SOLUCIONES EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL Ejercicio nº 1.- a) Dibuja el recinto recinto formado por por los puntos puntos que cumplen cumplen las siguientes siguientes condiciones: condiciones:
y ≤ 3 y − x ≥ 1 y − 3 x ≤ 0 b) Indica si los puntos (0, 0), (2, 1) y (1, 2) forman parte de las soluciones soluciones del del sistema anterior Solución:
a) Representamos las rectas
y = 3 y − x = 1 → y = x + 1 y − 3 x = 0 → y = 3 x
Tomamos Tomamos un punto cualquiera; cualquiera; por ejemplo el (1, 0), para comprobar cuáles son son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es
b) ! la "ista "ista de la grá#ica grá#ica anterior, tenemos que (0, 0) $ (%, 1) no son soluciones del sistema, pero (1, %) s& lo es.
Ejercicio nº 2.- !a"imi#a la funci$n z % x % x
y , sujeta a las siguientes siguientes restricciones: restricciones:
x + 3y ≤ 2 ' x + 3y ≤ '' 2 x + 3y ≤ 2& x ≥ 0 y ≥ 0 Solución:
• Representamos las rectas
x + 3y = % → y = % − x 3 − x x + 3y = → y = 3 − %' % x % x + 3y = %' → y = 3
$ *allamos la regi+n que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0.
• Representamos la direcci+n de las rectas coordenadas x + y = 0
El punto M , intersecci+n de
x + 3y = % x + 3y = %'
z x + y , dibujando la que pasa por el origen de
es decir, M ( ', ), es el que proporciona
el má-imo, que "ale z ' + 1%
Ejercicio nº 3.- n una granja de pollos se da una dieta *para engordar* con una composici$n m+nima de 1 unidades de una sustancia A y otras 1 de una sustancia B n el mercado solo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo I con una composici$n de una unidad de A y cinco de B, y el tipo II con una composici$n de cinco unidades de A y una de B l precio del tipo I es de 10 euros y el del tipo II es de 30 euros -e pregunta: ./u cantidades se an de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste m+nimo Solución: lamamos x a las unidades que se compran de tipo / e y a las que se compran de tipo //. Resumamos los datos en una tabla
as restricciones son
x + y ≥ 1 x + y ≥ 1 ≥ x 0 y ≥ 0 a #unci+n que nos da el coste es z 10 x + 30y 10( x + 3y ). ebemos *acer m&nima esta #unci+n, sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones, $ la recta 10( x + 3y ) 0 x + 3y 0, que nos da la direcci+n de las rectas z 10( x + 3y ).
El m&nimo se alcan2a en el punto de intersecci+n de
x + y = 1 + = ; x y 1
→
es decir, en (%,; %,).
or tanto, *a$ que comprar %, de tipo / $ %, de tipo //. El precio en este caso será de z 10(%, + 3⋅%,) 100 euros.
Ejercicio nº 4.- Disponemos de 210 000 euros para inertir en bolsa 4os recomiendan dos tipos de acciones 5as del tipo A que rinden el 106 y las de tipo B que rinde el &6 Decidimos inertir un m7"imo de 130 000 euros en las de tipo A y, como m+nimo, 000 euros en las de tipo B adem7s, queremos que la inersi$n en las del tipo A sea menor o igual que el doble de la inersi$n en B .8u7l tiene que ser la distribuci$n de la inersi$n para obtener m7"imo inters anual Solución: lamamos x al dinero que in"ertimos en acciones de tipo A e y al que in"ertimos en las
de tipo B. Resumimos los datos en una tabla
as restricciones son
x + y ≤ %10 000 x ≤ 130 000 y ≥ 000 x ≤ %y x ≥ 0 y ≥ 0 a #unci+n que nos da el rendimiento total es z = 0,1 x + 0,0' y =
1 (10 x + 'y ) 100
=
% ( x + y ) 100
=
1 ( x + y ) . 0
ebemos ma-imi2ar esta #unci+n, sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones (la unidad es 10000) 1 ( x + y ) = 0 → x + y = 0, que nos da la direcci+n de las rectas $ la recta 0 1 ( x + y ) . z = 0
El má-imo se alcan2a en el punto (13, '). or tanto, debemos in"ertir 130 000 euros en acciones del tipo A $ '0000 euros en las de tipo B. En este caso, el bene#icio anual será de 1 ( ⋅ 130 000 + ⋅ '0 000) = 14 00 euros . z = 0 Ejercicio nº 5.-
a) 9epresenta el recinto que cumple estas restricciones:
x + 3y ≤ 2 x + y ≤ & ≥ x 0 y ≥ 0 b) Da tres puntos que sean soluci$n del sistema anterior Solución:
a) Representamos las rectas
x + 3y = 4 → % x + y = ' → x = 0 y = 0
y =
4 − x
3 y = ' − % x
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es
b) or ejemplo (1, 1), (%, %) $ (%, 0).
Ejercicio nº 6.- ;alla el m+nimo de la funci$n z % 3 x
2y con las siguientes restricciones:
3 x + 'y ≤ 12 3 x + 2y ≥ 2 x ≥ 0 y ≥ 0 Solución:
• Representamos las rectas
3 x + y = 1% → 3 x + %y = % →
1% − 3 x % − 3 x
y = y =
%
$ *allamos la regi+n que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0. os "5rtices de dic*a regi+n son los puntos
( 0, 1) ; ( 0, 3) ; ( , 0)
$
% , 0 3
• Representamos la direcci+n de las rectas de coordenadas 3 x + %y 0 • 6bser"amos que la recta
z 3 x + %y , dibujando lo que pase por el origen
3 x + %y 0 $ la recta 3 x + %y % son paralelas. or tanto,
el m&nimo se alcan2a en todos los puntos del segmento que une ( 0, 1) $
% , 0 . 3
Este m&nimo "ale z 3 ⋅ 0 + % ⋅ 1 %
Ejercicio nº 7.- 8ierto fabricante produce dos art+culos, A y B, para lo que requiere la utili#aci$n de dos secciones de producci$n: secci$n de montaje y secci$n de pintura l art+culo A requiere una ora de trabajo en la secci$n de montaje y dos en la de pintura< y el art+culo B, tres oras en la secci$n de montaje y una ora en la de pintura 5a secci$n de montaje solo puede estar en funcionamiento nuee oras diarias, mientras que la de pintura solo oco oras cada d+a l beneficio que se obtiene produciendo el art+culo B es de '0 euros y el de A es de 20 euros 8alcula la producci$n diaria de los art+culos A y B que ma"imi#a el beneficio Solución: lamamos x a la producci+n diaria de art&culos A e y a la de art&culos B. Resumimos los datos en una tabla
as restricciones son
x + 3y ≤ 4 % x + y ≤ ' x ≥ 0 y ≥ 0 a #unci+n que nos da el bene#icio es z %0 x + 0y %0( x + %y ). ebemos obtener el má-imo de esta #unci+n, sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones $ la recta %0( x + %y ) 0 x + %y 0, que nos da la direcci+n de las rectas z %0 x + 0y .
El má-imo se alcan2a en el punto de intersecci+n de las rectas
→
x + 3y = 4 ; % x + y = '
es decir, en (3, %). or tanto, deben producirse 3 unidades de A $ % de B. En este caso, el bene#icio será de z %0 ⋅ 3 + 0 ⋅ % 10 euros. Ejercicio nº 8.- =n quiosco ende bol+grafos a 20 cntimos de euro y cuadernos a 30 cntimos de euro 5leamos 120 cntimos de euro y pretendemos comprar los mismos cuadernos que bol+grafos, por lo menos .8u7l ser7 el n>mero m7"imo de pie#as que podemos comprar Solución: lamamos x al n7mero de bol&gra#os e y al n7mero de cuadernos. Tenemos que
as restricciones son
%0 x + 30y ≤ 1%0 → x ≤ y x ≥ 0 y ≥ 0 x , y enteros
% x + 3y ≤ 1%
ibujamos el recinto correspondiente. as posibles soluciones son los puntos que aparecen se8alados
ebemos *acer má-imo el n7mero de pie2as, es decir, debemos ma-imi2ar z x + y . 9emos que *a$ tres puntos que *acen má-ima esta suma (0, ), (1, 3) $ (%, %). El n7mero má-imo de pie2as que podemos comprar es . Ejercicio nº 9.- a) 9epresenta gr7ficamente el conjunto de soluciones del siguiente sistema de inecuaciones:
x − y ≤ 1 x + y ≥ −1 y ≤ 2 b) Di si los puntos (0, 1), (0, 0) y (0, 3) son soluciones del sistema anterior Solución:
a) Representamos las rectas
x − y = 1 → x + y = −1 → y = %
y = x − 1 y = −1 − x
Tomamos un punto cualquiera; por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas.
El recinto buscado es
b) ! la "ista de la grá#ica anterior, tenemos que (0, 1) s& es soluci+n del sistema, (0, 0) tambi5n lo es, pero (0, 3) no. Ejercicio nº 1.- !a"imi#a la funci$n z % 10 x
100y , sujeta a las siguientes restricciones:
2 x + 3y ≤ 00 2 x + y ≤ '&0 x ≥ 0 y ≥ 0 Solución:
• Representamos las rectas
% x + 3y = 00 → y = 00 − % x 3 % x + y = '0 → y = '0 − % x
$ *allamos la regi+n que cumple las condiciones del problema, teniendo en cuenta que x ≥ 0 e y ≥ 0. os "5rtices de dic*a regi+n son los puntos (0, 0); (0, %00); (%0, 0) $ (%10, 0)
• Representamos la direcci+n de las rectas origen de coordenadas 10 x + 100y 0
z 10 x + 100y , dibujando la que pasa por el
• El má-imo se encuentra en el "5rtice
(%10, 0), en el que z 10 ⋅ %10 + 100 ⋅ 0
3: 00. Ejercicio nº 11.- =n orfebre fabrica dos tipos de joyas 5as del tipo A precisan 1 g de oro y 1, g de plata, endindolas a '0 euros cada una ?ara la fabricaci$n de las de tipo B emplea 1, g de oro y 1 g de plata, y las ende a 0 euros l orfebre tiene solo en el taller @0 g de cada uno de los metales 8alcula cu7ntas joyas a de fabricar de cada clase para obtener un beneficio m7"imo Solución: lamamos x al n7mero de jo$as del tipo A e y al n7mero de jo$as del tipo B. Resumimos los datos en una tabla
as restricciones son
x + 1,y ≤ :0 1, x + y ≤ :0 x ≥ 0 y ≥ 0 a #unci+n que nos da los ingresos es z 0 x + 0y 10( x + y ). ebemos *acer má-ima esta #unci+n, sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones $ la recta 10( x + y ) 0 x + y 0, que nos da la direcci+n de las rectas z 10( x + y ).
→
El má-imo se alcan2a en el punto de intersecci+n de la rectas
x + 1, y = :0 ; 1, x + y = :0
es decir, en (300, 300). or tanto, *a de #abricar 300 jo$as del tipo A $ 300 del tipo B para obtener el má-imo bene#icio. os ingresos en este caso ser&an z 0 ⋅ 300 + 0 ⋅ 300 %: 000 euros.
Ejercicio nº 12.- n una pequeAa empresa se fabrican diariamente solo dos tipos de aparatos, A y B 8omo m7"imo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos un art+culo del tipo B Indica todas las posibilidades de fabricaci$n si se quieren obtener unas entas superiores a 0 euros, teniendo en cuenta que los precios de los art+culos A y B son de 30 y 10 euros, respectiamente Solución: lamamos x al n7mero de aparatos de tipo A e y al n7mero de aparatos de tipo B que podemos #abricar. as restricciones son
x + y ≤ 3 x ≥ 0 y ≥ 1 30 x + 10y ≥ 0 → 3 x + y ≥ x e y enteros (naturales) Representamos el conjunto de restricciones
6bser"amos que la 7nica soluci+n posible es #abricar % aparatos de tipo A $ 1 de tipo B. a "enta es entonces de % ⋅ 30 + 1 ⋅ 10 :0 euros.
Ejercicio nº 13.- a) 8onstruye el recinto de soluciones del siguiente sistema:
3 x + 3y ≤ 120 3 x + y ≤ 1&0 ≥ x 0 y ≥ 0 b) 5os puntos (20, 10), (20, 0) y (20, 20), .forman parte de las soluciones del sistema anterior
Solución:
a) Representamos las rectas
3 x + 3y = 1%0 → 3 x + y = 1'0 → x = 0 y = 0
x + y = 0 y =
→
1'0 − 3 x
y = 0 − x
→
y = 30 −
x
%
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo el (0, 0), para comprobar cuáles son los puntos que cumplen las desigualdades propuestas. El recinto buscado es
b) ! la "ista de la grá#ica anterior, tenemos que los tres puntos son soluciones del sistema.
Ejercicio nº 14.- a) Dibuja el recinto definido por:
− 2 x + y ≤ 3 2 x − y ≤ 2 x + 2y ≤ ' b) ;alla los rtices del recinto anterior c) ;alla el m7"imo de la funci$n z % 'y x , sujeta a las restricciones propuestas en a) .n qu punto del recinto alcan#a dico m7"imo Solución:
• Representamos las rectas
− % x + y = 3 → y = % x + 3 % x − y = % → y = % x − % − x x + %y = → y = %
$ *allamos la regi+n que cumple las condiciones del problema.
• os "5rtices del recinto son los puntos − % , 11
A
$
' B ,
• Representamos la direcci+n de las rectas de coordenadas y − x 0
z y − x , dibujando la que pasa por el origen
− % , 11 $ "ale
El má-imo se alcan2a en el punto A
z = ⋅
11
− % − =
+
%
=
= 4,%
Ejercicio nº 15.- =nos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior ?ara ello, lan#an dos ofertas, A y B: 5a oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantal$n, que se enden a 30 euros< la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantal$n, que se ende a 0 euros 4o se desea ofrecer menos de 20 lotes de
la oferta A ni menos de 10 de la B .8u7ntos lotes an de ender de cada tipo para ma"imi#ar la ganancia Solución: lamamos x al n7mero de lotes de A e y al n7mero de lotes de B. Resumimos los datos en una tabla
as restricciones son
x + 3y ≤ %00 x + y ≤ 100 x ≥ %0 y ≥ 10 a-imi2ar las ganancias equi"ale a ma-imi2ar los ingresos. a #unci+n que nos da los ingresos es z 30 x + 0y 10(3 x + y ). ebemos obtener el má-imo de esta #unci+n sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones $ la recta 30 x + 0y 10(3 x + $) 0 → 3 x + y 0, que nos da la direcci+n de las rectas z 30 x + 0y.
El má-imo se alcan2a en el punto de intersecci+n de las rectas
x + 3y = %00 ; x + y = 100
es decir, en (0, 0). or tanto, se deben *acer 0 lotes de la o#erta A $ 0 de la B. os ingresos en este caso ser&an de z 30 ⋅ 0 + 0 ⋅ 0 000 euros.
Ejercicio nº 16.- -e desea obtener tres elementos qu+micos a partir de las sustancias A y B =n Bilo de A
contiene & gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero< un Bilo de B tiene ' gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero -e desea obtener al menos 1 gramos del primer elemento y las c antidades del segundo y del tercero an de ser como muco y 20 gramos, respectiamente< y la cantidad de A es como muco el doble que la de C 8alcula los Bilos de A y los de B que an de tomarse para que el coste sea m+nimo si un Bilo de A ale 2 euros y uno de B 10 euros .?uede eliminarse alguna restricci$n Solución: lamamos x a los
as restricciones son
' x + y ≥ 1 → x + y ≤ % x + %y ≤ %0 → x ≤ %y x ≥ 0 y ≥ 0
% x + y ≥ x + y ≤ 10 (Esta se puede eliminar, pues, si x + y ≤ , necesariamente, x + y ≤ 10)
a #unci+n que nos da el coste es z % x + 10y %( x + y ). ebemos minimi2ar esta #unci+n, sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones $ la recta %( x + y ) 0 x + y 0, que nos da la direcci+n de las rectas z % x + 10y .
El m&nimo se alcan2a en el punto de intersecci+n de las rectas es decir, en (1,; 0,').
% x + y =
; x = %y
→
or tanto, *an de comprarse 1,
Ejercicio nº 17.- =na f7brica produce neeras utilitarias y de lujo 5a f7brica esta diidida en dos secciones: montaje y acabado 5os requerimientos de trabajo ienen dados por la siguiente tabla:
l m7"imo n>mero de oras de trabajo disponibles diariamente es de 120 en montaje y 1&0 en acabado, debido a las limitaciones de operarios -i el beneficio es de 300 euros por cada neera utilitaria y de '00 euros por cada neera de lujo, .cu7ntas deben fabricarse diariamente de cada una para obtener el m7"imo beneficio Solución: lamamos x al n o de ne"eras utilitaria s e y al n o de ne"eras de lujo. Resumimos los datos en una tabla
as restricciones son
3 x + 3y ≤ 1%0 → 3 x + y ≤ 1'0 → x ≥ 0 y ≥ 0
x + y ≤ 0 x + %y ≤ 0
a #unci+n que nos da el bene#icio es z 300 x + 00y 100(3 x + y ). ebemos obtener el má-imo de esta #unci+n, sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones $ la recta 100(3 x + y ) 0 3 x + y 0, que nos da la direcci+n de las rectas z 300 x + 00y
→
El má-imo se alcan2a en el punto de intersecci+n de las rectas
x + y = 0 ; x + %y = 0
es decir, en (%0, %0). or tanto, deben #abricarse %0 ne"eras de cada uno de los do s tipos. El bene#icio será z 300 ⋅ %0 + 00 ⋅ %0 1 000 euros.
Ejercicio nº 18.- 5a casa ! fabrica elados A y B, asta un m7"imo diario de 1 000 Bilos 5a fabricaci$n de un Bilo de A cuesta 1,& euros y uno de B, 1, euros 8alcula cu7ntos Bilos de A y B deben fabricarse, sabiendo que la casa dispone de 2 @00 euros d+a y que un Bilo de A deja un margen igual al 06 del que deja un Bilo de B
Solución: lamamos x a los
as restricciones son
x + y ≤ 1000 1,' x + 1,y ≤ % :00 ≥ x 0 y ≥ 0 El margen total es z 0,4mx + mx m(0,4 x + y ). Esta es la #unci+n que debemos ma-imi2ar, sujeta a las restricciones anteriores. ibujamos el recinto correspondiente a las restricciones $ la recta m(0,4 x + y ) 0 0,4 x + y 0, que nos da la direcci+n de las rectas z m(0,4 x + y ).
→
6bser"amos que 1,' x + 1,y ≤ % :00 no impone ninguna restricci+n nue"a. El má-imo se alcan2a en el punto M (0, 1 000). or tanto, deben #abricarse 1 000
