Procesamiento de Minerales y Materiales I
KOBASHICAWA C HINEN, Juan Antonio Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica Lima-Perú Ciclo: 2007 - I Actualizado al: May 28, 2007
Overview Overview Introducción Balance de Masa
Introducción Balance de Masa
Corrección de Leyes
Corrección de Leyes
Caracterización de las partículas
Caracterización de las partículas
Conminución
Conminución
Trituración Tamizado Industrial
Trituración Tamizado Industrial
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Introducción
Procesamiento de minerales Overview
Mineral proveniente de la mina
Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes
Planta conc.
Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Concentrado
Relave Mineral valioso Mineral no-valioso
Figura 1: Esquema del procesamiento de minerales.
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución
1. Liberar el mineral valioso. Reducción
de tamaños
Clasificación
por tamaños
2. Separar el mineral valioso del estéril (concentración). Flotación. Gravimetría.
Trituración
Electrostática.
Tamizado Industrial
Magnética. Escogido
selectivo.
Balance Metalúrgico Overview Introducción Procesamiento de minerales
Por ejemplo: Se tiene una planta X la cual extrae Cobre (como calcopirita), y:
Balance Metalúrgico
procesa 100000 toneladas
¿Por qué procesar/concentrar minerales?
con
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
una ley de cabeza de 1.3%Cu,
reporta y
diarias (i.e. gran minería),
una recuperación del 92.5%
una ley de concentrado de 27.6%.
Conminución Trituración Tamizado Industrial
Contenido metálico El contenido metálico de Cobre (en este caso Cobre fino ) que ingresa a la planta es:
Contenido metálicoAlimento = 100000 1.3% = 1300tCu /d
·
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa
Recuperación La recuperación se define/calcula según:
Contenido metálico en el Concentrado Contenido metálico en el Alimento Por lo que el contenido metálico en el concentrado será: Recuperación =
Contenido metálicoConcentrado = 1300tCu /d 92.5% = 1202.5tCu /d
·
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Y la ley en el concentrado se define como según como: Contenido metálico en el Concentrado Ley en el concentrado = Peso total del Concentrado
Conminución Trituración Tamizado Industrial
(1)
Por lo que el peso1 del concentrado será: Peso total del Concentrado = 1
1202.5tCu /d = 4356.9t/d 27.6%
En realidad es Flujo, al estar expresado en masa/tiempo
(2)
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Radio de Concentración
El radio de concentración se calcula según:
Radio de concentración =
Flujo alimentado Flujo del concentrado 100000t/d = 22.95 4356.9t/d
(3)
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Porcentaje de Calcopirita en el Concentrado - Aproximado Si asumimos que todo el Cobre esta presente como Calcopirita ( caso no-real) la ley máxima de Cobre que tendría el concentrado sería la ley de un Concentrado
perfecto (i.e. solo existe el(los) mineral(es) deseado(s)2 .) La ley de Cobre en un Concentrado perfecto de Calcopirita se calcula según: P.A. Cu 63.546 % Cu - Conc. Perfecto = = P.M. CuF eS 2 63.546 + 55.845 + 2 32.065 = 34.63%
·
Tómese en cuenta, que un concentrado de Calcopirita nunca superará la ley de 34.63% de Cobre.
2
se coloca en plural en caso de que el concentrado sea Bulk
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales?
La cantidad de Calcopirita que existe en el concentrado sería:
1202.5tCu /d Peso total de Calcopirita = = 3472.8t/d 34.63% Por lo que el porcentaje de Calcopirita en el concentrado es:
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
% de calcopirita en el concentrado =
3472.8 = 79.7% 4356.9
Tómese en cuenta que este es el porcentaje máximo de calcopirita en el concentrado debido a que se ha asumido que todo el Cobre está presente solo como Calcopirita. Se cumple que: % de calcopirita en el concentrado =
=
% Cu en concentrado % Cu en concentrado perfecto 27.6% = 79.7% 34 63%
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración
Es la fracción que esta presente un elemento (compuesto) M en un flujo F respecto a la alimentación. La recuperación es un caso particular, en donde el flujo F es el Concentrado. La cantidad de Cobre que se va al relave es: Porcentaje de Distribución
Contenido metálicoRelave = Contenido metálicoAlimento Contenido metálicoRelave =
−Contenido metálicoConcentrado 1300tCu /d − 1202.5tCu /d = 97.5tCu /d
El porcentaje de distribución de Cobre en el Relave será:
Tamizado Industrial
% DistribuciónRelave = % DistribuciónRelave =
Contenido metálico en el Relave Contenido metálico en el Alimento 97.5 = 7.5 1300
Overview Introducción Procesamiento de minerales
En este caso, coincide también que: % DistribuciónRelave = 100%
Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa
− % DistribuciónConcentrado
Obsérvese que en este caso: % DistribuciónConcentrado = % Recuperación de Cobre
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
La cantidad de relave producido será: FlujoRelave = FlujoAlimento
= 100000
− FlujoConcentrado
− 4356.9 = 95643.1t/d
Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
La ley del relave será: LeyRelave =
Contenido metálicoRelave FlujoRelave
LeyRelave =
97.5tCu /d = 0.102% 95643.1t/d
Overview
El balance metalúrgico se resume en la Tabla 1:
Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Tabla 1: Balance Metalúrgico (solo Cobre) Flujos (t/d) Ley Cu (%) Distribución (%) Alimento 100000.0 1.300% 100.0% Concentrado 4356.9 27.600% 92.5% Relave 95643.1 0.102% 7.5%
R. C.
22.95
¿Por qué procesar/concentrar minerales? Overview Introducción Procesamiento de minerales Balance Metalúrgico ¿Por qué procesar/concentrar minerales? Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Overview Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca Otros Flujos Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Balance de Masa
Balance de Masa Overview
Todo lo que entra es igual a lo que sale (Sólidos y líquidos)
Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca Otros Flujos Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Por ejemplo, se tiene el siguiente circuito de molienda (ver Figura 2), en el cual se deben de completar los cuadros del diagrama de flujos. Se procesa a 250t/h un mineral de densidad de 2.65g/cc. El circuito es cerrado e inverso.
Alimento fresco
Agua al molino
250 2.65 1
0 1
Underflow del hidrociclón
Overflow del hidrociclón
2.65 1
75%
2.65 1
75% Agua al sumidero
Descarga del molino
0
Fracción de sólidos al Overflow
2.65 1
1
30% 45%
65%
Alimento al hidrociclón
2.65 1 50%
Leyenda Sólidos (t/h)
Sólidos (g/cc) Sólidos (m3/h)
Líquido (t/h)
Líquido (g/cc) Líquido (m3/h)
Pulpa (t/h)
Pulpa (g/cc)
% de sólidos
Dilución
Pulpa (m3/h)
Figura 2: Ejemplo de Balance de masa en un circuito de molienda cerrado e inverso.
Alimentación Fresca Overview
El flujo de solidos (m3 /h) se estima según:
Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca
Volúmen Sólidos
Otros Flujos Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Volúmen Sólidos (Nota: 1g/cc = 1t/m3 )
m3
h
m3 h
= =
Peso Sólidos
t h
Densidad Sólidos
t m3
250t/h 3 /h = 94.3m 3 2.65t/m
(4) (5)
Overview
El Porcentaje de Sólidos se define como:
Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca
% Sólido =
Otros Flujos
=
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución
Peso Sólido Peso Pulpa Peso Sólidos Peso Sólido + Peso Líquido
por lo que el peso de líquido puede calcularse según:
Trituración Tamizado Industrial
Peso Líquido = Peso Líquido
t h
=
− · − ·
1 %S 1 0.75
1
Peso Sólido
1
250
t = 83.3 h
Overview
El Volúmen del Líquido se estima según:
Introducción Balance de Masa Balance de Masa
Volúmen Líquido =
Peso Líquido = 83.3m3 /h Densidad Líquido
Alimentación Fresca Otros Flujos
El Peso de Pulpa se calcula según:
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
Peso Pulpa = Peso Sólido + Peso Líquido
= 250t/h + 83.3t/h = 333.3t/h El Volúmen de Pulpa se calcula según:
Volúmen Pulpa = Volúmen Sólido + Volúmen Líquido
= 94.3m3 /h + 83.3m3 /h = 177.6m3 /h
Overview
La Densidad de pulpa se calcula según:
Introducción Balance de Masa Balance de Masa
Densidad pulpa =
Alimentación Fresca
=
Otros Flujos Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
=
Peso Pulpa Volúmen Pulpa Peso Sólido + Peso Líquido Volúmen Sólido + Volúmen Líquido 333.3t/h 3 = 1.88t/m 177.6m3 /h
Conminución Trituración Tamizado Industrial
La Dilución se define como: Dilución =
=
Peso Líquido :1 Peso Sólido 83.3t/h : 1 = 0.33 : 1 250t/h
Otros Flujos Overview Introducción Balance de Masa Balance de Masa Alimentación Fresca Otros Flujos Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
1. El Peso de Sólidos del Overflow del Hidrociclón es igual al Peso de Sólidos de la Alimentación Fresca. 2. Estimar la Alimentación al Hidrociclón por la fracción de sólidos que se reporta en el Overflow (Peso Alimentación HC Factor = Peso Overflow HC)
·
3. Se cumple que:
Conminución Trituración
Peso Alimentación HC = Peso Overflow + Peso Underflow
Tamizado Industrial
4. EL peso de sólidos que alimenta al molino es igual al del Underflow del Hidrociclón
Alimento fresco
Agua al molino
0 62.7 62.7 0
250 2.65 94.3 83.3 1 83.3 333.3 1.88 177.6 75% 0.33
Agua al sumidero
0 307.7 307.7 0
--0 1 307.7 1 307.7 ---
--0 Underflow del 1 62.7 hidrociclón 1 62.7 305.6 2.65 115.3 --101.9 1 101.9 407.4 1.88 217.2 75% 0.33
Descarga del molino
305.6 2.65 115.3 164.5 1 164.5 470.1 1.68 279.8 65% 0.54
Fracción de sólidos al Overflow
Alimento al hidrociclón
555.6 2.65 209.6 555.6 1 555.6 1111.1 1.45 765.2 50% 1
Overflow del hidrociclón
250 2.65 94.3 583.3 1 583.3 833.3 1.23 677.7 30% 2.33 45%
Leyenda Sólidos (t/h)
Sólidos (g/cc) Sólidos (m3/h)
Líquido (t/h)
Líquido (g/cc) Líquido (m3/h)
Pulpa (t/h)
Pulpa (g/cc)
% de sólidos
Dilución
Figura 3: Balance de masa completo.
Pulpa (m3/h)
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
Corrección de Leyes
Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange
Para poder realizar el balance metalúrgico del circuito mostrado en la Figura 4 cuyas las leyes se presentan en la Tabla 2 se debe de corregir previamente las leyes para hacerlos “matemáticamente consistentes”. Estas correcciones deben de ser lo mínimo posible para que sean los más cercanos a los valores originales.
Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados
1
3
5
Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange
2
4
Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
Figura 4: Circuito de Flotación Bulk Cu-Mo y Zn. 1: Alimento, 2: Concentrado Bulk Cu P b, 3 Relave Bulk, 4: Concentrado de Zinc, 5: Relave General.
−
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
Flujo 1 2 3 4 5
Tabla 2: Leyes de la Planta Concentradora X. Cu (%) Zn (%) Ag (g/t ) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) 1.880 3.504 61.860 237.808 0.012 5.456 42.280 6.714 1236.089 5319.722 0.060 15.811 0.175 0.241 11.219 24.048 0.007 5.196 2.018 58.285 84.880 242.686 0.054 2.397 0.100 0.138 9.900 20.760 0.002 9.870
Pb (%) 0.023 0.432 0.006 0.034 0.002
Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Overview Introducción
Se establece las ecuaciones de balance de masa: Para los Flujos:
Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
F 1 = F 2 + F 3
(6)
F 3 = F 4 + F 5
(7)
Para el elemento i (Balance por contenido metálico): (i)
L1
· F 1 (i) L3 · F 3
(i)
· F 2 + L(i) 3 · F 3 (i) (i) L4 · F 4 + L5 · F 5
= L2
(8)
=
(9)
Ecuaciones normalizadas Overview Introducción Balance de Masa
Si se normaliza los flujos (dividimos entre F 1 , es decir, el flujo de alimentación) obtenemos: Para los Flujos:
Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados
Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
(10)
φ3 = φ4 + φ5
(11)
Para el elemento i (Balance por contenido metálico): (i)
Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange
1 = φ2 + φ3
(i)
L3
(i)
· φ2 + L(i) 3 · φ3 (i) (i) L4 · φ4 + L5 · φ5
L1
= L2
(12)
· φ3
=
(13)
donde:
φk =
F k F 1
Errores debido a los Flujos Normalizados Overview
Los errores son calculados según:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
(i) ∆Q1 (i) ∆Q2
=
(i) L1
=
(i) L3
−
(i) L2
· φ3
−
·
(i) φ2 + L3
(i) L4
· φ4 +
· φ3 (i) L5
· φ5
(14)
(15)
Se establece φ3 y φ4 como flujos independientes, entonces de (10) y (11) obtenemos:
φ2 = 1 φ5 =
− φ3 φ3 − φ4
(16)
(17)
Overview
Si se reemplaza (16) y (17) en (14) y (15):
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
(i) ∆Q1
=
(i)
=
∆Q2
(i) L1
(i) L2
− (i) (i) L3 − L5
− · · − − · (i)
(i)
+ L2
L3
(i)
φ3
L4
φ3
(i)
L5
φ4
(18)
(19)
Si: (i) (i) Ω1−2 = L1 L2 Ω3−5 = L3 L5 (i) (i) Ω2−3 = L2 L3 Ω4−5 = L4 L5 Las ecuaciones de error por flujos se pueden calcular según:
− −
− −
(i)
= Ω1−2 + Ω2−3 φ3
(i)
= Ω3−5 φ3
∆Q1 ∆Q2
(i) (i)
(i)
·
· − Ω(i) 4 5 · φ4 −
(20)
(21)
Cálculo de los caudales normalizados Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange
Si se deriva parcialmente respecto a los flujos independientes e iguala a cero (i) f (φi ) se obtiene los caudales normalizados que minimizan los valores ∆Q1 (i) y ∆Q2 . Adicionalmente se aplican factores de ponderación (i.e. P (i) ) con los cuales se podría hacer influir un elemento químico más que otro(s) en el cálculo en cuestión:
Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
k
f (φi ) =
P (i)
i=1
Donde: k
(i)
P
i=1 k i=1
(i)
P
· ·
2 ∆Q(i) 1
2 ∆Q(i) 2
·
2 ∆Q(i) 1
· · (i)
(i)
(i) Ω3−5
P P
i=1
2
P (i) ∆Q(i) 2
(i) Ω1−2
i=1 k
=
+
i=1
k
=
k
·
(i) + Ω2−3
· φ3 −
· φ3
(i) Ω4−5
(22)
2
· φ4
2
Overview
Derivando con respecto a φ3
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange
(i)
P
(i) Ω1−2 +
i=1 k
P (i)
(i)
(i) Ω2−3
· φ3
· · · (i)
Ω2−3
· − Ω(i) 4 5
Ω3−5 φ3
i=1
−
(i)
φ4
Ω3−5
Simplificando se obtiene: k
· ·
φ3
(i)
P
i=1
Corrección de las leyes
Conminución
· · · ·
+2
Solución
Caracterización de las partículas
k
∂f (φi ) =0 = 2 ∂φ3
k
−φ4
·
2 Ω(i) 2−3
(i)
(i)
k
+
P (i) Ω3−5 Ω4−5 =
i=1
·
−
2
P (i) Ω(i) 3−5
i=1 k
i=1
·
(i)
(i)
P (i) Ω1−2 Ω2−3
·
·
Overview
Derivando con respecto a φ4
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
∂f (φi ) =0=2 ∂φ4
k
· · (i)
P
(i) Ω3−5
i=1
· φ3 −
(i) Ω4−5
· φ4
· − (i)
Ω4−5
Simplificando se obtiene: k
−φ3
· i=1
(i)
(i)
P (i) Ω3−5 Ω4−5 + φ4
·
·
k
· i=1
2
P (i) Ω(i) 4−5 = 0
·
k (i) i=1 P
·
2 2 Ω(i) 2−3 + ki=1 P (i) Ω(i) 3−5 (i) (i) k (i) P Ω Ω 3−5 4−5 i=1 (i) k (i) P Ω 1−2 i=1
−
·
·
·−
− · · · ·
0
k (i) i=1 P k (i) i=1 P (i) Ω2−3
Los flujos φ¯2 y φ¯5 se calculan utilizando (16) y (17) respectivamente.
(i) (i) Ω3−5 Ω4−5 2 Ω(i) 4−5
·
· φ¯3 φ¯4
=
Parte II: Corrección de las leyes Overview
Calculo de los errores para cada elemento i.
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
(i) ∆M 1 (i) ∆M 2
= =
(i) L1
−
(i) L2
· φ¯2 + · φ¯3 (i) (i) (i) L3 · φ¯3 − L4 · φ¯4 + L5 · φ¯5
Se establece las correcciones como: (i) (i) (i) ¯ (i) L ∆L1 = L1 ∆L 1 4 (i) (i) (i) (i) ¯ L ∆L2 = L2 ∆L 2 5 (i) (i) (i) ¯ L ∆L3 = L3 3
− − −
(i) L3
= =
(i)
L4 (i) L5
− L¯ (i) 4 − L¯ (i) 5
(23)
(24)
Overview
Si se reemplaza en (23) y (24) se obtiene:
Introducción Balance de Masa
(i) ∆M 1
=
Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
(i) ∆L1
+
¯ (i) L 1
− · · − ·
(i) ∆L2
(i) ¯ (i) + ∆L3 + L 3
(i) ∆M 2
=
(i) ∆L3
+
¯ (i) L 3
φ¯3
φ¯3
(i) ¯ (i) + ∆L5 + L 5
Se debe de cumplir lo siguiente:
0 =
¯ (i) L 1
0 =
¯ (i) L 3
− · φ¯3
+
¯ (i) L 2
(i) ∆L4
·
¯ (i) +L 4
φ¯5
¯ (i) L 2
¯ (i) φ¯2 + L 3
·
−
¯ (i) L 4
·
· φ¯3
¯ (i) φ¯4 + L 5
φ¯2
· φ¯5
·
φ¯4
(25)
(26)
Overview
Por lo tanto, los errores por las leyes serán:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
(i) ∆M 1 (i) ∆M 2
= =
(i) ∆L1
−
(i) ∆L2
(i) ∆L3
· φ¯2 + · φ¯3 (i) (i) (i) ∆L3 · φ¯3 − ∆L4 · φ¯4 + ∆L5 · φ¯5
(27)
(28)
Multiplicadores de Lagrange Overview
Se define la función Lagrangiana como:
Introducción Balance de Masa
L(χ, λ)
Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
= f (χ)
− (λ1 · g1(χ) + λ2 · g2(χ))
en donde: L(χ, λ): Función
Lagrangiana.
f (χ): Función objetivo a minimizar. λ1 , λ2 : Son los Multiplicadores de Lagrange. (i)
χ: Son las correcciones (i.e. ∆L1 , . . . ). g1 , g2 : Son las ecuaciones restrictivas (que deben ser iguales a cero).
(29)
Overview
Ecuaciones Restrictivas:
Introducción Balance de Masa
g1 (χ) =
Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange
g2 (χ) =
(i) ∆M 1
(i) ∆L1
(i) ∆L2
− + (i) (i) ∆M 2 − ∆L3 · φ¯3 +
·
(i) φ¯2 + ∆L3
(i) ∆L4
· φ¯4 +
(i) ∆L5
Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados
La función objetivo se define como:
Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes
Los Factores de Ponderación están representados por W (i) .
Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
f (χ) =
(i) W 1
·
(i) 2 ∆L 1
(i) + W 2
·
(i) 2 ∆L 2
+ ...
· φ¯3
(i) + W 5
·
· φ¯5
(30)
(31)
(i) 2 ∆L 5
Overview
Si se deriva L(χ, λ) respecto a las correcciones obtiene:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange
∂ L(χ, λ) (i)
∂ ∆L1
(i)
Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
(i)
= 0 = 2 ∆L1
∆L1
∂ L(χ, λ) (i)
∂ ∆L2
=
− 12 ·
· W 1(i) − λ1 (−1)
λ1 (i) W 1
· W 2(i) − λ1 (φ2) 1 λ1 · φ2 + ·
(32)
(i)
= 0 = 2 ∆L2 (i)
∆L2
=
2
(i) W 2
(33)
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
∂ L(χ, λ) (i)
∂ ∆L3
(i)
· W 3(i) − λ1 (φ3) − λ2 (−φ3) 1 (λ1 − λ2 ) · φ3 + ·
= 0 = 2 ∆L3 (i)
∆L3
=
∂ L(χ, λ) (i)
∂ ∆L4
(i) W 3
2
· W 4(i) − λ2 (φ4) 1 λ2 · φ4 + ·
(34)
(i)
= 0 = 2 ∆L4 (i)
∆L4
=
2
(i) W 4
(35)
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
∂ L(χ, λ) (i)
∂ ∆L5
(i)
· W 5(i) − λ2 (φ5) 1 λ2 · φ5 + ·
= 0 = 2 ∆L5 (i)
∆L5
=
2
(i) W 5
(36)
Overview
Si se deriva L(χ, λ) respecto a los multiplicadores de Lagrange se obtiene:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
∂ L(χ, λ) (i) = 0 = ∆M 1 ∂λ1 ∂ L(χ, λ) (i) = 0 = ∆M 2 ∂λ2
− −
(i) ∆L1 (i) ∆L3
+
(i) ∆L2
· φ¯3 +
·
(i) φ¯2 + ∆L3
(i) ∆L4
· φ¯4 +
· φ¯3
(i) ∆L5
Las expresiones resultantes son idénticas a g1 y g2 , por lo que si se reemplazan las correcciones en dichas ecuaciones se obtiene:
· φ¯5
0 =
(i) ∆M 1 (i)
0 = ∆M 2
1 λ1 2 W (i) 1
− − ·
+
1 λ 1 φ2 ¯ 1 (λ1 λ2 ) φ3 ¯ φ2 + φ3 (i) 2 W (i) 2 W 3 2
· · ·
−
·
· ·
− 21 · (λ1 − λ(i)2) · φ3 · φ¯3 + 12 · λ2 ·(i)φ4 · φ¯4 + 21 · λ2 ·(i)φ5 · φ¯5 W 3
W 4
W 5
Reordenando, resulta la siguiente ecuación matricial:
1 (i) W 1
+
φ¯22
+
(i) W 2 φ¯23 (i) W 3
−
φ¯23
(i) W 3
φ¯23
φ¯23 (i) W 3
− W +
(i) 3 φ¯24 (i) W 4
+
φ¯25 (i) W 5
· λ1 λ2
=
− · 2
∆M 1 ∆M 2
Solución Overview
Tomando como factores de ponderación a:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
Tabla 3: Factores de Ponderación para cada elemento Factores de Ponderación (P (i) ) Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%) 10 7 1 0 1 0 0 Estos factores deben de ser mayores o iguales a cero. A mayores valores, mayor influencia de dicho elemento en el cálculo. Si el factor es cero, dicho elemento es omitido en el cálculo.
Overview
La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
1518330.00 142.26 142.26 29326.31
−
−
φ¯3 φ¯4
· =
1455433.75 0
Los flujos normalizados obtenidos son: φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539
Los porcentajes de distribución3 se presentan en la Tabla 4.
Tabla 4: Balance Metalúrgico: Porcentajes de Distribución Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Alimento 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 Conc. Cu-Mo 93.16 7.94 82.77 92.67 20.71 12.00 Relave Bulk 8.92 6.59 17.38 9.69 55.92 91.29 Conc. Zn 0.50 7.73 0.64 0.47 2.09 0.20 Relave 5.07 3.76 15.27 8.33 15.90 172.57 Obsérvese que podría presentarse valores mayores a 100% (i.e. F e en el Relave).
Pb (%) 100.00 77.81 25.01 0.69 8.30
Corrección de las leyes Overview
Los errores debido a las leyes son:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
Cu (%) ∆M 1 -0.039 0.063 ∆M 2
Tabla 5: Errores debido a las leyes. Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) 2.995 -0.098 -5.609 0.003 -0.172 0.916 2.120 0.005
Fe (%) -0.180 -4.446
Pb (%) -0.001 0.004
Overview Introducción
Los Factores de Ponderación para las leyes son calculados por: Para las leyes en porcentaje:
Balance de Masa
W (i) =
Corrección de Leyes Corrección de Leyes por Multiplicadores de Lagrange Parte I: Cálculo de los flujos normalizados Ecuaciones normalizadas Errores debido a los Flujos Normalizados Cálculo de los caudales normalizados Parte II: Corrección de las leyes Multiplicadores de Lagrange Solución Corrección de las leyes Caracterización de las partículas Conminución
100 [Ley(%) (100 Ley(%))]2
·
−
Para las leyes en (g/t): (i)
W
106 = [Ley(%) (100 Ley(%))]2
·
−
La ecuación matricial para estimar los caudales normalizados resulta:
1518330.00 142.26 142.26 29326.31
−
−
φ¯3 φ¯4
· =
1455433.75 0
Los flujos normalizados obtenidos son: φ2 = 0.0414, φ3 = 0.9586, φ4 = 0.0047, φ5 = 0.9539
Los errores debido a las leyes son:
Cu (%) λ1 -0.00004 λ2 -0.03388
Tabla 6: Multiplicadores de Lagrange. Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) -0.00501 -0.00024 0.00001 -0.91298 0.03808 -1.11982 -0.76337 -2.71182
Fe (%) 0.00056 0.00108
Pb (%) -0.06289 -2.06287
Alimento Conc. Cu-Mo Relave Bulk Conc. Zn Relave
Cu (%) 0.006 -0.046 0.049 -0.031 -0.016
Tabla 7: Correcciones de las leyes. Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) 2.864 0.001 -0.004 0.007 -0.407 -9.931 107.072 -0.007 -0.119 0.532 1.221 0.004 5.233 -0.004 -2.128 -0.002 0.034 -0.425 -0.985 -0.001
Fe (%) -0.745 0.206 -0.599 0.001 4.058
Pb (%) 0.002 -0.024 0.003 -0.001 0.000
Alimento Conc. Cu-Mo Relave Bulk Conc. Zn Relave
Cu (%) 1.874 42.326 0.126 2.049 0.116
Tabla 8: Leyes corregidas. Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) 0.640 61.859 237.812 7.121 1246.020 5212.650 0.360 10.687 22.827 53.052 84.884 244.814 0.104 10.325 21.745
Mo (%) 0.005 0.067 0.003 0.056 0.003
Fe (%) 6.201 15.605 5.795 2.396 5.812
Pb (%) 0.021 0.456 0.003 0.035 0.002
Alimento Conc. Cu-Mo Relave Bulk Conc. Zn Relave
Tabla 9: Porcentajes de Distribución Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 93.58 46.06 83.44 90.80 50.98 6.42 53.94 16.56 9.20 49.02 0.51 38.52 0.64 0.48 4.78 5.91 15.42 15.92 8.72 44.24
Fe (%) 100.00 10.42 89.58 0.18 89.40
Pb (%) 100.00 88.55 11.45 0.75 10.70
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
Caracterización de las partículas
Tamaño de partícula Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes 1
Caracterización de las partículas
c m
Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos
2 cm
Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
Figura 5: ¿Cual es el tamaño de la partícula? (¿1cm?, ¿2cm?, ¿1.5cm?), . . .
Por ejemplo: Un elipsoide Overview
La ecuación para el elipsoide es:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide
x2 x2 x2 + 2 + 2 =1 2 a b c Para los diámetros: dx = 2.4cm, dy = 2.2cm, dz = 9.4cm (i.e. a = 1.2cm, b = 1.1cm, c = 4.7cm) El área superficial es:
Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
ElipsoideArea = 54.69cm2 El volúmen es:
ElipsoideV olumen = 25.99cm3
(37)
Overview Introducción
El diámetro de superficie es el diámetro de una esfera que tiene la misma área de superficie que la partícula.
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
dS
Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos
Area = π = 4.17cm
1/2
= 54.69cm2
El diámetro de volúmen es el diámetro de una esfera que tiene el mismo volúmen que la partícula.
Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
dV
·
V olumen = 6 π = 3.67cm
1/3
= 25.99cm2
Overview Introducción Balance de Masa
Por los diámetros se entiende que la partícula no es mayor que 9.4cm ni menor de 2.2cm El diámetro promedio geométrico resulta
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos
(2.4 2.2 9.4)(1/3) cm = 3.68cm
·
·
El diámetro promedio aritmético resulta
2.4 + 2.2 + 9.4 cm = 4.67cm 3 El diámetro promedio armónico resulta
Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
3 1 2.4
+
1 2.2
+
1 cm 9.4
= 3.07cm
Análisis Granulométrico Overview Introducción Balance de Masa
Mallas Difracción
láser
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
Procesamiento Elutriación Microscopía Sedimentación Conteo
...
de imágenes
Función de densidad de Probabilidad Overview Introducción
La función de densidad de probabilidad puede expresarse en función de la fracción acumulada pasante (F ) según:
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula
f i (x) =
dF i (x) dx
Donde:
Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
Tabla 10: Notación del subíndice i i Método 0 Conteo 1 Longitud 2 Area 3 Volúmen
(38)
se cumple que: Overview
La fracción acumulada pasante respecto a x es:
Introducción
x
Balance de Masa
(39)
0
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
f i (x)dx = F i (x)
La fracción que se encuentra en el intervalo < xM in , xM ax >
Tamaño de partícula
xM ax
Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos
(40)
Donde xP es el tamaño promedio del intervalo en cuestión, el cual puede ser calculado por: Media Aritmética
xM in +xM ax 2
Trituración Tamizado Industrial
xM in
Ejemplo Conminución
f i (x)dx = pi (xP )
Media Geométrica
√ xM in · xM ax
se cumple que: Overview
Aproximando 38 se obtiene
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
f i (xP )
≃
F i (xM ax ) ∆F i (x) = xM ax ∆x
− F i(xM in) = pi(xP ) xM ax − xMin − xM in
∞
f i (x)dx = 1
(100%)
0
En forma discreta, siendo n el número de intervalos de tamaño. n
pi (x) = 1
i.t.=1
(100%)
Estadísticos Overview
Media:
Introducción
∞
Balance de Masa
·
0 x f (x)dx = ∞ 0 f (x)dx
µ =
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos
Varianza: ∞
σ2 =
Trituración Tamizado Industrial
0
(x
∞
0
Ejemplo Conminución
−
σ2 =
·
µ)2 f (x)dx = f (x)dx
·
·
·
n
=
xP pi (xP )
i.t.=1
·
∞
0
n 2 µ) pi (xP ) (x P i.t.=1 n i.t.=1 pi (xP )
−
x f (x)dx
0
n i.t.=1 xP pi (xP ) n i.t.=1 pi (xP )
µ =
Tamaño de partícula
∞
=
(x
− µ)2 · f (x)dx
n
i.t.=1
− µ)2 · pi(xP )
(xP
Overview
Desviación Estándar:
σ=
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
Coeficiente de Variación:
√ 2 σ
σ C.V. = µ
Conversión de Análisis Granulométricos Overview Introducción
Las ecuaciones generales son: En forma contínua:
xk− j f j (x) f k (x) = ∞ k− j f j (x)dx 0 x
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
En forma discreta:
Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
f k (xP ) =
·
·
xkP − j f j (xP )
·
k− j n i.t.=1 xP
· p j (xP )
(41)
(42)
Ejemplo Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes
Por ejemplo, se desea convertir las Fracciones en Número a Fracciones en Peso de la distribución de bolas del molino de Bond (para determinar Work Index). La carga es la siguiente:
Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
Tabla 11: Carga de bolas del molino de Bond i.t. φ (pulg) # de Bolas % en Número ( p0 ) 1 1.500 25 8.77 2 1.250 39 13.68 3 1.000 60 21.05 4 0.875 68 23.86 5 0.750 93 32.63 Total 285 100.00
Overview Introducción
Estimar la función densidad de probabilidad a partir de las Fracciones en Número.
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
f 0 (xP ) =
p0 (xP ) xM ax xM in
Donde se Obtiene: i.t. 1 2 3 4 5
Diam (pulg) 1.500 1.250 1.000 0.875 0.750
xM ax 1.625 1.375 1.125 0.9375 0.8125
−
xM in 1.375 1.125 0.875 0.8125 0.6875
∆x 0.250 0.250 0.250 0.125 0.125
f 0 0.351 0.547 0.842 1.909 2.611
Overview Introducción
Por ejemplo para convertir la función de densidad de probabilidad en Numero a Area será: j = 0 (número) y k = 2 (área) en (42), con lo que resulta:
Balance de Masa Corrección de Leyes
f 2 (xP ) =
Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo
Tamizado Industrial
·
·
Por ejemplo, para el primer intervalo de tamaños (bolas de diámetro 1.5′′ )
f 2 (1.5) =
1.52
·
1.52 0.351 = 0.799 2 2 0.0877 + 1.25 0.1368 + . . . + 0.75 0.3263
·
·
·
Para las bolas de 1.25′′
Conminución Trituración
x2P f 0 (xP ) n 2 i.t.=1 xP p0 (xP )
f 2 (1.25) =
1.52
·
1.252 0.547 = 0.866 0.0877 + 1.252 0.1368 + . . . + 0.752 0.3263
·
·
·
Overview
Estimar las fracciones en número según:
Introducción Balance de Masa
p2 (xP ) = f 2 (xP ) (xM ax
·
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
− xM in)
Por lo que para el primer intervalo de tamaños la fracción en área resulta:
p2 (1.5) = 0.799 (1.625
·
− 1.375) = 0.1998
(19.98%)
Para el segundo intervalo, la fracción resulta:
p2 (1.25) = 0.866 (1.625
·
− 1.375) = 0.2164
(21.64%)
Resultados Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución Trituración Tamizado Industrial
φ (pulg) 1.500 1.250 1.000 0.875 0.750
Tabla 12: Resultado de las conversiones utilizando (42) fdp Fracciones f 0 f 1 f 2 f 3 p0 p1 p2 0.351 0.544 0.799 1.105 8.77 13.61 19.98 0.547 0.708 0.866 0.998 13.68 17.70 21.64 0.842 0.871 0.852 0.786 21.05 21.78 21.31 1.909 1.728 1.479 1.194 23.86 21.60 18.49 2.611 2.025 1.486 1.028 32.63 25.32 18.58
p3 27.63 24.95 19.65 14.92 12.85
Resultados Overview Introducción
Para el caso de bolas, la forma más simple de obtener dichos resultados es (cálculos solo para el primer intervalo de tamaños):
Balance de Masa Corrección de Leyes
Por Número
Caracterización de las partículas
#Bolas(xP ) n i.t.=1 #Bolas(xP ) 25 25 + . . . + 93
p0 (xP ) =
Tamaño de partícula
Por ejemplo: Un elipsoide
p0 (1.5) =
Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo Conminución
Por Longitud
Trituración Tamizado Industrial
p1 (xP ) = p (1 5)
xP #Bolas(xP ) n i.t.=1 xP #Bolas(xP ) 1.5 25
·
·
·
0 1361 (13 61%)
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Tamaño de partícula
Por Area
p2 (xP ) = p2 (1.5) =
Por ejemplo: Un elipsoide Análisis Granulométrico Función de densidad de Probabilidad Estadísticos Conversión de Análisis Granulométricos Ejemplo
Tamizado Industrial
· · · · π · 1.52 · 25 = 0.1998 2 2 π · 1.5 · 25 + . . . + π · 0.75 · 93
(19.98%)
Por Volúmen
p3 (xP ) =
Conminución Trituración
π x2P #Bolas(xP ) n 2 i.t.=1 π xP #Bolas(xP )
p3 (1.5) =
π 3 6 xP #Bolas(xP ) n π 3 i.t.=1 6 xP #Bolas(xP ) π 3 1.5 25 6 π 3 25 + . . . + π 0.753 1.5 6 6
· ·
·
·
· ·
·
·
· 93 = 0.2763
(27.63%)
i.t. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Malla -1/2" +m3/8" -3/8" +m3 -m3 +m4 -m4 +m6 -m6 +m8 -m8 +m10 -m10 +m14 -m14 +m20 -m20 +m28 -m28 +m35 -m35 +m48 -m48 +m65 -m65 +m100 -m100 +m150 -m150 +m200 -m200 +m270 -m270 +m400 m400
Tamaño (µm) Maximo Minimo Promedio 12700 9500 10984 9500 6800 8037 6800 4750 5683 4750 3400 4019 3400 2360 2833 2360 1700 2003 1700 1180 1416 1180 850 1001 850 600 714 600 425 505 425 300 357 300 212 252 212 150 178 150 106 126 106 75 89 75 53 63 53 38 45 38 0 19
% en Peso 0.03 0.43 2.03 4.17 6.97 9.59 10.94 10.80 9.91 8.42 7.12 6.10 5.23 4.38 3.85 2.91 2.14 4 98
Fracciones Acumuladas Retenidas Pasantes 0.03 99.97 0.46 99.54 2.49 97.51 6.66 93.34 13.63 86.37 23.22 76.78 34.16 65.84 44.96 55.04 54.87 45.13 63.29 36.71 70.41 29.59 76.51 23.49 81.74 18.26 86.12 13.88 89.97 10.03 92.88 7.12 95.02 4.98 100 00 0 00
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial
Conminución
Conminución Overview Introducción Balance de Masa
Para
liberar el mineral valioso.
Primera etapa de conminución: Voladura.
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial
Trituración Ultima
etapa de conminución: Molienda.
Trituración Overview Introducción
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Fracturamiento
Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial
Reduce de tamaño las partículas provenientes de la mina (Run of Mine ore) para que puedan ser molidas.
Superficies del medio (e.g. quijada fija, quijada movil, rodillos, cono, . . . ) son rígidas o con movimiento restringido.
Generalmente
de partículas por Compresión o por Impacto.
en seco.
Varias etapas. Los radios de reducción en cada una varían entre 3 a 6.
Molienda Overview Introducción Balance de Masa
Última
etapa de conminución.
Fracturamiento
de partículas por Abrasión y por Impacto.
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Conminución Trituración
Los medios moledores no estan conectados (i.e caída libre de dichos medios)
Medios
moledores:
Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR)
Bolas
Energía
Barras
Trituración Tamizado Industrial
Guijarros El
(Pebbles)
mismo mineral
Generalmente
en húmedo.
High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Overview Introducción Balance de Masa
Comprime Produce
la cama de partículas.
fracturas internas en las partículas (microcracking).
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Radio de reducción mayor que en trituradoras de rodillos convencionales.
Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía
Beneficios
posteriores:
Menor
consumo energético en molienda.
Mejora
en la lixiviación.
Trituración Tamizado Industrial
Mas
eficiente (entre 20 a 50%) que trituradoras convencionales o molinos .
Energía Overview Introducción
Una pequeña fracción de la energía se utiliza en fracturar las partículas. La mayor parte la absorbe la máquina.
Agua reduce la energía requerida en conminución. Así mismo existen reactivos químicos que se adsorben en el sólido y que disminuyen la energía requerida.
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial
Teoría de Von Rittinger (1867) Overview Introducción
Energía
consumida es proporcional al área de la nueva superficie producida
Balance de Masa Corrección de Leyes
Area superficial es inversamente proporcional al diámetro.
Caracterización de las partículas
E = K R
Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial
Donde:
Di Tamaño inicial de la partícula Df Tamaño final de la partícula
·
1 Df
− D1
i
Teoría de Kick (1885) Overview Introducción Balance de Masa
Trabajo requerido es proporcional a la reducción en volúmen de las partículas.
Corrección de Leyes
R · log log2
Caracterización de las partículas
E = K K
Conminución Conminución
Donde:
Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR)
R Radio de reducción (R = f /p)
Energía
f Diámetro de partículas alimentadas.
Trituración Tamizado Industrial
p Diámetro de partículas del producto.
Teoría de Bond (1952) Overview Introducción
Trabajo requerido es proporcional a la longitud de la fractura producida.
Balance de Masa Corrección de Leyes
W = 10 W i
·
Caracterización de las partículas Conminución
Donde:
· √
1 P 80
1 F 80
− √
Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR)
W i Work Index. F 80 Tamaño X 80 del Alimento.
Energía Trituración
P 80 Tamaño X 80 del Producto.
Tamizado Industrial
Work Index
Expresa la resistencia de un material a la fragmentación.
(43)
Ecuación general de Hukki (1975) Overview Introducción
Plantea
una ecuación general.
Balance de Masa
Kick Partículas mayores a 1cm.
Corrección de Leyes
Bond Partículas en molienda con barras y/o bolas.
Caracterización de las partículas Conminución Conminución Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial
Rittinger Partículas en molienda fina 10
− 1000µm
Propuesta de Morrell (2004) Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes
Basado en la evaluación de Hukki.
Ha sido demostrado que es válido en la mayoría de circuitos modernos (i.e. 0.1 100mm).
−
Caracterización de las partículas Conminución Conminución
W = K M i
·
Trituración Molienda High Pressure Grinding Rolls (HPGR) Energía Trituración Tamizado Industrial
·
1 f (P 80
P 80
− )
1 f (F 80 )
F 80
Donde:
M i Material Index. Relacionado con la propiedad de fractura del mineral. K Constante para balancear las unidades de la ecuación.
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
Trituración
Modelo de Whiten Overview Introducción Balance de Masa
Propuesto
por Whiten (1972)
Modelo Estático (existe un modelo dinámico propuesto por Oblad).
Mecanismo de trituración modelado como una combinación de clasificación y fractura de las partículas minerales.
Aplicable a trituradoras de quijada, giratorias y cónicas (Standard o de Cabeza Corta -Short Head-).
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
Opening En esta operación, el material se dirige hacia abajo (zona de
descarga) y parte del material es retenido y la otra parte sale de la trituradora como producto (mecanismo de Clasificación) (ver la Figura 6). Nipping En esta operación, el material es comprimido y fragmentado
(mecanismo de Fractura).
Esquema de la trituradora Overview Introducción Balance de Masa
Alimento (A)
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Nipping Conminución
Opening Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
Material en la Trituradora (T)
Producto (P)
Figura 6: Esquema de la fragmentación en una Trituradora
Nomenclatura Overview Introducción
N : i :
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo
pF i pi M bi,j
: : : :
mi
:
ci
:
W
:
Tamizado Industrial
Número de intervalos de tamaños Subíndice para designar un intervalo de tamaños i = 1, 2, , N i = 1 Corresponde al intervalo de partículas más gruesas i = N Corresponde al intervalo de partículas más finas Fracción en peso del Alimento en el intervalo de tamaños i Fracción en peso del Producto en el intervalo de tamaños i Masa retenida en el triturador Función Fractura o fracción de partículas que aparecen en el intervalo de tamaños i proveniente de la reducción de material del intervalo de tamaños j Fracción en peso del material en la trituradora correspondiente al intervalo de tamaños i c(di ) Fracción en peso de material en el intervalo de tamaños i que es retenido para fracturarse en el siguiente ciclo. Masa total del alimento que es aceptado en un ciclo. Masa del producto descargado
·· ·
Balance de Masa Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
Tabla 13: Descripción de balance de masa en la trituradora Para el intervalo de tamaños i Muestra Masa total Masa Fracción en peso A Alimento W W pF pF i i T En la trituradora M M mi mi P Producto W W pi i pi
Material en la Trituradora Overview Introducción Balance de Masa
La cantidad de masa en el intervalo de tamaños i presente en la trituradora es la suma del material fresco que ingresa a la trituradora y el material que ha sido fracturado, clasificado y retenido, por lo tanto:
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo
W pF i Es el material fresco perteneciente al intervalo de tamaños i que ingresa a la trituradora. c j M m j bi,j Es la fracción del material de intervalo de tamaño inicial j que ha sido clasificado y fracturado al intervalo de tamaños i el cual permanece en la trituradora.
Tamizado Industrial
M mi = W pF i + c1 M m1 bi,1 + c2 M m2 bi,2 +
·· · + ci M mibi,i
La expresión anterior puede expresarse como:
M mi = W 1
i−1
1 b
pF i +
c j
M m j bi,j W
(44)
Producto de la Trituradora Overview Introducción Balance de Masa
El producto de la trituradora correspondiente al intervalo de tamaños i corresponderá al material que ha sido clasificado y pasado por la trituradora, por lo tanto, puede establecerse que:
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución
(1
Es la fracción del material de intervalo de tamaño i que ha sido clasificado y descargado de la trituradora. Es decir:
− ci)M mi
Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
W pi = (1
− ci)M mi
La expresión anterior puede expresarse como:
pi = (1
M mi − ci) W
(45)
Modelo Matemático Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
El modelo corresponde a (44) y (45). Para tener un modelo más fácil de manejar y que represente a todos los intervalos de tamaño se convertirán en expresiones matriciales (ver Figura 7), por lo tanto: Los análisis granulométricos son expresados como vectores columna de tamaño N , la suma de los componentes de cada vector debe de sumar uno (100%).
pF
M W m
= pF + b c
M W
m
Función de Clasificación
p = (I
c M b c W m
M c W m
Función Fractura b
Figura 7: Diagrama de bloques del modelo de la trituradora
− c)
M W
m
Análisis granulométrico del alimento Overview Introducción
Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del alimento fresco a la trituradora.
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
pF (N ×1)
=
pF 1 pF 2 pF 3 pF 4 .. . pF N −1 pF N
N F i=1 pi
=1
Análisis granulométrico del material en la trituradora Overview Introducción
Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del material en la trituradora.
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
m(N ×1) =
m1 m2 m3 m4 .. . mN −1 mN
N i=1 mi
=1
Análisis granulométrico del producto Overview Introducción
Vector columna correspondiente al análisis granulométrico del producto de la trituradora.
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
p(N ×1) =
p1 p2 p3 p4 .. . pN −1 pN
N i=1 pi
=1
Matriz de Clasificación Overview Introducción
Los valores ci de la Matriz de Clasificación están entre el rango de 0 (pasa todo por la trituradora) y 1 (retiene todo en la trituradora)
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
c(N ×N ) =
c1 0 0 0 0 c2 0 0 0 0 c3 0 0 0 0 c4 .. .. .. .. . . . . 0 0 0 0 0 0 0 0
... ... ... ... .. .
0 0 0 0 .. .
0 0 0 0 .. .
. . . cN −1 0 ... cN 0
Matriz de la Función Fractura Overview Introducción
Los valores de bi,j están en el rango de 0 a 1 y deben de cumplir que la suma de los componentes en cada columna sea uno (100%).
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
b(N ×N ) =
b1,1 b2,1 b3,1 b4,1 .. .
0 b2,2 b3,2 b4,2 .. .
0 0
0 0 0
b3,3 b4,3 .. .
b4,4 .. .
... ... ... ... .. .
0 0 0 0 .. .
0 0 0 0 .. .
bN −1,1 bN −1,2 bN −1,3 bN −1,4 . . . bN −1,N −1 0 bN,1 bN,2 bN,3 bN,4 . . . bN,N −1 bN,N N
i=1
bi,j = 1
;
∀ j
Overview Introducción
El modelo matricial es derivada de (44) y (45) (recuérdese que son modelos en Régimen Permanente - Steady State -) y se expresan de la siguiente manera:
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
M M F m=p +bc m W W M m = (I W
− b c)
1
−
pF
(46)
M (47) p = (I c) m W Si se reemplaza (46) en (47) se obtiene el modelo matricial de la trituradora:
−
− c) (I − b c) 1 pF Donde I es la matriz Identidad de tamaño (N × N ). p = (I
−
(48)
Función Clasificación Overview
La función de Clasificación puede ser simplificada mediante:
Introducción
1
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
−
ci =
0 1
d2 −dpi d2 −d1
n
Si d1 < dpi < d2 Si dpi Si dpi
≤ d1 ≥ d2
(49)
Parámetro de Control Overview Introducción Balance de Masa
El control de la granulometría del producto de las trituradoras cónicas (Standard y de Cabeza Corta) se hace variando la abertura de la trituradora (Closed Side Set - CSS). Para esto se tiene las siguientes relaciones:
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
d1 = α1 CSS
Conminución
d2 = α2 CSS + d∗
Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
Donde los rangos son:
0.5 α1 0.95 1.7 α2 3.5 1
n
3
d∗
∼
0
(50) (51)
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Open Side Set (OSS) Abertura máxima de la descarga de la trituradora (ver
Figura 8) Closed Side Set (CSS) Abertura mínima de la descarga de la trituradora Throw Es la distancia definida como: Throw
Conminución
= OSS
− CSS
Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
CSS
OSS
Figura 8: Esquema: Open Side Set (OSS) (Abertura máxima de descarga) y Closed Side Set (CSS) (Abertura mínima de descarga)
Función Fractura Overview
La función Acumulativa de Fractura B se puede representar mediante:
Introducción Balance de Masa
B(x, y) =
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
K
1
x y
n1
+ (1
− K )
x y
n2
Para x < y Para x
Donde:
≥y
Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
: : :
x y K , n1 , n2
Tamaño Mínimo de partículas del intervalo i Tamaño Promedio de partículas del intervalo j Parámetros a estimar
Donde los rangos son: 0 1 K
≤
n1 n2
= =
≤
0.5 Para trituradoras Standard y de Cabeza Corta
2.5 Para trituradoras de Cabeza Corta 4.5 Para trituradoras Standard
(52)
Matriz de la Función Fractura Acumulada Overview
Los elementos de la matriz b se calcularán mediante:
Introducción Balance de Masa
bi,j = B(Di−1 , dp j )
Corrección de Leyes
b j,j = 1
Caracterización de las partículas Conminución
− B(D j , dp j )
Se cumple también:
Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
− B(Di , dp j )
i
Bi,j = 1
− k=1
bk,j
;
∀ j
(53) (54)
Para evitar el cálculo tedioso de los parámetros de la matriz b, es posible determinarlo mediante una expresión matricial, para esto se define: Esta matriz se obtiene a partir de (52)
B(N ×N ) =
B1,1 B2,1 B3,1 B4,1 .. .
1 B2,2 B3,2 B4,2 .. .
1 1 B3,3 B4,3 .. .
1 1 1 B4,4 .. .
... ... ... ... .. .
1 1 1 1 .. .
1 1 1 1 .. .
BN −1,1 BN −1,2 BN −1,3 BN −1,4 . . . BN −1,N −1 1 BN,1 BN,2 BN,3 BN,4 . . . BN,N −1 BN,N
Matriz de Transformación R Overview
Esta matriz, es una matriz triangular inferior de valores 1.
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
R(N ×N ) =
1 1 1 1 .. .
0 1 1 1 .. .
0 0 1 1 .. .
0 0 0 1 .. .
... ... ... ... .. .
0 0 0 0 .. .
0 0 0 0 .. .
1 1 1 1 ... 1 0 1 1 1 1 ... 1 1
Matriz de Transformación Ones Overview
Esta es una matriz cuyos elementos son 1.
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
Ones(N ×N ) =
1 1 1 1 .. .
1 1 1 1 .. .
1 1 1 1 .. .
1 1 1 1 .. .
... ... ... ... .. .
1 1 1 1 .. .
1 1 1 1 .. .
1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 ... 1 1
Overview
La relación se expresa de la siguiente manera:
Introducción
B = Ones
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
−Rb
Por lo tanto, la matriz de Fractura b se calculará por la siguiente ecuación: b = R−1 (Ones
Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo
Matriz R−1
− B)
(55)
La matriz R−1 queda resuelta como:
Tamizado Industrial
1 R− (N ×N N )) =
−
1 1 0 0 .. .
0 1 1 0 .. .
−
0 0
0 0
... ... ... ... .. .
0 0 1 1 .. .
0 0 0 1 .. .
0 0
0 ... 0 ...
−
0 0 0 0 .. .
0 0 0 0 .. .
1 0 1 1
−
Cálculo de los parámetros del modelo Overview
Datos requeridos
Introducción
de disponer de:
Balance de Masa Corrección de Leyes
Para poder calcular los parámetros del Modelo, se deberá
1. Análisis Granulométrico del Alimento
Caracterización de las partículas
2. Closed Side Set (CSS )
Conminución
3. Análisis Granulométrico del Producto referido al CSS .
Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo Tamizado Industrial
Los parámetros que debemos de calcular son los referidos a las matrices de Clasificación (c) y de Fractura (b). Cantidad de parámetros a calcular
Matriz de Clasificación : N N (N + 1) Matriz de Fractura : 2 N (N + 1) Cantidad total de parámetros : N +
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Debido a la gran cantidad de parámetros, es posible reducirlos si es que se utilizan las ecuaciones (49) y (52). Es decir, en lugar de calcular N + N (N 2+1) se calcularán solo siete parámetros, cuatro para la ecuación de Clasificación (α1 , α2 , d∗ y n) y tres para la función Fractura (K , n1 y n2 ). Cálculo utilizando Regresión No Lineal
Conminución Trituración Modelo de Whiten Cálculo de los parámetros del modelo
La Regresión No Lineal consiste básicamente en minimizar la siguiente función: Función a minimizar
N
Tamizado Industrial
C (Θ) =
pData i
i=1
Vector de parámetros
Θ=
−
2 pModelo i
K n1 n2 α1 α2 n d
(56)
∗
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Tamizado Industrial
Tamizado Industrial Overview Introducción Balance de Masa
Clasificar
las partículas por tamaño.
Eficiencia disminuye con la finura del material
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución
Desde Seco:
∼ 30cm hasta ∼ 40µm
Limitado hasta un tamaño de 5mm
Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Húmedo:
Comúnmente hasta 250µm
Tamaños
menores de 250µm se pueden aplicar otros métodos (e.g. Hidrociclones, Stokes, . . . ).
La superficie consta de muchas aberturas u hoyos (normalmente de dimensiones uniformes).
Eficiencia Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución
No existe un método aceptado universalmente para determinar la eficiencia.
Consideraciones:
Tomando un tamiz de abertura xZ
Trituración
Alimentación F (t/h)
Tamizado Industrial
Producto
grueso Oversize (Coarse) C (t/h) (i.e. material que queda retenido en el tamiz).
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Producto
fino Undersize U (t/h) (i.e. material que pasa a través del tamiz).
f : Fracción mayor a xZ en el Alimento. f = GF (xZ )
c: Fracción mayor a xZ en el Oversize. c = GC (xZ )
u: Fracción mayor a xZ en el Undersize. u = GU (xZ )
G(x) es la Fracción Acumulada Retenida.
Balance de Masa Overview
General:
Balance de Masa Corrección de Leyes
f F = c C + u U
·
Conminución
·
·
(58)
Material Fino (Undersize)
Tamizado Industrial
(1
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
(57)
Material Grueso (Oversize)
Caracterización de las partículas
Trituración
F = C + U
Introducción
− f ) · F = (1 − c) · C + (1 − u) · U
Por lo que:
C f = F c
− u −u U c − f = F c−u
(59)
Eficiencia Overview
Eficiencia de la Fracción Gruesa (i.e. material grueso en el Oversize).
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
E C =
Material Grueso en el Oversize c C c (f = = Material Grueso en el Alimento f F f (c
· ·
· − u) · − u)
(60)
Eficiencia de la Fracción Fina (i.e. material fino en el Undersize).
Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
E U =
Material Fino en el Undersize (1 = Material Fino en el Alimento (1
− u) · U = (1 − u) · (c − f ) − f ) · F (1 − f ) · (c − u)
(61)
Eficiencia Global
E = E C E U
·
(62)
Tabla 14: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso). Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm. Tamaño (mm) Porcentaje en Peso I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize 1 -3” + 2” 76.20 50.80 62.22 6.30 12.92 0.00 2 -2” + 1 1/2” 50.80 38.10 43.99 16.70 25.75 0.00 3 -1 1/2” + 1” 38.10 25.40 31.11 25.25 32.03 0.00 4 -1” + 3/4” 25.40 19.05 22.00 12.22 15.76 0.27 5 -3/4” + 1/2” 19.05 12.70 15.55 11.03 11.33 5.33 6 -1/2” + 3/8” 12.70 9.53 11.00 3.20 1.01 7.42 7 -3/8” + m4 9.53 4.75 6.73 5.49 0.31 18.84 8 -m4 + m6 4.75 3.35 3.99 2.11 0.02 7.44 9 -m6 + m8 3.35 2.36 2.81 2.01 0.01 7.20 10 -m8 + m10 2.36 1.70 2.00 1.66 0.00 5.90 11 -m10 + m14 1.70 1.18 1.42 1.68 0.00 5.91 12 -m14 1.18 0.00 0.59 12.35 0.86 41.69
Tabla 15: Análisis Granulométrico de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumulados Retenidos). Alimentación=596t/h, Longitud=4.27m, Ancho=2.13m, Abertura de la malla=14.0mm. Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize 1 <2” 50.80 6.30 12.92 0.00 2 <1 1/2” 38.10 23.00 38.67 0.00 3 <1” 25.40 48.25 70.70 0.00 4 <3/4” 19.05 60.47 86.46 0.27 5 <1/2” 12.70 71.50 97.79 5.60 6 <3/8” 9.53 74.70 98.80 13.02 7 -m4 4.75 80.19 99.11 31.86 8 -m6 3.35 82.30 99.13 39.30 9 -m8 2.36 84.31 99.14 46.50 10 -m10 1.70 85.97 99.14 52.40 11 -m14 1.18 87.65 99.14 58.31 12 0.00 100.00 100.00 100.00
Cálculo de la eficiencia Overview
xZ = 14.0mm, por lo que se obtiene (utilizando interpolación lineal):
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes
f = GF (14.0mm) = 69.24%
Caracterización de las partículas
c = GC (14.0mm) = 95.47%
Conminución
u = GU (14.0mm) = 4.51%
Trituración Tamizado Industrial
Eficiencia de la Fracción Gruesa:
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
E C
c (f = f (c 0.9547 = 0.6924 = 0.9812
· − u) · − u) · (0.6924 − 0.0451) · (0.9547 − 0.0451) (98.12%)
Overview
Eficiencia de la Fracción Fina:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes
(1 u) (c f ) (1 f ) (c u) (1 0.0451) (0.9547 = (1 0.6924) (0.9547 = 0.8952 (89.52%)
E U =
Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
− · − − · − − · − ·
− 0.6924) − 0.0451)
Eficiencia Global:
E = E C E U
·
= 0.9812 0.8952 = 0.8784
·
(87.84%)
Curva de Eficiencia o Partición Overview Introducción
Eje X : Tamaño promedio (geométrico) del intervalo de tamaños. Escala logarítmica.
Eje Y : Fracción del alimento que se reporta en el Oversize.
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
(i)
E D (Xp ) =
Conminución Trituración Tamizado Industrial
=
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Fracción del tamaño Xp(i) en el Oversize Fracción del tamaño Xp(i) en el Alimento f C (Xp(i) ) C f F (Xp(i) ) F
·
Se debe de corregir los análisis granulométricos.
Multiplicadores de Lagrange con Factores de Ponderación.
Fracciones Acumuladas Retenidas (utilizar Pasantes da el mismo resultado).
Corrección de los Análisis Granulométricos Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
El método es similar al desarrollado para corregir las leyes (ecuaciones análogas). Método para Zaranda de un solo piso (i.e. una entrada y dos salidas, puede aplicarse también para hidrociclones, clasificadores helicoidales, . . . ): 1 Obtener los análisis granulométricos. 2 Obtener el caudal normalizado C/F (relación de flujo del Oversize respecto al Alimento) mediante la siguiente ecuación:
C B = F A
Overview
Donde:
Introducción
N
Balance de Masa
A =
Corrección de Leyes
i=1 N
Caracterización de las partículas
B =
Conminución
i=1
Trituración
(i) GC
(i) GC
− −
·
(i) 2 GU
(i) GU
(i) GF
−
(i) GU
Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
(i)
GC Fracción Acumulada Retenida para el intervalo de tamaños i (si se utilizan Fracciones acumuladas Pasantes arrojan el mismo resultado). F , C , U Denotan el Flujo de Alimentación, Oversize y Undersize respectivamente. N Número total de intervalo de tamaños.
Overview Introducción
3 Obtener el caudal normalizado U/F
Balance de Masa
U =1 F
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
C − F
Conminución Trituración
4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:
Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
(i)
∆M (i) = GF
−
(i)
GC
·
C (i) U + GU F F
·
Overview Introducción
5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños: (i) W F
Balance de Masa Corrección de Leyes
(i)
= GC
(i)
= GU
Caracterización de las partículas
W C
Conminución
W U
Trituración
=
(i) GF (i) (i)
Tamizado Industrial
· − · − · − (i)
1
GF
1
GC
1
GU
(i) (i)
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños: (i)
λ
=
−2 ·
∆M (i) (i) W F
(i) + W C
C 2 F
·
(i) + W U
U 2 F
·
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución
7 Hallar las correcciones: (i ) ∆GF
(i)
=
(i )
−λ ·
∆GC
(i )
= +λ(i)
·
(i )
= +λ(i)
·
Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
∆GU
W F 2 (i) W C 2 (i) W U 2
C · F U · F
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
8 Correg Corregirir los análisis análisis granu granulométrico lométricos: s:
¯ (i) = G(i) G F F ¯ (i) = G(i) G C C ¯ (i) = G(i) G U
− ∆G(F i) − ∆G(C i) (i ) G − ∆ U U
Ejemplo de la Corrección de los Análisis Granulométricos Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes
1 Los análisis granulométricos utilizados son los que se presentan en la Tabla 15 Tabla 15.. 2 El caudal normalizado C C/F /F :
Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
− 0.0000)2 + (0 (0..3867 − 0.0000)2
A = (0 (0..1292 +...
− 0.5831)2 + (1 (1..0000 − 1.0000)2 + (0 (0..9914
= 4.4672
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial
B = (0.1292
− 0.0000) · (0.0630 − 0.0000) + (0.3867 − 0.0000) · (0.2300 − 0.0000) +...
+ (0.9914
− 0.5831) · (0.8765 − 0.5831) + (1.0000 − 1.0000) · (1.0000 − 1.0000)
= 3.1517
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
C 3.1517 = = 0.7055 F 4.4672
3 Obtener el caudal normalizado U/F
U =1 F
− 0.7055 = 0.2945
4 Hallar los errores para cada intervalo de tamaños:
∆M (1) = 0.0630
− (0.1292 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0282 0.2300 − (0.3867 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = −0.0428
∆M (2) = .. . . = ..
∆M (11) = 0.8765 ∆M (12) =
− (0.9914 · 0.7055 + 0.5831 · 0.2945) = 0.0053 1.0000 − (1.0000 · 0.7055 + 1.0000 · 0.2945) = 0.0000
Overview Introducción Balance de Masa
5 Hallar los Factores de Ponderación cada intervalo de tamaños. Para el primer intervalo de tamaños:
Corrección de Leyes
(1)
= 0.0630 (1
(1)
=
(1)
=
W F
Caracterización de las partículas
W C
Conminución
W U
Trituración
· − 0.0630) = 0.0590 0.1292 · (1 − 0.1292) = 0.1125 0.0000 · (1 − 0.0000) = 0.0000
Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
6 Hallar los Multiplicadores de Lagrange para cada intervalo de tamaños. Para el primer intervalo de tamaños:
λ(1) =
0.0630 −2 · 0.0590 + 0.1125 · (0.7055) 2 + 0.0000 · (0.2945)2
= 0.4895
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
7 Hallar las correcciones. Para el primer intervalo de tamaños: (1)
=
(1)
=
(1)
=
∆GF
∆GC
Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
∆GU
= −0.0144 −0.4895 · 0.0590 2 0.1125 · 0.7055 = 0.0194 +0.4895 · 2 0.0000 · 0.2945 = 0.0000 +0.4895 · 2
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración
8 Corregir los análisis granulométricos. Para el primer intervalo de tamaños:
¯ (1) = 0.0630 G F ¯ (1) = 0.1292 G C ¯ (1) = 0.0000 G U
− (−0.0144) = 0.0774 (7.74%) − 0.0194 = 0.1098 (10.98%) − 0.0000 = 0.0000 (0.00%)
Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Se puede verificar, evaluando el error
¯ (1) = 0.0774 ∆M
− (0.1098 · 0.7055 + 0.0000 · 0.2945) = 0.0000
Tabla 16: Análisis Granulométrico Corregidos de los productos de una Zaranda (Porcentajes Acumulados Retenidos). Tamaño (mm) Porcentaje Acumulado Retenido I.T. Mallas Mínimo Alimento Oversize Undersize 1 <2” 50.80 7.74 10.98 0.00 2 <1 1/2” 38.10 25.57 36.24 0.00 3 <1” 25.40 49.40 70.02 0.00 4 <3/4” 19.05 60.96 86.29 0.27 5 <1/2” 12.70 70.70 97.85 5.66 6 <3/8” 9.53 73.63 98.85 13.21 7 -m4 4.75 79.42 99.14 32.17 8 -m6 3.35 81.63 99.16 39.62 9 -m8 2.36 83.75 99.17 46.81 10 -m10 1.70 85.48 99.16 52.70 11 -m14 1.18 87.22 99.16 58.60 12 0.00 100.00 100.00 100.00
Tabla 17: Análisis Granulométrico Corregido de los productos de una Zaranda (Porcentajes en Peso). Tamaño (mm) Porcentaje en Peso I.T. Mallas Máximo Mínimo Promedio Alimento Oversize Undersize 1 -3 ” + 2 ” 7 6 .2 0 5 0 .8 0 6 2 .2 2 7 .7 4 1 0 .9 8 0 .0 0 2 -2 ” + 1 1 / 2 ” 5 0 .8 0 3 8 .1 0 4 3 .9 9 1 7 .8 3 2 5 .2 6 0 .0 0 3 -1 1 / 2 ” + 1 ” 3 8 .1 0 2 5 .4 0 3 1 .1 1 2 3 .8 3 3 3 .7 8 0 .0 0 4 -1 ” + 3 / 4 ” 2 5 .4 0 1 9 .0 5 2 2 .0 0 1 1 .5 6 1 6 .2 7 0 .2 7 5 -3 / 4 ” + 1 / 2 ” 1 9 .0 5 1 2 .7 0 1 5 .5 5 9 .7 4 1 1 .5 6 5 .3 9 6 -1 -1/2” + 3/8” 1 2 .7 0 9 .5 3 1 1 .0 0 2 .9 3 1 .0 0 7 .5 5 7 -3/8” + m4 9 .5 3 4 .7 5 6 .7 3 5 .7 9 0 .2 9 1 8 .9 6 8 -m4 + m6 4 .7 5 3 .3 5 3 .9 9 2 .2 1 0 .0 2 7 .4 5 9 -m6 + m8 3 .3 5 2 .3 6 2 .8 1 2 .1 2 0 .0 1 7 .1 9 10 -m8 + m10 2 .3 6 1 .7 0 2 .0 0 1 .7 3 0 .0 0 5 .8 9 11 -m10 + m14 1 .7 0 1 .1 8 1 .4 2 1 .7 4 0 .0 0 5 .9 0 12 -m14 1 .1 8 0 .0 0 0 .5 9 1 2 .7 8 0 .8 4 4 1 .4 0
Ejemplo de Curva de Partición Overview
Para el primer intervalo de tamaños:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
E D (62 (62..22) = E D (43 (43..99) = .. . =
(1..42) = E D (1 E D (0 (0..59) =
0.1098 0.0774 0.2526 0.1783 .. . 0.0000 0.0174 0.0084 0.1278
· 0.7055 = 1.1.0000 · 0.7055 = 1.1.0000
(100.00%)
· 0.7055 = 0.0.0000 · 0.7055 = 0.0.0461
(0.00%)
(100.00%)
(4.61%)
Overview Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Tabla 18: Data de la Curva Tromp promedio dio (mm) i.t. Tamaño prome E D 1 6 2 .2 2 1 0 0 .0 0 2 4 3 .9 9 1 0 0 .0 0 3 3 1 .1 1 1 0 0 .0 0 4 2 2 .0 0 9 9 .3 2 5 1 5 .5 5 8 3 .7 0 6 1 1 .0 0 2 4 .0 5 7 6 .7 3 3 .5 7 8 3 .9 9 0 .5 7 9 2 .8 1 0 .2 5 10 2 .0 0 0 .0 0 11 1 .4 2 0 .0 0 12 0 59 4 61
Overview Introducción
100
Real Ideal
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración
80 60 D
E
40
Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
20 0 −1 10
0
10
1
10
Tamaño de partículas (mm)
2
10
Figura 9: Curva de Partición (Tromp). La curva ideal indica que todas las partículas mayores a la abertura de la malla se presentan en la fracción gruesa y todas las partículas menores se presentan en la fracción fina.
Modelos empíricos Overview
Curvas de Partición:
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Actual:
E ua (dp)
Corregida:
Conminución
E uc (dp) (Elimina el cortocircuito Rf ) E uc (dp) =
Trituración Tamizado Industrial
E ua (dp) Rf 1 Rf
−
−
(63)
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Reducida:
E ur (dp/d50c ) (Similar a la corregida, pero los valores de tamaño son divididos entre el valor del d50c i.e. la curva cruza por la coordenada (1, 0.5)).
d50
Overview
Obsérvese que:
Introducción Balance de Masa
E ua (d50) = 0.50
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
E uc (d50c ) = 0.50 E ur (1) = 0.50
Conminución Trituración Tamizado Industrial
Se define el Sharpness Index (SI ) como
Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
SI =
d25c ; d75c
SI
∈ [0, 1]
Donde:
E uc (d25c ) = 0.25 E uc (d75c ) = 0.75
(64)
Modelos de la curva corregida Overview
Reid-Plitt ó Rosin-Rammler
Introducción Balance de Masa
E uc (dp) = 1
Corrección de Leyes Caracterización de las partículas
Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
dp d50c
· − · exp a
Trituración
Tamizado Industrial
ln(0.50)
a
·
(65)
Whiten ó Suma Exponencial
Conminución
Tamizado Industrial
− exp
E uc (dp) =
exp a
dp d50c
dp d50c
1
+ exp (a)
(66)
−2
Overview
Distribución Log-Normal
Introducción Balance de Masa Corrección de Leyes
dp
E uc (dp) =
0
Caracterización de las partículas
1 exp 2 π a x
√ · · · ·
Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
Logística
− · ln
1
E uc (dp) = 1+
dp d50c
a
−
x d50c 2 a2
2
dx
(67)
(68)
Overview Introducción
1
Real Corregida
Balance de Masa Corrección de Leyes Caracterización de las partículas Conminución Trituración Tamizado Industrial Tamizado Industrial Eficiencia Ejemplo de Curva de Partición
0.8 0.6 D 0.5 E 0.4
Rf
0.2 0 0 10
1
10
2
10 d50 d50 c Tamaño de partículas (mm)
Figura 10: Curva de Partición (Tromp) Real y Corregida.