Instituto Balseiro
Prueba de Admisi´on on
29 de ma mayo de de 2015 2015 Problemas de la ma˜ nana nana 9:00 – 12:00
Instituto Balseiro Prueba de Admisi´on on
Instruccion Instrucciones es - 2015 Este cuadernillo contiene, adem´as as de esta hoja de instrucciones, los enunciados de 7 problemas. Revise las p´aginas aginas y verifique que est´ en en todas bien impresas. Tiene Usted a su disposici´on on 3 horas para terminar esta parte del examen. Esto representa en promedio unos 25 minutos para cada problema. Trate de no demorarse demasiado en problemas probl emas que le resulte r esulten n dif di f´ıciles. Responda cada uno de los problemas comenzando en su correspondiente hoja. Si fuera necesario m´ as as espacio contin´ ue en hojas adicionales. Responda en forma clara y concisa, y escriba ue con tinta. tinta. Escriba su nombre en las hojas de respuestas y firme al pie. Antes de entregar, ordene y numere todas las hojas del examen, indicando en la primera p´agina agina el total de hojas que entregar´a. a. Al final del cuadernillo de problemas de la tarde, encontrar´a una ho ja con todos los enunciados enunciados de la prueba, que puede retirar y llevarse cuando termine.
´ ¡EXITO!
Instituto Balseiro: Tel´efono: efono: (0294) 444-5162 - FAX: (0294) 444-5149 San Carlos de Bariloche - R´ıo Negro
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Pagi a´ gina 1 de
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Problem Problema a 1
Un disco de material pl´astico, astico, radio R radio R y y espesor despreciable, tiene una carga el´ ectrica q ectrica q uniforme uniformemente distribuida sobre su superficie. Se hace girar el disco con una frecuencia angular ω alrededor para puntos situados a lo largo de ese eje. de su eje. Encontrar el campo de inducci´on ma magn´ gn´etic et icaa B
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Pa´gina
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Problem Problema a 2
Un cilindro homog´eneo eneo de masa M = 4 kg y radio R = 0,4 m puede girar alrededor de su eje de simetr´ simetr´ıa. El cilindro cilindro se encuentra encuentra quieto cuando una bala de masa m = 35 g se dispara horizontalmente hacia ´el el a una velocidad V 0 = 350 m/s y a una altura h = 0,3 m respecto al eje del cilindro, como se indica en la figura. Luego del impacto, la bala queda en la superficie del cilindro. Considerar que el rozamiento del cilindro con el eje de rotaci´on corresponde a un momento τ = 2,3 N m. m. a. Calcular Calcular la velocidad angular angular ω ω del sistema sis tema inmediatamente inmedia tamente despu´es es del choque. b. Calcular Calcul ar la energ´ıa ıa mec´ me c´anica anica perdida en el choque. c. Calcular el n´umero umero de vueltas que realiza el cilindro antes de detenerse.
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Problem Problema a 3
a. Sea A Sea A ∈ R3 3 . Decidir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa, justificando la respuesta. respuesta. ×
I. Si 4 es autov autovalor alor de A de A 2 , ¿es cierto que 2 es autovalor de A? A ? II. Si 4 es autov autovalor alor de A de A y A es invertible, ¿es cierto que
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es autovalor de A de A
b. Hallar los autovalores autovalores y una base de autovectores autovectores de la matriz: matriz:
Justificar Justificar la respuesta. respuesta.
0 −1 −1
1 −2 −1
1 1 0
−
−1
?
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Problem Problema a 4
Como se indica en la figura, un objeto de 5 mm de mm de altura est´a ubicado a una distancia distancia de 61 mm a la izquierda de una lente convergente fina, cuya distancia focal es de 33 mm. mm. A la derecha, hay un o espejo plano que est´a inclinado 45 con respecto al eje ´optico optico de la lente. El punto de intersecci´on del espejo con el eje ´optico optico coincide con el foco de la lente. Por debajo del espejo se coloca un recipiente profundo con agua pura (´ındice de refracci´ on on n = 1,33). La superficie plana del agua queda a una distancia de 22 mm 22 mm por debajo del punto donde el eje ´optico optico de la lente y el espejo se interseca intersecan. n. Encontrar Encontrar la posici´ on on y el tama˜ no no de la imagen.
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Problem Problema a 5
Sea f Sea f : R2
→ R
dada por f por f ((x, y ) = (y − x2 )(y )(y − 3x2 ).
a. Verificar erificar que (0, (0, 0) es un punto cr´ cr´ıtico de f de f .. b. Probar Probar que que f r f restringida estringida a cualquier recta por el origen tiene un m´ınimo relativo en dicho punto. c. ¿Es cierto que (0, (0 , 0) es un m´ınimo relativo relat ivo de d e f ? f ? Justificar claramente la respuesta.
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Problem Problema a 6
En una palangana se pone a rodar, sin deslizar, una bolita de masa m a una altura z = h. h . Suponiendo que la palangana tiene forma de paraboloide de revoluci´on on dada por la siguiente ecuaci´on: on: x2 + y 2 z = d donde d es una constante, y que la palangana se encuentra en un planeta con aceleraci´on de la gravedad g gravedad g en la direcci´on z on z : a. ¿Qu´e velocid velo cidad ad v v hay hay que imprimirle a la bolita para que realice un mov movimien imiento to circular a altura constante? b. ¿Qu´ e forma funcional deber´ deber´ıa tener la superficie superficie de la palangana palangana para que la bolita realice realice un movimiento circular con una velocidad que no dependa de h? h ?
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Problem Problema a 7
Considerar el cubo con lados unitarios que se muestra en la figura. Resolver cada uno de los siguientes puntos justificando claramente la respuesta. a. Sean E Sean E B y GB las rectas en R3 que pasan por los v´ertices ertices correspondientes corr espondientes del cubo. ¿Cu´anto anto vale el ´angulo angulo entre E entre E B y GB . b. Calcular el ´area area del tri´angulo angul o determina dete rminado do por p or los lo s v´ertices ertice s E , E , B y G. G . c. Calcular Calcular el volumen volumen del s´olido olido determinado determ inado por los v´ertices ertice s E , E , F , F , G y B . d. Si el cubo tuviese lados de longitud longitud 2 indicar, sin hacer cuentas, cuentas, c´omo omo cambian las respuestas a los puntos anteriores.
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Prueba de Admisi´on on
29 de ma mayo de de 2015 2015 Problemas de la tarde 14:00 – 16:00
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Instruccion Instrucciones es - 2015 Este cuadernillo contiene, adem´as as de esta hoja de instrucciones, los enunciados de 5 problemas. Revise las p´aginas aginas y verifique que est´ en en todas bien impresas. Tiene Usted a su disposici´on on 2 horas para terminar esta parte del examen. Esto representa en promedio unos 25 minutos para cada problema. Trate de no demorarse demasiado en problemas probl emas que le resulte r esulten n dif di f´ıciles. Responda cada uno de los problemas comenzando en su correspondiente hoja. Si fuera necesario m´ as as espacio contin´ ue en hojas adicionales. Responda en forma clara y concisa, y escriba ue con tinta. tinta. Escriba su nombre en las hojas de respuestas y firme al pie. Antes de entregar, ordene y numere todas las hojas del examen, indicando en la primera p´agina agina el total de hojas que entregar´a. a. Al final de este cuadernillo encontrar´a una recopilaci´on on de todos los problemas, que puede retirar y llevarse cuando termine.
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Problem Problema a 8
Un recipiente cil´ cil´ındrico de 50 cm de di´ametro ametro interno est´a cerrado por un pist´on on que puede moverse sin roce, como se muestra en la figura. El cilindro contiene nitr´ogeno ogeno a una presi´on o n de 3 300 kP a a 25 C ocupando C ocupando un volumen de 0, 0 ,03 m . La presi´on on atmosf´erica erica es de 100 kP a. Para equilibrar el sistema se coloca un resorte con una constante el´astica k = 150 kN/m. kN/m. En estas condiciones se transfiere calor al gas y el pist´on on se desplaza hasta que el volumen ocupado por el nitr´ ogeno ogeno se duplica. ◦
a. Determinar Determinar la presi´ presi´ on on final del nitr´ogeno. ogeno. b. Calcular Calcular la temperatura final final del gas. c. Calcular Calcular el trabajo producido. producido. ¿Qui´ ¿Qui´en en produce este trabajo? d. ¿Qu´e fracci fr acci´ o´n de trabajo va a la atm´osfera? on osfera?
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Problem Problema a 9
El comprador de un lote muy grande de componentes componentes decide elegir aleatoriamente aleatoriamente n n componen componentes y aceptar el lote s´olo olo si el n´ umero de componentes defectuosos en esa muestra es como m´aximo umero on . a. Este procedimiento se conoce como un plan de aceptaci´ a. Considere un Plan A en el que n = 10 y a = 1. Hallar una expresi´on on de la probabilidad Π de que el lote sea aceptado si la verdadera proporci´on on de componentes defectuosos es p. p . b. Calcular Calcular la probabilidad probabilidad Π de que el lote sea aceptado con el Plan A cuando p toma los valores 0,05, 0, 0,10, 0, 0,20 y 0, 0,25. c urva caracter´ıstica ısti ca del plan de c. El gr´afico afico de Π como funci´on o n de p para 0 ≤ p ≤ 1 se llama curva aceptaci´on. on. La figura siguiente siguiente presenta la curva curva caracter caracter´ıstica de un plan de aceptaci´ aceptaci´ on on que llamaremos Plan B. A partir de los valores hallados en el punto anterior, agregar a la figura dada la curva caracter´ıstica ıstica del Plan A.
d. El comprador comprador quisiera quisiera que la proporci´ on de componentes defectuosos del lote sea inferior a 0, on 0 ,10. Comparando Comparando la curva curva caracter caracter´ıstica ıstica del Plan A con la del Plan B, ¿cu´ al al de los dos planes de aceptaci´on on ser´ıa m´as as conveniente? Justificar.
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Problem Problema a 10
Se construye un circuito A circuito A conectando conectando en serie los elementos resistencia-inductor-condensador R resistencia-inductor-condensador R 1, L1 , C 1 . Con otros elementos R2 , L2 , C 2 conectados en serie se construye un segundo circuito B . Ambos circuitos poseen la misma frecuencia de resonancia. Si ahora los seis elementos resistencia-inductor-condensador se conectan en serie formando el circuito C circuito C :: a. ¿Cu´al al es la frecuencia de resonancia del circuito C ?¿Difiere C ?¿Difiere de la de los circuitos A y B ? b. Calcular la amplitud de la corriente para cada circuito (A ( A, B y C ) cuando se lo alimenta con una fuente de amplitud V 0 a la frecuencia de resonancia. c. Al armar el circuito circuito real, un experimentador experimentador encuentra encuentra que la frecuencia frecuencia medida no coincide coincide con la calculada. Al controlar el circuito detecta que, a pesar de haber conectado los elementos en serie, no hab´ hab´ıa tomado en cuenta un detalle importante. impo rtante. Por ello realiza algunas modificaciones en su arreglo experimental, tras las cuales los resultados de las mediciones coinciden con lo calculado. ¿Cu´al al es, a su criterio, el detalle que no hab´ıa ıa tenido en cuenta?
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Problem Problema a 11
Sea C Sea C el el contorno del tri´angulo angulo en I =
R2
de v´erti er tice cess (1, (1 , 1), (2, (2, 2) y (1, (1, 4). Se define:
(2(x (2(x2 + y2 )dx + (x (x + y)2 dy) dy ),
C
donde C donde C es es recorrido en sentido positivo. a. Convertir Convertir I en una integral en 2 variables (Teorema de Green) y evaluar esta ´ultima ultima integral. I en b. Evaluar Evaluar I I directamente directamente y verificar que coincide con el resultado del punto anterior. En cada caso, mostrar claramente los pasos seguidos.
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Problem Problema a 12
´ Alvaro y Raquel van a visitar a su hijo que vive en un pueblo vecino a una distancia de 10 km. km. Quieren llegar lo m´as as r´ apido apido posible, pero s´olo olo tienen una bicicleta en la que no pueden ir los dos a la vez. Se les ocurre una idea: que Raquel recorra un tramo en bicicleta, la deje a una distancia ´ d arbitraria del recorrido y luego siga caminando. Mientras tanto, Alvaro ir´ a caminando y, cuando se encuentre encuentre con la bicicleta, bicicleta, continuar´ continuar´ a el recorrido pedaleando. ´ Raquel camina a 4 km/h 4 km/h y y anda en bicicleta a 16 km/h, km/h, mientras que Alvaro camina a 6 km/h 6 km/h y anda en bicicleta a 14 km/h. km/h. Suponer que ambos salen al mismo tiempo de su casa. a. ¿A qu´e distancia distan cia d debe dejar la bicicleta Raquel para que quien llegue ´ultimo lo haga en el menor tiempo posible? b. Calcular Calcular dicho tiempo. Justificar Justificar la respuesta. respuesta.
