Estad´ Estad´ıstica y Probabilida Probabilidad. d. Ejemplos de probabilidad
k = 1. Un circuito circ uito el´ectrico ectrico se compone comp one de los elementos eleme ntos R k = 1, 1, 2, 3, 4, 5, k , seg´ un un el esquema esquema mostrado en la figura.Si falla un element elementoo cualquiera cualquiera el circuito se corta en el lugar de conexi´on de ese elemento. La probabilidad de que en el per p er´´ıodo considerado falle el elemento R k k es igual a p k k . Suponiendo que cada elemento puede fallar de forma independiente del resto, ¿cu´ al al es la probabilidad de que, durante el per p er´ ´ıodo en cuesti´on, on, la corriente no deje de fluir en el circuito? R 1 R 4 R 2
R 5 R 3
Soluci´ on.- Separando
el evento A = Circuito fall´ o en eventos dis-
{
juntos tenemos
}
P (A) =P (R 5 ) + P (R 5 , R 4 , R 3 ) + P (R 5 , R 4 , R 3 , R 2 , R 1 )
×
× × × × × =p 5 + (1 − p 5 )p 4 p 3 + (1 − p 5 )(1 − p 4 )p 3 p 2 p 1 donde R indica que el circuito R no fall´ o, o, y R ×, lo contrario. Luego la probabilidad buscada es 1 es 1 − P (A) = (1 − p 5 )[1 − p 3 p 4 − (1 − p 4 )p 1 p 2 p 3 ]. i i
i i
i i
2. La Texas Oil Company tiene un arreglo limitado de d e asociaci´ asoci aci´on on en el cual peque˜ nos inversionistas pueden reunir recursos para invertir en nos programas de exploraci´on on petrolera a gran escala. En la fase de perforaci´on on exploratoria la selecci´on on de localizaciones para nuevos pozos se basa en estructura geol´ogica ogica de los sitios de perforaci´on on propuestos. propuestos. La experiencia muestra que la probabilidad de encontrar una estructura tipo A en el sitio de un pozo productivo es de 0.40. La empresa tambi´ tambi´ en en sabe que 50 % de los pozos p ozos se perforan perforan en localizaciones localizaciones con 1
una estructura tipo A. Finalmente, 30 % de todos los pozos perforados resultan productivos. ¿Es el descubrimiento de un pozo productivo independiente de la estructura geol´ ogica tipo A? Explique. Soluci´ on.- Si
asumimos que PPerf. (pozos perforados) es como 100, PProd. (pozos productivos) es como 30, y esto se divide en 40 % y 60 %, es decir 12 y 18, entre los pozos que adem´ as son TipoA y el resto de PProd. Adem´as tenemos que 12 + x = 50. Verificamos que el descubrimiento de un pozo productivo y que su estructura geol´ogica sea de tipo A no son eventos independientes: P (PProd. y TipoA) = 12 30 50 100 = 100 100 = P (PProd.) P (TipoA).
TipoA
PProd. 18
12
x
PPerf.
∼ 100
umeros de celular disponibles, tres amigos 3. De un conjunto de N n´ reciben su n´ umero sucesivamente al comprar su celular. Hallar la probabilidad condicional de que el tercer amigo reciba un n´umero ubicado entre los n´umeros de sus otros dos amigos, dado que el segundo recibi´ o un n´ umero mayor al del primero. Soluci´ on.- Llamemos
a los amigos A, B y C, y a los n´umeros que reciben a, b , y c . Hay seis posibilidades equiprobables para el orden de los n´ umeros: a a b b c c
b c a c a b
2
c b c a b a
Contando las posibilidades tenemos: P (a < c < b , a < b ) P (a < b ) P (a < c < b ) = P (a < b )
P (a < c < b a < b ) =
|
=
1/6 1 = 3/6 3
4. Usando los datos del registro de caudales para el r´ıo Sandondo, (ver Cuadro N 1) estimar la probabilidad que un “caudal pico” que exceda los 100 m3/seg, ocurra en dos sucesivos a˜ nos en el r´ıo Sandondo. o
A˜ no 1915 1916 1917 1918 1919 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929
m3 /s
47.3 54.4 87.2 65.7 91.5 53.5 62.8 70 66.9 34.7 58 47 66.3 80.9 80
A˜ no 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936 1937 1938 1939 1940 1941 1942 1943 1944
m3 /s
52.3 58 67.2 115 46 52.4 94.3 111 71.7 96.1 92.6 34.1 69 73.4 99.1
A˜ no m3 /s 1945 79.2 1946 62.6 1947 93.7 1948 68.7 1949 80.1 1950 32.3 1951 43.1 1952 77 1953 53.6 1954 70.8 1955 89.4 1956 62.6 1957 112 1958 44 1959 84.3
A˜no m3 /s 1960 45 1961 28.4 1962 46 1963 80.4 1964 55 1965 72.9 1966 71.2 1967 46.8 1968 84.1 1969 61.3 1970 87.1 1971 70.5 1972 77.7 1973 44.2 1974 20.6
A˜ no m3 /s 1975 85 1976 82.9 1977 88.7 1978 60.2 1979 40.3 1980 50.5
Cuadro 1: Registro de caudales picos (en m3 /s ) de 66 a˜nos de la estaci´on de descarga de Huasapampa en el r´ıo Sandondo, departamento de Ayacucho (1915 – 1980). Soluci´ on.- En
el Cuadro 1 se puede observar que ´unicamente en tres ocasiones excedi´ o el caudal los 100 m3 /s en 66 a˜nos: en 1933, 1937 y 1957. Luego se puede estimar la probabilidad de que el caudal exceda 100 m 3 /s en un a˜ no dado como 3/66 = 1/22, asumiendo independencia de los caudales de a˜ nos consecutivos. Entonces la probabilidad de que el caudal pico exceda los 100 m3 /s en dos a˜ nos sucesivos dados es 2 (1/22) 0,002.
≈
3
5. Dados los eventos A1 , A2 , ... , An , justifique porque las siguientes condiciones son equivalentes: a ) De cualquier forma en que se escojan de los eventos dados dos grupos disjuntos Ak 1 , Ak 2 , ... y A j 1 , A j 2 , ... (de manera que ning´un evento A k sea igual a un evento A j ), ambos eventos A k 1 Ak 2 ... y A j 1 A j 2 ... son independientes.
∩ ∩ b ) P (A ∩ · · · ∩ A
∩
i m )
= P (Ai 1 ) Ai 1 ,..., Ai m , con m n. i 1
(a
Soluci´ on.-
luego
≤
· ·· P (A
i m ) para
⇒ b ) Por a) A
P (Ai 1
y Ai 2
i 1
∩ A ∩ · · · ∩ A i 2
i m )
todo grupo de eventos i m son
independientes,
∩ · · · ∩ A
= P (Ai 1 )P (Ai 2
∩ · · · ∩ A ) )P (A )P (A ∩ · · · ∩ A
= P (Ai 1 i 2 .. . = P (Ai 1 )P (Ai 2 )
∩
i m
i 3
·· · P (A
i m )
i m ) ,
donde, en la segunda igualdad hemos usado que Ai 2 y Ai 3 son tambi´ en independientes, en la tercera que Ai 3 y Ai 4 tambi´en independientes, etc.
∩ · · · ∩ A ∩ · · · ∩ A son
(b
i m
i m
⇒ a) Usando b) para A ∩ A ∩ · · · ∩ A ∩ A ∩ ... , as´ı como para A ∩ A ∩ ... y A ∩ A ∩ ... por separado, tenemos: P ((A ∩ A ∩ ...) ∩ (A ∩A ∩ ...)) = P (A ∩ A ∩ · · · ∩ A ∩ A ∩ ...) = P (A )P (A ) ·· · P (A )P (A ) · · · = [P (A )P (A ) ·· · ] [P (A )P (A ) · · · ] = P (A ∩ A ∩ ...)P (A ∩ A ∩ ...) k 1
k 1
k 2
k 1
j 1
k 2
k 2
j 1
j 2
j 2
j 1
j 2
k 1 k 1
k 2
k 1
k 1
j 1
k 2
j 1
k 2
k 2
j 2
j 2
j 1
j 1
j 2
j 2
6. Se lanza un par de dados una vez, si sale suma par mayor a 9 se recibe 10 soles, si sale suma impar o menor a 4 se paga 5 soles, en caso contrario se vuelve a lanzar hasta perder o ganar. ¿Cuanto se espera ganar? Soluci´ on.- Sea
(i) S par y > 9 a = 4/36.
S = suma de dados. Hay 3 casos:
⇒ S = 10 : 4,6, 6,4, 5,5; S = 12 : 6,6 ⇒ P (ganar 10) = 4
(ii) S impar o < 4 S = 2 : 1,1; S = 3 : 1,2, 2,1; S = 5 : 1,4, 4,1, 2,3, 3,2; S = 7 : 1,6, 6,1, 2,5, 5,2, 3,4, 4,3; S = 9 : 3,6, 6,3, 4,5, 5,4; S = 11 : 5,6, 6,5 P (pagar 5) = b = 19/36.
⇒ ⇒
(iii) S distinto
⇒ P (lanzar de nuevo) = c = 1 − a − b = 13/36.
En el tercer caso se tienen de nuevo los casos anteriores, ahora con probabilidades ca de ganar, cb de pagar y c 2 de lanzar de nuevo. Repitiendo el razonamiento, las probabilidades de ganar 10 y pagar 5 son a + ca + c 2 a + = a/(1 c ) y b + cb + c 2 b = b /(1 c ). Luego la ganancia esperada es 10a/(1 c ) 5b /(1 c ) = (40/36 95/36)/(23/36) = 55/23.
·· ·
−
·· · −
− −
−
−
−
Otro procedimiento: Si X = dinero ganado, usando la identidad de
probabilidad total de la esperanza para separar los tres casos anteriores: E [X ] = E [X i ] P (i ) + E [X ii ] P (ii ) + E [X iii ] P (iii )
|
= 10
|
4 19 13 + ( 5) + E [X ] , 36 36 36
|
−
donde se ha usado que el caso en que hay que lanzar de nuevo es equivalente a iniciar el juego otra vez. Despejando: E [X ] = 55/23.
−
7. El n´ umero de defectos que puede tener una cer´amica es una variable aleatoria X con funci´on de distribuci´ on acumulada F (X ) definida por la siguiente tabla: x
x < 0
F (x )
0,0
0 x < 1 0,4
≤
1 x < 2 0,7
≤
2 k
≤ x < 3 x ≥ 3 1,0
andar es igual a 1,5 a ) ¿Es correcto afirmar que la desviaci´on est´ defectos? Justifique su respuesta. b ) Calcular Q 1 y Q 3 . Soluci´ on.-
on est´ andar posible se da cuando la probabilidad a ) La mayor desviaci´ de X = 3 es m´axima, ya que en tal caso la dispersi´on es m´axima. Esto ocurre si k = 0,7. La probabilidad de X = 0, 1, 2, 3, la dan entonces los saltos de F , 0,4, 0,3,0,0,3 respectivamente. Luego E [X ] = 0,4(0)+0,3(1)+0(2)+0,3(3) = 1,2, Var (X ) = 0,4(1,2)2 + 0,3(0,2)2 +0(0,8)2 + 0,3(1,8)2 = 1,56 y σ = desviaci´ on est´ andar no puede ser 1.5. 5
√ 1,56 = 1,249. As´ı la
b ) En el caso anterior Q 3 = 3 pues su probabilidad es 0,3 > 0,25, pero si k = 1, Q 3 = 2; Q 1 = 0 ya que P (X = 0) = 0,4 > 0,25.
8. Sea X Exp (λ). Pruebe la propiedad de p´ erdida de memoria: para toda s , t 0
∼ ≥
P (X > t + s X > t ) = P (X > s )
|
Soluci´ on.- Integrando:
P (X > t ) =
ci´ on de probabilidad condicional
∞
t
λe −λx dx = e −λt . Por defini-
P (X > t + s , X > t ) P (X > t ) P (X > t + s ) = P (X > t )
P (X > t + s X > t ) =
|
e −λ(t +s ) = = e −λs . e −λt
9. La demanda en miles de metros de determinada tela de una compa˜n´ıa es una variable aleatoria X con funci´on de densidad dada por f (x ) =
1 5 ,
0 x 5 en caso contrario
≤ ≤
0,
Por cada metro de tela vendida se gana S /,3 pero por cada metro de tela no vendida en la temporada se pierde S /,1. Calcule la producci´on que maximiza la utilidad esperada. Soluci´ on.- Fijemos
la producci´on en w y calculemos la utilidad en funci´ on de la demanda: U (X ) =
3w , 3X (w
− − X ) ,
≥ w
X
X < w .
∞
w
La utilidad esperada es E [U (X )] = −∞ U (x )f (x )dx = 0 (4x w ) 15 dx + 5 3 w 15 dx = 3 w 25 w 2 . Maximizando en w : 3 45 w = 0. De donde la w produci´on buscada en miles de metros es w = 15/4.
−
−
−
10. Si X es cualquier variable aleatoria cuya distribuci´on f (x ) tiene media µ y desviaci´on est´ andar σ, pruebe que: P (µ
− k σ ≤ X ≤ µ + k σ) ≥ 1 − k 12 . 6
Soluci´ on.- Tenemos por un lado E [(X µ)2 /σ 2 ] = 1. Por otro lado
− µ)2] = σ2, de donde
que E [(X
−
E
− − − − ≥ µ
X
2
∞
=
σ
2
µ
x
∞
µ
x
f (x )dx +
σ
−∞
f (x )dx
σ
−∞
µ−k σ
2
µ
x
σ
µ+k σ
2
f (x )dx ,
donde nos hemos valido del hecho que el integrando es 0. En la k primera integral del lado derecho x µ k σ , de donde ( x µ)/σ y entonces el primer factor del integrando es
≥ − ≤ −
≤ − 2
− ≤ µ
x
σ
k 2 .
Similarmente esta desigualdad se cumple para la segunda integral, de donde 1 = E
− ≥ µ
X
σ
2
µ−k σ
∞
2
k f (x )dx +
= k
k 2 f (x )dx
µ+k σ
−∞
2
µ+k σ
− 1
f (x )dx
µ−k σ
Despejando la u ´ltima integral, que es igual a P (µ se obtiene la desigualdad buscada.
.
− k σ ≤ X ≤ µ + k σ),
11. Sean X 1 , X 2 , X 3 variables aleatorias Bernoulli con probabilidades de ´exito 1/2, 1/3, y 1/4, respectivamente. Calcule su funci´ on de masa de probabilidad conjunta, dado que X 1 + X 2 + X 3 = 2. Debemos calcular la funci´ on de masa de probabilidad condicional f X 1 ,X 2 ,X 3 |X 1 +X 2 +X 3 (x 1 , x 2 , x 3 2)
|
= P (X 1 = x 1 , X 2 = x 2 , X 3 = x 3 X 1 + X 2 + X 3 = 2) ,
|
que evidentemente vale cero a menos que x 1 + x 2 + x 3 = 2. Esto ocurre para X 1 , X 2 , X 3 igual a 1, 1, 0 con probabilidad (1/2)(1/3)(3/4) = 1/8, a 1,0,1 con probabilidad (1/2)(2/3)(1/4) = 1/12, o a 0,1,1 con probabilidad (1/2)(1/3)(1/4) = 1/24. De aqu´ı P (X 1 + X 2 + X 3 = 2) = 1/8 + 1/12 + 1/24 = 1/4
7
Ahora calculamos P (X 1 = X 2 = 1, X 3 = 0, X 1 + X 2 + X 3 = 2) P (X 1 + X 2 + X 3 = 2) P (X 1 = X 2 = 1, X 3 = 0) = P (X 1 + X 2 + X 3 = 2)
f X 1 ,X 2 ,X 3 |X 1 +X 2 +X 3 (1,1,0 2) =
|
=
1/8 1 = 1/4 2
Similarmente f X 1 ,X 2 ,X 3 |X 1 +X 2 +X 3 (1,0,1 2) = 1/3 , f X 1 ,X 2 ,X 3 |X 1 +X 2 +X 3
y cero en los dem´ as casos.
8
| (0,1,1|2) = 1/6 ,
