Instituto Balseiro
Instituto Balseiro Prueba de Admisi´on on
Instruccion Instrucciones es - 2016 Este cuadernillo contiene, adem´as as de esta hoja de instrucciones, los enunciados de 7 problemas. Revise las p´aginas aginas y verifique que est´ en en todas bien impresas. Escriba su nombre en las hojas de respuestas y firme al pie. Responda cada uno de los problemas comenzando en su correspondiente hoja. Si fuera necesario m´ as as espacio contin´ ue en hojas adicionales. Responda en forma clara y concisa. ue Tiene Usted a su disposici´on on 3 horas para terminar esta parte del examen. Esto representa en promedio unos 25 minutos para cada problema. Trate de no demorarse demasiado en problemas probl emas que le resulte r esulten n dif di f´ıciles.
Admisi´ on on Instit Instituto uto Balsei Balseiro ro – 2016 Nombre:
Pagi a´ gina 1 de
.
Problema Problema 1
Un cable de longitud infinita y secci´on on transversal despreciable transporta una corriente I corriente I .. El cable se bifurca y vuelve a unirse formando una circunferencia de radio a en el plano x − y como se muestra en la figura. La corriente por la rama superior del cable es I 1, y por la rama inferior es I es I 2, tal que I que I = I 1 + I + I 2 . a) Calcular el campo magn´etico etico en el centro del c´ırculo en funci´on on de los valores de I 1 e I 2. b) Analizar los casos I casos I 1 > I 2 e I 1 = I = I 2.
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Pa´gina
Problema Problema 2
a) Hallar todas las soluciones de la ecuaci´on on diferencial diferencial ordinaria dy = 3x2 y 2 + 5y 5y 2 . dx b) Representar gr´aficamente aficamente al menos dos de tales soluciones. c) ¿Existe alguna que cumpla y (0) = 0?
de
.
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Problema Problema 3
Pa´gina
de
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Pa´gina
de
.
Problema Problema 4
Sea una matriz diagonalizable
A
A de
4 × 4 de la forma:
0 BB = = 0 1 B B
11 21 31
0
B12 B13 B22 B23 B32 B33 0 0
0 0 0 1
.
a) Si el determin determinante ante de A es 0, su traza es 5 y B tiene un autovalor con multiplicidad 2, determinar los posibles autovalores distintos de A y sus respectivas multiplicidades. b) En el caso caso en que: B
1 = 0
0 1 2 0 1 0 1
,
mostrar que se cumplen las condiciones del punto anterior y hallar una base de autovectores de A.
R4
formada por
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de
.
Problema Problema 5
Una bola muy peque˜na na de masa m est´a engarzada en un aro fijo de radio R, por el que puede moverse sin rozamiento. La bola se encuentra en reposo en el punto m´as alto del aro (posici´on A on A,, θ = 0), cuando comienza a deslizar. ¿En qu´e puntos de su trayectoria trayectori a la bola est´a sometida a una aceleraci´ aceleracion o´n puramente horizontal?
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de
.
Problema Problema 6
Un avi´on on debe dirigirse desde el punto de coordenadas: latitud 45 N, longitud 0 , hasta el punto: latitud 45 N, longitud 90 E (recuerde que el ecuador corresponde a 0 de latitud). latitud). ◦
◦
◦
◦
◦
a) ¿Qu´ ¿Qu´e distancia distancia recorre si viaja via ja en una ruta de latitud constante constante?? b) Teniendo eniendo en cuenta cuenta que la ruta de latitud constante constante no corresponde corresponde al camino m´ as as corto, describir cualitativamente cu´al al ser´ ser´ıa dicho camino y calcular calcul ar qu´e distancia distan cia recorrer recorr er´´ıa el avi´on o n al realizarlo. c) Para la trayectori trayectoriaa calculada en b), encontrar encontrar la m´axima axima latitud alcanzada durante el recorrido. Nota: Suponer que la Tierra es una esfera perfecta de radio R = 6370 km y despreciar efectos asociados a variaciones de altura del avi´on. on.
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Problema Problema 7
Sobre un poste se han colocado dos altoparlantes, el segundo 2 m m´as as alto que el primero. Una persona que est´a al nivel del primer altoparlante, se encuentra a 6 m de distancia distan cia de ´este. este. Ambos altoparlantes emiten un sonido de la misma frecuencia y en fase. Considerar que la velocidad del sonido en el aire es de 343 m/s. m/s . a) ¿Cu´ al al es la frecuencia m´as as ba ja que el sonido puede tener si la persona percibe un m´ınimo ınimo de intensidad en el lugar donde se encuentra parada? b) Si la frecuencia es la calculada en a), y si la persona avanza lentamente hacia el poste, ¿a qu´e distanc dist ancia ia volver´ volver ´a a percibir un m´ınimo de intensidad? c) ¿Cu´antos antos m´ınimos de intensidad intensida d m´as as percibir´a la persona si sigue avanzando hacia el poste? Nota: En todos los casos, despreciar las variaciones de la intensidad del sonido con la distancia a la fuente.
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Instruccion Instrucciones es - 2016 Este cuadernillo contiene, adem´as as de esta hoja de instrucciones, los enunciados de 5 problemas. Revise las p´aginas aginas y verifique que est´ en en todas bien impresas. Escriba su nombre en las hojas de respuestas y firme al pie. Responda cada uno de los problemas comenzando en su correspondiente hoja. Si fuera necesario m´ as as espacio contin´ ue en hojas adicionales. Responda en forma clara y concisa. ue Tiene Usted a su disposici´on on 2 horas para terminar esta parte del examen. Esto representa en promedio unos 25 minutos para cada problema. Trate de no demorarse demasiado en problemas probl emas que le resulte r esulten n dif di f´ıciles.
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Problem Problema a 8
El circuito de la figura est´a armado con una fuente de tensi´on on continua V 0 , tres capacitores (C (C 1, C 2 y C 3 ) y dos resistencias (R ( RA y R B ). Inicialmente, el interruptor S se encuentra en la posici´on on 1 y C 2 y C 3 est´an an descargados. El circuito permanece en este estado durante un tiempo muy largo, luego del cual se mueve el interruptor a la posici´on on 2. a) ¿Cu´ al al es la carga final de C 2 ? b) Estimar cu´anto anto demora el proceso de carga de C de C 2 .
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de
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Problem Problema a 9
Un reservorio de agua se encuentra equipado con una v´alvula alvula en su parte inferior que limita de manera natural la altura m´ axima de agua contenida. La v´alvula axima alvula consiste en una placa rectangular de ancho a ancho a y y altura b altura b,, ubicada en la parte inferior de la pared del reservorio. Esta placa puede girar alrededor de un eje que pasa por el punto A y es paralelo a la direcci´on on Z . En la figura se puede ver que este eje est´a situado a una distancia c por debajo del centro de la placa (punto G). G ). En funci´on on del nivel de agua, h, h , la placa o bien asegura de manera natural una cerradura estanca (θ = 0), o bien realiza la apertura del reservorio ( θ > 0) debido al efecto de las fuerzas de presi´on hidrost´ aticas. aticas.
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Problem Problema a 10
Dados dos n´ umeros umeros reales distintos q y p, considerar la regi´on on S q,p q,p q p curvas y curvas y = x = x e y = x = x , con x con x entre 0 y 1. a) Calcular la integral
2
⊂ R
contenida entre las
x2 y dxdy.
S q,p q,p
b) ¿Est´a definida dicha integral para cualquier par de valores distintos de q y p? Justificar la respuesta.
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Problem Problema a 11
Un gas ideal monoat´omico omico a 25 o C y C y a 100 P a de presi´on, on, est´a contenido en un recipiente que tiene inicialmente 12 l 12 l.. El volumen del gas se reduce en forma isob´arica hasta que alcanza la cuarta parte del volumen original. Al llegar a dicha condici´on, on, el gas se calienta manteniendo su volumen constante, hasta alcanzar una cierta presi´on on P max on on P max max . Dicha presi´ max es tal que al expandirse el gas en forma adiab´atica, atica, el sistema finalmente retorna a la misma condici´on inicial de volumen, presi´ on on y temperatura. a) Calcular la presi´on on del gas (P (P ), ), su volumen (V ( V ) ) y su temperatura (T (T )) luego de cada paso y hacer un diagrama P diagrama P − V del V del proceso. b) Calcular el trabajo total realizado en el proceso. Nota: utilizar utilizar γ γ = = 5/3
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Problem Problema a 12
Un bloque de masa m se encuentra apoyado en reposo sobre una mesa. Entre el bloque y la mesa
Selecci´on Instituto Balseiro Balseiro – 2016
Selecci´ on on Instituto Balseiro Balseiro – 2016
Problema 1
Problema 3
Un cable de longitud infinita y secci´on on transversal despreciable transporta una corriente I corriente I .. El cable se bifurca y vuelve a unirse formando una circunferencia de radio a en el plano x plano x − y como se muestra en la figura. La corriente por la rama superior del cable es I 1, y por la rama inferior es I es I 2 , tal que I que I = = I I 1 + I + I 2 . a) Calcu lar el cam po magn´etico en el centro del c´ırculo ırculo en funci´on on de los valores de I de I 1 e I 2 . b) Analizar los casos I 1 > I 2 e I 1 = I = I 2 .
Problema 2
a) Hallar todas las soluciones de la ecuaci´on on diferencial ordinaria dy = 3x2 y 2 + 5y 5y 2 . dx b) Representar gr´aficamente aficamente al menos dos de tales soluciones. c) ¿Existe alguna que cumpla y (0) = 0?
Un plano aislante infinito est´ a fijo en el espacio y posee una densidad uniforme de carga σ . Una barra r´ıgida ıgida d e long itud L itud L y y masa M masa M est´ est´a restringida a moverse a lo largo de un eje perpendicular al plano, al cual puede atravesar por un agujero peque˜no. no. La barra tiene en sus extremos cargas puntuales q puntuales q de de igual valor y signo. Estas cargas son de signo contrario a la del plano. Llamando x Llamando x a la coordenada que describe la posici´on del centro de la barra respecto al plano (x = 0 representa la situaci´on en que el centro de la barra pasa por el agujero): a) Graficar la fuerza total sobre la barra como funci´on on de x de x.. b) Describir en detalle el movimiento de la barra para el caso en que la posici´on inicial es x es x = = 0, y la velocidad inicial es v 0 . c) ¿Para qu´e valores de tiempo la barra vuelve a estar en la posici´ on x on x = = 0?
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Problema 4
Problema 6
Sea una matriz diagonalizable A de 4 × 4 de la forma:
Un avi´ on debe dirigirse desde el punto de coordenadas: latitud 45 N, longitud 0 , hasta el on punto: latitud 45 N, longitud 90 E (recuerde que el ecuador corresponde a 0 de latitud). ◦
◦
A
0 BB = = 0 1 B B
11 21 31
0
0 0 . 0
B12 B13 B22 B23 B32 B33 0 0 1
a) Si el determinante determinante de A es 0, su traza es 5 y B tiene un autovalor con multiplicidad 2, determinar los posibles autovalores distintos de A y sus respectivas multiplicidades. b) En el caso en que: que: B =
1 0
0 1 2 0 1 0 1
,
mostrar que se cumplen las condiciones del punto anterior y hallar una base de R 4 formada por autovectores de A .
◦
◦
◦
a) ¿Qu´ e distancia recorre si via ja en una ruta de latitud constante? b) Teniendo en cuenta cuenta que la ruta de latitud constante no corresponde al camino m´ as corto, describir cualitativamente cu´al al ser´ıa dich o camin o y calcular qu´e dist ancia recorre r´ıa ıa el avi´on on al realizarlo. c) Para la trayectoria calculada calculada en b), encontrar la m´ axima latitud alcanzada durante el recorrido. axima Nota: Suponer que la Tierra es una esfera perfecta de radio R = 6370 km y despreciar efectos asociados a variaciones de altura del avi´on. on.
Problema 7
Problema 5
Una bola muy peque˜ na na de masa m est´a engarzada en un aro fijo de radio R, R , por el que puede moverse sin rozamiento. La bola se encuentra en reposo en el punto m´as alto del aro (posici´on A on A,, θ = 0), cuando comienza a deslizar. ¿En qu´e puntos de su t rayectoria l a bola est a´ sometida a una aceleraci´on on puramente horizontal?
Sobre un poste se han colocado dos altoparlantes altoparlantes,, el segundo 2 m m´as as alto que el primero. Una persona que est´a al nivel del primer altoparlante, se encuentra a 6 m de dista ncia d e ´este. este. A mbos altoparlantes emiten un sonido de la misma frecuencia y en fase. Considerar que la velocidad del sonido en el aire es de 343 m/s. m/s. a) ¿Cu´ al al es la frecuencia m´as as baja que el sonido puede tener si la persona percibe un m´ınimo de intensidad en el lugar donde se encuentra parada? b) Si la frecuencia es la calculada en a), y si la persona avanza lentamente hacia el poste, ¿a qu´e distancia volver´a a p ercibir un m´ ınimo ınimo de intensidad? c) ¿Cu´ antos antos m´ınimos ınimos de intens idad m´as percibir´a la persona si sigue avanzando hacia el poste? Nota: En todos los casos, despreciar las variaciones de la intensidad del sonido con la distancia a la fuente.
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Problema 8
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Problema 10
Dados dos n´ umeros umeros reales distintos q y q y p , considerar la regi´on S on S q,p q,p curvas y = y = x xq e y = x = x p , con x con x entre 0 y 1. a) Calcular la integral
⊂ R
2
contenida entre las
x2y dxdy.
S q,p q,p
b) ¿Est´a definida dicha integral para cualquier par de valores distintos de q y q y p? p ? Justificar la respuesta.
Problema 11
El circuito de la figura est´a armado con una fuente de tensi´ on on continua V continua V 0, tres capacitores (C (C 1 , C 2 y C 3) y dos resistencias ( RA y R B ). Inicialmente, el interruptor S se encuentra en la posici´on on 1 y C 2 y C 3 est´an an descargados. El circuito permanece en este estado durante un tiempo muy largo, luego del cual se mueve el interruptor a la posici´on 2. a) ¿Cu´ al al es la carga final de C 2 ? b) Estimar cu´ anto demora el proceso de carga de C anto de C 2 .
Problema 9
Un gas ideal monoat´ omico omico a 25 o C y y a 100 P 100 P a de presi´on, on, est´a contenido en un recipiente que tiene inicialmente 12 l 12 l.. El volumen del gas se reduce en forma isob´arica hasta que alcanza la cuarta parte del volumen original. Al llegar a dicha condici´on, el gas se calienta manteniendo su volumen constante, hasta alcanzar una cierta presi´on P on P max on P on P max max. Dicha presi´ max es tal que al expandirse el gas en forma adiab´atica, atica, el sistema finalmente retorna a la misma condici´on inicial de volumen, presi´ on on y temperatura. a) Calcular la presi´on on del gas (P (P ), ), su volumen (V (V ) ) y su temperatura (T (T )) luego de cada paso y hacer un diagrama P diagrama P − V V del proceso. b) Calcular el trabajo total realizado en el proceso. Nota: utilizar γ utilizar γ = = 5/3
Un reservorio de agua se encuentra equipado con una v´ alvula en su parte inferior que limita de alvula manera natural la altura m´ axima de agua contenida. La v´alvula axima alvula consiste en una placa rectangular de ancho a ancho a y y altura b altura b,, ubicada en la parte inferior de la pared del reservorio. Esta placa puede girar alrededor de un eje que pasa por el punto A punto A y es paralelo a la direcci´on Z on Z .. En la figura se puede ver que este eje est´a situado a una distancia c distancia c por debajo del centro de la placa (punto G (punto G). ). En funci´on on del nivel de agua, h, h , la placa o bien asegura de manera natural una cerradura estanca (θ = 0), o bien realiza la apertura del reservorio ( θ > 0) debido al efecto de las fuerzas de presi´on hidrost´ aticas. aticas. a) Determinar la relaci´on on entre la presi´on on del agua en el centro de la placa y el nivel de agua h agua h cuando la v´alvula alvula est´a cerrada. b) Calcular el nivel de agua a partir del cual la v´alvula se abre autom´ aticamente. aticamente.
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Problema 12
Un bloque de masa m masa m se encuentra apoyado en reposo sobre una mesa. Entre el bloque y la mesa existe un coeficiente de rozamiento de 0 ,8 (el coeficiente est´atico es en este caso igual al coeficiente din´ amico). Se aplica sobre el bloque una fuerza horizontal dependiente del tiempo F ( amico). F (t) como la indicada en la figura, que puede hacer deslizar al bloque. El valor m´aximo aximo de la fuerza F fuerza F ((t) es igual al peso del bloque. a) ¿Cu´ al al es la velocidad m´axima axima que adquiere el bloque al deslizar? b) ¿En qu´ e intervalo de tiempo el bloque est´a en movimiento?
