pendant 48 ans, de 1960 à la crise financière de 20084. C'était un gérant de hedge fund qui promettait des retours sur investissements relativement élevés, de l'ordre de 8 à 12 % par an. Ce qui sortait le plus de l'ordinaire avec les performances qu'affichaient ses fonds était l'absence de retours négatifs sur de très longues périodes et une volatilité (l'équivalent du risque de l'investissement) très faible. Autre indice alarmant, à la clôture de chaque exercice, Madoff déclarait être liquide, c'est-à-dire détenir tous ses avoirs en liquidités, et ainsi ne publia jamais de relevés indiquant la quelconque possession de titres financiers. Enfin, les titres sur lesquels il disait investir, notamment des options sur indices, n'étaient pas assez liquides pour « absorber » les volumes qu'un fonds de la taille de celui de Madoff aurait engendrés. L'utilisation de modèles mathématiques financiers, des clients réputés, des postes élevés dans l'administration, l'assuraient d'un prestige important. Lorsque de nombreux clients souhaitèrent retirer leurs avoirs de sa société d'investissement lors de la crise financière de 2008, ils se rendirent compte que les caisses étaient vides et qu'ils avaient perdu tout leur argent. Avant son arrestation, Bernard Madoff gérait officiellement 17 milliards de dollars.
Fin février 2009, Allen Stanford, un milliardaire texan fut suspecté d'avoir monté une escroquerie bancaire approchant les 9 milliards de dollars (6,8 milliards d'euros). La Stanford International Bank (SIB), l'un des établissements au cœur du dispositif, a été nationalisée le 24 février 2009 par le gouvernement d'Antigua. L'opération, basée en partie sur un système de Ponzi, aurait fait autour de 50 000 victimes.
Dans la fiction Des escroqueries de ce type se retrouvent dans divers films et romans, par exemple :
Le roman Trans de Dashnor Kokonozi (Trad. fr. Terre brûlée. Ed. Non Lieu, 2013) parle de la situation tragique de l’Albanie en 1997, suite a l’écroulement de pyramides financières, sociétés d’investissement inspirées du system de Ponzi. On estime que 80% des Albanais ont perdu leurs économies. Le pays a frôlé la guerre civile.
L'intrigue de départ du roman policier L'Odore della notte (2001 ; trad. fr. L'Odeur de la nuit, 2003) du romancier italien Andrea Camilleri repose sur une escroquerie de type Ponzi montée par le comptable Gargano et dont sont victimes des habitants de Vigata où exerce le commissaire Salvo Montalbano5.
Le roman Little Dorrit de Charles Dickens mentionnait déjà en 1857 une escroquerie basée sur ce principe.
Le film La Banquière, bien que non explicite, relate la mise en place d'un système de Ponzi.
Le film Revolver explique la mise en place d'un système de Ponzi dans le milieu mafieux de Las Vegas.
Dans le film Le Casse de Central Park, un homme d'affaires, Arthur Shaw, met en place un système de Ponzi afin de détourner la pension de retraite de plusieurs de ses employés à New York.
Dans le film Madea's Witness protection,de Tyler Perry, Georges,est informé par Walter que Lokhwise industries,dans laquelle il travaille comme directeur financier,a mis sur pied un montage frauduleux qui a permis une vaste arnaque financière ,"une pyramide de ponzi".
Dans le film Very Bad Cops, d'Adam McKay, les protagonistes mènent l'enquête sur une fraude à grande échelle fondée sur un système de Ponzi. Le générique, en particulier, évoque Bernard Madoff et Charles Ponzi.
Le roman Park Avenue de Cristina Alger
Elles apparaissent également dans de nombreux épisodes de séries télévisées.
Notes et références Notes 7
Références ↑ ponzi [archive] U.S. Securities and Exchange Commission
8
1. 2.
↑ Marc Artzrouni, The mathematics of Ponzi schemes [archive] ↑ Présentation du Ponzi scheme par l'US [archive] Securities and Exchange Commission
3.
↑ (en) personnel de rédaction, « Ponzi squared », The Economist, 15 décembre 2008 ( lire en ligne [archive])
4.
↑ Montalbano se fait expliquer ainsi le système par son adjoint Augello : « Mettons que tu me confies un million pour le faire fructifier. Moi, au bout de six mois, je te donne deux cent mille lires d'intérêt, soit vingt pour cent. C'est un taux très élevé et le bruit se répand. Arrive un autre ami à toi qui me confie son million. À la fin du deuxième semestre, moi je te donne encore deux cent mille lires et autant à ton ami. À ce point, je décide de disparaître. Et je me suis gagné un million quatre-cent-mille lires. » (trad. Serge Quadruppani)
Équation différentielle linéaire Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. Aller à : navigation, rechercher Cet article est une ébauche concernant l'analyse. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
Une équation différentielle linéaire est un cas particulier d'équation différentielle pour lequel on peut appliquer des procédés de superposition de solutions, et exploiter des résultats d'algèbre linéaire. De nombreuses équations différentielles de la physique vérifient la propriété de linéarité. Une équation différentielle linéaire scalaire se présente comme une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées, de la forme
où
,
,…
, sont des fonctions numériques continues.
Une équation différentielle linéaire vectorielle aura le même aspect, en remplaçant les par des applications linéaires (ou souvent des matrices) fonctions de x et b par une fonction de x à valeurs vectorielles. Une telle équation sera parfois aussi appelée système différentiel linéaire. L'ordre de l'équation différentielle correspond au degré maximal de différentiation auquel une des fonctions inconnues y a été soumise, n dans l'exemple précédent. Il existe des méthodes générales de résolution pour les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre 1 à coefficients variables ou d'ordre n à coefficients constants.
Sommaire
1 Généralités sur l'équation différentielle linéaire scalaire o 1.1 Équation homogène o
1.2 Équation non homogène
o
1.3 Cas de l'équation à coefficients constants
2 Équation différentielle linéaire vectorielle o
9
2.1 Écriture générale
o
2.2 Principe de superposition
o
2.3 Écriture matricielle
o
2.4 Forme résolue
o
2.5 Réduction à l'ordre 1
3 Équation différentielle linéaire d'ordre 1 sous forme résolue o
3.1 Écritures
o
3.2 Existence et unicité des solutions
4 Utilisations de l'exponentielle pour la résolution systématique o
4.1 Équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1
o
4.2 Équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants
o
4.3 Cas général : résolvante
5 Méthode variationnelle ou des variations de constantes
6 Note et référence
7 Voir aussi
Généralités sur l'équation différentielle linéaire scalaire Celle-ci s'écrit, sous sa forme la plus générale :
Équation homogène Cette équation, appelée aussi équation sans second membre, s'écrit :
Si on dispose de n « intégrales » (i.e. : solutions) particulières linéairement indépendantes :
en multipliant chaque équation respectivement par les constantes
10
, la fonction
qui dépend de n constantes arbitraires satisfait l'équation : c'est l'intégrale générale de celle-ci.
Équation non homogène Si, à cette fonction dépendant de n constantes arbitraires, est ajoutée une intégrale particulière de l'équation complète, la somme des deux satisfait l'équation complète : c'est l'intégrale générale de l'équation non homogène. Une autre méthode, celle de la variation des constantes, fournit directement (lorsqu'elle est praticable) l'intégrale générale.
Cas de l'équation à coefficients constants L'équation s'écrit alors :
En cherchant une solution de la forme
, on obtient l'équation caractéristique :
Si les racines sont distinctes, cette équation fait apparaître les fonctions indépendantes suffisantes pour déterminer toutes les solutions de l'équation homogène. Une racine réelle correspond à une exponentielle tandis qu'une paire de racines complexes conjuguées se traduit par une exponentielle multipliée par une sinusoïde. Dans le cas de l'équation complète, il ne reste plus qu'à trouver une seule solution de celle-ci. C'est particulièrement simple dans le cas important d'un second membre sinusoïdal ou lorsque celui-ci peut être décomposé en sommes de sinusoïdes (voir Analyse spectrale). Pour d'autres types de seconds membres, la transformation de Laplace fournit un certain nombre de solutions.
Équation différentielle linéaire vectorielle Écriture générale Soient I intervalle réel et E espace vectoriel normé. Soient n + 1 fonctions a0, a1, … an continues sur I à valeurs dans ℒ(E) et b une fonction continue sur I à valeurs dans E. L'équation
est appelée équation différentielle linéaire d'ordre n sur I. Une solution de cette équation est une fonction y de classe Cn de I dans E telle que
Principe de superposition 11
L'équation homogène E0 associée à l'équation Eb ci-dessus est :
Toute combinaison linéaire de solutions, sur un sous-intervalle J de I, de l'équation homogène E0, est elle aussi solution : l'espace S0 de ces solutions est un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions définies sur J. Étant donnée une solution y de Eb sur J, les autres sont les fonctions de la forme y + z avec z solution arbitraire de E0 sur J : l'espace Sb de ces solutions est un espace affine de direction S0.
Écriture matricielle Si E est de dimension finie d, en fixant une base de E, l'équation peut s'écrire matriciellement. Soient n + 1 fonctions , ,…, continues sur I à valeurs dans l'espace des matrices carrées Md(ℝ) et B une fonction continue sur I à valeurs dans ℝd :
Forme résolue[ Sur tout intervalle où résolue (en posant
est constamment inversible, l'équation se réécrit sous forme et
):
Réduction à l'ordre 1 Toute équation différentielle (linéaire) peut être vue comme une équation (linéaire) d'ordre 1, à condition de modifier l'espace vectoriel en conséquence. On prend en effet comme nouvel espace vectoriel En, comme nouvelle fonction inconnue le vecteur
L'équation équivalente vérifiée par les composantes de Y est
qui est bien une équation différentielle d'ordre 1, et qui reste sous forme résolue si l'équation de départ l'était. 12
Par exemple, l'équation différentielle linéaire d'ordre deux, résolue et autonome
à valeurs dans ℝ se transforme en équation du premier ordre à valeurs dans ℝ2 : la fonction inconnue de la nouvelle équation différentielle est une fonction x ↦ v(x) = (y(x), z(x)) de ℝ dans ℝ2 et l'équation s'écrit :
où g est l'endomorphisme de ℝ2 défini par g(y, z) = (z, y). Autrement dit :
C’est-à-dire que la dérivée de la fonction y est égale à z et la dérivée de z est égale à y, ce qui signifie que la dérivée seconde de y est égale à y. La nouvelle équation est bien équivalente à l'ancienne.
Équation différentielle linéaire d'ordre 1 sous forme résolue L'équation d'ordre 1 sert de référence pour toute la théorie, puisque les équations d'ordre supérieur peuvent s'y ramener. La forme résolue, ou explicite, permet d'avoir de bons résultats théoriques d'existence et d'unicité.
Écritures Écriture générale D'après ce qui précède, une équation différentielle linéaire d'ordre 1 sous forme résolue s'écrit
Écriture matricielle Si E est de dimension finie d, en fixant une base de E, l'équation peut s'écrire matriciellement, avec une fonction continue sur I à valeurs dans l'espace des matrices carrées Md(ℝ) et B une fonction continue sur I à valeurs dans ℝd. L'équation devient
Écriture en composantes L'écriture matricielle prend la forme d'un système 13
Existence et unicité des solutions Pour identifier complètement une solution de l'équation on peut imposer des conditions initiales, c'est-à-dire la valeur y0 de y au point x0. On appelle problème de Cauchy l'ensemble constitué par l'équation différentielle Eb et la condition initiale
Le théorème de Cauchy-Lipschitz permet d'affirmer que ce problème de Cauchy admet une solution unique (tandis que les équations du premier ordre sous forme générale ay' + by = c – non « résolue » – ne bénéficient pas de ce théorème). De plus, par rapport aux équations différentielles générales, la particularité des équations linéaires est que les fonctions solutions sont définies sur I entier. Autrement dit, si Sb désigne l'espace des solutions sur I de l'équation Eb, l'application valeur en x0 :
est bijective. En particulier pour b = 0, c'est donc un isomorphisme d'espaces vectoriels et l'espace vectoriel S0 est de même dimension que E. Si E est de dimension finie d, résoudre l'équation homogène revient donc à trouver d solutions y1, ..., yd linéairement indépendantes, qui formeront alors une base de S0. Une telle base est appelée système fondamental de solutions. L'isomorphisme de Cauchy-Lipschitz a une conséquence surprenante : si en un point x, les vecteurs y1(x), … , yd(x) sont indépendants, alors en tout autre point x', les vecteurs y1(x'), ..., yd(x') le sont également. Pour tester si d solutions sont linéairement indépendantes, il suffit donc de vérifier si d vecteurs de E sont indépendants. On calcule donc un déterminant adapté : le wronskien.
14
Utilisations de l'exponentielle pour la résolution systématique L'équation différentielle la plus simple est y' = b, qui consiste en un calcul de primitive. Sous certaines hypothèses, il est possible de se ramener à cette forme par changement de fonction. La résolution explicite des équations différentielles par des formules de quadrature, c'est-àdire impliquant les fonctions usuelles et la primitivation, est cependant rarement possible. Les deux cas particuliers qui suivent n'en ont que plus d'importance.
Équation différentielle linéaire scalaire d'ordre 1 Article détaillé : équation différentielle linéaire d'ordre un.
On considère l'équation y' = ay + b dans le cas où E est le corps des réels ou des complexes. Soit A une primitive de la fonction a. Alors le changement de fonction
permet de ramener l'équation différentielle à un problème de calcul de primitive :
Équation différentielle linéaire d'ordre 1, à coefficients constants L'équation considérée est cette fois l'équation vectorielle y' = ay + b, mais avec l'hypothèse que a est indépendant de x, d'où l'expression coefficients constants quand on considère le système associé. Le vecteur b, lui peut être variable. En faisant appel à la notion d'exponentielle d'endomorphisme, le changement de fonction
permet de ramener, là encore, l'équation différentielle à un problème de calcul de primitive
(En particulier dans le cas homogène, c'est-à-dire si b = 0, la solution générale est z = constante donc y(x) = exa(y0).) Pour résoudre effectivement une telle équation, il est donc nécessaire, outre la primitivation, de faire un calcul d'exponentielle d'endomorphisme, ce qui fait intervenir les techniques de réduction.
Cas général : résolvante[modifier | modifier le code]
15
Quand on revient à l'équation vectorielle générale y' = ay + b, il est tentant de reprendre la formule de changement de fonction (A désignant une primitive de a)
puisqu'elle fonctionne dans le cas scalaire. Malheureusement, la formule de dérivation des exponentielles de matrices ne s'étend pas en général à ce cas-là. Le seul point sur lequel achoppe la démonstration est la non-commutation de A(x) et de A'(x), de sorte que si cette condition est réalisée pour tout x, la méthode fonctionne et on aboutit au même résultat que pour une équation scalaire. Mais cela ne procure pas de méthode générale. Il existe toutefois une solution formelle au problème : on note R(x, x0) la solution globale, fournie par le théorème de Cauchy-Lipschitz, du problème de Cauchy à valeurs dans ℒ(E) :
Autrement dit, la fonction de deux variables associée à l'application continue a de I dans ℒ(E) est l'application, appelée résolvante1 :
caractérisée par :
Elle fournit de ce fait la solution globale de tout problème de Cauchy à valeurs dans E de la forme
par
Ceci est une autre caractérisation de R, dont il résulte que
en particulier chaque R(x, y) est inversible et
16
On peut d'ailleurs construire R directement sans faire appel au théorème de Cauchy-Lipschitz, par une formule « explicite » bien que peu utile en pratique :
Dans le cas d'une équation à coefficients constants, la résolvante est simplement
[afficher]
Détails d'une construction directe de la résolvante La résolvante fournit non seulement les solutions de l'équation homogène y' = ay mais permet encore de ramener l'équation générale y' = ay + b à un calcul de primitive par changement de fonction : en posant
on obtient en effet
et
Méthode variationnelle ou des variations de constantes On considère un système d'équations différentielles quelconque du type y' = f(x, y). On considère une solution approchée . On définit alors . On résout alors :
On obtient alors l'équation affine suivante:
La matrice dépend de x et on utilise la méthode décrite ci-dessus. La convergence est quadratique et donc l'équation différentielle peut être résolue de manière exacte généralement en 3 à 4 itérations.
Note et référence ↑ Jean-Pierre Demailly, Analyse numérique et équations différentielles [détail des éditions], p. 210-211
17
