UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS PROGRAMA DE MATEMÁTICA IV I.
GENERALIDADES:
PRE-REQUISITO
: MATEMÁTICA III
CÓDIGO DE LA ASIGNATURA NIVEL ACADÉMICO AÑO ACADÉMICO CICLO
: MAT-415 : CUARTO CICLO : 2016 : II
DURACIÓN
: 16 Semanas
COORDINADOR DE CÁTEDRA COORDINADORA DE DISCUSIONES PERSONAL DOCENTE
: Ing. René Orlando Pocasangre : Licda. Alma Azucena Medrano : Ing. Jesús Oliverio Torres : Ing. Mario Alberto Monge Ramos
UNIDADES VALORATIVAS VALORATIVAS
II.
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OBJETIV OBJ ETIVO O GENERAL
Estudiar los elementos de las ecuaciones diferenciales diferenciale s ordinarias (E.D.O), y sus aplicaciones que servirán de soporte en asignaturas del nivel diferenciado en cada una de las ingenierías. III.
DESCRIPCIÓN SINTÉTICA:
E.D.O. de primer orden; E.D.O. Lineales con coeficientes coeficientes constantes; Transformada de La Place y resolución de E.D.O.L con coeficientes constantes; y sus aplicaciones. IV.
OBJ ETIVOS ESPECÍFICOS Y CONTENIDOS:
1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al terminar esta unidad, el estudiante debe ser capaz de:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11)
Determinar una E.D. Clasificar un ED en ordinaria (E.D.O.) o parcial (E.D.P) Determinar el orden de una E.D.O. Determinar si una E.D.O. es lineal. Comprobar si una función dada es solución de una E.D.O. Dada una E.D.O. obtener una familia de soluciones. Diferenciar entre si las soluciones generales explicitas, implícitas, singular y trivial de una E.D.O. Responder la interrogante ¿Qué significa resolver un problema de valor inicial? Resolver problemas de valor inicial (orden). Determinar el intervalo de validez de la solución de una E.D.O Dada una solución y(x) o un P.V.I, determinar el dominio de la función y(x), el intervalo I sobre sobre el cual la solución y(x) se encuentra definida o existe, el intervalo I 0 de existencia y unicidad.
CONTENIDO: 1.1 Definiciones básicas y terminología 1.2 Problemas de valor inicial.
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2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al terminar esta unidad, el estudiante debe ser capaz de: 1) Resolver una E.D.O. de primer orden; es decir, hallar una solución general. 2) Resolver una E.D.O. de primer orden sujeto a una condición inicial, es decir, hallar una solución particular. 3) Aplicar el teorema de existencia y unicidad para E.D.O. de primer orden. 4) Resolver problemas de aplicación utilizando E.D.O,L. de primer orden. CONTENIDO: 2.1 Variables separables. 2.2 Soluciones por sustitución 2.3 Ecuaciones exactas 2.4 Ecuaciones lineales 2.5 Sustituciones diversas 2.6 Ecuaciones lineales. Problemas de aplicación. 2.6.1 Ley de enfriamiento de Newton. 2.6.1.1 Desintegración radiactiva 2.6.2 Problemas de mezclas. 2.6.3 Circuitos en serie. 2.6.4 Ejercicios diversos 3. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN SUPERIOR
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al terminar esta unidad, el estudiante debe ser capaz de:
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14)
Diferenciar un problema de valor inicial y de valor en la frontera. Identificar las condiciones suficientes para que un P.V.I tenga solución única. Establecer cuál es la función del operador diferencial y sus propiedades. Establecer en que consiste el principio de superposición de ecuaciones homogéneas y lo aplique a casos particulares. Establecer y comprobar cuando dos funciones son linealmente dependientes o linealmente independiente. Determinar mediante el wronskiano, si las soluciones de una E.D.O.L. homogénea son linealmente independientes. Dada una solución conocida encuentre una segunda solución. Reducción de orden. Establecer la relación que existe entre un conjunto fundamental de soluciones y la solución general de un E.D.L.H. Resolver E.D.O.L. homogéneas con coeficientes constantes de segundo orden. Calcular soluciones particulares de E.D.O.L. no homogéneas con coeficientes constantes utilizando el método de Coeficientes Indeterminados. Calcular soluciones particulares de E.D.O.L. no homogéneas con coeficientes constantes utilizando el método de Variación de Parámetros. Calcular soluciones generales E.D.O.L, con coeficientes constantes y soluciones particulares que satisfagan condiciones iniciales o de frontera. Resolver ecuaciones de Cauchy - Euler. Resolver problemas de aplicación utilizando E.D.O.L. de segundo orden.
CONTENIDO: 3.1 Teoría preliminar. Ecuaciones lineales 3.1.1 Problemas de valor inicial y valor en la frontera. 3.1.2 Ecuaciones homogéneas, 2
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3.1.3 Ecuaciones no homogéneas 3.2 Reducción de orden 3.3 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes. 3.4 Método de los coeficientes indeterminados. 3.5 Variación de parámetros. Ecuación de Cauchy-Euler 3.6 Ecuaciones lineales. Aplicaciones 3.6.1 Sistema masa - resorte a) Libre no amortiguado b) Amortiguado libre c) Movimiento –forzado 4.
LA TRASFORMADA DE LA PLACE
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Al terminar esta unidad, el estudiante debe ser capaz de:
1) Identificar las condiciones de suficiencia para encontrar la transformada de una función. 2) Evaluar la transformada de una función usando la definición y usando propiedades. 3) Encontrar la transformada de La Place de funciones continuas por tramos y de orden
exponencial. 4) Encontrar inversas de transformadas de Laplace dadas. 5) Resolver E.D.O.L. con coeficientes constantes sujetas a condiciones iniciales mediante transformadas de La Place. CONTENIDO: 4.1 Definición de la transformada de La Place 4.2 Transformada inversa 4.3 Teoremas de traslación. 4.4 Transformada de derivadas, integrales y funciones periódicas. 4.5 Derivadas de transformadas de La Place. 4.6 Teorema de Convolución. 4.7 Aplicaciones. V.
EVALUACIÓN:
Se realizarán: -
Tres Exámenes parciales: Parcial 1 ……………….. 20 % Parcial 2 ……………….. 25 % Parcial 3 .………………. 25 % Dos Exámenes cortos: Examen Corto (EC1) ……………… 10 % Examen Corto (EC2) ……………… 10 % Valoraciones orales …………………… 10 %
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VI.
METODOLOGÍA
a) Dos sesiones semanales de 1 hora y 40 minutos c/u de clase expositiva. b) Una sesión semanal de 1 hora y 40 minutos para resolución y discusión de problemas. VII.
BIBLIOGRAFÍA
1) Zill, D.G; Wright, W.S; Cullen, M.R. 2012. MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA; 4 ed. México, D.F. McGraw-Hill. 2) Zill, D.G; Cullen, M.R. 2008. MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIE-RÍA, Vol. 1: ECUACIONES DIFERENCIALES; 3 ed, México, D.F. McGraw-Hill. 3) ZIll, D.G. 1997. ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MO-DELADO; 6 ed. México, D.F. Thomson. 4) Nagle, R.K; Saff, E.B; Snider, A.D. 2005. ECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA; 4 ed. México, D.F. Pearson Addison Wesley. 5) Edward Junior, C.H; Penney, D.E. 1986, ECUACIONES DIFERENCIALES ELEMENTALES CON APLICACIONES; México, D.F. Prentice-Hall. 6) Kreyszing, E. 1990. MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA INGENIERÍA, Vol II; 5 ed, México, D.F. Limusa. 7) Ayres Junior, F. 1970. TEORIA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFEREN-CIALES; México, D.F. McGraw-Hill.
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