PROPOSICIONES LÓGICAS í >" $ia, -uitoG Para p ($ia)" $ia es la capital del Per& es verdadero (V) Para p (-uito)" -uito -uito es la capital capital del Per& Per& es falso (F) b) q" ! 8 = : '' , ! es n&ero natural H" @I 'I ?I I =IG.. Para q (')" '8 = : '' , es falso (F) q (9)" 8= : '' , es verdadero (V)
Enunciado.- Es Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera (V) o falsa (F) Notación Por lo general, a las proposiciones proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejeplo, ejeplo, podeos citar las las siguientes proposiciones ! su valor de verdad" Proposición q" #íac es el distrito distrit o de la provincia de $ia (V) r" %l n&e n&ero ro ' es divi divisi sibl ble e por por . (V) (V) s" %l perro es un ave. (F) t" *odos *odos los tri+ngulos tienen cuatro lados (F) u" -u día es /o!0 1o es una proposición p" 2Viva el Per& '3 EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES a) 2$ev+ntate teprano3 b) 4as entendido lo que es una proposición0 c) 2%studia esta lección3 d) 5u+l es tu nobre l0 e) Pro/ibido Pro/ibido pasar pasar f) 6orra el pizarrón 1o son proposiciones por no poder ser evaluadas coo verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, ódenes ni las !e"untas son proposiciones P#ctica $ii"ida N% &' I.-7ndique I.-7ndique cual (es) de los siguientes siguientes enunciados son proposiciones" a) 8 9 : '; < = ( ) b) 2%studie lógica proposicional3 proposicional3 ( ) c) $os /obres no pueden vivir sin o>igeno ( ) d) > ; : ' 8 ' ! = < ? ≠ ? > ( ) e) %l silencio silencio es fundaental fundaental para estudiar0 ( ) f) ?@ <' : ? ( ) g) 6reBa es un distrito distrito de la provincia provincia de $ia ( ) /) /) Cn l+piz no es un cuaderno ( ) i) %res estudiante de ate+tica0 ( ) j) ' D ' ( ) E) Ponga atención ( )
EN(NCIA$OS A)IER*OS son aquellos .-
enunciados que constan de variables. Se variables. Se convierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable". variable". Ejemplos:
a) p" x es es la capital del Per&
P#ctica $ii"ida N+ & Jeterine cuales de los siguientes enunciados son enunciados abiertos ! para que valores de la variable las proposiciones son verdaderas ! falsas a) > es /erano de ! b) ? D ' c) %l es arqu arquititec ecto to d) *enga nga cala cala ,no ,no se ipa ipacie ciente nte ∈ e) K> 8 : '? , > # f) > es 7nge 7ngeni nier ero o ! Luan Luan es Mate Mate+ +titico co g) > N O ' , > ∈ # /) x + y ≤ ! x y ∈ # i$ % x + ! & x ∈ # j$ ' x + ( ) x ∈ *
> es un anial
l)
CLASE $E PROPOSICIONES A Po!osición Sim!le o Atómicas.- on aquellas aquellas proposiciones que constan de un solo enunciado proposicional . Por ejeplo, sea la proposición p" 8 ; : K ) Po!osición Com!uesta o molecula.m olecula.- on aquellas aquellas proposiciones que constan de dos o +s proposiciones siples. %jeplo" r" Pit+goras era griego ! era geóetra p q encontraos dos enunciados. enunciados. %l priero (p) nos afira que Pit+goras era griego ! el segundo (q) que Pit+goras era geóetra. %jeplo" p" Luan es profesor o Manuel es arquitecto Jonde podeos observar que la proposición proposición p, se divide en dos proposiciones siples" r" Luan es profesor ! s " Manuel es arquitecto ! " o s %s decir , CONEC*IOS LÓGICOS.- %nlazan proposiciones siples
A partir de proporciones siples es posible generar otras, siples o copuestas. %s decir que se puede operar con proposiciones, ! para ello se utilizan ciertos síbolos llaados conectivos lógicos
OPERACIONES PROPOSICIONALES
Ejemplo. $a negación de p" todos los alunos estudian ate+tica es p" no todos los alunos estudian ate+tica o bien" p" no es cierto que todos los alunos estudian ate+tica p" /a! alunos que no estudian ate+tica .-CON/(NCIÓN
Jefinireos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente" dadas dos o +s proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a travs de su valor de verdad. A tal efecto, estudiareos a continuación el uso ! significado de los diferentes conectivos lógicos encionados arriba" '.-NEGACIÓN Jada una proposición p, se denoina la negación de p a otra proposición denotada por p (se lee Qno pQ) que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejeplo" P " Jiego estudia ate+tica p " Jiego no estudia ate+tica Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad"
Jadas dos proposiciones p ! q, se denoina conjunción de estas proposiciones a la proposición ! 0 (se lee Qp ! qQ) %jeplo. ea la declaración i) es un n&ero ipar ! ; es un n&ero par ∧
p q veos que est+ copuesta de dos proposiciones a las que llaareos p ! q, que son p" es un n&ero ipar q" ; es un n&ero par
p
p
! por ser abas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.
V
F
*a1la de 2edad
F
V
e trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. S5m1olo
O!eación asociada
Si"ni6icado
7 1egación
no p o no es cierto que p p!q
5onjunción o producto lógico
p o q (en sentido inclu!ente)
Jis!unción o sua lógica 7plicación
p iplica q, o si p entonces q
Joble iplicación
p si ! sólo si q
Jiferencia sitrica
p o q (en sentido e>clu!ente)
p
q
V V F F
V F V F
p
∧
q
V F F F
$a tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones coponentes. %n todo otro caso, es falsa. E3em!lo " i p" es a!or que 9 q " *odo n&ero par es <iplo de dos %ntonces " ! ∧ 0 " es a!or que 9 4 todo n&ero par es <iplo de dos Por ser abas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera
8.-$IS9(NCIÓN Jadas dos proposiciones p !q, la dis!unción de las proposiciones p ! q es la proposición ! 0 , se lee R p o q S Ejemplo 1.
*iro las cosas viejas o que no e sirven %l sentido de la dis!unción copuesta por p ! q (p" tiro las cosas viejas, q" tiro las cosas que no e sirven) es inclu!ente, pues si tiro algo viejo, ! que ade+s no e sirve, la dis!unción es V. $a dis!unción o es utilizada en sentido e>clu!ente, !a que la verdad de la dis!unción se da en el caso de que al enos una de las proposiciones sea verdadera *a1la de 2edad p
q
V V F F
V F V F
p
∨
p
q
V V F F
V F V F
p
⇒
q
V F V V
$a tabla nos uestra que la iplicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero ! el consecuente es falso.
V V V F
<.-$O)LE I;PLICACIÓN O )ICON$ICIONAL
:.-I;PLICACIÓN O CON$ICIONAL 7plicación de las proposiciones p ! q es la proposición p ⇒ q (si p entonces q). $a proposición ! se llaa antecedente, ! la proposición 0 se llaa consecuente de la iplicación o condicional. Ejemplo. upongaos la iplicación i)i apruebo, %1*T15% te presto el libro ⇒
*a1la de 2edad
q
E3em!lo i p " 4ace frió en 7nvierno , ! q " 1apoleón invadió $ia ! ∨ 0 " 4ace frió en 7nvierno o 1apoleón invadió $ia Por ser al enos una de la proposiciones verdadera la conjunción es verdadera
p
al cupliiento del coproiso. %s evidente que si p es F, es decir si no apruebo el e>aen, quedo liberado del coproiso ! preste o no el apunte la iplicación es verdadera. i p es verdadera, es decir si apruebo el e>aen, ! no presto el libro, el coproiso no se cuple ! la proposición i) es falsa. i p ! q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el coproiso se cuple.
q
$a iplicación est+ copuesta de las proposiciones p" apruebo q" te presto el libro 1os interesa conocer la verdad o falsedad de la iplicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p ! q. %l enunciado puede pensarse coo un coproiso, condicionado por p, ! podeos asociar su verdad
Joble iplicación de las proposiciones p ! q es la proposición p ⇔ q (se lee Qp si ! sólo si qQ) E3em!lo '= p " Uarina ingresa a la universidad q " Uarina estudia uc/o %ntonces" ! ↔ 0 = Uarina ingresa a la universidad si 4 sólo si estudia uc/o. E3em!lo = ea i) a : b si ! sólo si a : b %l enunciado est+ copuesto por las proposiciones" p" a : b q" a : b %sta doble iplicación es falsa si p es F ! q es V. %n los de+s casos es V. *a1la de 2edad p
q
V V F F
V F V F
p
⇔
q
V F F V
$a doble iplicación o bicondicional sólo es verdadera si abas proposiciones tienen el iso valor de verdad.
$a doble iplicación puede definirse coo la conjunción de una iplicación ! su recíproca. Je este odo, la tabla de valores de verdad de p ⇔ q puede obtenerse ediante la tabla de (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p), coo veos" p
p
q
V V F F
V F V F
⇒
q
q ⇒ p
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
V V F V
V F F V
V F V V
V V F F
p
q
V V F F
V F V F
p
∨
q
F V V F
p
q
V V F F
V F V F
p
∨
q
V F V V
5oo veos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontraos que abas proposiciones tienen el iso resultado final. 5on esto, decios que abas proposiciones son logicaente equivalentes, ! en este caso particular lo sibolizaos" (p ⇒ q) ≡ (p ∨ q) TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA
$a verdad de p ∨ q est+ caracterizada por la verdad de una ! sólo una de las proposiciones coponentes.
Al conjunto de proposiciones, conectivos lógicos ! síbolos de agrupación lo denoinaos 6ómula ló"ica. Por ejeplo"
Ejemplo. ea
V F V V
A/ora bien , si analizaos la proposición q" p ∨ q, su tabla de verdad resulta"
$i6eencia Sim>tica Jiferencias sitrica o dis!unción en sentido e>clu!ente de las proposiciones p ! q es la proposición p ∨ q (se lee Qp o q en sentido e>clu!enteQ) cu!a tabla de valores de verdad es"
V F V F
i) o vaos a $ia o vaos a 7ca
7@ !
queda claro que sólo podreos ir a uno de los dos lugares, ! sólo a uno. %s decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vaos a una de las dos ciudades. %n caso de ir a abas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso.
Jos proposiciones p ! q se llaan equivalentes si sus tablas de verdad son idnticas. Je ser así se denota" p ≡ q Ejemplo. ea p" p ⇒ q, recordaos su tabla de verdad
q
*autolo"5a i al evaluar una fórula lógica, resulta que todos los valores de verdad resultantes son siepre V para cualquier cobinación de sus valores veritativos, decios que dic/a fórula es una *autolo"5a o Le4 ló"ica. Ejemplo.
PROPOSICIONES LÓGICA;EN*E E?(IALEN*ES
p
0 s t B
p
⇒
q
i analizaos la proposición t" p ∨ p realizando su tabla de verdad" p
p
p ∨ p
V F
F V
V V
Veos que para cualquier cobinación de las proposiciones p ! su negación p, la proposición t" p ∨ p es siepre verdadera. %ntonces, la proposición t es una tautología.
Ejemplo. Analizeos a/ora la fórula lógica W ( p ⇒ q ) ∧ p X ⇒ q
Idem!otencia
p
q
p ⇒ q
q ⇒ p
W ( p ⇒ q ) ∧ p X ⇒ q
V V F F
V F V F
V F V V
V F F F
V V V V
(p ∧ p) ⇔ p (p ∨ p) ⇔ p Conmutati2idad a) de la dis!unción" p ∨ q ⇔ q ∨ p b) de la conjunción" p ∧ q ⇔ q ∧ p Asociati2idad a) de la dis!unción" (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) b) de la conjunción" (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)
%n este caso coprobaos tabin que independienteente de la cobinación de valores de verdad de las proposiciones p ! q, el resultado de la fórula lógica es siepre V. Jecios, aquí tabin, que esta fórula es una tautología o le! lógica. Contadicción i al estudiar una fórula lógica, a diferencia de los ejeplos anteriores resulta que para cualquier valor de verdad de las proposiciones intervinientes el resultado de dic/a fórula es siepre falso, decios que dic/a fórula es una Contadicción.
$isti1uti2idad a)de la conjunción respecto de la dis!unción" (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) b)de la dis!unción respecto de la conjunción" (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∨ (q ∨ r) Le4es de $e ;o"an ( p ∨ q ) ⇔ p ∧ q Q $a negación de una dis!unción equivale a la conjunción de las negacionesQ
Ejemplo Analizeos la fórula lógica p ∧ p p
p
p ∧ p
V F
F V
F F
( p ∧ q ) ⇔ p ∨ q Q$a negación de una conjunción equivale a la dis!unción de las negacionesQ 1.1 Nega!"# $e %#a Impl!a!"#
Contin"encia %ncontraos que la fórula es siepre falsa, es entonces una 5ontradicción. i una proposición no es una tautología ni una contradicción (es decir que contiene al enos un valor V ! otro F) es una contingencia. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
p
q
p ⇒ q
V V F F
V F V F
V F V V
5oo bien dijios arriba, aquellas fórulas lógicas que resultan ser siepre verdaderas no iporta la cobinación de los valores veritativos de sus coponentes, son tautologías o le!es lógicas. %n el c+lculo proposicional e>isten algunas tautologías especialente &tiles cu!a deostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber" In2olución (p) ⇔ p (se lee Qno, no p, equivale a pQ)
$as proposiciones p ⇒ q ! (p ∧ q) son equivalentes, coo veos realizando la tabla de valores correspondientes" (p ∧ q) (p ∧ q) F V F F
p ⇒ q ⇔ (p ∧ q)
V F V V
V V V V
5on esto, coprobaos que la negación de la priera equivale a la negación de la segunda, es decir (p ⇒ q) ⇔ W (p ∧ q)X, ! podeos concluir entonces que" ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ q)
%s decir, la negación de una iplicación no es una iplicación sino la conjunción del antecedente con la negación del consecuente. unciones !o!osicionales 4 cuanti6icadoes Cuanti6icadoes A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generales ediante un proceso llaado de cuantificación. Asociados a la indeterinada >, introducios los síbolos x ! x, llaados cuanti6icado uni2esal ! cuanti6icado existencial respectivaente. $as e>presiones Cuanti6icado (ni2esal" Para todo >, se verifica p (>) ,se denota por
x = !(>) Cuanti6icado existencial %>iste >, tal que se verifica p (>) , se denota por
x D !> corresponden a una función proposicional p (>) cuantificada universalente en el prier caso, ! e>istencialente en el segundo. Ejemplo. Cna función proposicional cuantificada universalente es V si ! sólo si son V todas las proposiciones particulares asociadas a aquella. Para asegurar la verdad de una proposición cuantificada universalente es suficiente que sea verdadera alguna de las proposiciones asociadas a la función proposicional. Cn problea de inters es la negación de funciones proposicionales cuantificadas. Por ejeplo, $a negación de Q*odos los enteros son iparesQ %s Q%>isten enteros que no son iparesQ ! en síbolos" ∃ > Y p(>) %ntonces, para negar una función proposicional cuantificada universalente se cabia el cuantificador en e>istencial, ! se niega la función proposicional. Ejemplo. upongaos la proposición" *odos los alunos de i colegio son aplicados $a vaos a escribir en lenguaje sibólico, negarla ! retraducir la negación al lenguaje ordinario.
1os daos cuenta pronto que se trata de la iplicación de dos funciones proposicionales" p(>) " es aluno de i colegio q(>) " es aplicado *eneos" ∀ > " p(>) ⇒ q(>) *eniendo en cuenta la fora de negar una función proposicional cuantificada universalente ! una iplicación resulta" ∃ >
Y p(>)
∧
q(>)
H traduciendo al lenguaje ordinario resulta" Existen alumnos de mi colegio que no son aplicados
7.%. S%st/er 5+ceres algadoR CZ%$ @? N #íac PRI;ERA PRC*ICA $E ;A*E;*ICA Po6eso /uan L. Ca!istano GonFales '.-alle el 2alo de 2edad de las si"uientes !o!osiciones" a).< $ia es la capital del Per& ! 6olivia se encuentra ubicada en Arica del ur. b).<i ? O ' , entonces O ? ó ?' D c).< ?= es un n&ero par ! =? es un n&ero ipar d) i 6olivia liita con el Per& , entonces Per& liita con 5/ile. .- omalice las si"uientes !o!osiciones a).< i ella no viene entonces nos vaos al cine b)< i trabajas ! estudias te preparas ejor para el futuro c) er bac/iller o titulado en 5iclo uperior ! tener ' aBos cuplidos son condiciones para poder ejercer la docencia d).< i doinas las asignaturas ! te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no /as perdido el tiepoQ e)< i tengo uc/os e>+enes que corregir ! /e descansado un poco al ediodía, trabajo /asta las doce de la noc/e. Pero /o! no trabajo /asta las doce. Por tanto, ser+ que no /e descansado al ediodia f) i te cuesta entender las cosas , pero te esfuerzas diariaente, seguro que no suspendes g).<%studio [lgebra si ! solo si estudio Física , o si no estudio Física entonces estudio Arittica /) #o>ana estudia o trabaja , pero si no estudia entonces trabaja . %n consecuencia , #o>ana no trabaja /o! no es lunes
:.- Clasi6i0ue como tautolo"5a, contadicción 4 contin"encia. Los si"uientes es0uemas moleculaes= a)\(p] q) ^ q _ v p b) (p^q) v p c) p^(p]q)
d) `(p v q) ] p e) \ (p ^ ` q) ] p _ ^` q f) `p v `( p v q )
<.- Si ! 4 0 son !o!osiciones 6alsa 4 2edadea es!ecti2amente , Halle el 2alo de 2edad de las si"uientes !o!osiciones" a) p V ( p ^ q ) b) ( p V q ) ^ p
c) p ] ( p^ q ) d) (p V q ) \ p ] ( p^ q ) _
<.- Si ! , 0 , . alle el 2alo de 2edad de los si"uientes es0uemas moleculaes" a) (p ] q ) ^ ( ` p V r ) c) p ] q ^ r e) ( p ` q ) ^ r b) ` r ] \p ^( r V q ) _ d) )\(p] q) ^ (q ] r )_ ` p f) ( ` p V q ) ^( ` r ] q ) J.- a)i la proposición p ^ ( ` p V q ) es falso , deterine el valor de verdad de " ` (p V q ) b) i la proposición ( p ] q ) ^ ( q^r ) , es falsa deterine el valor de " p V r K. omaliFa los si"uientes aFonamientos. Son tautolo"5as, contadicciones o indeteminacionescontin"enciasM a).i tengo razón, entonces esto! loco. Pero si esto! loco, entonces tengo razón. Por tanto, no esto! loco. b).i tengo razón, entonces esto! loco. Pero si esto! loco, entonces tengo razón. Por tanto, no tengo razón. c.)A enos que e equivoque, esto! loco. Pero si esto! loco, tengo que estar %quivocado. Por tanto, esto! equivocado. d).i tengo razón, entonces t& est+s loco. i !o esto! loco, no tengo razón. i *& eres un loco, tengo razón. Por tanto, no estaos los dos locos al iso *iepo. e) i la pria de Ma!ra no quiere cenar, entonces coe su epanada. i coe su epanada, no le dan torta. $a pria de Ma!ra no quiere cenar ! se retira de la esa. Por lo tanto no le dan torta. '. 5lasifica los siguientes enunciados" Proposición, %nunciado abierto, enunciado 7) N '9 : ' (GGGGG.) 77) ? 8 O (GGGGG.) 777) %studias Mate+tica0 (GGGGG.) 7V) K es n&ero prio (GGGGG.) V) 2%res grande Per&3 (GGGG ..) V7) ?9 < > : =@ (GGGGG) ?.
+ p ∨ q $ ⇔ + : p ∧
:
q$
=.< Jada las siguientes preisas" p" 4o! es feriado q" MaBana es día laborable r" Vo! a clase Foraliza la proposición" S1o es verdad que, 4o! sea feriado ! que no asista a clase. Por lo tanto vo! a clase. .<i la proposición" p ⇒ + : p ∨ q $ , es falsa indicar el valor de verdad de la proposición" + p ∨ q $
⇔
[
p∧
+p
⇒
q$
]
;.
CONEC*IOS LÓGICOS
SINÓNI;OS • • •
conjunción
• • • • • • •
negación
• • • •
V dis!unción
•
•
p
q
iplicación
• • • • • • • •
P
q
• • • •
! *abin A&n A la vez 1o obstante Ade+s Pero in ebargo Aunque 1o es cierto que %s falso que 1o es el caso que 1o sucede que T A enos que ! es condición suficiente para 0 i ! , 0 0 si ! -ue ! siepre que 0 5uando ! , 0 0 es condición necesaria para !
%n caso de que ! entonces 0 ! solo si 0 i ! sólo si 5uando ! sólo cuando %quivale a %s necesario ! suficiente para %n el caso , ! sólo en el caso , de que
'.< 5u+les de los siguientes enunciados son proposiciones , función proposicional .Jeterine su valor de verdad"
a) %l pisco es peruano b) ' es un n&ero racional c) 2 Viva el Per&3 d) Cn tri+ngulo es un polígono de tres lados e) > es /erano de ! f) ? D ' g)*e gusta la Mate+tica0 /) %l es arquitecto −% % i) '- − % = , j)*enga cala ,no se ipaciente E) K> 8 : '? , > ∈ # l)' es <iplo de ll) ∀ x ∈ R " x > x − )> es 7ngeniero ! Luan es Mate+tico
'
n) ∃ x ∈ Q .x = B)$os cuadril+teros tienen lados o)> N O ' , > ∈ # p$ x + y ≤ ! xy q$ % x + ! & x ∈ # r$ ' x + ( ) x ∈ *
∈ #
> es un anial
t)
?.< a) i p es verdadera deterinar el valor de verdad de p^q b)i p es falsa p vq c) i p es falsa , entonces p ⇔ q es d) i la proposición (p q)^r es falsa , deterina el valor de las proposiciones"
⇔ r $ ∧ q d .%+ p ⇒ q $ ∨ ¬r d .+ p
d .'+ p ∨ q$ ∧ r d .0+¬r ⇒ ¬ p$ ∧ + q ⇒ p $
.< Jeterinar el valor de verdad de las proposiciones p ! q si se conoce la siguiente inforación " \(p v q ) q_^q es falsa !
\(p q )^ q _ (p v q ) es verdadera
'.< Jeterinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones"
a $∀ x ∈ N " x + ≥ % b $∃ x ∈ N x + ( c $∀ x ∈ Q " x
=/
≥0 d $ Si. x ∈ ℜ" x % > / %
e$∀ x ∈ R" x
/
ll $∃ x ∈ ℜ x
=
f $∃ x ∈ R x −
=
i $∃ x ∈ Q % x + = /
x
−0 g $∀ x ∈ R = x − % x + % h$∃ x ∈ R x % − 1 = / x
%
j $∀ x ∈ Z " x %
− % x + ≥ / k $∃ x ∈ I x + ' = / l $∃ x ∈ x ≤ / %
+0> 0 m $∀ x ∈ R " x = x n $∀ x ∈ R − " x = − x +
ñ $∀ x ∈ R " x −
=
x
