Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait
1
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait
Proses oses Pois oisson adal adala ah prose roses s pen penghi ghitung tunga an dimana antar waktu kejadian berturut-turut adalah independen dan mempunyai distribusi yang yang sama sama (iid (iid)) yait yaitu u dist distri ribu busi si eksp ekspon onen ensi sial al..
Proses oses rene enewal wal me merupa rupak kan perl perlu uasan asan dari dari proses poisson, dimana antar waktu kejadian bert bertur urut ut-t -tur urut ut berd berdis istr trib ibus usii semb sembar aran ang. g.
2
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Proses penghitungan renewal { N(t), t 0 } adalah proses stokastik bilangan bulat nonnegative yang menunjukkan kejadian berurutan dari suatu peristiwa dalam interval waktu (0,t ], di mana antar waktu kejadian berturut-turut adalah variabel acak positif, independen, dan mempunyai distribusi yang sama (iid).
3
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait X i -
adalah waktu yang berlalu dari kejadian ke (i-1) sampai kejadian ke i.
Distribusi probabilitas untuk X 1 , X 2 , … adalah F(x) = Pr { X k ≤ x }, k = 1, 2, 3, …, Dengan ketentuan dasar: F(0)= 0, menandakan bahwa X 1 , X 2 , … adalah variabel random positif
4
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Waktu tunggu sampai kejadian ke-n adalah W n = X 1 + X 2 + …+ X n , n 1 …..(1.1) W 0 = 0 N(t) = jumlah indeks n di mana 0 < W n ≤ t …..(1.2)
5
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait
Gambar 1.1 Hubungan antara waktu interoccurence X k , dan proses penghitungan renewal N(t) .
6
Contoh Proses Renewal Penggantian bola lampu : Sebuah bola lampu dipasang pada waktu W 0 =0, rusak pada waktu W 1=X 1, dan kemudian diganti dengan bola lampu yang baru. Bola lampu yang kedua rusak pada waktu W 2 =X 1+ X 2 , dan digantikan dengan bola lampu ketiga. Secara umum, bola lampu ke n akan rusak pada waktu W n=X 1+…+ X n, dan segera diganti dengan bola lampu yang baru, dan seterusnya. 7
Contoh Proses Renewal Sehingga
dapat diasumsikan waktu hidup (life time) bola lampu independent secara statistik, dan mempunyai distribusi probabilitas yang sama selanjutnya dapat dinyatakan seperti dibawah ini Pr { X k ≤ x } = F(x) untuk k = 1, 2, …….
Pada
proses ini N(t) adalah banyaknya bola lampu pengganti sampai waktu ke t .
8
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait o
Fungsi renewal M(t)= E{N (t )} yang menunjukkan jumlah renewal harapan pada waktu (0,t ]
9
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Beberapa hubungan dan formula penting yang akan dicatat Hukum probabilitas dari W n=X 1+…+ X n dapat dihitung menurut konvolusi berikut Pr {Wn ≤ x } = Fn(x) , dengan asumsi F 1(x)= F(x) diketahui atau ditentukan, maka:
x
Fn x Fn 1 x y dF y Fn 1 x y dF y 0
0
10
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Hubungan
mendasar antara proses waktu tunggu {Wn} dan proses penghitungan renewal {N(t)} adalah N(t) k jika dan hanya jika Wk ≤ t .....(1.3)
yang artinya, banyaknya renewal dalam jangka waktu t adalah lebih besar atau sama dengan k jika dan hanya jika renewal ke-k terjadi sebelum atau pada waktu t .
11
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Menurut (1.3) Pr { N(t) k } = Pr { W k t } = F k (t) t 0, k = 1,2,3, .....(1.4) dan sebagai konsekuensi, Pr { N(t) = k } = Pr { N(t) k } = Pr {W k t }
–
–
12
Pr { N(t) k+1 }
Pr {W k+1 t }
= F k (t) - Fk+1 (t), .....(1.5)
…
t0, k=1,2,3,
…
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Berikut ini akan dilihat hubungan antara fungsi renewal M(t)= E{N (t )} dengan F k (t) dimana E [ N (t )] = Pr { N (t ) k }, Dengan menggunakan (1.4) diperoleh :
(t ) E N (t )
Pr N (t ) k k 1
Pr Wk t k 1
Fk (t ) k 1
13
…..(1.6)
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Dalam teori renewal ada sejumlah variabel random lain yang menarik untuk dibahas. Tiga diantaranya yaitu excess life (juga disebut excess random variable), current life (juga disebut age random variable), dan total life, yang didefinisikan dengan:
t W t N (t ) 1 excess atau residual lifetime t W Current life atau age random variable t N (t ) Total life t t t
14
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait
Gambar 1.2 Excess life t, current life t , dan total life t
15
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Selanjutnya kita akan menaksir rata-rata dari W N(t)+1 dalam kaitan dengan rata-rata waktu hidup = E [ X 1 ] dari tiap-tiap unit dan fungsi renewal M(t). Yaitu, untuk tiap-tiap proses renewal adalah benar bahwa : E [W N(t)+1 ] = E [ X 1+…+X N(t)+1] = E [ X 1] { E [N(t)+1] } = { M(t)+1 }
16
…..(1.7)
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait
Pada awalnya, persamaan diatas menyerupai rumusan yang diberikan dalam II, (3.9) untuk mean dari random sum, yang menyatakan bahwa E[X 1+…+ X N ]= E[X 1 ] E[N] dimana N adalah suatu variabel random bernilai integer yang independent terhadap X 1, X 2 ,…. Namun pendekatan random sum tidak diaplikasikan disini, perbedaan yang krusial terjadi bahwa random sum dari summand N(t)+1 dependent terhadap summandssummands itu sendiri.
17
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait
Di sesi 3, pada Poisson proses dipandang sebagai suatu renewal proses, kita ditunjukkan bahwa summand terakhir X N(t)+1 mempunyai mean yang mendekati dua kali dari unconditional mean =E[X 1 ] untuk t yang besar. Karena alasan itu, tidaklah benar, khususnya, bahwa E[W N(t) ] dapat dihitung sebagai perkalian E[X 1 ] dan E[N(t)] . Berdasar keterangan ini, persamaan yang dinyatakan di dalam persamaan (1.7) menjadi lebih menarik.
18
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait
Untuk memperoleh ( 1.7), kita akan menggunakan persamaan fundamental (1.3) dalam bentuk N(t) j – 1 jika dan hanya jika X 1+…+X j-1 ≤ t
Yang dinyatakan dalam indikator variabel random menjadi 1{N(t) j – 1} = 1{ X 1+…+X j-1 ≤ t}
19
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait karena
indikator variable random ini hanyalah fungsi dari variable random X 1+…+X j-1 yang independent terhadap X j, sehingga dapat kita hitung E[X ] E[ 1{X { 1+…+X j-1 ≤ t} = E[X { 1+…+X j-1 ≤ t}] j 1{X j = E[X ] Pr{X …..(1.8) Pr{ 1+…+X j-1 ≤ t} j = F F j -1(t)
20
Definisi Proses Renewal dan Konsep Terkait Setelah mendapatkan persamaan (1.8), kesamaan yang ditunjukkan pada (1.7) menjadi
Menggunakan (1.8) Menggunakan (1.6) 21
