Pye-clase 3u2 Va Industrial 2011

FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FÍS. Y NATURALES. UNC. CÁTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

?

SITUACIÓN Tres máquinas fresadoras funcionan de manera independiente. La probabilidad de que una máquina cualquiera no funcione es de 0,30. ¿Cuál es la probabilidad de que en un instante cualquiera al menos dos máquinas no funcionen?.

U2: Probabilidad y Variables aleatorias


VARIABLES ALEATORIAS



El resultado de un experimento aleatorio puede ser descrito en ocasiones como una cantidad numérica. Experimento

Variable aleatoria

Valores posibles

Inspeccionar un embarque de 40 chips

Cantidad de chips defectuosos

0,1,2,….,40

Funcionamiento de un restaurante durante un día

Cantidad de clientes

0,1,2,3…….

Funcionamiento de un banco

Tiempo en minutos, entre llegadas de clientes

x>=0

Llenar una lata de bebida

Cantidad de ml

0<=x<=300

Porcentaje de terminado del proyecto

0<=x<=100

(máx =300ml) Proyecto para construir una biblioteca



Variable aleatoria Una variable aleatoria es una f u n c i ó n que asocia un número real y sólo uno, a cada suceso elemental del espacio muestral de un experimento aleatorio. X : Ω→ℜ x con

ℜ ⊆Reales x

e s a l o r a v s i l o d o s a l e a t o r o t e R x d v a r ia b l e i d o o ia o t n n j u d e u n a r e c o r r a l e a t o r o c l E b l e s i n a a r ia b l e p o s i e d e n o m l a v e s d ón l a c i b o p U2: Probabilidad y Variables aleatorias


Conforme a Rx, el recorrido, las variables aleatorias se clasifican en:

Variables aleatorias DISCRETAS, si R x es un conjunto finito o infinito numerable

Variables aleatorias CONTINUAS, si R x es un conjunto infinito NO numerable



VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS



Una vez definida una variable aleatoria discreta X, es posible definir otra función que indica la probabilidad de cada valor posible.

p : ℜ → [ 0,1] xi

Se denomina F u n c i ó n

→ p ( x ) = P (X = x ) i

de Probabilidad

i

La función debe cumplir:

Gráficamente

( i ) 0 ≤ p ( x i ) ≤ 1 ∀ x i ( ii )

∑ p ( x

i

) =1

x i



EJEMPLO

Experimento: “ L a n z a r u n a m o n e d a a l a i r e t r e s v e c e s ” = { C CC , C X X , X C X , X X C , CC X , CX C , X CC , X X X } S e d e f i n e l a v a r i a b l e X : “ Cantidad

de caras obtenidas”

¿Qué valores puede adoptar la variable aleatoria X? ¿Qué probabilidades tienen estos valores?



X X X CX X X CX X X C CCX CX C X CC CCC

Función de Distribución de Probabilidad

X Valores • 0 • 1 • 2 • 3

Probabilidad p(0)=P(X=0)=1/8 p(1)=P(X=1)=3/8 p(2)=P(X=2)=3/8 p(3)=P(X=3)=1/8

0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15

Comportamiento de la Variable Aleatoria

0,10 0,05 0,00

01

12

23

34



Función de Distribución Acumulada F : ℜ → [0,1] x → F ( x ) = P ( X ≤ x ) Gráficamente resulta en la función escalera:



F(xi) representa la probabilidad de encontrar un valor menor o igual que xi F(xi) = P( X

xi)



¿CUÁL ES LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA PARA LA VARIABLE X ASOCIADA AL EXPERIMENTO ALEATORIO “LAZAR UNA MONEDA AL AIRE TRES VECES” ?



SITUACIÓN

?

Tres máquinas fresadoras funcionan de manera independiente. La probabilidad de que una máquina cualquiera no funcione es de 0,30. ¿Cuál es la probabilidad de que en un instante cualquiera al menos dos máquinas no funcionen?. Se considera definir la variable aleatoria X: “Nº de máquinas detenidas en un instante dado” Determinar la distribución de probabilidades de dicha variable, resolver el problema y calcular la probabilidad de que a lo sumo dos máquinas no funcionen. U2: Probabilidad y Variables aleatorias


VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS



LA FUNCIÓN ES POSITIVA EL ÁREA ENCERRADA BAJO LA CURVA ES IGUAL A 1



Ejemplo:

X ~ U [a, b] DISTRIBUCIÓN UNIFORME Función de Densidad de Probabilidad U2: Probabilidad y Variables aleatorias


Función de densidad acumulada:



Ejemplo:

X ~ U [a, b]

Función Distribución de Probabilidad o DENSIDAD ACUMULADA



Sea X ~ U [5,10] Determinar la función de distribución o densidad acumulada.



Dada la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua

¿Cómo se calcula probabilidad?



Siempre por intervalos de números Por ejemplo si se quiere:

La probabilidad de que X tome valores en [a,b] es igual a la diferencia entre las probabilidades acumuladas en los extremos del intervalo. U2: Probabilidad y Variables aleatorias


EJERCICIO

Sea X ~ U [5,10] Calcular: a) P(4< x< 8)= b) P(x>7)= c) P(X< 10)= d) P(X>10)= e) P(X < 5) = U2: Probabilidad y Variables aleatorias


MEDIDAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD (TEÓRICAS) U2: Probabilidad y Variables aleatorias


VALOR ESPERADO O ESPERANZA



VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

E(X) =

n

∑ x p( x ) i

i

i =1

E(X) es un valor fijo que depende de la distribución de probabilidad de X. Está medida en las mismas unidades que X. U2: Probabilidad y Variables aleatorias


VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

E(X) es un valor fijo que depende de f(X) la función de densidad de probabilidad de X. Está medida en las mismas unidades que X. U2: Probabilidad y Variables aleatorias


PROPIEDADES DE LA ESPERANZA Si C es una constante, entonces E(C) = C. Linealidad: E ( aX + b) = a E(X) + b,

∀a, b ∈ ℜ

Si g(X) es una función de X, entonces: E [g(x)] = ∑ g(x).p(x) R

E [g(x)] = ∫ g(x).f(x)dx R

Si g(X), h(X) son funciones de X, entonces E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)] U2: Probabilidad y Variables aleatorias


VARIANZA



VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

[

] ∑( x − E[X]) ⋅ p( x ) = ∑( x − μ ) ⋅ p( x ) 2

Var [X] = E (X − E[X]) = 2

i

2

i

i

i

i

i

La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica y se denota con .

σ2

Tanto la varianza como la desviación típica miden la dispersión de la variable aleatoria respecto a su media. U2: Probabilidad y Variables aleatorias


VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

La raíz cuadrada positiva de la varianza se llama desviación típica y se denota con .

σ2

Tanto la varianza como la desviación típica miden la dispersión de la variable aleatoria respecto a su media. U2: Probabilidad y Variables aleatorias


PROPIEDADES DE LA VARIANZA Si C es una constante, V(C)=0 V(X) = E(X2)- E2(X) Si a y b son constantes: V(aX+b) = a 2 V(X) Si X e Y son independientes, V(X

±

Y) = V(X) + V(Y)



Distribución de probabilidad de la variable X EJEMPLO

μX= σ2X=

x

p(x)

1

0.05

2

0.075

3

0.2

4

0.375

5

0.15

6

0.1

7

0.05

E(X)=∑x . p ( x ) = ? V(X)=∑(x ? μ2 . p ( x ) = - ) U2: Probabilidad y Variables aleatorias

FACULTAD DE CIENCIAS EXACT. FÍS. Y NATURALES. UNC. CÁTEDRA DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA EJERCICIO

¿Qué puede decir de la distribución de las Variables aleatorias X e Y? x

p(x)

y

p(y)

1

0.05

1

0.2

2

0.075

2

0.15

3

0.2

3

0.1

4

0.375

4

0.15

5

0.15

5

0.05

6

0.1

6

0.1

7

0.05

7

0.25



Distribuciones de probabilidad de las variables X e Y

μX= E(X)=∑ x.p(x) =

4

σ2X= V(X)=∑( x- μ )2 .p(x)= 1.95

μY= E(Y)=∑ y.p(y)=

4

σ2Y= V(Y)=∑( y- μ )2 .p(y)= 5.20 U2: Probabilidad y Variables aleatorias


EJERCICIO

CALCULAR LA ESPERANZA y LA VARIANZA DE LA VARIABLE ALEATORIA: X ~ U [5,10]



OTRAS MEDIDAS TEÓRICAS COEFICIENTE DE ASIMETRÍA:

COEFICIENTE DE KURTOSIS:



TEOREMA DE SHEBYSHEV



Por ejemplo, para k=2 y para k=3 se tiene: Al menos 3/4 ó 75% de todos los valores de la variable están dentro de dos desviaciones estándar de la media. 

Al menos 8/9 ó 89% de todos los valores de la variable están dentro de tres desviaciones estándar de la media. 


Pye-clase 3u2 Va Industrial 2011

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