Problemas 40 y 41 del Capítulo 1 del Schuam Sch uam de Análisis Vectorial 1-40 Dos ciudades A y B están situadas una frente a la otra en las dos orillas de un río de 8 km de ancho, siendo la velocidad del agua de 4 km/h. Un hombre en en A A quiere ir a la ciudad C que C que se encuentra a 6 km aguas arriba de B y en su misma ribera. Si la embarcación embarcación que utiliza tiene una velocidad máxima de 10 km/h y desea llegar a C en el menor tiempo posible, ¿qué dirección debe tomar y cuánto tiempo emplea en conseguir su propósito? Respuesta: Respuesta: Debe seguir una trayectoria rectilínea formando un ángulo de 34º28’ con la dirección de la corriente. 1h 25 min. [Nota: “Aguas arriba” significa en sentido contrario a la corriente.]
vbt = vbr + vrt
vbt ( – sen sen i + cos j) = 10 kph ( – cos cos i + sen j) + 4kph i 10 kph cos + 4 kph y vbt cos = 10 kph sen – vbt sen = – 10
tan =
sen (10 sen ) = cos (10 cos – 4) – 4) 10(cos cos – sen – sen sen ) = 4 cos = 4(8/10) = 16/5 cos( + ) = 8/25 + = cos – 1(8/25) = 71.3370º Pero = tan – 1(6/8) = 36.8699º
Solución: Solución: Y C
6 km
vrt
vbr
= 71.3370º – 71.3370º – 36.8699º 36.8699º = 34.4671º = 34º28’1.57’’ Así que
B
vbt = 10 kph
(
)
) ( = 7.0742 kph
8 km
vbt
Por lo que, le tomará llegar
X
A
La idea es que para llegar exactamente al punto C , el bote debe orientarse un ángulo más allá que el ángulo contrarestando contrarestando el empuje de la corriente. Tenemos los siguientes datos: vrt = 4 km/h i, vbr = 10 km/h,
Por la ley de velocidades relativas relativas tenemos que
1
M. en C. Ricardo López Lemus. Cubículo 232. Correos:
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Problemas 40 y 41 del Capítulo 1 del Schuam de Análisis Vectorial 1-41 Un hombre que se dirige hacia el Sur a 15 km/h observa que el viento sopla aparentemente del Oeste. Al aumentar su rapidez a 25 km/h, le parece que el viento sopla del Suroeste. Determinar la rapidez del viento, así como su dirección y sentido. Respuesta: El
vvt = 10 kpn i – 15 kph j,
cuya magnitud es vvt = √ = 18 kph y su dirección es
viento viene en la dirección Oeste 56 18’ Norte a 18 km/h. Solución:
N
N
vt = tan – 1(15/10) = 56º18’ al sur del este, es decir, viene en la dirección O 56º18’ N. La situación está descrita en la siguientes figuras. Nótese que la velocidad real del viento es la misma en ambas situaciones.
vvh2
vvh1
E
O
45
O
E
N
N
vht 1
vvh2
vvh1
O S
vt
vht 2
45
O
vht 1
vht 2
S
O
N
vt
E
S
vvh2 = 10 kph/sen 45º = 10 2 kph, por lo que vvh1 = 10 2 kph cos 45º = 10 kph. Así que la velocidad (real) del viento es
2
vvt
S
vvt
E
vt
vvt
S
Se desea la velocidad relativa del viento respecto a la tierra. Luego por la ley de velocidades relativas, tenemos vvt = vvh + vht Esta velocidad es la misma en cualquiera de las dos situaciones descritas, por lo que la ley adquiere la forma para cada situación como vvt = vvh1 + vht 1 = vvh2 + vht 2. Desarrollamos en componentes los últimos dos miembros para dar vvh1 i – 15 kph j = vvh2(cos 45º i + sen 45º j) – 25 kph j Igualando componentes correspondientes, se construye el siguiente sistema de ecuaciones, vvh1 = vvh2 cos 45º – 15 kph = vvh2 sen 45º – 25 kph De la segunda ecuación, se despeja la rapidez vvh2,
E
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