Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.
Solución: La altura, y, del árbol la deducimos de la relación siguiente: tg 30 =
2.
y 10 m ⇒ y = 10 ⋅ tg 30 ⇒ y = 10 3
Calcula x e y:
Solución:
y
30º
En la figura aparecen dos triángulos rectángulos, los cuales verifican, cada uno de ellos, las dos ecuaciones que forman el siguiente sistema: y tg45 = x y tg30 = 3 +x
45º x
3m Operando: x ⋅ tg 45 = y ⇒ ( 3 + x) tg tg 30 = y ⇒ x = ( 3 + x) ⋅
x ⋅ tg 45 = y ⇒ x ⋅ tg tg 45 = ( 3 + x)⋅ tg 30 ⇒ (40 + x) tg 30 = y
1 3 3+ 3 ⇒ x= = m 2 3 3 −1
Calculemos finalmente el valor de y: x ⋅ tg 45 = y ⇒ x = y = 3.
3+ 3 m 2
Calcula x e y en la siguiente figura.
Solución:
1/4
Matemáticas 4ª ESO
Trigonometría. Problemas Geométricos
Tenemos dos triángulos. De cada uno de ellos obtendremos una ecuación trigonométrica. tg30 =
y 100
tg60 = 30º
x+y 100
60º
100 m
y
100 m
x+y
Resolvemos el sistema: y 100 1 100 m = y = x+ 3 3 100 3 ⇒ x = 200 m ⇒ 3 = ⇒ x + y 100 3 x + y 3= 3= 100 100 4.
Calcula el valor de y (las longitudes están expresadas en m)
Solución: 12
Aplicamos el teorema del coseno: a 2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
y
Entonces
45º
y2
10
=
10 2
+
12 2
−
2 ⋅ 10 ⋅12 ⋅ cos 45 ⇒
y = 100 + 124 − 240 ⋅ cos 45 5.
Calcula el valor de los lados x e y, aplicando el Teorema del seno:
a senA
=
=
9, 9 m
b c = senB senC
Solución: Sustituimos los valores dados en la expresión del teorema del seno:
z= 3m
y
a b c = = ⇒ senA senB senC y 3 x ⇒ = = ⇒ sen80 sen40 sen60
80º
40º x
3 ⋅ sen 40 y = sen80 = 1, 96 m ⇒ 3 ⋅ sen60 = 2, 64 m x = sen80
2/5
Trigonometría. Problemas Geométricos
Matemáticas 4º ESO
Halla la altura del cuerpo más alto
6.
45º 30º
Solución: En la figura aparecen dos triángulos rectángulos. Hay que hallar a + b . c 30º a
Con este triángulo obtenemos a y c:
5m
sen30 =
a 5 ⇒a= m 5 2
cos 30 =
c 5 3 m ⇒c= 5 2
Con el anterior triángulo hemos hallado el valor de c. Observando el triángulo de la izquierda podemos obtener b: b 45º
c
tg45 =
b 5 3 m ⇒b= c 2
Luego la altura pedida es:
a+b =
5 3 2
+
5 2
=
5 ( 3 + 1) 2
m
Halla la altura de la montaña
7.
B
45º
Solución:
C 4000 m
Rehacemos el dibujo y de él extraeremos dos ecuaciones, cada una de ellas perteneciente a un triángulo rectángulo (el
h
y el
30º 3/5
A
ACC´
CBB´
Matemáticas 4ª ESO
Trigonometría. Problemas Geométricos
B Triángulo CBB´ :
45º
4000 − h
tg45 =
45º
C
B´
4000 − h x
4000 m Triángulo ACC´ :
h
tg30 = 30º
C´
A
x
Resolvamos éste sistema: tg45 = tg30 = ⇒h=
8.
4000 − h 4000 − h 1 = x = 4000 − h x x ⇒ ⇒ ⇒ 4000 − h = h 3 ⇒ 1 h h x = h 3 = 3 x x 4000 m ≈ 1464 m 3+1
Halla la altura de las Torres Petronas, x y también las distancias y, z.
C
z
x y
60º D
75º
45º 678 m
A
4/5
B
h x
Trigonometría. Problemas Geométricos
Matemáticas 4º ESO
Solución: Primeramente vamos a centrarnos en el triángulo ABC :
y 678 = y z 678 = = ⇒ sen45 sen60 ⇒ 678 sen45 sen75 sen60 z = sen75 sen60 y 678 = 2 2 3 y = 678 3 m 2 ⇒ 2 ⇒ z 678 = z = 1356 sen75 m sen75 3 3 2
