Manual de preparación para la
Matemática
C
L
A
V
La clave para una buena
E PSU
El Proyecto Clave es una herramienta de preparación para la Prueba de Selección Universitaria. Se caracteriza por su rigurosidad conceptual y por abordar todo el universo de contenidos y habilidades que mide la PSU. El objetivo de este proyecto es que estudiantes y profesores incrementen sus resultados en la prueba. El Proyecto Clave entrega contenidos actualizados, de manera rigurosa, exhaustiva y en sintonía con las necesidades de los y las estudiantes que quieren obtener resultados de excelencia. El Proyecto Clave ofrece Ensayos Temáticos comentados. En todos ellos se incluye un detallado análisis de cada ítem, que consiste en el comentario de la alternativa correcta y de los distractores, y aborda los aspectos más arduos de los contenidos. Este Este análisis hace posible que las y los estudiantes se familiaricen con los procedimientos de resolución de los diversos tipos de preguntas. El Proyecto Clave incorpora Ensayos PSU que reflejan fielmente las habilidades y contenidos requeridos, la estructura y el tipo de preguntas de la prueba. Estos ensayos han sido previamente testeados en colegios.
ÍNDICE Capítulo II
Capítulo I
Números y proporcionalidad
11 - 102
Álgebra y funciones
Números reales
Introducción al álgebra
1. 2. 3. 4. 5. 6.
1. Lenguaje algebraico 2. Expresiones algebraicas 3. Valorización de expresiones algebraicas
Números naturales Números enteros Números racionales Números reales Operatoria en Aproximación
Ensayo temático 1 Modelamiento PSU Potencias, raíces, logaritmos y números complejos 1. 2. 3. 4. 5.
Potencias Raíces Logaritmos Números complejos Operatoria en
Ensayo temático 2 Modelamiento PSU Proporcionalidad 1. 2. 3. 4.
Razones y proporciones Proporcionalidad Porcentaje Aplicaciones
Ensayo temático 3 Modelamiento PSU
103 - 224
Operatoria con expresiones algebraicas 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Reducción de términos semejantes Multiplicación de expresiones algebraicas Productos notables Factorización Expresiones algebraicas fraccionarias División de polinomios
Ensayo temático 1 Modelamiento PSU Ecuaciones 1. Ecuaciones 2. Ecuación de la recta 3. Sistemas de ecuaciones
Inecuaciones 1. Intervalos en 2. Inecuaciones 3. Sistemas de inecuaciones
Ensayo temático 2 Modelamiento PSU Funciones 1. 2. 3. 4.
Función y sus elementos Función lineal, afín y constante Función parte entera y valor absoluto Función cuadrática y ecuación de segundo grado 5. Función raíz cuadrada, potencia, exponencial y logarítmica 6. Composición de funciones 7. Función inyectiva, sobreyectiva e inversa
Ensayo temático 3 Modelamiento PSU
CLAVE PSU •
Matemática PSU Capítulo IV
Capítulo III
Geometría
225 - 352
Polígonos
Probabilidad y combinatoria
1. 2. 3. 4.
1. 2. 3. 4. 5.
Rectas y ángulos Triángulos Cuadriláteros Perímetro y área
Circunferencia y círculo 1. Elementos de la circunferencia y el círculo 2. Perímetro y área 3. Ángulos en la circunferencia
353 - 442
Lenguaje del azar Concepto de probabilidad Combinatoria Suma y producto de probabilidades Probabilidad condicionada
Ensayo temático 1 Modelamiento PSU Representación y análisis de la información
Congruencia de figuras planas
1. 2. 3. 4.
1. Congruencia de figuras geométricas 2. Criterios de congruencia de triángulos
Ensayo temático 2 Modelamiento PSU
Transformaciones isométricas
Distribuciones de probabilidad y elementos de la estadística inferencial
Ensayo temático 1 Modelamiento PSU
1. Traslación, rotación, simetría axial y central 2. Teselaciones
Semejanza de figuras planas 1. 2. 3. 4. 5. n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P M S s e n o i c i d E © a r t s e u m e d l a i r e t a M
Probabilidad y estadística
Semejanza de figuras planas Criterios de semejanza de triángulos División interior y exterior de un trazo Teorema de Thales Teorema de Euclides
1. 2. 3. 4. 5.
Análisis y construcción de gráficos Población y muestra Muestreo Análisis de los datos de una o más muestras
Variable aleatoria Función de distribución Modelo binomial Distribución normal Intervalos de confianza
Ensayo temático 3 Modelamiento PSU
Ensayo temático 2 Modelamiento PSU
Ensayos PSU
Trigonometría plana
Ensayo 1 Ensayo 2
443 - 467
1. Razones trigonométricas 2. Identidades trigonométricas
Solucionario
495 - 544
469 - 494
Geometría en el espacio 1. Cuerpos geométricos 2. Áreas de superficies y volúmenes de cuerpos geométricos 3. Puntos, vectores rectas y planos en el espacio
Ensayo temático 3 Modelamiento PSU
Índice
Operatoria con expresiones algebraicas 1. Reducción de términos semejantes Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos los términos que tienen igual factor literal. Ejemplo: en la expresión 2
3
6 a b − 3a b
2
+
2
3
6a b
5 −
2
ba
4
En este caso, 6a2b y –
5 4
2
ba
son
términos semejantes, ya que a 2b = ba2. Términos semejantes
Reducir términos semejantes consiste en agrupar dichos términos algebraicos y luego operar los coeficientes numéricos según las operaciones que los relacionen, conservando el factor literal. Ejemplo:
6a b − 2
5 4
ba
2
5 − 3a b + 6a b = 6 − a b − 3a b + 66a b 4 3
2
2
2
3
=
19 4
3
a b − 3a b 2
3
2
2
+ 6a b 2
2
3
3
Ejercicios resueltos a. El perímetro (P) de un polígono corresponde a la suma de las longitudes de todos sus lados. Por ejemplo, para calcular el perímetro del siguiente polígono, se tiene que: a3
2
b +
a3
1
P = b2
b2
4
1 4
+ + 1 + a3 + b2 + a3 + a3
1 = ( a3 + a3 + a3 ) + (b2 + b2 ) + + 1 4 = 3a3 + 2b2 +
1 + a3
5 4
b. Para eliminar los paréntesis de una expresión algebraica se pueden seguir los siguientes pasos: 1° Si un paréntesis está precedido por un signo +, se eliminan los paréntesis y se dejan igual los signos de los términos que estaban en su interior. 2° Si un paréntesis está precedido por un signo –, se eliminan los paréntesis y se escribe el inverso aditivo de cada uno de los términos que estaban en su interior. 3° Si un paréntesis está precedido por algún coeficiente numérico, se multiplican todos los términos que están en su interior por dicho valor.
Multiplicación
División
= [21x – 7y + 7z + 7 + 3x – 10]
+ • + = + – • – = +
+:+=+ –:–=+
= 21x – 7y + 7z + 7 + 3x – 10
+ • – = –
+:–=–
– • + = –
–:+=–
Ejemplo: [7(3x – y + z + 1) – (–3x + 10)]
= 24x – 7y + 7z – 3 110
CLAVE Matemática •
• Si en una expresión algebraica hay paréntesis dentro de otro, se empiezan a desarrollar desde el que está más al interior. • Una técnica que puede ayudar en el cálculo de productos o cocientes se resume en la regla de los signos:
Álgebra y funciones
II
Ejercicios propuestos 1. Reduce las siguientes expresiones algebraicas. 2
a. (3xy4 – xy 4 + 12) – (3xy4 – xy 4)
2 2 2 d. – x y + 3y x + xy – 4xy + 2xy
b. –5b2z + 6r + 7b2z + 4r + 25b2z
e.
c. –(a 5 – b 4) + 4(a3 + b3) – (b 3 + a 3)
f. –
8
1 3 2 2 10 2 3 3 5 xy + 7 + x y + yx + y x – 5 3 3 4 2 1 3 2 2 xy + 7 + x y 5 3
10 2 3 3 5 + yx + y x – 4 2 3
2. Escribe la expresión algebraica que representa el perímetro (P) de cada figura. a.
b. x 5
x 5
c5
c5
4
4
3
y + x
x + y
4
c3 + x 2
3
a + 4b2
3
2(x + y ) P=
P=
3. Analiza las siguientes expresiones. Luego, reemplázalas y reduce los términos semejantes. A = 2x – y n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P M S s e n o i c i d E © a r t s e u m e d l a i r e t a M
B = –3x + 4z
C = 2y – z
a. C + A – B =
c. B – A – 3B =
b. 2(A + B) – 3(C + A) =
d.
5
9 (A + B) – (C + B) = 6 4
B
M
O
Operatoria con expresiones algebraicas
111
3. Productos notables Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que presentan regularidades. Cuadrado de un binomio:
(a ± b)2 = a 2 ± 2ab + b2
Suma por su diferencia:
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Binomios con un término común:
(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab
Cubo de un binomio:
(a ± b)3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab2 ± b3
Cuadrado de un trinomio:
(a + b + c)2 = a 2 + b2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac
Ejemplos: 2
2
x x Cuadrado de un binomio: – z = 2 2
x –2 z+z 2
2
2
=
x
– xz + z
2
4
Suma por su diferencia: (w + 9)(w – 9) = w 2 – 81
Binomios con un término común: x +
2
2 2 ( x + 5 ) = x 2 + + 5 x + 3 3 3
•
5 = x2
+
17 3
x +
10 3
Cubo de un binomio: (x – 1) 3 = x 3 – 3x 2 + 3x – 1 Cuadrado de un trinomio: (x + 2y – 3) 2 = x 2 + 4y 2 + 9 + 4xy – 12y – 6x
Ejercicio resuelto A través de la Geometría es posible reconocer algunas regularidades en la multiplicación de expresiones algebraicas. A continuación se ilustra cómo deducir la fórmula (a + b)2 = a 2 + 2ab + b2. En el cuadrado de lado (a + b) es posible identificar otras figuras. Para calcular el área del cuadrado se pueden sumar las áreas de las figuras que lo componen. Entonces, el área (A) se puede representar de la siguiente manera: A = (a + b)2
a+b a
=
a2
=
+
2ab
+
a+b b De lo anterior, se puede confirmar que: A = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b2. Otra forma de calcular el área del cuadrado es multiplicar la longitud (a + b) por sí misma: (a + b) • (a + b) = a • (a + b) + b • (a + b) = a • a + a • b + b • a + b • b = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2 114
CLAVE Matemática •
+
+
b2
Solucionario Capítulo II: Álgebra y funciones.
Expresiones algebraicas (página 107).
Introducción al álgebra
1. a.
Lenguaje algebraico (página 105).
2 – x 9 a – (abc) 2 5
1. a. b. c.
4 3 x+ •
C 2
3
Términos de la expresión
x
= 2P
50 ( x – 2 y ) 100 3
d. V = a e.
x 2
=
25 100
2
9
x a
–(abc)2
5 2
Coeficiente numérico
–
Factor literal
x9a
(abc)2
Grado del término algebraico
10
6
b.
–1
5
Grado de la expresión algebraica
y
f. 10x + y – 30 = 10y + x – 2
10
8x 5 yz + x 6 y11 +12x 2
2
1 x + y
g. x + y =
Términos de la expresión
8x 5 yz
x 6 y11
12x 2
Coeficiente numérico
8
1
12
– La suma de tres números pares consecutivos.
Factor literal
x5 yz
x 6 y11
x 2
– La sexta parte de la cuarta potencia de un número aumentada en otro número.
Grado del término algebraico
7
17
2
– El cuadrado de la suma de dos números.
Grado de la expresión algebraica
3
1 1 1 h. x 3 – 4 5 y
2.
– La suma entre un número y el neutro aditivo equivale al mismo número. n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P M S s e n o i c i d E © a r t s e u m e d l a i r e t a M
–
– La raíz cuadrada del producto de dos números es igual al producto de las raíces de estos números. – El inverso multiplicativo del cuadrado de un número es igual al cuadrado del inverso multiplicativo de dicho número.
17
2. Expresión algebraica
Cantidad de términos
Clasificación
x + y7 – z
3
Trinomio
2 2 – x + 4y 3
2
Binomio
3
Trinomio
4
Polinomio
7x 4
5
+y +w
5
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
CLAVE Matemática •
496
Ensayo temático 1
PSU
Instrucciones 1. Esta prueba consta de 19 preguntas. Cada una tiene 5 opciones, señaladas con las letras A, B, C, D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.
2. Dispones de 40 minutos para responderla. 3. Responde las preguntas sin tratar de adivinar, porque las respuestas erróneas disminuyen tu puntaje. Lenguaje algebraico y expresiones algebraicas 1.
El sucesor del número entero 5(n – 1) se puede representar por: A)
5n
B)
5n – 1 6n – 6
C) D)
5n – 4 5n – 5
E) 2.
3.
¿Cuál de las alternativas escritas en lenguaje natural representa a la expresión algebraica (3x) 2? A) B)
El triple del cuadrado de un número. El triple del doble de un número.
C)
El cuadrado del triple de un número.
D) E)
El cuadrado del cubo de un número. El doble del triple de un número.
Pedro tiene a dulces y su hermano tiene la mitad de esta cantidad más uno. Si al hermano de Pedro le regalan 3 dulces y él, a su vez, regala 2, ¿con cuántos dulces queda el hermano de Pedro? a + 1
A)
Con
B)
Con a + 2
C)
Con
+1
2
a
D)
Con
E)
Con
a
+2
2
a
+1
2
+4
2
Valorización de expresiones algebraicas 4.
130
Si al triple del antecesor de x se le restan 2x, ¿qué valor se obtiene para x = –5? A)
–8
B) C)
–6 –2
D)
2
E)
28
CLAVE Matemática •
Capítulo
5.
6.
II
Si a = –2, b = –1, c = –3 y d = 3, ¿cuál es el valor de la expresión (a – b)(c – d)? A)
–18
B) C)
–6 0
D)
6
E)
18
Si a ∇ b = a – 2b y a # b = b – a, ¿cuál es el valor de –3 # (2 A)
–13
B)
–3
C) D)
7 9
E)
13
∇ –4)?
Reducción de términos semejantes 7.
De lunes a viernes, en una industria se fabrican 7x artículos; el día sábado, 2y artículos, y el domingo, 2z artículos. ¿Cuántos artículos se fabrican en 3 semanas? A) B) C) D) E)
8.
21x + 2y + 2z 21x + 6y + 6z 105x + 6y + 6z
Si tenía depositados en el banco $ (1.200 • n) y retiré la mitad, ¿cuánto debo depositar para tener el doble de lo que tengo? A)
n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P M S s e n o i c i d E © a r t s e u m e d l a i r e t a M
21x 7x + 2y + 2z
B) C)
$ 600 $ (600 • n) $ (1.500 • n)
D)
$ (1.800 • n)
E)
$ (2.400 • n)
Multiplicación de expresiones algebraicas, productos notables y factorización 9.
¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde al producto entre (x – a) y (x + 2a)? 2x + a B) x 2 – 2a2 C) x 2 + ax – 2a2
A)
D) x 2 + ax + 2a 2 E)
x 2 – 2a2 x + a
Ensayo temático PSU •
131
Modelamiento
PSU
Capítulo II: Álgebra y funciones. Lenguaje algebraico y expresiones algebraicas: páginas 104 a 108. CLAVE D
1
Si x es un número entero, el sucesor de x se representa algebraicamente por x + 1. Como en este caso el número entero corresponde a 5(n – 1), es posible representar su sucesor de la siguiente manera: 5(n – 1) + 1 = 5n – 5 + 1 = 5n – 4. Distractores:
2
CLAVE C
Si x representa a un número cualquiera, entonces el triple de este número será 3x. Así, el cuadrado de dicha expresión corresponde a (3x) 2. Entonces, el enunciado “el cuadrado del triple de un número” representará en lenguaje algebraico justamente la expresión descrita anteriormente. Distractores: Al representar en lenguaje algebraico los enunciados descritos en las alternativas A), B), D) y E), se tiene que: A) El triple del cuadrado de un número.
A) Si se suma una unidad a la expresión (n – 1), se obtiene (n – 1 + 1) = n. A partir de este cálculo, resulta que: 5(n – 1 + 1) = 5n, lo que es incorrecto. B) Como se explicó en la clave, para obtener el sucesor del número entero 5(n – 1) se calcula primero el producto involucrado y luego se determina el sucesor de dicho número. Sin embargo, es posible que se apliquen de manera incorrecta ciertas propiedades; por ejemplo, la distributiva, y además no se aplique el concepto de sucesor. Por ello, se obtiene como resultado de la multiplicación 5n – 1. C) En esta alternativa se consideró el sucesor de 5 que es 6 y se multiplicó este número por el binomio (n – 1). Se obtuvo un resultado incorrecto que corresponde a: 6(n – 1) = 6n – 6. E) En este caso, se calculó el producto 5(n – 1) y se obtuvo 5n – 5, es decir, no se utilizó el concepto de sucesor que explicita el enunciado.
3x 2 B) El triple del doble de un número. 3(2x) D) El cuadrado del cubo de un número. (x 3)2 E) El doble del triple de un número. 2(3x)
3
CLAVE D
Para responder esta pregunta es importante interpretar correctamente su enunciado. – Pedro tiene a dulces. – El hermano de Pedro tiene la mitad de dulces de Pedro más uno, es decir: a
+1
2
Luego, a esta expresión algebraica se le “agregan” 3 unidades, que representan los 3 dulces que le
a + 1 + 3. 2
regalaron al hermano de Pedro, es decir
Finalmente, se le restan dos unidades a esta expresión, lo que representa que el hermano de Pedro regaló 2 dulces.
a a +1 +3 – 2 = +2 2 2
134
CLAVE Matemática •
Capítulo
Distractores: A) En esta alternativa se comete un error al traducir en lenguaje algebraico la cantidad de dulces que tiene el hermano de Pedro: “tiene la mitad de esta cantidad más un dulce” a+ 2
, lo cual es incorrecto.
Luego, como le regalan 3 dulces y él regala 2, la cantidad de dulces que tiene el hermano de Pedro se puede representar por:
a+1
+ 3– 2 =
a+1
2
2
+ 1.
B) La expresión a + 2 se obtuvo al no considerar que el hermano de Pedro tenía la mitad de
II
C) En este caso, se representó de manera incorrecta el antecesor de un número x, al utilizar x + 1, y luego se disminuyó en 2x, obteniéndose: 3(x + 1) – 2x = 3x + 3 – 2x = x + 3 Luego, si se valoriza esta expresión para x = –5, resulta: –5 + 3 = –2. D) Al valorizar la expresión x – 3 para x = – 5 y omitir el signo (–), se obtiene un resultado incorrecto que corresponde a: 5 – 3 = 2.
a
dulces que él, es decir . 2
C) En este caso se omite que el hermano de Pedro regala dos dulces, resultando:
a
+ 1+ 3 =
2
a
3(–5 – 1) – 2(–5) = 3(–6) – (–10)
+4
= 18 + 10 = 28
2
E) En esta alternativa se consideró solo la primera parte del enunciado, resultando
E) Si se valoriza la expresión 3(x – 1) – 2x para x = –5 de la siguiente manera:
a+ 2
, lo cual es
Resultado que es incorrecto.
incorrecto. CLAVE D
5
CLAVE A
4
En lenguaje algebraico, el antecesor de un número x se representa por x – 1. Luego, el triple de esta expresión está dado por: 3(x – 1). Finalmente, si se disminuye en 2x, se tiene que: 3(x – 1) – 2x = 3x – 3 – 2x = x – 3 n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P M S s e n o i c i d E © a r t s e u m e d l a i r e t a M
Valorizando la expresión resultante para x = –5, se tiene que: (–5) – 3 = –8
Al valorizar la expresión algebraica (a – b)(c – d), se tiene que: ((–2) – (–1))((–3) – (3)) = (–2 + 1)(–3 – 3) = –1 • (–6) = 6 Distractores: A) Si se reemplazan en (a – b) los valores respectivos de a y b, se obtiene 3, que es un resultado incorrecto, ya que se omitió el signo, lo que provoca que: (3) • (–3 – 3) = 3 • (–6) = –18 B) Al desarrollar la expresión y valorizarla, se obtiene un resultado incorrecto:
Distractores: B) En esta alternativa se representó algebraicamente el antecesor del triple de un número y no el triple del antecesor, lo que provoca un error, ya que se obtuvo 3x – 1. Luego, si se valoriza para x = –5, se tiene que: 3(–5) – 1 – 2(–5) = –6.
(–2 – (–1)) • (–3 – 3) = (–2 + 1) • (–3 – 3) Luego, al calcular (–2 + 1) se obtiene como resultado 1, ya que se consideró que ambos números tienen distinto signo, pero se mantuvo el signo positivo, lo cual es incorrecto. Entonces: 1 • (–3 – 3) = 1 • (–6) = –6
Modelamiento PSU •
135
Ensayo 1
PSU PRUEBA DE MATEMÁTICA INSTRUCCIONES
1.
Esta prueba consta de 75 preguntas.
2.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
3.
Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.
4.
Antes de responder las preguntas Nº 69 a la Nº 75 de esta prueba, lea atentamente las instrucciones que aparecen a continuación de la pregunta Nº 68. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
menor que
congruente con
mayor que
semejante con
menor o igual que
perpendicular a
mayor o igual que
distinto de
//
paralelo a
ángulo recto
442
ángulo
log
logaritmo en base 10
AB
segmento AB
conjunto vacío
|x|
valor absoluto de x
[x]
parte entera de x
n!
el factorial de n
CLAVE Matemática •
pertenece a
Ensayo 1 PSU
1.
¿Cuál de las alternativas representa a (–0,5)–2? A) –4 B) 1 C) 4 D)
1 4 1
E)
2.
Un viajero debe recorrer 12.500 metros para llegar a su destino. Si ha avanzado 4,5 km, ¿qué distancia le falta por recorrer? A) B) C) D) E)
3.
–2
2
B) C) D) E)
4.
8.000 m 8.500 m 12.050 m 12.455 m 17.000 m +2
–1
=
2
A)
n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P M S s e n o i c i d E © a r t s e u m e d l a i r e t a M
4
1 4
3 2 3 4
3 8 3 16
En una tienda se venden pantalones con un descuento del 35%. Si el valor original de cada pantalón es de $15.900, ¿cuál es su precio luego del descuento? A) B) C) D) E)
$ 8.745 $ 10.335 $ 10.350 $ 11.925 $ 21.465
Ensayo 1 PSU •
443
Ensayo 1 PSU
5.
Una persona invierte en un negocio $ 250.000 y pierde un 15% de lo invertido. Si luego de esta pérdida recupera un 15%, ¿con cuánto dinero queda finalmente? A) B) C) D) E)
6.
Dos de cada cinco personas asistentes a una fiesta son hombres. ¿Cuál es la razón entre el total de mujeres y el total de asistentes? A) B) C) D) E)
7.
$ 212.500 $ 235.000 $ 244.375 $ 250.000 $ 287.500
2:3 3:2 2:5 5:2 3:5
La siguiente tabla muestra el número de vehículos que utilizaron un estacionamiento en distintas horas del día. Vehículos en un estacionamiento Hora del día Cantidad de vehículos
8:00
10:00
12:00
14:00
16:00
18:00
10
20
15
20
10
5
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Desde las 12:00 horas comienza a disminuir la cantidad de vehículos. II. Entre las 8:00 y las 10:00 horas se duplicó la cantidad de vehículos en el estacionamiento. III. Desde las 14:00 a las 18:00 horas la cantidad (C) de vehículos se puede calcular según la expresión C = –5x + 90, donde x corresponde a la hora del día. A) B) C) D) E)
444
Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III
CLAVE Matemática •
Hoja de respuestas IDENTIFICACIÓN DEL POSTULANTE APELLIDO PATERNO
APELLIDO MATERNO NOMBRES
n ó i c c u d o r p e r u s a d i b i h o r P M S s e n o i c i d E © a r t s e u m e d l a i r e t a M
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RESPUESTAS E 41 A E 42 A E 43 A E 44 A E 45 A E 46 A E 47 A E 48 A E 49 A E 50 A E 51 A E 52 A E 53 A E 54 A E 55 A E 56 A E 57 A E 58 A E 59 A E 60 A E 61 A E 62 A E 63 A E 64 A E 65 A E 66 A E 67 A E 68 A E 69 A E 70 A E 71 A E 72 A E 73 A E 74 A E 75 A E E E E E
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NÚMERO DE IDENTIFICACIÓN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
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REVISIÓN Buenas Malas Omitidas
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La clave para una buena
E
PSU
